純粋・応用数学(含むガロア理論)2
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クレレ誌: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである(Neuenschwander 1994, p. 1533)。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。 (引用終り) そこで 現代の純粋・応用数学(含むガロア理論)を目指して 新スレを立てる(^^; <関連過去スレ(含むガロア理論)> ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/ <前スレ> 純粋・応用数学 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/1-
>>53 補足 ここ、味わいましょうね〜!ww w (^^; ”系 1.45. 写像 f : R → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと: ∀U : 開集合, f-11(U) : 開集合. すなわち, 連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” "連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” >>55 コピペじゃなくて自分の言葉でお願いしますね あと、一番下の答えに答えてませんよ? >>49 >Perelmanの論文見たって、どこで使われているか分からないんでしょ。 >じゃあ、どれ見たって使われてないようにしか見えないんだろうから無駄だけど。 >当時のFloerの論文だったら、どれだって使われていると思うが、例えば、 >Floer, A.; Hofer, H.(CH-ETHZ) >Symplectic homology. I. Open sets in Cn. >Math. Z. 215 (1994), no. 1, 37・88. >さようなら。 はい、さいようなら で、下記だよね Floerの論文 見たが、イプシロンデルタないよw(^^; ウソつきだな〜ww(^^ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AC%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%A2%E3%83%BC https://en.wikipedia.org/wiki/Andreas_Floer Andreas Floer Andreas Floer (German: [?flo??]; 23 August 1956 ? 15 May 1991) Posthumous publications Hofer, Helmut. Symplectic homology I: Open sets in C^n (jointly with A. Floer) Math. Zeit. 215, 37?88, 1994. https://eudml.org/doc/174598 EuDML initiative Sympletic homology I. Open Sets in Cn. H. Hofer; A. Floer Mathematische Zeitschrift (1994) Volume: 215, Issue: 1, page 37-88 ISSN: 0025-5874; 1432-1823 Access Full Article Access to full text http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002442353 >>56 ほいよ(^^ 類似の問題あるぜよ やりたければやれww(^^; http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/kougi/07tsuron1.html 数学通論 I (2007年度前期) Tamaru 広大 http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/files/07tsuron.pdf 数学通論 I (2007年度前期) 第 1 章 連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである. 問題 1.41. 次を示せ: (1) f : R → R : x 7→ 2x は x = 0 で連続, (2) 次で定義される写像 g : R → R は x = 0 で連続でない: g(x) := 0 (x < 0), g(x) := 1 (x ? 0). >>53 >定義 1.39. >A ⊂ R とする. >写像 f : A → R が点 a ∈ A で 連続(continuous)とは, 次が成り立つこと: >∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(U(a; δ) ∩ A) ⊂ U(f(a); ε) >定理 1.44. >写像 f : A → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと: >∀U : 開集合, ∃O : 開集合 s.t. f^(-1)(U) = A ∩ O. じゃ、セタ、定理 1.44を証明してごらん ん?どうした?