分からない問題はここに書いてね460

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/18(月) 23:25:16.78

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね459
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585492157/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/10(水) 17:43:22.65

>>398
データはどういう確率分布族から生成されてると思えばいいんでしょうか？
例えば線形回帰だとp(y|x)が正規分布に従うとかはわかるんですが、p(x)はどういうのが仮定されるのでしょうか？
いくつかのxを固定して観測していくパターンとランダムにxを観測するパターンの2通りがあると思いますが両方お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/10(水) 18:01:54.83

楕円E上に２点O,P_1をとる。P_1を通るEの接線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_2とする。
次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
P_1=P_nとなるある自然数nが存在するのはO,P_1がどういう条件を満たす場合か？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/10(水) 19:46:44.21

>>400
＞次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
＞P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
ここのP_k(k≧3)のとりかたとして、点Oと一致してもいいのか？

一致していいなら、点P_kを点Oと一致するようにとればP_(k+1)=P_1となるので求める条件は「なんでもいい」となる。

一致しないようにとるのなら、P_1=P_nとなるのはOとP_1が一致しているときに限る。このときP_1=P_2であり、P_3以降は定義できない。
もしP_1=P_nとなる自然数n(n≧3)が存在すると仮定すると直線P_(n-1)P_1と直線OP_1が平行となるが、同じ点P_1を通る平行な2直線なので一致することになり
楕円と直線の交点は高々2個だから点P_(n-1)が点Oと一致することになるがこれは点P_(k+1)の取り方に反する。
P_2だけP_3以降と点の取り方が違うので、P_1=P_2だけあり得ることになる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/10(水) 20:30:43.85

>>401
「P_kとP_1を結ぶ直線がOを通る接線に平行な場合はO=P_(k+1)とする」というつもりでした。
Oの接線に平行になる場合が存在するのはどういうときかっていう問題です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/10(水) 20:44:19.36

>>402
完全に別問題となるような条件を後出しするものではない。その条件を新たにくわえて返答したとしても、どうせさらに後出しがあるのだろう。
そもそも>>400の問題文の時点で突っ込みどころ満載で、文章の変なところを最大限好意的に解釈して答えたのにこの仕打ちかよ。

問題文は改変せず正確に漏れなく全文かけ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/10(水) 21:54:40.99

>>400に>>402の条件を追加で加える。

一般に図形全体を一定の方向に定数倍に拡大・縮小したとき、2直線の平行は保たれる。角度は変わるがな。
したがって>>400の楕円Eは適切に拡大・縮小して円であるとしてかまわない。
円であれば、P_1=P_n となるのは弦OP_1が円に内接する正(n-1)角形の1辺となるときである。

楕円Eの長軸の長さを2a、短軸の長さを2bとする。
楕円Eの長軸を実軸、短軸を虚軸とする複素平面における点Oの座標を(s+ti)、点P_1の座標を(u+vi)とするとき
4以上の自然数nが存在してarg{(bs+ati)/(bu+avi)}=2π/(n-1)であればよい。

さあ、次はどんな後出しがくるかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/10(水) 23:21:47.48

Y（t）:=Y（0）exp［（μ-σ^2/2）t +σW（t）］
より、幾何的Broun運動を表す
　dY＝μYdt +μYdW
を導け

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 00:39:24.41

正八面体Vの1つの頂点をA、Aに隣りあう頂点のうち1つをBとする。
いまVの辺上を点Pが動く。Pは時刻0にAをスタートし、一辺の一端から他端までをちょうど1秒かけて移動する。

（問題）nを自然数とし、PがAからBまでn秒かけて移動したとする。nとして考えられる自然数は無数に存在するが、このようなn全体からなる集合は自然数全体の集合と一致するか。一致しない場合、n全体からなる集合はどのようなものか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 00:51:28.73

>>406
自然数全体に一致するのは自明では？
A と B を往復すれば全ての奇数が、
B の隣(≠A)を経由して B に到達してから A と B を往復すれば全ての偶数がとれる

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 12:07:27.15

「嘘でしたと書け。」と聞こえてきていますが、>>384は嘘ではありｊません

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 13:18:22.43

a_ij =|i-j|のときdet(a_ij)を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 14:41:25.35

>>400
円に変換したら単なる回転移動となることが簡単にわかるから、楕円を円に変換したときに二点の
中心角が2pi/nであればいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 22:08:55.82

漠然とした質問になるんですが、いきなりX=I,x€Iという風に出てきた場合何を意味してるのでしょうか。どちらも大文字です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 22:33:43.56

知るか
本読め

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/11(木) 23:56:24.31

>>411
これは
X=I、x∈I　
と書きたかったのかな。
Iについて、最初の方に定義が書いてあるんとちゃうかな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/12(金) 00:30:11.79

以下のような自然数n、無理数aが存在することを証明せよ。

（1）nは2020桁以上の平方数で、各桁の数字は1,2,5のいずれかである。

（2）aの小数点以下第k位の数字をN[k]と表す。1以上9以下のある自然数iが存在し、どのkに対してもN[k]≠iを満たす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/12(金) 02:01:47.55

333333‥‥335^2
1.211211121111211112‥、3.4334333433334‥∈R＼Q

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/12(金) 05:02:41.68

>>409
det(A) = (-1)^(n-1) * (n-1) * 2^(n-2),
http://oeis.org/A085750

>>414 (2)
　L = Σ[k=1,∞] 10^(-k!)
　　= 0.110001000000000000000001000････
　リューヴィル数（超越数第１号）

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/12(金) 06:32:40.76

sympyでローラン多項式の係数を求めるコマンドないでしょうか
coeffだとおかしくなってしまいます

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 02:51:36.91

nを自然数の定数とする。
xのn次多項式f(x)で、積f(x)f(1/x)がxに依らない定数となるものを全て決定し、またそれらのみであることを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 03:43:06.07

その定数をcとすればf(x)=c/f(1/x)
x→0とすれば定数項=0
f(x)=xg(x)とするとc=f(x)f(1/x)=g(x)g(1/x)
今言ったことからgの定数項も0になり、以下同様にしてc≧0,f(x)=(√c)x^nの形に限られる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 07:28:00.99

細かいこというと最後のとこ(±√c)x^nじゃないの

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 09:45:17.32

せやな、眠かったんで許してちょ
だから最終的な形としては、aを定数としてf(x)=ax^nと書けるものに限られる

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 13:17:13.91

f(x) = e^A(x,1/x)
f(x) = x^S(x,1/x)
ここに
　S(x,y) は対称函数。例 s(x) + s(y).
　A(x,y) は反対称函数。例 a(x) - a(y).

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 14:07:18.37

面白いけど問題は多項式という条件がある

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 15:21:32.63

https://togetter.com/li/1541267 ← これを見て思いついた問題です。
簡単のため文字種は 0, 1 の2文字に制限します.

長さ n のパスワード全 2^n 種 {"0..000",　"0..001",　...,　 "1..111"}
を(部分文字列として)含む文字列の最小文字数は 2^n +n -1 でしょうか？
(2^n +n -1 未満がありえないのは明らか)

n=1 の場合例."01" (2文字)
n=2 の場合例."00110" (5文字) . . .
一般的に文字数 2^n +n -1 の列が確実に存在する事を示すのは難しいような気がしました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 15:28:37.84

>>424
つ https://en.wikipedia.org/wiki/De_Bruijn_sequence

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/13(土) 15:45:28.30

>>425
ありがとうございます。
末尾が先頭にループしてる点を除けばほぼそのままの問題ですね。
それなりに難しそうな問題だと言う事は分かりました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/14(日) 17:32:53.09

物理板から失礼いたします
https://books.google.co.jp/books?id=qjxv68JFe3gC&;printsec=frontcover&hl=ja#v=snippet&q=periodic%20structures%20and%20the%20reciprocal%20lattice&f=false
の57pにあるような、ベクトルaとbのなす角を表現するのに
\sphericalangleを使うのは数学的にスタンダードな方法ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/14(日) 21:19:57.86

集合Xの有限加法族Eから生成される完全加法族B[E]は、Eに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として書けるものの全体に一致しますか？
特に、Xの部分集合族Aが有限加法族Eを含みかつ可算個の和と共通部分で閉じていれば、AはB[E]を含みますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/14(日) 21:34:14.47

見なくはないけど、スタンダードは\angleじゃないかな
\widehat{ab}みたいなのもたまに見る気がする。同一ではないかもしれないが

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/14(日) 22:44:58.16

>>428
加法族なら補集合も入れるんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/14(日) 23:00:12.28

>>430
はい、なので共通部分も含めてます
Eの時点で補集合は閉じてるのでEの可算和の補集合はEの共通部分で書けます

「和と共通部分で表せる」だとちょっと変か
Eの可算個の集合から始めて和と共通部分をとる操作を何回か(有限回？)繰り返して得られるものです、なのでEの元の可算和として書ける集合たち(これ自体はEの元ではない)の共通部分とかも含めて考えてます

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 00:39:18.56

>>428
一致する。含む。
まず、集合族から生成される完全加法族とはその集合族を含む最小の完全加法族のことであるという定義でいいか？
あと「Eに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として書けるものの全体」をC[E]と書くことにしておく。

（一行目）
C[E]はEを含む完全加法族であるから、B[E]の最小性からB[E]⊂C[E]
B[E]はEを含む完全加法族であるから、Eに属するものたちの高々可算個の和と共通部分として表せるものはB[E]に属する。すなわちC[E]⊂B[E]
B[E]⊂C[E] かつ C[E]⊂B[E] であるから B[E]=C[E]

（二行目）
任意のS∈B[E]について、SはEに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
ここで、E⊂AであるからEに属するものはすべてAにも属する。
したがって、SはAに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
Aは可算個の和と共通部分で閉じているのでS∈Aである。以上より B[E]⊂A

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 00:57:19.07

>>432
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 02:16:05.95

{(2^n)+1}/n^2
が整数となるような自然数nを全て決定せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 04:45:21.39

n=1,3

IMO-1990 (北京大会) A3.

【解答】は、たとえば
秋山仁＋ピーター・フランクル共著
「[完全攻略］数学オリンピック」日本評論社 (1991)
　方程式[4]　p.68-70

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 10:07:44.86

秋山仁＋ピーター・フランクル共著
「数学オリンピック［全問題］1984~1990」日本評論社 (1991)
p.118-119

[コメント]
　超難問であった。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 11:18:08.51

どなたか教えてください。

https://www.mathtext.info/insuuriyou/k/4.pdf
この問題で、（3）までは理解できますが、
（4）が1日考えても理解できませんでした。
素因数分解をして、なぜ2つの数が36と63になるのか？

県立高校の入試問題の様です。
自分のアホさ加減にガックリです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 11:35:52.58

>>437
しらみつぶしに近いんじゃないのかな
どちらかが7の倍数で2桁なんだから7*2～7*14
このうち、素因数分解したときに2が2つまで、3が4つまででそれ以外がないのは7*2=14、7*3=21、7*4=28、7*6=42、7*9=63、7*12=84
このうち、ひっくり返し数を素因数分解して2と3以外の素因数があるものを除くと、21、42、63、48
あとはしらみつぶしで
もっと絞り込む方法あるかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 12:03:09.97

>>438
ありがとうございます。
小問の1～3を利用した解き方を考えましたが、用いないないんですね。
「片方が7の倍数」で考える。
目から鱗です。大変参考になりました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 12:24:05.42

>>437
(1)より、 XY の一の位は 101ab の一の位に等しいから、
XY = 2268 の一の位は 8 なので、 ab の一の位は 8 であることがわかる。
したがって ab は 8 か 18 のいずれかである。
もし ab = 8 なら、 (a, b) = (1, 8), (2, 4) であるが、どちらも解ではない。
よって、 ab = 18 である。このとき、(a, b) = (2, 9), (3, 6) となる。
実際に計算すると、 (a, b) = (3, 6) が解であることがわかる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 12:30:02.14

>>440
計算して確認する部分は、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10
を利用すると簡単に確認できる

