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大学学部レベル質問スレ 26単位目

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0001１３２人目の素数さん
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2024/04/07(日) 11:11:52.92ID:rZwP/5X4
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 25単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1706199058/
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703434188/
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/
0321１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 07:33:29.82ID:wSl1ZfLp
・昔
授業に出ていい成績をとるのが普通の学生
授業に出ないでいい成績をとるのが本当に優秀な学生

今
・授業がわからないとアンケートに書かれて先生の評価が下がる。
・授業について来れない学生には補習をする
・学生が大学に来るように朝食で釣る
0322１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 10:26:46.64ID:IVZzp+jD
もっと少子化が進むとさらに変化するだろう
0324１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 10:29:53.68ID:IVZzp+jD
どんな変化が進歩かは後になってからでないと分からない
0325１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 10:35:29.97ID:QZz5uzSg
>>324
俺は分かる
君は分からない
ということだな
0326１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 10:39:20.28ID:IVZzp+jD
今そうだからと言って
10年後にそれが正しかったかことになるかどうかは
今は誰にも分らない
数学と違って
0327１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 10:40:23.27ID:u3jWmJyX
学生の劣化が激しすぎるな
生徒か
0328１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 10:42:56.11ID:QZz5uzSg
FAXをデジタル化した会社に「でも10年後には正しくないかもしれない、FAXは復活するかもしれない」と思うのは勝手だが、
そういう会社は成長できない
論破芸は何も生まない
0329１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 11:42:44.81ID:Oz8+5Lp2
カーマイケル数で有名な人の初等？数論の教科書(※ R.D.Carmichael, The Theory of Numbers )を少し読んでみようとしたら
初っ端(p.3)からコレ↓で挫けそうです

Excercises
3. Discover and establish the law suggested
by the equations 1² = 0 + 1, 2² = 1 + 3, 3² = 3 + 6, 4² = 6 + 10, . . . ;
by the equations 1 = 1³, 3 + 5 = 2³, 7 + 9 + 11 = 3³, 13 + 15 + 17 + 19 = 4³, . . .

式をヒントに何らかの法則見つけてください

※著作権切れなので https://www.gutenberg.org/files/13693/13693-pdf.pdf で全部見れます
0330１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 12:21:32.38ID:8flP8wZR
朝食で釣るって何？
誰が金払う？何が食える？その大学、その教官個別の事例やろ？
0331１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 12:25:04.72ID:wlj0ETgX
>FAXをデジタル化した会社に「でも10年後には正しくないかもしれない、FAXは復活するか>もしれない」と思うのは勝手だが、
>そういう会社は成長できない
>論破芸は何も生まない

もちろんそう思うのも勝手
0332１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 12:55:06.77ID:wSl1ZfLp
秋の「学生応援 100円朝食」はじまります
https://www.tohoku.ac.jp/japanese/2023/10/news20231006-100yen.html

鳥取大学での事例です。学長先生から「1限目に学生が出てこないので、出てこさせるために、生協食堂で朝食を無料で提供する。4月の1ヶ月だけ大学が費用の半分を出すから生協も半額持ってもらえないか」と言われて、学長先生がおっしゃるなら、ということで、協力し実施をしました。
https://www.univcoop.or.jp/service/food/seminar/seminar03.html
0333１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 13:08:10.62ID:mzzrp/kt
複素平面上の曲線 z(t) が [a, b] 上で滑らかであることの定義ですが、

z が微分可能で、 z' が連続であることとはせず、

z が微分可能で、 z' が連続かつ z'(t) ≠ 0 for all t ∈ [a, b] であることとするのはなぜですか？
0334１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 13:26:43.26ID:nIOf2UxO
初等線形代数で申し訳ないですが，直交行列は，回転変換する行列もしくは軸対称変換する行列のどちらかですか？
0339１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 18:48:15.77ID:/y8BKMrh
>>329
それっぽい漸化式を書けばいいだけちゃうの？
0340１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 18:55:09.71ID:mzzrp/kt
>>333

