環の単元群 環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。 とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。 R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
例 ・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。 (引用終り) 以上 0238１３２人目の素数さん2020/08/12(水) 15:16:17.27ID:aRNO8Y5N>>236 ＞流れを纏めておくと
定義 いくつかの冪等元を持つ半群 S について、S の元 a は S の元 b と冪等元 e が存在して ab = e となるとき e に対する右可逆元であるといい、 S の元 c と冪等元 e′ が存在して ca = e′ となるとき e′ に対する左可逆元であるという。a が冪等元 e に対して左可逆元かつ右可逆元であるとき、a は e に対する可逆元であるという。M が単位的半群であるとき、その単位元に対する（左、右）可逆な元をそれぞれ（左、右）単元 (unit) と呼ぶ[1][2]。
環の単元群 環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
任意の単位的環 R, S に対し、単位的環準同型 f: R → S は、単元群の間の群準同型 U(f): U(R) → U(S) を引き起こす。したがって、単位的環 R にその単元群 U(R) を対応させる操作 Uは、単位的環の圏から群の圏への函手である。この函手の左随伴は群 G に群環 ZG を対応させる操作である[3]。
厳密な定義 単位的マグマの場合 集合 M は二項演算 ・ をもつ代数系すなわちマグマで、 e は (M, ・) の単位元とする。 すなわち (M, ・, e) は単位的マグマであるとする。 M の元 a, b に対して a ・ b = e となるとき、a を演算 ・ と単位元 e に関する b の左逆元 (left inverse), b を演算 ・ 単位元 e に関する a の右逆元 (right inverse) という。またこのとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。
例 逆行列・擬逆行列 体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。 M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。 もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。 階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ[2]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90 零因子 (抜粋) 環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。これは、x を ax に送る R から R への写像が単射でないことと同値である[2]。同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。これは環における因子の特別な場合である。左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[3]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。 環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97 単位行列 (抜粋) 単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。 表記法 n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。 対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。 クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。 性質 単位元である AI = IA = A
定義 (M, *) を集合 M とその上の二項演算 * のなすマグマとする。M の元 e が * に関する（両側）単位元であるとは、M のすべての元 a に対して a*e=e*a=a を満たすときにいう。 さらに細かく、M の任意の元 a に対して a * e = a を満たすとき右単位元といい、 e * a = a を満たすとき左単位元という。 単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換であるときには左右の区別はない。 単位元を持つマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。
写像 f の定義域を集合 X, 値域を集合 Y とする。 写像 f が可逆 (invertible) であるとは、 Y を定義域、X を値域とする写像 g で、条件 f(x)=y ⇔ g(y)=x を満足するものが存在するときに言う。 f が可逆ならば写像 g は一意である （つまり、この性質を満たす写像 g はただ一つ存在して、 一つよりも多くも少なくもない）。 写像 g を f の逆写像と呼び、f^(－1) で表す。
必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、 上記の条件を適用するためには 「値域 Y の各元 y に対して、 f で y に写されるような定義域 X の元 x がちょうど一つ存在する」 必要がある。 この性質を満たす写像 f は一対一あるいは単射と呼ばれる。 f および f^(－1) がそれぞれ X および Y 上の写像となるとき、 これらはともに全単射となる。 0268１３２人目の素数さん2020/08/13(木) 16:51:40.05ID:RBrrjuJv “逆行列もどき"
各射 f ∈ hom(C) には 始域と呼ばれる対象 a ∈ Ob(C) および 終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、 "f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。
a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は a から b への射全体の成す類を言う。
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、 射の合成と呼ばれる二項演算 hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ↦ g ∘ f が存在して以下の公理を満足する:
結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が成り立つ。 単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、 任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1x ∘ f = f and g ∘ 1x = g を満たす。 これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。
1）【補足説明】定理：有限次数の正方行列 A に対して，XA = I（I は単位行列）を満たす行列 X が存在する とき，それは AX = I を満たす．逆に，行列 X が AX = I を満たすとき，それは XA = I も満たす．（その ような行列 X を A の逆行列 A ?1 という．逆行列は存在しない場合もある．XA = I を満たす行列 X を A の左逆行列，AX = I を満たす行列 X を A の右逆行列という．したがって，この定理は「左逆行列と右逆 行列は，両者が存在するとき，それらは一致する」と言うことができる．実際の証明はそれらの存在証明 を伴う．無限次元行列については，左逆行列・右逆行列が存在しても，それらが一致するとは限らない
