純粋・応用数学(含むガロア理論)2
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クレレ誌: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである(Neuenschwander 1994, p. 1533)。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。 (引用終り) そこで 現代の純粋・応用数学(含むガロア理論)を目指して 新スレを立てる(^^; <関連過去スレ(含むガロア理論)> ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/ <前スレ> 純粋・応用数学 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/1- >>11 >4.εδは、そういう現代数学の視点から、見直されるべきと思います ε-δは>>10 のような議論を含んでより一般的な議論をするから、その必要はない。 メモ https://www.youtube.com/watch?v=7A05OamqCyc 中学数学からはじめるAI(人工知能)のための数学入門 2時間コース 596,663 回視聴?2020/05/08 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 チャンネル登録者数 47.2万人 提供:Aidemy >>11 位相空間には一般に順序構造が入っているとはいえないが、有理数体や実数体には順序構造が入っている。 位相空間はε-δが出来ないと分からない。 >>12 >> 4.εδは、そういう現代数学の視点から、見直されるべきと思います >ε-δは>>10 のような議論を含んでより一般的な議論をするから、その必要はない。 おサルかい? (^^ 分かってないな 1.εδ法は、確かに19世紀の数学としては画期的だったと思うよ 2.しかし、20世紀にεδ法を含む さらに高度な 位相空間論、開集合、近傍系、フィルター、ネット、圏論の極限、さらには超準などが考えられた 3.数学でもなんでもそうだが、できるだけより高い視点をもって、物事を理解すべき 4.かつ、記号の丸暗記で終わらずに、概念的なより高度の理解へ進むべきなのです(数学とはそうあるべきなのです。記号の丸暗記で終わるから落ちこぼれるのです) 5.21世紀の数学の視点からは、εδ法など些末なテクニカルなことに拘らずに、早く高度な理解を目指すべしなのです(^^ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90 極限 目次 1 数列の極限 1.1 数列の収束 1.2 極限値の性質 1.3 数列の発散 1.4 様々な極限 1.5 点列 2 関数 2.1 変数の収束に伴う関数の挙動 2.2 無限遠点における挙動 3 関数列の収束 4 位相空間 5 圏論 >>14 >位相空間には一般に順序構造が入っているとはいえないが、有理数体や実数体には順序構造が入っている。 >位相空間はε-δが出来ないと分からない。 全く間違っている ”位相空間はε-δが出来ないと分からない”なんて、自分が分かっていない証拠だよwww(^^ >>15 >おサルかい? (^^ おっちゃんです。 >>16 >>位相空間には一般に順序構造が入っているとはいえないが、有理数体や実数体には順序構造が入っている。 >>位相空間はε-δが出来ないと分からない。 > >全く間違っている 距離空間は位相空間の一例で、距離空間論の理論と実数体上での微分積分には中間値の定理が成り立つなど似ている一面があるが、 距離空間の理論に微分積分の平均値の定理やテイラー展開に対応する代物はない。 勿論、位相空間の理論に微分積分の平均値の定理やテイラー展開に対応する代物はない。 >>11 馬鹿ですか。 イプシロンデルタなんぞ呼吸をするように自然に使われているから表に見えないだけ。 >>11 自分が理解できなかったのを正当化したいだけやん バカ丸出し >>10 εが限りなく0に近い数であるとき、 δが巨大なδであることはあるのか?(笑 >>18 >馬鹿ですか。 >イプシロンデルタなんぞ呼吸をするように自然に使われているから表に見えないだけ。 バカですか? 例えて言えば、コンピュータ内部で2進数が使われているからと 2進数演算が分からなければ、コンピュータを使えないというが如し エクセルとか、2進数を表に出さずに使えるソフトがあれば それを使えば良い。「2進数を理解しなければ、コンピュータを使えない」というのはアホでしょ(^^ >>19 自分が、19世紀から20世紀の古い数学観に捕らわれているということが 分からない バカ丸出し(^^; >>21 数学において、理解出来ない道具を使うなんてナンセンスですが。 ついでに。例えばポアンカレ予想の証明だってイプシロンデルタ使われているが。 もう一つくらい例あげると、シンプレクティック幾何の発展の基礎となったフレアの一連の論文とかだってイプシロンデルタ使われてるよ。 >>10 誤り >>20 ある 例:f(x)=0 例えばx=0で考えるとして(どの点で考えても同じだが) 任意のε>0について、いくらでも馬鹿デカイδを考えても成り立つ (任意のxについてf(x)が皆同じ値なんだから当然w) >>20 例えば、限りなく0に近いような正の実数をaとする。 一次関数f(x)=axの点0における連続性をε-δで議論する。 εを、、aに比べ十分大きく、かつ限りなく小さいような正の実数とする。 このとき、ε、0、aの大小関係を記号で表すと、0<a<<εと仮定したことになる。 