分からない問題はここに書いてね 466

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 00:42:07.42

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 465
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608546793/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 00:43:14.46

* Part462 以前のスタイルを復活しますた。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 18:04:53.08

数学@5ch掲示板用掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
https://web.archive.org/web/20181107033930/http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 07:51:46.37

前スレより

ねじれの位置にある平行ではない２直線上の２点を通る最短直線は両直線に垂直で
一意に決まるので最短垂線と呼ぶことにする。
四面体の３本の最短垂線が１点に交わるのは等面四面体のときだけか？
ーーーーー
等面四面体の同値な定義

四面体 ABCD の全ての面が合同
AB=CD,AC=BD,AD=BC（対辺の長さがそれぞれ等しい）
直方体の4つの頂点から構成される
四面体の4つの面の面積が全て等しい（等積四面体とも呼ばれる理由）
（四面体の）重心、外心、内心が一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 08:36:26.59

前スレに反例が出てるのに続けるの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 12:30:27.20

あるシリツ医大から無作為に学生１０人を抽出して偏差値を調査したところ
低い順に　40 45 46 47 49 52 52 56 69 72であったとする。
偏差値の分布は不明である（正規分布を仮定できない）。
予備校の公表値では偏差値55で合格とされているとき
この医大の裏口入学（偏差値55未満での入学)の割合を推定せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 18:05:06.14

次の（性質）を全て持つ四面体を具体的に1つ構成せよ。

（性質）
・すべての辺の長さが整数である
・すべての面の面積が整数である
・体積が整数である

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 20:07:59.02

何回繰り返すんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 23:52:58.97

>>5
反例出た？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 01:03:41.99

①ひとつの頂点に集まる角がすべて直角の四面体
②ひとつの面が正三角形でかつ残りの辺がすべて同じ長さの四面体

とかどうよ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 09:07:30.89

>>10
①直角三角形でない三角形の各辺と面積が整数である証明は？
②一辺nの正三角形の面積って整数なんだ…新しいねキミ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 10:26:52.25

>>11
あんたの問題じゃないよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 10:36:21.94

いつも自分が注目されてないと気が済まない奴っているよなw

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 10:38:35.89

10は>>9宛な
念のため

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 10:47:43.15

>>7　これ？
Heronian tetrahedron
https://en.wikipedia.org/wiki/Heronian_tetrahedron

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 11:01:42.35

すみません, ベータ分布らへんの質問なのですがベイズ的にコインの表=1, 裏=0の予測を考えた時にそれまでの観測データ集合がDとして与えられていたら加法定理, 乗法定理より
p(x=1|D)=\int_0^1{p(x=1|μ)p(μ|D)dμ}
となるというのがわかりません.
加法定理よりμの周辺化がだせて, 乗法定理より
p(x=1, μ|D)=p(x=1|μ, D)p(μ|D)
まではわかるのですが,
p(x=1|μ, D)=p(x=1|μ)
となるのがわかりません。
どなたかご教授願えますと幸いです

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 12:03:59.60

マルチ
【統計分析】機械学習・データマイニング30
https://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1609459855/249

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 12:07:49.00

>>17
内容が確率統計なのでここにも質問させていただいたんですが、調べたら他の質問者の時間を奪うことになるのでマナー違反になるのですね、初めて知りました

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 12:58:19.47

>>16
自己解決しました、マナー違反失礼いたしました

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 13:01:47.91

>>16
それまでのデータ集合Dと予測したいxの値が独立である、すなわちDによってxが条件付けられないからです

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 13:05:27.28

>>20
条件付独立を失念してはまっていました、ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 13:19:15.97

>>21
条件付き独立性の概念を理解しているのであればその分解方法の応用と捉えれば解決できますね

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/20(土) 22:29:20.58

α,βは相異なる複素数の定数で、複素数平面で3点O(0),A(α),B(β)は三角形をなす。
△OABの周上または内部の点P(w)をu=w^2により点Q(u)に移す。
Pが△OABの周および内部のすべてを動くとき、Qの動く範囲は、ある放物線とある直線で囲まれた領域の周および内部となることを示せ。
またu=w^2-kwの場合、Qが動く領域の形状はどうなるか。ここでkは0でない実定数である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/21(日) 20:51:50.35

VIPで出た問題だが答えが分からんままスレが落ちた

1, 1, 2, 3, 4, 7, 6, 11, ?, 15,
14, 17, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 32, 29,
38, 33, 46, 37, 52, 45, 56, 47, 60, 49,
64, 63, 68, 69, 70, 79, 72, 85, 78, 89,
84, 95, 86, 105, 88, 109, 90, 121, 102, 125,…

?に入る数と数列の規則を当てよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/21(日) 22:07:02.75

>>24
隣同士加算すると素数になる数列A036467に途中までは一致するんだけどな

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/21(日) 22:48:11.36

この数列制作者が、51を素数だと考え、73が素数であることを見逃しているとと仮定した上で
「第n項と第n+1項の和がn番目の素数になる数列」
を作ろうとすると、>>24のような数列ができあがる。（指摘した二点を除いて、例外は無い）

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/21(日) 23:55:44.99

なるほど

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 16:11:29.33

1年間に異性と出会う総時間tとして、tがどれくらいであればお付き合いできる女性に逢う確率p(t)>0.95と期待できますか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 16:22:06.61

ひとによる

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 20:24:37.95

早稲田（商学部）の問題です。実験してみましたが見当がつきません。

nを正の整数とする。f(x)はxのn+1次式で表される関数で、xが0以上n以下の整数のときf(x)=0であり、f(n+1)=n+1である。このとき、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) > 2^2021
を満たす最小のnは（　イ　）である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 20:47:53.53

f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)/n! であり
f'(k)は積の微分の公式と(x-k)の部分に注意すると(x-k)だけを微分した項以外はkを代入するとゼロになるので
f'(k)=k(k-1)…(k-(k-1))(k-(k+1))…(k-n)/n!=(-1)^(n-k)/(nCk)
となる
これと二項定理を使って
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k)
=Σ[k=0,n] (-1)^(n-k)(nCk){(1-√2)^k}
=(-1)^nΣ[k=0,n] (nCk){√2-1)^k}
=(-1)^n(1+(√2-1))^n=(-√2)^n
と計算される
よってn=4044が最小

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 21:35:59.61

>>31
ありがとうございます
文系なので積の微分は調べて初めて知りました（不勉強でした）
ご解答を見ても難しすぎて、これが穴埋めの小問でしかないことに戦慄します

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/02/22(月) 22:09:25.26

ああ、ココリと逢いたい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 22:22:52.41

f(x) は n+1 次の多項式関数であり、 f(x) = 0 は、 x = 0, 1, …, n の n+1 個の解をもつ。
よって、 f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n) と書ける。
f(x) は、さらに、 f(n+1) = n+1 を満たすから、 f(n+1) = a*(n+1)*n*(n-1)*…*1 = a*(n+1)! = n+1 が成り立つ。
∴a = 1/n! である。
これで、 f(x) = x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n)/n! であることが分かった。

k を 0 以上 n 以下の任意の整数とする。
g(x) = x - k
h(x) = x*(x-1)*…*(x-(k-1))*(x-(k+1))*…*(x-n)/n!
とおくと、
f(x) = g(x)*h(x) と書ける。
積の微分の公式を適用すると、
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) = h(x) + g(x)*h'(x)
となる。 f(x) に x=k を代入すると、
f'(k) = h(k) + g(k)*h'(k) = h(k) + 0*h'(k) = h(k)
となる。
h(k) = k*(k-1)*…*(k-(k-1)) * (k-(k+1))*…*(k-n) / n! = k*(k-1)*…*1 * (-1)*(-2)*…*(-(n-k)) / n!
= k*(k-1)*…*1 * [(-1)^(n-k) * 1*2*…*(n-k)] / n! = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
であるから、
f'(k) = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
である。
(-1)^(n-k) = 1 / (-1)^(n-k) であり、 Binomial(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] であることを思い出すと、
f'(k) = 1 / [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
であることが分かる。

よって、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = Σ[k=0,n] (1-√2)^k * [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
= Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k
である。

(a + b)^n = Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * a^(n-k) * b^k
が成り立つことを思い出し、 a = -1, b = 1-√2 と代入すると、

Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k = [(-1) + (1-√2)]^n = (-√2)^n を正の整数とする。f
が成り立つことが分かる。

∴Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = (-√2)^n
である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 22:23:08.18

以上より、
(-√2)^n > 2^2021
が成り立つような最小の n が答えである。

n が奇数だと左辺はマイナスであるから上の不等式は成り立たない。
よって、 n は偶数でなければならない。
n = 2*k と書く。

(-√2)^n = (-√2)^(2*k) = 2^k > 2^2021
となるような最小の k は明らかに 2022 である。

以上より、最小の n は n = 2 * 2022 = 4044 である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 22:29:26.20

>>34
訂正します：

f(x) は n+1 次の多項式関数であり、 f(x) = 0 は、 x = 0, 1, …, n の n+1 個の解をもつ。
よって、 f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n) と書ける。
f(x) は、さらに、 f(n+1) = n+1 を満たすから、 f(n+1) = a*(n+1)*n*(n-1)*…*1 = a*(n+1)! = n+1 が成り立つ。
∴a = 1/n! である。
これで、 f(x) = x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n)/n! であることが分かった。

k を 0 以上 n 以下の任意の整数とする。
g(x) = x - k
h(x) = x*(x-1)*…*(x-(k-1))*(x-(k+1))*…*(x-n)/n!
とおくと、
f(x) = g(x)*h(x) と書ける。
積の微分の公式を適用すると、
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) = h(x) + g(x)*h'(x)
となる。 f'(x) に x=k を代入すると、
f'(k) = h(k) + g(k)*h'(k) = h(k) + 0*h'(k) = h(k)
となる。
h(k) = k*(k-1)*…*(k-(k-1)) * (k-(k+1))*…*(k-n) / n! = k*(k-1)*…*1 * (-1)*(-2)*…*(-(n-k)) / n!
= k*(k-1)*…*1 * [(-1)^(n-k) * 1*2*…*(n-k)] / n! = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
であるから、
f'(k) = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
である。
(-1)^(n-k) = 1 / (-1)^(n-k) であり、 Binomial(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] であることを思い出すと、
f'(k) = 1 / [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
であることが分かる。

よって、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = Σ[k=0,n] (1-√2)^k * [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
= Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k
である。

(a + b)^n = Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * a^(n-k) * b^k
が成り立つことを思い出し、 a = -1, b = 1-√2 と代入すると、

Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k = [(-1) + (1-√2)]^n = (-√2)^n
が成り立つことが分かる。

∴Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = (-√2)^n
である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 22:29:50.90

f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)/n! が即座に出ないと無理だよね

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 02:06:28.25

むかしから早稲田商学部は知ってればすぐに解けるみたいな問題が多いんだよね

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 12:10:27.71

こんな問題解けなくても、推薦で入れるからな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 13:09:53.37

x^7=1 の解を　α、α^2、α^3、・・・、α^7
としたとき、

　α+α^2+α^4 = (-1+√7i)/2 を満たすことは
　α^6+α^5+α^3 が　共役複素数になる事を使うと示せるのは理解できますが

どうして、α+α^2+α^4 を使うとうまく行くということが分かったのかが
分かりません。
おそらくガロア理論で分かると思いますが、平均学力の高校生にも分かるような
説明は難しいですか？

単位円周上の正七角形から、

　α+α^6 や α^4+α^3 α^5+α^2 が実数になる事はイメージできますので
これらの和を考えてみる発想は湧くのですが
α+α^2+α^4 　など、３つを足すとうまく行く（２次方程式の根になる）イメージが分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 13:18:55.25

4次方程式が代数的に解けることが知られていて
4次方程式の解法が最初に3次の項を消すからだろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 13:27:34.67

>>41
コメントありがとうございます。
4次方程式の解法が最初に3次の項を消す　というのは
チルンハウス変換で３次の項を消してから解いていくということでしょうか？
三角関数を使った解き方で
3θ　＝　２πー4θ　みたいに　5θや6θ（2θやθ）を使わない事と似ている気がしました。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 13:35:17.74

>>28
閏年も勘案すると1年に8327.529時間必要と計算された。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 13:35:42.21

標準偏差と「平均からの差の絶対値の平均」って大小は決まってるのでしょうか？

３つだと計算するとM=(a+b+c)/3 として(M-a)^2+(M-a)^2+(M-a)^2-|M-a||M-b|-|M-b||M-c|-|M-c||M-a|の符号がどうなるか？
って問題になってこっからどう計算するのかわからない。。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 13:39:11.55

でも次は必須らしい…

宮古の西北、盛岡市。
　"мориока" というその響きが Россия 語みたいだった。

宮古の西北、伊良部島。
　大橋完成、おめでとう。(2015/01/31)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 14:01:45.05

f((a+b+c)/3) ≦ (f(a) + f(b) + f(c))/3
if f(x) = x^2

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 15:37:04.46

>>44　となるらしい
((((a+b+c)/3)-a)^2+(((a+b+c)/3)-b)^2+(((a+b+c)/3)-c)^2)^2-(((a+b+c)/3)-a)^2(((a+b+c)/3)-b)^2-(((a+b+c)/3)-b)^2(((a+b+c)/3)-c)^2-(((a+b+c)/3)-c)^2(((a+b+c)/3)-a)^2
=(1/3)*(a^2-a*(b+c)+b^2-bc+c^2)^2

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 16:18:12.01

>>42
単純に
α+α^2+α^4 = (-1+√7i)/2
が α の 4次方程式で3次の項がない事を言ってるのだが

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 16:58:32.25

>>47
おっと勘違いで意味ない計算してた。。偶然きれいな結果になってるからなんか使えるのかもしれんけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 18:56:11.33

>>44

平均がM=(1/N)*Σ[k=1,N]a_k=0 となるようにa_kをすべて平行移動しても
平均からの距離は同じだから、あらためてこれらをa_kとかくと

分散＝(1/N)*Σ[k=1,N](a_k)^2
絶対値差平均の二乗＝((1/N)*Σ[k=1,N]|a_k|)^2
となり

(1/N)*Σ[k=1,N](a_k)^2-((1/N)*Σ[k=1,N]|a_k|)^2
≧(1/N)*Σ[k=1,N](a_k)^2-((1/N)*Σ[k=1,N]a_k)^2
≧0

よって標準偏差≧平均からの差の絶対値の平均

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 19:02:46.96

>>50　すまん。絶対値外すところまたウソ書いてた忘れて

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 01:07:52.70

グラフで見れば
2個なら1/4円と斜線の比較
3個なら球面と平面の比較

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 09:14:35.70

>>52
なるほど、この上手な説明に感心しました。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 09:56:10.35

一辺の長さが1の立方体の内部を、一辺の長さがkの線分Lが両端を立方体の面に接した状態で動く。
Lが通過しうる領域の体積が立方体の体積の半分になるような正の実数kを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 18:40:59.81

せめて0～1～√2～√3の範囲を与えて欲しいな
まあ1～√2から調べるとは思うが

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 06:33:13.64

>>40
　α^7 = 1,　α≠1
∴　α’ = α^6,　(α^2)' = α^5,　(α^4)' = α^3,

β + β' = (α+α^2+α^4) + (α^6+α^5+α^3) = α + α^2 + α^3 + α^4 + α^5 + α^6 = -1, 　
β･β' = (α+α^2+α^4)・(α^6+α^5+α^3) = 3 + α + α^2 + α^3 + α^4 + α^5 + α^6 = 2,

∴　β, β' は z^2 + z + 2 = 0　の解。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 08:09:08.96

>>55
むしろ1～√2はほとんど(というか完全に？)取り尽くしてしまう気がするんだが

0～1のときは計算の目処はたつ
√2～√3は範囲がうまく想像できない

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 08:50:12.11

各面にアステロイドで切り分けられる4つの領域を描く(a>1/2ならつながる)
それを面と直交する方向に平行移動したものの合併
方程式
x^(2/3)+y^(2/3)<1
x<z (直線 (x,y)=(0,0)と(y,z)=(0,0)との距離)
y<z (直線 (x,y)=(0,0)と(x,z)=(0,0)との距離)
x<1-z (直線 (x,y)=(0,0)と(y,z)=(0,1)との距離)
y<1-z (直線 (x,y)=(0,0)と(x,z)=(0,1)との距離)
x<1/2 (直線 (x,y)=(0,0)と(x,y)=(1,0)との距離)
y<1/2 (直線 (x,y)=(0,0)と(x,y)=(0,1)との距離)
で定められる領域の体積の12倍

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 09:05:21.25

>>58
コレはa<√2の時

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 09:11:08.85

しまった
a<1の場合orz

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 09:19:16.56

内部の点Pに対してPを通り、端点を立方体の面上にとる線分の長さの最大値をM(P), 最小値をm(P)とする時、Pが通過領域にある条件はm(P)<a<M(P)
a<1ならM(P)>aは無視できて>>58

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/02/25(木) 19:58:45.21

前>>33逢えるのか？
>>54
球体になるのかな、
と思って半径rの玉の体積が1/2になるとしたら、
k=√2-(三乗根の3/三乗根のπ)=0.42946854053……
角の丸い立方体のような立体になるかもね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 06:47:25.86

無限人の囚人と帽子のパズル
囚人が（可算）無限人いる状況を考える。各囚人には他の囚人と区別するため番号（1,2,3,…）が振られている。
看守がやってきて次のように言った。「明日、各囚人の頭に赤or白の帽子をランダムに被せて、帽子の色を当てるゲームを行う。囚人たちは自分の帽子の色を推測して、全員一斉に赤か白か答える。間違えた囚人の数が有限であれば囚人側の勝ち。間違えた囚人が無限にいれば囚人側の負け。」
「なお、囚人たちは自分の帽子の色を知ることはできないが、他の囚人の帽子の色は全て見ることができる。だが、ゲームが始まると、囚人同士の意思疎通は一切禁止である。」
囚人たちは明日のゲームに備えてどのような戦略を取るべきか相談できる。
このとき、囚人側が必ず勝てるような

これって、赤と白の囚人が同数いれば間違う奴は無限にならない？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 07:33:27.25

つ選択公理

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 07:42:10.22

選択公理でも可算無限の間違いするだけじゃねーの？
無限、有限、可算無限て言葉が曖昧すぎるせいだけかも知れないが

二人の囚人がいて、十色の帽子被り自分を見られず他人にも教えられない
色なんかわかるわけないだろ
二色でも当てられない
無限人なら無限の間違いするだけじゃないの？

説明できる？
教えて欲しいんだ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 08:02:04.26

帽子の被せ方全体の集合を有限人数だけ違うのは同値という関係で同値類を作り完全代表系を選んでおいて共有しておく
囚人は自分以外の帽子はみれるので被せ方の同値類はわかる
そこであらかじめ共有しておいた同値類の完全代表系における自分の帽子の色答える

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 09:40:07.32

それで100％正答出来るの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 09:47:53.21

有限個を除いて正解するから囚人の勝ち

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/02/26(金) 09:48:40.22

前>>62
>>63
(i)赤白同数のとき
他の囚人の色を見て赤が多いと白と答え、白が多いと赤と答えれば全員正解。間違えた囚人の数は0すなわち有限。
(ii)赤白数が違うとき
輪になって並び、同一方向たとえば右向け右、右どなりの囚人の後頭部を見て赤なら赤と答えれば赤白違うとなりの一定数が間違う。すなわち有限。
(i)(ii)より囚人側が団結して打ちあわせ通りやればきっと勝てる。

帽子 · 2021/02/26(金) 10:16:07.95

自分の帽子の色は当てられないだろ
二人で自分の色を全部間違う可能性がある
無限ならそれが無限人になるだけ
無限なら無限間違うだけだろ

たかがめちゃくちゃ少ない可算無限に納められる可能性は認めるけど
無限は無限

帽子 · 2021/02/26(金) 10:28:38.86

赤と白でその数の差の内部に押さえられたとして、無限は無限なんだから有限じゃないだろ？
選択公理使っても無限にしか思えない

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 11:10:33.05

8%の食塩水に3gの食塩を入れたら14%の食塩水になった。8%の食塩水は何gか
これの答えの求め方が分かりません、
教えていただきたいです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 11:18:39.02

食塩と水を別々に考えろ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/02/26(金) 11:52:30.87

前>>69
>>72
8%の食塩水がxgあったとすると、
(食塩の重さ)/(食塩水の重さ)
=(0.08x+3)/(x+3)=14/100
8x+300=14x+42
6x=258
x=43(g)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 12:24:04.10

中学生レベルの質問でごめんないさい
日産ディーラーの会員カードが年会費1250円で
会計時に5%offになるのですが
年間いくら以上の支払いがあれは元が取れるのか
計算式を知りたいです
馬鹿な質問でごめんなさい

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 12:24:37.08

1375円の間違いでした。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 12:28:20.80

1375÷0.05＝27500

年間会計総額27500円のとき
割引額が1375円で、損益分岐点となる

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 12:32:36.41

サンキュー！！
ほんまに賢い人憧れる
https://i.imgur.com/iNatVZz.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 12:42:14.46

Snを調和級数(Σ1/k)のnまでの部分和としたとき、
([log2_n]+1)/2<Sn<=[log2_n]+1を満たすことを示せ。
ただし[x]はx以下の最大の整数を示すものとする。
お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 12:42:50.98

すでに他のカード持っていてそれで買い物するとポイントが付く場合はそれとの差も考慮しないとわからんのじゃないか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 14:37:21.78

a%の食塩水bgとc%の食塩水dgを混ぜて(b+d)gの食塩水を作った。
このときa,b,c,dはすべて整数で、a,cは1以上50以下、b,dは100以上の値であった。
このような整数の組(a,b,c,d)を全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 14:45:32.84

「最大値が最小値の2倍の、それぞれ異なる13つの自然数」の最小公倍数の最小値はどうやって求めたらいいでしょうか

1より大きく2未満の、それぞれ異なる11つの分数の、「それぞれの分母の最小公倍数と、それぞれの分子と2の最小公倍数」の積の最小値
と同じ値になりそうなので、総当たり的にそっちを調べました
調べた中で一番小さい値は30240でしたが、これより小さい値があるかどうかが分かりません

数学の知識がないので、初歩的な質問をしているかもしれず恐縮ですが、よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 14:50:20.72

非減少数列a[n]はa[1]=N,a[13]=2Nを満たし、各項は全て正整数である。
ここでNは正整数の定数である。
a[1],a[2],...,a[13]の最小公倍数s[13]と2N^2の大小を比較せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 18:28:27.30

勘で302400

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/02/26(金) 19:20:53.12

前>>74
>>54
平面で考えると双曲線4つで囲まれる領域になるから、
立体で考えると双曲面角錐か双曲面四角錐12個の体積が1/2
1個あたり1/6
推定すると、
k=(2の三乗根)
=1.25992104989…….

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 20:31:53.66

最小かどうかは分からないけど、
LCM[60,63,66,70,72,77,84,88,90,99,105,110,120] = 27720 = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 * 11

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 00:00:09.03

θを0<θ≦π/2の実数の定数とする。
曲線C:y=1-x^2(-1≦x≦1)を原点中心にθだけ回転させたとき、Cが通過しうる領域の面積をθで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 00:38:59.31

重なりがなきゃ線分と同じなんだが

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 17:35:39.02

>>86
27720以下で総当たりすると見つからないので277720が最小。

その組み合わせは以下の通り

[1] 60 63 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120
[1] 63 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120 126
[1] 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120 126 132
[1] 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120 126 132 140
[1] 84 88 90 99 105 110 120 126 132 140 154 165 168
[1] 165 168 180 198 210 220 231 252 264 280 308 315 330
[1] 198 210 220 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396
[1] 210 220 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396 420
[1] 220 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396 420 440
[1] 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396 420 440 462

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 17:42:01.71

5万以下で探索させて、総和も最小になるのを書き上げると

[1] 60 63 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120
[1] 70 72 80 84 90 96 105 108 112 120 126 135 140
[1] 60 63 65 70 72 78 84 90 91 104 105 117 120
[1] 84 88 96 105 110 112 120 132 140 154 160 165 168
[1] 100 105 108 120 126 135 140 150 168 175 180 189 200
[1] 99 105 108 110 126 132 135 140 154 165 180 189 198
[1] 140 156 160 168 182 195 208 210 224 240 260 273 280
[1] 70 72 80 81 84 90 105 108 112 120 126 135 140
[1] 140 150 154 165 168 175 200 210 220 231 264 275 280
[1] 88 90 96 99 108 110 120 132 135 144 160 165 176
[1] 105 108 117 126 130 135 140 156 180 182 189 195 210

最小公倍数は
[1] 27720
[1] 30240
[1] 32760
[1] 36960
[1] 37800
[1] 41580
[1] 43680
[1] 45360
[1] 46200
[1] 47520
[1] 49140
30240は2番目に小さい

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 17:56:12.20

>>89
×27720以下で総当たりすると見つからないので277720が最小。
〇27720以下で総当たりすると見つからないので27720が最小。

解説なしのおまけ（Rのコード）

library(numbers)
f <- function(nmax=27720,showALL=FALSE){
y=divisors(nmax)
y=y[y>12]
re=NULL
for(i in 1:length(y)){
if((2*y[i]) %in% y){
i2=which(y==2*y[i])
if((i2-i)==12){
re=y[i:i2]
cat(re,':','LCM =',mLCM(re),'\n')
if(!showALL) break
}
}
}
invisible(re)
}
vf=Vectorize(f)
DEL=vf(13:27720)
DEL=vf(27720:50000)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 18:05:54.17

>82の13個を15個に増やしてみると
> DEL=vf(50000:100000,N=15)
55 56 60 63 66 70 72 77 80 84 88 90 99 105 110 : LCM = 55440
160 168 180 189 192 210 216 224 240 252 270 280 288 315 320 : LCM = 60480
60 63 65 70 72 78 80 84 90 91 104 105 112 117 120 : LCM = 65520
100 105 108 112 120 126 135 140 144 150 168 175 180 189 200 : LCM = 75600

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 18:23:23.84

>>89

>>82です、調べてくださりありがとうございました
欲を言えば、総当たり以外で求める方法ももしあれば知りたかったのですが、最小が分かっただけでも満足です

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 20:38:37.31

>>93
コードにコメントいれて総当たりした方法を解説

f <- function(nmax,N=13,showALL=FALSE){
library(numbers) # 約数や最小公倍数を計算するライブラリ
y=divisors(nmax) # nmaxまでの約数の数列y
y=y[y>(N-1)] # N(=13)以上の約数のみ
re=NULL # 答の格納場所
for(i in 1:length(y)){ # N以上の約数y[i]について
if((2*y[i]) %in% y){ # y[i]の2倍の数がyに含まれれば
i2=which(y==2*y[i]) # 何番目かをi2に収納
if((i2-i)==(N-1)){ # i2とiの差がN-1(=12)であれば
re=y[i:i2] # 答として格納i番目からi2番目を
cat(re,':','LCM =',mLCM(re),'\n') # その最小公倍数を返す
if(!showALL) break　# showALLでなければ１つ表示してループからでる
}
}
}
invisible(re) # 答を返す
}

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 23:40:01.66

一階述語論理の真理値割当ては、構造を与えて変数に値割当てをする方法が一般的だと思いますが、それ以外の方法というのはないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 14:51:55.31

x^2-x+y^2-y=z^2-z
を満たす整数の組(x,y,z)が無数に存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 15:15:46.66

(0,n,n)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 17:50:29.66

(0,n,1-n)でもいいな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 20:27:39.21

正の整数に限定すると？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 20:28:18.36

(1,n,n)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 21:16:10.43

gj www

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 21:20:12.72

・x=y のとき
与式を 4倍すると
　(2z-1)^2 - 2(2x-1)^2 = －1,
いわゆる「ペル方程式」

　(x,y,z) が解ならば (3x+2z-2, 3y+2z-2, 2x+2y+3z-3) も解。
例えば
　(x,y,z) = (1,1,0)　(1,1,1)　(3,3,4)　(21,21,15)　(85,85,120)　…

一般項 (ビネの公式)
　x_n = y_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n-1} + (√2 -1)^{2n-1})/(4√2),
　z_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n-1} － (√2 -1)^{2n-1})/4,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 21:34:34.96

k=(1/2)(1+√(1+8ab)) を整数にするような整数 a,b を持ってくると、
(x,y,z)=(a+k,b+k,a+b+k)　は、x(x-1)+y(y-1)-z(z-1)=0　を満たす。

では、k=(1/2)(1+√(1+8ab)) を整数にするような整数 a,b　は無数にあるか？　答えはある。
適当な整数 r と m を持ってきて、a=2r-1、b=m(m(2r-1)±1)/2　とすれば、
k=(1/2)(1+√(1+8ab))=(1/2)(1+|4mr-2m±1|)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 21:46:48.39

>>102 (補足)
{2(2x+2y+3z-3)-1}^2 - {2(3x+2z-2)-1}^2 - {2(3y+2z-2)-1}^2 ＝ (2z-1)^2 - (2x-1)^2 - (2y-1)^2,

　(左辺) - (右辺) = - 16(x-y)^2 = 0,

例)
　(x,y,z) = (1,1,0)　(1,1,1)　(3,3,4)　(15,15,21)　(85,85,120)　(493,493,697)　(2871,2871,4060)　…
に訂正

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 22:02:52.75

完全解ならまだしも無限個なら>>100で終わってるのに何がしたいんだか

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 00:30:56.15

いろいろな解を見つけたいのでは？

・y=x+1 のとき
与式を 4倍すると
　(2z-1)^2 - 4x(x-1) - 4y(y-1) = 1,
いわゆる「ペル方程式」

{2(2x+2y+3z-3)-1}^2 - 4(3x+2z-1)(3x+2z-2) - 4(3y+2z-3)(3y+2z-4) = (2z-1)^2 - 4x(x-1) - 4y(y-1),

∴　(x,y,z) が解ならば (3x+2z-1, 3y+2z-3, 2x+2y+3z-3) も解。
例
　(x,y,z) = (0,1,1)　(1,2,2)　(6,7,9)　(35,36,50)　(204,205,289)　…

一般項 (ビネの公式)
　x_n = ((√2 +1)^{2n} － (√2 -1)^{2n})/(4√2),
　y_n = 1 + ((√2 +1)^{2n} － (√2 -1)^{2n})/(4√2),
　z_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n} + (√2 -1)^{2n})/4,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 12:27:17.08

任意の実数 x に対して、

n * cos(n^2*x)

は n → ∞ のとき、収束しないことを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 12:45:22.83

>>107

ちなみに、このことは、松坂和夫著『解析入門上』に証明なしで、あたかも当たり前の事実であるかのように書かれています。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 12:58:40.77

当たり前の事実じゃん

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 13:25:27.37

>>109

証明をお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 13:42:29.32

x=0のとき、n*cos(n^2*x) = n → ∞
x≠0のとき、n_k:=√|2πk/x|に対してn_k*cos(n_k^2*x) = n_k*cos(2πk) = n_k → ∞

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 13:55:00.09

>>111
n は正の整数です。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 14:23:02.04

x/πが無理数の時( (n+1)^2x - n^2x )/(2π)の小数部は[0,1)で一様に分布する

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 14:25:45.92

cos(n^2*x)が0に収束するとすると、cos((2n)^2*x)もまた0に収束する
しかし、cos((2n)^2*x)
= cos(4*n^2*x)
= 2*cos(2*n^2*x)^2 - 1
= 2*(2*cos(n^2*x)^2 - 1)^2 - 1
→ 2*(2*0^2 - 1)^2 - 1
= 1
よって矛盾し、cos(n^2*x)は0に収束しない
cos(n^2*x)が0以外の値に収束するならn*cos(n^2*x)は無限大に発散するし、
cos(n^2*x)が発散するならn*cos(n^2*x)も発散する

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 14:26:46.08

単行列生成零

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 14:29:18.98

なるほどうまいな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 15:35:43.12

ほんまや

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 17:58:09.59

>>114
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 18:35:33.62

>>114
|cos(n^2*x)| と |cos((2n)^2*x)| との間に４倍角公式
　cos((2n)^2*x) = T_4(cos(n^2*x))
の関係があるため、
これら両方を cos(72) = (φ-1)/2 = 0.309017 より小さくすることが
できぬのでござるか。なるほど～

ここに、　T_4(t) = 8t^4 - 8t^2 + 1,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 19:17:33.34

>>108

まとめると、当たり前ではなかったということですね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 19:30:04.09

Richard E. BORCHERDSというフィールズ賞受賞者がYouTubeに講義動画をアップロードしていますが、講義の質はどうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 20:20:03.78

それ自分もこの前知っていくつか見た
わりと式の気持ちや具体的な計算が聞ける感じ
相互法則のところではΓ関数とガウス和の類似の話があった
かといって凄く特別な話が聞ける感じでもなかったかな
動画数多くて幅広いから全体でどうなってるかは分からないけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 20:30:17.03

(補足)
[T_4(t)^2 - cos(72)^2] + 4[tt - cos(72)^2]
= 16[tt - cos(72)^2]^2・{cos(72) + 4[tt - cos(18)^2]^2}
≧ 0

∴　|T_4(t)| と |t| の少なくとも一方は cos(72) 以上である。

cos(72) = 1/(2φ) = 0.309017

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 20:36:29.80

旅先でバスや電車に乗りながら計算しまくってムーンシャイン予想を証明したんだっけ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 09:56:32.78

すべての n に対して、 a_n ≠ 0 とします。

lim sup |a_{n+1}/a_n| < 1 ならば、 Σa_n は絶対収束するという命題があります。
lim |a_{n+1}/a_n| > 1 ならば、 Σa_n は発散するという命題があります。

lim sup |a_{n+1}/a_n| > 1 であるが、 Σa_n は収束する例を挙げてください。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 10:10:06.92

1/2, 1/2, -1, 1/4, 1/4, -1/2, 1/8, 1/8, -1/4, …

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 10:47:02.82

>>126

ありがとうございました。

lim sup |a_{n+1}/a_n| = 2 > 1 であるが、 Σa_n = 0 ということですね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 12:02:41.22

a_n = {5+3(-1)^n} / 2^n

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 12:07:59.99

>>123
|t| < cos(72) < cos(18) のとき
T_4(t) - cos(72) = 8t^4 - 8t^2 + (1-cos(72))
　= 8 [tt - cos(18)^2] [tt - cos(72)^2]
　≧ 0,
∴　T_4(t) ≧ cos(72),
　Max{|t|, T_4(t)} ≧ cos(72),

あるいは

|cosθ| < cos(72) となるのは
　72<θ<108, 252<θ<288　(mod 360)

cos(4θ) < cos(72) となるのは
　18<θ<72, 108<θ<162, 198<θ<252, 288<θ<342　(mod 360)

よって共通部分はない。
　Max{|cosθ|, cos(4θ)} ≧ cos(72),

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 18:58:15.11

xyz空間において
1≦(1+x^2)(1+2y^2)(1+4z^2)≦8
を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 19:33:53.60

>>130
モンテカルロでやってみたら

> nrow(b)/nrow(gr)*6^3
[1] 11.72513

信頼区間は
1] 11.69124 11.75909

x=y=z=seq(-3,3,length.out=200)
f <- function(x,y,z){
a=(1+x^2)*(1+2*y^2)*(1+4*z^2)
1<=a & a <= 8
}
gr=expand.grid(x,y,z)
idx=mapply(f,gr[,1],gr[,2],gr[,3])
b=gr[idx,]
plot3d(b,col=4,xlab='x',ylab='y',zlab='z')
nrow(b)/nrow(gr)*6^3

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 19:38:06.17

>>131
こんな形状になった。

https://i.imgur.com/XbmRthP.mp4

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 20:46:30.29

>>132
かわいー

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 23:16:13.95

>>87
90°回転までの軌跡を動画にしてみました。
https://i.imgur.com/BSVX3IG.gif

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 02:30:26.26

11.8996

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 08:07:07.17

>>131
モンテカルロでの乱数の分布を立方体から直方体での一様分布に変えて再計算

> nrow(b)/nrow(gr)*xlim*ylim*zlim*2^3
[1] 11.9016

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 09:18:04.88

>>130
x,y,zを極座標表示するとかでいけない？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 19:38:17.02

11.899552777

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 21:46:19.15

(1) 級数 Σa_n において、すべての n に対し a_n > 0 とする。そのとき

lim sup (a_n)^(1/n) ≦ lim sup a_{n+1}/a_n

が成り立つ

(2) 級数 Σa_n において

lim sup (}a_n|)^(1/n) < 1 ならば Σa_n は絶対収束する。

(3) 級数 Σa_n において、すべての n に対し a_n ≠ 0 とする。このとき

lim sup |a_{n+1}/a_n| < 1 ならば Σa_n は絶対収束する。

------------------------------------------------------
級数 Σa_n で、

すべての n に対し a_n > 0 かつ lim sup (a_n)^(1/n) < 1 ≦ lim sup a_{n+1}/a_n

となるようなものはありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 22:08:04.52

>>126

がそうですね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 22:09:31.53

級数 Σa_n で、

すべての n に対し |a_n| > 0 かつ lim sup (|a_n|)^(1/n) < 1 ≦ lim sup |a_{n+1}/a_n|

となるようなものはありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 22:26:23.18

>>134
これはモンテカルロ法ではできそうにないなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 22:28:42.39

一つ覚えでは解けない問題もある

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 00:01:13.00

>>130
とりあえず
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_-7%5E0+%28%281-z%29*EllipticK%28z%29-EllipticE%28z%29%29%2Fsqrt%28%28z%2B7%29%2F%281-z%29%29%2F%281-z%29%5E2+dz+*16%2Fsqrt%282%29&;lang=ja

(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦8の体積の1/2/√2倍

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 09:13:07.91

p_k+1>p_k^(1+2/(2k-3)), for k>1

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 09:14:01.12

>>145 訂正
p_(k+1)>p_k^(1+2/(2k-3)), for k>1

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 11:50:05.70

>>146
これは成立しませんでした

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 14:58:49.14

>>144
形状の画像を期待してクリックしましたが、無料版じゃ描画されないみたいで残念。
でも、体積はモンテカルロでの数値と近似しているので>132の形状でいいのだろうと勝手に納得。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/03/05(金) 16:08:56.00

前>>85
>>130
球の中心が八面体表面を動いてできる領域かな？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/03/05(金) 17:23:54.49

前>>149
切り目の入ったマカロニ12本と球と内部の正八面体を足して掛ける2√2
となりあう正三角形の交わる内角109°ぐらいの値θ,
内部の正八面体の一辺の長さa,
マカロニの半径rがわかればわかる。
V/2√2=4πr^3/3+12πr^2a(360°-θ)/360°+2(1/3)a^2(a√2/2)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 18:03:40.83

x^2021+y^2=z^2
を満たす0でない整数の組(x,y,z)は無数に存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 18:21:38.18

>>121
隣り合った平方数の差は3以上の全ての奇数をとることからxが3以上の奇数であればそれに対応する(y,z)の組が必ず1つ以上存在する
したがって(x,y,z)の組は無限に存在する

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 18:21:58.46

>>151でした

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 18:25:02.88

((2n)^2021, 2^2019n^2021-1, 2^2019n^2021+1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 19:10:51.70

>>152
たった数行で華麗な解法ですね！驚きました
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 19:17:36.17

(±1, ±1/√2, ±1/2) での接平面
　|x| + |y√2| + |2z| = 3,
は八面体をなす。その体積は
　9√2 = 12.728
う～む、だいぶ大きい。

曲面は角が丸く、主軸の長さが　2√7, √14, √7.
一方、八面体は角が尖っていて　主軸の長さは 6, 3√2, 3.
なので大きくなった？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 21:03:51.90

x>0, y>0, z>0ならば
(x+y)^z+(x+z)^y+(y+z)^x>2
どうしたら示せますか？
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
にあった不等式です

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 22:03:50.63

微分して最小値でも求めてみな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 22:29:49.35

>>87
赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
あとは他の部分をどう計算するか
http://imgur.com/5IGmaVP.png

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 22:36:14.76

＞赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
訂正：θ/4

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 22:49:01.10

>>157
関数はx≧0,y≧0,z≧0から原点を除いた領域まで連続に拡張できるからそこで考える
まずx+y=a, z=0の領域において端点での値は2、未定定数法より極値はx+y=a/2の時で、その値は2a^(a/2)+1
この最小値はa=1/eの時1+2e^(-1/2e)>2
領域x+y+z=aで考える
この領域では(a-x)^x+(a-y)^y+(a-z)^z
境界では>2
極値はやはり未定定数法よりx=y=z=a/3のとき3(2a/3)^(a/3)
コレの最小値はa=3/(2e)のとき3e^(1/(2e))>2

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 23:00:25.74

集合論のブール値モデルを理解したい素人なのですが、前提知識として、集合論と位相空間論以外に何を理解している必要があるでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 23:30:56.35

0^0の極限が1だから最小値は3だと思ったけど違ったか

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 23:41:48.45

「集合論のブール値モデル」って何や？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 00:19:32.43

>>158
>>161
ありがとうございます。x+y+z=a上の極値を未定乗数法で考えたらわかりました。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 01:36:01.64

スレ違いかもしれないですが、教えて欲しいです。
例えば4月は10個5円、5月は3個20円のものがあれば、5月と4月の差は

3*20-10*5=10円で計算できますが、この計算式以外に5月と4月の差である10円を算出する方法はありますかね

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/03/06(土) 01:37:22.61

前>>150
違うなぁ。正八面体表面を動き回る球体を2√2倍じゃない。
>>132の輪郭は辺に平行な線を描いてない。
辺や面の中央ほど中心方向にくぼんでる。
まるで重力に引っ張られてるみたいに。
立方体内部の立体の2√2倍と考えて、
0≦x≦√7,0≦y≦√14/2,0≦z≦√7/2だけを求めて16√2倍か。
>>130推定値を出してみる。
過不足相殺するとして(1/8)√7(√14/2)(√7/2)16√2=7√7
=7×2.64171……
=18.49197……
≒18.492

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/03/06(土) 02:04:43.26

前>>167
内部の八面体の体積は√7(√14/2)(√7/2)=7√14/4=6.5……
端っこが丸いったって2倍に膨れるわけがねえでな、
11か、いって12か。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 05:41:39.33

>>156

(±1, ±1/√2, ±1/2) で接する凸曲面
　|x|^a + |y√2|^a + |2z|^a = 3,
は角が丸まる。
　a = log(9)/log(7) = 1.12915
とおけば、主軸の長さも 2√7, √14, √7
体積は 11.4929　でやや小さめ…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 07:23:45.77

>>166
あるよ。

()を使わない前提で
3*20-10*5=10
の他に
3*20-5*10=10
20*3-5*10=10
20*3-10*5=10
3*20-10-10-10-10-10=10
20+20+20-5*10=10
20+20+20-10*5=10
3*20-10-10-10-10=10
20*3-10-10-10-10=10

列挙漏れがあるかなぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 07:58:15.77

>>166
なぜその計算で出てくる10円が「5月と4月の差」と呼ばれるものになるのか理解出来ない
何を計算してんの？それ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 08:34:05.40

問題にしてみる

購入数と単価は
4月は10個5円、5月は3個20円、6月は5個10円、7月は4個15円のとき購入総額を括弧や空白を使わないで計算する式は何通りあるか。

計算式の例
10*5+20+20+20+10*5+15+15+15+15
5*10+3*20+5*10+15*4

系統的に列挙するのも面倒そうだな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 08:35:33.24

>>170
20+20+20-10-10-10-10-10が漏れていた。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 08:53:31.10

>>172
順不同で途中で別の月の値を入れる
計算式20+20+15+15+15+15+20+10*5+5*10
とかでもいいことにすると更に厄介。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 12:23:48.66

>>170
>>172

確かに*や+の選び方とか並べ替え方で数式が色々できるね、抜けてました。ありがとう。

>>171
情報不足で申し訳ない。
個数*単価の月額売上（支払でも可）を計算したかった。
4月と5月の売上を比べると5月の売上が10円多い計算だけど、この10円増えた根拠を知れる計算式ってあるかなという意図だった。
4月と5月を比べて、5月の売上が多いのは、
・（5月減要素）個数は4月が多い
・（5月増要素）数量は5月が多い
・（5月増要素）単価は5月が高い
だと、思うんだけど各要素の計算式（複数必要？）を使って、4月と5月の売上の差の10円を算出することってできるのかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 13:21:59.67

しっくりこない人と同じ匂いを感じる

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 17:08:43.54

>>150
計算シタイナーの公式
　v(r) = (4π/3)r^3 + Mr^2 + Sr + v(0),

一辺の長さaの正八面体の場合
　M = 6(2π-θ)･a,
　S = (2√3)･a^2,
　v(0) = (√2)/3･a^3,
ここに
　θ = arccos(-1/3) = 1.910633236 = 109.47122°

>>167
　面の中央 (±1, ±1, ±1) はかなり平坦…
　|x| + |y| + |z| ≒ 3,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 19:24:50.57

>>157
　{x+y, y+z, z+x} の中に１以上のものが…

2個以上のとき　明らかに成立。

1個のとき
　x+y ≧ 1 > y+z, z+x　とする。
　(x+y)^z ≧ 1,
　(y+z)^x + (z+x)^y > (y+z) + (z+x) > x+y ≧ 1,　　(0<x,y<1)
　辺々たす。

0個のとき
　0 < x, y, z < 1.
　f(z) = (x+y)^(1-z)　は下に凸だから
　f(z) < f(0)(1-z) + f(1)z,　　(0<z<1)
　(x+y)^(1-z) < (x+y)(1-z) + z < x+y+z,
　(x+y)^z > (x+y)/(x+y+z)　　…　ベルヌーイ
　巡回的にたす。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 19:28:54.70

>>178
全部1未満の時は？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 19:40:15.32

不定積分ですが

∫(e^x)(sinx)dx
=(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx
=・・・

または
=(e^x)(-cosx)-∫(e^x)(-cosx)dx
=・・・

前者と後者ですが、計算を進めていくと両者とも当然同じ解になりますが、
計算のやりやすさを考えると、前者と後者はどちらがお勧めですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 20:25:09.60

>>180
天下り的になるけど、特に工学部は大学進学後もe^(-ax)sinbxやe^(-ax)cosbxの積分を嫌になるほど使うので、結果を暗記した方がいい
受験対策にもなるし大学進学後も役立つ
それほど多用するし暗記する価値があるとは覚えておいてほしい

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/06(土) 23:44:47.95

知らんうちに暗記してるだろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 01:21:24.08

>>177
　Measure
　Surface area
　Volume
を凸体の３基本量と云うらしい。

木原太郎「分子と宇宙」岩波新書 (黄版) 104 (1979)　第7章
J. Phys. Soc. Jpn., ６, p.289 (1951)
J. Phys. Soc. Jpn., ８, p.686 (1953)
J. Phys. Soc. Jpn., １２, p.564 (1957)
Rev. mod. phys., ２５, p.831 (1953)
Rev. mod. phys., ２７, p.412 (1955)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 11:52:41.67

二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 11:53:14.19

二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 13:15:54.41

収束域て何？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 13:24:23.98

(1+x)^α が収束するような実数（複素数）全体の集合のことです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 13:32:21.54

上で (1+x)^α と書きましたが、 (1+x)^α を二項展開したべき級数に置き換えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 14:28:05.97

αが非負の整数である場合を除いて1でしょ？
そんな程度の事いちいち書いてある教科書なんかないんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 15:14:57.60

二項定理・二項展開じゃなくてマクローリン展開ね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 15:34:46.30

1000以下の素数は246個以下であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 15:41:23.71

primes = let
sieve (p:ps) xs = let
(h,~(_:t)) = span (< p*p) xs
in h ++ sieve ps [x | x <- t, rem x p /= 0]
in 2: 3: sieve (tail primes) [5,7..]

main = print $ length $ takeWhile ( <= 1000 ) primes
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168

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 16:22:39.62

>>192
無意味な解答で時間の浪費ですね
素数の定義に基づき計算機を使わず示してください

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 16:33:25.67

二項級数は一般化された超幾何級数に含まれる
てのは牛刀だな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 16:47:14.47

1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}

以上の計算結果と包除原理により、

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、

500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。

よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。

100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。

p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。

(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 21 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。

(p_4)^3, (p_4)*(p_5) ≦ 1000 であり、これらの 2 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。

以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 21 + 2 = 754 個含む。

よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 16:50:06.61

訂正します：

1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}

以上の計算結果と包除原理により、

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、

500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。

よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。

100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。

p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。

(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 22 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。

(p_4)^3 ≦ 1000 であり、この自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。

以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 22 + 1 = 754 個含む。

よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 17:01:59.23

>>193
てか千葉大の問題で普通に解いて240以下が示せるのに246以下なんかなんの意味があんねん？
問題にそもそも意味ないやん

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 17:11:43.19

おっと訂正
244以下ね
1050以下の数に2,3,5,7と互いに素であるのが240個しかない
2,3,5,7と合わせても244
246にしても千葉大の普通の解答がそのまま通用するのに

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 17:59:18.95

>>177
面の中央 (±1,±1,±1) はかなり平坦なので
正八面体　|x| + |y| + |z| ≦ 3　で近似しよう。

辺(稜)の中央はたしかに窪んでいる。
　(0, ±√(√8 -1), ±√(√8 -1))
そこで稜を削って
　|x| + |y| ≦ 2√(√8 -1),
　|y| + |z| ≦ 2√(√8 -1),
　|z| + |x| ≦ 2√(√8 -1),
としよう。
　切稜正八面体 (20面体)
体積は 11.761802　(小さめ)
軸の長さは 4√(√8 -1) = 5.4087738 で
　2√7 = 5.2915026 より長い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 19:21:08.96

問題　：　1000000以下の素数は78498個以下であることを示せ。

答：数えたら78498個なので78498個以下である。