白目剥いて泡ふいてwwwwwww >>58 あなた自身の説明を聞きたいですね もしかして、わからないのですか…? >>60 >>53 の引用は抜けがあるね 定義 1.42. 写像 f : A → R が 連続 とは, 次が成り立つこと: ∀a ∈ A, f は a で連続 当たり前だけど、こういうの抜く人は、 定義 1.39 と 定理 1.44 を見ても 何をどう証明するのか分らんで悶死するw >>62 セタは、>>53 でリンクした文章、読んでないだろw なんで、肝心なRの開集合の定義を洩らすんだ? 定義 1.11. A ⊂ R に対して, A が R の中の 開集合 とは, 次が成り立つこと: ∀a ∈ A,∃ε > 0 : U(a; ε) ⊂ A. じゃ、>>60 の問題(定理 1.44の証明) 解くように 解けないうちは落ちこぼれのまんまだぞ! 瀬田はなにかというとペレルマンペレルマンだが、ペレルマンから何かを学んだ気でいるのか? εδもわからないアホが学べるとでも思ってるのか? >>63 そのまえにこれ、解かないとダメだな 定理 1.15. O を R の中の開集合全体の成す集合族とする. このとき次が成り立つ: (1) ∅, R ∈ O, (2) O1, . . . , On ∈ O ⇒ ∩(i=1~n)Oi ∈ O, (3) ∀λ ∈ Λ, Oλ ∈ O ⇒ ∪(λ∈Λ)Oλ ∈ O. 定理1.15は、定義1.11による開集合の定義が 一般の位相空間の開集合の性質を満たす という意味だな 必須 じゃ解いてみw >>64 >なにかというとペレルマンペレルマンだが セタはミーハーだからw ペレルマンどころか、スメールの定理(高次元ポアンカレ予想) いや、ホイットニーのトリック(※)すらムリ (※n次元の多様体を2n次元空間に埋め込むのに必須) >>58 文字化け訂正 http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/files/07tsuron.pdf 数学通論 I (2007年度前期) 第 1 章 連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである. 問題 1.41. 次を示せ: (1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続, (2) 次で定義される写像 g : R → R は x = 0 で連続でない: g(x) := 0 (x < 0), g(x) := 1 (x >= 0). まあ、原文見ればわかるけどな(^^; 私たちはもうなにもみなくてもわかってるんですけどw わかってないのは、スレ主さんと安達さんだけですよ? で、コピペしか出てこないということは、わからないということで良いですか? >>68 問題 1.41. 次を示せ: (1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続, (>>55 より) "連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” 逆像を考える 開区間 y :=(-1,+1)の逆像は ↓ x =(-1/2,+1/2) であるから ”逆像が開集合”成立! QED w(^^; >>71 >開区間 >y :=(-1,+1)の逆像は > ↓ >x =(-1/2,+1/2) >であるから >”逆像が開集合”成立! >QED w(^^; アホw 任意の開集合について、その逆像が開集合だと示さないと証明にならないぞw で、上記の関数はあまりにチョロいので 以下でやってみてくれ( ̄ー ̄)ニヤリ 問題. 次を示せ: (1) f : R → R : x → x^2 は x = 0 で連続, 数学掲示板群 ttp://x0000.net/forum.aspx?id=1 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net 数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学 IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など PS 連続と離散を統一した! ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0 微分幾何学入門 ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3694-0 スレ主よ、ID:B6UCbhfAが質問少年だ(笑 サル石と同類の池沼だ(笑 >言葉のニュアンスだけで、定義を読まずに自分勝手に考えちゃうと それがお前(笑 「任意だからどんな巨大な数でもいい」と解釈する池沼(笑 >コピペじゃなくて自分の言葉でお願いしますね お前も本をコピペしているだけ(笑 >私たちはもうなにもみなくてもわかってるんですけどw 何も分っていないアホがお前(笑 だーかーらー、はやくεは微小な範囲の任意だと明言してる動画を見つけてくださいよー 安達さんのあげてくれたやつは、どれもεは任意だと言ってますよねぇ ∀ε>0と書いてますよねぇ 何を延々とアホなことを書いているのか(笑 どんな動画や本でも小さなεで説明しているだろ池沼(笑 まだ分らないのか(笑 巨大なεで説明している動画や本があるなら挙げてみろ(笑 「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」 と書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑 ε-δ論法は局所の理論だということすら分っていない池沼(笑 