なぜ、対偶と元の命題の真偽は一致するのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/05(日) 17:55:22.39

どう証明するのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:40:21.32

>>124の対偶の証明についての簡易説明
・集合の包含関係(ベン図)を利用した証明
命題の推論関係と集合の包含関係が一致のベン図と補集合と包含関係の逆転のベン図を利用した証明
集合の包含関係を利用した証明は、命題が少なくとも一つの変数を含んで、その変数が取りえる対象の範囲を集合で定義できなければならないという制約を生じる

・集合の包含関係を用いない証明
「p⇒qが成り立つとき、その対偶¬q⇒¬pが成り立たないとする」矛盾と背理法を使った証明

・真理値を使った証明
各命題の真偽を場合分けし、すべての場合において真偽が一致すれば同値になる

・ベン図を用いない証明
￢Q⊂￢P ⇔ P⊂Qの説明にベン図を用いないで、集合P、集合Qに対して、全体集合Uの要素(4つ)を導き出す
一方で、集合の包含関係は、P⊂Q、P=Q、P⊃Qのみなので、
それぞれの包含関係(3つ)とそれぞれの全体集合Uの要素(4つ)の場合について求める
つまり、集合Pと集合Qの包含関係は、全体集合Uの要素が4つのいずれかに存在しうるかで定まる
￢Q⊂￢Pについて、￢QをPに代入し、￢PをQに代入
代入した結果、P⊂Qの場合と同じになる
したがって、P⊂Qと同値になる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:46:41.86

ん？レス数の表示は120以上あるのに28番目までしか読めない。自分だけ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:51:29.14

>>122
一致するわけないだろ！
君の定義では証明するか否定を証明しない限り真偽値は分からないのに、P→Qも￢(P→Q)も証明不可能な命題ではないか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 18:34:38.16

>>122
君が主張してるのは
|- X ↔ Y
のとき
(|- X) ⇔ (|- Y)
が言えるっていう無茶苦茶な話だろ
これが正しいっていうのなら証明すべき
まあ成り立つ訳が無いから無理だけど

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 23:07:40.12

>>127
君は真偽値についてまるで理解してないね
どのように真偽値を定義するかを学んでな
PやQの真偽値が決まる時
P⇒Qの真偽値が決まるんだけど？
P⇒Qが証明できるとか
何アホなこと書いてるんだｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:03:01.51

>>129
99がそういうアホな主張をしてるんだよ。こっちじゃなくてあっちに言ってくれ

99 １３２人目の素数さん 2023/11/09(木) 07:49:58.24 ID:+KxEy61/
>>96
素朴な人ね
数理論理学ではシーケント計算で導出できるものが真だよ
否定が導出できたら偽

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:03:30.64

>>128
>|- X ↔ Y
>のとき
>(|- X) ⇔ (|- Y)
>が言えるっていう無茶苦茶な話だろ
は？何が無茶苦茶なんだろ？
X⇒Yが証明されるとは
XからYが証明されるってこと
これとXが証明されることから
カットによってYが証明されるんだが？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:05:02.02

>>130
それ俺
君がまるで真偽値について理解してないのは分かった

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:10:15.43

>>132
シーケント計算で導出できるかどうかで真偽値を決めるってのはもうやめたのかよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:15:37.68

>>131
証明書く気はあるんだな？
(|- X) ⇔ (|- Y)
が成り立つから、X↔Yがシーケント計算で証明できるときXとYの真偽値は等しいって主張でいいのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:25:04.21

これを同じ奴が言ってるんだぜ
いい加減にして欲しいわ

99 １３２人目の素数さん 2023/11/09(木) 07:49:58.24 ID:+KxEy61/
>>96
素朴な人ね
数理論理学ではシーケント計算で導出できるものが真だよ
否定が導出できたら偽

129 １３２人目の素数さん 2023/11/10(金) 23:07:40.12 ID:Duk+CIiM
>>127
君は真偽値についてまるで理解してないね
どのように真偽値を定義するかを学んでな
PやQの真偽値が決まる時
P⇒Qの真偽値が決まるんだけど？
P⇒Qが証明できるとか
何アホなこと書いてるんだｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:57:37.92

