IUTを読むための用語集資料スレ2
0201１３２人目の素数さん
2022/02/04(金) 16:10:27.26ID:2uUUa+ra書けないなら、10年ROMれ
0202１３２人目の素数さん
2022/02/06(日) 12:08:54.90ID:dcjQr8w9https://tsujimotter.はてなブログ/entry/affine-scheme-2
tsujimotterのノートブック
2019-05-07
アフィンスキームとは何だろうか(2)
前回はアフィンスキームの定義に向けて、環のスペクトルとザリスキー位相という概念を紹介しました。位相が入ったので、環のスペクトルが位相空間になりました。
今日は、位相空間の上の 構造層 がテーマです。最終的には、アフィンスキームを定義するところまでいきたいと思います。
本記事の目次：
4. 構造層
代数多様体のアナロジー
構造層の定義
具体例：X = Spec(Z) の場合
前層と層
用語の定義
5. アフィンスキームの定義
アフィンスキームの具体例1：Spec(Z)の場合
アフィンスキームの具体例2：Spec(O_K)の場合（代数体の整数環）
アフィンスキームの具体例3：Spec(K)の場合（体の場合）
おわりに
参考文献
次回はこちら
0203１３２人目の素数さん
2022/02/06(日) 13:08:03.55ID:dcjQr8w9https://tsujimotterはてなブログ/entry/affine-scheme-1
tsujimotterのノートブック
2019-05-06
アフィンスキームとは何だろうか(1)
第１部（本記事）：
1. 代数幾何の基本
2. 環のスペクトル
3. ザリスキー位相
第２部（5/7公開予定）：
4. 構造層
5. アフィンスキームの定義
第３部（5/8公開予定）：
6. アフィンスキームの射
7. アフィンスキームの射の具体例
8. まとめ
0204１３２人目の素数さん
2022/02/10(木) 11:24:21.71ID:GluAcDmnより、IUT関連記述抜粋
P15
6 アルゴリズム的遠アーベル幾何学と単遠アーベル幾何学
2節での基本‘予想，の内容は，遠アーベル代数多様体はその基本完全系列から‘復元’される， とい
うものであった．そして， その定式化である2節の相対遠アーベル性や3節の絶対遠アーベル性は，
どちらも，二つの(遠アーベル的であろう）代数多様体'X'と'Y'が用意された際の，それらの間の
同型射と， それらの基本群の間の連続同型射との関係を問題としている．
つまり， この定式化による‘遠アーベル性'の研究とは，大雑把に言えば，
適切な代数多様体のなす圏に制限された'π1'という関手の充満性や忠実性といった性質の研究であると要約される．
そして， この場合，議論にしばしば登場する‘群論的，という用語は，
‘基本群の間の任意の連続同型射で保たれる，という性質を意味する．
望月は，基本‘予想'における‘復元'とは何か， という問を改めて見つめ直し, [60], {61], [63]に
おいて， ‘アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学'，
そして， より狭義な枠組みとしての単遠アーベル幾何学(mono-anabelian geometry)という考えを提唱した．
その上,上述の‘充満性･忠実性の観点によるこれまでの遠アーベル幾何学'を双遠アーベル幾何学(bi-anabelian geometry)と呼び，
これら‘二つの遠アーベル幾何学，に区別を与えた．
アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学とは，簡単に言ってしまえば，以下のような内容を
持つ遠アーベル幾何学の研究のことである．
アルゴリズム的遠アーベル幾何学 与えられた代数多様体Xに対して，抽象的な位相群π1(X)を
‘入力データ'として， そして，代数多様体Xに付随する幾何学的対象(例えばXそれ自体）を‘出力データ'とする‘純位相群論的アルゴリズム'を確立せよ．
そして，単遠アーベル的輸送(mono-anabelian transport) (例えば[65]を参照)という枠組みで
のその純位相群論的復元アルゴリズムの研究が，単遠アーベル幾何学である．遠アーベル幾何学の大
きな応用である宇宙際タイヒミュラー理論{66]-[69]では, このアルゴリズム的遠アーベル幾何学や
単遠アーベル幾何学が中心的な役割を果たすのである．
0205１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 18:06:33.74ID:seCJnoFl>遠アーベル幾何学の進展 星裕一郎 数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋
IUTは、本丸天守閣でしょうか
今風ならば、鬼滅の無限城でしょう
星 遠アーベル幾何学の進展は、
城下町の様子やお城の配置、
本丸や天守閣の様子の記述はあるが
お城内部の立ち入った記述はない
しかし、外堀と内堀は埋められ
お城の様子も概略は記されている
これを読んでから
IUTを読めば
IUTを理解するのに
良いと思う
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AC%BC%E6%BB%85%E3%81%AE%E5%88%83
『鬼滅の刃』
3.5 無限城編（16巻 - 23巻）
0206１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:01:36.67ID:seCJnoFl>遠アーベル幾何学の進展 星裕一郎 数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋
円分物 （cyclotome）が、出てくる
が、”cyclotome”は、数学用語としては未定着（独自用語）のようであり
また、”円分物”も同様に、未定着（独自用語）のようである（円分物≠円分体です）
下記など、ご参照
https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
? K を体, r を正整数とする. K× を K をその乗法構造によって可換モノイドと考えたもの,
K× def= K \ {0} を K の非零元のなす群 (特に, 自然な同型 (K×)? ?→ K× が存在する),
μ(K)def = (K×)tor ⊆ K× を K の中の 1 の巾根のなす部分群,
μr(K)def= μ(K)[r] ⊆ K× を K の中の 1 の r 乗根のなす部分群とする. また, K が標数 0 の代数的閉体のとき,
Λ(K)def= T(μ(K))
(つまり, “^Z(1)”) と書き, これを K に付随する 円分物 と呼ぶ.
P16
3.6. 大域的円分物の復元, 局所大域円分剛性同型*9
この同型射を 局所大域円分剛性同型 と呼ぶ.
*9 円分物の間の適切な同型は 円分剛性同型 と呼ばれ, 遠アーベル幾何学において重要な役割を果たしてきた.
例えば, [1] で与えられている PSC 型遠半グラフの理論から生じる円分剛性同型は幾何的な円分物の
間の同型射であり, 組み合わせ論的遠アーベル幾何学において基本的な存在となっている. また, 別の例
として, [6] で得られている単テータ環境の理論から生じる円分剛性同型が挙げられ, これは, 望月新一氏
による宇宙際 Teichm¨uller 理論で非常に重要な役割を果たしている.
つづく
0207１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:02:46.88ID:seCJnoFlつづき
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory) By 星 裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
目次
§ 0. 序
§ 1. 円分物
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型
https://setsuri-nihon.net/math/14971
摂理研究所/キリスト教福音宣教会
宇宙際タイヒミュラー理論入門を読んでみた。その3
2017年12月21日2017年12月24日
前回までのあらすじ
長らく書いていなかったので、これまでのあらすじを書いていこうと思います。
星裕一郎さんの論文の最初に「円分物」と呼ばれるものが出てきます。これはTate捻りZ^(1)と呼ばれるものである、と論文には書かれています。いくつかの定義が書いてあったのですが、その一つがこちらでした。
略
しかし、改めて読むとこれが何を意味するのかよくわからないな…(´・ω:;.:…と思いました。
そこで、今日はこれを図で見ながらもう少し詳しく説明していきたいと思います。
逆極限を図で説明してみた
どうして、こんなややこしいことをしているのか
簡単に言うと、この表記が真価を発揮するのはΩが他の代数閉体の時です。
例えば、Ωとして考えられるのは、代数的数全体(つまり、有理数係数のn次方程式の解となる数全体)^Qやp進数体Q_pの代数閉包等です。
これらはCと違ってバラバラ(離散的)になっていますので、円を「描く」ことが出来ません。
また、例えばQ_pで|z|_p=1を満たす数というとpで割り切れない(pベキの倍数で表せない)数全体なので、これが円というのはなんとなく違う感じがします。
実は、数論幾何学や代数幾何学において「円周」というのはとても重要な図形です。Cの場合はそれがきれいな円で表せたのですが、それ以外の代数閉体でも表現できないか？というのが「円分物」の存在理由かと私は思います。
実際、lim_←nμ_{n}(Ω)なら、似たような性質が成り立つことが示せるのではないか…と思っています。詳しくは分かりませんが…。
つづく
0208１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:03:07.84ID:seCJnoFlつづき
https://freestylewiki.xyz/fswiki/wiki.cgi?page=%E5%86%86%E5%88%86%E7%89%A9%E3%83%BB%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
[数学,IUT]
円分物・円分体
概要
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 のm(>2)乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。
https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_cyclotomique
Extension cyclotomique
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(引用終り)
以上
0209１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:16:12.93ID:seCJnoFl用語 NF (= Number Field)： K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field) である
https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
・ K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field)
であると言うことにする. ある素数 p が存在して K が Qp のある有限次拡大と同型であるとき, K
は MLF (= Mixed-characteristic Local Field) であると言うことにする.
0210１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 22:18:26.14ID:seCJnoFl古典的 Neukirch ・ 内田の定理と単遠アーベル的復元との関係
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 の報告原稿である.
P2
1 Neukirch ・ 内田の定理と単遠アーベル的復元
NF の絶対 Galois 群の位相群としての同型類によって, その NF
の同型類が完全に決定される. 別の表現を用いれば, 絶対 Galois 群は NF に対する “完
全な不変量” であるということがわかる. この意味において, “その絶対 Galois 群によっ
て NF を復元することができる” と考えることが可能であろう.
一方, 望月新一氏は, [8] の中で, “そもそも復元とは何か?” という問についての考察を
行い, そこで, “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考え方を提唱した.
この考え方のある側面を簡単に述べてしまうと, これは, “何を遂行すれば所望の復元が完
了したと考えるか” という “復元という行為の完了の基準” の設定の問題であると言える
であろう. 本稿の主題である問の場合に, “双的な復元, 双遠アーベル的復元” の復元完了
基準を具体的に述べれば, 例えば以下のようになる.
つまり, さきほど復習した Neukirch ・ 内田の定理の証明を与えることが, 双遠アーベル
的復元の遂行に他ならない. それでは, この場合の “単的な復元, 単遠アーベル的復元” の
復元完了基準は何であろうか. それは例えば以下のとおりである.
つまり, 復元の “入力” から “出力” を生成する関手的な手続きを与えることができた
とき, “単的な復元” は完了するのである. このように, 2 つの対象 (つまり, “Fo と F・”)
を比較して復元を議論するのではなく, 単独の対象 (つまり, “F”) によってその復元を議
論するので, “双” ではなく “単” なのである. また, 上の具体的な例からも推測できるよ
うに, 通常は, 単遠アーベル的復元を遂行すれば, その系として, 双遠アーベル的復元が得
られる.
つづく
0211１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 22:18:45.25ID:seCJnoFlつづき
以上が, [8] で提唱されている “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考
え方の簡単な解説である*2
一方, もちろん, “双遠アーベル的復元” と “単遠アーベル的復元” の差が, 高々結論の定
式化の差として生じている場合もあるであろう. つまり, もしもある定理が “双版” で述
べられていても, 実質的にはその “単版” を証明していることもあるであろう. 実際, さき
ほど復習した Neukirch ・ 内田の定理の証明を検証してみると,
関数体の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えている
ことがわかる. (これについては, §3 ? 特に, 3.9 ? で少し説明を行う.) つまり, Neukirch
・ 内田の定理の証明から, 実際には以下の主張を証明することができる.
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3
それでは NF の場合はどうであろうか. 再び Neukirch ・ 内田の定理の証明を検証して
みると,
NF の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えていない
ことがわかる. つまり,
Neukirch ・ 内田の定理の証明から, 絶対 Galois 群を出発点として元々の NF を群
論的に構成する手続きを得ることは (少なくとも直ちには) できない
のである.
本稿 (そして, 講演) の主結果の概要を述べるために, 定義を与える.