数学ではεは微小な数を表すという常識さえ知らない無知バカ男(笑 任意だから任意でいいですよね なんでそんなことがわからないのでしょうか 任意のという日本語訳を信じていたら英文がfor everyだったときにはキレそうになった 結局全部じゃねーか あっ翻訳君だ! マジレスすると英語でもFor Any – For Every – For Allだから大差ないぞ >>77 >「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」 >と書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑 巨大な数はダメと書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑 >>55 追加(^^ ”一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります!フィルターすげえ!!というのが上の記事の主題になります。” https://cho-san.hatenablog.jp/entry/2018/06/09/234043 ちょーさんメモ出張版 気まぐれブログ 2018-06-09 位相空間上のフィルターの収束 先日位相空間論におけるフィルターの話をpdfにまとめてTwitterに投稿しました filter.pdf https://drive.google.com/file/d/1I0IfshQW5bvpnPTYIHfs5mDC5CKk38k9/view?usp=sharing 詳しい証明などは上のpdf(以下上の記事)に書いたのでここでは簡単な紹介だけしようかと思います。 フィルターとは位相空間論における「点列」を(ある意味で)一般化した概念で題にあるとおりフィルターの収束というものが位相空間において定義できます。 一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります!フィルターすげえ!!というのが上の記事の主題になります。 また上の記事ではその応用としてフィルターを用いてチコノフの定理を証明しています。この証明もフィルターを使えばずいぶんシンプルになるのでフィルター強ええ!!!というのがわかります。 もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。 ∀U∈N(x) ∃N∈N ∀n∈N n>=N⇒xn∈U ただしN(x)はxの近傍系です。 つづく >>83 つづき ここでFN={xn?n>=N}とおいてみましょう。すると上の収束の定義は次のように書き換えられます。 ∀U∈N(x) ∃N∈N FN⊂U これがフィルターで書いた場合の収束であり、上の記事の中でいう命題2.3です。つまりフィルター基底B={FN?N∈N}の収束をみているわけです。 このように点列の収束は集合の包含関係で書き換えられます。さらにこの形で書けばFNが点列である必要すらなくね?という発想に至りこれを一般の集合で書き直すことでフィルターの定義にたどり着きます。 (この辺りの「具体的な抽象化の過程」は上の記事では触れなかったのでここで書いておくことにしました。) フィルターの感覚はだいたいそんな感じです。こうして定義されたフィルターを用いると最初に書いたような強い結果が色々得られるのですがその辺の詳しいところは上の記事を見てください。 今回なぜ自分が上の記事を書いたかというとフィルターについての初等的な文献があまりないような気がしたからです。それでTwitterで「フィルターのpdf書いたら需要ある?」みたいなツイートをしてみたら思ったより反応があったので書くことにしました。 実際、自分がフィルターについて勉強したいと思ったときもどの本に載っているのかわからず、適当な位相空間の本を開いてみるも見つからず、結局大学の本棚にあったブルバキを読んで勉強しました。 森田先生の位相空間と内田位相は位相空間論の参考にしただけでフィルターは出てきませんし、松坂位相でも演習問題で一瞬でてくるだけでしたし、位相のこころでは説明がされてますがこれは読み物なので証明などは詳しくされていません。 また論理と位相ではフィルターについて扱われていますがこれは順序集合におけるフィルターの話(束論での扱い)なので位相空間上での収束などは書かれていませんでした。 要するに上の記事はほとんどブルバキを参考に書かれています。 「クセがある」と名高いブルバキの内容を現代的な記法で書き直し、チコノフの定理を焦点にまとめ直しました。 解析系や幾何系に進んでいるとフィルターはメジャーな道具のように思う(?)のですがどうも文献が少ないです。もしフィルターの平易な文献があれば教えてもらえると嬉しいです。 (引用終り) 以上 全称記号について 任意の:自由に選べる すべての:全部 という珍説をほざいてた奴いたなw たとえば文が 任意の 任意の 任意の …… と続くと汚いから 任意の すべての 各 …… というように書いてあるだけであって 意味は同じなんだよ 同じ全称記号なのに 任意のとすべてのでは意味が違うなんていう珍説は 日本語をおざなりにしている高校数学バカらしい発想だったわ >>83-84 (引用開始) ”もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。 ∀U∈N(x) ∃N∈N ̄ ∀n∈N ̄ n>=N⇒xn∈U ただしN(x)はxの近傍系です。 ここでFN={xn?n>=N}とおいてみましょう。すると上の収束の定義は次のように書き換えられます。 ∀U∈N(x) ∃N∈N ̄ FN⊂U これがフィルターで書いた場合の収束であり、上の記事の中でいう命題2.3です。つまりフィルター基底B={FN?N∈N ̄}の収束をみているわけです。 このように点列の収束は集合の包含関係で書き換えられます。さらにこの形で書けばFNが点列である必要すらなくね?という発想に至りこれを一般の集合で書き直すことでフィルターの定義にたどり着きます。 (この辺りの「具体的な抽象化の過程」は上の記事では触れなかったのでここで書いておくことにしました。)” (引用終り) なるほど そうだったのか〜!(^^; >>78 だから巨大なεで説明している動画や本があるなら挙げてみよ(笑 「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」 と書いてある本があるなら挙げてみよ(笑 どんな動画も小さなεで説明しているし、 wikipediaにもεは数学で非常に小さな数を表すと書いてある(笑 εは小さな数というのが常識だから、いちいち 「任意の小さなε」と書かれていないだけなのである(笑 お前のようなアホが数学をやると、こうなる(笑 εは任意、だから幾らでも小さい値をとることができる。 そこがポイントなんだがね。 しかし、その大きさ自体を議論しても意味がない。 極限の議論において、その絶対値には意味がないからだ。 “巨大なε”、だの、“εは小さな数というのが常識”、だのと言っていることが、 ああ、こいつはわかっていないんだな、と突っ込まれている。 いい加減に気がつけ。 >>87 例えば, ε = 1/2 において, δ が決 定できたなら, 自動的に, ε = 1 や ε = 100 など, 1/2 より大きい ε についても, δ が決定できたことになるの で, 考察する必要はない. https://www.rms2005.org/cgi-bin/lime/lime.cgi?0018 7pの例2.5を見てください εは100をとっても良いと書かれていますね >>86 そんなしょうもない美意識のために論理的な分かりやすさを犠牲にして悦に入っているから 外国に後れを取るんじゃないか? 全部はわかりやすいけど、任意はわかりづらいと感じるような人はレベルが低いだけだと思いますけどねぇ >>87 追加 http://tetobourbaki はてなぶろぐ /entry/2018/07/11/191714 記号の世界? 20180711 位相空間論とフィルター数学 位相空間論の性質を論じるにあたって,フィルターが非常に便利です.この記事では,フィルターの使い方を解説します. 最初の節では,フィルターやフィルターの収束を定義します.位相空間の基本的な用語をフィルターで言い換えていきます. 次の節では,コンパクト性やハウスドルフ性に関する性質を見ていきます.特に,コンパクト空間の直積空間がコンパクトであるというチコノフの定理を証明します. この記事の議論を見れば,今回の話は位相空間である必要はなくて単にフィルターの収束が決まっていればいいのではないかと思われると思います.実際にその通りで,位相空間を一般化した収束空間というものがあります.収束空間は少し難しいので,最後の節では位相空間より少しだけ一般化した前位相空間について解説します.前位相空間を勉強すると,位相空間の公理の理解も深まります. (以下,口調が変わります.) フィルターの収束 コンパクトとハウスドルフ コンパクト性 ハウスドルフ性 前位相空間 参考文献 前位相空間 今回の記事の議論では,フィルターの収束だけで様々なことが言えた.フィルターの収束は近傍系から定義できる.そこで近傍系を一般化しても,収束だけで様々なことが議論できるということが想像できる.そのようなモチベーションで一般化したものが前位相空間である. 参考文献 フィルターを使った議論に興味を持たれた方には. 柴田敏男『集合と位相空間』(共立出版) N. Bourbaki, "General Topology" をオススメする.私が書いたpdfでよければ, https://drive.google.com/file/d/1Z3smrJluBWoe_hkhiMfImPw9LhKiL7jz/view フィルターと一様構造 Love ブルバキ (@lovebourbaki) つづく >>91 君、本当は英語で書かれた数学の本または論文を読んだことないだろ ところで、君だったら"For Any"をどう翻訳するかね? 自分が一番じゃないと嫌な人間にとっては競争相手を混乱させるために 分かりづらいほうが都合がいいんだろうけど >>93 つづき (追記)一通り書き終わってからの感想をいうと,手を動かしていくと,どん どん分かっていきます.多くの議論がフィルターの直感的な議論で難しくなく理 解できます.普通,位相空間というといろいろな用語が出てきて混乱しがちだと 思いますが,この pdf のやり方だとフィルターに慣れてしまえば一貫して似たよ うな議論をするだけなので難しくなくなります. http://unununum. はてなぶろぐ/entry/2017/08/11/194942 uniのスケッチノート 2017-08-11 フィルターとネットの基本事項 https://www.dropbox.com/s/adelh61roc554b6/Filter_Net%28ver.2.0%29.pdf?dl=0 目次 4.6 圏論的視点からの考察 (引用終り) 以上 >>89 そこがポイントだということを質問少年その他は分っていないのである(笑 ただ任意と書いてあるから「どんな巨大な数でもいい」と主張しているだけなのだ(笑 εは小さくなければ意味がないということも分らず 「任意だから」「どんな巨大な数でもいい」と主張しているだけなのである(笑 僕は巨大なεを取ってはいけないとか、 巨大なεを取るのは論理的に間違いだ、と言っているのではない(笑 最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない、と言っているのだ(笑 しかし最終的には小さなεでないと連続も極限も証明できないのだから、 最初から小さなεだけを考えればよいと言っているのである(笑 質問少年その他が「最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない」という意味で、 「任意だからどんな巨大な数でもいい」と言っているなら それは僕と同じだから、論争する必要はないのだ(笑 ところがこの少年たちはそれとは違う意味で 「任意だからどんな巨大な数でもいい」と主張しているのである(笑 で、どんな意味でそう主張しているのかと訊いても答えない(笑 >>97 それがFor Every"や"For All"と同じ意味で使われることについてはどう思う? 任意の事情聴取が事実上の強制であるように 数学用語の任意は字句通りに受け取ってはいけないということ それだけだ >>99 ニュアンスがちょっとづつずれてると思う 真面目に調べたことないからはっきりは分からないけれど >>101 数学的には同じ意味です が、>>86 と全く同じ理由で書き分けられます もう少し英語の文献でも勉強しましょうね >>102 ネイティブの外人は案外ちゃんと書き分けてるかもよ? >>103 ほう、それは面白い では、ソースを出してください >>104 それは書いた本人に聞かないと意図があったかどうか分からん >>103 君のためにFor Any – For Every – For Allが同じ意味で使われることのソースを貼っておこうか ググればすぐ出てくるが https://teachingcalculus.com/2012/08/20/for-any-for-every-for-all/ >>96 追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_ (%E6%95%B0%E5%AD%A6) フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学 (general topology) の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル(英語版)である。 類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。 目次 1 歴史 2 定義 3 写像とフィルター 4 冪集合の上のフィルター 4.1 例 4.2 モデル理論におけるフィルター 4.3 超積 4.4 位相幾何学におけるフィルター 4.5 一様空間におけるフィルター 5 他分野への応用 5.1 社会選択理論 (経済学) におけるフィルター 歴史 1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」[1]の草稿に関して議論がなされた。その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが(下の#位相幾何学におけるフィルターも参照)、この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである[2]。 フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文[3][4]である。 >>106 意味じゃなくてニュアンスの話なんだが… >>108 数学でニュアンスは重要ですか? 意味が同じなら別の記号や言葉を使ってもいいのが数学の良いところでしょ? >>107 追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F 有向点族(ゆうこうてんぞく、directed family of points)とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である(可算または非可算な)有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の2つがある: 点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定(第一可算公理など)を課さねばならなくなる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。 複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。 特に重要なのは、開集合、閉包、連続性などの位相構造に関する概念を有向点族の収束性で特徴づけられる事である。それに対し点列の場合はその添え字の可算性ゆえ、同様の特徴づけを行うには空間の方にも可算性に関する条件が必要となる(詳細は列型空間を参照)。 なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である(詳細後述)事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。 点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。 