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純粋・応用数学(含むガロア理論)2
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0001132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/19(金) 23:54:58.88ID:imq2ACd0
クレレ誌:
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである(Neuenschwander 1994, p. 1533)。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学(含むガロア理論)を目指して
新スレを立てる(^^;

<関連過去スレ(含むガロア理論)>
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

<前スレ>
純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/1-
0039132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 12:40:30.15ID:gxQjJnHj
>>34
ペレルマンの論文でいくらでも使われてるじゃん。
デルタが出てこないから使ってない使ってないという主張?
まあいいや。論文読む能力ないみたいだし、がんばって。
0040132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 12:44:19.13ID:B6UCbhfA
あと、圏論てあまり詳しくないんですけど、その意味での極限って関数の極限値とかと全く無関係だと思うんですけどどうなんでしょうね?
0042132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 12:51:13.71ID:ep4rDk8N
>>40
関係ないですね
馬鹿は同じ言葉=同じ意味と脊髄反射するので
次から次へとトンデモ発言しちゃいますw
0043132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 12:55:05.74ID:B6UCbhfA
やはりそうですか

安達さんみたいな感じですね

言葉のニュアンスだけで、定義を読まずに自分勝手に考えちゃうと
0044132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 12:55:57.01ID:ep4rDk8N
さて、ガロア理論について語らないなら
虚偽のタイトルという理由で
このスレッドの削除申請をさせていただく

そもそも群論の初歩も理解できない人が
ガロア理論と名のつくスレッドを立てる時点で
重大な荒らし行為だがね
0045現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/06/20(土) 12:59:18.22ID:OXXW5633
>>23-24
>ついでに。例えばポアンカレ予想の証明だってイプシロンデルタ使われているが。
>もう一つくらい例あげると、シンプレクティック幾何の発展の基礎となったフレアの一連の論文とかだってイプシロンデルタ使われてるよ。

あれあれ?
ぼくちゃん、どうしたの?
 (>>34より)
"「ポアンカレ予想」のペレルマンの論文中には、イプシロンデルタ無いよ。いま念のために確認したがないぜ(^^;
 ”シンプレクティック幾何の発展の基礎となったフレアの一連の論文とかだってイプシロンデルタ使われてるよ” って、どれ?
具体的に"

で、逃げの一手(>>39&)かよwww
笑えるぜ(^^
0046現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 13:00:11.33ID:OXXW5633
>>45 タイポ訂正

で、逃げの一手(>>39&)かよwww
 ↓
で、逃げの一手(>>39)かよwww
0047132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 13:00:16.03ID:ep4rDk8N
>>43
はっきりいって同類ですが
ヘタに現代数学をありがたがってる分
セタのほうがはるかに悪質です

こういう人が有名国立大学を出たというだけで
出世して部下に対して独善的なこといってると思うと
日本は終わったなと思いますね
中国・韓国だけじゃなく東南アジアにもごぼう抜きされますね
ミャンマーとかラオスとかも油断できませんよ
ちなみに齋藤飛鳥は好きです(なんだそりゃ?)
0048132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 13:03:25.56ID:B6UCbhfA
>>46
>>37の質問にもレスの方をよろしくお願いしますね
0049132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 13:19:19.20ID:gxQjJnHj
>>45
Perelmanの論文見たって、どこで使われているか分からないんでしょ。
じゃあ、どれ見たって使われてないようにしか見えないんだろうから無駄だけど。
当時のFloerの論文だったら、どれだって使われていると思うが、例えば、
Floer, A.; Hofer, H.(CH-ETHZ)
Symplectic homology. I. Open sets in Cn.
Math. Z. 215 (1994), no. 1, 3788.

さようなら。
0050現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 14:06:44.96ID:OXXW5633
age
0051132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 14:29:02.59ID:ejsStxc8
>>50
>>37よろしくお願いしますね
0052現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/06/20(土) 14:43:28.42ID:OXXW5633
>>37
ほいよ、w(^^;
https://ja.wikipedia.org/wiki/位相空間
目次
1 概要
1.1 位相空間と距離空間
2.1 開集合を使った特徴づけ
3 具体例
7 収束
7.1 点列の収束
7.2 連続性との関係
7.4 一般化
7.5 一様連続と一様収束
9 位相空間の導出
10 基本近傍系
11 位相の生成、開基、準開基
11.1 準開基
11.2 開基
12.1 分離公理
12.2 連結性
12.4 可算公理と可分
12.4.1 性質と例
12.5 距離化可能性
12.6 この他の諸性質
13.1 連続体論
14 歴史

連続写像
Y の開集合のf による逆像が必ず開集合になるとき、f は連続であるという。
以下が成立する
X、Y が距離空間である場合、前述した連続性の定義はイプシロン・デルタ論法による連続性の定義と同値である。
0053現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 15:01:36.70ID:OXXW5633
>>37
ほいよ(^^

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/kougi/07tsuron1.html
数学通論 I (2007年度前期) Tamaru 広大
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/07tsuron.pdf
数学通論 I (2007年度前期)
第 1 章
実数
本章では実数に関する諸概念を学ぶ. ここで学んだ概念は, 後に距離空間や位相空間に
対して拡張される. いきなり距離空間・位相空間を扱うと抽象的になり過ぎてしまうこと
が多々あるので, その準備として, まずここで実数の場合を扱う.

1.5 連続写像
実数や距離空間や位相空間において, 連続写像は非常に重要な概念である. これは, 線
型空間において線型写像が重要であったことと同様. このように, 集合(とその上の構造)
と写像(でその構造と合致するもの)を合わせて考えることは, 現代数学では非常に基本
的な考え方である

定義 1.39. A ⊂ R とする. 写像 f : A → R が点 a ∈ A で 連続(continuous)とは, 次
が成り立つこと: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(U(a; δ) ∩ A) ⊂ U(f(a); ε).
この連続の定義は, 解析学などでは次のように書かれることが多い.
問題 1.40. 写像 f : R → R が点 a ∈ R で連続であることと, 次が同値であることを示
せ: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x ? a| < δ ⇒ |f(x) ? f(a)| < ε.
連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである.

定理 1.44. 写像 f : A → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと:
∀U : 開集合, ∃O : 開集合 s.t. f?1(U) = A ∩ O.

系 1.45. 写像 f : R → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと:
∀U : 開集合, f?1(U) : 開集合.
すなわち, 連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの
大きな意味がある. 1 つは, ε ? δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって
連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され
たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を
自然に定義することができる.
0054現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 15:02:24.51ID:OXXW5633
>>37
ほいよ
嫁めw(^^;

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%96%93
実数空間

目次
1 定義
2 性質と構造
2.1 位相構造

位相構造
Rn の標準位相、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる位相は、定義節に言うように単に直積集合と見ただけでは出てくる構造ではない。これはユークリッド距離の誘導する自然な位相(英語版)に一致する。
すなわち Rn の部分集合が開であるとは、その部分集合の各点においてその点を中心とする適当な開球体をその部分集合が必ず含むことをいう。
0055現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 15:04:36.77ID:OXXW5633
>>53 補足

ここ、味わいましょうね〜!ww
w
(^^;

”系 1.45. 写像 f : R → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと:
∀U : 開集合, f-11(U) : 開集合.
すなわち, 連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの
大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって
連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され
たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を
自然に定義することができる.”

"連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの
大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって
連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され
たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を
自然に定義することができる.”
0056132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 15:06:33.74ID:ejsStxc8
>>55
コピペじゃなくて自分の言葉でお願いしますね

あと、一番下の答えに答えてませんよ?
0057現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 16:03:40.59ID:OXXW5633
>>49
>Perelmanの論文見たって、どこで使われているか分からないんでしょ。
>じゃあ、どれ見たって使われてないようにしか見えないんだろうから無駄だけど。
>当時のFloerの論文だったら、どれだって使われていると思うが、例えば、
>Floer, A.; Hofer, H.(CH-ETHZ)
>Symplectic homology. I. Open sets in Cn.
>Math. Z. 215 (1994), no. 1, 37・88.
>さようなら。

はい、さいようなら
で、下記だよね Floerの論文
見たが、イプシロンデルタないよw(^^;
ウソつきだな〜ww(^^

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AC%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%A2%E3%83%BC
https://en.wikipedia.org/wiki/Andreas_Floer
Andreas Floer
Andreas Floer (German: [?flo??]; 23 August 1956 ? 15 May 1991)
Posthumous publications
Hofer, Helmut. Symplectic homology I: Open sets in C^n (jointly with A. Floer) Math. Zeit. 215, 37?88, 1994.

https://eudml.org/doc/174598
EuDML initiative
Sympletic homology I. Open Sets in Cn.
H. Hofer; A. Floer

Mathematische Zeitschrift (1994)

Volume: 215, Issue: 1, page 37-88
ISSN: 0025-5874; 1432-1823

Access Full Article
Access to full text
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002442353
0058現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 16:06:51.92ID:OXXW5633
>>56
ほいよ(^^
類似の問題あるぜよ
やりたければやれww(^^;

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/kougi/07tsuron1.html
数学通論 I (2007年度前期) Tamaru 広大
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/07tsuron.pdf
数学通論 I (2007年度前期)
第 1 章

連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである.
問題 1.41. 次を示せ:
(1) f : R → R : x 7→ 2x は x = 0 で連続,
(2) 次で定義される写像 g : R → R は x = 0 で連続でない: g(x) := 0 (x < 0),
g(x) := 1 (x ? 0).
0060132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 16:29:37.61ID:ep4rDk8N
>>53
>定義 1.39.
>A ⊂ R とする.
>写像 f : A → R が点 a ∈ A で 連続(continuous)とは, 次が成り立つこと:
>∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(U(a; δ) ∩ A) ⊂ U(f(a); ε)

>定理 1.44.
>写像 f : A → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと:
>∀U : 開集合, ∃O : 開集合 s.t. f^(-1)(U) = A ∩ O.

じゃ、セタ、定理 1.44を証明してごらん

ん?どうした?白目剥いて泡ふいてwwwwwww
0061132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 16:30:42.99ID:ejsStxc8
>>58
あなた自身の説明を聞きたいですね

もしかして、わからないのですか…?
0062132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 16:38:52.66ID:ep4rDk8N
>>60
>>53の引用は抜けがあるね

定義 1.42.
写像 f : A → R が 連続 とは, 次が成り立つこと:
∀a ∈ A, f は a で連続

当たり前だけど、こういうの抜く人は、
定義 1.39 と 定理 1.44 を見ても
何をどう証明するのか分らんで悶死するw
0063132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 16:44:12.84ID:ep4rDk8N
>>62
セタは、>>53でリンクした文章、読んでないだろw
なんで、肝心なRの開集合の定義を洩らすんだ?

定義 1.11.
A ⊂ R に対して, A が R の中の 開集合 とは, 次が成り立つこと:
∀a ∈ A,∃ε > 0 : U(a; ε) ⊂ A.

じゃ、>>60の問題(定理 1.44の証明) 解くように

解けないうちは落ちこぼれのまんまだぞ!
0064132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 16:51:18.76ID:0ts11Drz
瀬田はなにかというとペレルマンペレルマンだが、ペレルマンから何かを学んだ気でいるのか?
εδもわからないアホが学べるとでも思ってるのか?
0065132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 16:53:52.27ID:ep4rDk8N
>>63
そのまえにこれ、解かないとダメだな

定理 1.15.
O を R の中の開集合全体の成す集合族とする. このとき次が成り立つ:
(1) ∅, R ∈ O,
(2) O1, . . . , On ∈ O ⇒ ∩(i=1~n)Oi ∈ O,
(3) ∀λ ∈ Λ, Oλ ∈ O ⇒ ∪(λ∈Λ)Oλ ∈ O.

定理1.15は、定義1.11による開集合の定義が
一般の位相空間の開集合の性質を満たす
という意味だな 必須

じゃ解いてみw
0066132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 17:02:56.03ID:ep4rDk8N
>>64
>なにかというとペレルマンペレルマンだが
セタはミーハーだからw

ペレルマンどころか、スメールの定理(高次元ポアンカレ予想)
いや、ホイットニーのトリック(※)すらムリ
(※n次元の多様体を2n次元空間に埋め込むのに必須)
0068現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 17:59:00.80ID:OXXW5633
>>58 文字化け訂正

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/07tsuron.pdf
数学通論 I (2007年度前期)
第 1 章

連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである.
問題 1.41. 次を示せ:
(1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続,
(2) 次で定義される写像 g : R → R は x = 0 で連続でない: g(x) := 0 (x < 0),
g(x) := 1 (x >= 0).

まあ、原文見ればわかるけどな(^^;
0069132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 17:59:57.89ID:B6UCbhfA
私たちはもうなにもみなくてもわかってるんですけどw

わかってないのは、スレ主さんと安達さんだけですよ?

で、コピペしか出てこないということは、わからないということで良いですか?
0071現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 18:08:37.42ID:OXXW5633
>>68

問題 1.41. 次を示せ:
(1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続,

>>55より)
"連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの
大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって
連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され
たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を
自然に定義することができる.”

逆像を考える
開区間
y :=(-1,+1)の逆像は
 ↓
x =(-1/2,+1/2)
であるから
”逆像が開集合”成立!
QED w(^^;
0072現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 18:09:21.15ID:OXXW5633
>>67
おっちゃん、お休み(^^
0073132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 18:15:28.13ID:ep4rDk8N
>>71
>開区間
>y :=(-1,+1)の逆像は
> ↓
>x =(-1/2,+1/2)
>であるから
>”逆像が開集合”成立!
>QED w(^^;

アホw

任意の開集合について、その逆像が開集合だと示さないと証明にならないぞw

で、上記の関数はあまりにチョロいので
以下でやってみてくれ( ̄ー ̄)ニヤリ

問題. 次を示せ:
(1) f : R → R : x → x^2 は x = 0 で連続,
0074132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 18:58:49.25ID:XT82lghX
数学掲示板群 ttp://x0000.net/forum.aspx?id=1

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0075哀れな素人
垢版 |
2020/06/20(土) 19:19:45.85ID:oTV5FRRf
スレ主よ、ID:B6UCbhfAが質問少年だ(笑
サル石と同類の池沼だ(笑

>言葉のニュアンスだけで、定義を読まずに自分勝手に考えちゃうと
それがお前(笑
「任意だからどんな巨大な数でもいい」と解釈する池沼(笑

>コピペじゃなくて自分の言葉でお願いしますね
お前も本をコピペしているだけ(笑

>私たちはもうなにもみなくてもわかってるんですけどw
何も分っていないアホがお前(笑
0076132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 19:33:56.49ID:B6UCbhfA
だーかーらー、はやくεは微小な範囲の任意だと明言してる動画を見つけてくださいよー

安達さんのあげてくれたやつは、どれもεは任意だと言ってますよねぇ

∀ε>0と書いてますよねぇ
0077哀れな素人
垢版 |
2020/06/20(土) 19:45:18.29ID:oTV5FRRf
何を延々とアホなことを書いているのか(笑
どんな動画や本でも小さなεで説明しているだろ池沼(笑

まだ分らないのか(笑

巨大なεで説明している動画や本があるなら挙げてみろ(笑

「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」
と書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑

ε-δ論法は局所の理論だということすら分っていない池沼(笑
数学ではεは微小な数を表すという常識さえ知らない無知バカ男(笑
0078132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 19:50:10.79ID:B6UCbhfA
任意だから任意でいいですよね

なんでそんなことがわからないのでしょうか
0079132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 20:19:39.99ID:Z0zDgoO+
任意のという日本語訳を信じていたら英文がfor everyだったときにはキレそうになった
結局全部じゃねーか
0080132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 20:30:40.44ID:hsq8T7LL
あっ翻訳君だ!
マジレスすると英語でもFor Any – For Every – For Allだから大差ないぞ
0081132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 20:30:48.63ID:0ts11Drz
安達は広辞苑で任意を引いてみろ
0082132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 20:31:32.28ID:0ts11Drz
>>77
>「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」
>と書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑
巨大な数はダメと書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑
0083現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 21:24:38.95ID:OXXW5633
>>55 追加(^^

”一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります!フィルターすげえ!!というのが上の記事の主題になります。”
https://cho-san.hatenablog.jp/entry/2018/06/09/234043
ちょーさんメモ出張版 気まぐれブログ
2018-06-09
位相空間上のフィルターの収束

先日位相空間論におけるフィルターの話をpdfにまとめてTwitterに投稿しました
filter.pdf https://drive.google.com/file/d/1I0IfshQW5bvpnPTYIHfs5mDC5CKk38k9/view?usp=sharing
詳しい証明などは上のpdf(以下上の記事)に書いたのでここでは簡単な紹介だけしようかと思います。

フィルターとは位相空間論における「点列」を(ある意味で)一般化した概念で題にあるとおりフィルターの収束というものが位相空間において定義できます。

一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります!フィルターすげえ!!というのが上の記事の主題になります。

また上の記事ではその応用としてフィルターを用いてチコノフの定理を証明しています。この証明もフィルターを使えばずいぶんシンプルになるのでフィルター強ええ!!!というのがわかります。

もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。

∀U∈N(x) ∃N∈N ∀n∈N n>=N⇒xn∈U

ただしN(x)はxの近傍系です。

つづく
0084現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/06/20(土) 21:25:32.40ID:OXXW5633
>>83
つづき

ここでFN={xn?n>=N}とおいてみましょう。すると上の収束の定義は次のように書き換えられます。

∀U∈N(x) ∃N∈N FN⊂U

これがフィルターで書いた場合の収束であり、上の記事の中でいう命題2.3です。つまりフィルター基底B={FN?N∈N}の収束をみているわけです。

このように点列の収束は集合の包含関係で書き換えられます。さらにこの形で書けばFNが点列である必要すらなくね?という発想に至りこれを一般の集合で書き直すことでフィルターの定義にたどり着きます。

(この辺りの「具体的な抽象化の過程」は上の記事では触れなかったのでここで書いておくことにしました。)

フィルターの感覚はだいたいそんな感じです。こうして定義されたフィルターを用いると最初に書いたような強い結果が色々得られるのですがその辺の詳しいところは上の記事を見てください。

今回なぜ自分が上の記事を書いたかというとフィルターについての初等的な文献があまりないような気がしたからです。それでTwitterで「フィルターのpdf書いたら需要ある?」みたいなツイートをしてみたら思ったより反応があったので書くことにしました。

実際、自分がフィルターについて勉強したいと思ったときもどの本に載っているのかわからず、適当な位相空間の本を開いてみるも見つからず、結局大学の本棚にあったブルバキを読んで勉強しました。

森田先生の位相空間と内田位相は位相空間論の参考にしただけでフィルターは出てきませんし、松坂位相でも演習問題で一瞬でてくるだけでしたし、位相のこころでは説明がされてますがこれは読み物なので証明などは詳しくされていません。
また論理と位相ではフィルターについて扱われていますがこれは順序集合におけるフィルターの話(束論での扱い)なので位相空間上での収束などは書かれていませんでした。

要するに上の記事はほとんどブルバキを参考に書かれています。
「クセがある」と名高いブルバキの内容を現代的な記法で書き直し、チコノフの定理を焦点にまとめ直しました。

解析系や幾何系に進んでいるとフィルターはメジャーな道具のように思う(?)のですがどうも文献が少ないです。もしフィルターの平易な文献があれば教えてもらえると嬉しいです。
(引用終り)
以上
0085132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 21:28:30.88ID:Knd5V/HY
全称記号について

任意の:自由に選べる
すべての:全部

という珍説をほざいてた奴いたなw
0086132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 21:32:38.88ID:Knd5V/HY
たとえば文が

任意の
任意の
任意の
……

と続くと汚いから

任意の
すべての

……

というように書いてあるだけであって
意味は同じなんだよ
同じ全称記号なのに
任意のとすべてのでは意味が違うなんていう珍説は
日本語をおざなりにしている高校数学バカらしい発想だったわ
0087現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/06/20(土) 21:42:23.84ID:OXXW5633
>>83-84
(引用開始)
”もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。
∀U∈N(x) ∃N∈N ̄ ∀n∈N ̄ n>=N⇒xn∈U
ただしN(x)はxの近傍系です。
ここでFN={xn?n>=N}とおいてみましょう。すると上の収束の定義は次のように書き換えられます。
∀U∈N(x) ∃N∈N ̄ FN⊂U
これがフィルターで書いた場合の収束であり、上の記事の中でいう命題2.3です。つまりフィルター基底B={FN?N∈N ̄}の収束をみているわけです。
このように点列の収束は集合の包含関係で書き換えられます。さらにこの形で書けばFNが点列である必要すらなくね?という発想に至りこれを一般の集合で書き直すことでフィルターの定義にたどり着きます。
(この辺りの「具体的な抽象化の過程」は上の記事では触れなかったのでここで書いておくことにしました。)”
(引用終り)

なるほど
そうだったのか〜!(^^;
0088哀れな素人
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2020/06/20(土) 21:43:37.78ID:oTV5FRRf
>>78
だから巨大なεで説明している動画や本があるなら挙げてみよ(笑

「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」
と書いてある本があるなら挙げてみよ(笑

どんな動画も小さなεで説明しているし、
wikipediaにもεは数学で非常に小さな数を表すと書いてある(笑

εは小さな数というのが常識だから、いちいち
「任意の小さなε」と書かれていないだけなのである(笑

お前のようなアホが数学をやると、こうなる(笑
0089132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 21:55:04.74ID:MuEqw1ti
εは任意、だから幾らでも小さい値をとることができる。
そこがポイントなんだがね。
しかし、その大きさ自体を議論しても意味がない。
極限の議論において、その絶対値には意味がないからだ。
“巨大なε”、だの、“εは小さな数というのが常識”、だのと言っていることが、
ああ、こいつはわかっていないんだな、と突っ込まれている。
いい加減に気がつけ。
0090132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 22:02:13.90ID:B6UCbhfA
>>87


例えば, ε = 1/2 において, δ が決 定できたなら, 自動的に, ε = 1 や ε = 100 など, 1/2 より大きい ε についても, δ が決定できたことになるの で, 考察する必要はない.

https://www.rms2005.org/cgi-bin/lime/lime.cgi?0018
7pの例2.5を見てください



εは100をとっても良いと書かれていますね
0091132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 22:02:57.16ID:Z0zDgoO+
>>86
そんなしょうもない美意識のために論理的な分かりやすさを犠牲にして悦に入っているから
外国に後れを取るんじゃないか?
0092132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 22:04:15.40ID:B6UCbhfA
全部はわかりやすいけど、任意はわかりづらいと感じるような人はレベルが低いだけだと思いますけどねぇ
0093現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/06/20(土) 22:07:02.68ID:OXXW5633
>>87
追加

http://tetobourbakiはてなぶろぐ /entry/2018/07/11/191714
記号の世界?
20180711

位相空間論とフィルター数学

位相空間論の性質を論じるにあたって,フィルターが非常に便利です.この記事では,フィルターの使い方を解説します.

最初の節では,フィルターやフィルターの収束を定義します.位相空間の基本的な用語をフィルターで言い換えていきます.

次の節では,コンパクト性やハウスドルフ性に関する性質を見ていきます.特に,コンパクト空間の直積空間がコンパクトであるというチコノフの定理を証明します.

この記事の議論を見れば,今回の話は位相空間である必要はなくて単にフィルターの収束が決まっていればいいのではないかと思われると思います.実際にその通りで,位相空間を一般化した収束空間というものがあります.収束空間は少し難しいので,最後の節では位相空間より少しだけ一般化した前位相空間について解説します.前位相空間を勉強すると,位相空間の公理の理解も深まります.

(以下,口調が変わります.)

フィルターの収束
コンパクトとハウスドルフ
コンパクト性
ハウスドルフ性
前位相空間
参考文献

前位相空間
今回の記事の議論では,フィルターの収束だけで様々なことが言えた.フィルターの収束は近傍系から定義できる.そこで近傍系を一般化しても,収束だけで様々なことが議論できるということが想像できる.そのようなモチベーションで一般化したものが前位相空間である.

参考文献
フィルターを使った議論に興味を持たれた方には.
柴田敏男『集合と位相空間』(共立出版)
N. Bourbaki, "General Topology"
をオススメする.私が書いたpdfでよければ,
https://drive.google.com/file/d/1Z3smrJluBWoe_hkhiMfImPw9LhKiL7jz/view
フィルターと一様構造
Love ブルバキ (@lovebourbaki)

つづく
0094132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 22:07:27.99ID:hsq8T7LL
>>91
君、本当は英語で書かれた数学の本または論文を読んだことないだろ
ところで、君だったら"For Any"をどう翻訳するかね?
0095132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 22:07:29.61ID:Z0zDgoO+
自分が一番じゃないと嫌な人間にとっては競争相手を混乱させるために
分かりづらいほうが都合がいいんだろうけど
0096現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/06/20(土) 22:07:54.90ID:OXXW5633
>>93
つづき

(追記)一通り書き終わってからの感想をいうと,手を動かしていくと,どん
どん分かっていきます.多くの議論がフィルターの直感的な議論で難しくなく理
解できます.普通,位相空間というといろいろな用語が出てきて混乱しがちだと
思いますが,この pdf のやり方だとフィルターに慣れてしまえば一貫して似たよ
うな議論をするだけなので難しくなくなります.

http://unununum.はてなぶろぐ/entry/2017/08/11/194942
uniのスケッチノート
2017-08-11
フィルターとネットの基本事項

https://www.dropbox.com/s/adelh61roc554b6/Filter_Net%28ver.2.0%29.pdf?dl=0
目次
4.6 圏論的視点からの考察

(引用終り)
以上
0098哀れな素人
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2020/06/20(土) 22:09:31.97ID:oTV5FRRf
>>89
そこがポイントだということを質問少年その他は分っていないのである(笑
ただ任意と書いてあるから「どんな巨大な数でもいい」と主張しているだけなのだ(笑

εは小さくなければ意味がないということも分らず
「任意だから」「どんな巨大な数でもいい」と主張しているだけなのである(笑

僕は巨大なεを取ってはいけないとか、
巨大なεを取るのは論理的に間違いだ、と言っているのではない(笑
最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない、と言っているのだ(笑
しかし最終的には小さなεでないと連続も極限も証明できないのだから、
最初から小さなεだけを考えればよいと言っているのである(笑

質問少年その他が「最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない」という意味で、
「任意だからどんな巨大な数でもいい」と言っているなら
それは僕と同じだから、論争する必要はないのだ(笑
ところがこの少年たちはそれとは違う意味で
「任意だからどんな巨大な数でもいい」と主張しているのである(笑
で、どんな意味でそう主張しているのかと訊いても答えない(笑
0100132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 22:14:32.56ID:Z0zDgoO+
任意の事情聴取が事実上の強制であるように
数学用語の任意は字句通りに受け取ってはいけないということ
それだけだ
0101132人目の素数さん
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2020/06/20(土) 22:17:19.95ID:Z0zDgoO+
>>99
ニュアンスがちょっとづつずれてると思う
真面目に調べたことないからはっきりは分からないけれど
0102132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 22:20:33.06ID:hsq8T7LL
>>101
数学的には同じ意味です
が、>>86と全く同じ理由で書き分けられます
もう少し英語の文献でも勉強しましょうね
0107現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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2020/06/20(土) 22:35:43.47ID:OXXW5633
>>96 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学 (general topology) の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル(英語版)である。

類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。

目次
1 歴史
2 定義
3 写像とフィルター
4 冪集合の上のフィルター
4.1 例
4.2 モデル理論におけるフィルター
4.3 超積
4.4 位相幾何学におけるフィルター
4.5 一様空間におけるフィルター
5 他分野への応用
5.1 社会選択理論 (経済学) におけるフィルター

歴史
1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」[1]の草稿に関して議論がなされた。その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが(下の#位相幾何学におけるフィルターも参照)、この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである[2]。

フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文[3][4]である。
0109132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 22:42:39.43ID:hsq8T7LL
>>108
数学でニュアンスは重要ですか?
意味が同じなら別の記号や言葉を使ってもいいのが数学の良いところでしょ?
0110現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/20(土) 22:43:20.41ID:OXXW5633
>>107 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F
有向点族(ゆうこうてんぞく、directed family of points)とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。

点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である(可算または非可算な)有向集合の元で添え字付けられている。

有向点族の概念の利点として以下の2つがある:

点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定(第一可算公理など)を課さねばならなくなる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。
複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。
特に重要なのは、開集合、閉包、連続性などの位相構造に関する概念を有向点族の収束性で特徴づけられる事である。それに対し点列の場合はその添え字の可算性ゆえ、同様の特徴づけを行うには空間の方にも可算性に関する条件が必要となる(詳細は列型空間を参照)。

なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である(詳細後述)事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。

点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Net_(mathematics)
Net (mathematics)
0111132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 22:48:23.99ID:Z0zDgoO+
>>109
数学の予想が面白いかどうかとか哲学的にどうとか言ってる数学者にとっては
ニュアンスも大事なんじゃねーの?
0112132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 22:49:31.24ID:B6UCbhfA
>>98

>質問少年その他が「最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない」という意味で、
>「任意だからどんな巨大な数でもいい」と言っているなら
>それは僕と同じだから、論争する必要はないのだ(笑
>ところがこの少年たちはそれとは違う意味で
>「任意だからどんな巨大な数でもいい」と主張しているのである(笑
>で、どんな意味でそう主張しているのかと訊いても答えない(笑


なーーーーーるほど!!!


ようやくわかりましたよ、安達さん


安達理論の根本のところは、任意でも微笑とか巨大でもなく、”最初”という部分です

だから話が通じないんですね
0114132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 22:52:28.01ID:B6UCbhfA
安達さんにとっては、εδ論法とは、どんどんεを小さくしていき、それぞれのεに対してδが存在するかを確かめていく一連の操作を表しているのですね

ちょうど、よくある説明にあるように、動画の説明をそのまま鵜呑みにしている

εは巨大でいい、と言った時点で、εを小さくしていく操作が含まれていないように聞こえてしまって、だから安達さんは延々とイヤイヤイヤイヤ言っている
0116132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 23:03:27.59ID:B6UCbhfA
>>110


例えば, ε = 1/2 において, δ が決 定できたなら, 自動的に, ε = 1 や ε = 100 など, 1/2 より大きい ε についても, δ が決定できたことになるの で, 考察する必要はない.

https://www.rms2005.org/cgi-bin/lime/lime.cgi?0018
7pの例2.5を見てください



ε=100でも良いと書かれていますが、どう思いますか?
0122132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 23:24:34.16ID:Z0zDgoO+
>>121
ここで論破したからって本職の数学者に直に質問して実はそうなんだよ〜みたいなこと言われたら
意味ないじゃん?
0123132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 23:25:05.80ID:B6UCbhfA
本職の数学者に質問してきてくださいねー
0126132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 23:37:53.73ID:hsq8T7LL
そもそも翻訳に文句を言うくらいなら、最初から英語の文献で勉強すればよくね
0127132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 00:31:40.89ID:lKx1j1Nu
任意ってのは「どれでも」「どのひとつを取っても」という意味。
∀ε>0 なら「(0,∞)∩Rのどの元を取っても」となる。
極限の定義なら「(0,∞)∩Rのどの元を取ってもそれに対しδが存在して・・・」となる。
だから(0,∞)∩Rの特定の元にだけ言及してもナンセンス。

分かったか?安達
0128132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 00:38:38.14ID:lKx1j1Nu
>だから(0,∞)∩Rの特定の元にだけ言及してもナンセンス。
なんだから「εとして最初は・・・」なる安達の発言はまったく解かってない証拠。
そもそも安達は「最初は・・・」と言うくせに「最後は・・・」は決して言わないw
0129132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 01:41:11.21ID:jZF9pML6
>>98
だから…。
最初から考える小さなεって何よ?

それがお前が解ってない証拠なんだよ。
0131哀れな素人
垢版 |
2020/06/21(日) 07:56:24.31ID:hxVsg0Yn
>>112
>安達理論の根本のところは、任意でも微笑とか巨大でもなく、”最初”という部分です

バカか、お前は(笑
話が通じないのはそんな部分ではない(笑

で、お前らはどんな意味で任意だからどんな巨大な数でもいい」
と主張しているのか(笑

もうその理由は分っている、「任意」だからだ(笑
「εは任意の正数」という、ただそれだけの理由で、
お前らは「どんな巨大な数でもいい」と主張しているのだ(笑

アホくさ(笑

>>129
>最初から考える小さなεって何よ?
そんな質問をすること自体、お前が何も分っていない証拠(笑
0133132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 08:28:08.86ID:hoayWjrE
>>98
>最初から小さなεだけを考えればよいと言っているのである

無意味w

どれだけ小さなεを考えても、必ずそれより小さなε’が無数にある

安達が死ぬほど嫌いな、集合の濃度でいえば
「(0,∞)において、ε以上の数の全体と、ε未満の数の全体は同濃度」
なんだよw
0134現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
垢版 |
2020/06/21(日) 09:05:55.20ID:W0WIc7wX
>>11 補足
> 3.現代数学においては、εδは 位相空間論とか圏論とか、そのた収束を扱う より高度な、かつ分り易く本質的な概念で置き換えられている

補足
まあ、下記の”極限 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹 (2012?) ”でも、どぞ
”通常の数列の極限”が、圏論的視点から抽象化され、”本質的な概念で置き換えられている”ってことです(^^;

http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/profile.html
氏名: 松田 茂樹 (まつだ しげき)
所属: 千葉大学理学部数学・情報数理学科
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/index.html
数学の話題
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹 (2012?) 千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文
P15
(2.4.25). 通常の数列の極限でも, 収束する数列の無限部分列は同じ値に収束した。類似の命題が逆系や順系の極限についても成立する。
0135132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 09:16:23.83ID:lKx1j1Nu
未だに任意の意味を分かってない安達バカ過ぎ
0136132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 09:17:08.00ID:lKx1j1Nu
>>131
>>最初から考える小さなεって何よ?
>そんな質問をすること自体、お前が何も分っていない証拠(笑
はい、また逃亡
0137132人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 09:19:52.28ID:lKx1j1Nu
逃亡しかできない安達はさっさと失せろよ 目障りだ
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