素イデアル G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。つまり、類体論の内容には、(三次の相互律といったような)より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_multiplication In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers;[1] and also the theory in higher dimensions of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense (it roughly means that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one-dimensional modules). Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.
体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。
K が複素数体であれば、任意のCM-タイプの A は、実は、数体である定義体(英語版)(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合(ロサチの対合(英語版)(Rosati involution))をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、Cd の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。
CM-タイプ(CM-type)は、単位元における A の正則接空間上の、EndQ(A) の(極大)可換部分環 L の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、L が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、L は A の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。L 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは L の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2d 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。
1 CFT and its generalisations 2 Back to the root: CFT 3 Back to the root: CFT 4 CFT mechanism 5 CFT mechanism 6 Anabelian geometry 7 ‘Pre-Takagi’ LC 8 2D objects of HAT 9 HCFT 10 Zeta functions 11 Classical 1D theory of Iwasawa and Tate 12 HAT and elliptic curves 13 Measure and integration on 2D local fields 14 Two adelic structures in dimension 2 15 The triangle diagrammes 16 Higher zeta integral 17 HAT and meromorphic continuation and FE of the zeta function 18 HAT and GRH 19 HAT and the Tate?BSD conjecture
P29 Anabelian geometry and IUT
P33 Powerful restoration results in absolute mono-anabelian geometry were established by Mochizuki and applied in the IUT theory. 0183132人目の素数さん2021/10/12(火) 23:04:19.12ID:kAX38bAL これいいね https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html 星 裕一郎 講演 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20150309.pdf 数体の単遠アーベル的復元 (講演スライド), 宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展, 京都大学数理解析研究所, 2015.3.9-2015.3.20.
Mono-anabelian Reconstruction of Number Fields Yuichiro Hoshi RIMS 2015/03/09
Contents §1 Main Result §2 Two Keywords Related to IUT §3 Review of the Local Theory §4 Reconstruction of Global Cyclotomes 0184132人目の素数さん2021/11/13(土) 23:13:31.45ID:OtqEOAj/ メモ http://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Syllabus/H25(2013)/Graduate/Special_Lectures_on_Mathematics_B_I.html 講義名 数学特別講義B第一(Special Lectures on Mathematics B I) 開講学期 前学期 単位数 2--0--0 担当 星 裕一郎 非常勤講師(京都大学数理解析研究所 講師)
・J.-P. Serre, Local fields, Translated from the French by Marvin Jay Greenberg. Graduate Texts in Mathematics, 67. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979. ・J.-P. Serre, Local class field theory, 1967 Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) pp. 128-161 Thompson, Washington, D.C. ・J.-P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves, McGill University lecture notes written with the collaboration of Willem Kuyk and John Labute W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.
をそれぞれ挙げます.また,この講義でその説明を目標としている定理は,
・望月新一, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499-506. ・望月新一, Topics in absolute anabelian geometry I: generalities, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 19 (2012), no. 2, 139-242. ・星裕一郎, A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields, to appear in Kodai Math. J.
にあります. 0186132人目の素数さん2021/11/26(金) 18:02:35.84ID:3Zp5TRQm 下記”Introducing anabelian geometry, a general talk” IVAN FESENKO これ、結構いいね
https://ivanfesenko.org/?page_id=126 IVAN FESENKO Research ? Ivan Fesenko L Anabelian geometry and IUT theory of Shinichi Mochizuki, and applications Introducing anabelian geometry, a general talk
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Louis_Verdier Jean-Louis Verdier (French: [v??dje]; 2 February 1935 ? 25 August 1989) was a French mathematician who worked, under the guidance of his doctoral advisor Alexander Grothendieck, on derived categories and Verdier duality. He was a close collaborator of Grothendieck, notably contributing to SGA 4 his theory of hypercovers and anticipating the later development of etale homotopy by Michael Artin and Barry Mazur, following a suggestion he attributed to Pierre Cartier. Saul Lubkin's related theory of rigid hypercovers was later taken up by Eric Friedlander in his definition of the etale topological type. 0188132人目の素数さん2021/12/10(金) 10:08:46.26ID:ZfXXklGr メモ
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html 望月 過去と現在の https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu.pdf ・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在) 初期の歩み 学位を取得した 1992 年夏から 2000 年夏までの私の研究の主なテーマは次の三つ に分類することができます: (a) p 進 Teichm¨uller 理論:(1993 年〜1996 年) この理論は、複素数体上の双曲的リーマン面に対する Koebe の上半平面に よる一意化や、そのモジュライに対する Bers の一意化の p 進的な類似と見る こともでき、また Serre-Tate の通常アーベル多様体に対する標準座標の理論の 双曲曲線版と見ることもできる。詳しくは、 A Theory of Ordinary p-adic Curves や An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory をご参照下さい。 (b) p 進遠アーベル幾何:(1995 年〜1996 年) この理論の代表的な定理は、「劣 p 進体」(= p 進局所体上有限生成な体の部 分体)上の相対的な設定において、双曲的曲線への任意の多様体からの非定数 的な射と、それぞれの数論的基本群の間の開外準同型の間に自然な全単射が存 在するというものである。詳しくは、 The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves をご参照下さい。 (c) 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論:(1998 年〜2000 年) この理論の目標は、複素数体や p 進体上で知られている Hodge 理論の類似 を、数体上の楕円曲線に対して Arakelov 理論的な設定で実現することにある。 代表的な定理は、数体上の楕円曲線の普遍拡大上のある種の関数空間と、楕円 曲線の等分点上の関数からなる空間の間の、数体のすべての素点において計量 と(ある誤差を除いて)両立的な全単射を主張するものである。この理論は、 古典的なガウス積分 ∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、 A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I, II をご参照下さい。
主結果の概要. NF 型位相群 G から G 作用付き代数的閉体 F(G) を (位相群の開単射 に関して) 関手的に構成する “群論的手続き” が存在する: (引用終り) 以上 0212132人目の素数さん2022/02/12(土) 12:59:25.01ID:/qkcTHB7 Peter Scholze君のIUTに対する批判(下記) ”the reader will not find any proof that is longer than a few lines ・・ which is in line with the amount of mathematical conten ” https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf Mochizuki, Shinichi Inter-universal Teichmuller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English) Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021). Reviewer: Peter Scholze (Bonn) In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content. (引用終り)
つまり ”the reader will not find any proof that is longer than a few lines”、”which is in line with the amount of mathematical content”
原文:Esaki's “five don’ts” rules 1.Don’t allow yourself to be trapped by your past experiences. 2.Don’t allow yourself to become overly attached to any one authority in your field ? the great professor, perhaps. 3.Don’t hold on to what you don’t need. 4.Don’t avoid confrontation. 5.Don’t forget your spirit of childhood curiosity.
この様にしてSetAは糞の役(肥料)にも立たないどころか世界共通公害な毒レスを撒き散らし続ける。 0224132人目の素数さん2022/02/23(水) 12:21:57.52ID:U3yS+cNO メモ http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/selection.html Several articles of H.Nakamura
https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_module In mathematics, a Tate module of an abelian group, named for John Tate, is a module constructed from an abelian group A. Often, this construction is made in the following situation: G is a commutative group scheme over a field K, Ks is the separable closure of K, and A = G(Ks) (the Ks-valued points of G). In this case, the Tate module of A is equipped with an action of the absolute Galois group of K, and it is referred to as the Tate module of G.