https://en.wikipedia.org/wiki/Net_ (mathematics) Net (mathematics) >>109 数学の予想が面白いかどうかとか哲学的にどうとか言ってる数学者にとっては ニュアンスも大事なんじゃねーの? >>98 >質問少年その他が「最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない」という意味で、 >「任意だからどんな巨大な数でもいい」と言っているなら >それは僕と同じだから、論争する必要はないのだ(笑 >ところがこの少年たちはそれとは違う意味で >「任意だからどんな巨大な数でもいい」と主張しているのである(笑 >で、どんな意味でそう主張しているのかと訊いても答えない(笑 なーーーーーるほど!!! ようやくわかりましたよ、安達さん 安達理論の根本のところは、任意でも微笑とか巨大でもなく、”最初”という部分です だから話が通じないんですね 安達さんにとっては、εδ論法とは、どんどんεを小さくしていき、それぞれのεに対してδが存在するかを確かめていく一連の操作を表しているのですね ちょうど、よくある説明にあるように、動画の説明をそのまま鵜呑みにしている εは巨大でいい、と言った時点で、εを小さくしていく操作が含まれていないように聞こえてしまって、だから安達さんは延々とイヤイヤイヤイヤ言っている >>113 そう感じただけ ただの数式以上のものを求めている感じがするんだよね >>110 例えば, ε = 1/2 において, δ が決 定できたなら, 自動的に, ε = 1 や ε = 100 など, 1/2 より大きい ε についても, δ が決定できたことになるの で, 考察する必要はない. https://www.rms2005.org/cgi-bin/lime/lime.cgi?0018 7pの例2.5を見てください ε=100でも良いと書かれていますが、どう思いますか? >>115 妄想で批判的な意見を書き込むのはいただけないな >>117 別に数学者を批判しているわけじゃないが 割とロマンチストなのかとは思うけど >>118 そこじゃない 妄想で>>91 や>>95 のようなことを書いていたでしょ? >>120 根拠がないじゃん? 実際>>91 は>>102 で論破されたでしょ? >>121 ここで論破したからって本職の数学者に直に質問して実はそうなんだよ〜みたいなこと言われたら 意味ないじゃん? >>122 それも妄想か仮定の話じゃん? 君の主張には根拠がないじゃん? そもそも翻訳に文句を言うくらいなら、最初から英語の文献で勉強すればよくね 任意ってのは「どれでも」「どのひとつを取っても」という意味。 ∀ε>0 なら「(0,∞)∩Rのどの元を取っても」となる。 極限の定義なら「(0,∞)∩Rのどの元を取ってもそれに対しδが存在して・・・」となる。 だから(0,∞)∩Rの特定の元にだけ言及してもナンセンス。 分かったか?安達 >だから(0,∞)∩Rの特定の元にだけ言及してもナンセンス。 なんだから「εとして最初は・・・」なる安達の発言はまったく解かってない証拠。 そもそも安達は「最初は・・・」と言うくせに「最後は・・・」は決して言わないw >>98 だから…。 最初から考える小さなεって何よ? それがお前が解ってない証拠なんだよ。 セタは昨夜 「εδがなんだ!俺様にはフィルタがある!」 と発●してたが、結局 「εδが分らん馬鹿はフィルタもやっぱり全然分かっとらん」 と露見w https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592600706/86-87 工学部の落ちこぼれには大学数学は到底ムリだから綺麗さっぱり諦めろwww >>112 >安達理論の根本のところは、任意でも微笑とか巨大でもなく、”最初”という部分です バカか、お前は(笑 話が通じないのはそんな部分ではない(笑 で、お前らはどんな意味で任意だからどんな巨大な数でもいい」 と主張しているのか(笑 もうその理由は分っている、「任意」だからだ(笑 「εは任意の正数」という、ただそれだけの理由で、 お前らは「どんな巨大な数でもいい」と主張しているのだ(笑 アホくさ(笑 >>129 >最初から考える小さなεって何よ? そんな質問をすること自体、お前が何も分っていない証拠(笑 >>98 >最初から小さなεだけを考えればよいと言っているのである 無意味w どれだけ小さなεを考えても、必ずそれより小さなε’が無数にある 安達が死ぬほど嫌いな、集合の濃度でいえば 「(0,∞)において、ε以上の数の全体と、ε未満の数の全体は同濃度」 なんだよw >>11 補足 > 3.現代数学においては、εδは 位相空間論とか圏論とか、そのた収束を扱う より高度な、かつ分り易く本質的な概念で置き換えられている 補足 まあ、下記の”極限 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹 (2012?) ”でも、どぞ ”通常の数列の極限”が、圏論的視点から抽象化され、”本質的な概念で置き換えられている”ってことです(^^; http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/ ~matsu/profile.html 氏名: 松田 茂樹 (まつだ しげき) 所属: 千葉大学理学部数学・情報数理学科 http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/ ~matsu/math/index.html 数学の話題 http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/ ~matsu/math/limit.pdf 極限 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹 (2012?) 千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文 P15 (2.4.25). 通常の数列の極限でも, 収束する数列の無限部分列は同じ値に収束した。類似の命題が逆系や順系の極限についても成立する。 >>131 >>最初から考える小さなεって何よ? >そんな質問をすること自体、お前が何も分っていない証拠(笑 はい、また逃亡 >>134 じゃ、圏論による数列の収束の定義、書いてみて( ̄ー ̄)ニヤリ 書けるでしょ? だからいってるじゃない わけもわからず道に落ちてるもの拾って食うなって ハラ壊すよw >>131 安達さん、数学ではですね、εδはεを小さくしていく仮定ではないのです 任意のεに対して、あるδが存在するというその関係だけが大事なのですよ だんだんεを小さくしていくという様子は、どこにもありません どんな意味で任意と言っているのか そのままの意味です εδは、εをどんどん小さくしていく過程ではないのですから、任意のεを取ってきてそれに対応するδを見出すことができることを示すことさえできれば良いのです ID:hoayWjrE ID:lKx1j1Nu で、最初から小さなεだけを考えればよい、 ということはわかりますか(笑 で、任意のεの意味はわかりましたか(笑 で、最初から考える小さなεはわかりましたか(笑 分ったら教えてくださいねー(ゲラゲラ ID:2Oslh1MN で、任意のεに対して、あるδが存在するかどうかは、 巨大なεではわからない、ということはわかりますか(笑 で、任意のεを取ってきてそれに対応するδを見出すことは 巨大なεでは示せないということはわかりますか(笑 で、巨大なεでは連続も極限も極限も示せない、 ということはわかりますか(笑 で、 >なぜε-N論法やε-δ論法で数列や関数の極限が示せるのか の答えはわかりましたか(笑 分ったら教えてくださいねー(ゲラゲラ Ε wikipedia 小文字の「ε」は 数学で、ε-δ論法などで見られるように非常に小さな数を表す記号としてよく用いられる。 「非常に小さな数」とは書いてありますが 「任意の数」とは書いてないですよー(笑 「フツーの数」とか「巨大な数」とは書いてないですよー(笑 わかりますか(笑 わからないんですね(ゲラゲラ 例えば, ε = 1/2 において, δ が決 定できたなら, 自動的に, ε = 1 や ε = 100 など, 1/2 より大きい ε についても, δ が決定できたことになるの で, 考察する必要はない. https://www.rms2005.org/cgi-bin/lime/lime.cgi?0018 7pの例2.5を見てください もう一度貼っておきましょうかね 大きなεでもδはあるのですよ 安達さんのそもそもの間違えは、εが微小だと考えてることではなく、εδがεをどんどん小さくしていきながら代入していく操作だと考えているところにあります 安達君、ε-δやε-Nの議論では固定した正の実数εに対して正の実数δまたは固定したεに対して自然数Nを定めた後、 議論の最後に固定した正の実数εを変数扱いして自由に走らせることが出来る。 これが任意の正の実数εに対して或る……という意味である。 >>144 >εδがεをどんどん小さくしていきながら代入していく操作 εδの確認を「反例探しの失敗の連鎖」と考えるなら、あながち間違ってない あるε1でδ1が存在し、反例でないことがわかった 次に反例を探すとしたら、ε1より小さいε2だろう で、ε2でδ2が存在し、反例でないことがわかった 次に反例を探すとしたら、ε2より小さいε3だろう だからどんどん小さくしていくのは間違ってない ただ、それだけではダメだがね いかなるε>0についても必ずあるεnが存在して ε>εnとなるように、小さくしていかなくてはならない 正確には、「固定した」は「任意に固定した」である。 で、εδが位相的なものとか圏論とかで全て置き換えられるなら、ランダウの記号とかももちろんその方向で扱えるんだよね? どう置き換えるのか説明してよ。 もちろん定義を置き換えるだけでなく、証明全体を置き換えられるようにね。 εδ使わないで。 >>146 そんな考えは少しでも認めてはいけませんよ 無限に代入する操作なんて永遠に終わることのないのですから 安達さんの可能無限観を認めることにもつながるので、少しの妥協も許されません >大きなεでもδはあるのですよ 当り前ですよー(ゲラゲラ ID:hFJ/0qDD そんなことは誰でも分っている(笑 ところが質問少年その他の池沼は分っていないのだ(笑 その証拠に >なぜε-N論法やε-δ論法で数列や関数の極限が示せるのか という質問に一度も答えていない(笑 はぁ? なら別にいいってことですよね?ε大きくても εは別に微小である必要ないですよね? >>150 もちろん、無限回の代入を証明として認めるつもりはない ただ、「0より大きい最小の実数が存在しない」という 基本的なことがわかってないようなので、あえて書かせていただいた 妥協ではなく、むしろ教育的指導 >>141 >で、最初から小さなεだけを考えればよい、 >ということはわかりますか(笑 小さなεって何ですか? 最初から?最後はどうなるの? 早く答えてねー また逃亡ですかー? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.1 2024/04/28 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる