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純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/19(日) 22:51:08.91ID:2Y0qBKwb
クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜過去スレ＞
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
＜関連過去スレ（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
＜関連姉妹スレ＞
・Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592119272/
・IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
・現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
0170現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 17:02:58.55ID:gEQArxFG
>>169
訂正

”http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm
北数教 第４２回 数学教育実践研究会 −教育現場のおける基礎研究−
行列における零因子の構造
平成1４年８月3日(土) 北海道小樽桜陽高等学校 北海道石狩南高等学校 数学科教諭 小栗 是徳
(抜粋)
『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので，これを背理法によって証明。（必要条件）”

がダブり
一つ消して下さい（＾＾；
0171現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 17:07:11.81ID:gEQArxFG
ピンチになると
複数ＩＤを使い分けか
過去にもあったね
ｗｗｗ（＾＾；
0172１３２人目の素数さん
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2020/08/10(月) 17:23:41.93ID:EXUgpgw2
>>169
＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞・AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
＞・detA≠0
＞・rankA=n
＞・KerA={0}
＞・全ての A の固有値が 0 でない

で、証明できるかな？

∞流大学すら落ちこぼれた君にｗｗｗ

証明もできんクソが、零因子ガーとかいっても無駄ｗ
0173現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 18:00:47.56ID:gEQArxFG
>>169 補足
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”

「正則でない正方行列は零因子である」も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですなｗｗｗｗｗ（＾＾

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。

正則でない正方行列は零因子であることを示せ。
を詳しく説明していただきたいです。
また、零因子も教科書見てもイマイチよくわかってないので解説していただけたら嬉しいです。

ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです

Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です

（上と同じだが）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13131710908
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しい
him********さん2014/7/10 yahoo
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しいですか？
間違っていますか？

正しいならば証明を
間違っていれば反例をお願いします。

ベストアンサーに選ばれた回答
zg8********さん 2014/7/10

ＡとＡの余因子行列Ａ〜に対して
Ａ・Ａ〜＝ｄｅｔ（Ａ）Ｅ
が成り立ちます
これの証明は余因子展開を参照してください！
Ａが正則でなければｄｅｔ（Ａ）＝Ｏ
なので
Ａ・Ａ〜＝Ｏ
Ａは零因子となります

（余因子展開）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/cofactor-expansion/
oguemon_com
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門
余因子と余因子展開
2019年9月16日

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%B1%95%E9%96%8B
余因子展開
0174１３２人目の素数さん
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2020/08/10(月) 18:14:52.33ID:EXUgpgw2
>>173
で？

おまえ、証明理解できなかったんだろ？

「いかなる行列も可逆！零因子？そんなもんないない！」

と絶叫したidiotだもんなｗｗｗｗｗｗｗ

どこの白痴大学出身だよ　さっさと白状しろ　このサイコパス野郎ｗ
0175１３２人目の素数さん
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2020/08/10(月) 18:19:24.24ID:EXUgpgw2
>>173
＞ＡとＡの余因子行列Ａ〜に対して
＞Ａ・Ａ〜＝ｄｅｔ（Ａ）Ｅ
＞が成り立ちます
＞これの証明は余因子展開を参照してください！

君、余因子展開知らんだろ？

馬鹿は背伸びするな
ひっくりこけて肥壺で溺死するぞｗｗｗｗｗｗｗ
0176現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 19:34:27.59ID:gEQArxFG
おサルの おバカ伝説がまた一つｗ（＾＾；

＜「正則行列」の話＞
（>>160より）
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ

>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす

おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)

さてさて
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”
　及び
「正則でない正方行列は零因子である」
も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。
正則でない正方行列は零因子であることを示せ。

ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1262110917
数学の質問です Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない dan********さん2011/5/12 yahoo
(抜粋)
Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない
この２つが対偶の関係にあるということはわかるのですが、実際に証明で示すことができません(汗

ベストアンサーに選ばれた回答
たろうさん 2011/5/12
Aが零因子であるとは
AB = Oが成り立つ行列Bがあって, しかもA≠OかつB≠Oであるということです
[ Oは零行列を表します ]
このときもしもAが正則だとしたら
B≠Oのはずなのに
AB = Oの両辺にAの逆行列を掛けることでB = Oに変形できてしまいます
したがって
Aが零因子なら Aは正則でないことが分かります
(引用終り)
0177現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 19:36:58.47ID:gEQArxFG
>>176 補足

「正則行列」と
零因子とは関係ない
どころか
”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！

だれが、行列を分かってないのかな？ｗｗ（＾＾；
0178１３２人目の素数さん
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2020/08/10(月) 20:19:54.23ID:EXUgpgw2
>>177
なんかアタマの狂った奴だなあ

逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・

し・か・し、もし線形代数を学んでいるなら
まっさきに「行列式が０でない」を想定する筈

実際、零因子かどうかの判定も実質的に
「行列式が０か否か」になっている

そこをすっとばして零因子に食いつく時点で
「こいつ、まともな線形代数の教育を全く受けてない野蛮人だな」
とわかる

つまり国立大学の工学部卒というのは嘘っぱちだと分かる
いやしくも国立大学であるなら線形代数の講義はあるし
そこで君のような馬鹿丸出しの回答をすれば確実に落第するから

よほど低レベルの私立大学で、馬鹿でもできる行列計算さえできれば
通してしまうようなザル講義をうけたとしか考えられない

どうせ君は
「Aの逆行列はA~/|A|」
とかいう「公式」を記憶しただけなんだろう

で、上記の公式がそもそも行列式|A|が0のときには通用しない
ということすら今の今までまったく認識しないほどの馬鹿野郎
だったんだろう

そんな馬鹿が大阪大学に入れるわけないだろｗｗｗｗｗｗｗ
在学してたというなら在学証明書うｐしてみろｗｗｗｗｗｗｗ
0179現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 21:38:20.25ID:gEQArxFG
おサルの おバカ伝説がまた一つｗ（＾＾；

＜「正則行列」の話＞
（>>160より）
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ

>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす

おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)

さてさて
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”
　及び
「正則でない正方行列は零因子である」
も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！

　　　　　　　　　　　　ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
　　　　　　。　　　　　。
　　　　　　　　。　　｡　。　。 ﾟ
　　　　　　 。　　｡ﾟ。゜。 ﾟ｡　。
　　　　　　/　 ／/ ／ ／
　　　　　(　Д ) Д)Д))
0180現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 21:42:24.21ID:gEQArxFG
>>169
証明、証明かｗ
いまどき、そんなものネット上にありますがなｗ（＾＾；
「高校数学の美しい物語」（＾＾

(引用開始)
https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明

n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
1.AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
2.detA≠0
3.rankA=n
4.KerA={0→}
5.全ての A の固有値が 0 でない
(引用終り)

”行列が正則であることの同値な条件と証明”とあるとおり

以下では1から5の同値性を証明していきます。2ならば1の証明については概要のみ示します。

5つの条件が同値であることの証明
まずは1と2の同値性を証明します。

まずは1と2の同値性を証明します。

1ならば2の証明
積の行列式は行列式の積と等しいので AB=I となるとき，
detAdetB=detI=1
よって detA≠0

2ならば1の証明
detA≠0 のとき，B=A~/detA
（ただし A~ は A の余因子行列，つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列）
とおくと，AB=BA=I となることが確認できる（→補足）。

次に2と3の同値性です。前提知識：ランク標準形

2 ←→ 3の証明
行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
SAT=(IOOO)
という形にできる（ランク標準形）。
略

次に3と4の同値性です。前提知識：次元定理

3 ←→ 4の証明
次元定理より，rankA=n?dim(KerA)
よって，rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。

最後に2と5の同値性を証明することで5を仲間に入れます。

2 ←→ 5の証明
A の固有値を λ1,?,λn とすると，
detA=λ1?λn である（→補足）。
（行列式は固有値の積）

よって detA≠0 と，全ての A の固有値が 0 でないことは同値。
0181現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 23:07:10.82ID:gEQArxFG
山の上のロジック学園……青葉レオ
数学セミナー 　2016年4月号
これ、東北大 田中 一之先生のところの記事だったか
青葉＝Aoba （Scientia） だったのかね（＾＾

https://www.sci.tohoku.ac.jp/about/pdf/no-24.pdf
東北大学大学院理学研究科・理学部 ニュースレター Aoba Scientia No.24 2016.3
P4
研究室訪問
応用数理講座 田中研究室 数学専攻 教授　田中 一之
(抜粋)
　私たちの研究室の業績として、海外でも一応認知されているのが
「逆数学」という研究プログラムにおけるいくつかの成果です。このプロ
グラムは、数学の定理を証明するのにどれだけの公理が必要かを調べ

