大学学部レベル質問スレ 18単位目
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tan(π/4+i)の値を求めようとしても(1+isinh2)/cosh2にならない
何回やっても1+isinh2になるんだけど1/cosh2はどこから出てきたんだ…… >>477
分母を(cosh1)^2-(sinh1)^2にしてるんじゃないの
マイナスじゃなくてプラスだぞ
マイナスにすると1になって分母がなくなる tan(π/4+i)
=(tan(π/4) + tani )/(1+tan(π/4)tani)
=( cosi + sin i)/( cosi - sini )
= (1 + 2 sini cosi )/( cos²i - sin²i )
= (1 + sin2i)/ cos2i)
= ( 1 + i sinh 2)/ cosh 2) トポロジーの基礎 上下 単行本 2022/6/17
河澄 響矢 (著)
なんか難しいといっている人がいますね。
本屋で見てから注文すれば良かったかもしれません。
明日、届く予定です。 有理関数の部分分数分解して積分の話ですが、そもそも分母が因数分解できなければ話にならないですよね？
５次以上の代数方程式は解の公式がない訳ですから 実係数多項式は１次と２次の実係数多項式の積で表されるってガウスせんせーが言ってた N,Zを自然数、整数の集合として
f:Z→{0,1}が
∀M∈N ∃C_M∈N ∀x,y∈Z ∃z∈Z |y-z|<C_M and (f(x),f(x+1), ... ,f(x+M))=(f(z),f(z+1), ... ,f(z+M))
を満たすとき
{Σ[|x|<N] f(x)}/N はN→∞で収束しますか？ 状況分かりにくいけど
Zで番号付けられたパターンの
どの有限巾部分も
ある程度の間隔で繰り返している？ >>483
何を考えているときに出てきた問題ですか？ そもそも条件満たす非有界列も思いつかんな
どんな話の中で出てきたのかわからないとなんとも言えんな
ただの数オリ的な話？ そんなパターンがあったとして
一定の有限巾パターンを
適当な間隔で差し挟んだとしても
条件を満たさないかな
もしそうなら
段々間隔広げてパターン差し挟んだ極限が
この条件満たさないかな（ちょっと望み薄かも）
もし極限がこの条件満たすなら
差し挟むパターンで{Σ[|x|<N] f(x)}/N
つまりパターンの「濃度」を変動させることが出来そうだけど fの定義域をZじゃなくてN
つまり数列で考えてみたらどうかな
これだと反例作れるかも？無理かな？ あるいは無理数の2進展開はこの条件満たさないこと示せれば（望み薄） ダメやな
そんな簡単に証明も反例も出そうにない
そもそもちゃんと答えが出る保証がないならこれ以上考えるのは時間の無駄やな 二進整数環で0101…と表される元をaとするとき、整数nに対してa+nを考えて、初めて1が現れる桁数によってfを定める、とかでできないかな てかそもそも答えあるのかどうかすらわからんやん？
これが面白い問題スレとかならヒントもらうとかできるけどここではそれもできんし
時間の無駄だよ 時間の無駄だと思う人は考えなければ良いだけ
強制されてるわけではない >>501
>これが面白い問題スレとかなら
ああ確かにそっちのが適当だな >>503
そう、あっちのスレはちゃんと答えある問題というのが前提で解らなければヒントとかお願いしたりもできる
それでみんなで面白い問題出しあって数学を“楽しむ”場になっててそれなりに便所の落書きながらも文化的な空気もある
数学なんて一見答えが出そうに見えても答えでない問題なんか山のようにあるしそんな思いつきの問題ペタペタ貼ってくるやつなんかアホほどいる
そういうのにどれだけアホな思いさせられたかキリがない
今回のもその類である可能性があるんだから時間の無駄 >>504
>あっちのスレはちゃんと答えある問題というのが前提
とするとあっちも不適だな
やっぱこっちか 周期関数なら条件は満たすがパターン濃度（勝手に名付けてすまんが{Σ[|x|<N] f(x)}/Nのことね）の極限値が存在する
周期関数で無い例で作らねばならないが
もし周期的で無くてそういうパターンがあったとすると
x>0だけ見れば無理数を定義することになる
（有限小数は条件を満たさないから）
この条件を満たすものが周期関数に限るような気はしないけど
それが証明できてもおかしくはない
おかしくはないが面白みも無い