主結果の概要. NF 型位相群 G から G 作用付き代数的閉体 F(G) を (位相群の開単射
に関して) 関手的に構成する “群論的手続き” が存在する:
(引用終り)
以上
0212１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 12:59:25.01ID:/qkcTHB7”the reader will not find any proof that is longer than a few lines ・・ which is in line with the amount of mathematical conten ”
https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf
Mochizuki, Shinichi
Inter-universal Teichmuller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English)
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021). Reviewer: Peter Scholze (Bonn)
In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content.
(引用終り)
つまり
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines”、”which is in line with the amount of mathematical content”
対する 星 裕一郎くんの答えは、下記
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
P4
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3
注）
*3 単遠アーベル的復元は, “所望の手続きの存在を証明する” ことが目的なのではなく, “所望の手続きを与える” ことが目的である.
特に, 主張の中にその手続きを書くべきとされる. （略）
例えば, [8],Corollary 1.10, は, その主張を述べるためにおよそ 3 ページが費やされ,
しかし, 証明がたったの 2 行で終わってしまうという, 従来の数学では比較的珍しい構成になっている.
このような状況が生じる背景には, この “主張の中にその手続きを書くべき” という考えがある.
[8] S. Mochizuki, Topics in absolute anabelian geometry III: Global reconstruction
algorithms, RIMS Preprint 1626 (March 2008).
(引用終り)
以上
0213１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 13:06:50.92ID:/qkcTHB7絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
これ必読だね
0214１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 16:18:56.18ID:/qkcTHB7これは、大事だね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf
数理解析研究所講究録
971 巻 1996 年 30-39
楕円曲線の数論の歴史
早稲田大学 足立恒雄
本稿は津田塾大学で開催されたシンポジウム 『20 世紀数学』 (95 年11月) における
講演と京大数理解析研究所における研究集会『代数的整数論とフェルマー問題』 (95年12 月) における講演をまとめ、加筆修正したものである。
楕円曲線の歴史と一口に言っても膨大・多岐に亙るから、 ここでは
(1) Fermatの先駆的研究、
(2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、
(3) フェルマー問題の Frey による谷山予想への還元、
の三つに絞って考察することにする。
P4
§3 群構造の発見
これによって、 Mordell あるいは
Hurwitsと Mordell の間のころに、少なくとも implicit には楕円曲線上の点の全体が群をなすと
いう事実が気付かれたものと思われる。
Weil([29])は Finite Basis Theorem の証明を簡易化したが、 パラメータの加法演算の
幾何学的な意味も説明し、 目的が「この加群が有限生成であることの証明である」 と宣
言している。 また、 その証明も (Mordell の場合と違って) 群であるという事実が基本的
に使われている。 このようなわけだから、楕円曲線の群構造を explicit に指摘した人は
Weil であるといって良いことになるのではなかろうか。
0215１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 17:45:48.57ID:/qkcTHB7https://sugakubunka.com/gendaisugaku-5-8/
株式会社すうがくぶんか
第7回 p進タイヒミューラー理論とその周辺
講師 若林泰央
東京工業大学理学院数学系助教
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科（数理解析研究所）にて博士号取得後、東京大学大学院数理科学研究科特任助教等を経て、現職。
講演内容
p進タイヒミューラー理論とはいったい何でしょうか．この理論は，素数が1より小さくなったり，さらには0になってしまうような数の世界が舞台です．そんな不思議な世界から「かたち」やその変形のようすをながめると，いつもと違う景色が見えてくるかもしれません．この講演では，幾何学と数論が交差するp進タイヒミューラー理論のココロについてお話しします．
※予習回では梅崎直也（すうがくぶんか講師）が若林先生の講演の予備知識を解説いたします。（内容未定）
日程
予習回：2022年2月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年2月20日（日）13:00-18:00
第8回 宇宙際タイヒミューラー理論
講師 加藤文元
東京工業大学教授
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科数学・数理解析先行博士後期課程修了、マックス・プランク研究所研究員、レンヌ大学やパリ第6大学客員教授なども歴任
講演内容
下記第4回講座の内容についてより詳しく解説します。
“宇宙際タイヒミューラー理論はABC予想の解決のために2012年に京都大学数理解析研究所の望月新一教授によって発表された理論です。この理論のアウトラインを、以前、私は「たし算とかけ算の絡み合い」をいかにしてほどくかという見地から、MathPowerで説明したことがあります。今回はこれを「数体のカタチ」のタイヒミューラー変形というアプローチから説明しようと思います。”
加藤先生には2017年のMathPowerにて「ABC予想と新しい数学」と題して宇宙際タイヒミューラー理論についてご講演いただきました。以下の動画をご覧ください。
日程
予習回：2022年3月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年3月20日（日）13:00-18:00
アーカイブ視聴について
各講座は全て録画されるため、講座終了後も復習のために2年間アーカイブ視聴が可能です。また、リアルタイム以外でのご参加も可能です。（すうがくぶんかの録画講座の詳細はこちら。）
0216１３２人目の素数さん
2022/02/13(日) 10:12:59.77ギャハハハハハハ！！！
0217１３２人目の素数さん
2022/02/13(日) 11:06:56.04ID:xCKc9AAc江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する
「4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。」
勘違いショルツェ氏との戦いを避けるべからず
頑張ってください、IUT陣営のみなさんへ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%9F%E5%B4%8E%E7%8E%B2%E6%96%BC%E5%A5%88
江崎玲於奈
1973年（昭和48年）にアイヴァー・ジェーバー、ブライアン・ジョゼフソンとともに、トンネル効果に関連して日本人としては4人目となるノーベル賞（ノーベル物理学賞）を受賞した[2]。
発言
1994年夏のリンダウ・ノーベル賞受賞者会議で、江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する。
原文：Esaki's “five don’ts” rules
1.Don’t allow yourself to be trapped by your past experiences.
2.Don’t allow yourself to become overly attached to any one authority in your field ? the great professor, perhaps.
3.Don’t hold on to what you don’t need.
4.Don’t avoid confrontation.
5.Don’t forget your spirit of childhood curiosity.
日本語訳
1.今までの行き掛かりにとらわれてはいけない。 呪縛やしがらみに捉われると、洞察力は鈍り、創造力は発揮できない。
2.大先生を尊敬するのはよいが、のめり込んではいけない。
3.情報の大波の中で、自分に無用なものまでも抱え込んではいけない。
4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。
5.いつまでも初々しい感性と飽くなき好奇心を失ってはいけない。
0218１３２人目の素数さん
2022/02/13(日) 11:37:24.17社会の負け犬中卒に主義なんかあるわけないじゃん
ただ自国自慢したいだけの馬鹿だろが
ギャハハハハハハ！！！
0219１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 07:56:20.75ID:USplO5Y7岩波科学ライブラリー
深層学習の原理に迫る
数学の挑戦
著者 今泉 允聡 著
刊行日 2021/04/16
深層学習はなぜうまくいくのか？ その原理を数学的に解明するという難題に、気鋭の研究者が挑む。
深層学習の原理に迫る
試し読み https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0297030.pdf
上記「試し読み」の”まえがき”中に、次の一文がある
「なお数学的な理論で物事が表現できることと、人間の理解に?がることは同一ではなく
そこには大きなギャップがある。このギャップを埋めること、
すなわち数学的成果を直観的に読者に伝えることは、本書が大事にしている原則の一つである。」
至言である
IUT関係者に捧げたい
Nスぺちゃんと見ろよ！
（参考：上記著書の元になった講演）
https://drive.google.com/file/d/1bNN6VjsgdpJAqxvZ4EKAPpMGq9wfjHqf/view
東京大学 今泉允聡
ISM75周年
講演スライド
オープンハウス2019スライド
深層学習の原理を明らかにするこころみ
0220１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 08:43:39.49ID:USplO5Y7etale
エタール
https://educalingo.com/ja/dic-fr/etale
フランス語辞典でのetaleの定義
辞書の中のetaleの定義は、不動であり、上りまたは下りを停止し、逆の動きを開始しなかったことである。 海がまだ2つの潮の間にある短い時間。
https://ja.glosbe.com/fr/ja/%C3%A9tale
フランス語-日本語 の辞書 - Glosbe辞書
etale
平穏
https://kotobank.jp/frjaword/etale#:~:text=%C3%A9tale,%E3%81%8C%EF%BC%89%E5%8B%95%E3%81%8D%E3%81%AE%E6%AD%A2%E3%81%BE%E3%81%A3%E3%81%9F%EF%BC%8E
etale
ポケットプログレッシブ仏和・和仏辞典 第3版（仏和の部）の解説
etale
[形]静止した；（潮，河川が）動きの止まった．
━[男]『海』 停潮．
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale
Etale
0221１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 08:55:05.34ID:USplO5Y7https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
エタール・コホモロジー（etale cohomology）はアレクサンドル・グロタンディークがヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異コホモロジーの類似になっている。
0222１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 15:38:57.10ID:USplO5Y7https://mainichi.jp/graphs/20200403/mpj/00m/040/003000f/11
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月教授 斬新・難解で査読に8年
2020/4/3 14:00
説明資料PDF[11/13]より
ここに、IUT論文の”復元”が、計算機プログラムのようであり
「ステートメントは長いが
証明は自明という
定義や命題を積み重ねていくことによって
高度に非自明な構造を作り上げています。」
と、 星 裕一郎氏と、同様の記述があるね
0223１３２人目の素数さん
2022/02/20(日) 00:22:02.21ID:YwLjfsx8この様にしてSetAは糞の役（肥料）にも立たないどころか世界共通公害な毒レスを撒き散らし続ける｡
0224１３２人目の素数さん
2022/02/23(水) 12:21:57.52ID:U3yS+cNOhttp://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/selection.html
Several articles of H.Nakamura
Several articles of H.Nakamura
Galois-Teichmueller theory:
0225１３２人目の素数さん
2022/03/01(火) 17:11:30.40ID:gvkJYeIp0226１３２人目の素数さん
2022/03/08(火) 11:38:04.11ID:CB4pW5vahttps://en.wikipedia.org/wiki/Tate_module
In mathematics, a Tate module of an abelian group, named for John Tate, is a module constructed from an abelian group A. Often, this construction is made in the following situation: G is a commutative group scheme over a field K, Ks is the separable closure of K, and A = G(Ks) (the Ks-valued points of G). In this case, the Tate module of A is equipped with an action of the absolute Galois group of K, and it is referred to as the Tate module of G.
Contents
1 Definition
2 Examples
2.1 The Tate module
2.2 The Tate module of an abelian variety
3 Tate module of a number field
Examples
The Tate module
When the abelian group A is the group of roots of unity in a separable closure Ks of K, the p-adic Tate module of A is sometimes referred to as the Tate module (where the choice of p and K are tacitly understood). It is a free rank one module over Zp with a linear action of the absolute Galois group GK of K. Thus, it is a Galois representation also referred to as the p-adic cyclotomic character of K. It can also be considered as the Tate module of the multiplicative group scheme Gm,K over K.
0227１３２人目の素数さん
2022/03/10(木) 07:21:07.81ID:ix0kZYRPhttps://arxiv.org/pdf/2202.00219.pdf
Approximating Absolute Galois Groups
Gunnar Carlsson, Roy Joshua
February 2, 2022
P4
where S1 denotes the circle group,
Proposition 2.3 The construction A → A＾ satisfies the following properties.
1. The＾-construction defines an equivalence of categories from the category of compact topological
abelian groups to the opposite of the category of discrete abelian groups. The＾-construction is
its own inverse.
2. For a profinite group G, G＾ is isomorphic to Homc(G, μ∞), where μ∞ ⊆ S1 is the group of
all roots of unity, isomorphic to Q/Z. If G is a p-profinite group, then μ∞ can be replaced by
μp∞, the group of all p-power roots of unity, isomorphic to Z[1/p]/Z.
