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分からない問題はここに書いてね 466

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0181１３２人目の素数さん
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2021/03/06(土) 20:25:09.60ID:Xer+Xp6F
>>180
天下り的になるけど、特に工学部は大学進学後もe^(-ax)sinbxやe^(-ax)cosbxの積分を嫌になるほど使うので、結果を暗記した方がいい
受験対策にもなるし大学進学後も役立つ
それほど多用するし暗記する価値があるとは覚えておいてほしい
0183１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 01:21:24.08ID:gfZuqlK8
>>177
　Measure
　Surface area
　Volume
を凸体の３基本量 と云うらしい。


木原太郎「分子と宇宙」岩波新書 (黄版) 104 (1979)　第7章
J. Phys. Soc. Jpn., ６, p.289 (1951)
J. Phys. Soc. Jpn., ８, p.686 (1953)
J. Phys. Soc. Jpn., １２, p.564 (1957)
Rev. mod. phys., ２５, p.831 (1953)
Rev. mod. phys., ２７, p.412 (1955)
0184１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 11:52:41.67ID:Q7BHnSy1
二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。
0185１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 11:53:14.19ID:Q7BHnSy1
二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。
0187１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 13:24:23.98ID:Q7BHnSy1
(1+x)^α が収束するような実数（複素数）全体の集合のことです。
0188１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 13:32:21.54ID:Q7BHnSy1
上で (1+x)^α と書きましたが、 (1+x)^α を二項展開したべき級数に置き換えてください。
0189１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 14:28:05.97ID:yoB/qfT9
αが非負の整数である場合を除いて1でしょ？
そんな程度の事いちいち書いてある教科書なんかないんじゃないの？
0192１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 15:41:23.71ID:yoB/qfT9
primes = let
sieve (p:ps) xs = let
(h,~(_:t)) = span (< p*p) xs
in h ++ sieve ps [x | x <- t, rem x p /= 0]
in 2: 3: sieve (tail primes) [5,7..]

main = print $ length $ takeWhile ( <= 1000 ) primes
----
168
0193１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 16:22:39.62ID:TEZO935t
>>192
無意味な解答で時間の浪費ですね
素数の定義に基づき計算機を使わず示してください
0195１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 16:47:14.47ID:Q7BHnSy1
1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}

以上の計算結果と包除原理により、

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、

500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。

よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。

100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。

p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。

(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 21 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。

(p_4)^3, (p_4)*(p_5) ≦ 1000 であり、これらの 2 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。

以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 21 + 2 = 754 個含む。

よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。
0196１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 16:50:06.61ID:Q7BHnSy1
訂正します：

1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}

以上の計算結果と包除原理により、

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、

500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。

よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。

100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。

p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。

(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 22 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。

(p_4)^3 ≦ 1000 であり、この自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。

以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 22 + 1 = 754 個含む。

よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。
0197１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 17:01:59.23ID:yoB/qfT9
>>193
てか千葉大の問題で普通に解いて240以下が示せるのに246以下なんかなんの意味があんねん？
問題にそもそも意味ないやん
0198１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 17:11:43.19ID:yoB/qfT9
おっと訂正
244以下ね
1050以下の数に2,3,5,7と互いに素であるのが240個しかない
2,3,5,7と合わせても244
246にしても千葉大の普通の解答がそのまま通用するのに
0199１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 17:59:18.95ID:gfZuqlK8
>>177
面の中央 (±1,±1,±1) はかなり平坦なので
正八面体　|x| + |y| + |z| ≦ 3　で近似しよう。

辺(稜)の中央は たしかに 窪んでいる。
　(0, ±√(√8 -1), ±√(√8 -1))
そこで稜を削って
　|x| + |y| ≦ 2√(√8 -1),
　|y| + |z| ≦ 2√(√8 -1),
　|z| + |x| ≦ 2√(√8 -1),
としよう。
　切稜正八面体 (20面体)
体積は 11.761802　(小さめ)
軸の長さは 4√(√8 -1) = 5.4087738 で
　2√7 = 5.2915026 より長い。
0200１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 19:21:08.96ID:9f/P46t2
問題　：　1000000以下の素数は78498個以下であることを示せ。