(0,1)区間の無理数で2進展開がどの部分もある程度の周期っぽい繰り返しを持つものがあると割と面白いかも
（もしかしたらそういうものの全体が非可算で非連続濃度な集合になったりしてと妄想） まぁなんかの教科書なりなんなりで「今のオレの知識では解けないけど解き方知ってる人いるかもしれない」で未解決かもしれない問題貼るのは普通だしいいんだけど、ちゃんと答え用意されてる風に書いてきて実は答えもなんもないのが紛れてくるのが厄介
答え持ってなくて解けないかもしれないならその旨書くのが当たり前やろと思う
大学まで数学勉強してきてまだそんな事わからんのかなと思う これはスレチでしょうか
https://ja.wikiversity.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E6%99%82%E9%96%93%E4%BA%88%E6%83%B3
この漸近式が知られているらしくて、
https://i.imgur.com/HkIKwQ5.png
実際は、
位数1の群は1個
位数2の群は1個
位数4の群は2個
位数8の群は5個
位数16の群は14個
位数32の群は51個
位数64の群は267個
位数128の群は2,328個
位数256の群は56,092個
位数512の群は10,494,213個
位数1024の群は49,487,365,422個
のようです すいませんレスが遅れて申し訳ありません
>>483は元々は周期関数や適当な準周期関数で確かめて成り立つ性質として確認出来る物なのですが
周期関数や適当な準周期関数では>>506さんのう言う濃度の極限値が存在するという性質も確認出来て
前者の性質から後者を導く事は出来ないかという感じで質問させて頂きました
解決に導くアイデアは本当に自分には無くてここで聞こうと思いました N→{0,1}バージョンだけど収束しない例ができたかも。勘違いだったらすまん。
十分早く無限大に発散する整数列c_nを取って、次のように0,1の有限列の列a_n, b_nを定める：
a_1 = 0, b_1 = 1,
a_{n+1} = a_n b_n (a_n)^{c_n},
b_{n+1} = b_n a_n (b_n)^{c_n}.
(積の形に書いてるけど、有限列を並べるという意味)
a_{n+1}がa_nで始まってることに注意して、自然数mに対してa_mのm番目の数をf(m)とする。 >>511
c=1 2 4 8 16 …
a2=0 1 0^1=0 1 0
b2=1 0 1^1=1 0 1
a3=0 1 0 1 0 1 0^2 1^2 0^2=0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
b3=1 0 1 0 1 0 1^2 0^2 1^2=1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
てこと？
前の有限数列を頭に持つからこれら全部の極限みたいなものね
anはbn+1に1ヶ所しか出てきてないけど大丈夫かね？次に出てくるところがbnの巾のcn倍離れたところでしょ？cn→∞ならドンドン離れていかない？ >>512
>a3=0 1 0 1 0 1 0^2 1^2 0^2=0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
>b3=1 0 1 0 1 0 1^2 0^2 1^2=1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
a3=0 1 0 1 0 1 (0 1 0)^2=0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
b3=1 0 1 0 1 0 (1 0 1)^2=1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 トポロジーの基礎
河澄 響矢 (著)
なぜか「下」だけ先に届きました。
参考文献にJames R. Munkresさんの『Elements of Algebraic Topology』がありました。
James R. Munkresさんの『Elements of Algebraic Topology』は、去年、アマゾンで新品を5000円以下で買いました。 「下」だけ先に届くなんて、河澄響矢さんは大丈夫な人なのでしょうか？ >>512
a_nと同じ幅の列だと anan, anbn, bnan, bnbn の一部になっているようなものしか出てこないけど、これらは全部a_{n+2}, b_{n+2}には出てくる。
nが0以下の時も、a_mの長さが-n+1以上になるmを取ってa_mの後ろから-n+1番目をf(n)とする、でいけそう。 >>516
an+1の中でのanの離れ具合はbn巾
bn+1の中でのanの（境界からの）離れ具合はbn巾のcn倍
an+2の中でのanの離れ具合はbn巾のcn倍で
bn+2の中でのanの離れ具合はbn巾の1+cn倍程度
ここから先はずっとbn巾の1+cn倍程度か
なるほど
良さげね
これのパターン濃度が収束しないのは何でかな？ 0↔1の入れ替えをtで表すと
a1=1
an+1=an.(an)t.(an)^.cn
かな
帰納的に
bn=(an)t
から
bn+1=bn.an.bn^.n=(an)t.(an)tt.(an)t^.cn=(an.(an)t.((an)^.cn)t=(an+1)t
が示せる cn=1,2,4,8,16,…のとき
a1=1
a2=101
a3=101010101101
a4=101010101101010101010010101010101101101010101101101010101101101010101101
Σf/N=1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5, 1/2, 4/7, 1/2, 5/9, 3/5, 6/11, 7/12, → 1/2にならない？？ anの幅をdn, anに出てくる1の数をsnとするとき、sn/dn が1/2でない値αに収束するくらいc_nは速く発散するとすると、N=dnでのパターン濃度はαに収束、N=2dnでは1/4 + α/2に収束、となって列全体は収束しないことがわかる。 >Witold Hurewicz著『Lectures on Ordinary Differential Equations』という本を持っていますが、この本はどうですか？
何この不気味な質問 >>520
>sn/dn が1/2でない値αに収束するくらいc_nは速く発散する
an+1=an.(an)t.(an)^.cn
から
sn+1=sn+(dn-sn)+cnsn=dn+cnsn
dn+1=(2+cn)dn
sn+1/dn+1=(dn+cnsn)/(2+cn)dn=1/(2+cn)+(sn/dn)(cn/(2+cn))=1/(2+cn)+(sn/dn)/(1+2/cn)
1/(2+cn)→0で1+2/cn→1だけど
これ収束はしないのかな >>520
ああsn/dnが1/2じゃない値αに収束するぐらいにか
その場合
N=2dnでは
an.(an)t
の中に1はdn個だから（そうじゃない？）
dn/2dn=1/2
か
お見事！ 両側にするにはどうするかな
an+1=an.bn.(an)^.cn
の一番右がanだから
これ右にも延ばしていけるよね
うーんでもそこで継げないか？ >>524
>これ右にも延ばしていけるよね
左（x<0の側）に延ばすでした >>511
反例を作って頂きありがとうございました！
その例はとてもありがたい例になります… 松坂和夫著『集合・位相入門』
「一般に、開集合系（またはそれに付随して定まる閉集合系、近傍系等）にもとづいて
定義される諸概念（'位相的概念'）については、 (S, O), (S', O') の一方の上で成り立つ
ことは、他方の上でも（ f または f^{-1} でうつしかえた対象に対して）そのまま成り
立つのである。」
と書いています。それにもかかわらず、例えば、
f(i(M)) = i(f(M))
が成り立つことなどについて、
「これらのことのくわしい検証は練習問題とする。」
などと書いています。
一般に成り立つならば、それを証明してみせればいいだけの話ではないでしょうか？ >>514
トポロジーの基礎
河澄 響矢 (著)
「上」も先程、届きました。
英語のタイトルが『Basics of Algebraic Topology』ですね。 Algebraic Topologyで、代数学の深い結果を使うことってありますか？ >>533
「代数学の基本定理」かな？でもあれは代数学ではなく位相数学の定理だよな
532は代数学の教科書の後ろの方に書いてある定理、というほどの意味かな
個人的には、スペクトル列などが代数的には深いというか、一見ややこしい話だな algebraic topologyの括りがでかすぎる
学部の教科書レベルならせいぜいPID上有限生成加群の構造定理くらい？じゃないかな
もちろんそれがalgebraic topologyの全てではないし可換環論や代数幾何を使うこともある >>534
>「代数学の基本定理」かな？でもあれは代数学ではなく位相数学の定理だよな
複素関す論の定理じゃ無いの？ ま、松坂君には関係ないわな
代数学の基本定理もギブアップしてるのに
代数学の基本定理もわからないんじゃ何にも厳密な議論できんわな >>537
代数学の基本定理の証明は簡単ですよね。
複素関数論の知識を必要としない証明が齋藤正彦著『線型代数入門』などにあると思います。 馬鹿ほど「これは簡単」と言い出す
どこに厄介な問題があるかわかっていないから 多少面倒なのは、
f(a) ≠ 0 ならば、
|f(b)| < |f(a)| となるような b ∈ C が存在することの証明の部分ですかね。 証明のアウトラインは非常にシンプルです。
(1) C ∋ x → |f(x)| ∈ R
という関数は連続関数である。
(2) この関数は |x| を大きくすれば、いくらでも大きな値を取る。
(3) この関数は連続関数だから、閉円板上で最小値をとる。
(4) (2), (3)より、この関数は、C 上で最小値を取る。
(5) f(a) ≠ 0 ならば、 |f(b)| < |f(a)| となるような b ∈ C が存在する。
(6) この関数が x = a で最小値を取るとする。
もしも、 |f(a)| ≠ 0 ならば、(5)により、矛盾がおきる。
(7) よって、この関数の最小値は 0 である。
(8) |f(a)| = 0 だから f(a) = 0 である。 >>543
訂正します：
(2) lim_{|x|→+∞} |f(x)| = +∞ メチャクチャwwwwwww
そんな証明が通用するならexp(z)=0も零点持つわwww
代数学の基本定理すら理解できてないで他人の書いた証明はボロクソにいう
アホじゃないのwwwwwwwww このアウトラインは齋藤正彦著『線型代数入門』に書かれている証明のアウトラインです。
各ステップの詳細を埋めれば、それで代数学の基本定理の証明になっていることは明らかです。 その「詳細」にいつも文句を付けてる馬鹿がアスペのお前の日常
自分のレスについては細部を追及されないように逃げを打つのがアスペのお前の日常 >>546
そんなわけあるかバーカ
じゃあexp(-|z|)は連続じゃないんか？
lim exp(-|z|) = 0 にならんのか？
なるやろ？
そんな証明があってるならexp(-|z|)も零点持ってしまうやろ
アホですか？
結局自分勝手に「つまらない回り道してるな、本質はこれでいい」とか勝手な、しかもデタラメな理解してる
他人にはメチャクチャ厳しく、自分の論理はガダガタ
恥ずかしないの？ 松坂和夫著『集合・位相入門』
「
(A_λ) λ∈Λ を1つの与えられた集合族とするとき、 Λ で定義された写像 a で、
次の条件
(*) Λ のどの元 λ に対しても a(λ) = a_λ ∈ A_λ
を満足するようなもの全体の集合、いいかえれば、条件(*)を満たす族 (a_λ) λ∈Λ 全体の集合を、
集合族 (A_λ) λ∈Λ の直積（または単に積）といい、記号
Π_{λ∈Λ} A_λ
で表わす。
」
などと書いています。
写像について、終集合が異なれば異なる写像であるとかそんなことを強調していたのに、
ここでは、終集合について何も触れていません。
松坂和夫さんは一体何を考えていたのでしょうか？ a の終集合は ∪ A_λ ということでいいんですか？
ある集合 X の部分集合族の和集合というのは違和感がないのですが、
互いに何の関係もない A_λ の和集合というのは考えてもOKなんですか？ その本で想定されてる読者層なんてその程度なんだよ
そんな事厳密に議論しようとすれば当然集合論の公理持ち出さんと無理、しかしそこまでは無理だから最低数学の教科書読める程度のレベルになるあたりを探って書いておられるんだよバーカ
しかし“写像f”を例えば{<1,2>,<3,4>}などと定義してしまうと{[,2}から{3,4}への写像なのか{1,2}から{3,4,5}への写像なのかわからないからそれではダメなので<{1,2},{3,4,5},{<1,2>,<3,4>}>のようにしないとダメになる
この辺の正確な議論ももちろん集合論の公理までやらなけりゃ出来るわけないから保留さてんだよバーカ
いつまでもいつまでもこんなしょうもないレベルの話しばっかり
お前には無理だって 松坂和夫著『集合・位相入門』
直積位相の定義も抽象的ですね。
世界標準のJames R. Munkresさんの本のほうがずっと分かりやすいですね。 関係は
AとBとA×Bの部分集合の3つ組み
その特別なものが写像
とはいえB⊂Cと拡大したときも
同じと見なすか違うと見なすか
場合場合で適当に考えてるよ 質問失礼いたします。
ファイバーにレーザー光を当てるとファイバーに沿って少しだけ光が広がるという論文に関するものです。
ファイバーに当てていないレーザー光の画像と
ファイバーに当てているレーザー光の画像
の二枚が実験によって得られているものとします。
この二つを使って、ファイバー方向に光がどのくらい運ばれたか求めるのが目標の論文です。
ファイバー方向にどのくらい光が広がっているかは分散の差の平方項(式①)によって求められるようなのですが、
知識不足により例えば赤丸で示した部分をどのようにして得ればいいのか見当もつきません。
論文にはこうあります
「2次元ガウスフィッティングルーチンを用いて、
励起光スポットとファイバーから発せられる発光プロファイルを定量的に比較した。」
励起光スポットというのはレーザー光の元々の形状の事、
レーザーから発せられた発光プロファイルというのは、レーザー光を照射されて光っているファイバーの事です。
imageJという画像解析ソフトを使っていますが、それ以前に何をめざせばよいのかもわからず悩んでおります。
座標変換したあと長軸方向と短軸方向に白で示されたドットがいくつあるか数えるとかでしょうか？
どなたかアドバイス等いただけますと幸いです。
化学知識というよりは私の実践的な統計の知識が不足していると予想したので、
こちらに書き込みさせていただきました。
よろしくお願いいたします。
引用元
Supporting Information for
Direct Measurement of Energy Migration in Supramolecular Carbocyanine Dye Nanotubes
Katie A. Clark
https://i.imgur.com/zUUB4uG.jpg >>561
そうなんですか、ガウス関数とか統計なので数学板に書き込んでしまいました
理科系のどこかに改めて書き込んでみたいと思います
教えてくださりありがとうございました >>562
数学の問題の部分だけ抽出してくれないと
物理の問題のまま提示されても困るてこと twitterで、ある整数論が専門の方が「日本人が最初に触れる同値類は有理数」とツイートしておられたのですが、これは間違いでしょうか？
有理数を「日本人が触れる同値類」とするなら、整数のほうが必ず先にくると思うのですが >>565
引き算でグロタンディーク構成的な導入もやるので自然数→整数のほうが先だな。 >>566
自然数を可換モノイドと考えて、同値類全体の集合となるグロタンディーク群は整数そのものなので、やはりそうですよね
ありがとうございます そんな奇天烈なことしなくても有理数は分数でも小数でも表せるし約分とかできて色々な表し方できるからってことじゃないんですか？ 負数に触れるのは中学からなので有理数で合ってる
約分倍分が同値類の考え方 >>567
2-3=3-4=-1を同値類とは見ないのが普通よな それにあまり原理に拘ると自然数だって同値類だとか主張して已まない 半額で買った、Sheldon Axler著『Measure, Integration & Real Analysis』が届きました。 >>559
確かにそうですね。
A_λ := N
B_λ := Z
Π A_λ の終集合は N
Π B_λ の終集合は Z
Π (A_λ ∩ B_λ) の終集合は N
なので、 (Π A_λ) ∩ (Π B_λ) は空集合ですが、 Π (A_λ ∩ B_λ) は任意の λ に 1 を対応させる写像を含むので、空集合ではありません。
よって、以下の問題は成り立ちません。
松坂和夫著『集合・位相入門』 p.51 問題9：
(Π A_λ) ∩ (Π B_λ) = Π (A_λ ∩ B_λ)
を示せ。 >>569
ああ、負の数より前に分数が登場するから有理数が先ということですね
昔すぎて忘れてました、ありがとうございます ↑
自分の非を認めて素直に謝れる人、久しぶりに見ました
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