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293コメント112KB
選択公理審議会
0001１３２人目の素数さん
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2020/08/19(水) 12:18:17.21ID:/MR0KqlN
選択公理を公理として認めていいのかどうか結論を出すスレです
0243１３２人目の素数さん
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2023/01/21(土) 22:31:45.32ID:uE3JR9aM
>>242
どう区別されるの？
0244１３２人目の素数さん
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2023/01/22(日) 00:10:43.87ID:wdPxg7Hy
もう選択公理はやめにして、これからは決定性公理を標準にすべき
そっちの方がどうみても自然
0245１３２人目の素数さん
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2023/01/22(日) 01:05:56.48ID:PlHZzOS/
AC∧AD=人
0247１３２人目の素数さん
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2023/01/22(日) 23:32:37.10ID:535Va4q0
日本語は単数と複数を厳格に云わないのが数学の記述にとっては不味い。
〜たち、などと”たち”を付ける日本語の文章は、やはり奇異な感じがするし。
0248１３２人目の素数さん
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2023/01/23(月) 13:48:23.15ID:YPcjXn5K
いちいちsのつもりで”たち”をつけるくらいなら何もつけない方がいい
大体文脈からわかる
0249１３２人目の素数さん
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2023/01/23(月) 13:54:04.22ID:YPcjXn5K
考えてみれば当たり前のことだが、本来は選択公理を使わないと証明できない定理であっても前提条件を強めれば選択公理を使わずに証明できるようになるらしい
当然適用範囲は狭まるが

どうしても選択公理を使いたくなければその方向でやったらどうか
0251１３２人目の素数さん
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2023/03/07(火) 22:47:33.94ID:nIwx9/3H
実数の議論は実際には可算な行為である論理でのみ取り扱われるのだとすれば、
実は非可算の実数集合自身は論理の中に導入しなくても、同じことができる
のではないかという気がしてならない。つまり、理念・作業方針を導き出す
アイディアとしての実数集合はあっても、それはなくても良い、みたいな
ことになっていないかな。

可算無限集合の冪集合が非可算濃度を持つ（たとえば実数の集合）というが、
その構成に選択公理は使われてやしませんか？
0252１３２人目の素数さん
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2023/03/08(水) 00:04:34.38ID:yKMjGu+T
>>251
そもそも証明論的にはZFCのモデルとして集合の宇宙を考える必要はないので、当然実数の集合を考える必要もない
あと対角線論法に選択公理は不要
0253１３２人目の素数さん
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2023/03/08(水) 06:12:42.92ID:aG1kaKG5
>>251
なんで、非可算無限を否定したがるのか分からん

●違いなのかな？
0254１３２人目の素数さん
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2023/03/26(日) 10:44:53.68ID:bjHm6rIF
選択公理を使わないとルベーグ積分論むずかしくね？
軽く調べた感じ、なんかボレル・コード化可能(codable Borel setsやcodable Borel functions)とかいう概念で代替するらしい
0255１３２人目の素数さん
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2023/04/20(木) 08:41:17.42ID:YbRDZsB2
数学の成果をアルゴリズムの形に落として利用できるようにしようとするとき、
　（無限精度の）実数だとか、
　無限回の繰り返しをすればとか、
　存在するからその元をとりだして云々、
などは躓きの石である。それら現実には実現が不可能なものを回避する形に
してやらないとできないことが多々あり、学生時代から論理だけの
純粋数学のお花畑の楽園の住民には、そのことが分からないことがよくある。
0257１３２人目の素数さん
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2023/04/20(木) 22:30:34.39ID:KFky3aQt
>>2
(R,+)を(R/Z,+)にも埋め込めるよな
0258１３２人目の素数さん
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2023/04/21(金) 18:02:55.26ID:+Jb6j2Kb
基礎論のスレがないからここで聞くけど、
fの像を意味するｆ｀｀AをTeXで書く場合、どのコマンドを使ったらいい？
アポストロフィ｢’｣の逆向きのやつがどれなのか分からん
0259１３２人目の素数さん
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2023/08/12(土) 16:25:49.74ID:fmL7VjG2
選択公理が問題だといいますが、
「任意の実数集合がルベーグ可測」から
R/Qの濃度がRの濃度より大きい
という結果が得られることは問題ではないんでしょうか？
0260１３２人目の素数さん
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2023/08/12(土) 20:24:38.49ID:thDLfbm1
>>259
面白そう
文献教えてほしい
0261１３２人目の素数さん
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2023/08/12(土) 20:38:55.01ID:fmL7VjG2
>>260
Division Paradox　で検索してみてくれ
0262１３２人目の素数さん
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2023/08/12(土) 20:45:13.14ID:dZLl9fFT
>>259
そういうのって選択公理の否定より強いこと仮定するでしょ
単に選択公理の否定を仮定するだけなら変な定理出てこないと思う
0263１３２人目の素数さん
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2023/08/12(土) 20:51:38.22ID:fmL7VjG2
>>262　変な定理も出てこないけど、当たり前と思う定理も出てこなくなる
0264１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 07:35:40.20ID:1LQHtMr5
２つの無限数列s1,s2について、ある自然数ｎが存在して
ｎ＜＝ｍとなる任意の自然数ｍについて
s1,s2のm番目の項が等しくなるとき同値とする

さて、上記の同値関係の同値類から代表となる無限列は取れるか？
選択公理によれば、代表は存在するが、具体的に取る手段は不明
0265１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 08:22:55.04ID:gn92qZNi
>>264
商空間の代表元を構成的に得る以前に、その商空間を構成的に得られるとでも思ってるの？
言い換えると、選択公理は構成的ではないがべき集合公理や分出公理は構成的だとでも言いたげなその感性はどこから来てるの？
0266１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 09:26:27.13ID:1LQHtMr5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1695344352/865
>選択公理は、確率とは相性が悪い。
>http://watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab/dataan202001.pdf
>データ解析 渡辺澄夫 2020 東工大　P25　
>確率空間
>B:「Ωの部分集合で確率が定義できるもの（※）」の集合族
>Ｑ：B から区間[0,1] への関数
>（※）公理「実数の任意の部分集合の確率を定めることができる」
>は選択公理と両立しないので、選択公理と矛盾せずに確率が定義できる
>部分集合の族をあらかじめ定めておく必要がある

そうですね　じゃ、選択公理否定しますか？
0267１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 09:27:08.62ID:Olu9AGXl
>>265
構成的とは言ってないじゃないか。
0268１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 09:40:17.94ID:1LQHtMr5
>>265
>商空間を構成的に得られるとでも思ってるの？
　その問、選択公理と関係しますか？　関係しませんよね？

>べき集合公理や分出公理は構成的だとでも言いたげな
>その感性はどこから来てるの？
　私は構成主義者ではありませんが、
　構成主義の立場からの賛否については
　例えば以下のスレを使うか、別途新スレを立てて
　そこで議論するかしたほうがいいのではないですか？

構成的じゃない証明はインチキ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675666837/
0269１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 13:14:58.94ID:/TGXDjVa
>>267
「具体的に取る手段」とはすなわち構成的な定義だろ
>>268
「商空間から具体的に代表元をとる」ためには前提として「商空間を具体的に作る」必要があるよね？
商空間を作るためにはべき集合公理と分出公理が必要だよね？
なら商空間から代表元を取る操作の構成性を議論するにあたって、選択公理の構成性のみを特別視せずに、べき集合公理と分出公理の構成性も同様に疑問視するべきだよね？
0270１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 13:26:38.91ID:Olu9AGXl
>>269
今問題にしているのは数列だからそんなややこしいことは考えなくてよい
0272１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 13:39:25.12ID:1LQHtMr5
>>269　そうですか？
0273１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 14:33:22.42ID:/TGXDjVa
>>270
数列のみを問題にしているからと言って、「数列の集合に関する冪集合公理」と「数列の集合族に関する分出公理」と「数列の集合族に関する選択公理」がそれぞれ必要なことには変わりがないので、結局選択公理を特別視する理由は尋ねることになる
>>272
その「そう」は何を指していて、あなたは何を聞いているの？
0274１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 16:07:31.38ID:Olu9AGXl
>>273
zfc集合論のような道具立ては必要ない
0275１３２人目の素数さん
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2023/10/07(土) 17:06:53.98ID:gn92qZNi
>>274
選択公理の話をしているのだから、選択公理と独立かつ>>264の商空間を作れるような公理系Γと公理系Γ+ACの比較をしていると思うんだけど、ではそのΓがZFでないと言うならどんな公理系を想定しているの？
0277１３２人目の素数さん
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2023/10/08(日) 05:26:01.35ID:gn/ExfrY
>>276
それは「あなたは正しいですか」って聞いてる？
それなら「私が正しいか正しくないか私には分かりません」が答えになる
0278１３２人目の素数さん
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2023/10/11(水) 10:27:48.48ID:0SVA+inZ
構成主義のwikipedia眺めてたら「構成主義はしばしば直観主義と同一視される」って書いてあってびっくりした
>>267や>>268がおかしなこと言ってるとは思ってたが、こいつらもそういう勘違いしてたのか？
0281１３２人目の素数さん
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2023/10/11(水) 16:39:20.98ID:0SVA+inZ
>>264
よく見たら「選択公理によれば、代表は存在するが、」もおかしなこと言ってるな
任意の同値類Sに対して数列xが存在してx∈Sだけなら選択公理を使わず言えるんだけどな
0284１３２人目の素数さん
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2023/10/14(土) 21:30:36.45ID:ztrz31Dm
バナッハタルスキーは実数体が物理現象のモデル化に適していないだけだと思ってる
0288１３２人目の素数さん
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2023/10/15(日) 10:16:36.65ID:KcxANhG6
>>287
研究されてるものだとp進が有名だね
もちろんそれ以外によりよいものがある可能性もある
0290１３２人目の素数さん
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2023/10/15(日) 12:49:46.22ID:KcxANhG6
>>289
p進に関して言えばまだ研究途上のものだから、実数と比べた精度の良し悪しはこれから議論されていくはず
ただ少なくとも実数によるモデル化にはバナッハタルスキーのパラドクスが生じるという欠点がある
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