るものです。数学は、学ぶ立場では公理から定理を導く証明の集積に
見えますが、研究する立場では、ある命題を導くのにどんな仮定や道具
が必要かなどと考えていることが多いと思います。例えば、解析学の授
業では、自然数、実数、連続関数、微積分．．．というように概念が組み
立てられているのに対し、それらの厳密な概念が発見された歴史は真
逆なのです。「逆数学」といっても、何か奇抜なことをやっているわけで
はなく、体系化が進むと忘れられてしまうような発見の歴史や、異なる
理論間の感覚的な類似性などを何とか捉えようとしているわけです。
　しかし、ロジックの専門家は日本にまだ一握りしかいないため、私
は年に数回一般向けの講演会をボランティアで行っています。そん
な私の活動をモデルにしたらしい（かなりコミカルに作り変えられて
います）物語が、月刊誌『数学セミナー』（日本評論社）に４月から連
載されることになりました。「山の上のロジック学園」（青葉レオ文、バラマツヒトミ絵）という題名
です。興味のある方は是非ご覧ください。
（日本評論社とバラマツさんのご厚意で、イラストを転載します。）

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7059.html
数学セミナー 　2016年4月号
［新連載］山の上のロジック学園……青葉レオ　56
　　　　　特別授業1日目　等式のロジック
［新連載］数の世界の散歩道──整数論に導かれて……落合 理　63
　　　　　広がっていく数の世界(1)
0182現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/10(月) 23:10:08.39ID:gEQArxFG
>>181
補足

青葉？ とか思っていたのだが
田中 一之先生ね
結構、面白い話だね

”［新連載］数の世界の散歩道──整数論に導かれて……落合 理　63
　　　　　広がっていく数の世界(1)”
も結構面白い
0183現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/10(月) 23:17:15.23ID:gEQArxFG
メモ貼る

https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/
Sendai Logic Homepage
仙台ロジック倶楽部
東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 田中一之 Outreach

http://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/tanahome.html
東北大学 数学基礎論セミナー　Sendai Logic Seminar
田中一之 教授
2011年7月15日改訂

http://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/
Kazuyuki Tanaka
Mathematical Institute, Tohoku University
Last modified on July 16, 2011
0184現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 07:27:11.30ID:iE83EVfi
>>173 補足

余因子と逆行列の関係は、下記の方が適切だったね
あと、下記「行列が正則である条件」を是非見て下さい

”行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！”

ってことね
だから、非正則行列は、|A|＝0ってこと
|A|＝0のときに、Ａは零因子であるは、>>173の通り

「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと行列をしっていれば、すぐ分かること（＾＾；

（参考）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(抜粋)
前回の記事では、行列（正方行列）の余因子について扱いました。今回は、行列式と余因子を用いて逆行列を求める方法について扱います。

目次（クリックで該当箇所へ移動）
余因子から逆行列を求める
逆行列の公式
行列が正則である条件
逆行列を求める例
逆行列を求める2つの方法
おわりに

余因子から逆行列を求める
逆行列の公式

行列が正則である条件
ここで、ある正方行列が正則である（逆行列）を持つための条件について触れます。

逆行列を持つか否かは、行列式の値を確認することで簡単に確かめられます。

行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！

理由は簡単。

正則 → |A|≠0
Aが正則であるとき、A?1が存在するので、行列式の性質より、
|A||A?1|=|AA?1|=|E|=1
が成り立ちます。
2つのスカラーの積が0でないということは、掛け合わせている2つの値は共に0でないの
で、|A|≠0が言えます。

|A|≠0 → 正則
先ほど出てきた行列1/|A| t[Aij]が定義でき、これを左右のどちらから掛け合わせてもEが導かれます。
よって、逆行列を持つ、すなわち正則であると言えます
0185現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 07:38:06.00ID:iE83EVfi
>>184 補足
なお、下記の行列式の性質は知っておくと便利
（まあ、常識ですが）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
(抜粋)
行列式の性質
行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。
det(AB)=det(A)det(B)
など
0186現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 07:45:19.30ID:iE83EVfi
>>183 補足

仙台ロジック倶楽部の左上に小さいリンク集があって
下記などに飛べるよ（＾＾

https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/home/logic-ru-men-jie-shuo
仙台ロジック倶楽部? > ?
Logic入門解説
(抜粋)
※ピンクの見出しをクリックすると、詳細な解説を見ることができます。
数学基礎論入門 （『数学完全ガイダンス』より抜粋，一部修正）
・「数学基礎論」とは
・基礎論の３大定理（ゲーデルの完全性定理、ゲーデルの不完全性定理、ゲンツェンの基本定理）
逆数学のすすめ （『逆数学と２階算術』(河合出版 1997)より）
・「逆数学」とは何か
・その目的とあらまし
・二階算術とその体系

https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/home/shu-ji
仙台ロジック倶楽部? > ?
読み物
(抜粋)
※ピンクの見出しをクリックすると、詳細な解説を見ることができます。
ゲーデルの定理　あとがき （フランセーン著『ゲーデルの定理　利用と誤用の不完全ガイド』の訳者あとがき）
→本書の内容を手っ取り早く理解したい方にオススメ．
数学基礎論と消えたパラドックス（『数学セミナー』1993年8月号より）
→パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
数学の「はだいろ」 （『数学セミナー』1999年8月号巻頭言）
→「数学」の「数」という言葉について．
基礎の論争 （『数学の基礎をめぐる論争』より）
→「数学の基礎をめぐる論争」のダイジェスト版？興味を持った方は，是非とも買いましょう．面白いです．
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 07:51:45.74ID:tcpso+oJ
>>180
＞証明、証明かｗ
＞いまどき、そんなものネット上にありますがなｗ

で、君は理解できたの？できてないんでしょ？じゃ、無意味だね

＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞1.AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
＞2.detA≠0

＞まずは1と2の同値性を証明します。

どうぞ

＞1ならば2の証明
＞積の行列式は行列式の積と等しいので

君、証明した？ここで示して

＞AB=I となるとき，
＞detAdetB=detI=1
＞よって detA≠0

肝心なところを抜くから、君の脳の中に
行列式detが定着しないんだよ

まず
・行列式detを定義せよ
・上記の定義で、detAB=detAdetB　となることを示せ

それが数学
君がやってるのは、数学ゴッコ
0188現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 07:52:07.77ID:iE83EVfi
>>184 補足

下記”行列環”も常識だけど
ご参考まで

行列の常識があったら、
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」
もまた常識です

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
例
・2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。
　四元数と同じく R 上 4 次元であるが、
　四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、
　したがって可除環ではない。
　その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす。

性質
・n ? 2 に対して、行列環 Mn(R) は零因子と冪零元をもち、再び、同じことは上三角行列に対しても言える。
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 07:56:29.41ID:tcpso+oJ
>2ならば1の証明
>detA≠0 のとき，B=A~/detA
>（ただし A~ は A の余因子行列，
>　つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の
>　行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列）
>とおくと，AB=BA=I となることが確認できる（→補足）。

他人の言葉を鵜呑みにせず、証明して

君は結局小学校の算数と同じ形でしか大学の数学を学べていない
要するにセンセイのいった式を「そうかそうかそうなんだ~」と
何の疑いもなく盲信して、馬鹿の如く計算するだけ

数学はそういうもんじゃないよ
なぜその式が成り立つのか論理的に示す　それが数学
そこすっ飛ばしたら、ただの計算技能でしかないよ

大学で「算数の授業」を期待するなよ　オコチャマ君
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 08:07:19.54ID:tcpso+oJ
>>180
＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞2.detA≠0
＞3.rankA=n

＞2 ←→ 3の証明
＞行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
＞SAT=
＞(IO）
＞(OO)
＞という形にできる（ランク標準形）。
＞略

君、読んでないね　読んだとしても理解できてないね
なぜ？　もし理解してたら必ず引用すべき箇所を引用しなかったからさ

＞積の行列式は行列式の積と等しいので
＞detSdetAdetT=
＞det(IO）
＞　（OO)
＞となる。
＞よって，detA≠0 であることと
＞ A のランクが n であること
＞（右辺の行列が単位行列になる）
＞は同値。