だから、δにδ=ε/aを取れて、0<a<<εと仮定しているから、 δは1より十分大きいような巨大な正の実数である。 これが議論の一例になる。 で、フィールズ賞に関係するような数学でイプシロンデルタ使ったものはほとんど無いと言うなら、具体的にどれが使っててどれが使ってないんだ? ほとんど無いらしいから、使ってるのだけ挙げてくれれば良い。 >>23 >数学において、理解出来ない道具を使うなんてナンセンスですが。 じゃ、あなたは Mathematica Excel関数 GAP など、 数学ソフトで使えない機能が一杯でるよねww 正しい態度は、「使って理解する!」の方でしょ?w(^^ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/Mathematica Mathematica https://dekiru.net/article/4429/ 2020.04.30 THU 11:30 Excel関数 機能別一覧(全484関数) できるネット http://math.shinshu-u.ac.jp/ ~hanaki/edu/symmetry/03.html 群論と対称性 第 2 回 GAP を使う - 電卓のように Akihide Hanaki (Shinshu University) >>17 なんだ おっちゃんか?(^^ 単に、極限を考えるのに ε-δに拘る必要もないし 他にも手段があるってことでしょ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90 極限 3 関数列の収束 4 位相空間 5 圏論 >>29 ε-δ(ε-N)は一番基本的な極限の議論だが。 いきなり他の手法で極限を議論することはないだろ。 >>28 は? そうですね。だからmathematicaなどの、数式処理ソフトで得られた結果は信頼しないし、自分でチェックできなけれ論文に結果を使ったりしないよ。 理解せずに根拠に使ったら責任取れないじゃん。 そういうのはできるだけ避けるのが数学でしょ。 分野にもよるかもだけど、数式処理ソフトをブラックボックスで使うとこまでは来てない。 >>23-24 イプシロンデルタと同値な言い換えは、21世紀では沢山あるよ だから、「イプシロンデルタ使われている」ってことと 「イプシロンデルタ使われている」ことと違うよ そして、「ポアンカレ予想」のペレルマンの論文中には、イプシロンデルタ無いよ。いま念のために確認したがないぜ(^^; ”シンプレクティック幾何の発展の基礎となったフレアの一連の論文とかだってイプシロンデルタ使われてるよ” って、どれ? 具体的に (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3 グリゴリー・ペレルマン ペレルマンとポアンカレ予想 arXiv で以下の3つのプレプリント(Preprint)を発表し、ポアンカレ予想を解決したと宣言した。 The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002年11月11日 https://arxiv.org/abs/math/0211159 Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003年3月10日 https://arxiv.org/abs/math/0303109 Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003年7月17日 https://arxiv.org/abs/math/0307245 彼は、ウィリアム・サーストンの幾何化予想(ポアンカレ予想を含む)を解決して、その系としてポアンカレ予想を解決した。そして、そのときに採用した手法も、リチャード・S・ハミルトンの発見したリッチ・フロー(Ricci flow)(ハミルトン・ペレルマンのリッチ・フロー理論)と統計力学を用いた独創的なものである。 >>32 は? 当然、mathematicaなどの、数式処理ソフトで得られた結果は信頼性は、自分で検証すべき それは、mathematicaの検証よりも、むしろ、ヒューマンエラー つまり、自分の入力ミスだとか、マクロを組んだとしたらプログラミングミスとかでしょ? 結果の検証、あるいは妥当性の検証は当然です(いわずもがな)ww(^^ >>31 >ε-δ(ε-N)は一番基本的な極限の議論だが。 >いきなり他の手法で極限を議論することはないだろ。 そんなことはないだろ? 位相空間論なんて 普通に、ε-δなんか無視して 講義が始まるでしょ?(^^; >>36 Rにおける通常の位相を構成する方法を教えてください 具体的には、実数Rの位相空間での意味の開集合とは何かを定義してください そして、位相空間の意味における極限の定義と、εδにおける極限の定義とを比較してください y=x この関数のx=0での連続性を例にして、各場合について説明してみてください >>34 ペレルマンの論文でいくらでも使われてるじゃん。 デルタが出てこないから使ってない使ってないという主張? まあいいや。論文読む能力ないみたいだし、がんばって。 あと、圏論てあまり詳しくないんですけど、その意味での極限って関数の極限値とかと全く無関係だと思うんですけどどうなんでしょうね? >>37 いい質問なので、εδスレにも書かせていただいた https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592600706/45 セタ君には到底回答不能だろうが 工学部ってこんな馬鹿が沢山いるんだよな 日本のものづくりは大丈夫かw >>40 関係ないですね 馬鹿は同じ言葉=同じ意味と脊髄反射するので 次から次へとトンデモ発言しちゃいますw やはりそうですか 安達さんみたいな感じですね 言葉のニュアンスだけで、定義を読まずに自分勝手に考えちゃうと さて、ガロア理論について語らないなら 虚偽のタイトルという理由で このスレッドの削除申請をさせていただく そもそも群論の初歩も理解できない人が ガロア理論と名のつくスレッドを立てる時点で 重大な荒らし行為だがね >>23-24 >ついでに。例えばポアンカレ予想の証明だってイプシロンデルタ使われているが。 >もう一つくらい例あげると、シンプレクティック幾何の発展の基礎となったフレアの一連の論文とかだってイプシロンデルタ使われてるよ。 あれあれ? ぼくちゃん、どうしたの? (>>34 より) "「ポアンカレ予想」のペレルマンの論文中には、イプシロンデルタ無いよ。いま念のために確認したがないぜ(^^; ”シンプレクティック幾何の発展の基礎となったフレアの一連の論文とかだってイプシロンデルタ使われてるよ” って、どれ? 具体的に" で、逃げの一手(>>39 &)かよwww 笑えるぜ(^^ >>45 タイポ訂正 で、逃げの一手(>>39 &)かよwww ↓ で、逃げの一手(>>39 )かよwww >>43 はっきりいって同類ですが ヘタに現代数学をありがたがってる分 セタのほうがはるかに悪質です こういう人が有名国立大学を出たというだけで 出世して部下に対して独善的なこといってると思うと 日本は終わったなと思いますね 中国・韓国だけじゃなく東南アジアにもごぼう抜きされますね ミャンマーとかラオスとかも油断できませんよ ちなみに齋藤飛鳥は好きです(なんだそりゃ?) >>46 >>37 の質問にもレスの方をよろしくお願いしますね >>45 Perelmanの論文見たって、どこで使われているか分からないんでしょ。 じゃあ、どれ見たって使われてないようにしか見えないんだろうから無駄だけど。 当時のFloerの論文だったら、どれだって使われていると思うが、例えば、 Floer, A.; Hofer, H.(CH-ETHZ) Symplectic homology. I. Open sets in Cn. Math. Z. 215 (1994), no. 1, 3788. さようなら。 >>37 ほいよ、w(^^; https://ja.wikipedia.org/wiki/ 位相空間 目次 1 概要 1.1 位相空間と距離空間 2.1 開集合を使った特徴づけ 3 具体例 7 収束 7.1 点列の収束 7.2 連続性との関係 7.4 一般化 7.5 一様連続と一様収束 9 位相空間の導出 10 基本近傍系 11 位相の生成、開基、準開基 11.1 準開基 11.2 開基 12.1 分離公理 12.2 連結性 12.4 可算公理と可分 12.4.1 性質と例 12.5 距離化可能性 12.6 この他の諸性質 13.1 連続体論 14 歴史 連続写像 Y の開集合のf による逆像が必ず開集合になるとき、f は連続であるという。 以下が成立する X、Y が距離空間である場合、前述した連続性の定義はイプシロン・デルタ論法による連続性の定義と同値である。 >>37 ほいよ(^^ http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/kougi/07tsuron1.html 数学通論 I (2007年度前期) Tamaru 広大 http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/files/07tsuron.pdf 数学通論 I (2007年度前期) 第 1 章 実数 本章では実数に関する諸概念を学ぶ. ここで学んだ概念は, 後に距離空間や位相空間に 対して拡張される. いきなり距離空間・位相空間を扱うと抽象的になり過ぎてしまうこと が多々あるので, その準備として, まずここで実数の場合を扱う. 1.5 連続写像 実数や距離空間や位相空間において, 連続写像は非常に重要な概念である. これは, 線 型空間において線型写像が重要であったことと同様. このように, 集合(とその上の構造) と写像(でその構造と合致するもの)を合わせて考えることは, 現代数学では非常に基本 的な考え方である 定義 1.39. A ⊂ R とする. 写像 f : A → R が点 a ∈ A で 連続(continuous)とは, 次 が成り立つこと: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(U(a; δ) ∩ A) ⊂ U(f(a); ε). この連続の定義は, 解析学などでは次のように書かれることが多い. 問題 1.40. 写像 f : R → R が点 a ∈ R で連続であることと, 次が同値であることを示 せ: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x ? a| < δ ⇒ |f(x) ? f(a)| < ε. 連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである. 定理 1.44. 写像 f : A → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと: ∀U : 開集合, ∃O : 開集合 s.t. f?1(U) = A ∩ O. 系 1.45. 