z が微分可能で、 z' が連続であるとき、z がある点で突然、90度方向転換したりする可能性があることは知っています。

z が微分可能で、 z' が連続であるとき、 z が滑らかと定義すると滑らかじゃないのに滑らかとなってしまいおかしいですが、知りたいことは、滑らかな曲線 z と仮定されているところを、z は微分可能で、 z' が連続であるに置き換えたときに、問題が発生するかということです。
0341１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/05(日) 18:56:34.77ID:mzzrp/kt
例えば、 z が滑らかではなくても、 z が微分可能で、 z' が連続でありさえすれば、複素線積分は定義できます。
0343１３２人目の素数さん
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2024/05/05(日) 19:44:21.61ID:mzzrp/kt
>>342

複素関数論の本に書いてある定理の仮定で、「z(t) は滑らか」となっているところをすべて、「z は微分可能で、 z' は連続」で置き換えても、何も問題は起きないかどうかという質問です。
0346１３２人目の素数さん
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2024/05/06(月) 12:09:27.60ID:F6IRwB4r
ベクトル空間R^2上の変換fで、
加法性f(a+b)=f(a)+f(b)は成り立つがスカラー倍f(ka)=kf(a)は必ずしも成り立たない
ような例はどんなものがありますか。
0350１３２人目の素数さん
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2024/05/07(火) 16:49:45.91ID:uwWb3NA4
(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

が成り立ちます。

(x × y) × z が x と y が張る平面上にあるということをうまく証明してください。（成分計算などせずに。）
0352１３２人目の素数さん
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2024/05/07(火) 17:21:45.88ID:HYtDZgjM
>>350
成り立ってんだから証明する必要も無いのでは？
0353１３２人目の素数さん
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2024/05/07(火) 17:25:16.24ID:uwWb3NA4
>>352

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

を成分計算して成り立つことを確かめたが、そうせずに (x × y) × z が x と y が張る平面上にあるということを証明したいという状況です。
0354１３２人目の素数さん
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2024/05/07(火) 17:47:22.06ID:eT+Dz1EC
>>350
普通こういう質問だろ
これを成分計算をせずに証明するにはどうしたらいいですか？
0355１３２人目の素数さん
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2024/05/07(火) 18:02:26.89ID:uwWb3NA4
思いつきました。

x と y がともに x-y 平面に載るように座標軸を取ります。
x × y は z 軸と平行である。
(x × y) × z は x × y と直交するので、 z 軸と直交する。
よって、 (x × y) × z は x-y 平面に載っている。
よって、 (x × y) × z は x と y の一次結合でかける。
0359１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:18:30.79ID:uwWb3NA4
(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

の最も分かりやすい証明を考えました。

(x × y) × z は x × y と直交する。
よって、 (x × y) × z は x および y によって張られる平面に載っている。
よって、 (x × y) × z は x と y の一次結合でかける。
よって、 (x × y) × z = f(z) * x + g(z) * y とかける。
f および g は R^3 から R への写像である。
外積の分配法則などにより、 f および g は線形写像であることがわかる。
(x × y) × e1 = (0, det([[x1, x2], [y1, y2]]), -det([[x3, x1], [y3, y1]])) = -y1 * x + x1 * y
(x × y) × e2 = (-det([[x1, x2], [y1, y2]]), 0, det([[x2, x3], [y2, y3]])) = -y2 * x + x2 * y
(x × y) × e3 = (det([[x3, x1], [y3, y1]]), -det([[x2, x3], [y2, y3]]), 0) = -y3 * x + x3 * y
である。
よって、
(x × y) × z = (x × y) × (z1 * e1) + (x × y) × (z2 * e2) + (x × y) × (z3 * e3)
= z1 * (x × y) × e1 + z2 * (x × y) × e2 + z3 * (x × y) × e3
= z1 * (-y1 * x + x1 * y) + z2 * (-y2 * x + x2 * y) + z3 * (-y3 * x + x3 * y)
= - (z1 * y1 + z2 * y2 + z3 * y3) * x + (z1 * x1 + z2 * x2 + z3 * x3) * y
= -<z, y> * x + <z, x> * y
0360１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:21:01.35ID:uwWb3NA4
以下を書き忘れました：

f, g が x, y に依存しないことは明らかである。
0361１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:24:29.64ID:uwWb3NA4
あ、

>>360

の一文は不要ですね。
0362１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:28:41.14ID:uwWb3NA4
(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

の最も分かりやすい証明を考えました。

(x × y) × z は x × y と直交する。
よって、 (x × y) × z は x および y によって張られる平面に載っている。
よって、 (x × y) × z は x と y の一次結合でかける。
よって、 (x × y) × e1, (x × y) × e2, (x × y) × e3 はどれも x と y の一次結合でかける。
実際に、これらの x, y の係数を求めると、以下のようになる。
(x × y) × e1 = (0, det([[x1, x2], [y1, y2]]), -det([[x3, x1], [y3, y1]])) = -y1 * x + x1 * y
(x × y) × e2 = (-det([[x1, x2], [y1, y2]]), 0, det([[x2, x3], [y2, y3]])) = -y2 * x + x2 * y
(x × y) × e3 = (det([[x3, x1], [y3, y1]]), -det([[x2, x3], [y2, y3]]), 0) = -y3 * x + x3 * y
である。
よって、
(x × y) × z = (x × y) × (z1 * e1) + (x × y) × (z2 * e2) + (x × y) × (z3 * e3)
= z1 * (x × y) × e1 + z2 * (x × y) × e2 + z3 * (x × y) × e3
= z1 * (-y1 * x + x1 * y) + z2 * (-y2 * x + x2 * y) + z3 * (-y3 * x + x3 * y)
= - (z1 * y1 + z2 * y2 + z3 * y3) * x + (z1 * x1 + z2 * x2 + z3 * x3) * y
= -<z, y> * x + <z, x> * y
0363１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:29:28.78ID:uwWb3NA4
>>359

f, g とか登場させる意味なかったですね。
0364１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:33:14.51ID:uwWb3NA4
>>362

世界で一番分かり易い証明ですね。
0365１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:36:31.64ID:uwWb3NA4
>>362

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

の発見的証明になっていますね。

成分計算を実行して等式を証明するだけでは能が無いですよね。
0366１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 21:41:36.92ID:uwWb3NA4
(x × y) × z はどう表わすことができるのだろうか？と考えたとします。
その人はまず、 (x × y) × z は x, y の一次結合でかけることに気づきます。
次に、では x, y の係数はどう表されるのだろうか？と疑問に思います。
その人は、
(x × y) × z = (x × y) × (z1 * e1) + (x × y) × (z2 * e2) + (x × y) × (z3 * e3)
= z1 * (x × y) × e1 + z2 * (x × y) × e2 + z3 * (x × y) × e3
だから、
(x × y) × e1, (x × y) × e2, (x × y) × e3 が x, y の一次結合としてどう表されるのかがわかれば良いということに気づきます。
そして、これらを実際に計算してみます。（これらが x, y の一次結合で表されることは既に分かっている。）

そして、簡単な計算により、

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

が成り立つことを発見するのです。
0372１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/08(水) 17:55:46.76ID:Xb2zUZQo
藤岡敦著『手を動かしてまなぶ曲線と曲面』

f が積分可能なとき、 f の不定積分が微分可能であるかのように書いています。
f が連続でなくてはならないにもかかわらずです。

あと、問題の解答など非常に癖が強いですね。
0373１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/08(水) 18:42:41.90ID:CAefPv7r
きちがいの書きこみ禁止
0375１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/08(水) 21:06:02.76ID:hK3lslZC
実数の加法群(R,+,0)を位相群にする位相は
離散、密着、通常のもの以外にありますか？
0380１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/08(水) 23:48:36.84ID:hK3lslZC
なるほど…同型の示し方も教えてほしいです

あと、もしかしてオストロフスキーの定理のように、それ以外の位相がないことも示せたりしますか？
0381１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 01:10:59.43ID:+pMd1DcO
アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、（代数的にも位相的にも）実数体か複素数体に同型である
0382１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 01:49:06.94ID:2Oe7bKd9
Q_pはアルキメデス的ではないし、付値(もっといえば距離)以外の位相も可能性としてありますよね…？
0383１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 10:36:01.68ID:1s3pLI9I
>>375
加法群としては
R=ΣQ
即ち集合としては
R⊂ΠQ
それぞれのQに別の位相入れて直積位相の部分空間にすれば？
0384１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 10:49:07.66ID:1s3pLI9I
R=Map(N,2)だと群構造表さないよなあ
コンパクトオープンで位相定義するとまた色々できそうだけど
0385１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 11:17:52.91ID:2Oe7bKd9
>>383
ああ、たしかに実数の加法群はQの非可算直和なのか…

Qの位相は密着、離散、通常のもの以外にあるんでしょうか？
(次々質問してすみません)
0387１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 11:43:14.89ID:1s3pLI9I
>>385
>Qの位相は密着、離散、通常のもの以外にあるんでしょうか？
加法を連続にするものが確か色々あったと思う
例えばNだって
O={U|N-U:finite}∪{φ}
が開基になって
これ和や積とコンパチになるよね
（N×Nの開基も有限集合の補集合）
Q=colim(n×:N→N)
もここから位相入れられる
0389１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 15:19:03.58ID:oi/MdB1y
>>386
Qpももちろんベクトル空間としてQの直和
0391１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 19:22:08.31ID:+pMd1DcO
バナッハ空間間の連続線型作用素T:E->Fについて、Tがヒルベルト・シュミット型と双対作用素T'がヒルベルト・シュミット型であることが同値であることが知られています。
双対作用素T'が核型ではあるがT自身は核型ではないような例を教えてください。
0395１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 23:17:01.36ID:2Oe7bKd9
>>387
遅くなりましたがありがとうございます
捕有限位相ってやつですよね
Q=colim(n×:N→N)は余極限？
これは具体的にどういう感じのものなんでしょうか…
0396１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/09(木) 23:19:55.14ID:2Oe7bKd9
>>388
これはQ/Z(or R/Z)の離散位相を射影でQ(or R)に引き戻したって感じですかね
考えてみます

>>389
出来れば証明も教えてほしいです
0397１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 01:41:12.79ID:XL3yS1ND
>>395
2×:N→N:n→2n
3x:N→N:n→3n
・・・
つまり
N⊂(1/2)N⊂(1/6)N⊂(1/24)N⊂・・・⊂∪(1/n!)N=Q
と見るということ
ZじゃないとQじゃないか
まあ負の側にも延ばして
この包含が連続になる最も強い（開集合の多い）位相をQに入れる
0398１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 01:42:42.57ID:XL3yS1ND
>>396
>出来れば証明も教えてほしいです
QpはR同様標数0の体だから
0399１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 08:38:42.29ID:K5ujU8zc
藤岡敦著『手を動かしてまなぶ曲線と曲面』

γ : I → R^n
γ : C^1 級
γ'(t) ≠ 0 for all t ∈ I

を正則曲線という。

γ : I → R^n, λ : J → R^n を2つの正則曲線とし、 {γ(t) : t ∈ I} = {λ(s) : s ∈ J} とする。
このとき、 φ : I → J such that φ は全単射 & φ, φ^{-1} はC^1 級 で、

λ(φ(t)) = γ(t) をみたすようなものが存在する。

このことを証明せずに当然のこととして仮定しています。
0400１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 08:44:06.26ID:K5ujU8zc
あ、というか、上のようなdiffeomorphism φ が存在するとき、 γ と λ は同じ曲線の異なるパラメーター表示であると考えているようです。
そして、パラメーター表示は変わっても同じ曲線を表わすならば、曲線の長さが変わらないことなどを証明しています。

>>399
のような事実を述べないのはありですか?
0401１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 08:47:06.79ID:K5ujU8zc
確か、杉浦光夫さんの本でも、