3. The functor A → A＾ is exact.
4. For G a profinite abelian group, G is torsion free if and only if G＾ is divisible. Similarly for
“p-torsion free” and “p-divisible”.
Proof: Statement (1) is one version of the statement of the Pontrjagin duality theorem, (2) is an
immediate consequence, and (3) follows immediately from (1). It remains to prove (4). To prove
(4), we note that G is torsion free if and only if the sequence 0 → G ー(×n) -→ G is exact. The exactness
proves that this occurs if and only if G＾
G＾ ×n ー(×n) -→G＾-→ 0 is exact, so ×n is surjective. This is the result.
We now have the main result of this section.
Theorem 2.1 Let F be any field containing all roots of unity. Then the absolute Galois group GF
of F is totally torsion free.
Remark 2.3 Class field theory shows, for example, that one cannot expect this result to hold for
absolute Galois groups of number fields, so that some condition on the field is necessary.
(参考:S1 denotes the circle group)
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group
Circle group
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4
円周群
0228１３２人目の素数さん
2022/03/14(月) 20:55:49.20ID:Nb0VsZIc0229１３２人目の素数さん
2022/03/24(木) 11:55:50.20ID:9Yr6tc0F0230１３２人目の素数さん
2022/03/31(木) 15:05:27.81ID:bKG2nzZ5https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso.html
多様体の基礎のキソ （仮題）20170131 影付き部分につけた脚注が表示されていない， などの不具合と若干の誤植を修正．
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
３．位相空間の基礎のキソ （ver.20170131）
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/14SW-susemi.html
基礎講座・複素関数（『数学セミナー』2014年4月号〜2015年3月号）
複素関数論の基礎から初めて， 後半はリーマン面について解説しました．
0231１３２人目の素数さん
2022/04/02(土) 16:35:10.47下げマスは三角関数の加法定理でも覚えてろｗ
0232１３２人目の素数さん
2022/04/03(日) 08:50:48.28ID:28NcParQhttps://www.orecoli.com/entry/2016/01/19/131207
俺の Colimit を越えてゆけ
19 2016-01
圏論に最短で入門する
はじめに
対象読者
数学以前
数学の基礎
ホモロジー代数
圏論
もっと手取り早く圏論の勉強を始めたい人へ
おわりに
紹介した書籍
私が圏論という分野を知るきっかけは、おそらくこの文章を読んでいるほとんどの人と同様に Haskell の勉強をしたことがきっかけでした。
Haskell のモナドなどを利用する上では圏論を理解する必要は全くないのですが、型システムや処理系に関して詳しく知りたくて論文を読むと圏論の言葉が普通に使われていて、理解できずに断念していました。
そこで、当時数人が集まってやっていた圏論勉強会に参加して圏論の勉強を始めました。当時読んでいた書籍は Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories でした。この本は圏論の初学者向けに書かれた本で、数学的な知識をほとんど仮定せずに理解できるように書かれている非常によい本です。一方で全く数学の素養がない状態で読むと、証明もちゃんと追えているのかあやふやでなんとなく分かった気にさせられる本でもあります。私がまさにそのような状態でした。
しかし、ずっと圏論をちゃんと理解できるようになりたいと思っていたので、大学の数学科に進んだ学部1,2年生が学ぶような数学から勉強を始めました。圏論は比較的最近、1940年代に登場した理論で、数学の中でも非常に抽象的な理論なので数学を勉強しはじめてもすぐには出てきません。私は独学で勉強していたので数学の世界で右往左往することになったのですが、とりあえず現状で私が考える、圏論に至るための最短の道を紹介します。この順で勉強すれば、圏論の書籍を読む頃には、圏論が提供する抽象化を「あ?あのことを言っているのか」と思いながら読めるようになると思います。
計算機科学の世界で生きてきたのにうっかり圏論と出会ってしまって、「今更また一から数学の勉強をしないといけないのか?」と絶望に打ちひしがれている、昔の私のような人の一助になれば幸いです。
0233１３２人目の素数さん
2022/04/03(日) 08:51:20.41ID:28NcParQメモ
https://www.orecoli.com/entry/2016/02/27/221008
俺の Colimit を越えてゆけ
27 2016-02
圏論に最短で入門する
はじめに
前回の記事では、圏論を学習する上では数学の基礎から学習する必要があると述べました。
一方で、そんなに時間をかけていられない、かけられないといった理由から数学の素養が十分に身についていない状態で Category Theory (Oxford Logic Guides) を読み始めたいという人もいるでしょう。そのような人向けにこの本の副読本のような内容の記事を書いていこうと思います。
この本は十分にわかりやすい本なので解説の部分で内容を追加するようなことはしません。書籍の中で証明はされているけれども十分に明らかとは言えない箇所や、残りは読者に任せるとして省略されている箇所を中心に証明を追加していこうと思います。特に Chapter 1 では数学書を読む場合に自分で手を動かして補いながら読まないといけない箇所がどういう箇所なのか初学者にもわかるように書いていこうと思います。
この記事が、これから独学で圏論を勉強しようとしている人や、勉強会でこの本を読もうとしている人の役に立てば嬉しいです。
私が読んでいるのは英語の第２版ですがいくつか誤植があるので下に書いておきます。著者には報告済みなので第３版が出れば修正されるでしょう。
目次
Chapter 1: Categories
Chapter 2: Abstract structures
Chapter 3: Duality
Chapter 4: Groups and categories
Chapter 5: Limits and colimits
Chapter 6: Exponentials
Chapter 7: Naturality
Chapter 8: Categories of diagrams
Chapter 9: Adjoints
Chapter 10: Monads and algebras
0234１３２人目の素数さん
2022/04/03(日) 14:49:57.07Z^(1)∩(Q/Z)={e}
ってこともわからん貴様に圏論なんか無理
位相空間すら全く理解できなかったんだろ？ｗ
0235１３２人目の素数さん
2022/04/05(火) 20:34:01.65ID:JQiM9kkd0236１３２人目の素数さん
2022/04/21(木) 17:41:38.58ID:5uDCQIOehttps://www.math.okayama-u.ac.jp/mjou/mjou52/_01_mochizuki.pdf
Math. J. Okayama Univ. 52 (2010), 1?28
ARITHMETIC ELLIPTIC CURVES IN GENERAL POSITION Shinichi MOCHIZUKI
Abstract. We combine various well-known techniques from the theory
of heights, the theory of “noncritical Belyi maps”, and classical analytic
number theory to conclude that the “ABC Conjecture”, or, equivalently,
the so-called “Effective Mordell Conjecture”, holds for arbitrary rational
points of the projective line minus three points if and only if it holds for
rational points which are in “sufficiently general position” in the sense
that the following properties are satisfied: (a) the rational point under
consideration is bounded away from the three points at infinity at a
given finite set of primes; (b) the Galois action on the l-power torsion
points of the corresponding elliptic curve determines a surjection onto
GL2(Zl), for some prime number l which is roughly of the order of
the sum of the height of the elliptic curve and the logarithm of the
discriminant of the minimal field of definition of the elliptic curve, but
does not divide the conductor of the elliptic curve, the rational primes
that are absolutely ramified in the minimal field of definition of the
elliptic curve, or the local heights [i.e., the orders of the q-parameter at
primes of [bad] multiplicative reduction] of the elliptic curve.
Introduction
In the classical intersection theory of subvarieties, or cycles, on algebraic
varieties, various versions of the “moving lemma” allow one to replace a
given cycle by another cycle which is equivalent, from the point of view
of intersection theory, to the given cycle, but is supported on subvarieties
which are in a “more convenient” position ? i.e., typically, a “more general”
position, which is free of inessential, exceptional pathologies ? within the
ambient variety.
0237１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 06:37:49.57ID:b8gsErp4https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/notesoniut.pdf
ARITHMETIC DEFORMATION THEORY VIA
ARITHMETIC FUNDAMENTAL GROUPS AND NONARCHIMEDEAN THETA-FUNCTIONS,
NOTES ON THE WORK OF SHINICHI MOCHIZUKI
IVAN FESENKO
This text was published in Europ. J. Math. (2015) 1:405?440.
P9
If v is a bad reduction
valuation and Fv is the completion of F with respect to v, then the Tate curve F×
v /hqvi, where qv is the q-parameter of EF at v and hqvi is the cyclic group generated by qv, is isomorphic to EF(Fv), hqvi → the origin of
EF, see Ch.V of [44] and §5 Ch.II of [43].
P10
Define an idele qEF ∈ lim -→ A×k: its components at archimedean and good reduction valuations are taken to
be 1. Its components at places where EF has split multiplicative reduction are taken to be qv, where qv is the
q-parameter of the Tate elliptic curve EF(Fv) = F×v /hqvi.
The ultimate goal of the theory is to give a suitable bound from above on deg(qEF).
Fix a prime integer l > 3 which is relatively prime to the bad reduction valuations of EF, as well as to the
value nv of the local surjective discrete valuation of the q-parameter qv for each bad reduction valuation v.
P13
Let q ∈ L be a non-zero element of the maximal ideal of the ring of integers of L (this q will eventually be
taken to be the q-parameter qv of the Tate curve EF(Fv) ' F×v /hqvi, where L = Fv, for bad reduction primes v of
E, see Ch.5 of [44]).
つづく
0238１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 06:38:29.57ID:b8gsErp4つづき
Just as in the classical complex theory, elliptic functions on L with period q can be expressed in terms of θ, a
property which highlights the central role of nonarchimedean theta-functions in the theory of functions on the
Tate curve. For more information see §2 Ch.I and §5 Ch.II of [43] and p. 306-307 of [38].
・・
via the change of variables q = exp(2πiτ),u = exp(2πiz)
P24
54 In IUT, the two combinatorial dimensions of a ring, which are often related to two ring-theoretic dimensions (one of which is
geometric, the other arithmetic), play a central role. These two dimensions are reminiscent of the two parameters (one of which is
related to electricity, the other to magnetism) which are employed in a subtle fashion in the study of graphene to establish a certain
important synchronisation for hexagonal lattices.