なぜそうなるかわかるかい？
ランク標準形の行列式は
対角成分の積になるからさ
（行列式の定義を知っていたら１秒以内でわかる）

だから、ランクがｎでなければ、行列式は０になり得ない

君は真っ先に行列式の定義を知るべきだね
実は全然知らないだろｗ
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 08:11:27.50ID:tcpso+oJ
>>180
>n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
>3.rankA=n
>4.KerA={0→}

>3 ←→ 4の証明
>次元定理より，rankA=n?dim(KerA)
>よって，rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。

はい、０点

以下の次元定理を証明しようねｗ

「行列における次元定理：
　A を m×n 実行列とするとき， rankA+dim(KerA)=n」

https://mathtrain.jp/ranknullity
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 08:24:55.02ID:tcpso+oJ
>>184
>”行列が正則である条件
>正方行列Aが正則である←→|A|≠0
>つまり、行列式が0であるかを確かめることで、
>逆行列を持つかが簡単にわかります！”

大学1年で線形代数学んだ人なら皆知ってるよｗ
ここが最も重要な成果の一つだからな

ｎ×ｎ行列をｎ個の列ベクトルに分解したとき
行列式が０でない⇔ｎ個の列ベクトルが一次独立
という関係になる

なぜなら
　ｎ個の列ベクトルの１つが他のｎ−１個の線形結合となる
⇔行列式が０
となるから

君は「余因子」に異常に固執してるけど、
それは君が「計算至上主義、公式至上主義」だから

まず逆行列の計算が頭にあって、
逆行列の公式を覚えることを
最終目標にしてるだろ？

それを「算数学習」っていうんだよｗ

あのな、行列式の定義の仕方によっては、今言った
「　ｎ個の列ベクトルの１つが他のｎ−１個の線形結合となる
　⇔行列式が０」
なんかもう自明なくらいあったりまえなんだよ

さて、行列式をどう定義すればいいでしょう？（ニヤニヤ）

ここで数学科とそれ以外の理工系学生の差が如実に分かるね
0194現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 16:03:07.23ID:fHpBNDDC
>>176 補足
＜「正則行列」の話＞

>よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！

そうそう、証明と同様に”理解”というのが、とても大事ですね（＾＾
神脳 河野玄斗くんも書いています（下記）

”暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ”
”数学の勉強法：問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。”

（参考）
http://kosodatedoctor.ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
読書録125 東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっているシンプルな勉強法 ネタバレ
(抜粋)
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ

※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。

「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。

※読み飛ばし勉強法※
一度教科書を読んだら、すぐにもう一度30秒ほどで読む。

(8)独学の意識を持つ
教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
講義はあくまで独学を補助するツール。
まず独学して、わからないところだけ先生に聞く。
講義は自分に必要な最低限にとどめ、まずは自習時間を確保。

■■高校大学受験を完全攻略する■■
■数学■

(1)数学を学ぶメリット
1、問題解決能力
与えられた条件からわかることと、 ゴールを求めるために必要なこと
逆算勉強法と同じ

つづく
0195現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 16:03:38.54ID:fHpBNDDC
>>194
つづき

2、論理的思考力
必ず正しいと言える論理を積み重ねて答えにたどり着く
論理の筋が通っていて飛躍はないか

(2)数学の勉強法
1、基本問題はパターンを攻略する
問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。

2、応用問題は基本問題を軸とした再現性が重要
応用は基本の組み合わせ、基本の使われ方も学べる。
初見で解法を思いつくようになるためにはどうするか、 考え抜くことが、数学におけるPDCAサイクル
必然性を持って再現できる理屈をふに落とす

(3)数学の楽しさ
沢山ある基本問題の背景に一貫した理屈を見つけたとき、 点が線になり世界が広がる感覚
→複数の問題の根底にある抽象論を抽出するのが大切

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97
河野玄斗
河野玄斗（こうの げんと、1996年3月6日[1] - ）は、日本のタレント、YouTuber。

単著
東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている-シンプルな勉強法

https://booklive.jp/review/list/title_id/545923/vol_no/001
booklive
【感想・ネタバレ】東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている シンプルな勉強法のレビュー
東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている シンプルな勉強法
河野玄斗
https://res.booklive.jp/545923/001/thumbnail/2L.jpg

無料サンプル
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アプリ試し読み
(引用終り)
以上
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 16:27:48.75ID:tcpso+oJ
>>194
＞ 解き方の背景にある理屈

行列式|A|の公式的な定義と、余因子A~の定義と、
逆行列A^(-1)=A~/|A|だけ見て
「逆行列が100％分かったー！」
とほざく算数馬鹿の君がいっても無意味な言葉

どうせ君は
「正方行列Aは可逆行列と零因子に分けられる」
というだけで分かって気になれる
オメデタイ馬鹿なんだろうｗ
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 16:34:52.50ID:tcpso+oJ
>>194-195
＞1、問題解決能力
＞2、論理的思考力

算数野郎◆yH25M02vWFhPには
公式を使って計算する１はあるかもしれんが
そもそも公理に基づき論理的推論で定理を証明する２は無理

その証拠に
・行列式を定義できない
・なぜ可逆行列の行列式が０なのか示せない

こんなヤツが「IUTガー」とかいっても🐎に念仏🐷に真珠

ま、IUTはそもそも念仏でも真珠でもないから🐎や🐷には相応しいかｗ
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 16:49:42.04ID:tcpso+oJ
行列
(1　2　3)
(4　5　6)
(7　8　9)
の行列式の値は？

ヒント
・公式で計算するヤツは🐎🦌
0199現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 17:11:49.09ID:fHpBNDDC
>>194 補足

１．理解が大事。その通りです
２．大学入試などでは、応用問題が理解の試金石なのですが
３．しかし、数学科院試レベルになると、あまりに難しい問題を出すと、かえって差がつかないおそれがあるので、基本問題も混ぜたり
　で、あんまし理解していなくても、「証明の基本パターン」を暗記して、吐き出すことで、点は取れる問題もあるでしょうね。εδとかねｗ（＾＾；
　でも、暗記を吐き出して、「証明のパターン」を当てはめは出来ても、本当に理解しているのかどうか？ｗｗｗ
４．しかし、ペーパーテストでは、「本当に分かっているの？」はムリなのです
　「形式的が解答が合っていればOK」になる
　それを補うのが、「面接」ってやつですけどね
　もっとも日本の場合、面接まで行くと、よほどでないと落とされないとか言われるのです

５．学校の試験はそれで良いけど、実社会では、試験とは違う。真の実力が見える
　暗記の証明を吐き出せるかどうかとは、別の「真の実力」がね
６．いまどき、逆行列とか、Excel関数にある
　だから、求められている能力は、Excel関数とかCでもフォートランでもいいけど、それを使いこなせる力と
　コンピュータが吐き出した結果（アウトプット）のある程度の是非判断能力（例えば、桁ずれしてないかとか、式の間違いや大きなインプットミスしてないかとかのチェック）
　（「これ小数点一桁ずれているんじゃない？」ってやつ）

駒かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」を理解できていない人が、
細かい証明に走る
わけわからず、証明を丸暗記しようとする

いまどき、そんなことは求められていないと思いますよ、実社会ではね（数学科の院試は別として）
（手計算はせいぜい3x3マトリックスくらいは、理解のためにやるとして、
　もっとエクセルとかPC上のソフト（数式処理も可）で手を動かした方が良いと思いますね。21世紀、ビッグデータの時代は）

（参考）
https://bellcurve.jp/statistics/blog/15368.html
統計WEB BellCurve
Excel関数による行列の転置・積・逆行列・行列式の計算方法 2017/12/20
0200現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 17:44:24.78ID:fHpBNDDC
>>199 補足の補足

下記”逆行列の求め方”より
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
　（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）

つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです

逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない

（>>178 より）
”逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・”
って、”ああ、勘違い”というか、
”ああ、分かってないね”というか
なんといいましょうか・・？　ｗｗｗ （＾＾；

(>>184より)
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
0201現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 17:57:01.11ID:fHpBNDDC
>>141-142 補足

”非可換群”の例として
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
と言った

当然、コンテキストして、”群”が前提の話
”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です
そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照）
（なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、”正則”という用語は一切使われていないのです。それで十分、説明が分かるし、それで良いと思います（＾＾　）

重箱隅をぐちぐち言っている来る人が居ますが
かえって、自分の無知をさらけ出し、自爆していますねｗｗｗ（＾＾
0202現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 20:41:29.75ID:iE83EVfi
>>200 訂正 （間違ってました）

２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
　　↓
２．A・t[Aij] ＝|A|E （正則行列を含む全正方行列の場合。Ｅは単位行列）

単位行列なんですよね、>>173の通りです

（>>173 再録）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。

正則でない正方行列は零因子であることを示せ。
を詳しく説明していただきたいです。
また、零因子も教科書見てもイマイチよくわかってないので解説していただけたら嬉しいです。

ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです

Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97
単位行列
(抜粋)
単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

表記法
n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。

性質
・単位元である
・AI = IA = A
・逆行列は自分自身である I?1 = I
・固有値はすべて1

スカラー行列との関連
単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。
特に可換体上の n 次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。
0203現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/11(火) 20:43:50.64ID:iE83EVfi
>>199 タイポ訂正

　「形式的が解答が合っていればOK」になる
　　　↓
　「形式的に解答が合っていればOK」になる


駒かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
　　　↓
細かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です

分かると思うが（＾＾；
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 21:00:46.20ID:tcpso+oJ
>>199
＞数学科院試レベルになると、あまりに難しい問題を出すと、
＞かえって差がつかないおそれがあるので、

こいつ、院試を大学入試と全く同じ感覚で考えてるな　正真正銘の馬鹿ｗ

数学専攻の大学院入試で、大学入試のような計算問題なんかでねぇよｗ

数学を「算数」としか認識してないとこういう馬鹿な嘘言って大恥晒すｗ
0205１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 21:09:35.92ID:tcpso+oJ
>>200
＞下記”逆行列の求め方”より
＞１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
＞　（上記１を式変形して）
＞２．A・t[Aij] ＝|A|E （正則行列を含む全正方行列の場合）
＞３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
＞つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
＞上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです

本末転倒してるなｗ
そもそも余因子行列とか逆行列の式とか抜きにして、いきなり３．の
「正則行列とは、|A|≠0」が云えるんだがね

つまり正則行列とは何かと言われれば
「行列式が０でない」というのが正解で
「零因子でない」とかいうのは
肝心なポイントを外してる点でオカシイ

で、君がなぜポイントを外してるかといえば、
ズバリ行列式を知らないからｗ

行列式知ってたら、元の行列に余因子行列を掛けたら
対角行列|A|E になることなんか自明

そんなことをさも大発見のようにいうのは、
そもそも君が行列式も余因子も全然知らないド素人だから

おまえ、マジで、どこの大学卒だよ
大阪大とかウソつくのやめろよ　
大阪大学に対する冒涜だぞｗ
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 21:20:14.09ID:tcpso+oJ
>>201
＞”非可換群”の例として
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
＞と言った

それがド素人の君の馬鹿発言ｗ

＞当然、コンテキストして、・・・逆元の存在もまた前提です

君は「任意の正方行列Aが、逆行列A~/|A|を持つ」と思ったんだろ？

それもド素人の君の馬鹿誤解

公式を覚えて「数学理解した！」と思うからそういう恥ずかしい間違いをしでかすｗ

＞そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です

「群の表現論で」は不要

＞なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、
＞”正則”という用語は一切使われていないのです。

正方行列全体が群を成す、なんて書いてないけどねｗ
もちろん、書いてあるわけがない
行列式が０の行列は逆元を持たない
そんなの線形代数学んだ人ならだれでも知ってる常識だぞｗ

＞重箱隅をぐちぐち言っている来る人が居ますが

「行列式が０でない」が重箱の隅だというようじゃ
線形代数が全く分かってないですね

一次独立って知ってる？答えてみ？
0207１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 21:31:56.33ID:tcpso+oJ
>>199
＞５．実社会では、試験とは違う。真の実力が見える
＞　　暗記の証明を吐き出せるかどうかとは、別の「真の実力」がね

実社会では算数でも通用するよ
暗記の公式を使う馬鹿チョンでもね
それが君のいう「真の実力」？
実社会ってチョロいねｗ

＞６．いまどき、逆行列とか、Excel関数にある
＞　だから、求められている能力は、
＞　Excel関数とかCでもフォートランでもいいけど、
＞　それを使いこなせる力と・・・

Excelの関数を使うのは馬鹿の君でもできるよｗ
ちなみにExcelでも他のコンピュータのプログラムで
行列式の計算式による余因子行列の構成なんかやってないよ　
計算量がベラボウだから

じゃ、どうやって計算するかって？
え？工学部の癖にそんなことも知らないのかよ（呆）
ま、なんでもかんでも教えると学習しないから自分で調べてみｗ

＞　コンピュータが吐き出した結果
＞　（アウトプット）のある程度の是非判断能力
＞　（例えば、桁ずれしてないかとか、式の間違いや
＞　　大きなインプットミスしてないかとかのチェック）
＞　（「これ小数点一桁ずれているんじゃない？」ってやつ）

そんなの逆算で確かめられるだろ
そんなのが「真の実力」なの？
工学部って、ホント馬鹿ばっかだなｗ
0208１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 21:43:50.05ID:tcpso+oJ
>>199
＞いまどき、そんなこと（＝証明）は求められていないと思いますよ、実社会ではね

行列式の定義も知らん人が、工学部卒とかいってモノ作ってるとか地獄だなｗ

行列式が０になる、ってどういうことか分かってないだろｗ

ｎ×ｎ行列を書けば基底ベクトルｅ1、・・・、ｅｎが
写る先のベクトルｆ１、・・・、ｆｎが分かる

ベクトルｆ１、・・・、ｆｎによって構成される
平行体のｎ次元体積が行列式の正体

体積が０になるってことは、平行体がｎ−１次元以下につぶれてる
ってことだから、ベクトルｆ１、・・・、ｆｎは一次独立でない
つまりそれは行列によって定められた線形写像の核が｛０｝だけでないってこと
線が点につぶれる線形写像に、逆写像なんかあり得ない

あのな、線形代数は行列の計算ができれば終わり、じゃねえんだよ
代数的なことも、幾何的なことも、全部理解して、
線形代数が分かったことになる
おまえの場合、代数も幾何もごっそり抜け落ちてるんだよ
ただ算数としてだけ理解してる　それじゃ全然ダメなんだよ　ダ・メ
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 23:11:37.61ID:64Zb/Q2r
>>201
>なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、”正則”という用語は一切使われていないのです。
wikipediaの行列群より引用「数学において、行列群 (matrix group) はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。」
しっかり「可逆行列」って書いてありますけど。サイコパスは平気で嘘吐きますね。

>それで十分、説明が分かるし、それで良いと思います（＾＾　）
だめです。任意の元に逆元の存在が保証されなければ群ではありませんので。大事なポイントを省くからいつまでもバカが治らないのですよ？
0210１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 06:57:11.94ID:aRNO8Y5N
>>209
行列群のwikipediaの記述、さっそく修正されたね

英語版とあってなかったみたいだね
0211現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 07:48:01.56ID:KiyP/uDI
>>200 補足

＜もっと抽象的に行列を離れて＞
・「零因子」は、群の中には存在しません（下記、蟹江とyahooなどご参照）
・環に「零因子」が存在します（下記蟹江など）
・”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値”です（下記、可逆元と斜体ご参照）

（参考）
http://kanielabo.org/essay/
エッセイの部屋
http://kanielabo.org/essay/daisu.pdf
代数 / 群・環・体 蟹江幸博 数学セミナー6月号 (2003.6.1), pp.38-43.
P6
R が環で，x に左逆元 y, y′ があったと
する．つまり，yx = 1 = y′x だな．左分配律から
(y − y′)x = 1 − 1 = 0 になる．y≠ y′ だから，0 でな
い元の掛け算で 0 が出てくることになる．こういう
元を「零因子」と言う．

体ならありそうもないわけで，その根
拠は逆元の存在だ．それは実際，簡単に証明できる．
体には零因子がない．

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo

可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
本を読んでも見つけられなかったのでよろしくお願いします

つづく
0212現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 07:48:54.20ID:KiyP/uDI
>>211
つづき

ベストアンサーに選ばれた回答
san********さん 2017/1/903:02:35
まず，言葉の定義を確認しておきます。
環R（ここでは可換環としますが，非可換な環でも同様）において，
単位元を1，零元を0とするとき，
a∈R が可逆元であるとは，あるb∈Rでab=ba=1となるものが存在するときにいう。
(このbはaに対して一意的に定まり，aの逆元と呼ばれ，a^(-1)で表す)
a∈R が零因子であるとは，a≠0であり，あるb∈Rでb≠0，かつ ab=0となるものが存在するときにいう。

ここで，一般的に可換環で1≠0であることに注意します。
（極端な例として，R={0}という零環というものがありますが，ここでは考えません）
さて，a∈Rが可逆元かつ零因子であるとすると，
aは逆元a^(-1)をもつ。
そして，零因子であるから，あるb∈Rが存在し，b≠0，ab=0 を満たす。
この両辺にa^(-1)をかけると，
a^(-1)・a・b=a^(-1)・0
(a^(-1)・a)・b=a^(-1)・0
1・b=a^(-1)・0
よって，b=0 となり，b≠0に反し，矛盾。
よって，可逆元かつ零因子となる元は存在しない。

零因子が，「0でないもの同士であり，その積が0となるもの」という点がポイントです。

余談ですが，今回のこの事実は，
2つの2次正方行列で，どちらも零行列ではないが積が零行列になるものを考えると，これらはどちらも逆行列を持たない
ことを一般化したものです。
復習のために，この具体例を作って考察してみて下さい。

つづく
0213現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 07:49:15.99ID:KiyP/uDI
>>212

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83
可逆元
(抜粋)
定義
群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。

環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
(抜粋)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。
(引用終り)
以上
0214現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 07:53:03.14ID:KiyP/uDI
>>211 補足の補足

群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります

「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；

抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
0215現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 07:57:16.21ID:KiyP/uDI
>>214 訂正

なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
　　↓
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；

まあ、蟹江に限らないだろうね
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:25:19.24ID:uOOQACHF
瀬田必死だなｗ
いくら論点をずらそうとしても「n次正方行列全体の集合は積について群である」は間違いですから、残念
0217１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:29:05.27ID:aRNO8Y5N
>>211
＞・「零因子」は、群の中には存在しません

そもそも、単位元とは異なる「零」が存在しないな

＞・環に「零因子」が存在します

環を考える必要ある？

＞・”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値”です

正方行列の環は、可除環ではないけど
0218１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:29:35.99ID:uOOQACHF
瀬田のコピペにはことごとく「可逆」とか「正則」とか書かれてますねー
瀬田だけですねー、正方行列が群を成すなどと書いてるのは
潔く間違いを認めましょうねー
0219１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:40:05.24ID:aRNO8Y5N
>>211-214
そもそも行列の乗法しか考えないのなら、加法を含めた環を考える必要がない
「正則である」という性質を語るのに「零因子でない」とかいうのはズレてる
根本は「線形空間の自己同型写像である」「行列式が０でない」という点にある
「零因子でない」というのはそこから派生する性質でしかない

行列式知ってますか？一度も語ってないけど
0220１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:44:49.19ID:aRNO8Y5N
>>198の行列
(1　2　3)
(4　5　6)
(7　8　9)
って、正則じゃないよね

もちろん、行列式を計算すれば０になるので分かるけど
実はもっと簡単に０だって分かる
なんでか？

「群だ、環だ、体だ」とかいうのはなんかズレてる
線形代数なんだから線形空間として考えよう
0221１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:45:39.61ID:uOOQACHF
>>211
＞・環に「零因子」が存在します
↑
この文章は危うい。数学の主張としては間違い。零因子を持たない環もあるから。
瀬田のようなバカに誤解させないためには数学の主張ではなく解説であることをはっきりさせないといけない。例えば「一般に」といった修飾語を添えるなどして。
0222１３２人目の素数さん
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2020/08/12(水) 08:53:48.34ID:aRNO8Y5N
>>221
そうだね　正しくは
・「零因子」は環を考えることで初めて意味を持つ
というべきか

群しか考えないんなら「零因子」なんて無意味
そもそも「零元」がないんだから

要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
0223１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:55:03.09ID:uOOQACHF
なーんだ
＞・環に「零因子」が存在します
は瀬田オリジナルかｗ
どーりで、おかしーと思った。プロの数学者ならこんな怪しげな文章は書かない。書いたら速攻でつっ込まれるｗ「おいゴラ、整域は環じゃないんかい？」ってねｗ
>（下記蟹江など）
などと書かれてるから騙されたｗ
0224１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 08:57:25.43ID:uOOQACHF
もう瀬田はオリジナルを書くな
馬鹿なんだからコピペだけしてろ、おまえにはコピペが限界だ
0225１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 09:01:34.98ID:aRNO8Y5N
「正方行列の全体は群を成す」というのは、いわば
「ｎ個の要素を持つ集合からそれ自身への写像の全体は群を成す」
というのと同様の誤りを犯しているんだな

ｎ個の要素をもつ集合の置換というのは全単射
つまりそうでない写像は逆写像を持たないから逆元になりようがない
0226現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 11:11:00.82ID:K61Sge4c
>>221-222
おっと（＾＾

>＞・環に「零因子」が存在します
>↑
>この文章は危うい。数学の主張としては間違い。零因子を持たない環もあるから。

確かに（＾＾；

(引用開始)
そうだね　正しくは
・「零因子」は環を考えることで初めて意味を持つ
というべきか
群しか考えないんなら「零因子」なんて無意味
そもそも「零元」がないんだから
(引用終り)

同意です
ごもっともですｗ
同意で、デフォルトです（言わずもがな）ｗｗ

(引用開始)
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
(引用終り)

同様の指摘をするならば
「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ（＾＾：

まあ
いい勝負だな〜〜　ｗｗｗｗｗ（＾＾
0228１３２人目の素数さん
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2020/08/12(水) 11:40:04.78ID:aRNO8Y5N
>>226
＞「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
＞”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ

ｎ次線形空間の線形写像で自己同型でないのに、
逆写像が存在するものがある、と言い切るなら
今ここで示してくれる？

この人、そもそも大学入ったことあるのかな？
0229１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 11:45:14.84ID:aRNO8Y5N
そもそも>>134で
＞まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
と書いたのは◆yH25M02vWFhP

だから
「群となるのは
　正方行列（線形写像）の全体ではなく
　正則行列（自己同型線形写像）の全体」
といってるのであって、自分の発言を忘れて
「”全体”じゃなくても群になる」
といってるんならただの駄々っ子

大学行ったことないのに大卒を詐称するのは犯罪だよ
0230現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 11:48:07.87ID:K61Sge4c
もともと

（>>214より）
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります

「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
(引用終り)

こちらの主張は、「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係あり
そちらの主張は、「逆元が存在するかどうか」と「たまたまそれが零因子でないという性質と同値」といい、「関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」という
つまりは、「零因子」と、「逆元を持つ」は無関係で、行列に関するたまたまだと言いたいわけ？
でも、たまたまじゃなく、”群・環・体 この文脈で 「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります” ってことですよね
こちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
必死で、誤魔化そうとしている努力は認めますけどね
0231現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 11:51:54.29ID:K61Sge4c
>>230 訂正

こちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
　↓
この主張は、無理筋ですよ（＾＾
　あるいは
そちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾

かな？
最初の表現だと誤解の余地があるから
0232現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/12(水) 11:59:50.11ID:K61Sge4c
>>228
あらあら
指摘していうことから論点ずらし？

群論わかりますか
群には部分群もあるよ

「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」
の”全体”という用語が不用意じゃね
と言っているのですが

もし、不用意でないというならば
”全体”の数学的定義を書いてみて

（”逆写像が存在”なんて、論点ずらしでしかないよね）
0233１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 13:50:50.80ID:aRNO8Y5N
>>230
>こちらの主張は、無理筋ですよ

ええ、よくお分かりで

>>232
論点ずらししてるのはあ・な・た

・行列群では群の要素は行列、つまり線形写像

・逆行列は逆写像　これが存在するのは自己同型線形写像のとき、そのときに限る

・そして自己同型線形写像となる行列が正則行列

全部論点

あなたがいったのは
「群となるのは正方行列（の全体）」

これに対する指摘が
「群となるのは正則行列の全体」

あなたは自分の誤りを認める屈辱に耐えられず
「”全体”という用語が不用意じゃね
　群には部分群もあるよ」
と苦し紛れのいちゃもん

＞”全体”の数学的定義を書いてみて

無意味かつ無駄ないいがかり

あなたこそ
「任意の正方行列Aは逆行列A~/|A|を持つ！」
と思い込んでた誤りを認めようね
そうしないと、再び同じ誤りを繰り返すよ
学習は屈辱の積み重ねだから

公式暗記するだけだから|A|=0の場合が思いつかず大恥かくんだよ

もしかして、実数や複素数についても
「任意の数xは逆数1/xを持つ！」
なんて言い張ってたんじゃない？

あなた・・・小学校出たの？
0234１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 14:05:17.97ID:aRNO8Y5N
どうやら◆yH25M02vWFhP氏は　線形代数について
AA~＝|A|E
だけで全てわかった気になってたらしい

困ったもんだねぇ・・・
0235１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 14:22:17.98ID:aRNO8Y5N
◆yH25M02vWFhP氏みたいな人は、クラメルの公式を知って
「これで、全ての連立線形方程式の解を求められる」
といいきっちゃうんだろうな・・・

注１）解が存在しない場合は使えません　（Ａが全射でない）
注２）解が一意的でない場合も使えません　（Ａが単射でない）

ついでにいうと、クラメルの公式は全然実用的でない
（ガウスの消去法を使ったほうがはるかに速い
　ガウスは純粋数学だけでなく応用数学にも通じてた）

ガウスの消去法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95

ガウスの消去法（Gaussian elimination）あるいは
掃き出し法（row reduction）とは、
連立一次方程式を解くための多項式時間アルゴリズムであり、
通常は問題となる連立一次方程式の係数からなる
拡大係数行列に対して行われる一連の変形操作を意味する。

連立一次方程式の解法以外にも
・行列の階数の計算
・行列式の計算
・正則行列の逆行列の計算
などに使われる。

このアルゴリズムは、大きな方程式系を系統的な方法で
小さな系へ分解する方法を与えるものと理解することができ、
基本的には、前進消去と後退代入という2つのステップから成る。
0236現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 15:00:29.68ID:K61Sge4c
>>230 補足
流れを纏めておくと

・”群・環・体 この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があり”ってこと
・つまり、可換なら、「整域」と（可換）体の理論から、”（零因子を持たない）”となる
・非可換環からは、可除環（斜体）が出て、環の単元群で
　”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である”となり
　この一例として、「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」がでる
・だから、”「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があり”ってことです
　（勿論、「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」は、行列の理論からも導けますけど）
・なので、”たまたま”じゃない！

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
(抜粋)
可換環
整域と体
詳細は「整域」および「体」を参照
環 R の元 a, b に対して、a が零元でなく ab = 0 が成り立つとしても、b は必ずしも零元でない。
考える環を整域（零因子を持たない非自明な可換環）に制限する
零元以外の任意の元が逆元を持つ環を考える必要がある。
すなわち、体とは、環であって、その零元を除く元の全体が乗法に関してアーベル群となるようなものである。
特に（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）。

つづく
0237現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 15:01:00.52ID:K61Sge4c
>>236
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
非可換環
(抜粋)
非可換環（ひかかんかん、英: noncommutative ring）とは乗法が可換ではない環である。

非可換環の重要なクラス
可除環
詳細は「可除環」を参照
可除環あるいは斜体とは、除法が可能な環である。つまり、0 でない任意の元 a が乗法逆元、すなわち a・x = x・a = 1 なる元 x を持つような、零環ではない環である[2]。
別の言い方をすれば、環が可除環であることと単元群が 0 でない元全体であることが同値である。

可除環が可換体と唯一異なるのは乗法が可換であると仮定されないということである。しかしながら、ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である。歴史的には、英語では可除環は field と呼ばれることもあり、一方可換体は “commutative field” と呼ばれた。
日本語では、現在でも体は可換体を指すことも可除環を指すこともある。

（ついでに英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Noncommutative_ring
Noncommutative ring

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E5%85%83%E7%BE%A4
可逆元 （単元群から転送）
可逆元（かぎゃくげん、英: invertible element）または単元（たんげん、英: unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。

環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。
とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。
R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。

例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。
(引用終り)
以上
0238１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 15:16:17.27ID:aRNO8Y5N
>>236
＞流れを纏めておくと

自分勝手に流れを捻じ曲げないようにね

＞群・環・体 この文脈で

そもそも環の話はしてないし、
あなたの文章でも、結局体なんて全然出てこない

あくまで群の話をしている

そして正方行列「全体」の群は存在し得ないといっている
そして逆元が存在しない行列については、行列式が０でない
といえばいいだけで、零因子とかいう必要がないし全然外してる

＞勿論、
＞「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
＞は、行列の理論からも導けますけど

「行列の理論からも」ではなく「行列の理論から」

「も」はいらない　自分が導いたような嘘をつくのはやめようね

結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる
零因子はおまけでしかないし、群の話には必要ないな
0239現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 15:28:44.77ID:K61Sge4c
>>229 ＆ >>233

あ〜ら、必死の誤読＆曲解の論点ずらしｗ（＾＾

１）（>>229より）
(引用開始)
　＞まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
(引用終り)

そこは、とっくの昔に、補足入れますよ、>>141-142と>>201です
”非可換群”の例として
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」（>>201より）
と言った

当然、コンテキストして、”群”が前提の話
”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です
そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照）

”全体”とか、関係ないよ。だって、群は積の演算で閉じているってことですからね
群には、部分群も存在するから、中途半端に”全体”とかいうとまずいぞ

２）（>>233より）
(引用開始)
あなたがいったのは
「群となるのは正方行列（の全体）」
(引用終り)

こっちは、最初から「（の全体）」とか言ってないよ
それ、「（の全体）」って、あなたの脳内の妄想です
それで逃げるのねｗ（＾＾
まあ、妄想全開の人を相手にしても仕方ないから
（繰り返すが、当方は”全体”なんて曖昧な用語は使っておりませんよ！！）
許してやるよｗｗｗ（＾＾
0240現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/12(水) 15:37:42.69ID:K61Sge4c
>>239 補足

（>>222より）
(引用開始)
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
(引用終り)

”その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される”

全体ね〜、”自己同型線形写像の全体”以外の行列群も沢山あるけどな〜
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群

全体ね〜ｗ
妄想じゃ、仕方ないな
0241１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 16:59:14.06ID:aRNO8Y5N
>>239
相変わらず、本当の論点から目を背け続けるね

＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」

（）で誤魔化せたつもりなら全くアサハカ

上記は当然正方行列（”全体”の成す群）と受け取られる

＞逆元の存在もまた前提です

そこがまたアサハカ

上記は（任意の正方行列に対する）「逆元の存在」を前提してると受け取られる

＞念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話

正則行列を持ち出すのに「表現論」が必要と思ってるのがオカシイ

そもそも正方行列において群を成す最大範囲が正則行列

そんなこと線形代数学んだ人なら皆知ってる

君が知らないとしたら大学に行ったことないモグリってこと

＞”全体”とか、関係ないよ。
＞だって、群は積の演算で閉じているってことですからね

だっての前後が　見事に食い違い

「群は積の演算で閉じている」のだから「閉じた全体」が必要

正方行列の中で、群として閉じることができる最大の範囲が正則行列

そういう認識が完全に欠如してる時点で、君は大学にも行ったことないド素人

線形代数を大学で学んでいたら確実に知っている筈のことを

君は全く知らなかったんだからね

＞群には、部分群も存在するから

そんな話は全くしていないので、無意味

自分の誤りを認めずに話をそらそうとするから

君はいつまでたっても数学が理解できない

＞＞「群となるのは正方行列（の全体）」
＞こっちは、最初から「（の全体）」とか言ってないよ
＞それ、「（の全体）」って、あなたの脳内の妄想です

それ、いいわけにもならんね

正則行列といえばいいところを、正方行列といった
要するに、君は正則行列を知らなかった
行列式も知らなかった　そういうことだね

行列式を知っていたら　行列式が０の行列は
正則行列でなく逆行列が存在しないことも知ってる筈

要するに君は線形代数を知ってる人なら当然知ってることを
まったく何一つ知らないと白状したわけだ

そんな人がIUTとか齧ったって無駄
歯が欠けるからやめとけ　マジで
0242１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 17:06:27.33ID:aRNO8Y5N
>>240
＞全体ね〜、”自己同型線形写像の全体”以外の行列群も沢山あるけどな〜

しかし、自己同型でない線形写像からなる行列群は無い

つまり君が「正方行列」といったことはいかなる意味でも誤り
君の苦し紛れの言い訳でもやはり「正則行列」というのが正しかった

残念だったな
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 17:13:13.58ID:aRNO8Y5N
>>155は君のような大学にも行ったことない素人が読んでも理解できないよ
難しいからじゃない　訳の分からない文章だから