写像 f : R → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと: ∀U : 開集合, f?1(U) : 開集合. すなわち, 連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε ? δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる. >>37 ほいよ 嫁めw(^^; https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%96%93 実数空間 目次 1 定義 2 性質と構造 2.1 位相構造 位相構造 Rn の標準位相、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる位相は、定義節に言うように単に直積集合と見ただけでは出てくる構造ではない。これはユークリッド距離の誘導する自然な位相(英語版)に一致する。 すなわち Rn の部分集合が開であるとは、その部分集合の各点においてその点を中心とする適当な開球体をその部分集合が必ず含むことをいう。 >>53 補足 ここ、味わいましょうね〜!ww w (^^; ”系 1.45. 写像 f : R → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと: ∀U : 開集合, f-11(U) : 開集合. すなわち, 連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” "連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” >>55 コピペじゃなくて自分の言葉でお願いしますね あと、一番下の答えに答えてませんよ? >>49 >Perelmanの論文見たって、どこで使われているか分からないんでしょ。 >じゃあ、どれ見たって使われてないようにしか見えないんだろうから無駄だけど。 >当時のFloerの論文だったら、どれだって使われていると思うが、例えば、 >Floer, A.; Hofer, H.(CH-ETHZ) >Symplectic homology. I. Open sets in Cn. >Math. Z. 215 (1994), no. 1, 37・88. >さようなら。 はい、さいようなら で、下記だよね Floerの論文 見たが、イプシロンデルタないよw(^^; ウソつきだな〜ww(^^ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AC%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%A2%E3%83%BC https://en.wikipedia.org/wiki/Andreas_Floer Andreas Floer Andreas Floer (German: [?flo??]; 23 August 1956 ? 15 May 1991) Posthumous publications Hofer, Helmut. Symplectic homology I: Open sets in C^n (jointly with A. Floer) Math. Zeit. 215, 37?88, 1994. https://eudml.org/doc/174598 EuDML initiative Sympletic homology I. Open Sets in Cn. H. Hofer; A. Floer Mathematische Zeitschrift (1994) Volume: 215, Issue: 1, page 37-88 ISSN: 0025-5874; 1432-1823 Access Full Article Access to full text http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002442353 >>56 ほいよ(^^ 類似の問題あるぜよ やりたければやれww(^^; http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/kougi/07tsuron1.html 数学通論 I (2007年度前期) Tamaru 広大 http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/files/07tsuron.pdf 数学通論 I (2007年度前期) 第 1 章 連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである. 問題 1.41. 次を示せ: (1) f : R → R : x 7→ 2x は x = 0 で連続, (2) 次で定義される写像 g : R → R は x = 0 で連続でない: g(x) := 0 (x < 0), g(x) := 1 (x ? 0). >>53 >定義 1.39. >A ⊂ R とする. >写像 f : A → R が点 a ∈ A で 連続(continuous)とは, 次が成り立つこと: >∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(U(a; δ) ∩ A) ⊂ U(f(a); ε) >定理 1.44. >写像 f : A → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと: >∀U : 開集合, ∃O : 開集合 s.t. f^(-1)(U) = A ∩ O. じゃ、セタ、定理 1.44を証明してごらん ん?どうした?