Contents 1 Definition 2 Examples 2.1 The Tate module 2.2 The Tate module of an abelian variety 3 Tate module of a number field
Examples The Tate module When the abelian group A is the group of roots of unity in a separable closure Ks of K, the p-adic Tate module of A is sometimes referred to as the Tate module (where the choice of p and K are tacitly understood). It is a free rank one module over Zp with a linear action of the absolute Galois group GK of K. Thus, it is a Galois representation also referred to as the p-adic cyclotomic character of K. It can also be considered as the Tate module of the multiplicative group scheme Gm,K over K. 0227132人目の素数さん2022/03/10(木) 07:21:07.81ID:ix0kZYRP メモ https://arxiv.org/pdf/2202.00219.pdf Approximating Absolute Galois Groups Gunnar Carlsson, Roy Joshua February 2, 2022
P4 where S1 denotes the circle group,
Proposition 2.3 The construction A → A^ satisfies the following properties. 1. The^-construction defines an equivalence of categories from the category of compact topological abelian groups to the opposite of the category of discrete abelian groups. The^-construction is its own inverse. 2. For a profinite group G, G^ is isomorphic to Homc(G, μ∞), where μ∞ ⊆ S1 is the group of all roots of unity, isomorphic to Q/Z. If G is a p-profinite group, then μ∞ can be replaced by μp∞, the group of all p-power roots of unity, isomorphic to Z[1/p]/Z. 3. The functor A → A^ is exact. 4. For G a profinite abelian group, G is torsion free if and only if G^ is divisible. Similarly for “p-torsion free” and “p-divisible”.
Proof: Statement (1) is one version of the statement of the Pontrjagin duality theorem, (2) is an immediate consequence, and (3) follows immediately from (1). It remains to prove (4). To prove (4), we note that G is torsion free if and only if the sequence 0 → G ー(×n) -→ G is exact. The exactness proves that this occurs if and only if G^ G^ ×n ー(×n) -→G^-→ 0 is exact, so ×n is surjective. This is the result.
We now have the main result of this section. Theorem 2.1 Let F be any field containing all roots of unity. Then the absolute Galois group GF of F is totally torsion free. Remark 2.3 Class field theory shows, for example, that one cannot expect this result to hold for absolute Galois groups of number fields, so that some condition on the field is necessary.
そこで、当時数人が集まってやっていた圏論勉強会に参加して圏論の勉強を始めました。当時読んでいた書籍は Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories でした。この本は圏論の初学者向けに書かれた本で、数学的な知識をほとんど仮定せずに理解できるように書かれている非常によい本です。一方で全く数学の素養がない状態で読むと、証明もちゃんと追えているのかあやふやでなんとなく分かった気にさせられる本でもあります。私がまさにそのような状態でした。
Abstract. We combine various well-known techniques from the theory of heights, the theory of “noncritical Belyi maps”, and classical analytic number theory to conclude that the “ABC Conjecture”, or, equivalently, the so-called “Effective Mordell Conjecture”, holds for arbitrary rational points of the projective line minus three points if and only if it holds for rational points which are in “sufficiently general position” in the sense that the following properties are satisfied: (a) the rational point under consideration is bounded away from the three points at infinity at a given finite set of primes; (b) the Galois action on the l-power torsion points of the corresponding elliptic curve determines a surjection onto GL2(Zl), for some prime number l which is roughly of the order of the sum of the height of the elliptic curve and the logarithm of the discriminant of the minimal field of definition of the elliptic curve, but does not divide the conductor of the elliptic curve, the rational primes that are absolutely ramified in the minimal field of definition of the elliptic curve, or the local heights [i.e., the orders of the q-parameter at primes of [bad] multiplicative reduction] of the elliptic curve.
Introduction In the classical intersection theory of subvarieties, or cycles, on algebraic varieties, various versions of the “moving lemma” allow one to replace a given cycle by another cycle which is equivalent, from the point of view of intersection theory, to the given cycle, but is supported on subvarieties which are in a “more convenient” position ? i.e., typically, a “more general” position, which is free of inessential, exceptional pathologies ? within the ambient variety. 0237132人目の素数さん2022/04/29(金) 06:37:49.57ID:b8gsErp4 <q-parameter についてメモ> https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/notesoniut.pdf ARITHMETIC DEFORMATION THEORY VIA ARITHMETIC FUNDAMENTAL GROUPS AND NONARCHIMEDEAN THETA-FUNCTIONS, NOTES ON THE WORK OF SHINICHI MOCHIZUKI IVAN FESENKO This text was published in Europ. J. Math. (2015) 1:405?440. P9 If v is a bad reduction valuation and Fv is the completion of F with respect to v, then the Tate curve F× v /hqvi, where qv is the q-parameter of EF at v and hqvi is the cyclic group generated by qv, is isomorphic to EF(Fv), hqvi → the origin of EF, see Ch.V of [44] and §5 Ch.II of [43]. P10 Define an idele qEF ∈ lim -→ A×k: its components at archimedean and good reduction valuations are taken to be 1. Its components at places where EF has split multiplicative reduction are taken to be qv, where qv is the q-parameter of the Tate elliptic curve EF(Fv) = F×v /hqvi. The ultimate goal of the theory is to give a suitable bound from above on deg(qEF). Fix a prime integer l > 3 which is relatively prime to the bad reduction valuations of EF, as well as to the value nv of the local surjective discrete valuation of the q-parameter qv for each bad reduction valuation v. P13 Let q ∈ L be a non-zero element of the maximal ideal of the ring of integers of L (this q will eventually be taken to be the q-parameter qv of the Tate curve EF(Fv) ' F×v /hqvi, where L = Fv, for bad reduction primes v of E, see Ch.5 of [44]).