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 12:50:19.27

>>440
101ab を計算する必要もなかった
(1)より XY = 10(10ab + (a^2 + b^2)) + ab
だから、 XY の一の位が ab の一の位に一致することは明らかで、
a^2 + b^2 = ((XY - ab)/10) - 10ab
としたほうが計算は楽かな

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 13:29:38.22

>>440
>したがって ab は 8 か 18 のいずれかである。
なんで？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 13:36:49.19

>>443
(a, b) が解ならば、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10 ≧ 0 より、
XY - 101ab ≧ 0 だから、
ab ≦ XY/101 = 2268/101 < 23
一の位が 8 になる正の整数で 23 より小さいものは 8 と 18 しかない

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 16:01:48.14

「二桁の正の整数XとYがある。
　整数Xの十の位の数がa,一の位がb、整数Yの十の位の数がb,一の位がaである。
　ただし、a<bとする。
　積XYの百の位が2、一の位が8の時、整数Xを求めよ。」

としても、答えが唯一に定まる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 16:29:12.94

ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 16:37:16.71

>>437 (4.pdf)
　2けたの正の整数XとYがある。整数Xは, 十の位の数がa、一の位がbであり, 整数Y
は, 十の位の数がb, 一の位がaである。ただし, a<b とする。
　このとき, (1)～(4) の各問に答えなさい。

(1) 2つの整数XとYの積XYをa,bを用いて表わしなさい。
(2) ab=6, aa+bb=37 のとき、積XYの値を求めなさい。
(3) (2)のとき、整数Xを求めなさい。
(4) 積XYが 2268 のとき、整数Xを求めなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　〔佐賀県〕

-------------------------------------------------
(3)
(a+b)^2 = (aa+bb) + 2ab = 37 + 2･6 = 49,
　a+b = 7,
　(b-a)^2 = (aa+bb) -2ab = 37 - 2･6 = 25,
　b-a = 5,
　a=1, b=6.

(4)
　2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≧ 121ab,　　∴ ab≦18
　2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≦ (30 + 1/4)(a+b)^2,　　∴ a+b≧9
　(b-a)^2 = (a+b)^2 - 4ab ≧ 81 - 4･18 = 9,　　∴ b-a ≧ 3,
　(a,b) = (1,8) (1,9) ～ (1,18) (2,7) (2,8) (2,9) (3,6)
　abの一の位が8となるものは　(1,8) (1,18) (2,9) (3,6)
　題意に適すものを（虱潰しで）探す。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 17:57:06.28

交点の座標を求めなさいと言われ、答えが(2,5)だとします。このとき、解答欄に(x,y)=(2,5)と書いた場合、正解としていいのでしょうか？これを正解にするのはどうも違和感があるのですが、何か説得力のあるダメな理由はありますでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 18:06:44.20

>>446

> ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？
無いよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 18:11:01.65

>>448
問題文中に出てこないので、xやyだと何かわかりません、ってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 18:52:30.62

xy平面ならダメな理由がわからない
st平面とかの話ならともかく

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 18:53:37.77

>>450

私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。
この場合は問題文中にxがあるので、その反論だとなかなか説得力を感じ得ません。
そもそもこの場合だと、x=2でも全く違和感がないのが普通なのでしょうか？その辺りの自信もないのでどなたかお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 18:55:12.10

>>451

ダメな理由が確かに見つからないんです。ですが違和感が0というわけでもなく書き込ませてもらった次第です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 19:12:56.32

>>448
交点の座標を求めよということは問題文に曲線または直線の方程式があるはずで、そこにx,yの文字が用いられているであろうから
xy平面であることは明らかで、何の問題もないであろう。

例えば「xの方程式 2x=5 の解を求めよ」との問題で、5/2 と答えるのが正解で x=5/2 と書くのは違和感があるとでもいうのか？これと同じことだぞ。
「5/2」はこの方程式の解だが「x=5/2」はこの方程式の解ではないからな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 19:16:58.53

>>452
> >>450
>
> 私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。

違和感はない。
しいて言うなら、交点のx座標を求めなさいという問いに対する答えとしては、
交点のx座標は2である。と答えるのが良い気がする、という程度。
それと同じ意味を指していると読み取れる答えならば、正解とするのが妥当。

そして、x=2と答えるのも、2と答えるのも、まともな文章になっていない時点で違和感がある。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 19:27:00.50

>>452
整理すると
直線y=ax+bと直線y=cx+dの交点の座標を求めなさい。
1) (2, 5)
2) (x, y)　=(2, 5)
3) x=2, y=5

1はOKってことだとおもうけど、2、3は減点かゼロってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 19:30:21.21

(2,5) とだけ書かれていた場合、どちらが x 座標でどちらが y 座標かわからないので
むしろその「答え」のほうが問題

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 19:46:20.31

たとえばトライ中学生の講義だとこんなかんじ
ttps://youtu.be/Juoc2EHIfLc?t=341
何の説明もなく>>456の1みたいな書き方してる

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 19:48:22.54

ご回答いただいた皆様ありがとうございます。私としては、>>456
で書かれてるように思っていました。

方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。どんな問題集の解答にもそのような書き方はなかったもので。また、x座標を求めなさいと言われてx=2と答えるのは、y軸に平行な直線を表しているように思えて違和感がありました。
学校の先生に聞いても、「マルだよマル」とだけ言われたので、こちらで質問させていただきました。もう少し勉強してみます。ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 19:55:26.36

これは難しい問題だな
厳密に言えば不正解だけど、正直そこまで厳密に理解してる人はそうそういない

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 20:18:26.52

>>459
>(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、

そうとは限らない
実際、 (y, x) = (5, 2) と書いても何の問題もない
それとも教科書か何かにそのように定義されているのか？
「記号 (・, ・) の左側は必ず x 座標で、右側は必ず y 座標にしなければならない」とでも？
そうでなければただの思い込みでしょう
掛け算の順序問題と同じ

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 21:24:31.85

>>459
＞方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。
ダブルスタンダードだな。その前半の解釈なら「座標は(2,5)です。」という意味で(x,y)=(2,5)と書くという解釈になるのではないか？

＞(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してる
この認識が誤りである理由は、>>461が指摘する点だけではない。
そもそも細かいことを言えば「(x,y)座標が(2,5)である」ことと「x座標が2でy座標が5である」ことは同値ではあるが異なる命題なので
「交点の座標を求めよ」との問題の答えとして「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは最適な答え方ではない。正解の許容範囲ではあるが。
「交点のx座標とy座標を求めよ」という問題であれば、答えに「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは妥当だろう。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 21:37:42.84

蛇足だから×って乱暴だな

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 21:43:08.76

>>461

中1の教科書には左がx座標で右がy座標ということは書いています。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 21:51:02.94

>>464
ふーん、じゃあ誤解の恐れがなければそれでもいいかもね
しかし、 (x, y) = (2, 5) のほうが正確な表現であることは間違いないので、
間違っても「蛇足でありバツ」ではない
むしろそのように解答する生徒のほうがあなたよりも数学を理解していると言えるでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 22:01:43.33

座標を求めるなら(2,5)が一番正確だが、
(x,y)=(2,5)と書かれてもまあ伝わる

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 22:30:35.78

ちなみに厳密にいえば、方程式の解を「x=2」みたいに書き表すのも間違い
方程式の解は変数に代入すると等号が満足されるような値のことであって、だから「解は2である」という表現のほうが正しい
ただ歴史的にずーっと「x=2」と書いてるし、そこまでキッチリ考えてる人が殆どいない
だから伝わるような書き方であれば良いということになる

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 22:31:40.85

>>465
その、「正確な表現」というのがよくわからないだけです。(●,●)で、座標を表すということは教科書に書いてあるので。だから蛇足というのは、(x,y)=(●,●)という書き方だと、「座標は座標は●●です」のように、同じことを二回書いてることになるから違和感があり、どんな教科書や問題集でも(x,y)=(,)のような書き方はしてないのだと思っています。
なぜ喧嘩腰なのか上から目線なのかはわかりませんが、私も友達同様中学生です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 22:59:50.78

>>468
なんだ中学生だったのか
つい採点する側の人かと思って厳しめに書いてしまった
なぜ (x,y) = (●,●) と書くべきかと言うと、
「 (●,●) で座標を表すとき、左側が x 座標で右側が y 座標」というのは中学校か、せいぜい高校まででしか通用しない「常識」だから
数学で (●,●) と書いたとき、これは必ずしも座標を意味するわけではなくて、一般には「順序対」というものになる
これは
「(a1, b1) = (a2, b2) となるのは a1 = a2 かつ b1 = b2 のとき、かつそのときに限る」
というように = が定義されていて、 (x, y) = (2, 5) というのは x = 2 かつ y = 5 の略記にすぎない
だから、 (y, x) = (5, 2) と書いても問題はない
また、 Wikipedia にあるように、「記号の意味は文脈に完全に依存」していることにも注意しないといけない
例えば、実数直線上の開区間を表すのに全く同じ記号を使う

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 23:10:51.38

>>469
おおよそ合ってるんだけども、大学数学をかなり勉強していてもこう思うのは正直無理もない
(x,y)=…という書き方は方程式の解と同様厳密ではない
確かに直交座標系は順序対などを使って定義されるが、直交座標系を定義した時点で順序対のどちらがx軸かということが定義されている
そして順序対の左側がx軸であるということは、おそらく暗黙の了解
というのも高校数学では暗黙の了解は意外とある
例えば1/Xというのは高校数学までは多項式とは扱われないが、R[X]を多項式環と定める(特に、R[1/X]は考えない)とは言及していない

要するにあんまり細かいことは先生側も知らないので、とりあえず迎合するしかない

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 23:20:34.87

こちらを教えて欲しいです。
お願いします。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10226449630?fr=ios_other

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 23:29:45.55

>>470
座標系の問題を言い出すとさらにややこしくて、高校でも極座標（系）をやるでしょ？
2次元の極座標では点の座標を動径 r と偏角 θ を使って (r, θ) で表すわけだから、直交座標と極座標が混在しているとき、
特に角度をラジアンで表すときは、 (2, 5) と書かれただけでは直交座標なのか極座標なのか判別できない

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 23:49:37.70

>>472
確かにわからないけど、そういう例は他にもある
例えば基底を忘れてしまうと線型写像の表現行列は何を表しているか分からなくなるが、基底が暗黙の了解で定まっていれば、表現行列をそのまま書いても問題はない

整理すると、(2,5)は暗黙のうちに直交座標系が定義されているので、そこは言及されているものとすれば一番正しい書き方
(x,y)=(2,5)のような書き方は、まあ厳密に言えば正しくないが、意味は伝わるし分かりやすいので問題ない
ただこう書くべきとは(数学的には正しくないので)俺には言えないかな

現実的な問題としては、先生が数学的に何が正しいのかわかるとは思えないから、うまーく周りに合わせるしかないというのが回答だけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 00:05:48.41

みなさま色々なご意見ありがとうございました。
今当たり前のことがのちに当たり前ではなくなるのかと、色々怖くなりましたが勉強になりました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 01:31:48.26

思い込みには気をつけるんだな

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 03:43:30.88

A=a+√((a+b)(a+c))
B=b+√((b+c)(b+a))
C=c+√((c+a)(c+b))
とする

(ab+bc+ca)(A+B+C)=ABCを示せ

展開すれば確かにそうなるんですが、他に良い説明あれば教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 03:51:17.21

平面上に定点Oをとり、Oを原点とする2次元座標を導入することを考える。

（1）a,b,c,dを正の実数とし、2次元の定ベャNトルuおよびvｂ=(a,b),v=(c,d)と定める。ただしuはどのような実数kに対してもu≠kvを満たす。
s,tを実数とし、原点<0,0>を始点としてsu+tvが表す位置を座標<s,t>と定める（また、点<s,t>とも呼ぶ）。
特にs,tが共に整数のとき、点<s,t>を格子点と呼ぶ。
a,b,c,dのとり方に依らず、ある2つの格子点が存在し、その2点間の距離を無理数とする整数s,tがとれることを示せ。
ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。

（2）引き続き、（1）で定めた座標を考える。
さらにOを原点とする極座標{r,θ}を定める。ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
このとき、a,b,c,dのとり方に依らず、{r,θ}=<s,t>かつ<s,t>≠<0,0>となる実数の組(r,θ,s,t)が少なくとも1つ存在すると言えるか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 04:52:38.21

lim［n→♾］（1+1/n）^n=e=2.7182818284590...
lim［n→♾］（1+1/-n）^-n=e=2.7182818284590...
であることを証明せよ。但し
a:=1/a^n（0≠a ∉R,n ∉N）

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 05:19:34.62

xyz空間の単位円周C:x^2+y^2=1(z=0)上を、半径rの円板Dが以下のようにして動く。

(a)Dの中心は円周C':x^2+y^2=1(z=r)上を(1,0,r)から反時計回りに1周する。
(b)Dは平面z=0と常に垂直である。
(c)DとCの接点をPとすると、PにおけるDの速度ベクトルの向きは、PにおけるCの接線を反時計回りにθ回転させた方向と一致する(0≦θ<2π)。

Dが動いてできる曲面を分類せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 11:26:38.90

>>478
一行目の前半はeの定義の表現のうちの1つであり、定義なのだから証明のしようがない。
eの他の定義との同値性を証明せよというのならわかるが、それならそれでeの定義が別に述べられていないとどうしようもない。
一行目の後半はeの近似値を小数点以下13桁求めよとのことだが、これもeの定義が明確でないとどうしようもない。
二行目は、一行目が示せれば直ちにわかることである。
但し書きはaの定義のように見えてaを用いている以上定義になっておらず、そもそも∉という表現ではaやnが一体何なのかわからない。
aは多分虚数なんだろうがそれならわざわざa≠0を書く必要がない。nは自然数ではない複素数ということなのか？複素数ではないことまであり得るのか？

総じて問題の趣旨が全く分からない。まさに分からない問題であると言えよう。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 11:50:33.53

>>477
(1)
＞ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
この距離の定め方なら、<1,0>=1u+0vと<0,1>=0u+1vの距離は√2だから無理数である。
しかし、この問いであれば1～2行目に何の意味もないな。

(2)
いまいち意味の取りにくい文章であるが
＞ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
この条件を満たすようにとるだけなのだから、少なくとも1つどころかいくらでも存在するだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 12:10:30.96

>>476
まず
　A - a = A'　　B - b = B'　　C - c = C'
　s = a+b+c,　　t = ab+bc+ca,　　u = abc,
とおく。

(右辺) - (左辺) = ABC -t(A+B+C)
　= (A'+a)(B'+b)(C'+c) - t(A'+B'+C'+s)　　　(← 展開する)
　= {A'B'C' + aB'C' + bC'A' + cA'B'-a(b+c)A' -b(c+a)B' -c(a+b)C' +u} -st
　= A'B'C' - (st-u)
　　+ a{B'C'-(b+c)A'} + b{C'A'-(c+a)B'} + c{A'B'-(a+b)C'},

題意により
　A'B'C' - (st-u) = A'B'C'- (a+b)(b+c)(c+a) = 0,
　B'C' - (b+c)A' = 0,
　C'A' - (c+a)B' = 0,
　A'B' - (a+b)C' = 0,
だから、確かにそうなる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 12:47:20.18

>>482
ありがとうございます。
うーん、やはりどこかである程度の展開は頑張らないとダメなんでしょうかね…

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 13:21:53.96

いま少し思ったのは
a,b,cについて斉次式なので其々を1/√(ab+bc+ca)倍したものを改めてa,b,cとおいて
それについて示しても良さそうですね

この場合、ab+bc+ca=1であり
A=a+√(a^2+1)
B=b+√(b^2+1)
C=c+√(c^2+1)
について

A+B+C=ABC

を示せばよい
(もしかすると余計に難しくなったかもしれません)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 13:49:02.08

マルチなのに無視されんかったんか

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 13:58:13.62

いま少し思ったのは
ab+bc+ca=1 で規格化すると
　a = 1/tanα,　b = 1/tanβ,　c = 1/tanγ,
　α+β+γ = π,　(⊿の3つの角)
とおける。このとき
　A = 1/tan(α/2) = tan((π-α)/2),
　B = 1/tan(β/2) = tan((π-β)/2),
　C = 1/tan(γ/2) = tan((π-γ)/2),
また
　(π-α)/2 + (π-β)/2 + (π-γ)/2 = (3π-α-β-γ)/2 = π,
よって　⊿の3つの角だから
　A+B+C = ABC.

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 14:06:56.22

>>486
今ちょうど同じ方針で考え始めてました！

三角形条件のときのtanの関係式知らないんですが、何か良いサイトか参照先ありますでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 14:16:40.58

いや、単純に3変数の加法定理でいいのか

tan(α+β+γ)=(ab+bc+ca-1)/(abc-(a+b+c))=0

よりα+β+γ=nπ(nはある整数)

cot((α+β+γ)/2)(AB+BC+CA-1)=ABC-(A+B+C)=0

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 16:02:39.30

3次元空間の異なる位置に点P_1,P_2,...,P_nを置いていく。
1≦i<j≦nなる任意の自然数i,jに対して、2点間の距離d(P_i,P_j)が有理数であるとき、点P_1,P_2,...,P_nはどのように配置されているか。
ただしn≧2とする。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 17:47:19.31

領域の不変性という以下の定理がブラウアーの不動点定理の系として得られるようなのですが
その証明が見つかりません
どこに載っているという情報だけでもいいのでご存知の方いたら教えてください

(領域不変性)R^nの開集合Uからの単射連続写像f:U→R^nは中への同相であり、f(U)はR^nの開集合

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 18:31:32.44

>>489
n=3のとき　一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
n=4のとき　一直線上にあるかまたは正四面体の頂点をなす
それ以外のとき　すべて一直線上にある。
ただし正三角形や正四面体の1辺の長さは有理数であり、一直線上に並んでいるときはそのうち1点を原点とする数直線とみなしたときの有理数に対応する点上に並んでいる。

任意の3点P_s,P_t,P_uを選ぶ。これらが同一直線上にないとき、3点を頂点とする三角形P_sP_tP_uが存在する。
条件よりこの三角形の3辺はすべて有理数なので、余弦定理から cos∠P_s,cos∠P_t,cos∠P_u はすべて有理数である。
cosの値が有理数となる三角形の内角は60°,90°,120°のみであるから、内角の和が180°になるためにはすべて60°の正三角形しかありえない。
すなわち、P_1～P_nのうち任意の3点を選ぶとそれらは一直線上にあるかまたは正三角形の頂点上になければならない。

つまり、n≧3のとき一直線上にない点が1点でもあればその点は他の任意の2点との距離が等しいとなる。
3次元空間内でこの条件を満たせるのは正三角形と正四面体のみであるから、上記の解答となる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 18:40:27.03

>>491
>n=3のとき　一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす

【反例】P_1 = (0, 0, 0), P_2 = (3, 0, 0), P_3 = (3, 4, 0)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 18:41:22.82

>>491
盛大なる勘違いをしていた。>>491は根本的に間違いです。無視してくださいすみません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/16(火) 21:22:43.29

>>488
ABC予想が解決ですか｡｡｡

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/17(水) 01:14:00.51

>>480
すまん、a ∉Rはミス、a ∈Rだったわ
その二行目は一行目が示せれば直ちにわかるっていうのを具体的に教えてほしい
アホすぎてわからん

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/17(水) 01:22:00.02

>>478
>♾: PERMANENT PAPER SIGN (中性紙マーク)
nが中性紙に近づくとはどういう意味なのか知りたい

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/17(水) 02:10:01.92

>>478
>♾: PIG OR BOAR'S NOSE SIGN (豚・猪の鼻マーク)
nが豚・猪の鼻に近づくとはどういう意味なのか知りたい

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/17(水) 10:40:03.36

>>495
つまり>>478のlim［n→∞](1+1/n)^n=e から lim［n→∞](1-1/n)^(-n)=e を示せばええんやな？

n=N+1 とおくと、n→∞ のとき N→∞ である。
(1-1/n)^(-n)={1-1/(N+1)}^(-N-1)
={N/(N+1)}^(-N-1)
={(N+1)/N}^(N+1)
=(1+1/N)^(N+1)
=(1+1/N)*(1+1/N)^N
→1*e=e