白目剥いて泡ふいてwwwwwww >>58 あなた自身の説明を聞きたいですね もしかして、わからないのですか…? >>60 >>53 の引用は抜けがあるね 定義 1.42. 写像 f : A → R が 連続 とは, 次が成り立つこと: ∀a ∈ A, f は a で連続 当たり前だけど、こういうの抜く人は、 定義 1.39 と 定理 1.44 を見ても 何をどう証明するのか分らんで悶死するw >>62 セタは、>>53 でリンクした文章、読んでないだろw なんで、肝心なRの開集合の定義を洩らすんだ? 定義 1.11. A ⊂ R に対して, A が R の中の 開集合 とは, 次が成り立つこと: ∀a ∈ A,∃ε > 0 : U(a; ε) ⊂ A. じゃ、>>60 の問題(定理 1.44の証明) 解くように 解けないうちは落ちこぼれのまんまだぞ! 瀬田はなにかというとペレルマンペレルマンだが、ペレルマンから何かを学んだ気でいるのか? εδもわからないアホが学べるとでも思ってるのか? >>63 そのまえにこれ、解かないとダメだな 定理 1.15. O を R の中の開集合全体の成す集合族とする. このとき次が成り立つ: (1) ∅, R ∈ O, (2) O1, . . . , On ∈ O ⇒ ∩(i=1~n)Oi ∈ O, (3) ∀λ ∈ Λ, Oλ ∈ O ⇒ ∪(λ∈Λ)Oλ ∈ O. 定理1.15は、定義1.11による開集合の定義が 一般の位相空間の開集合の性質を満たす という意味だな 必須 じゃ解いてみw >>64 >なにかというとペレルマンペレルマンだが セタはミーハーだからw ペレルマンどころか、スメールの定理(高次元ポアンカレ予想) いや、ホイットニーのトリック(※)すらムリ (※n次元の多様体を2n次元空間に埋め込むのに必須) >>58 文字化け訂正 http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ ~tamaru/files/07tsuron.pdf 数学通論 I (2007年度前期) 第 1 章 連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである. 問題 1.41. 次を示せ: (1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続, (2) 次で定義される写像 g : R → R は x = 0 で連続でない: g(x) := 0 (x < 0), g(x) := 1 (x >= 0). まあ、原文見ればわかるけどな(^^; 私たちはもうなにもみなくてもわかってるんですけどw わかってないのは、スレ主さんと安達さんだけですよ? で、コピペしか出てこないということは、わからないということで良いですか? >>68 問題 1.41. 次を示せ: (1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続, (>>55 より) "連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” 逆像を考える 開区間 y :=(-1,+1)の逆像は ↓ x =(-1/2,+1/2) であるから ”逆像が開集合”成立! QED w(^^; >>71 >開区間 >y :=(-1,+1)の逆像は > ↓ >x =(-1/2,+1/2) >であるから >”逆像が開集合”成立! >QED w(^^; アホw 任意の開集合について、その逆像が開集合だと示さないと証明にならないぞw で、上記の関数はあまりにチョロいので 以下でやってみてくれ( ̄ー ̄)ニヤリ 問題. 次を示せ: (1) f : R → R : x → x^2 は x = 0 で連続, 数学掲示板群 ttp://x0000.net/forum.aspx?id=1 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net 数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学 IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など PS 連続と離散を統一した! ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0 微分幾何学入門 ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3694-0 スレ主よ、ID:B6UCbhfAが質問少年だ(笑 サル石と同類の池沼だ(笑 >言葉のニュアンスだけで、定義を読まずに自分勝手に考えちゃうと それがお前(笑 「任意だからどんな巨大な数でもいい」と解釈する池沼(笑 >コピペじゃなくて自分の言葉でお願いしますね お前も本をコピペしているだけ(笑 >私たちはもうなにもみなくてもわかってるんですけどw 何も分っていないアホがお前(笑 だーかーらー、はやくεは微小な範囲の任意だと明言してる動画を見つけてくださいよー 安達さんのあげてくれたやつは、どれもεは任意だと言ってますよねぇ ∀ε>0と書いてますよねぇ 何を延々とアホなことを書いているのか(笑 どんな動画や本でも小さなεで説明しているだろ池沼(笑 まだ分らないのか(笑 巨大なεで説明している動画や本があるなら挙げてみろ(笑 「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」 と書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑 ε-δ論法は局所の理論だということすら分っていない池沼(笑 