あのね
P⇒Qの真偽値が定まるのはP,Qの真偽値が定まる場合
そして
P,Qの真偽値が定まるのはP,Qがシーケント計算で導出できる場合だとまるで理解してないね
>>135
>P⇒Qが証明できるとか
ここはね
君は「何の前提もなく」P⇒Qが導出できる筈がないと
当たり前のことを言っているからそれを指摘したんだよ
わかる？
たぶんまるで分かってないな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:04:12.94

>>136
結局何も変わってないじゃん
PとQは絶対に何があってもシーケント計算からは導出できないだろ。P→Qが導出できないのと同じ理由なんだから、考えれば分かることだろ
いい加減にしろよ
PとQがシーケント計算で導出できる場合？何いってんの？できるって言うならやってみろよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:07:06.49

>>133
あのね
真偽値ってのはね証明できるかどうかで定義するのよ
古典論理では
証明できる論理式全体を真
否定が証明できる論理式全体を偽
これだけ
P,Qが真または偽である場合にのみP⇒Qの真偽値が定まるわけ
それを真偽値表と呼んでるだけ
真偽値表のくだらなさが分かるかな
分かんないんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:10:27.80

>>138
チャイティンのオメガに全部載ってる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:11:17.63

>>134
>証明書く気はあるんだな？
つかおまえ
Xが証明されて
XからYが証明される場合に
Yが証明されるのも理解してなかったんだろ？
カット則ち三段論法も知らないのはスゴイな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:14:26.47

>>138
古典論理だろうがなんだろうがPやQは証明できないだろ
頭使えよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:25:46.06

>>141
まだ言ってるｗ
「何の前提も無しに」PやQが証明できるわけ無いのは
当たり前
アホなことしか書かずに
ちゃんと真偽値の定義について勉強してな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:30:46.42

>>142
証明できないんだから、お前の定義では真でも偽でもないだろ

>P,Qが真または偽である場合にのみP⇒Qの真偽値が定まるわけ

これの前提が成り立つ場合がないって言ってんだよ
馬鹿なのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:39:35.94

>>143
はぁ
「PやQに真偽値が定まる時」というのが「PやQが証明される時」という意味が分からない？
救いようがないな
ていうかちゃんとシーケント計算とそこから定まる真偽値について勉強してくれよ
ホンマ泣けてくるわ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:48:33.94

>>143
>証明できないんだから、お前の定義では真でも偽でもないだろ
これも当たり前のことだと指摘しておこう
ホンマ
勉強しぃヤ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:51:23.15

>>144
なんでこんな丁寧に書いてるのにわからないんだ？
意味がわからない。
証明できるかどうかで真偽値を定めるなんてバカなこと言ってるアホだからわからないのか…

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:00:02.21

>>145
真でも偽でもないんだから前提が成り立つ場合が存在ないだろ
もうひとつ、真偽値の定義が2通りあるのもどうにかしろよ

1つ目の定義
>古典論理では
>証明できる論理式全体を真
>否定が証明できる論理式全体を偽

2つ目の定義
>P,Qが真または偽である場合にのみP⇒Qの真>偽値が定まるわけ

P→Pとかどっちを使うつもりなんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:02:51.39

>>146
>証明できるかどうかで真偽値を定める
証明できるか否定が証明できるかな
まいいから勉強してな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:09:15.16

>>148
たいして変わらん
どうせほとんど全ての論理式が真でも偽でもないんだから

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:11:02.13

>>147
P⇒Qの真偽値表を定義する場合な
P⇒Pの真偽値表を作る場合はもちろんPに真偽が定まるすなわち証明されることが前提
それによりP⇒Pの真偽値表が
P=T P⇒P=T
P=F P⇒P=T
と定義される

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:12:21.81

>>149
当たり前だｗ
真偽が定まるとは証明されることが必要

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:15:08.24

>>150
だからPは証明できないんだから、前提が満たされることは決してないって何度も言ってるだろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:18:09.95

>>152
Pが真もしくは偽の場合と何度も言っているだろw
とにかく
真偽の定義を勉強しろよ
素朴すぎるのはいかんよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:20:10.34

>>153
￢Pも証明できないんだかろ偽でもないだろ
いい加減にしてくれよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:23:52.35

Pが証明できない理由も、￢Pが証明できない理由もほとんど同じなんだから頭使えよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:25:06.86