まずここを読むべきだった

一般線型群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4

そうすれば「表現論ガー」なんていうのが見当違いだと分かる
0244１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 17:20:48.72ID:aRNO8Y5N
大事なのは
線形空間V上の線形写像の全体End(V)は群でない、ということ
n 次正方行列全体 Mn(F)は群でない、ということ

そしてVの次元がｎなら
　End(V)のうち全単射な写像
⇔ Mn(F)のうち正則な（つまり可逆な）行列
⇔ Mn(F)のうち行列式が0でない行列
となるわけだ
0245１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 17:25:47.77ID:aRNO8Y5N
>>244
そしてさらにいえば一般線形群の部分群も
全単射な写像、行列式が0でない行列
にさらなる条件が追加されるだけであって
全単射な写像、行列式が0でない行列
という条件が外されることはない

それこそが重要

分かったか！高卒ド素人
0247１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/13(木) 06:55:09.11ID:RBrrjuJv
解析学だけでなく線形代数もダメとか、完全な落ちこぼれだな、◆yH25M02vWFhPは
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/13(木) 07:23:10.64ID:RBrrjuJv
n個のn次元ベクトルv1~vnが一次独立⇔外積v1∧…∧vnが零でない　これ豆な
0251現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 07:39:11.58ID:bF50UmjA
>>238
>結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる

うむ、良い指摘です。100点満点の5点をあげよう（＾＾

さて、纏めておこう
１．( >>236より)零因子は、主に環の中に存在し、基本的に 群の中には存在しない(零がない)
２．可換環では、「（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）」
３．( >>237より)非可換環では、ちょっと事情が違う
　「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記）
４．「ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
６．但し、行列群では、非可換でも「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
　（証明は、 >>173などご参照（行列式|A|が0か否かで異なる））
７．なお、環の中では、左零因子a（ax=0 で、a≠0 かつ x≠0 ）に対し、左逆元 a^(-1)a＝1(単位元)の存在は両立しない
　（∵ ax=0の両辺に、a^(-1)を作用させると、左辺は a^(-1)ax＝x で、右辺は a^(-1)0＝0。これは、x≠0に矛盾（なお、結合則を使った）。これから、可換の場合には、零因子と逆元の存在は、存在しないことが、すぐ分かる。
　なお、「体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る」（下記 逆元 wikipediaより）ので、正方行列 Mは、行列式が 0 以外のとき零因子を持たないし、零因子になれない！！ ）
８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
　Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
　冪零元（下記）も、同様の理由で含まれてはならない

　つまり、環の中では、零因子と逆元の存在は、密接に関連しているのです！！！
　なお、上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね（再録「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記））（＾＾；

つづく
0252現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 07:40:28.07ID:bF50UmjA
>>251
つづき

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
非可換環
(抜粋)
可換環論と非可換環論の違い
非可換環は可換環よりもはるかに広いクラスであるから、非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない。多くの成果は可換環の結果を非可換環に一般化することによって得られてきた。可換環と非可換環の主な違いは右イデアルと左イデアルを考える必要性である。非可換環の研究者にとってこれらのイデアルの一方にある条件を課しもう一方には課さないということはよくあることだが、可換環では左右の違いが存在しない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83
可逆元
(抜粋)
可逆元（かぎゃくげん、英: invertible element）または単元（たんげん、英: unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。

定義
いくつかの冪等元を持つ半群 S について、S の元 a は S の元 b と冪等元 e が存在して ab = e となるとき e に対する右可逆元であるといい、 S の元 c と冪等元 e′ が存在して ca = e′ となるとき e′ に対する左可逆元であるという。a が冪等元 e に対して左可逆元かつ右可逆元であるとき、a は e に対する可逆元であるという。M が単位的半群であるとき、その単位元に対する（左、右）可逆な元をそれぞれ（左、右）単元 (unit) と呼ぶ[1][2]。

群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。

つづく
0253現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 07:41:28.17ID:bF50UmjA
つづき

環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。

任意の単位的環 R, S に対し、単位的環準同型 f: R → S は、単元群の間の群準同型 U(f): U(R) → U(S) を引き起こす。したがって、単位的環 R にその単元群 U(R) を対応させる操作 Uは、単位的環の圏から群の圏への函手である。この函手の左随伴は群 G に群環 ZG を対応させる操作である[3]。

例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
逆元
(抜粋)
逆元 （ぎゃくげん、英: inverse element）とは、数学、とくに抽象代数学において、数の加法に対する反数や乗法に関する逆数の概念の一般化で、直観的には与えられた元に結合してその効果を「打ち消す」効果を持つ元のことである。逆元のきちんとした定義は、考える代数的構造によって少し異なるものがいくつか存在するが、群を考える上ではそれらの定義する概念は同じものになる。

厳密な定義
単位的マグマの場合
集合 M は二項演算 ・ をもつ代数系すなわちマグマで、 e は (M, ・) の単位元とする。
すなわち (M, ・, e) は単位的マグマであるとする。
M の元 a, b に対して a ・ b = e となるとき、a を演算 ・ と単位元 e に関する b の左逆元 (left inverse), b を演算 ・ 単位元 e に関する a の右逆元 (right inverse) という。またこのとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。

つづく
0254現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 07:41:50.14ID:bF50UmjA
つづき

例
逆行列・擬逆行列
体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。
M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。
もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。
階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ[2]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(抜粋)
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。これは、x を ax に送る R から R への写像が単射でないことと同値である[2]。同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。これは環における因子の特別な場合である。左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[3]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E5%85%83
冪零元
数学において、環 R の元 x はある正の整数 n が存在して x^n = 0 となるときに冪零元（べきれいげん、英: nilpotent element）という。
冪零 (nilpotent) という言葉は、ベンジャミン・パースによって、多元環の元のある冪が 0 になるという文脈で1870年頃に導入された[1]。
(引用終り)
以上
0255現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 07:43:41.06ID:bF50UmjA
なかなか、面白いネタだったな（＾＾
0256１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 07:54:49.11ID:RBrrjuJv
>>251
＞４．「ウェダーバーンの小定理によって、
＞すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
＞５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、
＞零因子が含まれる可能性がある

ドアホｗｗｗｗｗｗｗ

可除環に零因子はない！

「非自明な単位的非可換環 K に対して
　可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x−1 ∈ K が存在する。
　を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。」

したがって、定義より零因子は存在しない！

ウェダーバーンの小定理は
「非可換な有限可除環は存在しない」
というだけのこと

有限だろうが無限だろうが、可除環はその定義より零因子は存在しない！

・・・酷い、酷すぎるよ、◆yH25M02vWFhP
0257１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 08:01:22.83ID:RBrrjuJv
>>251
＞５．（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
＞上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね

可除性の定義で否定されたものの存在を証明した論文ｗｗｗｗｗｗｗ

ほほ自明ですが
「行列環Mn(K)は、nが2以上の場合、可除環でない」

つまり、環論では、可除性と零因子の非存在は、同値です！！！

ホント、毎度のことだけど、今日も盛大にやらかしてくれたね、◆yH25M02vWFhP
0258１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 08:10:04.86ID:RBrrjuJv
>>252-254
得意げに無駄なコピペするヒマがあったら
真っ先に以下の文章を読むべきだったね、君

斜体 (数学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

定義
a が零元 0K でない K の元ならば
それに対して aa＾(−1) = a＾(−1)a = 1K を満たす、
逆元と呼ばれる元 a^(−1) が常に存在する。

非自明な単位的非可換環 K に対して
可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(−1) ∈ K が存在する。
を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。

読むべきところを読まずに、毎度恒例の自爆

君の軽率さは、人間として致命的な欠陥だよ（笑いゼロ、マジ）
0259１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 08:15:16.98ID:RBrrjuJv
さて、馬鹿を弄るだけだと、数学板のスレッドとしてふさわしくないので
たまには数学的なネタもぶっこんであげよう

ほ・い・よｗｗｗｗｗｗｗ

フロベニウスの定理 (代数学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)

数学の抽象代数学において、フロベニウスの定理とは、
実数体上の有限次元の結合的多元体を特徴付ける定理であって、
ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによって
1877年に証明された。

内容
D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。

D = R
D = C（複素数体）
D = H（四元数体）
0260１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 08:19:35.44ID:RBrrjuJv
例によって例のごとく、英語版のほうが豊富なので
興味ある人は読んでみよう
https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)

但し、可除性の定義の日本語の文章すら正しく読めない◆yH25M02vWFhPは除く！！！
0261現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 14:56:33.92ID:BJ2NNS4M
>>251 訂正

> ８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
>　Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）

<ここ補足>
１．まず、普通（実数などの場合）の逆行列では、< 逆行列の一意性 >が成立します。（下記、高知工科大学など）
２．もっとも、一般の逆行列もどきでは、”一意的には定まらない”と言われます（下記、田辺国士）
３．単位行列も、一意です。単位元eもマグマの単位元なども、同様に一意です
４．行列に戻ると、逆行列及び単位行列の一意性から、A A^-1＝E（Eは単位行列）となって
　零因子の存在 AX＝0 (A≠0、X≠0)と矛盾します
　（∵ AX＝0の両辺に A^-1を左から掛けると、A^-1 AX＝(A^-1 A)X＝(E)X＝X≠0、一方右辺は0で矛盾。（但し、結合則を使った））
５．普通の正方行列の場合、Aが零因子行列であることと、逆行列を持つこととが、矛盾することが、逆行列の一意性から簡単に理解できます

（参考）
https://www.kochi-tech.ac.jp/profile/ja/inoue-masaaki.html
高知工科大学 井上　昌昭
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a12/07.pdf
2002 年度 基礎数学ワークブック Ser.A , No.12 高知工科大学 井上　昌昭
< 逆行列の一意性 >
(抜粋)
定理1 正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。
< 証明 > A の逆行列が 2 つあったとして, それを X, Y とすると,
XA = AX = I , Y A = AY = I (I は単位行列)
である。よって
X = XI = X(AY)=(XA)Y = IY = Y
より X = Y である。 (証明終)

定理2 正則行列 A に対して,
XA = I (I は単位行列)
を満たす正方行列 X が存在すれば, X は A の逆行列 A^?1 である。
すなわち
X = A^?1
である。

つづく
0262現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 14:57:06.62ID:BJ2NNS4M
>>261
つづき

http://www.orsj.or.jp/~archive/pdf/bul/Vol.21_04_213.pdf
オベレーションズ・リサーチ 日本オペレーションズ・リサーチ学会
解説 一般逆行列 (1) 田辺国士 (たなベ・くにお 統計数理研究所) 1976
(抜粋)
正方行列 Aの行列式が 0でないならば，行列方程式
AX=I, XA=I (1)
を満たす行列 Xがただ 1つ定まり，逆行列と呼ばれ A^-l
であらわされます.

このとき，連立一次方程式
Ax=y (2)
は，任意のベクトru にたいして，ただ 1つの解をもち，
それは の逆行列と右辺の積 A^-l とあらわされること
もよく知られています.

最適化理論，推定理論，制御理論，電気回路網理論などの分野では，非正則
行列や長方行列がしばしば登場し，これをある意味で逆転することが要求されます.

したがって，一般の m,n 行列 にたいして， (1)に類
似の代数的関係が成り立つような“逆行列もどき"
定義され，長方行列 を係数行列とする連立一次方程式
(2) にたいして Xy にしかるべき意味を与えることが
できるならば，これらの分野における行列によるモデル
の表現，計算の運用あるいは推論の上で有用な道具とな
るでしょう.
この考えを最初に定式化したのは E. H. Moore( 1920)
です.L かし， 1950 年代になって A. Bjerhammar
(1951 )や R. Penrose(1955) が独立にこの概念に再定式
化を与えるまで人々の注意をひきませんでした.その後
c. R. Rao( 1962) Moore Penrose, Bjerhammar
よりも弱 、条件による定式化を与え，それを一般逆行列
と名つ寺け， S. K. Mitra とともにこの一般逆行列の系統
的な分類の研究を行なっています[13]. これに関してわ
が国では渋谷[6] の研究があります.

§1. 種々の一般逆行列
Xが満たすべき条件として Xy が連立
一次方程式 (2) の解となるという性質を要求することは
自然でしょう.“方程式 (2) の解が存在するような任意の
右辺 にたいして Xy (2) つの解である"という
条件を満たす n,m 行列 が常に存在します.これを
の一般逆行列と呼び A-であらわします. 一般に
Aにたいして A-は一意的には定まりません .

つづく
0263現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/08/13(木) 14:57:41.22ID:BJ2NNS4M
>>262
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97
単位行列
(抜粋)
単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。
表記法
n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。
性質
単位元である
AI = IA = A

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83
単位元
(抜粋)
単位元（ 英: identity element）あるいは中立元（ちゅうりつげん, 英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。

定義
(M, *) を集合 M とその上の二項演算 * のなすマグマとする。M の元 e が * に関する（両側）単位元であるとは、M のすべての元 a に対して
a*e=e*a=a
を満たすときにいう。
さらに細かく、M の任意の元 a に対して
a * e = a を満たすとき右単位元といい、
e * a = a を満たすとき左単位元という。
単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換であるときには左右の区別はない。
単位元を持つマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。

環などの加法と乗法のふたつの演算を持つような代数系では、どの演算に関する概念であるかを区別するために、加法に関する単位元を加法単位元（しばしば 0 で表す）と呼び、乗法に関する単位元を乗法単位元（しばしば 1 で表す）という。

性質
左単位元および右単位元は一つの代数系に複数存在しうる。
しかしマグマ (M, *) が左単位元および右単位元を持てば、それらは一致しその代数系のただ一つの（両側）単位元となる。
このことは、実際 e1 が左単位元 e2 が右単位元であるならば、
e_{1}=e_{1}*e_{2}=e_{2}
が成立することからわかる。
とくに両側単位元は高々一つしか存在しない。
マグマ (S, *) が一つも単位元を持たないこともありうる。

つづく
0264現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/08/13(木) 14:58:07.65ID:BJ2NNS4M
>>263
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
マグマ (数学)
(抜粋)
抽象代数学におけるマグマ（英語: magma）または亜群（あぐん、groupoid）は、演算によって定義される種類の基本的な代数的構造であり、集合 M とその上の二項演算 M × M → M からなる組をいう。マグマ M における二項演算は M において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課すものではない。
このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキである[* 1]。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群（groupoid）と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる。ただし、それとは別に圏論において「亜群（groupoid）」と呼ばれる概念があるので、それと混同してはならない。
(引用終り)
以上
0265１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 16:31:44.76ID:RBrrjuJv
◆yH25M02vWFhP 　
可除性の定義
「x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(−1) ∈ K が存在する。」
と矛盾する>>251の
「５．（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある」
の馬鹿発言を修正すらできず沈黙死
0266１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 16:35:33.89ID:RBrrjuJv
◆yH25M02vWFhP
零因子で発狂し零因子で自爆死

行列式、勉強しろよｗ
0267１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 16:44:25.88ID:RBrrjuJv
「正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。」

正則行列Aは全単射となる線形写像なんだから逆写像は唯一だろう

逆写像
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%86%99%E5%83%8F

写像 f の定義域を集合 X, 値域を集合 Y とする。
写像 f が可逆 (invertible) であるとは、
Y を定義域、X を値域とする写像 g で、条件
f(x)=y ⇔ g(y)=x
を満足するものが存在するときに言う。
f が可逆ならば写像 g は一意である
（つまり、この性質を満たす写像 g はただ一つ存在して、
一つよりも多くも少なくもない）。
写像 g を f の逆写像と呼び、f^(−1) で表す。

別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、
その逆関係が再び写像となることである
（このとき、逆関係が逆写像を与える）。

必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、
上記の条件を適用するためには
「値域 Y の各元 y に対して、
f で y に写されるような定義域 X の元 x がちょうど一つ存在する」
必要がある。
この性質を満たす写像 f は一対一あるいは単射と呼ばれる。
f および f^(−1) がそれぞれ X および Y 上の写像となるとき、
これらはともに全単射となる。
0268１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 16:51:40.05ID:RBrrjuJv
“逆行列もどき"

元の行列をAとしたとき
もどき行列をA'とすれば
Aの値域にあるwについて
AA'w=w　となる
（Aは全射でないから）

但し一般にA'Av=vとはならない
（Aは単射とはかぎらないから）
0269１３２人目の素数さん
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2020/08/13(木) 16:56:06.81ID:RBrrjuJv
連立一次方程式で、解が無数にある場合
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってるが
　そもそも方程式で定められる線形写像が単射でない

連立一次方程式で、解が存在しない存在
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってない
　（方程式で定められる線形写像が全射でないため）
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