答： 数えたら78498個なので78498個以下である。
0201１３２人目の素数さん
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2021/03/07(日) 19:57:49.67ID:dIKXxSsW
>>191
昇順に並ぶ素数列において、隣接二項間の比が√2を超えるものとして、
2と3、3と5、7と11の3組が見つかるが、これ以外にそのようなものが無いのならば、
11以上の n に対し　2*PrimePi[n]＞PrimePi[2n]
が成立する。ただし、PrimePi[n]は、n以下の素数の数を表す。

Prime[100]=25はよく知られていて、101から124までの素数は101,103,107,109,113が加わるので、
Prime[125]=30となる。これに、上を適用すると、250以下の素数の個数はせいぜい59個、
500以下の素数の個数はせいぜい117個、1000以下の素数の個数はせいぜい233個であることが言える。
0203１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 21:10:00.70ID:XBptqp0+
前スレかこのスレの前の方で30N+1～30N+30の中に2,3,5,7と互いに素であるものが高々7個が示されている
よって1～1020までの素数は高々34×7+4=242である事がすでに得られている
あるいは同様の議論で990までの素数は高々33×7+4=235個で991～1000には(多くとも)991,997の2個しかない事を認めるならこの時点の評価が237に改善される
さらにこの237個の数は15個の合成数ab (a,b∈{11.13,17,29,23,29})を含む事からコレを抜けば222個以下まで改善される
さらにさらに‥
この手の話はキリがない
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 21:16:18.27ID:Q7BHnSy1
(1+x)^α のべき級数展開の収束円上の点での収束・発散について松坂和夫著『解析入門上』に書いてありました。

他に書いてある本はありますか？
0205１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 21:17:52.61ID:XBptqp0+
>>202
OA=x、OB=yとして条件は
1/2 2xy sin135°=15
x^2+y^2-2xycos135°=(19/2)^2
コレからx^2+y^3も(√2)xyもすぐ出せる
求めるのは
√(x^2+y^2-2xycos45°)
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 21:18:57.88ID:Q7BHnSy1
>>204

藤原松三郎にも書いてありました。

他にありますか？
0207１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/07(日) 21:30:21.20ID:ZSgt+lpD
>>202
BC=a、CA=b=9.5、AB=c、A から BC に下ろした垂線の足を M、AM=h とすると、
BM=(a/2)-h、CM=(a/2)+hとなる
AB^2 = AM^2 + BM^2 より c^2 = h^2 + ((a/2)-h)^2 ①
AC^2 = AM^2 + CM^2 より b^2 = h^2 + ((a/2)+h)^2 ②
②-① より、b^2 - c^2 = 2ah ③
△ABCの面積は(1/2)ah=15だから、③より
9.5^2 - c^2 = 60
c^2 = 9.5^2 - 60 =30.25
c = √30.25 = 5.5

動画のやってるのは実質これと同じっぽい
0208イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/03/07(日) 23:19:11.86ID:qhdyvJxv
前>>168
>>202
AからBCに下ろした垂線の足をH、
AH =h,BC=2aとすると、
題意よりah=15
△AHCにおいてピタゴラスの定理より、
h^2+(h+a)^2=9.5^2
2h^2+2ah+a^2=(10-0.5)^2=100-10+0.25=90.25
AB=√｛h^2+(a-h)^2｝
=√(2h^2-2ah+a^2)
=√｛(2h^2+2ah+a^2)-4ah｝
=√(90.25-4×15)
=√30.25
=5.5
∴5.5cm
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 00:51:54.63ID:cnGNECTQ
1050以下の自然数で2,3,5,7と互いに素であるものは240個である　
161～210の中に2,3,5,7と互いに素であるものは
[163,169,,181,187,193,199],[167,173,179,,191,197,,209]
の12個であるから1001～1050の中で2,3,5,7と互いに素であるものも12個である
以上により1～1000の自然数で2,3,5,7と互いに素である自然数の個数は228個である
また11～31の素数pに対してnが最小素因子がpである1000以下の合成数nになるのははn/pがp以上1000/p以下の素数となる時であり、100以下の素数をリストアップしてその数をそれぞれ数えるとp=11,13,17,19,23,29,31に対してそれぞれ20,16,10,8,6,2,1個ずつあり、計63個ある(補足参照)
228個の2,3,5,7と互いに素である1000以下の自然数の全体からコレらの合成数と1を除いた164個が2,3,5,7と異なる1000以下の素数の全体である
以上により1000以下の素数の個数は168個である

補足
p=11,13,17,19,23,29,31に対してpを最小素因子とする合成数nにおけるn/pのとりうる値のリスト
[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89]
[13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73]
[17,19,23,29,31,37,41,43,47,53]
[19,23,29,31,37,41,43,47]
[23,29,31,37,41,43]
[29,31]
[31]
0210１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 01:14:26.24ID:nGsXbFDB
>>202
余弦定理を使えば解ける。

https://i.imgur.com/FdxB31x.png

面積からac=15
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(45°) = 2a^2+c^2-2ac (1)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(135°) ∴ 9.5^2=2a^2+c^2+2*ac (2)
(1)-(2)で
AB^2-9.5^2= -4ac where ac=15

AB^2=9.5^2-4*ac=9.5^2-4*15
AB=√(9.5^2-4*15)＝5.5
0213１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 02:10:57.54ID:nGsXbFDB
>>211
ついでに一般解を出したみた。

https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png

面積からha=S
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(Θ)
"
AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ)
AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(Θ)

AB^2-AC^2=-4*ha*cot(Θ)
AB=sqrt(L^2-4*S)

L=9.5
S=15
で
> (AB=sqrt(L^2-4*S))
[1] 5.5
0214１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 02:21:38.37ID:nGsXbFDB
>>213
恥ずかしい計算ミスをしていたので修正(>213は忘れてくれ）
一般解は　AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ))

問題ではL＝9.5cm, S=15cm^2, θ=135°

https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png
"
面積からha=S
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(θ)
"
AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ)
AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(θ)

AB^2-AC^2=4*ha*/tan(θ)
AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ))

L=9.5
S=15
θ=135*pi/180

sqrt(L^2+4*S/tan(θ))

> sqrt(L^2+4*S/tan(θ))
[1] 5.5
0215１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 05:59:44.19ID:UjfXykXB
>>202ですが、皆さん模範解答をアップしてれてありがとうございました。
帰宅後、再トライしてみます。
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 08:10:08.40ID:aA52BxPK
>>202
動画は9.5*9.5の正方形を作ると中に小さな正方形が出来ることをなんか妙な方法で示しているけど、
△ACHを4つ組み合わせて9.5*9.5の正方形を作って、その中に出来る中くらいの正方形の中に△ABHを4つはめ込んでいくと小さな正方形が出来ることは簡単にわかるんじゃないのか？
答えを知ってしまうと天才なら瞬殺出来る問題だった
0217１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 13:11:42.67ID:psxnYC+1
sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2)

という命題があります。

無限積 Πa_n の定義においては、 a_n ≠ 0 for any n という条件が課されます。
そして、いろいろな命題を、この定義を採用して証明していきます。

ところが、例えば、

sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2)

というような具体的な結果においては、 1 - x^2/n^2 = 0 となるような n がある場合も考えています。

このあたりはどう考えればいいのでしょうか？
0218１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 13:28:58.96ID:ZkyXfdLj
6面体のサイコロをa回振った時、それぞれの数字がb回出る確率ってどうやって計算できますか？
例えば、サイコロ100回振って6が30回出る確率は？
0219１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 13:37:01.82ID:M62AUW01
計算機で
0.66667×6＝4.00002
0.66666667×6＝4.00000002
0.6666666667×6＝4
になるのはなんでですか？
0220１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 13:39:58.96ID:YvBsAQGd
a_n = 0となるnがある場合「無限乗積が収束する」と言えなくなるだけで、Πa_nの値自体は存在する
Πa_nは収束しないが、Πa_n=0
ということかと
0221１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 13:50:10.44ID:YvBsAQGd
>>218
100C30 (6が出る確率)^100

>>219
計算機によっては正しい値を出力する
あなたの計算機の内部仕様なので正確なことを知りたければメーカーに問い合わせるしかない
0222１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 13:53:55.21ID:5X8iAnue
10進法表記したときにどの桁にも9が現れない整数全体からなる集合をSとする。
Sの要素を小さいものからa[1],a[2],...とするとき、
lim[n→∞] Σ[k=1,10^(n-1)] 1/a[k] < N
を満たす整数Nが存在することを示せ。
またNと10,100の大小をそれぞれ比較せよ
0225１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 15:06:55.52ID:St5og0IQ
>>222
a[n]はnを9進数表記をn=Σc[n,i]9^iとするときのΣc[n,i]10^iに等しい
特にr=log10/log9とおくとき(n/9)^r<a[n]<n^rである
実際9/n<m≦nを満たす9べきmをとれば
(n/9)^r<m^r=a[m]≦a[n]
であり、正の数x,yに対しx^r+y^r<(x+y)^rであるから後半の評価を得る
以上によりa[n]の逆数和は収束し、その和は下から
Σ1/a[n]>Σn^(-r)>1/(r-1)=log9/(log10-log9)=20.854345326783
と評価される
0226１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 15:35:18.27ID:pKgEu0Ik
>>218
6の目の出る確率を1/6としてサイコロ100回振って6が30回出る確率を計算してみました。
1835771238850684051497735/40832413968754431088974760597596307513586923952743787370990412577082234109952
0227１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 15:36:54.48ID:pKgEu0Ik
>>226
Wolfram先生からは
203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
という御神託
0228１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 15:46:03.76ID:pKgEu0Ik
>>226
分母choose(100,30)と6^30を別々に計算すると

29372339821610944823963760
/
653318623500070906096690267158057820537143710472954871543071966369497141477376

約分したら
203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
でWolfram先生の結果と同じになった。
0231１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 16:52:58.72ID:pKgEu0Ik
>>229
それで計算してみました。
11978966267095556063517207528404020840875/31456147505615925548986588676063137259061248=0.0003808148
2625.948回に1回となりました。

Wolfram先生によれば
https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose%28100%2C30%29*%281%2F6%29%5E30*%285%2F6%29%5E70&;lang=ja
1727731914364858948441810719185394995545124174896045587956905364990234375/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
=0.0003808147919244379025193416446360750992129733301948433995580339...

どうも、分数表示すると合致しないな。
0232１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 17:15:13.61ID:l2Zn2Rei
>>219
windows電卓でも4になる場合がある。
0.66666666666666666666666666666667×6
の場合だな。
0233１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 17:22:19.95ID:l2Zn2Rei
>>219
端数処理か丸めでググれ
0234１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 18:03:44.31ID:Vhpg2AFq
　n/9 < m ≦ n,
　m ≦ n < 9m,
m = 9^e とすれば
　e ≦ log(n)/log(9) < e+1,

　0.9･(10/9)^e < a[n]/n ≦ (10/9)^e,
より
　0.81 < a[n] / n^r ≦ 1,
ここに
　r = log(10)/log(9) = 1.0479516371447

　ζ(r) = Σ[n=1,∞] 1/(n^r) = 21.43504145264
0235１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 18:41:21.14ID:Vhpg2AFq
r>1 のとき
　∫[n,n+1] x^(-r) dx < n^(-r) < ∫[n-1,n] x^(-r) dx,
より
　∫[1,∞] x^(-r) dx < ζ(r) < 1 + ∫[1,∞] x^(-r) dx,
　1/(r-1) < ζ(r) < r/(r-1),
　20.85434538971 < ζ(r) < 21.85434538971
0236１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 19:22:46.80ID:Vhpg2AFq
下に凸だから　x=n で接線を曳いて
　n^(-r) < ∫[n-1/2,n+1/2] x^(-r) dx,
より
ζ(r) < 1 + ∫[3/2,∞] x^(-r) dx
　= 1 + (1/(r-1))(2/3)^(r-1)
　= 21.452796468183

また　台形近似で
　ζ(r) > 1/2 + ∫[1,∞] x^(-r) dx
　= 1/2 + 1/(r-1)
　= 21.354345326783
0237１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 19:32:22.17ID:pKgEu0Ik
二進法で内部計算だから、大抵の言語で誤差がでる。

IPython 6.5.0 -- An enhanced Interactive Python.