(引用終り)
以上
0239１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 06:40:42.26ID:b8gsErp4q-parameter についてメモ 追加
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/490-494
0240１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 10:40:50.66ID:b8gsErp4（最新版）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IN TERMS ¨
OF LOGICAL AND “∧”/LOGICAL OR “∨” RELATIONS:
REPORT ON THE OCCASION OF THE
PUBLICATION OF THE FOUR MAIN PAPERS ON
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY ¨
Shinichi Mochizuki
April 2022 P140版
（元）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/On%20the%20Essential%20Logical%20Structure%20of%20IUT%20IV,%20V%20(marked%20up%20version).pdf
ON THE ESSENTIAL LOGICAL
STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL
TEICHMULLER THEORY I, II, III, IV, V ¨
Shinichi Mochizuki (RIMS, Kyoto University)
September 2021 P42版
0241１３２人目の素数さん
2022/05/01(日) 02:53:34.98ID:6LpCNPT70242１３２人目の素数さん
2022/05/01(日) 08:16:10.72ID:txhCGf0/Inter-universal geometry とABC 予想49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1650714023/130
130 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/04/30(土) 23:59:11.91 ID:7Sq4MRJH
>>126
圏ではなく、無限大の極限で収束させるため「圏/(圏と同値)」を使う。
目的は、属性方程式の解を一種の解析・極限で得るため。、
(§1.3 圏のIU 幾何の定理）
通常の集合論では有り得ず、集合論を拡大しているのは「基礎の公理」。
(§1.1Motivation)
集合論を拡大する目的が何で、どう拡大したかったか、
以下のリンク先で、2008年のＩＵ幾何の構想メモに記載されていた。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
0243１３２人目の素数さん
2022/05/02(月) 13:52:43.77ID:Ofo/5NQz0244１３２人目の素数さん
2022/05/17(火) 00:13:14.98ID:bVPB1PYg0245１３２人目の素数さん
2022/05/31(火) 10:10:06.92ID:WgynKOenhttps://www.youtube.com/watch?v=X7sEP1wtTF8
高校生にもわかる宇宙際タイヒミュラー理論１
17,702 回視聴 2018/01/18 宇宙際タイヒミュラー理論についてざっくり説明してみました。
1:25 フェルマー予想の証明を導くのは正しくは「強いABC予想」でした。（現時点でこちらはまだ証明されていません）
数学探検Channel
愚野骨頂
2 年前
これは望月先生の論文にかなり踏み込んだお話で面白い。ついにホッジ舞台のや情報のカプセルの話も入ってい本格的で助かります。
0246１３２人目の素数さん
2022/05/31(火) 13:53:19.88ID:WgynKOenhttp://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
１９９９年度北大集中講義レクチャーノート
ガロア・タイヒミュラー群の LEGO理論
中村 博昭
北海道大学 2000
はしがき
このノートは、1999 年 略 に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆
してまとめたものである。この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群
（タイヒミュラーモジュラー群） たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重
なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。特に、
代数曲線のモジュライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最
も基本的な場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせることで具体的に
記述できる、ということを説明した。この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相
幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガロア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写
することを試みた
0247１３２人目の素数さん
2022/06/01(水) 07:17:01.74ID:AbZqwpelhttps://www.youtube.com/watch?v=x6qVgicEDMs
高校生にもわかる宇宙際タイヒミュラー理論２
4,612 回視聴 2018/01/18 宇宙際タイヒミュラー理論についてざっくり説明してみました。
数学探検Channel
0248１３２人目の素数さん
2022/06/07(火) 10:11:22.82ID:k4enzP+jhttps://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron.pdf
複素解析特論I
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平 友規
平成 23 年 6 月 14 日
講義の概要（コースデザインより）． タイヒミュラー空間論はリーマン面（1 次元複素多様体）の変形空間の理
論である．変形空間は抽象的に定義された「集合」だが，数学者はこれを幾何学的な議論が可能な「空間」と
みなす．この講義の目的は，大雑把に言って
? リーマン面の変形空間に幾何構造を与えるまでの（思考）過程を解説すること; そして
? （残った時間で）変形空間の幾何学的性質を複素力学系の理論に応用すること
である．
講義予定． 扱うトピックは以下のとおり：
? リーマン面の基礎（基本群，普遍被覆，一意化定理，フックス群）
? リーマン面上の微分・積分（ベルトラミ微分，正則 2 次微分，リーマン・ロッホの定理）
? 擬等角写像論・幾何学的関数論の概説
? 有限型リーマン面の変形空間（モジュライ空間とタイヒミュラー空間，ベアス埋め込み）
? 1 次元複素軌道体 (orbifold) の一意化と分類
? 球面上の分岐被覆力学系の剛性理論（文献 [4, 5]）
最後のトピックは，「球面の自己分岐被覆による力学系」の，有理関数による実現可能性と剛性に関する理論で
ある．80 年代にサーストンが確立したものだが，近年またじわじわと脚光を浴びている．
P3
等角性について. 等角 (conformal) な同相写像とは，定義域上で正則（すなわち複素微分可能）で
あり，かつ微分の値が 0 にならない同相写像である．2
2「等角」という語をあえて使うのは，微分が 0 にならないことを強調するためである．同相写像に限って言えば，等角
性，正則性，双正則性（逆写像も正則）はいずれも互いにシノニムである．したがって，「等角な同相写像」は「正則な同相写
像」とも「双正則写像 (biholomorhic map)」ともよばれる．
0249１３２人目の素数さん
2022/06/07(火) 10:11:54.66ID:k4enzP+j追加
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
武藤研究室 東京工大
物理数学第一
平成１８年度 学部 ３学期
第６章 等角写像 127 KB 58 KB
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap06.pdf
第 6 章 等角写像
複素写像変換
導関数が 0 になる点を 臨界点 という。
定理 6.3 等角写像の原理
0250１３２人目の素数さん
2022/06/07(火) 13:26:57.87ID:Y0RvZ70I中卒ニホンザル 他人の目を盗んで
微分が0にならない、検索しまくりwww
ヤコビアンも逆関数定理も分からん奴には
一生無縁だってwwwwwww
0251１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:10:41.88ID:0Da5gZei追加
これいいね
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf
複素解析特論I（つづき）
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平 友規
平成 24 年 9 月 21 日
7 リーマン面の基本群・普遍被覆面
今回と次回で，「リーマン面の一意化定理」を証明する．
一口に「リーマン面」といっても，さまざまな構成方法がある．いわゆる格子トーラス T(ω1, ω2)
のようなものはかなり具体的に構成されたリーマン面の部類に入るほうで，たとえば「ガウスの定
理」でみたような例は，曲面に複素構造を与える時点で「ベルトラミ方程式を解く」といういささか
超越的（？）なプロセスを経る分，素性がよくわからない．こうした抽象性を緩和するために，与え
られたリーマン面と「同等な」モデル（模型）を作るのが「一意化定理」(uniformization theorem)
の役割だといってよい．大まかにその主張を述べておきたいので，まずふたつのリーマン面が「同
等」であることを定義する：
つづく
0252１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:11:05.08ID:0Da5gZeiつづき
定義（等角同型）． ふたつのリーマン面 S と R が等角同型 (conformally isomorphic) または単に
同型 (isomorphic) であるとは，ある正則（等角）な同相写像 h : S → R が存在するときをいう．
定理 7.1 (一意化定理) 任意のリーマン面は，次のような形のリーマン面 R と等角同
型である：
R = X/Γ
ただし X = C?, C, もしくは D であり，Γ は P SL(2, C) のある離散部分群．
まだ P SL(2, C) が X がどのように作用するのかが説明されていないので，現時点ではかなりあいま
い主張であるが，この X/Γ がモデルに相当するリーマン面である．とりあえず，「任意のリーマン面
は，ごくごく簡単なリーマン面を，P SL(2, C) という比較的素性のよくわかっている群の部分群で
割ったものと同等だ」という部分に意味がある．1 以下ではその構成方法を概観するが，その手順は
はあたかも，地球から地球儀を構成するかのようである．地表をくまなく歩いて地図帳を作り，それ
を使い慣れた材質に写し取りながら模型を構成していく．
まずは準備段階として，定理の証明に必要な「基本群と被覆空間」の用語を復習しつつ，リーマン
面の普遍被覆空間を構成する．2
8 リーマン面の一意化定理
一意化定理の証明を終わらせよう．手順としては，
8.2 商リーマン面の構成
8.3 リーマン面の一意化
単連結リーマン面の一意化定理. まず次の定理は証明無しで用いよう：
定理 8.5 (ケーベ，ポアンカレ) 任意の単連結リーマン面 X は，C?, C，もしくは D と
等角同型である．
証明は簡単ではない．まずコンパクトな場合（C? ）とそうでないでない場合に分け，さらにグリーン
関数が構成できる（D）かできない（C）かで区別される．
つづく
0253１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:11:55.08ID:0Da5gZeiつづき
9 タイヒミュラー空間の定義
今回の目標はとにかく，タ空間を定義することにある．最初に前回の補足として例外型・双曲型
リーマン面について解説したあと，言葉の準備（写像の持ち上げ，リーマン面上の擬等角写像）をし
て，定義に取り掛かる．定義の意味については，次回に．
以下，S, R をリーマン面とする．
9.2 写像の持ち上げ
9.3 リーマン面間の擬等角写像の定義
9.5 タイヒミュラー空間の定義
いよいよ，「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する．とりあえず，形式的に定義を済ま
せてしまおう．
S とそのアトラス A を固定する．つぎに，別のリーマン面 R で，S からの向きを保つ擬等角写像
f : S → R が存在するようなもの全体を考える．もう少し形式的に，そのような f と R のペアとし
て (R, f) の形のもの全体を考えるのである．この写像 f をマーキング (marking) と呼び，(R, f) を
マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ．
その全体の集合に，次の同値関係を考えよう：
このとき，同値類の集合
T(S) = {(R, f)}/^T
を S のタイヒミュラー空間 (Teichm¨uller space) と呼ぶ．
このように定義を与えられても，大概の人にとっては意味不明であろう．たとえば，次のような疑
問点が生じる：
つづく
0254１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:12:29.20ID:0Da5gZeiつづき
10 タイヒミュラー空間とモジュライ空間
今回の目標は次の 2 点である：
・ モジュライ空間を定義し，タイヒミュラー空間との関係を明らかにすること．
・ これらの空間の具体例として，トーラスのタ空間とモ空間について概説すること．
・ Se からさらに S と同型なモデル S/G e を作る．
・ Se は X = C?, C, もしくは D と同型なので，モデル S/G e の構成方法をそのまま X で再現でき
る．そうして得られるモデルが S の一意化．
10.1 モジュライ空間
10.2 モジュラー群，あるいは写像類群
10.3 アトラスの分類とタイヒミュラー空間
10.4 トーラスのタイヒミュラー空間
タ空間の具体例として，トーラスのそれが上半平面
H := {x + yi ∈ C : y > 0}
と同一視できることについて概説しよう．15
11.1 単位円板 vs. 上半平面.
12.3 タ空間の複素構造
(引用終り)
以上
0255１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 17:51:00.04ID:0Da5gZei追加
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/works/Kawahira12Teich_Pr.pdf
タイヒミュラー空間の基礎のキソ
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
川平 友規
第47回函数論サマーセミナー
2012年8月27日
0256１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 18:27:16.23ID:Vf6rE6Wr複素解析学ホームページ
https://www.cajpn.org/refs/thesis.html
修士・博士論文アーカイブ
http://www.cajpn.org/refs/thesis/14M-Fujino.pdf
名古屋大学大学院
多元数理科学研究科修士論文
C / Z との擬等角同値性について
著者氏名 藤野 弘基
指導教員 大沢 健夫
2014年2月
謝辞
川平友規先生には, 本研究の進展において重要となった “擬円板の性質
を用いる” というアイデアを頂きましたことを, 厚く御礼申し上げます.
第 1 章 擬等角写像 1
1.1 曲線族モジュラス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 極値的距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 擬等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第1章 擬等角写像
Ahlfors?Beurling [3]によって導入された極値的長さを考えることによっ
て, 擬等角写像が特徴付けられる. これは擬等角写像の幾何学的定義と呼
ばれ現在では一般的によく知られていることである. この章では極値的長
さの逆数として与えられる量, 曲線族モジュラスを用いて擬等角写像を定
義する. 曲線族モジュラスは曲線族全体の上で定義された外測度を定める
など, 極値的長さに比べ扱いやすい性質を多く持つ.
0257１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 20:46:33.75ID:Vf6rE6Wrhttps://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space
Teichmuller space
It can be viewed as a moduli space for marked hyperbolic structure on the surface, and this endows it with a natural topology for which it is homeomorphic to a ball of dimension 6g-6 for a surface of genus g >= 2. In this way Teichmuller space can be viewed as the universal covering orbifold of the Riemann moduli space.
Contents
1 History
2 Definitions
2.1 Teichmuller space from complex structures
2.2 The Teichmuller space of the torus and flat metrics
2.3 Finite type surfaces
2.4 Teichmuller spaces and hyperbolic metrics
2.5 The topology on Teichmuller space
2.6 More examples of small Teichmuller spaces
2.7 Teichmuller space and conformal structures
2.8 Teichmuller spaces as representation spaces
2.9 A remark on categories
2.10 Infinite-dimensional Teichmuller spaces
3 Action of the mapping class group and relation to moduli space
3.1 The map to moduli space
3.2 Action of the mapping class group
3.3 Fixed points
4 Coordinates
4.1 Fenchel?Nielsen coordinates
4.2 Shear coordinates
4.3 Earthquakes
5 Analytic theory
5.1 Quasiconformal mappings
5.2 Quadratic differentials and the Bers embedding
5.3 Teichmuller mappings
6 Metrics
6.1 The Teichmuller metric
6.2 The Weil?Petersson metric
7 Compactifications
7.1 Thurston compactification
7.2 Bers compactification
7.3 Teichmuller compactification
7.4 Gardiner?Masur compactification
8 Large-scale geometry
9 Complex geometry
9.1 Metrics coming from the complex structure
9.2 Kahler metrics on Teichmuller space
9.3 Equivalence of metrics
10 See also
11 References
12 Sources
13 Further reading
つづく
0258１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 20:47:04.31ID:Vf6rE6Wrつづき
History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g >= 2. The early study of Teichmuller space, in the late nineteenth?early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincare, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
The main contribution of Teichmuller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmuller space (introduced by Bers).
The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
(引用終り)
以上
0259１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 23:01:59.33ID:Vf6rE6Wrhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quasiconformal_mapping
Quasiconformal mapping
Contents
1 Definition
2 A few facts about quasiconformal mappings
3 Measurable Riemann mapping theorem
4 Computational quasi-conformal geometry
0260１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 23:11:50.47ID:Vf6rE6WrQuasiregular map：between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally,・・
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiregular_map
Quasiregular map
In the mathematical field of analysis, quasiregular maps are a class of continuous maps between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally, between Riemannian manifolds of the same dimension, which share some of the basic properties with holomorphic functions of one complex variable.
Contents
1 Motivation
2 Definition
3 Properties
4 Rickman's theorem
5 Connection with potential theory
0261１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 23:24:14.69ID:Vf6rE6Wrhttps://www.cajpn.org/ref.html
複素解析学ホームページ 資料室
1998 Punctured Torus Groupに対するending lamination予想の解決（糸健太郎，小森洋平，須川敏幸，谷口雅彦）
目次・1-5章 PDF 1459KB https://www.cajpn.org/refs/topics-98-1.pdf
6-9章 PDF 1452KB https://www.cajpn.org/refs/topics-98-2.pdf
10-12章・参考文献 PDF 1546KB https://www.cajpn.org/refs/topics-98-3.pdf
0262１３２人目の素数さん
2022/06/18(土) 16:30:24.72ID:KMJjixPBhttps://arxiv.org/pdf/1212.0665.pdf
Computing integral points on X+ns(p)
Aur´elien Bajolet, Yuri Bilu?
, Benjamin Matschke??
November 24, 2020
Contents
1 Introduction 1
2 Modular curves, nearest cusps and q-parameters 4
2.2 The q-parameter at a cusp
For P ∈ Ωc we define the q-parameter qc(P) by qc(P) = e^2πiτ(P)
0263１３２人目の素数さん
2022/06/18(土) 21:10:45.93ID:KMJjixPBhttp://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
武藤研究室 東京工大
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
物理数学第一 平成１８年度 学部 ３学期
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap13.pdf
第 13 章 解析接続
Ｐ6
13.2 Riemann 面
多価関数に対して，その定義域を制限することによって，１価関数が定義できる。いま，こ
のように制限された定義域である複素平面を何枚か特別な方法でつなぎ合わせ，多価関数を新
たにそこで定義された１価関数であるように解釈することができる。このとき，このように拡
張された定義域のことを Riemann 面 という。Riemann 面で新たに定義された関数は１価関
数であるので，１価関数の理論が適用できる。一般的に，関数 f(z) の Riemann 面は，z 平面
における f(z) の分岐点を結ぶように切れ込みを入れ，その切れ込みに沿って１つの複素平面
を別の複素平面につなぎ合わせて作られる。
1 log z の Riemann 面
複素平面を無限枚用意して，それぞれに，次のように番号をつける。
Rk 上における log z の値は
log z = log | z | + i arg z ( 2kπ <= arg z < 2(k + 1)π )
各平面 Rk（k = 0, ±1, ±2, ・・・）の実軸の
正の部分（分枝せっ線）を切り離し，
Rk の分枝せっ線の上岸を Rk+1 の分枝せっ線の下岸とつなぎ合わせる。
このようにしてつなぎ合わせた無限枚の複素平面 Rk （k = 0, ±1, ±2, ・・・）は連結した
１つの複素平面 R となる。
対数関数 log z ｂｪ，複素平面 R で定義されるとみなすと，関数 ω = log z は z と ω を１
対１に対応させる。この複素平面 R を log z の Riemann 面という。
0264１３２人目の素数さん
2022/06/18(土) 21:11:09.15ID:KMJjixPBhttp://coral.t.u-tokyo.ac.jp/
藤原研究室 東大
http://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/math2.html
数学2 複素関数論とフーリエ解析
http://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch8.pdf
第一部：複素関数論
第 8 章
解析接続とリーマン面
複素解析の最も重要な結論の 1 つ、解析接続について説明しよう。解析接
続によって、正則関数が或る領域たとえば実軸上で定義されたとき、関数の
定義域を拡張していく方法が与えられる。
8.2 解析接続とリーマン面
複素関数 f1(z) の正則領域が D1; f2(z) の正則領域が D2であり、D1と D2
の共通領域が D0であるとする（図 8.2）。D0内の任意の点 zで f1(z) = f2(z)
であれば、f1の D2内への自然な接続は f2である。f2(z) を f1(z) の D2への解
析接続（analytic continuation）という。
D1と D2の合併集合が単連結領域であるとき、D2における f1の解析接続
f2が可能であればそれは一意的である。
0265１３２人目の素数さん
2022/06/22(水) 18:01:21.90ID:2F1Gh5du第 15 回整数論サマースクール
「種数の高い代数曲線と Abel 多様体」2007
報告集
目 次
1. リーマン面と代数曲線 1
吉冨 賢太郎 (大阪府立大学)
2. 代数曲線の Riemann-Roch の定理 15
小川 裕之 (大阪大学)
3. Abel-Jacobi の定理 I 61
軍司圭一 (東京大学)
4. Abel-Jacobi の定理 II 81
尾崎 学 (近畿大学理工学部), 梅垣 敦紀 (早稲田大学高等研究所)
5. 種数 1 における理論 113
山内 卓也 (広島大学)
6. 超楕円函数論 131
大西 良博 (岩手大学)
7. シグマ関数の代数的表示 177
中屋敷 厚 (九州大学)
8. Inversions of Abelian Integrals 191
難波 誠 (追手門学院大学)
9. CM 型の Abel 曲面について 199
梅垣 敦紀 (早稲田大学高等研究所)
10. 暗号理論に向けての因子の加法の計算法 211
志村 真帆呂 (東海大学)
11. 代数曲線暗号とその安全性 223
松尾 和人 (情報セキュリティ大学院大学)
12. アーベル多様体の有理等分点について 239
小川 裕之 (大阪大学)
13. Algebraic Theory of Abelian Varieties via Schemes 247
小林真一 (名古屋大学)
14. 超楕円曲線のヤコビ多様体の形式群 265
西来路文朗 (広島国際大学)
15. アーベル多様体の Birch-Swinnerton-Dyer 予想についての話題 291
安田 正大 (京都大学)
0266１３２人目の素数さん
2022/06/23(木) 07:06:46.29ID:a95T6DpPP37 平面曲線 w＝f(z) から f(w,z)＝0 なる複素平面曲線（陰関数） への視点の転換がある
（定義域と値域の区別がなくなる）
（P38のヤコビアン判定法 （下記陰函数定理）を使う）
↓
1）複素平面曲線（陰関数） への視点の転換は、良いが、
ここは陰函数定理wikipediaの「例と導入」に説明があるとおり
一価関数でない場合にも、曲線の一部に注目して、y＝g(x)なる微分可能関数の存在を示すことにある（y＝g(x)はwikipediaの表記）
（P13 楕円曲線 で、y^2＝x^3+ax^2+bx+c として、y^2＝・・のまま。これで、y＝ の形になってない段階で、実質は陰関数ですね https://imgur.com/EQL5A3K ）
2）なお、リーマン面の数学的定義では、特に定義域うんぬんの記述はないが、
P36にあるように、位相空間X （ハウスドルフ）として、Ui∈X で、写像φi：Ui→C （Cは複素平面(P37記述より）)
で、φiが正則写像（P37）であることを要求しているので
Xは、写像φiの定義域です
3）なので、具体的な関数w＝f(z)(例えば寺杣P41超楕円曲線)を考えるとき、そのリーマン面とは、定義域を複素平面から位相空間X に拡張したものです
（なお「自明なリーマン面の例として、複素平面Cの開集合が挙げられる」(P37)とあります）
詳しくは、寺杣 P36～37 を見てください
以上、補足と訂正でした
0267１３２人目の素数さん
2022/06/23(木) 07:07:31.38ID:a95T6DpP誤爆すまん
0268１３２人目の素数さん
2022/06/23(木) 18:04:00.64ID:6okYm70Bflag3 のページ
https://flag3.github.io/pi1.pdf
基本群と被覆空間の Galois 理論
flag3 (@flag3833753)
2020 年 6 月 28 日 (最終更新日：2021 年 11 月 11 日)
概要
Galois 理論という，数学的対象の構造を Galois 群や基本群と呼ばれる群を用いて記述するという理論
があります．特に被覆空間の Galois 理論という，unloopable な位相空間上の被覆空間全体がなす圏を基
本群によって記述するという理論があります．これは体の Galois 理論という，体上の有限 étale 代数全体
がなす圏は絶対 Galois 群によって記述されることの類似になっています．本原稿では被覆空間の理論を紹
介したいと思います．前提知識として群論・位相空間論の初歩的な知識は仮定します．
0269１３２人目の素数さん
2022/06/23(木) 18:28:13.44ID:6okYm70BAlgebraic Topology
被覆空間
基本群と被覆空間は密接な関係にある。また, ファイバー束や fibration の練習としても被覆空間を学ぶことは重要である。 そのため, [玉20] では, 最初にファイバー束の toy model として被覆空間についてまとめた。 また, 数学セミナーにも簡単な説明 [玉13] を書いた。
Riemann面など上では分岐被覆を考えることが多い。
分岐被覆 (branched covering)
具体的な問題からできる被覆空間は, monodromy と密接に関連している。
monodromy
被覆の概念は, 位相空間以外にも拡張されている。 基本群に類するものがあれば, 関連して covering があると考えてよいだろう。例えば, 体のGalois理論など。
そのような状況を扱うための一般的な枠組みとして Grothendieck が SGA 1 [SGA103] で導入したのが, Galois category である。名前の通り, Galois理論と被覆空間の理論を統一して扱うことを目的とする。 これにより scheme の étale fundamental group などが定義できる。
Galois categroy
ただ, このGrothendieck の枠組みに入らないものもある。
0270１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 10:39:31.42ID:rjLBI7WTScientific Doggie?数理の楽しみ
http://www.wannyan.net/scidog/ellipse.htm
楕円積分と楕円関数
http://www.wannyan.net/scidog/ellipse/ellipse.pdf
楕円積分と楕円関数
0271１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 11:24:41.64ID:rjLBI7WT「実 / 複素ゼータの世界」から「p 進ゼータの世界」へ ?
東京電機大学未来科学部 † 原 隆 ‡
? 第 26 回整数論サマースクール『多重ゼータ値』報告集原稿 2018
http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/%E5%85%A8ver.pdf
第26回整数論サマースクール報告集 2018
「多重ゼータ値」
0272１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 13:34:33.32ID:rjLBI7WT数理解析研究所講究録
1073 巻 1998 年 1-48
RIGID 解析入門
加藤文元
九州大学大学院数理学研究科
この小論は 1998 年 5 月 6 日から同 8 日まで京都大学数理解析研究所にて開催さ ’
れた研究集会「リジッド幾何学と群作用」 において筆者が行った講演「p 進解析入門
I、II」の報告として、 その予稿をまとめ、更に幾つかの点について必要と思われる部
分を付足したものである.
CHAPTER 1
TATE による RIGID 解析.
1. 基本思想.
まず、 簡単な例について複素解析的状況との比較から始めよう 1
複素解析の時と全く同様に解析学を展開しようと
すると、 実は非常に本質的な問題が生じる. これを具体的に見てみよう:
即ち_、解析接続の原理_、つまり「 一致の原理} (principle of unique continuation)」に関
する問題点である. よく知られている様に、K の距離位相は全不連結 (totally disconnected) である、即ち 2 点以上からなる部分集合は連結でない (例えば [Gouv^ea 1997,2.3.8] を参照). 特に任意の開集合は決して連結ではない 4. 従って、意味のある解析接
続の概念を得る事はこのままでは不可能である; ある点のまわりで局所的に巾級数で
書けても、その点以外の点のまわりでのその関数の性質は、それがどんなに近い点で
あっても、 もとの点のまわりの性質とは全く関連が無い、 という事になってしまう.
読者は、 これらの問題は上記の関数の解析性の定義に現れた「局所的」という概念
がそもそもの災いの発端であると気付かれるだろう. 念のためもう -度整理すると:
つづく
0273１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 13:34:57.48ID:rjLBI7WTつづき
(1) 既にある関数が「解析的」 であるかどうかを、 巾級数で書けるどいう 「局所的」性質で特徴付ける事は十分意味のある事であるが、
(2) 逆にその 「局所的」性質だけからでは意味のある 「解析関数」 を特徴付ける事は出来ない、
(3) なぜなら、位相があまりにも細かすぎるため解析接続の原理が有意義に働かないからである.
従って、 この「局所的」 という概念を改良する事が必要となる. これは (少なく
とも筆者にとっては) 非常にデリケートでわかりにくい話となってしまう可能性があ
るので、 ここで問題点を今一度整理しつつ反省してみようと思う.
「局所的」 を改良しようと思ったら、 ある程度以上細かくなりす
ぎない様に、 開被覆の取り方に制限を加えるという事が最も重要なポイントとなる.
そこで、 この 「開被覆の取り方に制限を加える」 という事を実際に実行する際の
処方箋を、 Tate のアイデアに従って段階的に概観してみよう:
(引用終り)
以上
0274１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 13:36:16.46ID:rjLBI7WTリジッド幾何学の概説
加藤文元
2008 年度代数学シンポジウムでの筆者の講演に基づいて報告致します.
1. はじめの一歩
歴史的には，リジッド幾何学は非アルキメデス的付値体上の解析幾何学と
してスタートした．
1.2. 非アルキメデス的函数論.
非アルキメデス的函数論においては，複素函数論の場
合とは本質的に異なった解析接続の理論を展開する必要がある．そして，こ
の点がリジッド幾何学における二つ目のキーワード「やや大域化された局所」
という考え方につながっていくポイントなのである．
2. リジッド幾何学の出発点
2.1. 歴史. 1961 年の Harvard 大学における J. Tate のセミナーにおいて，初
めてリジッド幾何学のアイデアが紹介された．このセミナーノートは Tate 本
人の承諾なしに回覧され，Inventiones から出版までされてしまった．この内容
を踏まえて，Grauert-Remmert が 1966 年に非アルキメデス的函数論に Tate の
アイデアを導入する．ここでは Weierstrass の準備定理の非アルキメデス版と
いった，函数論を展開する上での基本的な理論が展開されている．また，今日
でも使われている ‘affinoid’ という用語を初めて用いたのも彼らである．
つづく
0275１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 13:36:37.88ID:rjLBI7WTつづき
「やや大域化された局所」の一つ
のわかりやすい現れとして，以下のものを挙げる：代数幾何学，複素解析幾
何学，そしてリジッド解析幾何学における「最も基本的な」空間とは何か？
・ 代数幾何学においては，それはアフィン直線 A1k= Spec k[T] であり，
・ 複素解析幾何学においては，単位開円盤 ? = {z ∈ C | |z| < 1} であろう．
・ リジッド解析幾何学において，それは単位閉円盤
D1K = {z ∈ K | |z| ? 1}.
である（前述の通り，これは開集合でもあることに注意）．
このような空間の取り方にも，複素解析的状況と代数幾何的状況との間の
「中間的な」局所の概念を持つ幾何学という，リジッド幾何学特有のあり方が
現れている．ただし，ここで大事な（そして技術的に難しい）ことは，ここ
で言う単位閉円盤には，単なる距離位相とは異なる位相を考えているという
ことである．これについては，なぜ「閉」円盤を考えるのが自然なことなの
か，ということも含めて，以下で説明を試みる．
3. 単位閉円盤
というわけで，Tate による古典的なリジッド幾何学の基本的なアイデアに
ついて，特に単位閉円盤という対象を通して説明しよう．
(引用終り)
以上
0276１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 14:23:33.30ID:rjLBI7WTJ-STAGEトップ/数学/55巻(2003)4号/書誌
Rigidanalyticgeometry
加藤文元
2003年55巻4号p.392-417
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/55/4/55_4_392/_pdf/-char/ja
1導入
複素数体C上の代数幾何学では,複素解析的な視点や手法はしばしば有効である.主にSerreの
GAGA原理に基づいて,技術的な自由度のより大きな解析的手法を用いることは,代数幾何学の様々
な側面において大きな成功をもたらしてきた.端的に言って,表題のrigid解析幾何学は,この様な
解析的’理論をp-進数体などの非Archimedes的付値体上で行い,これらの体上の代数幾何学への有
効な応用を与える枠組みである.
本稿ではrigid解析の草創期から現代に至る発展を概観し,諸理論の間の関係を出来るだけ明らかに
することを目的とした.
さて,本論に入る前に導入として,幾つか事項をざっとまとめておこう.
・最初の困難:解析接続:一複素解析においてCの絶対値付値は,それによって‘収束巾級数'の
概念を得ることが出来るという意味で,最も基本的なものであった.完備非Archimedes的付値体K
においても,全く同様に収束巾級数の概念は得られる.従って,同様に解析函数の概念を得ることが
可能だと思われるかも知れない.しかし,ここにはKの位相的性質から来る根本的な困難がある.
困難その1:付値によるK上の距離位相は全不連結(totallydisconnected)であり,空でない開集
合は全て連結でない.いかなる開集合も,いくらでも多くの開集合(例えば開円盤)で分割出来てしま
う.従って,与えられた開集合上の6各点で収束巾級数に展開可能’という条件で正則函数を定義する
と,その全体は非常に巨大な集合となり,そのままで意味のある解析理論を構築することは出来ない.
つづく
0277１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 14:24:04.03ID:rjLBI7WTつづき
困難その2:距離の非Archimedes性からわかることであるが,K内の任意の二つの開円盤は非自
明な交わりを持たない,つまり交わるなら一方が他方に包含される.もし巾級数Σα調が0<T<
∞を収束半径に持つとき,円盤{z∈K|z|くr}内のどの点で巾級数展開し直しても,その収束円
は元の円盤{z∈K|z|くr}に一致してしまう.
一つ目の困難は,正則函数を‘局所的’な条件で定義することは出来ないことを,二つ目は複素解析
におけるのと同様な解析接続’の考え方でも,良い正則関数の概念を得ることは出来ない,というこ
とを示唆している.
この様な困難は全く非Archimedes的解析に特有のものであり,その克服が非Archimedes的函数
論の構築には不可欠なことであった.その過程で重要なのは‘正しい正則函数の概念は何か’という問
題と同時に,より基本的な・正しい『連結領域』の概念は何か’という問題も考えられなければならな
かったという点である.これらは局所理論に止まっている限りは意味の無い問いであるが,そこから
出発して大域的な解析函数の理論を構築する際に回避出来ない問題であった.
・‘やや大域化された局所,の考え方:一この困難は非Archimedes的距離位相が‘細かすぎる’こ
とに由来している.
謝辞.本稿§5は藤原一宏氏の許可の下,2001年1月10日及び11日の藤原氏の北海道大学での講
演のノートを基にして記述した.藤原氏に感謝したい.また査読者の方々からは,文章構成などに関
して多くのお知恵を頂いた.査読者の方々に感謝したい.
(引用終り)
以上
0278１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 20:14:53.38ID:rjLBI7WT田崎博之のページ
2023年3月末日に勤務している筑波大学を定年退職します。 それに伴ってこのホームページは閉鎖します。 その際、ホームページの全部または一部をどこかに移設しようと考えています。 移設先や内容についてアドバイスやご意見等ありましたら、 お知らせいただければ幸いです。
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/lecture.html
講義
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI.html
数理物質科学研究科：微分幾何学I(月2)
ファイバー束
pdf : 講義資料(7月22日分まで)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf
第1章 基本群と被覆空間
0279１３２人目の素数さん
2022/06/25(土) 23:10:27.85ID:rjLBI7WTHiroshi Hirai
Associate Professor
Department of Mathematical Informatics,
Graduate School of Information Science and Technology,
University of Tokyo, Tokyo, 113-8656, Japan.
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/teaching/kikasuriR2.html
R2 幾何数理工学
位相幾何: 被覆空間 [ノート][きれいなノートupdate]
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/teaching/kikasuriR2/covering.pdf
幾何数理工学ノート
位相幾何：被覆空間
平井広志
東京大学工学部 計数工学科 数理情報工学コース
東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻
hirai@mist.i.u-tokyo.ac.jp
協力：池田基樹（数理情報学専攻 D1）
7 被覆空間
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/teaching/kikasuriR2/homology_comp.pdf
幾何数理工学ノート
位相幾何：ホモロジーの計算
平井広志
東京大学工学部 計数工学科 数理情報工学コース
東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻
hirai@mist.i.u-tokyo.ac.jp
協力：池田基樹（数理情報学専攻 D1）
8 ホモロジーの計算
0280１３２人目の素数さん
2022/06/29(水) 13:53:28.51ID:gXl0/xIGたいへん失礼です
ただちにおやめください
0281１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 07:29:50.61ID:ufzWvOVHhttps://ncatlab.org/nlab/show/Teichm%C3%BCller+theory
Teichmuller theory nLab
Contents
1. Idea
2. Properties
Complex structure on Teichmuller space
Relation to moduli stack of complex curves / Riemann surfaces
3. Related concepts
4. References
3. Related concepts
Kodaira-Spencer theory
moduli space of curves
Grothendieck-Teichmuller group
quantum Teichmuller theory
p-adic Teichmuller theory
inter-universal Teichmuller theory
Outer space
for version in supergeometry see at super Riemann surface
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00706331
HAL (フランス)
Handbook of Teichmuller theory, Volume III
Athanase Papadopoulos 1
1 IRMA - Institut de Recherche Mathematique Avancee
https://scholar.google.ae/citations?user=qrso-ksAAAAJ&hl=ja
Rinat Kashaev
Associate Professor of Mathematics, University of Geneva
Quantum TopologyMathematical Physics
Quantization of Teichmuller spaces and the quantum dilogarithm
RM Kashaev
Letters in Mathematical Physics 43 (2), 105-115 引用246 1998年
http://sciencewise.info/resource/Teichm_ller_modular_group/Teichm%C3%BCller_modular_group_by_Wikipedia
ScienceWISE
Mapping class group of a surface
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, and more precisely in topology, the mapping class group of a surface, sometimes called the modular group or Teichmuller modular group, is the group of homeomorphisms of the surface viewed up to continuous (in the compact-open topology) deformation. It is of fundamental importance for the study of 3-manifolds via their embedded surfaces and is also studied in algebraic geometry in relation to moduli problems for curves.
つづく
0282１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 07:30:21.39ID:ufzWvOVHつづき
The mapping class group can be defined for arbitrary manifolds (indeed, for arbitrary topological spaces) but the 2-dimensional setting is the most studied in group theory.
The mapping class group of surfaces are related to various other groups, in particular braid groups and outer automorphism groups.