>>154
あのね「何の前提もなく」Pも￢Pも証明できるわけ無いのは当たり前だと何度も言ってるんだが？
P⇒Qの真理値表はPやQに真偽値が定まる場合に作られるのよ
つまりシーケント計算で導出できる場合にね
いいから
真偽値の定義について勉強してくれよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:27:45.44

ほんと勉強する気のないヤツだな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:32:32.90

>>156
じゃあその必要な前提を君の定義に明記してみろよ
Pが証明できる前提なんてP自身かP∧Qとかしかないけどどうするつもりなんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:45:15.91

>>150
Pは絶対に証明できない

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 04:08:07.11

ちなみに今回の「フェルマーの料理」で「対偶」という
言葉が出て来ました。(以下要約)
(店主)どうやって揚げる事を思いついた？
(新人)対偶です
(主人)対偶？
(新人)高温調理が無理なのは素材を損なうから。
じゃあ素材を損なわないなら高温調理も可能なんです。
そこで焼くんじゃなく揚げようと
(同僚)全然分かんねえ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 04:16:39.42

だいたい標準的なやり方を無視して証明で真偽を定めるからぶっこわれるんだよ
命題を分解していったら、証明できない部品に分かれるに決まってるんだから、部分構造の証明可能性で全体の真偽を与えるなんて端から無理に決まってる
しかも、そんな真偽の決め方をしたら健全性とか完全性なんて無意味になるじゃん

**通りすがりです** · 2023/11/11(土) 06:13:40.68

そもそも、Pは証明するものではない
(※Pは証明できる場合もある)

命題:兎ならば爬虫類である
兎は真(T)、爬虫類は真(T)
命題は正しくない(偽)
真理値表
兎　爬虫類　命題(兎⇒爬虫類)
T　　T　　　　F

Pに該当する兎もQに該当する爬虫類も証明するものではなく、真偽が判定(判断)できるものである

・確認用
命題:兎がかわいいならば爬虫類である
兎がかわいいは真偽判定できない(×)、爬虫類は真(T)
命題ではない(×)
真理値表(※比較用)
兎　爬虫類　命題(兎⇒爬虫類)
×　　T　　　　×

Pに該当する兎がかわいいは真偽判定できなく、また証明するものではない

上のレスのやり取りにすれ違い、勘違いがあるような気がします。なので、互いの主張が間違っていないことを前提に考察してみました
その結果、>>159の主張するように証明できないが、
上記より、そもそも証明するものではないといえます

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 08:41:00.61

ジャップのレスバ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 09:40:36.42

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**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 10:32:49.40

>>164
さっそく始めてみるね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/12(日) 06:10:55.20

逃げたか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/12(日) 06:22:29.30

彼の言ってたのは
料理の出来は次のルールで定めます。
うんこ味だった場合はカレーの出来は悪いと定めます。
これで全てのカレーについて出来を定めることができました。
みたいな話だからな

こっちがほとんどのカレーはうんこ味じゃないだろって言っても、返ってくるのが「カレーがうんこ味じゃないのは当然だ」とか「カレーがうんこ味になるには条件が必要」なんだぞ意味がわかんねーよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 19:27:10.90

もしかして、
「人間は哺乳類である」
「AならばBである」
「p⇒q」
「P⇒Q」
全体集合U
何故、A,Bやp,qやP,QやUが使われているのか分からないってことですか？

>>5~>>53
P, Qの集合とは？(>5)
条件 p を満たすものの全体の集合とはなんですか？(>11,>27,>29,>46)
「Aをみたす集合」とは何ですか？(>18,>53)
「命題Pに対して、Pをみたす集合」とは何ですか？(>25)
条件pに対して、pをみたすものの集合の定義を述べて下さい(>33)
全体集合Uとは？(>42)

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 20:03:14.07

>>164
これなら楽しんでポイントを稼げそう

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 21:36:29.47

>>168
下らんね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 21:40:57.65

条件とは何らかの変数xについて
成立するxの値が決まるものだろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 22:29:44.36

集合wとか変数xとか条件が揃えばPが証明できるwとか言ってるのみると、PとかQをどこかで定義された名前だと思ってるフシがあるよね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/14(火) 19:11:41.17

>>156
まだ修正できないの？
今のままじゃ、決して証明できないものが証明できる場合にしか真偽値が定義されないってことになってるんだぞ
はやくしろよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/20(水) 10:30:09.33

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最後まで御精読いただきありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/17(日) 16:11:19.01

ただし二値論理に限る