λ(φ(t)) = γ(t) となるようなdiffeomorphism φ が存在するとき、
γ ≡ λ と定義すると、 ≡ が同値関係になるということを言っていたと思います。

ですが、

>>399
のような事実については触れていません。

このような態度は許されるのでしょうか？

小平邦彦著『複素解析』では、ちゃんと証明しています。
0402１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 08:51:31.45ID:BHeKbjr9
>>400
diffeoが存在する条件の話と同値類を定める話は別のことだろ
そんなことも理解出来ないのかよ
0403１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 08:52:50.78ID:K5ujU8zc
>>402

別の話ですが、 diffeomorphismが存在することを小平邦彦さんのように証明すべきではないでしょうか？
0404１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 08:55:36.30ID:K5ujU8zc
小平邦彦さんのやり方がまともなやり方だと思います。

{γ(t) : t ∈ I} = {λ(s) : s ∈ J}

であるとき、

γ ≡ λ

になるのだろうか？

という疑問は誰でも持つだろうからです。

杉浦さんらの態度は許されるのでしょうか？
0405１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 09:02:26.24ID:K5ujU8zc
小平邦彦さんの『解析入門』、『複素解析』はネチネチとしたところは確かにあるかもしれませんが、皆が疑問に思うところについてちゃんと考察していてまともな本だと思います。
0406１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 09:09:19.62ID:K5ujU8zc
小平邦彦さんの本はこだわりを持って書かれていますよね。
関数を f ではなく f(x) と書いたりしていますよね。
自分は巨匠だから f(x) と書いても許されるだろうという驕りを感じてしまいますが。
0407１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 09:24:39.24ID:jy5karU3
関数fに変数xをつけてf(x)と書くのは変ではない。
0408１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 09:30:14.58ID:Pg0nuf6f
>>406
シュヴァルツの解析学を読んでもらいたい
ブルバキを参照しながら飲めよ
諦めたままかな
0409１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 09:36:22.62ID:b2WAF/yw
関数 sin(x), log(x)
とかあると発狂しちゃうのかな
0410１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 12:18:37.12ID:WdfA6gf5
位相空間論の質問です。
(X, O)を位相空間、MをXの部分集合、M^fでMの境界を表すとするとき、
(M^f)^fが内点を持たないことの証明を教えていただけないでしょうか。
また、((M^f)^f)^f=(M^f)^fを示していただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。
0411１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 12:31:47.60ID:b2WAF/yw
自分が巨匠だからといって、関数を f ではなく f(x) と書いたりするのは驕り
よって死ね殺せネタは終わったの？
0412１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 13:04:05.33ID:TLlCjuyK
通常の言葉の定義通りなら

(M^f)^f

は空集合になってしまう。
意味がエスパーできないではないけどこの程度の話が正確に書けないようじゃ何やっても無駄
0413１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 13:04:28.04ID:32pzrTaj
>>410
M^fが内点を持つことはあるのですか？
0415１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 13:39:25.55ID:TLlCjuyK
以下 M^f を M^ と略記
x ∈ int((M^)^) = U とすれば x は ext(M^) のclosureに属するから
Φ≠U ∩ ext(M^) = U＼M^ だから y∈U＼M^ をとれる
y∈U = int((M^)^) ⊂ (M^)^ ⊂ cl(M^) = M^
で矛盾
((M^)^)^ = cl((M^)^) ＼ int((M^)^) = cl((M^)^) = (M^)^
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 14:30:04.16ID:XL3yS1ND
>>409
なんで数学は( )省くかね
sin^2xとかも書くし
特殊化しすぎ
0417１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 14:31:31.61ID:XL3yS1ND
>>413
R⊃Qの境界ってRじゃない？
0418１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 15:17:13.37ID:XL3yS1ND
>>379
>代数としてはRと同じ
代数として同じなら同じ体じゃん
0421１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/10(金) 19:14:21.60ID:XL3yS1ND
>>420
intA={x|x∈∃U:open⊂A}
extA=int(X\A)
∂A=X\(intA∪extA)
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