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選択公理審議会
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0001１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 12:18:17.21ID:/MR0KqlN
選択公理を公理として認めていいのかどうか結論を出すスレです
0002１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 14:57:11.47ID:/MR0KqlN
wikipediaによると（ https://ja.wikipedia.org/wiki/群同型#例 ）
選択公理から「群 (R, +) は群 (C, +) に同型である」が証明できるそうです。
明らかにおかしいですね。
0003１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 15:10:35.17ID:ZWem4++T
wikipediaによると、「ZFが無矛盾ならZFCも無矛盾」が証明されているらしいので、
選択公理を否定するならZFから否定しないと立場に一貫性がない。
0004１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 15:48:38.02ID:hzU+f252
>>3
ZFを認めて選択公理を認めない立場は可能
無矛盾だからと言って何でも公理にしていいわけじゃない
0005１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 16:04:13.83ID:hzU+f252
無矛盾なら何でもいいとすれば選択公理じゃなくて決定性公理を仮定してもいいはずだけど
そんなことしてる教科書はないし学校のテストで決定性公理を使ったらバツにされる
0006１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 16:09:11.35ID:P+jqGX03
選択公理を使わないと証明できない定理が例えば、物理学で役立つことはあるのですか？つまり現実に役立つことがあるのですか？
0007１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 16:11:01.81ID:P+jqGX03
選択公理を使わないと証明できない定理がコンピューターサイエンスで役に立つことがありますか？
0012１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 01:00:10.76ID:ethg2+gD
>>5
そもそも「 ZF ＆ 決定性公理 」って無矛盾なの？
ZFが無矛盾でも、そこから「 ZF ＆ 決定性公理 」の無矛盾性は未だに示せてないと聞いたことあるが。
0013１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 04:53:10.02ID:TcDu3kCz
自分がまともな日本語書けてないだけなのに
読み手のせいにする奴っているよね
0014１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 12:26:31.05ID:EKg0CGFL
>>6 >>7
選択公理は「机上の空論」
0015１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 12:30:32.53ID:EKg0CGFL
たぶん選択公理を採用しないと数学者の仕事（雇用）が半減すると思う
「選択公理を使わずに証明できる面白い定理は全部証明しました。
これ以上やるには選択公理が必要です」ってわけよ

生活するために無理やり仕事を作ってる
0016１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 14:40:14.14ID:e48pVinD
数学者って選択公理を使って結論を得てそれで満足なのか？
具体的な知見が何も得られない空疎な議論に見えるが
0019１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 17:36:11.42ID:LHWHvQ2H
>>14-15
ありがとうございます。
やはりそうですか。数学書にはかならず選択公理を使ってやっと証明できる定理かそうでないかをいちいちきちんと書いてほしいです。
0022１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:01:18.93ID:LHWHvQ2H
あやしげな選択公理を使わないと実際に役に立っている微分積分の定理が証明できないとするとこれはどう考えればいいのでしょうか？
0023１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:05:53.67ID:MNZfyFwL
>>22
どうあやしげなの？
そもそも「数学の公理があやしげ」自体不思議なセンテンスだけど
0024１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:11:15.92ID:LHWHvQ2H
フェルマーの定理の証明には選択公理は必要ですか？
もし必要だとしたら、未来の超高性能計算機を使えば反例を見つけられるかもしれないということにはなりませんか？
0026１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:15:05.33ID:LHWHvQ2H
つまり選択公理を使って証明した定理が間違っているということを具体的に確かめるチャンスがありはしないか？
ということが言いたいのですが。
0027１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:17:52.61ID:LHWHvQ2H
x^n + y^n = z^nとなる自然数の組(x, y, z)が実際には存在するのに、選択公理を使うと誤った結論を証明してしまう可能性がありはしないか？
0029１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:28:26.45ID:ethg2+gD
>>3に書いたとおり、「ZFが無矛盾ならZFCも無矛盾」が証明されているので、
選択公理に怪訝な顔をするならZFから否定しないとダブルスタンダードだよ。
0030１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:36:13.50ID:H/CUa/Zd
>>28
「すべての集合は構成可能」というむちゃくちゃな公理（決定性公理）つけないとあかんのちゃうか。

ZF 単体ではおそらく何もできんやろ。
0032１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 18:43:16.43ID:H/CUa/Zd
ん、決定性公理は別か。
determinancy を決定性と訳す馬鹿がいるのかこの国は？
0034１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 19:23:28.91ID:EKg0CGFL
>>29
それは>>4で論破されてる
0035１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 19:47:30.90ID:EKg0CGFL
>>29
例えば「異世界が存在してそこでは魔法が使える」という命題は現実世界と矛盾しないけど
だからと言って「魔法を疑うなら現実も疑わないとダブルスタンダードだ」とはならんでしょ

選択公理ってフィクションだよね
0037１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 20:22:54.70ID:W815SeIs
選択公理は怪しげで無限公理は怪しげじゃない理由って何？
0038１３２人目の素数さん
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2020/08/20(木) 22:17:04.24ID:UfNwg3Ln
一般の選択公理は認めないが、可算選択公理は認める

という立場もあるの？
0039１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 00:52:02.89ID:K8l/Rug6
>>34-35
>>26-27のような典型的な勘違いに対しては、実際に>>3が通用する。

選択公理を使って証明した定理が間違っている(>>26)
→ その定理はZFCで証明された定理なのに、間違っている
→ ZFCの中で矛盾が証明できたことになる
→ ZFCは矛盾している
→ >>3により、ZFも矛盾している
0040１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 00:57:09.15ID:K8l/Rug6
>>34-35
また、メタ視点での話になってしまうが、
選択公理がそれほど胡散臭いものではない理由として、以下のような現象が挙げられる。

・ ZFが無矛盾なら、ZFの中で「構成可能集合」だけを集めたクラスを考えると、
　 このクラスがZFの中でのZFCの内部モデルになる(ゆえに、ZFが無矛盾ならZFCも無矛盾)。
　 ここでの「構成可能集合」の定義は以下のようなもの。
　 https://ja.wikipedia.org/wiki/構成可能集合

・ 構成可能集合だけを集めた自然なクラスなのだから、むしろ決定性公理の方が
　 成り立ってそうな気がするが、実際には選択公理の方が成り立っている。

・ つまり、自然な構成によって得られたクラスが、
　 決定性公理ではなく選択公理の方を支持する振る舞いを見せている。

・ 決定性公理の方はどうかというと、ZFが無矛盾でも、
　 そこから「 ZF ＆ 決定性公理 」の無矛盾性は未だに示せてない(らしい)。
0041１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 04:52:23.28ID:NDrbpPqL
ただの情弱スレか。
圏論や幾何の写経にとどまらず
基礎論もまともにできとらんのか。

日本語話せんやつは、
何やらせてもあかんゆうことがようわかった。あぼーん
0043１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 09:50:32.93ID:jlaIPA5+
選択公理について通俗本かなんか読んでわかったような気になってる子供だろ
相手するだけ無駄
0045１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 12:21:10.07ID:PoAwL1V1
>>41
写経（笑）
基礎論（笑）

数学のことなんも分かってねえなｗ
0046１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 12:28:07.98ID:PoAwL1V1
>>43
選択公理の通俗本なんかねえよ

任意の全射f:A→Bには写像g:B→Aが存在してfg=idが成り立つ

これが全て
理解できないやついないだろ？
0047１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 12:49:42.79ID:PoAwL1V1
実際のところ選択公理は必要ない

例えば「全てのベクトル空間には基底が存在する」という命題は選択公理と同値だが
基底の存在は具体的なベクトル空間に対しては個別に証明できるから、この命題が本質的に役立つことはない

つまり、2つのステップで選択公理はベクトル空間論から追い出せる

1. 定理の「選択公理によってVには基底が存在する」という部分を「Vに基底が存在するならば」というifの形に書き変える
2. 具体的なベクトル空間に対しては個別に基底の存在を証明する
0048１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 12:54:48.26ID:PoAwL1V1
他の理論も同じ。環論なら「全ての環は極大イデアルを持つ。」（選択公理と同値）を「極大イデアルを持つならば〜」
と書き変えてから「この環には極大イデアルが存在する」を個別に証明すれば選択公理を追い出せる

そういう意味では選択公理って具体的な問題では役に立ってないんだよね
フィクションの世界を作ることにしか役立たない
0050１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 13:16:08.19ID:80i+1K+l
仮に選択公理が本質でないにしても、それを使うことで種々の定理の本質でない仮定を削ぎ落とせるのはかなり嬉しいことだと思うんだが
0051１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 13:23:12.61ID:PoAwL1V1
>>49
そういう変なやつは証明できなくていい
使わないから困らない

選択公理を仮定しない以上、証明できないことはある
けど困らないからそれでいい
0053１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 14:05:45.98ID:2p2V+yhX
選択公理を使って存在を証明するといっても
存在すると決めたから存在するんだと言ってるようなもんで結局無内容なんだよ
0054１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 15:19:42.83ID:dq+dFAX7
変じゃない無限次元ベクトル空間って何があるかな
R^Nですら変って言われそうだし
0055１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 15:26:11.79ID:K8l/Rug6
選択公理よりは弱いが、ハーンバナッハの定理は解析だと必須の分野あるよね。
if つきの文章で書き換えた時点で価値がなくなる。
0056１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 15:34:16.78ID:K8l/Rug6
>>53
そんなこと言い出したら、無限公理も同じだよね。
無限集合が存在すると決めたから存在するだけ。
しかも、無限公理がないと自然数の集合すら存在できない。

なぜか「自然数の集合は "構成的" で、存在性が納得のいく形に担保されている」
と勘違いされがちだが、そんなことはないんだよね。選択公理と変わらんよね。
0057１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 15:59:02.55ID:8RuBUXjO
こいつら無限集合の存在とかいう19世紀の議論をおっぱじめる気か？
0060１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 21:36:10.16ID:8HBHIz0K
集合論の専門家によるとフェルマー・ワイルズの定理の証明も大きな圏を使っているから基礎論的に厳密化するにはかなり慎重な議論を挟む必要があるらしいね
つまり表面上はZFC+(大きな宇宙の存在)を使うが、レヴィモンタギュの反映定理というのを使って実際に必要な論理部分を切り出してZFC内の証明に落とし込む的な
このような議論つてZFでも出来るんだろうか
0061１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 23:31:11.23ID:5qiPpY9M
バナッハタルスキで選択公理使ってるの分割の仕方に関係ないじゃん
0062１３２人目の素数さん
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2020/08/22(土) 21:59:37.86ID:PGVPaJ0W
選択公理を使わずに基底をとれる無限次元ベクトル空間が「〇〇で生成された空間」で定義するもの以外思いつかない
0063１３２人目の素数さん
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2020/08/22(土) 23:32:54.96ID:pFmQTe+E
>>47
おい、関数解析には選択公理が必須だって言われてるぞ
有限次元の線形代数学しか勉強したことないから知らないんだろｗ
選択公理なしで関数解析してみろよ
0064１３２人目の素数さん
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2020/08/22(土) 23:45:20.77ID:ad2/3c3c
>>63
ハーンバナッハの定理などの一般論では選択公理を使うが、具体的な関数空間の構成に選択公理は必要なのかな？
個人的にはそういうところにこだわりたくないけど。
0065１３２人目の素数さん
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2020/08/25(火) 19:02:40.02ID:LqiSh/C2
選択公理が成り立たないとする方が、直感に反する
0067１３２人目の素数さん
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2020/08/26(水) 10:24:27.96ID:8ae+cQFx
バナッハタルスキーのパラドックスで選択公理使ってるのって、商集合の代表系とるとこだけじゃん
0070１３２人目の素数さん
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2020/08/26(水) 22:33:44.31ID:Cw0W0enJ
>>69
え？
0071１３２人目の素数さん
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2020/08/28(金) 16:00:28.70ID:+UlWnN8S
モノが存在することとそれで集合が作れることは違うからね。
集合が作れることを公理で保証することは大事。
0072１３２人目の素数さん
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2020/08/28(金) 19:22:12.41ID:fiFPIfTr
嫌いなら公理から外せばいいが、うかつにそこらの本は読めなくなるぞ
0073１３２人目の素数さん
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2020/08/31(月) 15:40:38.47ID:bWxrMQ1+
アレルギーみたいだな
「この証明には選択公理は含まれておりません」って書いとかなきゃいけない
0074１３２人目の素数さん
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2020/08/31(月) 15:43:34.73ID:CK4NnquJ
＞選択公理を公理として認めていいのかどうか

ゲーデルとコーエンの結果を勉強しな

・ZFが無矛盾ならZFCも無矛盾（ゲーデル）
・ZFが無矛盾ならZF+¬ACも無矛盾（コーエン）

結論：肯定するも否定するも好きにすれば？
0075１３２人目の素数さん
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2020/09/01(火) 19:17:31.29ID:2qjbTlF5
1730
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0076１３２人目の素数さん
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2020/09/02(水) 04:45:39.43ID:1TvvEtiH
>>74
選択公理を仮定しない人はいるけど、否定する人っているの？
0077１３２人目の素数さん
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2020/09/02(水) 06:41:17.66ID:LluQvpDW
>>76
ZFの定理じゃないから、否定してもよい

