0001132人目の素数さん2020/08/19(水) 12:18:17.21ID:/MR0KqlN
選択公理を公理として認めていいのかどうか結論を出すスレです
0243132人目の素数さん2023/01/21(土) 22:31:45.32ID:uE3JR9aM
もう選択公理はやめにして、これからは決定性公理を標準にすべき
そっちの方がどうみても自然
0245132人目の素数さん2023/01/22(日) 01:05:56.48ID:PlHZzOS/
AC∧AD=人
axiom of choiceかつaxiom of determinacyと最強じゃないか
0247132人目の素数さん2023/01/22(日) 23:32:37.10ID:535Va4q0
日本語は単数と複数を厳格に云わないのが数学の記述にとっては不味い。
〜たち、などと”たち”を付ける日本語の文章は、やはり奇異な感じがするし。
0248132人目の素数さん2023/01/23(月) 13:48:23.15ID:YPcjXn5K
いちいちsのつもりで”たち”をつけるくらいなら何もつけない方がいい
大体文脈からわかる
0249132人目の素数さん2023/01/23(月) 13:54:04.22ID:YPcjXn5K
考えてみれば当たり前のことだが、本来は選択公理を使わないと証明できない定理であっても前提条件を強めれば選択公理を使わずに証明できるようになるらしい
当然適用範囲は狭まるが
どうしても選択公理を使いたくなければその方向でやったらどうか
>>235
この子は結局wikipedia読んで納得したのだろうか 0251132人目の素数さん2023/03/07(火) 22:47:33.94ID:nIwx9/3H
実数の議論は実際には可算な行為である論理でのみ取り扱われるのだとすれば、
実は非可算の実数集合自身は論理の中に導入しなくても、同じことができる
のではないかという気がしてならない。つまり、理念・作業方針を導き出す
アイディアとしての実数集合はあっても、それはなくても良い、みたいな
ことになっていないかな。
可算無限集合の冪集合が非可算濃度を持つ(たとえば実数の集合)というが、
その構成に選択公理は使われてやしませんか?
>>251
そもそも証明論的にはZFCのモデルとして集合の宇宙を考える必要はないので、当然実数の集合を考える必要もない
あと対角線論法に選択公理は不要 0253132人目の素数さん2023/03/08(水) 06:12:42.92ID:aG1kaKG5
>>251
なんで、非可算無限を否定したがるのか分からん
●違いなのかな? 0254132人目の素数さん2023/03/26(日) 10:44:53.68ID:bjHm6rIF
選択公理を使わないとルベーグ積分論むずかしくね?
軽く調べた感じ、なんかボレル・コード化可能(codable Borel setsやcodable Borel functions)とかいう概念で代替するらしい
0255132人目の素数さん2023/04/20(木) 08:41:17.42ID:YbRDZsB2
数学の成果をアルゴリズムの形に落として利用できるようにしようとするとき、
(無限精度の)実数だとか、
無限回の繰り返しをすればとか、
存在するからその元をとりだして云々、
などは躓きの石である。それら現実には実現が不可能なものを回避する形に
してやらないとできないことが多々あり、学生時代から論理だけの
純粋数学のお花畑の楽園の住民には、そのことが分からないことがよくある。
0257132人目の素数さん2023/04/20(木) 22:30:34.39ID:KFky3aQt
>>2
(R,+)を(R/Z,+)にも埋め込めるよな 基礎論のスレがないからここで聞くけど、
fの像を意味するf``AをTeXで書く場合、どのコマンドを使ったらいい?
アポストロフィ「’」の逆向きのやつがどれなのか分からん
0259132人目の素数さん2023/08/12(土) 16:25:49.74ID:fmL7VjG2
選択公理が問題だといいますが、
「任意の実数集合がルベーグ可測」から
R/Qの濃度がRの濃度より大きい
という結果が得られることは問題ではないんでしょうか?
0260132人目の素数さん2023/08/12(土) 20:24:38.49ID:thDLfbm1
0261132人目の素数さん2023/08/12(土) 20:38:55.01ID:fmL7VjG2
>>260
Division Paradox で検索してみてくれ 0262132人目の素数さん2023/08/12(土) 20:45:13.14ID:dZLl9fFT
>>259
そういうのって選択公理の否定より強いこと仮定するでしょ
単に選択公理の否定を仮定するだけなら変な定理出てこないと思う 0263132人目の素数さん2023/08/12(土) 20:51:38.22ID:fmL7VjG2
>>262 変な定理も出てこないけど、当たり前と思う定理も出てこなくなる 0264132人目の素数さん2023/10/07(土) 07:35:40.20ID:1LQHtMr5
2つの無限数列s1,s2について、ある自然数nが存在して
n<=mとなる任意の自然数mについて
s1,s2のm番目の項が等しくなるとき同値とする
さて、上記の同値関係の同値類から代表となる無限列は取れるか?
選択公理によれば、代表は存在するが、具体的に取る手段は不明
>>264
商空間の代表元を構成的に得る以前に、その商空間を構成的に得られるとでも思ってるの?
言い換えると、選択公理は構成的ではないがべき集合公理や分出公理は構成的だとでも言いたげなその感性はどこから来てるの? 0266132人目の素数さん2023/10/07(土) 09:26:27.13ID:1LQHtMr5
0267132人目の素数さん2023/10/07(土) 09:27:08.62ID:Olu9AGXl
0268132人目の素数さん2023/10/07(土) 09:40:17.94ID:1LQHtMr5
>>267
「具体的に取る手段」とはすなわち構成的な定義だろ
>>268
「商空間から具体的に代表元をとる」ためには前提として「商空間を具体的に作る」必要があるよね?
商空間を作るためにはべき集合公理と分出公理が必要だよね?
なら商空間から代表元を取る操作の構成性を議論するにあたって、選択公理の構成性のみを特別視せずに、べき集合公理と分出公理の構成性も同様に疑問視するべきだよね? 0270132人目の素数さん2023/10/07(土) 13:26:38.91ID:Olu9AGXl
>>269
今問題にしているのは数列だからそんなややこしいことは考えなくてよい 0272132人目の素数さん2023/10/07(土) 13:39:25.12ID:1LQHtMr5
>>270
数列のみを問題にしているからと言って、「数列の集合に関する冪集合公理」と「数列の集合族に関する分出公理」と「数列の集合族に関する選択公理」がそれぞれ必要なことには変わりがないので、結局選択公理を特別視する理由は尋ねることになる
>>272
その「そう」は何を指していて、あなたは何を聞いているの? 0274132人目の素数さん2023/10/07(土) 16:07:31.38ID:Olu9AGXl
>>273
zfc集合論のような道具立ては必要ない >>274
選択公理の話をしているのだから、選択公理と独立かつ>>264の商空間を作れるような公理系Γと公理系Γ+ACの比較をしていると思うんだけど、ではそのΓがZFでないと言うならどんな公理系を想定しているの? >>276
それは「あなたは正しいですか」って聞いてる?
それなら「私が正しいか正しくないか私には分かりません」が答えになる 構成主義のwikipedia眺めてたら「構成主義はしばしば直観主義と同一視される」って書いてあってびっくりした
>>267や>>268がおかしなこと言ってるとは思ってたが、こいつらもそういう勘違いしてたのか? >>264
よく見たら「選択公理によれば、代表は存在するが、」もおかしなこと言ってるな
任意の同値類Sに対して数列xが存在してx∈Sだけなら選択公理を使わず言えるんだけどな バナッハタルスキーは実数体が物理現象のモデル化に適していないだけだと思ってる
>>287
研究されてるものだとp進が有名だね
もちろんそれ以外によりよいものがある可能性もある >>289
p進に関して言えばまだ研究途上のものだから、実数と比べた精度の良し悪しはこれから議論されていくはず
ただ少なくとも実数によるモデル化にはバナッハタルスキーのパラドクスが生じるという欠点がある