分からない問題はここに書いてね460

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/18(月) 23:25:16.78

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね459
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585492157/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 15:51:31.28

>>921 の問題
>>922 が一瞬で答えてくれた。

色の数n を増やして
実際に計算してみると
>>940 のようにおおむね 1.6+ あたりへ
漸近していくのが見て取れる

5色のうち4色 →
10億色のうち8億色と色数を大きくしていくと

ln (e!) x (a/b) ! = 1.63789......
に漸近するんかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 15:56:43.91

>>942
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！

おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 16:04:51.88

ln (e!) x (a/b) !

↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。

全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が非常に大きい整数であれば、

a x {ln (e!) x (a/b) !} 回

のような気がする。

**A欄既卒** ◆iD93.8lby6 · 2020/07/07(火) 16:20:10.61

大学で「確率」とか「解析学」を
履修した理系の人たち、いませんか？

>>921 → >>922 で問題は解けて納得したけどさ。

>>940 から俺が閃いた漸近する値についてのナゾの式
（>>951 および >>952）の内容は正しいのか？

間違っているなら、「漸近する値が間違っているぞ」
という反例を挙げて欲しい。

10兆色のうちの8兆色とかで計算してさ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 16:43:48.89

>>940
１０００色までやってみた。
https://i.imgur.com/CSDDMr0.png
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356

> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
+ if(print) print(y)
+ return(asNumeric(y))
+ }
> collector(5,4)
Big Rational ('bigq') :
[1] 77/12
[1] 6.416666667
> collector(100,80)
Big Rational ('bigq') :
[1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688
[1] 158.963786
> n=1:1000
> r=0.8
> y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F))
> plot(n,y,bty='l',col='gray')
> lm=lm(y~n) ; lm

Call:
lm(formula = y ~ n)

Coefficients:
(Intercept) n
-1.941193 1.609356

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 17:11:00.80

>>955
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910

１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 17:22:49.18

内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 17:24:30.65

E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 17:43:00.85

φ(A)⊂Aなら
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 17:53:41.84

ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 19:09:06.17

>>808 の計算

正n角形Sの頂点を　S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を　T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
　辺S_{k-1}S_k と辺T_{k-1}T_k の交点をU
　辺S_{k-1}S_k と辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。

Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。　↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。　↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
　↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n),
ここに　↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)),
これを解いて
　L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
　　/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
　m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
　　/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},

△(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV)
　= L m * (1/2)T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1})
　= L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}),
ここで
　T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)),
　∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2),
より
　△(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)),

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 19:12:12.43

>>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
　台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
　h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 19:50:07.32

p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 19:59:46.44

鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 20:31:00.79

>>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 21:17:50.33

放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。

…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。

(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 23:27:30.77

>>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。

受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。

いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 23:27:49.04

分からない問題はここに書いてね461
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 01:39:18.47

>>962-963

n 面積
-----------------------
3 1.113653769170520
5 0.397944967183052
7 0.187485749191523
9 0.105399738651839
11 0.066428110136527
13 0.045288462094167
15 0.032681482667606
31 0.006502342848450
63 0.001434131704510
127 0.000336211588037
255 0.000081395165854

n>>1　では　～ 5/n^2

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/07/08(水) 03:28:31.71

前>>941
>>967
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、
2p+a=p^2+1
p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1
P(1,2)が判明。
PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2
x=2y^2+2
=1-2y+2
=3-2y
=3-(√3-1)
=2-√3
Q(2-√3,(√3-1)/2)が判明。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 04:38:30.25

>>956-957
すいません、
私の思いつきは的外れでしたね、
失礼しました。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/07/08(水) 04:53:28.69

前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。
>>967
P(1/2,5/4)
Q(5/4,1/2)
ピタゴラスの定理より、
PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2
=3√2/4

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 07:34:45.40

>>967
思考停止のプログラムでの数値解

> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 08:08:33.01

>>966
ディリクレ(1805～1859)の死後、明治～大正時代は
「引きだし論法」だったかも。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 08:11:46.16

>>974
図示しないと気持ちがわるいな。

https://i.imgur.com/Sf54r6U.png

x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 08:32:40.16

正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 08:37:03.05

みんな頭いいな。

ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？

ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。余裕で予選落ちだ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 09:34:26.90

>>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 10:16:11.83

C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 11:22:54.39

>>980
条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？

動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが
垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 11:56:09.02

X,Yを全順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？

なりそうな気がしますがどうでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 12:44:39.16

全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 12:56:11.26

>>975
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 12:58:19.91

>>973
赤がイナ芸人の答
https://i.imgur.com/5eWWxGA.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 13:10:57.01

そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 14:12:29.85

>>980
さすがに>>981ではアバウトすぎた気がするので、もう少し丁寧に書いておく。

点Pは点Qを中心とした半径PQの円Oと曲線Cの共有点であるが、交点ではない（理由は後述）から接点である。
つまり点PにおけるCの接線は円Oの接線でもあるので、半径PQと垂直である。
同様に点QにおけるDの接線もPQに垂直であり、同一の直線PQに垂直な2直線は平行である。

（交点ではない理由）
円Oと曲線Cが点Pで交わると仮定すると、円Oの内部に曲線C上の点をとれることになるがこれはPQの最小性に矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 14:45:28.68

xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 15:06:41.16

lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 15:31:59.19

lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/07/08(水) 16:30:51.37

前>>973訂正。
>>967
P(p,p^2+1)
Q(2q^2+2,q)
PQ^2=(2q^2+2-p)^2+(p^2+1-q)^2
=......
=(2q^2-p^2)^2......
p=q√2のときPQは最小。
PQ^2=8q^4-4(√2+1)q^3+15q^2-2(1+2√2)q+5=f(q)とおき、
f'(q)=32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
この3次方程式が解ければP,Qの位置は決まると思う。
おおよそP(2/3,13/9),Q(22/9,√2/3)ら辺と考えられる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 16:53:00.60

>>988
点Mを十分遠くにとればMPをいくらでも大きくできるのでMPの最大値は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 18:16:48.79

>>981
レスありがとうございました。
図示したらおっしゃることが理解できました。

https://i.imgur.com/b3RRYWW.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 18:39:34.25

>>991
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。

実数解は
q　?　0.318819191675181
だそうです

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 19:08:18.21

MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。
よろしくお願いします。

【修正】
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/07/08(水) 20:01:55.86

前>>991
>>994
q=0.318819191675181として、
P(0.45087842481,1.2329135396)
Q(2.20329135396,0.318819191675181)
PQの傾きは-0.914094347924819/1.75241292905＞-1/2

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 01:42:21.15

一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。

（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。

（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 02:32:24.75

π/3<a<2π/3
1/4

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 07:39:23.23

>>996
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492

> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 08:04:04.12

問 1. 定規とコンパスがある。

これで単項式、かつ、nを含む三乗根の数（3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）

問 2. 折り紙がある。

これで単項式、かつ、nを含む三乗根の数（3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）

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