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ 1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると， XA = I, AY = I ． このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より， X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y． よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。 XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列 の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に 対する Y の存在がいえないからである。
(引用開始) 最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ 1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると， XA = I, AY = I ． このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より， X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y． よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
逆行列の性質 AA-1 = A-1A = E 実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。 XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列 の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に 対する Y の存在がいえないからである。 (引用終り)
ここ 重要変形テク 1)X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y． 同じだが X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y． 2)A = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。） g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、 a ・ g = eS を満たす a ∈ S のことをいう。 g ∈ S の右逆元 b とは、 g ・ b = eS を満たす b ∈ S のことをいう。 g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、 a ・ g = eS, g ・ a = eS となるような a のことである。 逆元を持つ元を可逆元という。 命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明. a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b. よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。 特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右 逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が 存在すれば唯一つであることが証明できるか？ ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を x * y = x + y + x^2y^2 で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。 x * y = 0 を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。
結合律 S の任意の元 a, b, c に対して、(a ・ b) ・ c = a ・ (b ・ c). 単位元の存在 S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e ・ a = a ・ e = a. を満たすならば、組 (S, ・, e) をモノイドという。まぎれの虞のない場合、対 (S, ・) あるいは単に S のみでも表す。 二項演算の結果 a ・ b を a と b の積[注釈 1]と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。
性質 モノイドにおいては、可逆元（あるいは単元）の概念を定義することができる。モノイドの元 x が可逆であるとは xy = e かつ yx = e を満たす元 y が存在するときにいう。y は x の逆元と呼ばれる。y および z が x の逆元ならば、結合律により y = (zx)y = z(xy) = z となるから、逆元は存在すればただひとつである[3]。
任意のモノイドが必ず何らかの群に含まれるとは限らない。例えば、b が単位元ではない場合にも a ・ b = a を満たすような二つの元 a, b をとることができるモノイドというものを矛盾なく考えることができるが、このようなモノイドを群に埋め込むことはできない。なぜなら、埋め込んだ群において必ず存在する a の逆元を両辺に掛けることにより b = e が導かれ、b が単位元でないことに矛盾するからである。モノイド (M, ・) が消約律 (cancellation property) を満たす、あるいは消約的 (cancellative) であるとは
M の任意の元 a, b, c に対し、a ・ b = a ・ c が成り立つならば、常に b = c を帰結することができる という条件を満たすときにいう。消約的可換モノイドは常にグロタンディーク構成によって群に埋め込むことができる。これは、整数全体の成す加法群（加法演算 "+" に関する群）を自然数全体の成す加法モノイド（加法演算 "+" に関する消約的可換モノイド）から構成する方法の一般化である。しかし、非可換消約的モノイドは必ずしも群に埋め込み可能でない。
消約的モノイドが有限ならば、実は群になる。実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって xn = xm とすることができるが、これは消約律により xm-n = e（e はモノイドの単位元）となり、xm-n-1 が x の逆元となる。
単射: 射 f: X → Y が単射 (mono-morphism) であるとは、 f ∘ g1 = f ∘ g2 ならば g1 = g2 が 任意の射 g1, g2: Z → X に対して成り立つこと。
全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、 g1 ∘ f = g2 ∘ f ならば g1 = g2 が 任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成り立つこと。
単射でも全射でもあるような射は 全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。
同型射: 射 f: X → Y に対して射 g: Y → X が存在し、 f ∘ g = idY かつ g ∘ f = idX が 成り立つものを同型射であると言う。 射 f が左逆射と右逆射をともに持つとき、 両者は一致して f は同型射であり、 g は単に f の逆射 (inverse) と呼ばれる。
”群環と零因子問題 群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式 (1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 ? g が得られる。 零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、 零因子問題 与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか 今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。” 英語版では、”No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).”
(https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-product_property In algebra, the zero-product property states that the product of two nonzero elements is nonzero. In other words, it is the following assertion: If ab=0, then a=0 or b=0.)
零因子について（少なくとも可換環の場合には）位相幾何学的な解釈をすることができる。環 R が可換整域となるための必要十分条件は、R が被約環（つまり冪零元を持たない環）であり、かつそのスペクトル Spec R が既約位相空間となることである。前者の性質はある種の無限小の情報を保有しているとしばしば考えられ、対して後者はより幾何学的な情報を与えている。例えば、体 k 上の環 k[x, y]/(xy) は整域でない（x および y の属する類が零因子を与える）が、これは幾何学的にはこの環のスペクトルが既約でない（実際に、二つの既約成分である直線 x = 0 と y = 0 の和となる）ことに対応する。
群環と零因子問題 群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式 (1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 ? g が得られる。 零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、 零因子問題 与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか 今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。
(英語版) https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(ring_theory) Domain (ring theory) Group rings and the zero divisor problem No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017). (引用終り) 以上 0308１３２人目の素数さん2020/08/15(土) 07:20:06.25ID:SNsaKEgj>>305-307 線形代数の基礎すら知らず、任意の正方行列は正則行列だ、 などとほざく素人に環論なんか無理 諦めな 0309１３２人目の素数さん2020/08/15(土) 07:55:42.12ID:SNsaKEgj ◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
P2 （問題） 22. A を 1 を単位元とするモノイドとする。 a ∈ A に対して、b ∈ A が a の 左逆元であるとは、ba = 1 となることとする。 また b が a の 右逆元であるとは、ab = 1 となることとする。
A を N から N への写像全体の集合とする。 A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。 f ∈ A を f(a) = a + 1 で定める。 f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。 また、z ∈ N に対して gz ∈ A を gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) で定める。 gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。
(解答) 代数入門問題集・解答例と解説 [20120704] 1 二項演算、半群、モノイド
P15 22. h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。 よって f は右逆元をもたない。 k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である。 よって gz は左逆元をもたない。 すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。 これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。 (引用終り) 以上 0312現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/15(土) 11:15:07.05ID:I4zLJ0eW>>300 補足
１）まず A は写像の合成を演算としてモノイドで、恒等写像 idS を単位元とする f ∈ A を f(a) = a + 1 z ∈ N に対して gz ∈ A を gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) で定めている
２）22の解答にある 「h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。よって f は右逆元をもたない」 これ、分かる人には分かるが、まず、恒等写像 idS ：N→Nで は、1を1に、2は2に・・・と写す恒等写像で、”全単射”です。これ言われてみれば自明
３）さて、f(a) = a + 1は、何をしているかというと、f：N→N+1に移す ここで、Nは1から始まる自然数を考えていて、N+1には、1は含まれないので、全射ではない gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) 、これは何をしているかというと、gz：N+1→Nなのです（但し、N+1には、a = 1は含まれていない） つまり、gzは、N+1→Nで、N+1をNに引き戻すことができます （なお、gz：N→Nの場合には、Nには、a = 1が含まれるので、gz：1→z となって、zのところがダブりで、単射性が崩れている写像です
４）で、上記２）で、ある写像ｈ：N→N（Nの部分集合の場合もあり）があって、その像はN全体かNの部分集合かです。そのいずれにせよ、 f は全射ではない。写像の合成fhも全射にはならない。よって、合成fhは恒等写像 idSではない！
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。） g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、 a ・ g = eS を満たす a ∈ S のことをいう。 g ∈ S の右逆元 b とは、 g ・ b = eS を満たす b ∈ S のことをいう。 g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、 a ・ g = eS, g ・ a = eS となるような a のことである。 逆元を持つ元を可逆元という。 命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明. a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b. よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。 特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右 逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が 存在すれば唯一つであることが証明できるか？ ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を x * y = x + y + x^2y^2 で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。 x * y = 0 を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。
群環と零因子問題 群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式 (1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 - g が得られる。 零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、 零因子問題 与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか 今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。
(英語版) https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(ring_theory) Domain (ring theory) Group rings and the zero divisor problem No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017). (引用終り) 以上 0323１３２人目の素数さん2020/08/16(日) 08:48:06.53ID:2xkr/j04 なんか、素人って＊＊の一つ覚えで「群・環・体」とかいうけど たかが線形代数すらロクに理解できないレベルで そんな呪文唱えても意味ないだろｗ