(1.2-1)*5==1
Out[1]: False

(1.2-1)*5>1

Out[2]: False

(1.2-1)*5<1

Out[3]: True

(1.2-1)*5
Out[4]: 0.9999999999999998


Haskell
Prelude> (1.2-1)*5
0.9999999999999998

Prelude> 0.72*5-3.6
-4.440892098500626e-16


R
> options(digits=22)
> (1.2-1)*5 == 1
[1] FALSE
> (1.2-1)*5 > 1
[1] FALSE
> (1.2-1)*5 < 1
[1] TRUE
> (1.2-1)*5
[1] 0.99999999999999978
0238１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 20:17:18.01ID:psxnYC+1
宮島静雄著『微分積分学II』に以下の定理が書いてあります。

定理8.2
f_n (n = 1, 2, …) は集合 A 上の関数とし、これに対し数列 {M_n}_n で |f_n(x)| ≦ M_n が任意の x ∈ A, n ∈ N で成り立ち、 Σ_{n=1}^{∞} M_n が
収束するようなものがあるとする。このとき Π_{n=1}^{N} (1 + f_n(x)) は N → ∞ のとき A 上である関数に一様収束する。

これは本当に成り立ちますか？
0241１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 23:04:55.39ID:5X8iAnue
nを2以上の整数とする。1≦k≦n-1を満たす整数の定数kを考え、a[n,k]=C(2n,n)/(n+k)とする。
このとき、a[n,k]を素数とするようなnは有限個であることを示せ。
ただしC(a,b)は二項係数aCbのことを指す。
0242１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/08(月) 23:17:55.74ID:Vs8bbyg6
>>241
素数定理よりn>>0に対してn<p<q<r<2nを満たす素数p,q,rが取れる
このときC(2n,n)はpqrの倍数であるが、n+k<2n<n^2<pq,pr,qrによりC(2n,n)/(n+k)は相異なる素因子を少なくとも２つ持つ
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 00:19:58.51ID:tR6F6U87
受験数学レベルでも解けるな
0≦k≦nに対して2n-k≧2(n-k)であるから
C(2n,n)=2n/n (2n-1)/(n-1) ‥>2^n≧4n^2 for n≧8
C(2n,n)/(n+k)が素数pならpは(2n)!の素因子だからp≦2n
よってこのとき
C(2n,n)=(n+k)p≦4n^2
コレはn≧8では起こり得ない
0245１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 14:57:01.19ID:SKEI5bO2
松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。

さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 14:59:07.83ID:SKEI5bO2
松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。

「さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。しかしそれは容易であるから、ここではあらためて述べない。実際には
この定理は、後の距離空間の位相の章でみるように、もっと一般的な状況のもとに直接かつ簡単に証明することができる。）」
0247１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 15:02:01.20ID:SKEI5bO2
これが正確に何が言いたいのかが分かりません。
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 15:05:37.32ID:SKEI5bO2
具体的に言うと、「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっている」というのが分かりません。

定理3を見てみても実変数に“局限”などされていないと思います。

定理3は区間 I で考えていて、複素連続関数列は、任意の C の部分集合で考えていることに関係していると推測しますが、いずれにしても大した問題ではないと思います。
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 15:11:14.62ID:SKEI5bO2
実連続関数列の場合には、区間 I で考えているため、 x_0 ∈ I は I の limit point になります。
複素連続関数列の場合には、任意の空でない C の部分集合 S で考えているため、 x_0 ∈ S が孤立点になる恐れがあります。