Just as in the classical complex theory, elliptic functions on L with period q can be expressed in terms of θ, a property which highlights the central role of nonarchimedean theta-functions in the theory of functions on the Tate curve. For more information see §2 Ch.I and §5 Ch.II of [43] and p. 306-307 of [38]. ・・ via the change of variables q = exp(2πiτ),u = exp(2πiz)
P24 54 In IUT, the two combinatorial dimensions of a ring, which are often related to two ring-theoretic dimensions (one of which is geometric, the other arithmetic), play a central role. These two dimensions are reminiscent of the two parameters (one of which is related to electricity, the other to magnetism) which are employed in a subtle fashion in the study of graphene to establish a certain important synchronisation for hexagonal lattices. (引用終り) 以上 0239132人目の素数さん2022/04/29(金) 06:40:42.26ID:b8gsErp4>>237 q-parameter についてメモ 追加
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/490-4940240132人目の素数さん2022/04/29(金) 10:40:50.66ID:b8gsErp4 メモ (最新版) https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IN TERMS ¨ OF LOGICAL AND “∧”/LOGICAL OR “∨” RELATIONS: REPORT ON THE OCCASION OF THE PUBLICATION OF THE FOUR MAIN PAPERS ON INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY ¨ Shinichi Mochizuki April 2022 P140版
(元) https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/On%20the%20Essential%20Logical%20Structure%20of%20IUT%20IV,%20V%20(marked%20up%20version).pdf ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I, II, III, IV, V ¨ Shinichi Mochizuki (RIMS, Kyoto University) September 2021 P42版 0241132人目の素数さん2022/05/01(日) 02:53:34.98ID:6LpCNPT7 無様ここに極まれり 0242132人目の素数さん2022/05/01(日) 08:16:10.72ID:txhCGf0/ これいいね
定義(等角同型). ふたつのリーマン面 S と R が等角同型 (conformally isomorphic) または単に 同型 (isomorphic) であるとは,ある正則(等角)な同相写像 h : S → R が存在するときをいう. 定理 7.1 (一意化定理) 任意のリーマン面は,次のような形のリーマン面 R と等角同 型である: R = X/Γ ただし X = C?, C, もしくは D であり,Γ は P SL(2, C) のある離散部分群. まだ P SL(2, C) が X がどのように作用するのかが説明されていないので,現時点ではかなりあいま い主張であるが,この X/Γ がモデルに相当するリーマン面である.とりあえず,「任意のリーマン面 は,ごくごく簡単なリーマン面を,P SL(2, C) という比較的素性のよくわかっている群の部分群で 割ったものと同等だ」という部分に意味がある.1 以下ではその構成方法を概観するが,その手順は はあたかも,地球から地球儀を構成するかのようである.地表をくまなく歩いて地図帳を作り,それ を使い慣れた材質に写し取りながら模型を構成していく. まずは準備段階として,定理の証明に必要な「基本群と被覆空間」の用語を復習しつつ,リーマン 面の普遍被覆空間を構成する.2
8 リーマン面の一意化定理 一意化定理の証明を終わらせよう.手順としては,
8.2 商リーマン面の構成
8.3 リーマン面の一意化
単連結リーマン面の一意化定理. まず次の定理は証明無しで用いよう: 定理 8.5 (ケーベ,ポアンカレ) 任意の単連結リーマン面 X は,C?, C,もしくは D と 等角同型である. 証明は簡単ではない.まずコンパクトな場合(C? )とそうでないでない場合に分け,さらにグリーン 関数が構成できる(D)かできない(C)かで区別される.
9 タイヒミュラー空間の定義 今回の目標はとにかく,タ空間を定義することにある.最初に前回の補足として例外型・双曲型 リーマン面について解説したあと,言葉の準備(写像の持ち上げ,リーマン面上の擬等角写像)をし て,定義に取り掛かる.定義の意味については,次回に. 以下,S, R をリーマン面とする.
9.2 写像の持ち上げ
9.3 リーマン面間の擬等角写像の定義
9.5 タイヒミュラー空間の定義 いよいよ,「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する.とりあえず,形式的に定義を済ま せてしまおう. S とそのアトラス A を固定する.つぎに,別のリーマン面 R で,S からの向きを保つ擬等角写像 f : S → R が存在するようなもの全体を考える.もう少し形式的に,そのような f と R のペアとし て (R, f) の形のもの全体を考えるのである.この写像 f をマーキング (marking) と呼び,(R, f) を マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ. その全体の集合に,次の同値関係を考えよう:
It can be viewed as a moduli space for marked hyperbolic structure on the surface, and this endows it with a natural topology for which it is homeomorphic to a ball of dimension 6g-6 for a surface of genus g >= 2. In this way Teichmuller space can be viewed as the universal covering orbifold of the Riemann moduli space.
Contents 1 History 2 Definitions 2.1 Teichmuller space from complex structures 2.2 The Teichmuller space of the torus and flat metrics 2.3 Finite type surfaces 2.4 Teichmuller spaces and hyperbolic metrics 2.5 The topology on Teichmuller space 2.6 More examples of small Teichmuller spaces 2.7 Teichmuller space and conformal structures 2.8 Teichmuller spaces as representation spaces 2.9 A remark on categories 2.10 Infinite-dimensional Teichmuller spaces 3 Action of the mapping class group and relation to moduli space 3.1 The map to moduli space 3.2 Action of the mapping class group 3.3 Fixed points 4 Coordinates 4.1 Fenchel?Nielsen coordinates 4.2 Shear coordinates 4.3 Earthquakes 5 Analytic theory 5.1 Quasiconformal mappings 5.2 Quadratic differentials and the Bers embedding 5.3 Teichmuller mappings 6 Metrics 6.1 The Teichmuller metric 6.2 The Weil?Petersson metric 7 Compactifications 7.1 Thurston compactification 7.2 Bers compactification 7.3 Teichmuller compactification 7.4 Gardiner?Masur compactification 8 Large-scale geometry 9 Complex geometry 9.1 Metrics coming from the complex structure 9.2 Kahler metrics on Teichmuller space 9.3 Equivalence of metrics 10 See also 11 References 12 Sources 13 Further reading
History Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g >= 2. The early study of Teichmuller space, in the late nineteenth?early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincare, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
The main contribution of Teichmuller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmuller space (introduced by Bers).
The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory. (引用終り) 以上 0259132人目の素数さん2022/06/12(日) 23:01:59.33ID:Vf6rE6Wr 擬等角写像 Quasiconformal mapping
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiconformal_mapping Quasiconformal mapping Contents 1 Definition 2 A few facts about quasiconformal mappings 3 Measurable Riemann mapping theorem 4 Computational quasi-conformal geometry 0260132人目の素数さん2022/06/12(日) 23:11:50.47ID:Vf6rE6Wr 似ているが、ちょっと違う Quasiregular map:between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally,・・ https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiregular_map Quasiregular map In the mathematical field of analysis, quasiregular maps are a class of continuous maps between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally, between Riemannian manifolds of the same dimension, which share some of the basic properties with holomorphic functions of one complex variable.
Contents 1 Motivation 2 Definition 3 Properties 4 Rickman's theorem 5 Connection with potential theory 0261132人目の素数さん2022/06/12(日) 23:24:14.69ID:Vf6rE6Wr Punctured Torus Group https://www.cajpn.org/ref.html 複素解析学ホームページ 資料室
謝辞.本稿§5は藤原一宏氏の許可の下,2001年1月10日及び11日の藤原氏の北海道大学での講 演のノートを基にして記述した.藤原氏に感謝したい.また査読者の方々からは,文章構成などに関 して多くのお知恵を頂いた.査読者の方々に感謝したい. (引用終り) 以上 0278132人目の素数さん2022/06/25(土) 20:14:53.38ID:rjLBI7WThttps://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/ 田崎博之のページ 2023年3月末日に勤務している筑波大学を定年退職します。 それに伴ってこのホームページは閉鎖します。 その際、ホームページの全部または一部をどこかに移設しようと考えています。 移設先や内容についてアドバイスやご意見等ありましたら、 お知らせいただければ幸いです。 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/lecture.html 講義 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI.html 数理物質科学研究科:微分幾何学I(月2) ファイバー束 pdf : 講義資料(7月22日分まで) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln2019/diffgeoI2019-dist.pdf 第1章 基本群と被覆空間 0279132人目の素数さん2022/06/25(土) 23:10:27.85ID:rjLBI7WThttp://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~hirai/ Hiroshi Hirai Associate Professor Department of Mathematical Informatics, Graduate School of Information Science and Technology, University of Tokyo, Tokyo, 113-8656, Japan.
https://ncatlab.org/nlab/show/Teichm%C3%BCller+theory Teichmuller theory nLab Contents 1. Idea 2. Properties Complex structure on Teichmuller space Relation to moduli stack of complex curves / Riemann surfaces 3. Related concepts 4. References
3. Related concepts Kodaira-Spencer theory moduli space of curves Grothendieck-Teichmuller group quantum Teichmuller theory p-adic Teichmuller theory inter-universal Teichmuller theory Outer space for version in supergeometry see at super Riemann surface
Quantization of Teichmuller spaces and the quantum dilogarithm RM Kashaev Letters in Mathematical Physics 43 (2), 105-115 引用246 1998年
http://sciencewise.info/resource/Teichm_ller_modular_group/Teichm%C3%BCller_modular_group_by_Wikipedia ScienceWISE Mapping class group of a surface From Wikipedia, the free encyclopedia In mathematics, and more precisely in topology, the mapping class group of a surface, sometimes called the modular group or Teichmuller modular group, is the group of homeomorphisms of the surface viewed up to continuous (in the compact-open topology) deformation. It is of fundamental importance for the study of 3-manifolds via their embedded surfaces and is also studied in algebraic geometry in relation to moduli problems for curves.
The mapping class group can be defined for arbitrary manifolds (indeed, for arbitrary topological spaces) but the 2-dimensional setting is the most studied in group theory. The mapping class group of surfaces are related to various other groups, in particular braid groups and outer automorphism groups.
Contents 1 History 2 Definition and examples 2.1 Mapping class group of orientable surfaces 2.2 The mapping class groups of the sphere and the torus 2.3 Mapping class group of surfaces with boundary and punctures 2.4 Mapping class group of an annulus 2.5 Braid groups and mapping class groups 2.6 The Dehn?Nielsen?Baer theorem 2.7 The Birman exact sequence 3 Elements of the mapping class group 3.1 Dehn twists 3.2 The Nielsen?Thurston classification 3.3 Pseudo-Anosov diffeomorphisms 4 Actions of the mapping class group 4.1 Action on Teichmuller space 4.2 Action on the curve complex 4.3 Other complexes with a mapping class group action 4.3.1 Pants complex 4.3.2 Markings complex 5 Generators and relations for mapping class groups 5.1 The Dehn?Lickorish theorem 5.2 Finite presentability 5.3 Other systems of generators 5.4 Cohomology of the mapping class group 6 Subgroups of the mapping class groups 6.1 The Torelli subgroup 6.2 Residual finiteness and finite-index subgroups 6.3 Finite subgroups 6.4 General facts on subgroups 7 Linear representations (引用終り) 以上 0283132人目の素数さん2022/07/03(日) 07:48:51.05ID:ufzWvOVH>>281 関連 http://pantodon.jp/index.rb?body=Teichmuller_space Algebraic Topology: A guide to literature Teichuller空間 Last updated on 2021-07-08
Riemann面に関係したことを考えるときには Teichuller空間は必ず必要になる。
・Riemann面のmoduli spaceは Teichmuller spaceのmapping class groupによる商空間 ・Teichmuller空間はEuclid空間と同相であり, よって可縮
またRiemann面のmoduli spaceはmapping class groupの分類空間にかなり近いものであることも分か る。実際, Harerは[Har86]で, 「割る前」のTeichmuller空間を mapping class groupの作用を込めて考え, mapping class groupのvirtual cohomological dimensionの評価を得ている。
座標変換はまず φ?1 で M に戻してから ψ によって座標のある集合 V ' に写す写像である。間に座標が決められていない空間 M を挟む形になっているものの、座標変換全体はユークリッド空間の部分集合 U ' からユークリッド空間の部分集合 V ' への写像になっている。すなわち M を経由しているという事実を無視し、座標変換を合成写像としてではなく全体で 1 つの写像として捉えると、それは普通のユークリッド空間からユークリッド空間への写像である。
m 次元座標近傍の族 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} が M 全体を覆っているとする:
極大座標近傍系 m 次元位相多様体 M に対し Cn 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のCn 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。
こうして座標近傍系の取り方に依存しない Cn 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。
多様体上の関数 m 次元 Cn 級多様体 M 上で定義された実数値関数 f を考える。
f: M → R これは、多様体上の点 p ∈ M に対して実数値 f(p) を対応させる関数である。特定の局所座標を考えているわけではないので、この関数の変数は (x1, x2, ..., xm) のように数を並べた座標ではなく単に点を表している。
{ φ(t) ∈ M | t ∈ I} という点の集合を曲線というのではなく、写像 φ を曲線というのである。なお、φ の変数 t を媒介変数という。
a ? c < d ? b とする。φ が 開区間 I = (a,b) で定義された Cr 級曲線であるとき、 I に含まれる閉区間 [c,d] や 半開区間 [c,d), (c,d] に φ の定義域を制限して得られる写像も Cr 級曲線という。
歴史 多様体の歴史はゲッティンゲンで行われたリーマンの講演に始まる。
多様体論は、ロバチェフスキーの双曲幾何学によって始まった非ユークリッド幾何学やガウスの曲面論を背景として様々な幾何学を統一し、 n 次元の幾何学へと飛躍させた。発見当初はカント哲学に打撃を与えた非ユークリッド幾何学も多様体論の一例でしかなくなってしまった。
リーマンがゲッティンゲン大学の私講師に就任するために行った講演『幾何学の基礎に関する仮説について』の中で「何重にも拡がったもの」と表現した概念が n 次元多様体のもとになり n 次元の幾何学に関する研究が始まった。この講演を聴いていたガウスがその着想に夢中になり、(ガウスは普段はあまり表立って他人を褒めることはなかったが、)リーマンの着想がいかに素晴らしいかを同僚に語り続けたり、帰り道にうわの空で道端の溝に落ちたりしたと言われている。
原文 Hermann Weyl gave an intrinsic definition for differentiable manifolds in his lecture course on Riemann surfaces in 1911?1912, opening the road to the general concept of a topological space that followed shortly. During the 1930s Hassler Whitney and others clarified the foundational aspects of the subject, and thus intuitions dating back to the latter half of the 19th century became precise, and developed through differential geometry and Lie group theory. Notably, the Whitney embedding theorem[6] showed that the intrinsic definition in terms of charts was equivalent to Poincare's definition in terms of subsets of Euclidean space. (引用終り) 以上 0300132人目の素数さん2022/07/14(木) 16:57:25.04ID:/Ighvrnv これいいね! https://www.youtube.com/watch?v=gLSbnGns1M4 【位相幾何】被覆空間の定義とリフトの一意性【代数トポロジー】 578 回視聴 2022/02/16 【参考文献】 ・講座 数学の考え方〈15〉代数的トポロジー https://www.アマゾン.co.jp/%E8%AC%9B%E5...
ヘンゼルの補題(ヘンゼルのほだい、英: Hensel's lemma)とは、1変数多項式が素数 p を法として単根(英語版)を持つならば、その根は p の任意の冪乗を法とする根に一意的に持ち上げられるという、合同算術における補題である。この補題は、多項式が法 p で2つの互いに素な多項式(英語版)に因数分解できるならば、その因数分解は p の任意の冪乗を法とする因数分解に持ち上げることができるという補題に一般化できる。因数分解に現れる多項式の次数が1の場合が根の場合に相当する。ヘンゼルの持ち上げ補題(英: Hensel's lifting lemma)とも呼ばれる。名称はクルト・ヘンゼルに因む。
p の冪指数を無限に大きくしていったときの(射影極限の意味での)極限を取ることにより、法 p での根(または因数分解)を p 進整数上での根(または因数分解)に持ち上げることができる。
還元と持ち上げ R を可換環、I を R のイデアルとする。R の元を標準写像 R\→ R/I による像で置き換えることを、I を法とする還元、または法 I での還元と呼ぶ。 持ち上げとは還元の逆の操作である。つまり、R/I の元を使って表されている対象があったとき、持ち上げとは対象の性質を保ったまま還元するとこの対象に等しくなるように R(もしくはある k > 1 に対する R/I^{k}の元に置き換えることをいう。
Power series Main article: Formal power series Power series generalize the choice of exponent in a different direction by allowing infinitely many nonzero terms. This requires various hypotheses on the monoid N used for the exponents, to ensure that the sums in the Cauchy product are finite sums. Alternatively, a topology can be placed on the ring, and then one restricts to convergent infinite sums. For the standard choice of N, the non-negative integers, there is no trouble, and the ring of formal power series is defined as the set of functions from N to a ring R with addition component-wise, and multiplication given by the Cauchy product. The ring of power series can also be seen as the ring completion of the polynomial ring with respect to the ideal generated by x.
www.kurims.kyoto-u.ac.jp IUT I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS Shinichi Mochizuki May 2020 Abstract. This data determines various hyperbolic orbicurves that are related via finite ´etale coverings to the once-punctured elliptic curve XF determined by EF.
https://researchmap.jp/Hiroaki_NAKAMURA/ 中村 博昭 On Arithmetic Monodromy Representations of Eisenstein Type in Fundamental Groups of Once Punctured Elliptic Curves Hiroaki Nakamura PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 49(3) 413-496 2013年9月 査読有り
このページは 1999 年8月〜12月にカリフォルニア大学・バークレーの 数理科学研究所 (MSRI) で行われた Program on Galois Groups and Fundamental Groups Organizers: Eva Bayer, Michael Fried, David Harbater, Yasutaka Ihara, B. Heinrich Matzat, Michel Raynaud, John Thompson の紹介ページ http://msri.org/activities/programs/9900/galois/ の日本語訳をもとに 中村が加工を施して作成したものです。(2000/10/1) (引用終り) 0357132人目の素数さん2024/04/20(土) 09:27:43.10ID:b3gJjkjy これいいね http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/selection.html Several articles of H.Nakamura
Articles on Anabelian Geometry H.Nakamura, A.Tamagawa, S.Mochizuki: ``The Grothendieck Conjecture on the Fundamental Groups of Algebraic Curves'' Copyright 1999 American Mathematical Society ``Sugaku Expositions'' (AMS), Volume 14 (2001), 31--53 English translation (by S.Mochizuki) from ``Sugaku'' 50(2), 1998, pp. 113-129 (Japanese). pdf http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf
H.Nakamura: "On Galois rigidity of fundamental groups of algebraic curves" in "Nonabelian Fundamental Groups and Iwasawa Theory" (J.Coates, M.Kim, F.Pop, M.Saidi, P.Schneider eds.) London Math. Soc. Lecture Note Series, 393 (2012), 56--71 (Cambridge UP). pdf http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/monkey/02nakamura.pdf This is a translation into English of an old Japanese article published in "Report Collection of the 35th Algebra Symposium held at Hokkaido University in 1989" + 8 complementary notes newly added in English.
Galois-Teichmueller theory: H.Nakamura : ``Limits of Galois representations in fundamental groups along maximal degeneration of marked curves II'' Proc. Symp. Pure Math., 70 (2002), 43--78 ps / pdf http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/anteater/naka-lim.pdf
H.Nakamura, H.Tsunogai, S.Yasuda: "Harmonic and equianharmonic equations in the Grothendieck-Teichmueller group, III" Journal Inst. Math. Jussieu 9 (2010), 431-448. NTY2010jimj.pdf (Copyright: Cambridge University Press) http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/squirrel/NTY2010jimj.pdf available from Cambridge Journals Online 0358132人目の素数さん2024/04/20(土) 09:29:09.81ID:0huTH1S0 閲覧注意 >1は数学の線形代数|・|≠0を理解できない トンデモ ↓ 0426 132人目の素数さん 2023/10/29(日) 14:22:15.63
In mathematics, the Teichmüller space T(S) of a (real) topological (or differential) surface S is a space that parametrizes complex structures on S up to the action of homeomorphisms that are isotopic to the identity homeomorphism. Teichmüller spaces are named after Oswald Teichmüller.
History Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g ≥ 2. The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).
The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory. 0363132人目の素数さん2024/04/20(土) 20:04:46.96ID:b3gJjkjy これいいね https://www.youtube.com/playlist?list=PL04QVxpjcnjj-7bMIZG1smxVh_6gvHbki https://www.youtube.com/watch?v=X1cAVLSMz0g&list=PL04QVxpjcnjj-7bMIZG1smxVh_6gvHbki&index=1 A History and Survey of the Subject by Pierre Lochak International Centre for Theoretical Sciences 2024/02/26 DISCUSSION MEETING : GROTHENDIECK TEICHMÜLLER THEORY
ORGANIZERS : Pierre Lochak (CNRS and IMJ-PRG, Paris, France) and Devendra Tiwari (Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, India) DATE : 26 February 2024 to 01 March 2024 VENUE : Madhava Lecture Hall, ICTS Bengaluru and Online Beyond “dessins d’enfant”, the theory nowadays referred to as Grothendieck-Teichmüller theory (Galois-Teichmüller in Grothendieck’s manuscripts) may well represent the main new theme in the Esquisse d'un Programme, as confirmed in the Promenade à travers une œuvre (which is part of Récoltes et semailles). Simplifying a great deal one may say that Grothendieck’s main ideas were taken up especially by Y. Ihara, V. Drinfeld and P. Deligne in the mid and late eighties.They derive in large part from the elementary remark that the fundamental group remains the only invariant in classical algebraic topology which is not a priori abelian .Making this remark fruitful probably required the genius of Alexandre Grothendieck . The fact is that out of it Grothendieck-Teichmüller theory (on which we will concentrate) and Anabelian Geometry (including the so-called “section conjecture”) were born.
In Grothendieck’s Esquisse, he is dealing with the full étale fundamental group, which is profinite almost by definition, or say by a form of the GAGA principle. It leads to the original version of the Grothendieck-Teichmüller group which again by definition (or by functoriality) and using the famous Belyi theorem, contains the absolute Galois group Gal(Q) of the field Q (the prime field in charateristic zero, as Grothendieck likes to put it).
A significant bifurcation occurred in Deligne’s 1989 paper on Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points,in which the author brings in the rich toolbox of rational homotopy theory and motives (at least what we nowadays call mixed Tate motives),at the expense of using the prounipotent (not profinite) fundamental group. The ensuing version of the Grothendieck-Teichmüller group of course does not contain the Galois group anymore but this linearized version of the theory lends itself more easily to computations (e.g. those involving Multiple Zeta Values) and has become largely prevalent (including lately in deformation theory).
In this week long meeting we will discuss both versions (which could also be termed “linear” and “nonlinear”), including in particular an introduction to the profinite (nonlinear) version of the theory, which seems much closer to what Grothendieck initially had in mind and has been hitherto much less publicized. There will be mini-courses by subject experts of introductory nature for younger researchers, who were not exposed to these topics before.There will also be a few research talks by active researchers to explain the current state of the art in the subject of the meeting.
Accommodation will be provided for outstation participants at our on campus guest house. ICTS is committed to building an environment that is inclusive, non discriminatory and welcoming of diverse individuals. We especially encourage the participation of women and other under-represented groups. Eligibility Criteria: Senior Ph.D. students, postdocs, and faculties working on topics related to the theme of the meeting. (引用終り) 0365132人目の素数さん2024/04/20(土) 20:09:47.99ID:lgVZM1FC This multi-volume set deals with Teichmüller theory in the broadest sense, namely, as the study of moduli space of geometric structures on surfaces, with methods inspired or adapted from those of classical Teichmüller theory. The aim is to give a complete panorama of this generalized Teichmüller theory and of its applications in various fields of mathematics.
The volumes consist of chapters, each of which is dedicated to a specific topic. The present volume has 19 chapters and is divided into four parts:
The metric and the analytic theory (uniformization, Weil–Petersson geometry, holomorphic families of Riemann surfaces, infinite-dimensional Teichmüller spaces, cohomology of moduli space, and the intersection theory of moduli space). The group theory (quasi-homomorphisms of mapping class groups, measurable rigidity of mapping class groups, applications to Lefschetz fibrations, affine groups of flat surfaces, braid groups, and Artin groups). Representation spaces and geometric structures (trace coordinates, invariant theory, complex projective structures, circle packings, and moduli spaces of Lorentz manifolds homeomorphic to the product of a surface with the real line). The Grothendieck–Teichmüller theory (dessins d'enfants, Grothendieck's reconstruction principle, and the Teichmüller theory of the soleniod). This handbook is an essential reference for graduate students and researchers interested in Teichmüller theory and its ramifications, in particular for mathematicians working in topology, geometry, algebraic geometry, dynamical systems and complex analysis.
The authors are leading experts in the field. 0366132人目の素数さん2024/04/20(土) 20:11:57.70ID:b3gJjkjy P.Lochakは、中村先生のホームページに3カ所出てくる
Y.Ihara, H.Nakamura: ``Some illustrative examples for anabelian geometry in high dimensions'' in `Geometric Galois Actions I' (L.Schneps, P.Lochak eds.) London Math. Soc. Lect. Note Series 242 (1997), pp. 127--138. http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/lion/INanabel.pdf
H.Nakamura: ``Galois representations in the profinite Teichmueller modular groups'' in `Geometric Galois Actions I' (L.Schneps, P.Lochak eds.) London Math. Soc. Lect. Note Series 242 (1997), pp. 159--173. http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/lion/Gaction.pdf
Galois-Teichmueller theory: P.Lochak, H.Nakamura, L.Schneps: "Eigenloci of 5 point configurations on the Riemann sphere and the Grothendieck-Teichmueller group" Math. J. Okayama Univ. 46 (2004), 39--75. http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/deer/_09_Lochak-Nakamura-Schneps.pdf 0367132人目の素数さん2024/04/20(土) 20:32:56.24ID:lgVZM1FC The Teichmüller space of a surface was introduced by O. Teichmüller in the 1930s. It is a basic tool in the study of Riemann's moduli spaces and the mapping class groups. These objects are fundamental in several fields of mathematics, including algebraic geometry, number theory, topology, geometry, and dynamics.
The original setting of Teichmüller theory is complex analysis. The work of Thurston in the 1970s brought techniques of hyperbolic geometry to the study of Teichmüller space and its asymptotic geometry. Teichmüller spaces are also studied from the point of view of the representation theory of the fundamental group of the surface in a Lie group 0368132人目の素数さん2024/04/20(土) 22:59:53.93ID:b3gJjkjy>>367 ありがとうございます こういう重要ポイントをさらっとコピーできるのは、御大かな
<IUT最新文書> https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html 2024年03月24日 望月新一 ・(過去と現在の研究)2024年4月に開催予定のIUGCの研究集会での講演の スライドを公開。https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(IUGC2024%20version).pdf P8 In this context, it is important to remember that, just like SGA, IUT is formulated entirely in the framework of “ZFCG” (i.e., ZFC + Grothendieck’s axiom on the existence of universes), especially when considering various set-theoretic/foundational subtleties (?) of “gluing” operations in IUT (cf. [EssLgc], §1.5,§3.8,§3.9, as well as [EssLgc],§3.10, especially the discussion of “log-shift adjustment” in (Stp 7)): (引用終り)
ある特定の文脈において おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。 もし研究対象が実数として形式化されていれば、実数の集合である実数直線 R は考察下において宇宙になりうる。 これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。 カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。
この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。 ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる。 一般的に集合が U の部分集合であれば、それは円によって表現される。集合 A の補集合は A の円の外側の四角形の部分によって与えられている。
通常の数学 与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。) X の様々な部分集合の集合は、それ自体は X の部分集合にならないが、代わりに X の冪集合 PX の要素はX の部分集合になる。 これに続き、研究対象は宇宙が P(PX) になるような場合における X の部分集合の集合などを構成する。
集合論 SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。 Vi のすべての和集合は次のようにフォン・ノイマン宇宙 V となる これらの和集合 V は真の類である。 置換公理と同時期にZFにを加られた正則性公理は、すべての 集合が V に属することを主張している。
クルト・ゲーデルの構成可能集合 L と構成可能公理 到達不能基数は ZF のモデルと加法性公理を生じ、さらにグロタンディーク宇宙の集合の存在と等価である。
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチは、固定された射有限群 G に対して有限 G-集合の圏を特徴付ける圏論的性質に関係している。例えば、G として ˆZ と表記される群が考えられる。この群は巡回加法群 Z/nZ の逆極限である。あるいは同じことであるが、有限指数の部分群の位相に対する無限巡回群の完備化である。すると、有限 G-集合は G が商有限巡回群を通して作用している有限集合 X であり、X の置換を与えると特定することができる。
上の例では、古典的なガロア理論との関係は、 ˆZ を任意の有限体 F 上の代数的閉包 F の射有限ガロア群 Gal(F/F) と見なすことである。すなわち、F を固定する F の自己同型は、 F 上の大きな有限分解体をとるように、逆極限により記述される。幾何学との関係は、原点を取り除いた複素平面内の単位円板の被覆空間として見なすことができる。複素変数 z と考えると、円板の zn 写像により実現される有限被覆は、穴あき円板の基本群の部分群 n.Z に対応する。
SGA1[1]で出版されたグロタンディークの理論は、どのようにして G-集合の圏をファイバー函手(fibre functor) Φ から再構成するかが示されている。ファイバー函手は、幾何学的な設定では、(集合として)固定されたベースポイント上の被覆のファイバーを持つ。実際、タイプ G ≅ Aut(Φ) として証明された同型が存在する。右辺は、Φ の自己同型群(自己自然変換)である。集合の圏への函手をもつ圏の抽象的な分類は、射有限な G に対する G-集合の圏を認識することによって与えられる。
PART I: Introduction and motivation The term “anabelian” was invented by Grothendieck, and a possible translation of it might be “beyond Abelian”. The corresponding mathematical notion of “anabelian Geometry” is vague as well, and roughly means that under certain “anabelian hypotheses” one has: ∗ ∗ ∗Arithmetic and Geometry are encoded in Galois Theory ∗ ∗ ∗ It is our aim to try to explain the above assertion by presenting/explaining some results in this direction. For Grothendieck’s writings concerning this the reader should have a look at [G1], [G2].
PART II: Grothendieck’s Anabelian Geometry The natural context in which the above result appears as a first prominent example is Grothendieck’s anabelian geometry, see [G1], [G2]. We will formulate Grothendieck’s anabelian conjectures in a more general context later, after having presented the basic facts about ´etale fundamental groups. But it is easy and appropriate to formulate here the so called birational anabelian Conjectures, which involve only the usual absolute Galois group.
P22 The result above by Mochizuki is the precursor of his much stronger result concerning hyperbolic curves over sub-p-adic fields as explained below.
PART III: Beyond Grothendieck’s anabelian Geometry
References Ihara, Y., On beta and gamma functions associated with the Grothendieck-Teichmller group II, J. reine angew. Math. 527 (2000), 1–11. Mochizuki, Sh., The profinite Grothendieck Conjecture for closed hyperbolic curves over number fields, J. Math. Sci. Univ Tokyo 3 (1966), 571–627. Mochizuki, The absolute anabelian geometry of hyperbolic curves, Galois theory and modular forms, 77–122, Dev. Math., 11, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 2004. Nagata, M., A theorem on valuation rings and its applications, Nagoya Math. J. 29 (1967), 85–91. Nakamura, H., Galois rigidity of the ´ etale fundamental groups of punctured projective lines, J. reine angew. Math. 411 (1990) 205–216. 0379132人目の素数さん2024/04/21(日) 19:40:26.47ID:+2zd27AU ホッジシアター(ホッジ劇場)とは
P10 The conclusion of this discussion is that with consistent identifications of copies of real numbers, one must in (1.5) omit the scalars j^2 that appear, which leads to an empty inequality. We voiced these concerns in this form at the end of the fourth day of discussions. On the fifth and final day,
Mochizuki tried to explain to us why this is not a problem after all. In particular, he claimed that up to the “blurring” given by certain indeterminacies the diagram does commute; it seems to us that this statement means that the blurring must be by a factor of at least O(l^2) rendering the inequality thus obtained useless. (google訳) 望月氏は、結局のところ、なぜこれが問題にならないのかを説明しようとしました。 特に、特定の不確定性によって与えられる「ぼやけ」までは、図は可換であると彼は主張した。 このステートメントは、ぼかしは少なくとも O(l^2) 倍でなければならず、こうして得られた不等式を役に立たなくすることを意味しているように私たちには思えます。
P9 2.2. Proof of [IUTT-3, Corollary 3.12]. As we indicated earlier, there is no clear distinction between abstract and concrete pilot objects in Mochizuki’s work, so it is argued in [IUTT-3, Corollary 3.12] that the multiradial algorithm [IUTT-3, Theorem 3.11]*12 implies that up to certain indeterminacies, e.g. (Ind 1,2,3) (without which the conclusion would be obviously false), this becomes an identification of concrete Θ-pilot objects and concrete q-pilot objects (encoded via their action on processions of tensor packets of log-shells), and then the inequality follows directly. 注) *12 We pause to observe that with the simplifications outlined above, such as identifying identical copies of objects along the identity, the critical [IUTT-3, Theorem 3.11] does not become false, but trivial.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf 望月新一 [3] Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice. PDF NEW !! (2020-05-18)
P154 for the collection of data (a), (b), (c) regarded up to indeterminacies of the following two types:
(Ind1) the indeterminacies induced by the automorphisms of the procession of D-prime-strips Prc(n,◦DT);
(Ind2) for each vQ ∈ Vnon Q (respectively, vQ ∈ Varc Q ), the indeterminacies induced by the action of independent copies of Ism [cf. Proposition 1.2, (vi)] (respectively, copies of each of the automorphisms of order 2 whose orbit constitutes the poly-automorphism discussed in Proposition 1.2, (vii)) on each of the direct summands of the j+1 factors appearing in the tensor product used to define IQ(S± j+1;n,◦DvQ ) [cf. (a) above; Proposition 3.2, (ii)] —where we recall that the cardinality of the collection of direct summands is equal to the cardinality of the set of v ∈ V that lie over vQ.
(Ind3) as one varies m ∈ Z, the isomorphisms of (a) are “upper semicompatible”, relative to the log-links of the n-th column of the LGPGaussian log-theta-lattice under consideration, in a sense that involves certain natural inclusions “⊆” at vQ ∈ Vnon Q and certain natural surjections “↠” at vQ ∈ Varc Q —cf. Proposition 3.5, (ii), (a), (b), for more details. 0386132人目の素数さん2024/04/26(金) 19:29:43.96ID:CEPjIAQZ>>383
・プロ数学者が考えていることは、IUTを乗り越えていくこと ・"Arithmetic and Homotopic Galois Theory”は、IUTの復習セミナーにあらず ・みんな自分の次の論文を狙っています(下記は一例)
(参考) https://ahgt.math.cn...ry%20RIMS%202024.pdf A RIMS- Kyoto University & “Arithmetic and Homotopic Galois Theory” lecture BERKOVICH METHODS FOR ANABELIAN RECONSTRUCTIONS AND THE RESOLUTION OF NONSINGULARITIES E. LEPAGE- April. 08, 10, & 12, 2024
RESOLUTION OF NON-SINGULARITIES AND LOG-DIFFERENTIALS TALK 2 This talk will focus on Mochizuki and Tsujimura’s proof of the absolute anabelian conjecture: every isomorphism between the étale fundamental groups of hyperbolic curves over finite extensions of Qp is geometric. The new input of their work is the proof of resolution of non-singularities: given a hyperbolic curve X over a finite extensions of Qp is geometric, every divisorial valuations on K(X) comes from some irreducible component of the special fiber of the stable model after replacing X by some finite étale cover. If Mochizuki and Tsujimura’s proof is written in a purely scheme-theoretic framework, some of its intuition comes from previous work using analytic methods: resolution of non-singularities can be reduced to the study of the vanishing of differentials appearing in the image of the Hodge-Tate map H1(XCp ,Zp(1)) → H0(XCp ,Ω1). I will reformulate their proof using analytic geometry. ID:Agzcnutl(3/3)
なるほど ・Will Sawinのコメントは2カ所あり i)Cite Improve this answer Follow edited Dec 12, 2013 at 18:49 Will Sawin ii)2 That is quite a list of authors. – Will Sawin Oct 5, 2012 at 18:39 ですね。 ・補足すると、上記”ii)2”は、”answered Oct 5, 2012 at 7:45 Niels”へのコメントで ”i)Cite Improve ”は、Dec 12, 2013で 1年後に思い出したようにFollowしている
追記 ・”1 users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns001/Matsumoto/Matsumoto.pdf – Junyan Xu May 7, 2013 at 23:11 Add a comment” があるが、リンク切れ
(c)楕円曲線のHodge-Arakelov理論: (1998年〜2000年) この理論は、 古典的なガウス積分 ∫-∞〜∞ exp(-x^2)dx=√π の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、 A Survev of the Hodge-Arakelov TheolEV of ElliDtic Curves I.II をご参照下さい。
P5 因みに、2000年夏まで研究していたスキーム論的なHodge-Arakelov理論がガウス 積分 ∫-∞〜∞ exp(-x^2)dx=√π の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTbichは、 このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしはIU版」 と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座 標」の間の座標変換は、(IU版では)ちょうど「The geometry of Frobenioids l II」 で研究した「Frobenius系構造」と「etale系構造」の間の「比較理論」に対応して いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて 書く予定である。
(3) 圏の幾何:これについては、私の論文 ・Categorical representation of locally noetherian log schemes ・Categories of log schemes with archimedean structures ・Conformal and Quasiconformal Categorical Representation of Hyperbolic Riemann Surfaces
それから、講演のレクチャーノート ・「A Brief Survey of the Geometry of Categories (岡山大学 2005年5月)」 を参照して下さい。簡単にまとめると、スキーム(または、log schemeやarchimedeanな構造付きのlog scheme)や双曲的リーマン面の構造は、そのような対象たちが定義する圏(=‘category')の圏論的構造 だけで決まるという話です。
因みに、IUTeich関係の話では、p進Teichmuller理論に登場する「標準的なFrobenius持ち上げの微分を とる」という操作の「抽象的パターン的類似物」が主役です。p進Teichmuller理論の解説としては、 ・An Introduction to p-adic Teichmuller Theory ・「An Introduction to p-adic Teichmuller Theory」 (和文) が挙げられます。 (引用終り) 以上 0399132人目の素数さん2024/05/04(土) 10:12:00.48ID:B+vDRgim 転載 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/ 2024/05/03(金) 20:40:39.91ID:ygS3n9Mw >>251 >このabc喜劇において与えられた役割を立派に果たすがよい
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93 一元体(field with one element)あるいは標数1の体とは、「ただひとつの元からなる有限体」と呼んでもおかしくない程に有限体と類似の性質を持つ数学的対象を示唆する仮想的な呼称である しばしば、一元体を F1 あるいは Fun[note 1] で表す 通常の抽象代数学的な意味での「ただひとつの元からなる体」は存在せず、「一元体」の呼称や「F1」といった表示はあくまで示唆的なものでしかないということには留意すべきである
そういった新しい枠組みにおける理論で一元体を実現しているようなものは未だ存在していないが、標数 1 の体に類似した対象についてはいくつか知られており、それらの対象もやはり用語を流用して象徴的に一元体 F1 と呼ばれている なお、一元体上の数学は日本の黒川信重ら一部の数学者によって、絶対数学と呼ばれている
F1 が旧来の意味の体にならないことは、体が通常加法単位元 0 と乗法単位元 1 という二つの元を持つことから明らかである 制限を緩めて、ただひとつの元からなる環を考えても、それは 0 = 1 のみからなる零環 (trivial ring) であり、零環の振舞いと有限体の振る舞いは大きく違うものになってしまう 提案されている多くの F1 理論では抽象代数学をすっかり書き換えることが行われており、ベクトル空間や多項式環といった旧来の抽象代数学でしばしば扱われる数学的対象は、その抽象化された性質とよく似た性質を持つ新しい理論における対応物で置き換えられている このような理論によって新しい基礎付けのもと可換環論や代数幾何学の展開が可能となる こういった F1 についての理論の決定的な特徴のひとつは、新しい基礎付けのもとで古典的な抽象代数学で扱ったものよりも多くの数学的対象が扱えるようになり、そのなかに標数 1 の体であるかのように振舞う対象があるということである
Monoid schemes Deitmar's construction of monoid schemes[25] has been called "the very core of F1‑geometry",[16] as most other theories of F1‑geometry contain descriptions of monoid schemes. Morally, it mimicks the theory of schemes developed in the 1950s and 1960s by replacing commutative rings with monoids. The effect of this is to "forget" the additive structure of the ring, leaving only the multiplicative structure. For this reason, it is sometimes called "non-additive geometry". (google訳) モノイドスキーム Deitmar のモノイド スキームの構築[25] は、 F 1幾何学の他のほとんどの理論にモノイド スキームの記述が含まれているため、「 F 1幾何学のまさに核心」と呼ばれています[16]。道徳的には、可換環をモノイドに置き換えることによって 1950 年代と 1960 年代に開発されたスキーム理論を模倣しています。この効果は、環の加法構造を「忘れ」、乗法構造だけを残すことです。このため、「非加算ジオメトリ」と呼ばれることもあります 0406132人目の素数さん2024/05/04(土) 21:42:23.34ID:b7B9koXu 【閲覧注意】
一般の幾何空間のアブストラクトナンセンスな定義 Cは圏で、その部分圏Lが与えられているとします。C=(可換環の圏)、L=(局所環の圏)が典型的な例です。圏Cの対象は、空間の上に棲んでいる関数達の集合を表現するモノです。部分圏Lの対象は特に、1点での関数芽の集合を表現するのに適したモノ、Lの射は1点の周辺の対応を記述するモノですね。茎や芽の概念を定義するために、圏Cでは、有向系(directed family of objects)の極限が取れる必要があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93 一元体 しばしば、一元体を F1 あるいは Fun[note 1] で表す 一元体上の数学は日本の黒川信重ら一部の数学者によって、絶対数学と呼ばれている https://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element Field with one element Monoid schemes Deitmar's construction of monoid schemes[25] has been called "the very core of F1‑geometry",[16] as most other theories of F1‑geometry contain descriptions of monoid schemes. Morally, it mimicks the theory of schemes developed in the 1950s and 1960s by replacing commutative rings with monoids.
IUTは、ガリレオ天動説です だんだん、理解され受け入れられてきたよ 0416132人目の素数さん2024/05/08(水) 05:43:06.31ID:c0TH2Ddg 1はマセマの本からやり直せ 0417132人目の素数さん2024/05/14(火) 23:30:48.86ID:CcGp8qNN>>409 >コンヌとコンサニの論文 "Characteristic 1, entropy and the absolute point" ( http://www.alainconnes.org/docs/Jamifine.pdf)を拾い読みすると、次のようなメッセージがあるように思えます。
リンク切れ ”Characteristic 1, entropy and the absolute point” で下記のarxivヒットしたので貼る
https://arxiv.org/abs/0911.3537 [Submitted on 18 Nov 2009] Characteristic one, entropy and the absolute point Alain Connes, Caterina Consani
https://arxiv.org/pdf/0911.3537 CHARACTERISTIC 1, ENTROPY AND THE ABSOLUTE POINT arXiv:0911.3537v1 [math.AG] 18 Nov 2009 ALAIN CONNES AND CATERINA CONSANI 0418132人目の素数さん2024/05/16(木) 00:14:08.37ID:/4aXxK8p このスレは便所の落書き。