高校数学の質問スレ Part422
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part420
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1658820329/
高校数学の質問スレ Part421
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1662638587/ （ａ，ｂ）。
ｆ（ａ＋ｂ）－ｆ（ａ－ｂ）＝ｆ（－ａ）ｇ（ｂ）。
（ｘ／２，ｘ／２）＋（０，ｘ）－（－ｘ／２，ｘ／２）－ｇ（ｘ／２）（０，ｘ／２）。
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）（２－ｇ（ｘ／２）＾２＋ｇ（ｘ））／２。 >>880
a=x+h, b=h として
f(x+2h)-f(x)=2f(-x-h)sin(h)
h≠0として両辺2hで割ってh→0の極限とれば 右辺はf(-x)に収束するおで導関数が存在 f(x)=x^3+ix^2+ax+1
とする。ただしaは実数の定数、iは虚数単位である。
（1）方程式f(x)=0が持つ実数解の個数を求めよ。
（2）方程式f(x)=0が持つ純虚数解の個数を求めよ。 x^3+ix^2+ax+1=0
ix^2+(x^3+ax+1)=0...(*)
xが実数のとき、x=0が必要
しかしそのとき(*)は成り立たない
よって（1）は0個
xが純虚数x=it(tは実数)のとき、
(-i)*t^3-it^2+iat+1=0
i(-t^3-t^2+at)+1=0
左辺の実部は1,右辺の実部は0よりこの等式を成り立たせるtはない
よって（2）は0個 >>904
それは白髪まじりのおっさんが すでに素晴らしい回答をして本を出している 係数および定数項が複素数の3次関数f(x)で以下の性質をすべて持つものは存在するか。
・任意の実数tに対してf(t)は実数でないか0である
・実数でない任意の複素数αに対してf(α)は実数である 積分の仕組みはコレだ！
・輪っかの長さ を 積分すれば ピザの面積が得られる！
・ピザの面積 を積分すれば トグロうんこの (円錐の) 体積が得られる！！
↑ これで君も積分マイスター銀バッジ だ！ tana=1/5 tanb=1/239 のとき
tan(2a)=2/5/(1-1/25)=10/(25-1)=5/12
tan(4a)=10/12/(1-25/144)=120/(144-25)=120/119
tan(4a-b)=(tan(4a)-tanb)/(1+tan(4a)tanb)
=(120/119-1/239)/(1+120/119/239)=(120*239-119)/(119*239+120)=1
4a-b=π/4だから4arctan(1/5)-arctan(1/239)=π/4
arctanx=∫[0,x]dt/(1+t^2)
xが正のとき右辺の分母のtをxに置き換えると減少し0に置き換えると増加するから
x/(1+x^2)<arctanx<x
1/5/(1+1/5^2)=5/26<arctan(1/5) arc(1/239)<1/239
π/4>4*5/26-1/239=10/13-1/239=2377/3107 π>9508/3107>3.06 a,b,cは実数とする。
x^3+ax^2+bx+c=0
が相異なる3つの解を持つとする。
（1）解の1つは実数であることを示せ。
（2）3つの解が複素数平面上の原点を中心とする同一円周上にあるとき、a,b,cが満たす必要十分条件を求めよ。 実数a,b,cは
0<a≦b≦cかつa^2+b^2>c^2をみたす。
p,q,rを
p=a^2+b^2-c^2
q=b^2+c^2-a^2
r=c^2+a^2-b^2
とおくとき、以下の問いに答えよ。
（1）p,q,rは正であることを示せ。
（2）p+r>qとなるための、a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。
（3）p,q,rをそれぞれ3辺の長さとする△PQRが存在するとき、その面積をa,b,cで表せ。 5つの辺の長さが1で、残り1つの辺の長さがaである四面体が存在するための実数aの条件を述べ、その体積を求めよ。 >>898
脳内医者のアンタには誰が医者になろうが関係ないだろマヌケ
せいぜい便所の落書きで発狂してろや >>907
塾講師や家庭教師の人は
このネタを使っていいぞ ( '‘ω‘)b aを正の実数の定数、b,cを実数の定数とする。
-1≦ax^2+bx+c≦1を満たす実数xが存在するための、a,b,cの満たすべき必要十分条件を求めよ。 >>907
循環論法を避けるために三角関数の極限を使わずに円の面積を求める方法の一つだと思うんだけど
円周を半径で積分すれば面積得られるよね >>915
一般化するには円周から円盤でなく円盤から円周に微分でと考えた方が良いよ
その上で
線分から円盤
円盤から球体
球体から…
と次元上げていくのが良い
円周から球面は面倒 以下のように商品Bがクーポンで0円だったと仮定した場合の返金額の計算をしてみたのですが、AとBに対するクーポン適用額が固定されている場合、返金額の補填で購入者の損失を埋めることはできませんよね？
ストア側がクーポン1200円をそれぞれの商品に自動適用
商品A 金額2268円 クーポン813円適用して1455円
商品B 金額1074円 クーポン387円適用して687円
総額3342円のところ1200円のクーポンが適用され、購入者は2142円を支払う
購入者の手元に届いた商品Aが破損していたため返金手続きを行う
返金額は1455円になる
もしもBに対してクーポンが全額適用されていたら
商品A 金額2268円 クーポン126円適用すると2142円
商品B 金額1074円 クーポン1074円適用すると0円
この場合、Aの返金額は2142円となるため、1455円返金では購入者に687円の損失が生まれる
なのでAの返金額1455円に加えて687円を請求して2142円とする
しかしBは購入されるわけだから、A（1455+687）+B（687）＝総額2829円になり、ストア側に687円の損失が生まれてしまう 
>>914
aが正なのでy=ax^2+bx+cのグラフは下に凸
の放物線．だから、a>0の下で
「-1≦ax^2+bx+c≦1を満たす実数xが存在する」
⇔「ax^2+bx+c=1を満たす実数xが存在する」
⇔「ax^2+bx+(c-1)=0の判別式が0以上」
⇔ b^2-4a(c-1)≧0
⇔ b^2≧4a(c-1)
って感じだと思う．（心配なら最終的な答えに"a>0"って書いたら親切かな？）
間違えたりしてたら申し訳ないのと，
5ch初レスだからなんか色々不安
>>911
イメージとしては「◀▶みたいに正三角形2つを一辺を共有するようにとる．正三角形Aと正三角形Bの角度（二面角？）を変えたとき，正三角形でそれぞれ唯一共有していない点同士を結んだ辺の長さがa．それの取り得る値の範囲を求める．」
って感じになるかな．
《解答》
5つの辺の長さは1であることから，四面体が出来るときは正三角形の面が2つできる．それを正三角形ABCと正三角形BCDとおく．（共有する辺はBC）
ADの長さがaに当たるから，このaの取り得る範囲を求めればよい．
BCの中点をMとする．∠AMDは0°より大きく180°より小さい角度をすべて取り得る．i.e. -1<cos∠AMD<1の全ての範囲を取り得る．...①
a=(AM)^2+(DM)^2-2(AM)(DM)cos∠AMD
＝(3/4) + (3/4) - 2 (3/4)× cos∠AMD
= 3/2 - 3/2 × cos∠AMD
よって，これと①より，
0<a<3が答え．
BCの中点をMとしてからは，aが0より大きく(2×MD)より小さい全ての値を取るのを自明としても怒られないんじゃないかな？ ∫{x^3+sin(x)}^2 dx
の簡単な計算方法ってないですか？
素直に部分積分すると計算量が多くて萎えます f(0)=f(1)=0
0<x<1でf"(x)<0, f(x)>0
を満たす0≦x≦1で連続な関数f(x)について
0<x_1<x_2<1で x_2-x_1=f(x_1)=f(x_2)となるx_1, x_2がが存在することを示せ
これの解法がわかりません… >>923
中間値の定理やろ
上に狭義凸だからある0<x₀<1で0≦x≦x₀で狭義単調増大、x₀≦x≦1で狭義単調減少だから0≦x₀≦1でのfの逆関数g(y)とx₀≦x≦1でのfの逆関数h(y)が存在する、定義域は共に0≦y≦f(x₀)、y₀=f(x₀)とする
関数φ(y) = h(y) - g(y) - yとおげばφ(y)は狭義単調減少で
φ(0)=1-0-0 = 1 > 0
φ(y₀) = x₀-x₀-y₀ < 0
だからいずれかのcでφ(c)=0
この時x₁=g(c), x₂=h(c)が求める条件満たす >>922
(sinx-xcosx)'=xsinx などなど >>909
x^3+ax^2+bx+c=0 の左辺はxを大きくすればいくらでも大きくできて
xを小さくすればいくらでも小さくできるので中間に零点があるのは明らか
三つの解をp,q,rとすし少なくとも一つある実数解をrとする
p,qも実数のとき、これらの絶対値はrのそれと同じだから、(p,q)=(r,r),(r,-r),(-r,-r)
-a=p+q+r=3r,r,-r
b=pq+qr+rp=3r^2,-r^2,-r^2
-c=pqr=r^3,-r^3,r^3
より、b^3=ca^3
p,qが虚数のとき共役だからpq=r^2
-a=p+q+r だから p+q=-a-r
b=pq+qr+rp=r^2+r(-a-r)=-ar
-c=pqr=r^3
b^3=-a^3*r^3 だからどちらにせよ b^3=ca^3
>>910
a,b,cの大小関係からq≧r≧pで、条件よりpは正だからすべて正
p+r=2a^2 だから p+r>q↔3a^2>b^2+c^2
三辺がx,y,zの三角形の面積をS、x+y+z=2L 二つの辺のなす角をtとすると
cost=(x^2+y^2-z^2)/(2xy) だから
1-(cost)^2=(1+cost)(1-coat)=((x+y)^2-z^2)(-(x-y)^2+z^2)/(2xy)^2
=(x+y+z)(x+y-z)(-x+y+z)(x-y+z)/(2xy)^2
=2L(2L-2z)(2L-2x)(2L-2y)/(2xy)^2=4L(L-x)(L-y)(L-z)/(xy)^2
4S^2=(xysint)^2=(xy)^2(1-(cost)^2)=4L(L-x)(L-y)(L-z) だから
S=√{L(L-x)(L-y)(L-z)}
△PQR=√{(a^2+b^2+c^2)(3a^2-b^2-c^2)(3b^2-a^2-c^2)(3c^2-a^2-b^2)}/4 x^3+x^2=x^2(x+1).
x^3+7x^2+14x+8=(x+1)(x+2)(x+4). (pq+pr+qr)^3-pqr(p+q+r)^3=(qr-p^2)(pr-q^2)(pq-r^2). 立方体の展開図は11種類ありますがでは面の区別までした展開図は何通りあるでしょうか
例えば１つのさいころを展開したとき展開図上の目の配置で何通りかの区別がつく展開図ができますね回転裏返しで重ならない展開図の総数は何通りでしょうか 実数a,b,cに対して
a/(1+a^2) + b/(1+a^2+b^2) + c/(1+a^2+b^2+c^2) ＜ √3 を示せ
お年玉問題なのですがこれは高校生でも解ける問題ですぅか 2c<=1+c^2<=1+a^2+b^2+c^2. 入試問題で答えを複素数αを用いて表せ、と指定されたときαの共役複素数αバーも使っていいと判断して良いですか？ nを正整数とする。
√{n+√(n)}+√{n-√(n)}
は無理数であることを示せ。 √{n+√(n)}+√{n-√(n)} を平方すると n+√(n)+n-√(n)+2√{n^2-n}
しかし n^2-2n+1<n^2-n<n^2 だからn^2-nは平方数でなく√{n^2-n}は無理数 間違えた
n=1のとき √2だから無理数
n>1のとき n^2-2n+1<n^2-n<n^2 それは整数でない事示してるだけやろ
高校数学なら「代数的整数かつ有理数なので整数」は使えない でもまぁ「平方数でない整数の平方根は無理数」はさすがに許してくれるかな？ 連立方程式
y=2x^2
(x-1)^2+(y-1)^2=1
は実数解を2つと、互いに共役な複素数解を1つずつの、計4つの相異なる解を持つことを示せ。 (x-1)²+(x²-1)-1=0
はy=x²と(x-1)²+(y-1)²=1が公差している２つの共有点をもつから重解でない異なる実数解をちょうど2個持つ
よって(x-1)²+(x²-1)-1は異なる一次の因子２つと実係数の２次の因子をひとつ持つ
二次の実係数の因子は解の公式により共役な複素数解を持つ (y-1)^2-1=(2x^2-1)^2-1=2x^2(2x^2-2)=4x^2(x+1)(x-1) だから
0=(x-1)^2+(y-1)^2-1=(x-1)^2+(2x^2-1)^2-1
=(x-1)(x-1+4x^2(x+1))=(x-1)(4x^3+4x^2+x-1)
4x^3+4x^2+x-1について
x=-1/2のとき-1でx=1のとき8だから中間に零点がある
x=-1/2のとき極大だがそれは負だから実根は-1/2と1の間に一つだから示された (y-1)^2-1=(2x^2-1)^2-1=2x^2(2x^2-2)=4x^2(x+1)(x-1) だから
0=(x-1)^2+(y-1)^2-1=(x-1)^2+(2x^2-1)^2-1
=(x-1)(x-1+4x^2(x+1))=(x-1)(4x^3+4x^2+x-1)
4x^3+4x^2+x-1について
x=-1/2のとき-1でx=1のとき8だから中間に零点がある
x=-1/2のとき極大だがそれは負だから実根は-1/2と1の間に一つだから示された 実数a,b,c,d,eに対して
a/(1+a^2) + b/(1+a^2+b^2) + c/(1+a^2+b^2+c^2)
+d/(1+a^2+b^2+c^2+d^2) + e/(1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)＜ √5 を示せ
お年玉問題なのですがこれは高校3年生でも解ける問題ですか xy平面上の単位円C:x^2+y^2=1に内接する正三角形Tがある。
Tの1つの頂点の座標が(a,b)、b=√(1-a^2)であるとき、残りの頂点の座標をaで表せ。 nを正整数の定数とする。
n*e^(x)-(n^2)*(1+x)<0
をみたす実数xが存在するかどうか調べよ。 y=sin(x)の0≦x≦πの部分の長さと、2πの大小を比較せよ。 a[1]=1,a[2]=1
a[n+2]=a[n+1]a[n]+1
で与えられる数列{a[n]}を考える。
k=1,2,...n-1に対し、a[n]をa[k]で割った余りをnとkで表せ。 I[n]=∫(x^n){e^(-x)}dx
とおく。
（1）I[0],I[1]を求めよ。
（2）I[n+1]をI[n],I[n-1],...I[0]のうち必要なものを用いて表せ。 0≦x≦y≦z
0≦xy+yz+zx≦1
のとき、
(1+x)(1+y)(1+z)
の取りうる値の範囲を求めよ。 実数xの写像f(x)、g(x)ってのがあったとして
f(x)をg(x)で微分することって必ずできる？
それともf(x)=h(g(x))とか表すことができなければ無理？ 例えば
f(x)=x^2、g(x)=x^3
とかなら
f(x)=(x^3)^(2/3)とかすれば微分できそうだけど
f(x)=exp(x),g(x)=tan(x) (-π/2<x<π/2)
みたいにぱっと見相互に表せなさそうなのって
f(x)をg(x)で微分ってできるのかなって >>958
>f(x)をg(x)で微分する
定義して df(x)/dg(x)={df(x)/dx}/{dg(x)/dx}
=exp(x)/(1/(cosx)^2)＝exp(arctan(g(x)))/(1+(g(x))^2) >>952
複素平面でe^(it))、e^(i(t+3/2*π))、e^(i(t-3/2*π)) の三つが頂点だから
a=cost、b=sint のとき残りは (a+ib)(-1±i√3)/2=-a/2-±ｂ√3/2±i(a√3/2-b/2)
だからxy平面で (-a/2-b√3/2,a√3/2-b/2),(-a/2+b√3/2,-a√3/2+b/2) ∫[0,π]√(1+(cosx)^2)dx<∫[0,π]√(1+(cos(0))^2)dx=√2π<2π >>953
n*e^(x)-(n^2)*(1+x)<0 両辺nで割って e^(x)-n*(1+x)<0
n=1のとき e^xは下に凸でその接線が1+xだから成り立たないので存在しない
n>1のとき x=0のとき1-n<0だから成り立つので存在する 速度vがある
時間t=e^sとする
vをtではなくsの関数で表せ
お願いします >>955
nを0以上、a[0]=0とし a[n]をa[k]で割った余りはa[nをkで割った余り] を示す
n<kのとき明らか n=k,k+1,k+2のときも成り立つ
n≦k+m+1のとき成り立つと仮定する
a[k+m+2]=a[k+m+1]a[k+m]+1 この右辺をa[k]で割った余りは
a[m+1をkで割った余り]a[mをkで割った余り]+1
=a[mをkで割った余り+1]+a[mをkで割った余り]+1
=a[mをkで割った余り+2]=a[k+m+2をkで割った余り] だから成り立つ I[0]=-e^(-x)
I[n]=-e^(-x)x^n+∫nx^(n-1){e^(-x)}dx=nI[n-1]-e^(-x)x^n
I[1]=I[0]-xe^-(-x)=-(x+1)e^(-x) >>970
すみません。V(t)は与えられています
V(s)の求め方がわかりません >>957
3x^2≦xy+yz+zx≦3z^2 より y,zともにxに等しくx=0のとき最小で1
x,yともにzに等しくz=1/√3のとき最大で(1+1/√3)^3 >>974
V(t)がvやcとしか与えられていないからです
時間の物差しをtからsに取り替えると
vやcをどう変形しなくてはならないでしょうか >>967は
V(log(t))=V(s)
ということですかね
例えば
V(t)=c
だった時
V(log(t))=？？？
という質問です >>975
関数概念の認識不足
vをtの関数v(t)で表すとき
vをsの関数v(s)とは表せない >>960
g(a)→g(b)のときf(a)→f(b)と変化するはずだから
lim[]{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}になるのかなって
コーシーの平均値の定理見ててこういう式イメージしたけどそもそも定義されてないものなのか >>978
関数を関数では定義されていまいな
それを定義にするなら>>961 つまりf(x)=h(g(x))みたいに表せない場合はなくて
どんな場合においてもdf(x)/dg(x)はできるのかな x=g^-1(g(x))とすればf(x)=f(g^-1(g(x)))になるから大体微分できちゃうのかな
このやり方はめちゃガバガバではあるけど >>975
>時間の物差しをtからsに取り替えると
ってことは、v(t)=dx(t)/dtに対して、u(s)=dx(e^s)/dsを求めたいってことなんじゃないの？
だったら、合成関数の微分で u(s) = (dx/dt)(dt/ds) = v(e^s) e^s だな。 6面がすべて平行四辺形である6面体は
平行6面体といえますか・ >>950
上限を考えたいので各文字は正とする 題意の左辺の各項の分母を並べると
1+a^2
1+a^2+b^2
1+a^2+b^2+c^2
1+a^2+b^2+c^2+d^2
1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2
であるがこれらを A B C D E と置く
題意の左辺はベクトル(1/A,1/B,1/C,1/D,1/E)と(a,b,c,d,e)の内積である
前者のベクトルをP,後者をQとする
両ベクトルの長さが一定の下で後者が前者の正数k倍のとき内積は最大になる
そのケースで考えたいので Aa=Bb=Cc=Dd=Ee=kとする
B/A=b/a より aB=bA a(A+b^2)=bA ab^2-Ab+aA=0
判別式=A^2-4a^2A=A^2-4(A-1)A=A(-3A+4)
ゆえに0<A<4/3 さらにA>1だから 1<A<4/3 0<a<1/√3
k=Aa=(1+a^2)a=a^3+a
│Q│^2<5a^2 │P│=│Q│*1/K
│P│*│Q│=│Q│^2*1/K<5a^2*1/(a^3+a)=5/(a+1/a)
右辺の分母 a+1/a は0<a<1で減少なので下限はa=1/√3のとき
このとき右辺は 5/(√3+1/√3)=5√3/4=√(25*3/16)<√(80/16)=√5
題意の左辺=P・Q≦│P│*│Q│<√5 １辺の長さがaである立方体V:ABCD-EFGHを考える。
正方形ABCDの対角線の中点をMとする。
Vを直線GMに垂直な平面で切ったときの切断面の面積の最大値を求めよ。
またその平面とGMの交点をPとするとき、比GP/GMを求めよ。 Cを通る切断でもしその断面が四角であればそれが面積最大
ACGEで、ACの中点MとGを通る直線をｌとする
ｌに直交しＣを通る直線とAEとの交点をXとする
CA:AX=AG:GM=1:√2/2 AX=CA/√2=a=AE
XはEであったのでCEを通る面で切れば断面は四角になる
断面はひし形で長い方の対角線はCEで長さは√3a
短い方の対角線の長さは√2aだから断面積は√(3/2)*a^2
△GCM∽△GPC だから GM:GC=GC:GP
GP/GM=GC^2/GM^2=a^2/{√(1+1/2)a}^2=2/3 >>950
a,b,c,d,eを正とし、①どれも1/2を超えるとき
A=1+a^2>1+1/4=5/4
B=1+a^2+b^2>1+2/4=6/4
C=1+a^2+b^2+c^2=1+3/4=7/4
D=1+a^2+b^2+c^2+d^2>1+4/4=8/4
1/√A+1/√B+1/√C+1/√D<2/√5+2/√6+2/√7+2/√8<3.2だから
a/A=a/(1+a^2)=1/(a+1/a)≦1/2
b/B=b/(b^2+A)=1/(b+A/b)≦1/(2√A)
c/C=c/(c^2+B)=1/(c+B/c)≦1/(2√B)
d/D=d/(d^2+C)=1/(d+C/d)≦1/(2√C)
e/E=e/(e^2+D)=1/(e+D/e)≦1/(2√D)
題意の左辺=a/A+b/B+c/C+d/D+e/E
≦1/2*{1+1/√A+1/√B+1/√C+1/√D}<1/2*(1+3.2)=2.1<√5
②少なくとも一つは1/2以下であるとき
例えばeが1/2以下であれば
e/E=e/(e^2+D)=1/(e+D/e)≦1/(1/2+2D)<1/(1/2+2*1)=2/5だから
題意の左辺=a/A+b/B+c/C+d/D+e/E
≦1/2*{1+1/√A+1/√B+1/√C+2/5}<1/2*{1+1+1+1+2/5}
=1/2*4.4=2.2<√5 他の文字でも同様 レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