平行線公準が、他の公理から証明される定理でないのと同じ
0078１３２人目の素数さん
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2020/09/02(水) 10:14:23.89ID:GmSAxQrg
>>76
今の研究者で、選択公理を疑う人は殆どいないよ。
基礎論研究者なら、わからんが。
だいたい今は、ZFC内に収まらないモノを平気で扱っている。
圏と関手が幅を効かせているからな。
後になって誰かが基礎着けをするだろう的な人が多い。
0079１３２人目の素数さん
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2020/09/03(木) 13:00:45.61ID:mi8pLAv4
>>74
はぁーこれだからオナニストは
無矛盾だからといって何でも公理にしていいわけじゃない
そんなもん研究しても応用上全く役に立たないし本人がオナニーしてるだけ
0080１３２人目の素数さん
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2020/09/03(木) 13:03:52.83ID:mi8pLAv4
「その公理、どの物理現象と関係してるの？」ってことよ
現実世界と関係ない公理は仮定する意味ない
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/03(木) 13:19:00.14ID:yE7lSk4l
空でない複数の集合(中身の入ってる箱)たちから元(中身)を取り出せるって、選択公理は物理的にはむしろ自明に成り立つ(と考えられる)ものだろ
「現実には無限個の箱なんてないから意味ない(必要ない)！」とか言い出したら極限すら駄目、微積なんて以ての外という話になってしまう
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/03(木) 13:36:15.35ID:rn5/kSzs
中身もよくわからないし取り出し方もよくわからないが
取り出したつもりになってるだけ
0083１３２人目の素数さん
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2020/09/03(木) 13:50:36.94ID:ZcVQE8a4
それ言い出すと、無限公理がなければ無限集合だって作れないのだから、
「無限集合を作った気になっているだけ」だよな。
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/03(木) 21:51:32.29ID:IOnAsXtz
「選択公理を疑う人はいない」ことと、「ZFCに収まらないことを平気で議論する人がいる」ことは無関係でしょうよ。
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/03(木) 23:09:57.77ID:/FPwJdCt
>>82
取り出し方が分からなくても何かしら取り出せることを保証する公理
何かしらで意味あるのか？→大あり
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/04(金) 03:42:14.03ID:0DCXjVY3
物理でも連続な時間、連続な運動を扱うだろ。
それらは無限の時刻、無限の点だ。
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/04(金) 04:05:29.79ID:aZd1D8IH
測度論関係で言えば、R上の(通常の)外測度を定義するときに、
定義そのものは選択公理がなくても普通に定義できるんだけど、
それが実際に外測度の条件を満たすことを示すときに、確か可算選択公理がないと示せないんだよな。
具体的には、外測度の劣加法性を示すときに可算選択公理が必要だったはず。
タオが書いたルベーグ積分の本にちょっと載ってた気がする。

ていうか、「可算集合の可算和は可算集合」ですら可算選択公理がないと不可能で、
特に「ゼロ集合の可算和はゼロ集合」が示せないのが測度論では致命的に困る。

そして、可算選択公理の時点で「取り出し方がよく分からない・取り出したつもりになってるだけ」なので、
この立場では測度論ですら砂上の楼閣になってしまう。
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/15(火) 21:42:18.69ID:oug42vb/
そうなんか
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/17(木) 12:37:11.87ID:tbLQJSkV
>>76
その質問は無意味なことをまず理解すべき
ZFとCは独立
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/17(木) 12:38:57.09ID:tbLQJSkV
>>59
とりあえずは必要だね
可算選択公理でええんちゃうって議論はあるが
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/17(木) 19:05:51.19ID:9kH9UQXl
>>90
で？
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/19(土) 09:42:18.12ID:+egWoDwR
>>2 は要するに「直感的におかしい」という意味だろうが、それは数学的な指摘ではないし、
自分からしてみれば直感的にも正しい結果である。
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/19(土) 12:28:21.00ID:oMW+B3e0
存在しないものをあると信じてるやつw
フィクションの数学w
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/19(土) 14:31:06.69ID:MYG7vIF0
>>94
それは自然数だってそうだろー
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/20(日) 01:32:49.72ID:Ps/n2JKi
なんだ調べてみたら決定性公理の無矛盾性って証明されてるじゃんか
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/17(土) 17:44:19.82ID:t46V7OgR
ZFは大したこと言ってないから一見ぶっ飛んだ命題とも意外と矛盾しないんだな
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/30(水) 05:24:53.96ID:54JIcf3L
>>91
可算選択公理で証明出来るもの、証明出来ないもの
とかを詳しく説明した本とか無いですかね。
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/30(水) 05:28:15.78ID:54JIcf3L
>>61
？イミフ
選択公理→ルベーグ非可測集合の存在がキモ
ルベーグ非可測集合が途中に噛まなかったら
ただの矛盾→選択公理間違い
だろアホ
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