数学ではεは微小な数を表すという常識さえ知らない無知バカ男(笑 任意だから任意でいいですよね なんでそんなことがわからないのでしょうか 任意のという日本語訳を信じていたら英文がfor everyだったときにはキレそうになった 結局全部じゃねーか あっ翻訳君だ! マジレスすると英語でもFor Any – For Every – For Allだから大差ないぞ >>77 >「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」 >と書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑 巨大な数はダメと書いてある本があるなら挙げてみろ阿呆(笑 >>55 追加(^^ ”一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります!フィルターすげえ!!というのが上の記事の主題になります。” https://cho-san.hatenablog.jp/entry/2018/06/09/234043 ちょーさんメモ出張版 気まぐれブログ 2018-06-09 位相空間上のフィルターの収束 先日位相空間論におけるフィルターの話をpdfにまとめてTwitterに投稿しました filter.pdf https://drive.google.com/file/d/1I0IfshQW5bvpnPTYIHfs5mDC5CKk38k9/view?usp=sharing 詳しい証明などは上のpdf(以下上の記事)に書いたのでここでは簡単な紹介だけしようかと思います。 フィルターとは位相空間論における「点列」を(ある意味で)一般化した概念で題にあるとおりフィルターの収束というものが位相空間において定義できます。 一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります!フィルターすげえ!!というのが上の記事の主題になります。 また上の記事ではその応用としてフィルターを用いてチコノフの定理を証明しています。この証明もフィルターを使えばずいぶんシンプルになるのでフィルター強ええ!!!というのがわかります。 もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。 ∀U∈N(x) ∃N∈N ∀n∈N n>=N⇒xn∈U ただしN(x)はxの近傍系です。 つづく >>83 つづき ここでFN={xn?n>=N}とおいてみましょう。すると上の収束の定義は次のように書き換えられます。 ∀U∈N(x) ∃N∈N FN⊂U これがフィルターで書いた場合の収束であり、上の記事の中でいう命題2.3です。つまりフィルター基底B={FN?N∈N}の収束をみているわけです。 このように点列の収束は集合の包含関係で書き換えられます。さらにこの形で書けばFNが点列である必要すらなくね?という発想に至りこれを一般の集合で書き直すことでフィルターの定義にたどり着きます。 (この辺りの「具体的な抽象化の過程」は上の記事では触れなかったのでここで書いておくことにしました。) フィルターの感覚はだいたいそんな感じです。こうして定義されたフィルターを用いると最初に書いたような強い結果が色々得られるのですがその辺の詳しいところは上の記事を見てください。 今回なぜ自分が上の記事を書いたかというとフィルターについての初等的な文献があまりないような気がしたからです。それでTwitterで「フィルターのpdf書いたら需要ある?」みたいなツイートをしてみたら思ったより反応があったので書くことにしました。 実際、自分がフィルターについて勉強したいと思ったときもどの本に載っているのかわからず、適当な位相空間の本を開いてみるも見つからず、結局大学の本棚にあったブルバキを読んで勉強しました。 森田先生の位相空間と内田位相は位相空間論の参考にしただけでフィルターは出てきませんし、松坂位相でも演習問題で一瞬でてくるだけでしたし、位相のこころでは説明がされてますがこれは読み物なので証明などは詳しくされていません。 また論理と位相ではフィルターについて扱われていますがこれは順序集合におけるフィルターの話(束論での扱い)なので位相空間上での収束などは書かれていませんでした。 要するに上の記事はほとんどブルバキを参考に書かれています。 「クセがある」と名高いブルバキの内容を現代的な記法で書き直し、チコノフの定理を焦点にまとめ直しました。 解析系や幾何系に進んでいるとフィルターはメジャーな道具のように思う(?)のですがどうも文献が少ないです。もしフィルターの平易な文献があれば教えてもらえると嬉しいです。 (引用終り) 以上 全称記号について 任意の:自由に選べる すべての:全部 という珍説をほざいてた奴いたなw たとえば文が 任意の 任意の 任意の …… と続くと汚いから 任意の すべての 各 …… というように書いてあるだけであって 意味は同じなんだよ 同じ全称記号なのに 任意のとすべてのでは意味が違うなんていう珍説は 日本語をおざなりにしている高校数学バカらしい発想だったわ >>83-84 (引用開始) ”もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。 ∀U∈N(x) ∃N∈N ̄ ∀n∈N ̄ n>=N⇒xn∈U ただしN(x)はxの近傍系です。 ここでFN={xn?n>=N}とおいてみましょう。すると上の収束の定義は次のように書き換えられます。 ∀U∈N(x) ∃N∈N ̄ FN⊂U これがフィルターで書いた場合の収束であり、上の記事の中でいう命題2.3です。つまりフィルター基底B={FN?N∈N ̄}の収束をみているわけです。 このように点列の収束は集合の包含関係で書き換えられます。さらにこの形で書けばFNが点列である必要すらなくね?という発想に至りこれを一般の集合で書き直すことでフィルターの定義にたどり着きます。 (この辺りの「具体的な抽象化の過程」は上の記事では触れなかったのでここで書いておくことにしました。)” (引用終り) なるほど そうだったのか〜!(^^; >>78 だから巨大なεで説明している動画や本があるなら挙げてみよ(笑 「εは任意だからどんな巨大な数でもいい」 と書いてある本があるなら挙げてみよ(笑 どんな動画も小さなεで説明しているし、 wikipediaにもεは数学で非常に小さな数を表すと書いてある(笑 εは小さな数というのが常識だから、いちいち 「任意の小さなε」と書かれていないだけなのである(笑 お前のようなアホが数学をやると、こうなる(笑 εは任意、だから幾らでも小さい値をとることができる。 そこがポイントなんだがね。 しかし、その大きさ自体を議論しても意味がない。 極限の議論において、その絶対値には意味がないからだ。 “巨大なε”、だの、“εは小さな数というのが常識”、だのと言っていることが、 ああ、こいつはわかっていないんだな、と突っ込まれている。 いい加減に気がつけ。 >>87 例えば, ε = 1/2 において, δ が決 定できたなら, 自動的に, ε = 1 や ε = 100 など, 1/2 より大きい ε についても, δ が決定できたことになるの で, 考察する必要はない. https://www.rms2005.org/cgi-bin/lime/lime.cgi?0018 7pの例2.5を見てください εは100をとっても良いと書かれていますね >>86 そんなしょうもない美意識のために論理的な分かりやすさを犠牲にして悦に入っているから 外国に後れを取るんじゃないか? 全部はわかりやすいけど、任意はわかりづらいと感じるような人はレベルが低いだけだと思いますけどねぇ >>87 追加 http://tetobourbaki はてなぶろぐ /entry/2018/07/11/191714 記号の世界? 20180711 位相空間論とフィルター数学 位相空間論の性質を論じるにあたって,フィルターが非常に便利です.この記事では,フィルターの使い方を解説します. 最初の節では,フィルターやフィルターの収束を定義します.位相空間の基本的な用語をフィルターで言い換えていきます. 次の節では,コンパクト性やハウスドルフ性に関する性質を見ていきます.特に,コンパクト空間の直積空間がコンパクトであるというチコノフの定理を証明します. この記事の議論を見れば,今回の話は位相空間である必要はなくて単にフィルターの収束が決まっていればいいのではないかと思われると思います.実際にその通りで,位相空間を一般化した収束空間というものがあります.収束空間は少し難しいので,最後の節では位相空間より少しだけ一般化した前位相空間について解説します.前位相空間を勉強すると,位相空間の公理の理解も深まります. (以下,口調が変わります.) フィルターの収束 コンパクトとハウスドルフ コンパクト性 ハウスドルフ性 前位相空間 参考文献 前位相空間 今回の記事の議論では,フィルターの収束だけで様々なことが言えた.フィルターの収束は近傍系から定義できる.そこで近傍系を一般化しても,収束だけで様々なことが議論できるということが想像できる.そのようなモチベーションで一般化したものが前位相空間である. 参考文献 フィルターを使った議論に興味を持たれた方には. 柴田敏男『集合と位相空間』(共立出版) N. Bourbaki, "General Topology" をオススメする.私が書いたpdfでよければ, https://drive.google.com/file/d/1Z3smrJluBWoe_hkhiMfImPw9LhKiL7jz/view フィルターと一様構造 Love ブルバキ (@lovebourbaki) つづく >>91 君、本当は英語で書かれた数学の本または論文を読んだことないだろ ところで、君だったら"For Any"をどう翻訳するかね? 自分が一番じゃないと嫌な人間にとっては競争相手を混乱させるために 分かりづらいほうが都合がいいんだろうけど >>93 つづき (追記)一通り書き終わってからの感想をいうと,手を動かしていくと,どん どん分かっていきます.多くの議論がフィルターの直感的な議論で難しくなく理 解できます.普通,位相空間というといろいろな用語が出てきて混乱しがちだと 思いますが,この pdf のやり方だとフィルターに慣れてしまえば一貫して似たよ うな議論をするだけなので難しくなくなります. http://unununum. はてなぶろぐ/entry/2017/08/11/194942 uniのスケッチノート 2017-08-11 フィルターとネットの基本事項 https://www.dropbox.com/s/adelh61roc554b6/Filter_Net%28ver.2.0%29.pdf?dl=0 目次 4.6 圏論的視点からの考察 (引用終り) 以上 >>89 そこがポイントだということを質問少年その他は分っていないのである(笑 ただ任意と書いてあるから「どんな巨大な数でもいい」と主張しているだけなのだ(笑 εは小さくなければ意味がないということも分らず 「任意だから」「どんな巨大な数でもいい」と主張しているだけなのである(笑 僕は巨大なεを取ってはいけないとか、 巨大なεを取るのは論理的に間違いだ、と言っているのではない(笑 最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない、と言っているのだ(笑 しかし最終的には小さなεでないと連続も極限も証明できないのだから、 最初から小さなεだけを考えればよいと言っているのである(笑 質問少年その他が「最初はどんな巨大なεを取ってもかまわない」という意味で、 「任意だからどんな巨大な数でもいい」と言っているなら それは僕と同じだから、論争する必要はないのだ(笑 ところがこの少年たちはそれとは違う意味で 「任意だからどんな巨大な数でもいい」と主張しているのである(笑 で、どんな意味でそう主張しているのかと訊いても答えない(笑 >>97 それがFor Every"や"For All"と同じ意味で使われることについてはどう思う? 任意の事情聴取が事実上の強制であるように 数学用語の任意は字句通りに受け取ってはいけないということ それだけだ >>99 ニュアンスがちょっとづつずれてると思う 真面目に調べたことないからはっきりは分からないけれど >>101 数学的には同じ意味です が、>>86 と全く同じ理由で書き分けられます もう少し英語の文献でも勉強しましょうね >>102 ネイティブの外人は案外ちゃんと書き分けてるかもよ? >>103 ほう、それは面白い では、ソースを出してください >>104 それは書いた本人に聞かないと意図があったかどうか分からん >>103 君のためにFor Any – For Every – For Allが同じ意味で使われることのソースを貼っておこうか ググればすぐ出てくるが https://teachingcalculus.com/2012/08/20/for-any-for-every-for-all/ >>96 追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_ (%E6%95%B0%E5%AD%A6) フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学 (general topology) の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル(英語版)である。 類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。 目次 1 歴史 2 定義 3 写像とフィルター 4 冪集合の上のフィルター 4.1 例 4.2 モデル理論におけるフィルター 4.3 超積 4.4 位相幾何学におけるフィルター 4.5 一様空間におけるフィルター 5 他分野への応用 5.1 社会選択理論 (経済学) におけるフィルター 歴史 1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」[1]の草稿に関して議論がなされた。その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが(下の#位相幾何学におけるフィルターも参照)、この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである[2]。 フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文[3][4]である。 >>106 意味じゃなくてニュアンスの話なんだが… >>108 数学でニュアンスは重要ですか? 意味が同じなら別の記号や言葉を使ってもいいのが数学の良いところでしょ? >>107 追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F 有向点族(ゆうこうてんぞく、directed family of points)とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である(可算または非可算な)有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の2つがある: 点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定(第一可算公理など)を課さねばならなくなる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。 複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。 特に重要なのは、開集合、閉包、連続性などの位相構造に関する概念を有向点族の収束性で特徴づけられる事である。それに対し点列の場合はその添え字の可算性ゆえ、同様の特徴づけを行うには空間の方にも可算性に関する条件が必要となる(詳細は列型空間を参照)。 なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である(詳細後述)事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。 点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。 https://en.wikipedia.org/wiki/Net_ (mathematics) Net (mathematics) >>109 数学の予想が面白いかどうかとか哲学的にどうとか言ってる数学者にとっては ニュアンスも大事なんじゃねーの? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.1 2024/04/28 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる