なぜ、対偶と元の命題の真偽は一致するのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/05(日) 17:55:22.39

どう証明するのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/05(日) 20:05:39.79

x<a→x<b
x≧b→x≧a

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/05(日) 22:37:15.43

排反律と背理法が云々

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/05(日) 23:05:24.14

ベン図描けベン図
PならばQってのはつまりQの集合の中にPの集合が入ってる状態
で、Qでない部分を青で、Pでない部分を赤で塗ってみると青が赤ン中に全部含まれてる状態になんだろ
だからQでないならPでないってことになんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 00:25:16.65

>>4
P, Qの集合とは？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 06:13:55.13

対偶(関係)だから元の命題と真偽が一致するのではなく、真偽が一致する関係を対偶(関係)としている

命題の仮定と結論をP⇒Qとするならば、この命題と対偶関係にある仮定と結論は￢Q⇒￢Pと表せる
P⇒Qが真であるならば、￢Q⇒￢Pも真である
また、P⇒Qが偽であるならば、￢Q⇒￢Pも偽である
『この関係を対偶(関係)とする』

つまり、対偶だから元の命題と真偽が一致するのではなく、真偽が一致する関係を対偶(関係)としているのです

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 12:05:47.85

>>6
P⇒Qと￢Q⇒￢Pの真偽が一致するのはなぜですか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 12:32:16.35

>>7↓こちらを参考に
【理系ラボ　命題とは？　逆裏対偶　数学Ⅰ[論理]　2022.02.17】
https://rikeilabo.com/proposition-formula
「命題」とは？真偽と逆・裏・対偶をわかりやすく説明してみた

命題(逆・裏・対偶・真偽)とは何か？わかりやすく図…↓
https://i.imgur.com/Tj5A9Gn.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 12:41:11.40

>>8
そのurlには証明が書いていません

P⇒Qと￢Q⇒￢Pの真偽が一致するのはなぜですか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 19:47:40.87

>>9
【理系ラボ　命題とは？逆裏対偶】6.2 逆・裏・対偶の真偽の説明を再度確認してみてください

この説明を証明にすれば、
したがって、「もとの命題と対偶の真偽が一致」または「命題:P⇒Qの真偽と対偶:￢Q⇒￢Pの真偽は一致する」
となるかと思います

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 20:09:13.18

>>10
> 条件 p を満たすものの全体の集合

とはなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 21:13:29.28

>>10
間違ってるじゃんそのサイトｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 21:37:59.10

排中律が成立しない世界だとどうなるか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 21:58:51.90

真理値表を書け

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 22:20:37.41

証明
Aを満たす要素の集合をP、Bを満たす要素の集合をQとおく
まず無条件に、ある要素と集合の関係を考えた場合の全てのパターンは、
Pに属すと属さないの2通り
Qに属すと属さないの2通り
2*2=4通り
x∈P かつ x∈Q
￢x∈P かつ x∈Q
x∈P かつ￢x∈Q
￢x∈P かつ￢x∈Q

この4通りから、A⇒Bを満たすということは、
P⊆Q
だから、
x∈P かつ x∈Q…[1]
￢x∈P かつ x∈Q…[2]
￢x∈P かつ￢x∈Q…[3]
※[2]はP⊂Qのときのみ存在

また、￢B⇒￢Aを満たすということは、
￢Q(Qの補集合)⊆￢P(Pの補集合)
だから、
￢x∈Q(x∈￢Qから)かつx∈￢P(x∈￢Pから)…[3]と同じ
x∈Q(￢x∈￢Qから)かつ￢x∈P(x∈￢Pから)…[2]と同じ
x∈Q(￢x∈￢Qから)かつx∈P(￢x∈￢Pから)…[1]と同じ
※[2]は￢P⊂￢Qのときのみ存在

上記より、「A⇒B」と「￢B⇒￢A」は同値であることが示された
証明終了

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 22:23:43.06

自分的にはサイトの方が分かりやすかったですが、何やら不評なようなので拾ってきた証明を載せておきますね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 23:48:29.46

>>15
「オブジェクトaがAを満たす」「オブジェクトbがBを満たす」
　　　　　　↓
「ｘがAを満たす」「ｘがBを満たす」

命題が変わっている

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/06(月) 23:53:20.20

>>15
「Aをみたす集合」とは何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 00:38:22.29

整数について
「2の倍数ならば偶数である」(偶数の定義)
逆「偶数ならば2の倍数である」(⚪)
裏「2の倍数でないなら偶数でない」(⚪)
対偶「偶数でないなら2の倍数でない」(⚪)
う～ん、全部合ってるな。あまりいい例じゃなかったか。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 00:45:09.13

素数について
「素数ならば1と自身の数のみが約数である」(素数の定義)
逆「1と自身の数のみが約数ならば素数である」(⚪)
裏「素数でないならば、1と自身の数以外にも約数がある」(⚪)
対偶「1と自身の数以外にやくすうが」

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 00:49:13.41

>>20ごめん、途中でミスクリック。
対偶「1と自身の数以外に約数があるならば素数ではない」(⚪)
う～ん、また全部正解。これでは対偶に絞ってスレ立てした意味がない。
まあ自分が立てたスレじゃないんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 01:11:07.60

そうそう、部分と全体の関係で考えるのがベスト。
始発命題「人間ならば動物である」(⚪)
逆「動物ならば人間である」(？)
裏「人間でないならば動物ではない」(？)
対偶「動物でないならば人間ではない」(⚪)
(植物人間は比喩表現であり生物学的分類ではない。)

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 01:52:57.22

>>9
4通りしかないんだから全部試せばいいじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 02:09:21.68

一人で何度もごめんね。仮にAが部分集合、Ｂが全体集合の関係とする。
「AならばＢ」の対偶は「ＢでないならAではない」。全体集合Ｂが否定
されたなら自動的に部分集合Aも否定される。よって対偶関係は正しい。
ただ「AならばＢ」の関係は毎回部分と全体の関係とは限らないので
話がややこしく見えてしまう。AとＢが部分と全体の関係「でも」
対応し得る関係が対偶関係と考えたら分かりやすいのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 03:27:54.32

>>4
>>15

「命題Pに対して、Pをみたす集合」とは何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 06:13:33.67

>>25
サイトの「3.命題の仮定と結論」と「4. 条件と集合の関係」を理解できるまで勉強してください

3. 命題の仮定と結論
命題「p ならば q」を「p⇒q」
このとき、p を仮定、q を結論という

4. 条件と集合の関係
条件 p を満たすものの全体の集合を P、条件 q を満たすものの全体の集合を Q とします

「命題Pに対して、Pをみたす集合」ではなく、
命題はp⇒q
条件 p を満たすものの全体の集合を P
集合Qも同様に

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 09:17:04.82

>>26
> 条件 p を満たすものの全体の集合を P

とは何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 09:25:59.61

>>26
条件は命題ではないの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 11:56:11.39

>>10
>>26
> 条件pをみたすものの集合

とは何ですか？

どうしてお答えいただけないのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 14:16:50.63

「素数ならば奇数である」だったら素数を全て集めた集合P={2,3,5,7,11,13…}と奇数を全て集めた集合Q={1,3,5,7,9,11…}のことだし
「うんこならば臭い」だったら世界中のうんこと世界中の臭いものを全て集めたものだろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 14:27:18.93

直観主義論理では成立しない

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 14:40:50.54

>>30
素数でないものの集合は？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 15:20:05.10

>>30
条件pに対して、

> pをみたすものの集合

の定義を述べて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 16:41:52.13

始発命題「平家は人である」⚪
逆「人は平家である」？
裏「平家でないならば人ではない」？
対偶「人でないならば平家ではない」⚪
(尚ヘイケボタルは生物用語で歴史用語ではない)

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 18:20:31.52

>>34
平家にあらずんば人にあらず」が真だから
人は平家」も真では

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 18:55:29.89

>>28条件は命題ではないのか？について

>>10のサイト【1. 命題とは？　3. 命題の仮定と結論　参照】
例えば、
x=3⇒x^2=9
という命題では、「x=3」が仮定、「x^2=9」が結論となる
命題: x=3⇒x^2=9
条件p: x=3 (仮定)
条件q: x^2=9 (結論)
「 x=3⇒x^2=9」、「x=3ならばx^2=9である」の式、文は正しい
命題とは、正しいか正しくないかが明確に決まる文や式なので、「 x=3⇒x^2=9」、「x=3ならばx^2=9である」は命題といえる

では、条件p: x=3は命題といえるか？
x=3は正しいか正しくないかが明確に決まる文や式といえますか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 19:18:13.30

>>27
>>8のサイト【4. 条件と集合の関係　参照】

条件pは集合Pの要素です
集合Pは集合Qに含まれている(P⊂Q)となり、
条件p(要素)は集合Pに含まれている(p∈P)となります

条件p: x=3なので、3(要素)は集合Pに含まれている(3∈P)となります
ベン図↓
https://i.imgur.com/SX1NMEq.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 20:31:13.30

>>37

> 条件pは集合Pの要素です

全く違います

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 21:09:29.97

>>32
素数の集合の補集合でしょ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 21:31:12.74

「P ⇒ Q」という命題ではPとQは条件だよね
「Pが成立するような要素は必ずQを成立させる」
ということを「P ⇒ Q」と表すわけだから
PやQは要素によって真偽が変わる「条件」
全称記号を使って書くと∀x (P ⇒ Q)
そして全体集合Uの要素のうち
Pを成立させる要素の全部を集合A
Qを成立させる要素の全部を集合Bとしたら
命題「P ⇒ Q」が真であることは命題「A⊂B」が真であること
こんな流れじゃネ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 22:23:59.79

>>39
どの集合の補集合？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 22:26:05.71

>>40
全体集合Uとは？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 22:51:42.42

>>42
決めて

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 05:54:56.52

>>38
>>36の場合の条件pがってことですよ
例えば、
x=3⇒x^2=9
という命題では、「x=3」が仮定、「x^2=9」が結論となる
命題: x=3⇒x^2=9
条件p: x=3 (仮定)←コレ
条件q: x^2=9 (結論)

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 06:09:26.50

どれが>>1(スレ主)さんの書き込みか分からなくなってきたので、追加の質問をするのであればコテハンくらいは付けてください

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 06:38:27.76

>>44
たとえばではなく、

> pをみたすものの集合

の定義を述べて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 07:23:24.03

>>1は初学者なのか基礎論あるいは哲学的な見地で問答ふっかけてるのか
見極めるのもめんどい自己申請して

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 07:27:55.37

>>45追記
スレ主さん以外での問答を避ける為にコテハンがないものは無視させてもらいます

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 08:14:50.02

>>48
クダラン人ね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 08:16:56.97

>>47
大した意味ない質問なんだから>>1
答えたければ答える
つまらんと思えば答えない
でよいよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 08:19:16.98

もしかして、スレ主の成りすましやスレの乗っ取りの類いですか？

スレ主(>>1)さんへ
>>15の証明は、スレタイの『なぜ、対偶と元の命題の真偽が一致するのですか？』の証明になります
この証明で疑問は解消されましたか？
もし、疑問の解消、問題の解決に至らないのであればその理由を教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 10:21:01.29

「ぼくはしなない」

ぼくはしぬかもしれない
でもぼくはしねない
いやしなないんだ
ぼくだけは　ぜったいにしなない
なぜならば　ぼくは　じぶんじしんだから

始発命題「僕は死なない」
逆「死なないなら僕」
裏「僕じゃないなら死ぬ」
対偶「死ぬなら僕じゃない」

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 10:25:56.11

>>15
> Aをみたす要素の集合P

とは何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 12:02:17.21

さんざんクリティカルな点を指摘されているのに無視するのはなぜだろうか？

定義は？と聞かれたら、それが依存している対象から、
「こういう手続きで定まる」または「こういう事実からそのようなものが存在する」
と言えばいいだろうに

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 12:21:50.87

>>52自己補足。1975年7月17日夕刻、近所の団地で
投身自殺した岡真史君の死後出版の詩集より。12歳9ヶ月中１。
たぶん数学的な逆・裏・対偶の知識は無かったろうけど、
「死ぬなら僕じゃない」という考えは浮かんだと思う。
事象A、事象Ｂ、A否定、Ｂ否定の組み合わせは限られてるし。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 14:14:19.26

命題p⇒qとその対偶の真偽が等しいことは、
p, qの真偽で場合分けすれば直ちに示せるのに、
なぜ「pをみたすものの集合」などを持ち出すのだろう？

1) 「pをみたすものの集合」の定義は何か？
2) それは一意に定まるものなのか？
3) もし一意に定まらないなら、結論がその取り方によらないことはどう示すのか？
4) p⇒qの真偽と、「pをみたすものの集合」と「qをみたすものの集合」の包含の間の関係は？
5) その証明は？
6) そもそもそんな「集合」は存在するのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 14:17:05.90

p: Xは距離空間
q: Xはハウスドルフ空間

のとき、「pをみたすものの集合」とは何だろう？

集合Xを固定して、その上の位相の入れ方を全体集合として考えているのか？
任意の位相空間の中から、距離空間の全体を考えているのか？（もちろん、それは集合にならない）

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 14:20:50.39

Kを体。
p: LはKの拡大体
q: LはK上のベクトル空間

のとき、「pをみたすものの集合」とは何だろう？

集合Lを固定して、その上の演算の入れ方のうちKの拡大体になるものを考えているのか？
任意の体の中から、Kの拡大体になっているもの全体を考えているのか？（もちろん、それは集合ではない）

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 14:29:53.81

p: Xは完備距離空間である
q: Xはベール空間である

この場合の「pをみたすものの集合」とは何か？

（略）

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 15:03:19.36

部分集合Aと全体集合Ｂを矛盾なく両立させる命題について考察。
偶数ならば整数⚪
奇数ならば整数⚪
整数ならば偶数？
整数ならば奇数？
よって部分集合Aと全体集合Ｂによって矛盾のない命題を
作るには必ず「AならばＢ」の順序となる。
この場合逆は「ＢならばA」、裏は「AでなければＢでない」、
対偶は「ＢでなければAでない」の語順となる。
よって対偶の語順の場合、まず全体集合Ｂが検討対象から除外
されるため、Ｂの部分集合Aも除外される。よって対偶は正しい。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 16:36:32.48

モチロンだから
P⇒Q を表したお絵描きだ。モチロン
Q以外⇒P以外になるのは、このお絵描きから
モチロン、自明であるのであるのぢゃ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 17:19:39.83

>>53
Aを満たす要素の集合をP
P={A}

ちなみに、
条件 p を満たすものの全体の集合を P
P={条件p} または P={p}
仮定「x=3」を満たす集合を P とすると、P は x=3となる
P={x|x=3} または P={3}
x=3は集合Pの要素
3∈P

集合Qも同様に
Q={B}
Q={条件q} または Q={q}
Q={x|x^2=9} または Q={-3,3}
-3∈Q、3∈Q

※集合に含まれる「もの」を要素と呼ぶ。集合は、要素を { } で囲むことで表せる
集合={もの} または集合={要素}

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 17:39:58.63

真偽が等しいことを知りたいんだろ
PとQの真偽で4通りに場合分けして計算するだけなのに、集合がどうとか言ってるのなんなんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 18:10:23.97

>>62
条件p は 3 ではない

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 18:56:02.12

>>62
3とは？

1, 2, 3の3と、一、二、三の三は同じもの？
Neumannの構成の{∅, {∅}, {∅, {∅}}}と、Zermeloの構成の{{{∅}}}は同じもの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 19:00:39.67

>>63
単に真偽が等しいことを知りたいのではなく、スレ主さんがどう証明するか知りたいから(>>1)
また、真偽を場合分けした説明も例題を使った計算もベン図の説明でも理解されてないからですね
試しに納得させるような説明をしてみては？

>>64
それだけではなんのことなのか分かりません
きちんと相手に伝わるよう説明を添えて書き込みしてください

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 19:01:57.90

>>66
{p}≠{3}

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 19:08:34.19

>>66
同値であることを証明したいんじゃなくて
真偽が等しいことを証明したいんだろ、場合分けするしかねーじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 19:18:18.73

>>68
その証明を誰も書き込んでないことが原因ということなら、貴方が証明すれば質問の解決に繋がるのではないでしょうか

そもそも、何故誰も証明を書き込まないのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 19:19:53.93

>>62の引用元と追記
【理系ラボ　命題とは？　逆裏対偶　数学?[論理]　2022.02.17】
https://rikeilabo.co.../proposition-formula
3. 命題の仮定と結論
命題「p ならば q」を「p⇒q」とも書きます。
このとき、p を仮定、q を結論といいます。

例えば、
x=3⇒x2=9
という命題では、「x=3」が仮定、「x2=9」が結論となります。

↑レスの流れでこのサイトの例文に出てくる命題を使用しています

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 19:31:04.01

>>69
計算するだけだろ
Pが真でQが真のときは
P→Q=真→真=真
￢Q→￢P=偽→偽=真
で、真偽は一致する。表を見ながらこれをあと3通りやるだけじゃん。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 19:41:24.32

>>51
>スレ主
という言い回しは要らない
無駄

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 20:53:35.20

>>47
ある疑問を、基礎論的あるいは哲学的あるいはポエムだとして退けるのは勝手だが、少なくともそれは正しい証明ができてからでないと、恥ずかしいことだ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 21:10:46.84

p, q の真偽のパターンは4通りあるが、その4通りすべてで、p => q と￢q => ￢p の真偽が一致することを見ればよい。

p => q の真偽は

p\q | T | F
T | T | F
F | T | T

￢q ⇒ ￢p の真偽は

p\q | T | F
T | T | F
F | T | T

よって、 p => q と￢q => ￢p の真偽は等しい。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 21:21:50.21

>>74
大正解
ちゃんと書き下せてえらい

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 21:59:18.83

「AならばＢ」は成り立つが「notＢならばnotA」が成り立たない場合。
「一組の辺が平行な四角形が台形ならば、平行四辺形は台形である」。
上記命題の前半をA、後半をＢとするなら、対偶関係は以下の文となる。
対偶「平行四辺形が台形でないなら、一組の辺が平行な四角形は台形ではない」
対偶形式の命題は台形の定義を否定する内容となっているので間違い。
よって元の命題が正しいにも関わらず対偶命題に間違いが発生している。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:12:24.78

>>74←こんなたった4文の証明があるのに、わざわざ「pをみたすものの集合」とか持ち出す奴ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:20:59.44

>>73
下らない疑問に答える必要は無いのよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:23:04.58

>>77
その真理値表は納得しない人もいるみたいよ
真理値表での証明は低レベル

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:24:48.17

>>76
それnotA,notBになってないし

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:27:30.83

負け惜しみかっこわるい

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:38:54.41

>>81
煽り下手ね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:47:30.28

ところで「台形は一組の辺が平行な四角形」は合ってますよね？
じゃあ必然的に平行四辺形も台形の一種になりますよね？
「一組の辺のみが平行な四角形」かと思い本屋でいろいろ
立ち読みしたけど、そんな表現じゃなかった。あくまで
一組の辺が平行な四角形が台形。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:54:56.13

>>76
>「一組の辺が平行な四角形が台形ならば、平行四辺形は台形である」
一組の辺が平行な四角形」の集合A
台形」の集合B
平行四辺形」の集合C
「A⊂B ⇒ C⊂B」の対偶は「￢(C⊂B) ⇒ ￢(A⊂B)」
一般に「X⊂Y」とは「X\Y=φ」が定義（同値）
つまり「￢(X⊂Y)」とは「X\Y≠φ」ちうこと
対偶は
「平行四辺形の中に台形で無いものが存在するなら一組の辺が平行な四角形の中に台形で無いものが存在する」
君が書いたのは
「C∩B=φ ⇒ A∩B=φ」
でもちろん対偶ではないが真ではあるから安心してイイよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/08(水) 23:59:18.66

この辺の論理展開を形式的に考えたいなら
真理値表のような低レベルなものより
シーケント計算で考えたら？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 00:13:37.88

>>84解説どうも。76は対偶になってなかったようですね。お手数をお掛けしました。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 00:32:00.45

>>85
真偽を問題にしてるのにシーケント計算？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 04:27:58.50

対偶については確かに真理値表で一発だが
真理値表を書く前に、Aが偽ならばA⇒Bは真であることを理解しておく必要があるぞ
対偶を理解できない最大の理由はここにあるからな

というわけでAが偽ならばA⇒Bとなることを示しておこう
これを示すには背理法と対偶を使えば簡単だ
『Aが偽ならばA⇒Bは偽』と仮定する
すると対偶命題『A⇒Bが真ならばAは真』が成り立つ
ここで『1=2ならば2=3』という命題を考えてみよう
1=2を前提にすれば両辺に1を足すことで2=3の導出が可能なので、この命題は真である
すると『A⇒BならばAは真』より1=2も真となるが明らかにこれは矛盾
したがって仮定が間違っていたことになり、背理法から、Aが偽ならばA⇒Bは真であることが言える

というわけで、対偶を使って見事に証明できたな
これで晴れて真理値表を書けるようになり、対偶と元の命題の真偽が一致することは容易に示せる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 05:21:28.19

>>88
アホ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 06:10:54.83

真の定義はシーケント計算でするのですよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 06:29:07.63

>>57
クラスで考えるんじゃネ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 06:29:26.85

>>58
これもクラスで

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 06:29:43.81

>>59
これもクラスで

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 06:37:18.21

>>91-93
（独立にとってきた2つの）類の包含関係とは？

Dedekind切断で構成した実数体と、Cauchy列で構成した実数体は同じものなの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 06:53:13.33

>>94
構造を忘れてSetで考えるでしょ
実数に関しては
どちらで定義しても
我々のよく知る実数
ノイマンの自然数も
ツェルメロの自然数も
我々のよく知る自然数

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:00:26.76

>>88
真偽値表以外で命題の真偽が確認できるわけないだろ
真であることの定義書いてみろよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:38:20.64

>>88のレスは対偶の証明してないのにその前段階の証明で対偶使っちゃうっていうネタね
下手で全く伝わらんかったけど…

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:48:06.72

>>95
それを「pをみたすものの類」からどうやって判別するねん？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:49:58.24

>>96
素朴な人ね
数理論理学ではシーケント計算で導出できるものが真だよ
否定が導出できたら偽

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:50:06.57

>>97
意味不明の主張だったから最初の段落しか読んでないぞ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:51:14.35

>>98
個別に言ってね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:52:16.34

>>99
どこの教科書にそんな出鱈目が書いてあったの？
真偽ってのは|=のほうだぞ、シーケント計算は|-だろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:56:16.68

「なぜ、対偶と元の命題の真偽はするのですか？どう証明するのですか？」について

・元の命題が単純命題の場合
>>15は集合を使った証明

・元の命題が複合命題の場合
>>74(>>71)は真理表、真理値表を用いた証明

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:57:51.75

>>56に

7) 仮に「pをみたすものの集合」「qをみたすものの集合」が定義できたとして、その間の包含関係をどう定義するのか？

も追加で。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 07:58:37.90

>>103
単純命題って何？集合はどっからでてきたん？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 08:08:20.64

>>102
シーケント計算が先でそこから真理値表が導出されるんだよ
だから何らかの真偽を確認するならシーケント計算をすべきてこと

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 08:09:27.68

>>103訂正:単純命題→基本命題
単純な命題だから単純命題と安易に考えてました

基本命題(命題変数) 真または偽のいずれかとなる文を命題(statement)という. これ以上分解できない命題を基本命題

>>103
証明する為に集合を使用しているだけで、他の方法があればそちらを用いればいいだけです

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 08:12:08.97

だいたい真理値表で「証明」てのが烏滸がましい

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 08:19:27.67

>>106
じぁ君はその方法でやってみて完成してら見せてね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 08:28:30.79

P ⇒ Qから￢Q ⇒ ￢Pが導出されるのはシーケント計算ですぐ
￢Q ⇒ ￢PからP ⇒ QはNJでは無理（背理法）
つまり真理値表は役に立たないわ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 08:52:14.78

>>103
>>15は証明になっていない

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 17:10:54.04

>>110
1は真偽値の話をしてるんたぞ、直観主義の話なわけねーだろ
シーケント計算で真偽を定めてる教科書さっさっと出してみろよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/09(木) 17:19:35.63

>>110
で元の問題はP→Qと￢Q→￢Pの各々の真偽が一致するって話で、お前が言ってるのはシーケント計算で証明できたら真だよな。
ということは、P→Qと￢Q→￢Pを各々証明しないと真偽が確定しないのだが、P→Qは証明できたの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 02:25:00.30

>>110
P→Qも￢Q→￢Pも証明できないのになんで真偽値が等しいなんていえるの？証明できることが真の定義なんでしょ。早く答えてよ！

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 03:27:55.64

議論することの大切さとは？

議論をすることによって、相手と自分の意見の違いを確認することができる
さらに、相手の意見のよいところを取り入れることによって、自分の考えを深めることができる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 03:31:00.70

ブレインストーミングの4つルール
1. アイデアに対して批判・否定をしない
2. 変わったアイデアを歓迎する
3. 質より量を重要視する
4. アイデアをまとめる

ブレインストーミングとは？
『ブレインストーミング（ブレスト）』とは、集団でアイデアを出し合うことで互いに刺激しあい、その場で創造的な発想を生むことを目的とした会議(議論)手法の1つ
もともとは集団発想法と言われており、複数の人数で行うことを想定されていますが、近年では１人でアイデア出しを行う行為もブレインストーミングと呼ばれる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 03:40:15.11

以上のことから、
書き込みの意見(証明)に対して批判・否定ばかりせずに、
変わったアイデア(証明)を歓迎しながら、
それぞれの意見や証明を出し合い(※質より量を重要視)、
最終的にアイデア(意見や証明など)をまとめられれば、
「なぜ、対偶と元の命題の真偽は一致するのですか？」を議論内容とした問題の解決に繋がるのではないでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 06:34:49.41

>>114
同値性なんだから
証明するのは(P⇒Q)⇒(￢Q⇒￢P)とその逆（こちらはNJでは証明できない）
P,Qの論理式の真偽値表（当然NKのな）は
P∧Q,P∧￢Q,￢P∧Q,￢P∧￢Qから
それかその否定かどちらが照明できるかで決める

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 11:33:15.68

馬鹿ばっか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:15:31.69

>>118
同値が証明できるとなにが解決するの？問題になってるのは真偽が同じになることなんですけど？
P∧Qも￢(P∧Q)もどちらも証明不可能なのに何言ってるのかね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:26:52.32

>>120
君は何が真偽値を決めるのかを理解できないらしいね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:28:26.02

>>120
>同値が証明できるとなにが解決するの
同値性が証明できれば
シーケント計算に付随する真偽値が一致することが分かるってことも分からないのか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:34:14.16

NKではP⇒Qと￢Q⇒￢Pの「真偽値」は一致する
NKで同値性が証明できるからね
しかしNJでは証明できず実際「真偽値」は一致しない
ただしこちらの真偽値はNJでの証明可能性に関して
論理式に順序を入れたHeyting代数によるものだが

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:37:46.70

【高校数学マスター】
・集合と命題
HOME > 数学Ⅰ > 数と式 > 集合と命題 > 対偶の証明について
https://www.hmathmaster.com/math1/%E5%AF%BE%E5%81%B6%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6/

・対偶の証明について
【目次】
１．集合の包含関係を用いた証明
１－１．命題の推論関係と集合の包含関係が一致
１－２．補集合と包含関係の逆転
２．集合の包含関係を用いない証明
２－１．その他の証明方法
２－１－１．真理値を使った証明
２－１－２．ベン図を用いない証明

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:40:21.32

>>124の対偶の証明についての簡易説明
・集合の包含関係(ベン図)を利用した証明
命題の推論関係と集合の包含関係が一致のベン図と補集合と包含関係の逆転のベン図を利用した証明
集合の包含関係を利用した証明は、命題が少なくとも一つの変数を含んで、その変数が取りえる対象の範囲を集合で定義できなければならないという制約を生じる

・集合の包含関係を用いない証明
「p⇒qが成り立つとき、その対偶¬q⇒¬pが成り立たないとする」矛盾と背理法を使った証明

・真理値を使った証明
各命題の真偽を場合分けし、すべての場合において真偽が一致すれば同値になる

・ベン図を用いない証明
￢Q⊂￢P ⇔ P⊂Qの説明にベン図を用いないで、集合P、集合Qに対して、全体集合Uの要素(4つ)を導き出す
一方で、集合の包含関係は、P⊂Q、P=Q、P⊃Qのみなので、
それぞれの包含関係(3つ)とそれぞれの全体集合Uの要素(4つ)の場合について求める
つまり、集合Pと集合Qの包含関係は、全体集合Uの要素が4つのいずれかに存在しうるかで定まる
￢Q⊂￢Pについて、￢QをPに代入し、￢PをQに代入
代入した結果、P⊂Qの場合と同じになる
したがって、P⊂Qと同値になる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:46:41.86

ん？レス数の表示は120以上あるのに28番目までしか読めない。自分だけ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 17:51:29.14

>>122
一致するわけないだろ！
君の定義では証明するか否定を証明しない限り真偽値は分からないのに、P→Qも￢(P→Q)も証明不可能な命題ではないか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 18:34:38.16

>>122
君が主張してるのは
|- X ↔ Y
のとき
(|- X) ⇔ (|- Y)
が言えるっていう無茶苦茶な話だろ
これが正しいっていうのなら証明すべき
まあ成り立つ訳が無いから無理だけど

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/10(金) 23:07:40.12

>>127
君は真偽値についてまるで理解してないね
どのように真偽値を定義するかを学んでな
PやQの真偽値が決まる時
P⇒Qの真偽値が決まるんだけど？
P⇒Qが証明できるとか
何アホなこと書いてるんだｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:03:01.51

>>129
99がそういうアホな主張をしてるんだよ。こっちじゃなくてあっちに言ってくれ

99 １３２人目の素数さん 2023/11/09(木) 07:49:58.24 ID:+KxEy61/
>>96
素朴な人ね
数理論理学ではシーケント計算で導出できるものが真だよ
否定が導出できたら偽

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:03:30.64

>>128
>|- X ↔ Y
>のとき
>(|- X) ⇔ (|- Y)
>が言えるっていう無茶苦茶な話だろ
は？何が無茶苦茶なんだろ？
X⇒Yが証明されるとは
XからYが証明されるってこと
これとXが証明されることから
カットによってYが証明されるんだが？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:05:02.02

>>130
それ俺
君がまるで真偽値について理解してないのは分かった

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:10:15.43

>>132
シーケント計算で導出できるかどうかで真偽値を決めるってのはもうやめたのかよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:15:37.68

>>131
証明書く気はあるんだな？
(|- X) ⇔ (|- Y)
が成り立つから、X↔Yがシーケント計算で証明できるときXとYの真偽値は等しいって主張でいいのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:25:04.21

これを同じ奴が言ってるんだぜ
いい加減にして欲しいわ

99 １３２人目の素数さん 2023/11/09(木) 07:49:58.24 ID:+KxEy61/
>>96
素朴な人ね
数理論理学ではシーケント計算で導出できるものが真だよ
否定が導出できたら偽

129 １３２人目の素数さん 2023/11/10(金) 23:07:40.12 ID:Duk+CIiM
>>127
君は真偽値についてまるで理解してないね
どのように真偽値を定義するかを学んでな
PやQの真偽値が決まる時
P⇒Qの真偽値が決まるんだけど？
P⇒Qが証明できるとか
何アホなこと書いてるんだｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 00:57:37.92

あのね
P⇒Qの真偽値が定まるのはP,Qの真偽値が定まる場合
そして
P,Qの真偽値が定まるのはP,Qがシーケント計算で導出できる場合だとまるで理解してないね
>>135
>P⇒Qが証明できるとか
ここはね
君は「何の前提もなく」P⇒Qが導出できる筈がないと
当たり前のことを言っているからそれを指摘したんだよ
わかる？
たぶんまるで分かってないな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:04:12.94

>>136
結局何も変わってないじゃん
PとQは絶対に何があってもシーケント計算からは導出できないだろ。P→Qが導出できないのと同じ理由なんだから、考えれば分かることだろ
いい加減にしろよ
PとQがシーケント計算で導出できる場合？何いってんの？できるって言うならやってみろよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:07:06.49

>>133
あのね
真偽値ってのはね証明できるかどうかで定義するのよ
古典論理では
証明できる論理式全体を真
否定が証明できる論理式全体を偽
これだけ
P,Qが真または偽である場合にのみP⇒Qの真偽値が定まるわけ
それを真偽値表と呼んでるだけ
真偽値表のくだらなさが分かるかな
分かんないんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:10:27.80

>>138
チャイティンのオメガに全部載ってる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:11:17.63

>>134
>証明書く気はあるんだな？
つかおまえ
Xが証明されて
XからYが証明される場合に
Yが証明されるのも理解してなかったんだろ？
カット則ち三段論法も知らないのはスゴイな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:14:26.47

>>138
古典論理だろうがなんだろうがPやQは証明できないだろ
頭使えよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:25:46.06

>>141
まだ言ってるｗ
「何の前提も無しに」PやQが証明できるわけ無いのは
当たり前
アホなことしか書かずに
ちゃんと真偽値の定義について勉強してな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:30:46.42

>>142
証明できないんだから、お前の定義では真でも偽でもないだろ

>P,Qが真または偽である場合にのみP⇒Qの真偽値が定まるわけ

これの前提が成り立つ場合がないって言ってんだよ
馬鹿なのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:39:35.94

>>143
はぁ
「PやQに真偽値が定まる時」というのが「PやQが証明される時」という意味が分からない？
救いようがないな
ていうかちゃんとシーケント計算とそこから定まる真偽値について勉強してくれよ
ホンマ泣けてくるわ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:48:33.94

>>143
>証明できないんだから、お前の定義では真でも偽でもないだろ
これも当たり前のことだと指摘しておこう
ホンマ
勉強しぃヤ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 01:51:23.15

>>144
なんでこんな丁寧に書いてるのにわからないんだ？
意味がわからない。
証明できるかどうかで真偽値を定めるなんてバカなこと言ってるアホだからわからないのか…

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:00:02.21

>>145
真でも偽でもないんだから前提が成り立つ場合が存在ないだろ
もうひとつ、真偽値の定義が2通りあるのもどうにかしろよ

1つ目の定義
>古典論理では
>証明できる論理式全体を真
>否定が証明できる論理式全体を偽

2つ目の定義
>P,Qが真または偽である場合にのみP⇒Qの真>偽値が定まるわけ

P→Pとかどっちを使うつもりなんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:02:51.39

>>146
>証明できるかどうかで真偽値を定める
証明できるか否定が証明できるかな
まいいから勉強してな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:09:15.16

>>148
たいして変わらん
どうせほとんど全ての論理式が真でも偽でもないんだから

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:11:02.13

>>147
P⇒Qの真偽値表を定義する場合な
P⇒Pの真偽値表を作る場合はもちろんPに真偽が定まるすなわち証明されることが前提
それによりP⇒Pの真偽値表が
P=T P⇒P=T
P=F P⇒P=T
と定義される

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:12:21.81

>>149
当たり前だｗ
真偽が定まるとは証明されることが必要

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:15:08.24

>>150
だからPは証明できないんだから、前提が満たされることは決してないって何度も言ってるだろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:18:09.95

>>152
Pが真もしくは偽の場合と何度も言っているだろw
とにかく
真偽の定義を勉強しろよ
素朴すぎるのはいかんよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:20:10.34

>>153
￢Pも証明できないんだかろ偽でもないだろ
いい加減にしてくれよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:23:52.35

Pが証明できない理由も、￢Pが証明できない理由もほとんど同じなんだから頭使えよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:25:06.86

>>154
あのね「何の前提もなく」Pも￢Pも証明できるわけ無いのは当たり前だと何度も言ってるんだが？
P⇒Qの真理値表はPやQに真偽値が定まる場合に作られるのよ
つまりシーケント計算で導出できる場合にね
いいから
真偽値の定義について勉強してくれよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:27:45.44

ほんと勉強する気のないヤツだな

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:32:32.90

>>156
じゃあその必要な前提を君の定義に明記してみろよ
Pが証明できる前提なんてP自身かP∧Qとかしかないけどどうするつもりなんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 02:45:15.91

>>150
Pは絶対に証明できない

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 04:08:07.11

ちなみに今回の「フェルマーの料理」で「対偶」という
言葉が出て来ました。(以下要約)
(店主)どうやって揚げる事を思いついた？
(新人)対偶です
(主人)対偶？
(新人)高温調理が無理なのは素材を損なうから。
じゃあ素材を損なわないなら高温調理も可能なんです。
そこで焼くんじゃなく揚げようと
(同僚)全然分かんねえ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 04:16:39.42

だいたい標準的なやり方を無視して証明で真偽を定めるからぶっこわれるんだよ
命題を分解していったら、証明できない部品に分かれるに決まってるんだから、部分構造の証明可能性で全体の真偽を与えるなんて端から無理に決まってる
しかも、そんな真偽の決め方をしたら健全性とか完全性なんて無意味になるじゃん

**通りすがりです** · 2023/11/11(土) 06:13:40.68

そもそも、Pは証明するものではない
(※Pは証明できる場合もある)

命題:兎ならば爬虫類である
兎は真(T)、爬虫類は真(T)
命題は正しくない(偽)
真理値表
兎　爬虫類　命題(兎⇒爬虫類)
T　　T　　　　F

Pに該当する兎もQに該当する爬虫類も証明するものではなく、真偽が判定(判断)できるものである

・確認用
命題:兎がかわいいならば爬虫類である
兎がかわいいは真偽判定できない(×)、爬虫類は真(T)
命題ではない(×)
真理値表(※比較用)
兎　爬虫類　命題(兎⇒爬虫類)
×　　T　　　　×

Pに該当する兎がかわいいは真偽判定できなく、また証明するものではない

上のレスのやり取りにすれ違い、勘違いがあるような気がします。なので、互いの主張が間違っていないことを前提に考察してみました
その結果、>>159の主張するように証明できないが、
上記より、そもそも証明するものではないといえます

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 08:41:00.61

ジャップのレスバ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 09:40:36.42

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**１３２人目の素数さん** · 2023/11/11(土) 10:32:49.40

>>164
さっそく始めてみるね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/12(日) 06:10:55.20

逃げたか

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/12(日) 06:22:29.30

彼の言ってたのは
料理の出来は次のルールで定めます。
うんこ味だった場合はカレーの出来は悪いと定めます。
これで全てのカレーについて出来を定めることができました。
みたいな話だからな

こっちがほとんどのカレーはうんこ味じゃないだろって言っても、返ってくるのが「カレーがうんこ味じゃないのは当然だ」とか「カレーがうんこ味になるには条件が必要」なんだぞ意味がわかんねーよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 19:27:10.90

もしかして、
「人間は哺乳類である」
「AならばBである」
「p⇒q」
「P⇒Q」
全体集合U
何故、A,Bやp,qやP,QやUが使われているのか分からないってことですか？

>>5~>>53
P, Qの集合とは？(>5)
条件 p を満たすものの全体の集合とはなんですか？(>11,>27,>29,>46)
「Aをみたす集合」とは何ですか？(>18,>53)
「命題Pに対して、Pをみたす集合」とは何ですか？(>25)
条件pに対して、pをみたすものの集合の定義を述べて下さい(>33)
全体集合Uとは？(>42)

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 20:03:14.07

>>164
これなら楽しんでポイントを稼げそう

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 21:36:29.47

>>168
下らんね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 21:40:57.65

条件とは何らかの変数xについて
成立するxの値が決まるものだろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/13(月) 22:29:44.36

集合wとか変数xとか条件が揃えばPが証明できるwとか言ってるのみると、PとかQをどこかで定義された名前だと思ってるフシがあるよね

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/14(火) 19:11:41.17

>>156
まだ修正できないの？
今のままじゃ、決して証明できないものが証明できる場合にしか真偽値が定義されないってことになってるんだぞ
はやくしろよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/20(水) 10:30:09.33

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最後まで御精読いただきありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/17(日) 16:11:19.01

ただし二値論理に限る