Contents
1 History
2 Definition and examples
2.1 Mapping class group of orientable surfaces
2.2 The mapping class groups of the sphere and the torus
2.3 Mapping class group of surfaces with boundary and punctures
2.4 Mapping class group of an annulus
2.5 Braid groups and mapping class groups
2.6 The Dehn?Nielsen?Baer theorem
2.7 The Birman exact sequence
3 Elements of the mapping class group
3.1 Dehn twists
3.2 The Nielsen?Thurston classification
3.3 Pseudo-Anosov diffeomorphisms
4 Actions of the mapping class group
4.1 Action on Teichmuller space
4.2 Action on the curve complex
4.3 Other complexes with a mapping class group action
4.3.1 Pants complex
4.3.2 Markings complex
5 Generators and relations for mapping class groups
5.1 The Dehn?Lickorish theorem
5.2 Finite presentability
5.3 Other systems of generators
5.4 Cohomology of the mapping class group
6 Subgroups of the mapping class groups
6.1 The Torelli subgroup
6.2 Residual finiteness and finite-index subgroups
6.3 Finite subgroups
6.4 General facts on subgroups
7 Linear representations
(引用終り)
以上
0283１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 07:48:51.05ID:ufzWvOVH関連
http://pantodon.jp/index.rb?body=Teichmuller_space
Algebraic Topology: A guide to literature
Teichuller空間 Last updated on 2021-07-08
Riemann面に関係したことを考えるときには Teichuller空間は必ず必要になる。
・Riemann面のmoduli spaceは Teichmuller spaceのmapping class groupによる商空間
・Teichmuller空間はEuclid空間と同相であり, よって可縮
このことから, global qutientであるmoduli spaceを orbifoldとみなして考えるのは自然である。Harerと Zagier [HZ86] はそのorbifoldとしての Euler characteristicを計算している。 そのDeligne-Mumford compactificationについては BiniとHarerが [BH]で求めている。
またRiemann面のmoduli spaceはmapping class groupの分類空間にかなり近いものであることも分か る。実際, Harerは[Har86]で, 「割る前」のTeichmuller空間を mapping class groupの作用を込めて考え, mapping class groupのvirtual cohomological dimensionの評価を得ている。
Teichmuller 空間の量子化は, Bonahon と Liu [BL] や Guo と Liu [GL] によると, Kashaev [Kas98] と Chekhov と Fock [FC99] により独立に発見されたらしい。 Quantum Teichmuller spaceについてまとめたものとしては, Teschner の [Tes], Chekhov の lecture note [Che], Guo による survey [Guo] などがある。
・quantum Teichmuller space
・Kashaev algebra
Guo と Liu の [GL]は, その2つのアプローチの間の関係を調べよう という試みである。
[河野俊97]
河野俊丈. 曲面の幾何構造とモジュライ. 東京: 日本評論社, 1997.
0284１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 08:37:55.25ID:ZovL2Rda7/15からIUTスレに統合いたします
コピペにつきましては
「特別支援スレ」純粋・応用スレ
のみで実行願います
0285１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 09:23:14.07ID:ufzWvOVHhttps://researchmap.jp/read0011041
中西 敏浩
基本情報
所属島根大学 総合理工学部 数理科学科 数理科学科 教授
学位
理学博士(京都大学)
https://researchmap.jp/read0011041/presentations?limit=100
講演・口頭発表等
タイヒミュラー空間の測地的長さ関数による座標とその写像類群への応用
第31回 東北複素解析セミナー 2017年
タイヒミュラー距離のなめらかさについて I
研究集会「2次微分の幾何とその周辺」 2017年
Generation of finite subgroups of the mapping class group of genus 2 surface by Dehn twists
第15回代数曲線論シンポジウム 2017年
擬等角写像の偏導関数のL^p可積分性
ベルトラミ方程式勉強会(part 1) 2017年
タイヒミュラー空間のトレース関数と写像類群の有理変換としての表現
広島大学トポロジー・幾何セミナー 2016年
Counting lattice points in the moduli space of curves
「位相的漸近式入門｣研究集会 2016年
種数2の閉曲面の写像類群の有限部分群の表示について
広島大学幾何・トポロジーセミナー 2016年
0286１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 09:23:44.24ID:ufzWvOVHどうぞｗ
0287１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 15:49:30.44ID:VxFJyWOX夜郎自ラヲ大ナリトス
0288１３２人目の素数さん
2022/07/03(日) 19:35:58.01ID:SAZLFOJG過去も今後もIUTスレと無関係です。
隔離スレのIUT応援スレでどうぞ
0289１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 08:25:37.93ID:ETpiR2xzhttps://tsujimotter.はてなブログ/entry/definition-of-Riemann-surface
tsujimotterのノートブック
2020-02-04
リーマン面の定義
数学 解析学 リーマン面
最近、寺杣先生の「リーマン面の理論」という本を勉強しています。
tsujimotterはこれまで位相空間論や多様体の勉強をほとんどしてこなかったので、理解するのにだいぶ苦労しています。進捗は遅そうですが、少しずつでも読み進めようと思っています。
第一段階として、自分自身の理解の確認のためにリーマン面の具体例を構成していきたいと思っています。今回はその前段として「リーマン面の定義」を丁寧にまとめていきたいと思います。
なお、今回の記事では「わかりやすく伝える」という意図はあまりなく、ただただ実直に定義を理解しようという考えで書いています。その点はご理解ください。
定義
定義：リーマン面
X を第二可算公理を満たす位相空間で連結かつハウスドルフであるとする。
X のある開被覆 X=?i∈IUi と、各 i∈I に対して C の開集合への同相写像
φi:Ui→C
を考える。
X と {(Ui,φi)}i∈I の組が次を満たすとき、(X,{(Ui,φi)}i∈I) はリーマン面であるという：
任意の i,j∈I に対して、Ui∩Uj≠? ならば
φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)→φj(Ui∩Uj)
は正則関数
※単に「X はリーマン面である」ともいう。
長い条件でしたが、上記の条件をすべて満たすものがリーマン面です。リーマン面の具体例として対象 X を作る際には、対象 X がこの条件をすべて満たすかどうか確認する必要があります。私たちが示すべき目標を列挙したものといえます。
しかしながら、リーマン面の定義は、簡単なものではありません。条件がかなり多く、ただちに意味を捉えるのが難しいですね。丁寧に一つひとつ条件を確認しましょう。
つづく
0290１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 08:26:05.74ID:ETpiR2xzつづき
① X は位相空間
まず、「X は位相空間である」ことを示す必要があります。位相空間の定義はここでは省略します。
「X は位相空間である」を示すためには、X の開集合系を決定するなどの方法があります。ほかにも、別の位相空間を定義してから、その位相空間から誘導される位相を考えることもあります。次回具体的な例を作る際には、後者の方法をとりたいと思いますが、具体的な方法についてはそのときに議論しましょう。
⑥ C の開集合への同相写像 φi:Ui→C
上で定めた開被覆の各開集合 Ui に対して、「C の開集合への同相写像 φi:Ui→C」とは、C のある開集合 Vi に対して、同相写像
φi:Ui→Vi
を考えるということですね。この Ui と φi:Ui→C の組 (Ui,φi) を座標近傍系といい、今考えている座標近傍系全体の集合 {(Ui,φi)}i∈I をアトラスといいます。
同相写像 φi の行き先は C ということで、C の各点には複素数の値が定まります。したがって、X の一部分に、φi を通して C による座標が貼り付けられるということです。
X の開被覆に属するすべての開集合に対して座標近傍系が定義されているので、X の各点に座標が定まったといえます。
また、座標近傍系は、今考えている特定の開被覆に対して定めれば十分であることに注意します。
ここは僕が最初に誤解したポイントでした。座標近傍系はあくまで「今考えている開被覆に対して」定めればよいのであって、その開被覆に属さないような「任意の開集合に対して」定める必要はないということですね。
なお、φi が同相写像であるとは、φi が次の３つの条件を満たすことをいいます。
・φi が全単射
・φi が連続写像
・φ-1i が連続写像
さらっと「同相写像である」と書いていましたが、条件を示すのが結構大変だとわかるでしょう。
つづく
0291１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 08:26:40.17ID:ETpiR2xzつづき
⑦ φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)→φj(Ui∩Uj) は正則関数
上によって、X には各点に対して座標が定まったわけです。局所的には座標が定まっていますが、それが全体的に「うまくいっている」かどうか考える必要があります。
共通部分を持つ開被覆 Ui,Uj を考えたときに、Ui,Uj にはそれぞれ異なる座標近傍系 φi,φj が定まっています。つまり、共通部分 Ui∩Uj には φi,φj という2通りの座標近傍系が定まっているわけですね。リーマン面の条件⑦では、これらの座標近傍系の間の「整合性」を要請しています。
この整合性についてより詳しく説明したいと思います。Ui∩Uj を φi,φj によって写したものをそれぞれ φi(Ui∩Uj),φj(Ui∩Uj) と書くことにします。これらはどちらも C の開集合で、Ui∩Uj と同相です。
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/t/tsujimotter/20200203/20200203084943.png
よって、次のような合成写像を考えることができます。φi の逆写像 φ-1i によって φi(Ui∩Uj) を Ui∩Uj に戻します。さらに、φj によって Ui∩Uj を φi(Ui∩Uj) に写します。この合成写像を
φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)-→-φ-1iUi∩Uj-→φjφj(Ui∩Uj)
とします。
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/t/tsujimotter/20200203/20200203084924.png
構成からわかるように、φj*φ-1i は C の開集合から C の開集合への写像となっていますね。つまり、単なる複素関数になります。
条件⑦では、複素関数 φj*φ-1i が正則であることを要請しているというわけです。
リーマン面と多様体の関係
多様体のことを知っている人は、リーマン面の定義が多様体の定義に似ていることに気づいたと思います。
実際、上の定義で C となっているところを Rn に置き換えて、「正則関数」のところを「連続関数（あるいは無限回微分可能）」と置き換えると「n 次元多様体（あるいは n 次元可微分多様体）」の定義そのものになります。C は R2 だと思えて、正則関数は連続関数なので、リーマン面は2次元の多様体となります。
一方、C のところを Cn に置き換えると、これは n 次元複素多様体の定義となります。リーマン面は1次元複素多様体だということができます。
つづく
0292１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 08:27:14.10ID:ETpiR2xzつづき
おわりに
以上がリーマン面の定義で主張していることの全容です。ある与えられた X がリーマン面であることを示すためには、上記の条件①～⑤がすべて成り立つことを言う必要があります。
次回は、このことを具体的に X=P1 で確認したいと思います。リーマン面の定義を丁寧にすべて確認していくのは、相当に骨が折れます。リーマン面の練習として、頑張って全部の条件を示したいと思います。
それでは今日はこの辺で。
(引用終り)
以上
0293１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 09:22:34.10ID:ETpiR2xz>多様体のことを知っている人は、リーマン面の定義が多様体の定義に似ていることに気づいたと思います。
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
多様体
多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
直感的な説明
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。
地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に（連続性を表現するために）同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。
地球と同じように多様体は好きなところに小さな地図（局所座標系）が描ける図形である。逆に、このような小さな地図を繋げていったら全体としてどのような図形ができあがるのか？という問題は位相幾何学の重要な問題の一つでもある。地図だけみれば地球をまねて作っているようなゲーム(例えば、ファミコン版のドラゴンクエストシリーズ[1])の世界が、実は球面ではなく平坦トーラスだったということもある。
つづく
0294１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 09:22:54.89ID:ETpiR2xzつづき
多様体は性質のよい図形であり、多様体でない図形も多く存在する。円や球や多角形、多面体などは全て多様体として扱えるが、ペアノ曲線やフラクタルなどは適当な地図を描くことはできず、多様体にはならない。
定義
多様体の定義で重要な点は、多様体の上にいかにして座標系を貼り付けるか？ということと、どのような座標系を用いたとしても計算に違いが現れないようにすることである。多様体は計算したいときに座標を導入でき、しかもどのような座標系で計算したとしても違いがない、すなわち座標系に依存しないという非常に扱いやすい性質が追求された図形である。
ここでいう計算とは関数やベクトル、それらの微分、積分などのユークリッド空間の上で普通に行われているような座標を用いた計算のことである。
つづく
0295１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 09:23:15.85ID:ETpiR2xzつづき
局所座標系
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、m 次元ユークリッド空間の開集合 U ' への 同相写像
{\displaystyle φ ： U → U'}
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは（局所）チャート (chart) という。
局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) あるいはチャートという。局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm) のように書き表すこともある。
M の二つの座標近傍 (U,φ) と (V,ψ) について、 U ∩ V が空でないとする。局所座標系 φ と ψ は U と V をそれぞれ m 次元ユークリッド空間の開集合 U ', V ' に写すとする。すなわち
φ ： U → U',
ψ ： V → V'
である。このとき
ψ ＊ φ ^-1： φ (U ∩ V) → ψ (U ∩ V)
は、m 次元ユークリッド空間の開集合から開集合への同相写像になる。この写像を (U, φ) から (V, ψ) への座標変換 (coordinate transformation) という。座標変換を用いれば、同じ開集合 U ∩ V に定義された異なる局所座標 φ と ψ を同じものとして扱うことができる。
つづく
0296１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 09:23:35.69ID:ETpiR2xzつづき
座標変換はまず φ?1 で M に戻してから ψ によって座標のある集合 V ' に写す写像である。間に座標が決められていない空間 M を挟む形になっているものの、座標変換全体はユークリッド空間の部分集合 U ' からユークリッド空間の部分集合 V ' への写像になっている。すなわち M を経由しているという事実を無視し、座標変換を合成写像としてではなく全体で 1 つの写像として捉えると、それは普通のユークリッド空間からユークリッド空間への写像である。
m 次元座標近傍の族 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} が M 全体を覆っているとする:
M= λ∈Λ U_λ.
このとき、S を座標近傍系 (system of coordinate neighborhoods) あるいはアトラス (atlas) という。アトラスというのは地図帳のことで、局所的な地図であるチャートをいくつも集めて作った地図帳という意味である。
位相多様体
M をハウスドルフ空間とする。M の任意の点 a に対して、a を含む m 次元座標近傍 (U, φ) が存在するとき、M を（境界のない）m 次元位相多様体 (topological manifold) という。
これまで、局所座標 φ(a) はユークリッド空間 Rm に値を取ると考えてきたが、代わりに半空間 Hm = {(x1, x2, ..., xm) ∈ Rm | xm ? 0} に値を取ると考え局所座標の定義を修正すると境界のある位相多様体が定義される。
可微分多様体
m 次元位相多様体 M の座標近傍系 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} の任意の 2 つの座標近傍 (U1, φ1), (U2, φ2) に対し、U1 ∩ U2 が空でないならば座標変換
φ _1＊ φ _2^-1:φ _2(U_1 ∩ U_2) → φ _1(U_1 ∩ U_2)
のすべての成分が、Cn 級関数（n 回連続微分可能関数、すなわち n 回微分可能でありかつ n 階偏導関数がすべて連続となるような関数）となるとき、S を Cn 級座標近傍系という。
特に n = ω すなわち、全ての座標変換が実解析関数であるときは特に解析多様体 (analytic manifold) という。
つづく
0297１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 09:23:53.47ID:ETpiR2xzつづき
極大座標近傍系
m 次元位相多様体 M に対し Cn 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のCn 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。
こうして座標近傍系の取り方に依存しない Cn 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。
多様体上の関数
m 次元 Cn 級多様体 M 上で定義された実数値関数 f を考える。
f: M → R
これは、多様体上の点 p ∈ M に対して実数値 f(p) を対応させる関数である。特定の局所座標を考えているわけではないので、この関数の変数は (x1, x2, ..., xm) のように数を並べた座標ではなく単に点を表している。
多様体上には局所座標を貼ることができるためこの座標を用いた微積分などの計算が可能である。
多様体の間の写像
m1 次元 Cs 級多様体 (M1,S) から m2 次元 Ct 級多様体 (M2,T) への写像 f を考える。
f: M1 → M2
それぞれの多様体に与えられている座標近傍系が S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} , T = {(Vτ, ψτ) | τ ∈ Τ} で定められているとする。多様体上の関数と同じように、写像も座標を用いて表現することができる。関数の場合と違うのは写像でうつる先でも座標について考えなければならないことである。
M2 = R という「特別な」場合の写像が関数になる。
つづく
0298１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 09:24:15.69ID:ETpiR2xzつづき
多様体上の曲線
R の開区間 I = (a, b) から Cs 級多様体 M への Cr 級写像
φ: I → M
のことを、 Cr 級曲線 (Cr-curve) という (0 ? r ? s)。
{ φ(t) ∈ M | t ∈ I} という点の集合を曲線というのではなく、写像 φ を曲線というのである。なお、φ の変数 t を媒介変数という。
a ? c < d ? b
とする。φ が 開区間 I = (a,b) で定義された Cr 級曲線であるとき、 I に含まれる閉区間 [c,d] や 半開区間 [c,d), (c,d] に φ の定義域を制限して得られる写像も Cr 級曲線という。
歴史
多様体の歴史はゲッティンゲンで行われたリーマンの講演に始まる。
多様体論は、ロバチェフスキーの双曲幾何学によって始まった非ユークリッド幾何学やガウスの曲面論を背景として様々な幾何学を統一し、 n 次元の幾何学へと飛躍させた。発見当初はカント哲学に打撃を与えた非ユークリッド幾何学も多様体論の一例でしかなくなってしまった。
リーマンがゲッティンゲン大学の私講師に就任するために行った講演『幾何学の基礎に関する仮説について』の中で「何重にも拡がったもの」と表現した概念が n 次元多様体のもとになり n 次元の幾何学に関する研究が始まった。この講演を聴いていたガウスがその着想に夢中になり、（ガウスは普段はあまり表立って他人を褒めることはなかったが、）リーマンの着想がいかに素晴らしいかを同僚に語り続けたり、帰り道にうわの空で道端の溝に落ちたりしたと言われている。
年表
1826年『平行線公準の厳密な証明』（ロバチェフスキー）
1827年『曲面の研究』（ガウス）
1829年『幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論』（ロバチェフスキー）
1854年6月10日『幾何学の基礎に関する仮説について』（リーマン）
1872年エルランゲン目録（クライン）
1895年『位置解析』（アンリ・ポアンカレ）
1916年一般相対性理論（アルベルト・アインシュタイン）
1936年『微分可能多様体』（ハスラー・ホイットニー）
つづく
0299１３２人目の素数さん
2022/07/09(土) 09:24:36.31ID:ETpiR2xzつづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
Manifold google訳
多様体
ポアンカレの定義
ヘルマン・ワイルは、1911年から1912年のリーマン面に関する講義コースで可微分多様体の本質的な定義を示し、まもなく続く位相空間の一般的な概念への道を開きました。1930年代に、ハスラーホイットニーなどが主題の基本的な側面を明らかにし、19世紀後半にさかのぼる直感が正確になり、微分幾何学とリー群論によって発展しました。特に、ホイットニー埋め込み定理[6]は、チャートに関する本質的な定義が、ユークリッド空間のサブセットに関するポアンカレの定義と同等であることを示しました。
原文
Hermann Weyl gave an intrinsic definition for differentiable manifolds in his lecture course on Riemann surfaces in 1911?1912, opening the road to the general concept of a topological space that followed shortly. During the 1930s Hassler Whitney and others clarified the foundational aspects of the subject, and thus intuitions dating back to the latter half of the 19th century became precise, and developed through differential geometry and Lie group theory. Notably, the Whitney embedding theorem[6] showed that the intrinsic definition in terms of charts was equivalent to Poincare's definition in terms of subsets of Euclidean space.
(引用終り)
以上
0300１３２人目の素数さん
2022/07/14(木) 16:57:25.04ID:/Ighvrnvhttps://www.youtube.com/watch?v=gLSbnGns1M4
【位相幾何】被覆空間の定義とリフトの一意性【代数トポロジー】
578 回視聴 2022/02/16 【参考文献】
・講座 数学の考え方〈15〉代数的トポロジー
https://www.アマゾン.co.jp/%E8%AC%9B%E5...
【Contents】
00:00 初めに
04:12 位相空間論・基本事項
05:50 被覆空間の定義
08:22 リフトの一意性（主張）
09:47 リフトの一意性（証明）
MakkyoExists 数学チャンネル
ぅす
4 か月前
テスト終わったんで、心置きなく位相幾何学一日中勉強してます笑
めちゃくちゃ幸せです！
しみずハルオ
4 か月前
「ガロアの夢―群論と微分方程式」久賀 道郎 (著)の解説も期待しています。
0301１３２人目の素数さん
2022/07/22(金) 08:01:57.95ID:n1cxh6b7>「IUTは全く新しい数学」
数学史の教えるところ
数学とは、新しい数学概念の歴史でもあり、
「数学は言葉」です by 新井
http://www.tokyo-tosho.co.jp/books/ISBN978-4-489-02053-7.html
【2009年9月刊行】東京図書株式会社
math stories 数学は言葉
上野健爾・新井紀子監修／新井紀子 著
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2
数学史
21世紀
21世紀初期、多くの教育者が新たな貧困層の数学的・科学的無教養に関する心配を述べている[44]。一方で、数学、科学、工学、および科学技術が相互に知識、情報を作り上げ、古代哲学者が夢にも見なかった繁栄がもたらされている。
2003年に、グリゴリー・ペレルマンがミレニアム懸賞問題の一つであるポアンカレ予想を証明した。
2007年3月中旬に、北米と欧州中の研究者チームがコンピュータネットワークを使用して、E8 (E?) （248次元の例外型単純リー環）の指標表を決定した[45]。この E8 の理解がどのように応用できるかはまだ正確に知られていないが、この発見は現代数学のチームワークと計算機科学双方の大きな業績である。
2009年 、 ゴ・バオ・チャウにより、ラングランズ・プログラムの基本補題に数学的証明が与えられた[46]。
2013年、テレンス・タオが素数が極端に偏ることなく分布することに関する素数の新定理発見[47][48][49]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%9C%AA%E6%9D%A5
数学の未来
レスを投稿する
ニュース
- 【速報】「つばさの党」代表ら逮捕 衆院東京15区補選めぐる公選法違反の疑い 警視庁 [少考さん★]
- ディズニーランドでわいせつ疑い 教員を逮捕 修学旅行の引率中 [少考さん★]
- 資産9割失った医師「だまされた」 無登録で「高配当の社債」勧誘か 男女8人逮捕 [蚤の市★]
- 神戸「激辛カレー」いじめ 苦情電話窓口の職員が過労死、市に１億２千万円の賠償命令 [煮卵★]
- 【MLB】大谷翔平、驚異のリーグ9冠 打撃指標で異次元の領域 [ネギうどん★]
- 【文春】《新宿タワマン刺殺》「アイドルの出待ちみたいな感じ」「一目見たかった」51歳ストーカー“恐怖のLINE”を独占入手 ★10 [Ailuropoda melanoleuca★]
- つばさの党代表ら逮捕 [545512288]
- 林芳正官房長官「GDPマイナスは能登半島地震のせい。賃上げ効果で日本の景気は緩やかな回復が続く」 やっぱり日本すごい [452836546]
- 家出少女「Hさせてと言う男ばかりです…」 [915089125]
- 【動画】ハゲ、電車内で突然バトル開始ｗｗｗｗｗｗｗｗｗ [856698234]
- 有能経営者（３１）「弱者より強者を助けたい。この恵まれた日本で弱者だなんて自己責任だから」１０万いいね [388560661]
- 「女性社員が生理休暇とりたいなんて言ってくるから…」→スカッとジャップで17万いいね [339712612]