ですが、 x_0 が S の孤立点の場合には、どんな S 上の関数 f も、 z = x_0 で連続ですから、「多少の補正」というほどの「補正」は必要ないはずです。
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 15:37:05.19ID:2G0n+lck
お前の感想に興味はない
教科書はヒントに過ぎん
理解は自力でしかできん
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 19:12:35.96ID:llUuS/84
>>236
ζ(r) < 1 + 2^(-r) + ∫[5/2,∞] x^(-r) dx
　= 1 + 2^(-r) + (1/(r-1))(2/5)^(r-1)
　= 21.441547

ζ(r) > 1 + (1/2)2^(-r) + ∫[2,∞] x^(-r) dx
　= 1 + 2^(-r){1/2 + 2/(r-1)}
　= 21.414418
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 20:22:57.81ID:SKEI5bO2
>>246

松坂和夫さんの『解析入門上』のコピペ元のWalter Rudinの本を見てみたら、

f_n → f が距離空間 E 上で一様収束とし、 x が E のlimit pointとし、 lim_{t → x} f_n(t) = A_n が成り立つとすると、
{A_n} は収束し、 lim_{t → x} f(t) = lim_{n → ∞} An である

という定理が書いてありました。

松坂さんはこの E を区間 I にして、コピペしていたんですね。

やはり、
>>248-249
の推測は合っていました。

一言でいうと、limit pointという概念を説明したくなかったということですね。
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 20:39:27.50ID:SKEI5bO2
数学の勉強の仕方についてなのですが、

https://youtu.be/aWPAHRsCU_Q?t=1368

上の動画で、証明の中で使われている定理は、その証明が分からなくても遡って考える必要はなく、ただプログラムでいうサブルーチンのように
ブラックボックスとして利用するほうがよいというようなことを言っていますが、そのほうがいいのでしょうか？
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 20:43:49.37ID:SKEI5bO2
証明の中で使われている定理はプログラミングでいうモジュールのようにいかに利用するかだけを考えればいいのでしょうか？
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/09(火) 23:34:23.38ID:jYqIDlqM
オイラーのトーシェント関数をφとして, そのn回合成をφ(n)とするとき, 正の整数mに対してnがφ(n)(m)=1を満たす最小のnとする.
この時nのオーダーはランダウのビッグO記法でどれぐらいになりますか？
n=O(log(m))ぐらいになりそうだとは思うんですがもっと良い上界があるかもしくはもっと緩くすべきなのか…
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 11:11:48.77ID:pTIKgpe6
f(x) を区間 [-π, π] で積分可能な関数とします。

このとき、

∫_{-π}^{π} f(t) dt = ∫_{x-π}^{x+π} f(x-t) dt

が成り立ちます。

置換積分の公式は使えませんので、定義に戻って確かめる必要があります。
確かに自明ですが、松坂和夫著『解析入門中』で、この事実を何の注釈もなく、当たり前のように使っています。

これはありですか？
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 13:51:55.65ID:8XZXmh4P
解析的に解けない微分方程式で一番シンプルなのはなんでしょうか？
0262１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 14:00:48.47ID:pTIKgpe6
>>259

ありがとうございます。


「f(x) を R で定義された周期 2*π の連続関数とする。
f(x) は R で一様連続である。」

この命題は明らかですが、きちんと証明を書いてください。
証明は、できるだけシンプルかつ自然かつエレガントなものをお願いします。
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 14:14:11.92ID:93EbJzJq
>>258
積分区間は、小さい方から大きいだとおもってたが
それだと逆転してるが平気なのか?
それ以外、問題ない、いっしょだろ
0264１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 14:27:32.50ID:pTIKgpe6
>>263

下端 = x-π < x+π = 上端

です。
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 14:29:00.60ID:93EbJzJq
右辺、左辺で、tのプラスマイナスが逆転してるじゃん
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 14:30:50.85ID:93EbJzJq
自分がまちがってた
もとのでいいんだ
0268１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 15:26:32.55ID:pTIKgpe6
>>262

証明：

f(x) は [-π, 3*π] で連続であるから、 [-π, 3*π] で一様連続である。
よって、任意の正の実数 ε に対して、 x, y ∈ [-π, 3*π] かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε となるような正の実数 δ が存在する。

(1) 2*π < δ である場合。

x, y ∈ R かつ |x - y| < δ とする。
x - 2*m*π ∈ [-π, π] となるような整数 m が存在する。
y - 2*n*π ∈ [-π, π] となるような整数 n が存在する。

x - 2*m*π, y - 2*n*π ∈ [-π, 3*π] かつ |(x - 2*m*π) - (y - 2*n*π)| ≦ 2*π < δ であるから、
|f(x) - f(y)| = |f(x - 2*m*π) - f(y - 2*n*π)| < ε である。

(2) δ ≦ 2*π である場合。

x, y ∈ R かつ |x - y| < δ とする。

x = y であるとき、 |f(x) - f(y)| = 0 < ε　である。

x ≠ y であるとき、一般性を失わずに、 x < y と仮定できるからそう仮定する。
y - x < δ ≦ 2*π である。

x - 2*n*π ∈ [-π, π] となるような整数 n が存在する。
-π ≦ x - 2*n*π < y - 2*n*π < (x + 2*π) - 2*n*π = (x - 2*n*π) + 2*π ≦ 3*π である。

よって、
x - 2*n*π, y - 2*n*π ∈ [-π, 3*π] かつ |(x - 2*n*π) - (y - 2*n*π)| = |x - y| < δ であるから、
|f(x) - f(y)| = |f(x - 2*n*π) - f(y - 2*n*π)| < ε である。
0269１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 17:09:56.62ID:pTIKgpe6
パーセヴァルの等式は成り立つが、フーリエ級数はもとの関数に収束しないような例ってありますか？
0271１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/11(木) 21:50:26.75ID:pTIKgpe6
y = f(x) は x = a で微分可能であるとし、 b := f(a) とおく。
z = g(y) は y = b で微分不可能であるとする。

このとき、

z = g(f(x)) は x = a で微分不可能であると言えるか？
0274イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/03/12(金) 05:12:18.99ID:cfa7mmER
前>>244
>>218
(1/6)^30(5/6)^70=5^70/6^100
同様に(1/6)^b(5/6)^(a-b)=5^(a-b)/6^a
∴｛2・5^(a-b+2)｝/｛3・6^(a-1)｝%
0276１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 08:57:55.12ID:jl30Wzp2
>>270, 272-273
ありがとうございました。

f_n(x) が f(x) に一様収束するとき、 (f_n(x))^2 は (f(x))^2 に一様収束する

はいえますか？
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 08:58:11.93ID:M754q0Xo
6が一回
×◯◯◯◯◯
◯×××××
◯×××××
◯×××××
◯×××××
◯×××××
10/36
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 11:25:04.48ID:jl30Wzp2
[a, b] で、連続な関数列 {f_n} が f(x) に一様収束するとき、 f_n^2 は f^2 に一様収束する。

証明：

有名な定理により、 f(x) は [a, b] で連続である。

M := max {f(x) | x ∈ [a, b]}
M_n := max {f_n(x) | x ∈ [a, b]}
m := min {f(x) | x ∈ [a, b]}
m_n := min {f_n(x) | x ∈ [a, b]}

とおく。

n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < 1 for any x ∈ [a, b]
n > N ⇒ m - 1 ≦ f(x) - 1 ≦ f_n(x) ≦ f(x) + 1 ≦ M + 1 for any x ∈ [a, b]
min{m_1, …, m_N, m+1} ≦ f_n(x) ≦ max{M_1, …, M_N, M+1} for any x ∈ [a, b]
∴∃K such that |f_n(x)| ≦ K for any n and for any x ∈ [a, b]

ε を任意の正の実数とする。
n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < ε for any x ∈ [a, b]
n > N ⇒ |f_n^2(x) - f^2(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * |f_n(x) + f(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * (|f_n(x)| + |f(x)|) < (K + |f(x)|)*ε for any x ∈ [a, b]
∴f_n^2 は f^2 に一様収束する。
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/12(金) 11:31:02.17ID:jl30Wzp2
>>279

今、演習問題を見ていたら、一様有界という概念が書いてありました。
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