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分からない問題はここに書いてね460

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0499１３２人目の素数さん
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2020/06/17(水) 11:08:25.33ID:RULVX7n4
今まで恋人がいなかった時間と、これから巡り会うまでの時間は無関係だとすると、
恋人に巡り会うまでの待ち時間の分布μは指数分布になる。つまり任意のs,t>0に対し、μ([s+t,∞))/μ([s,∞))=μ([t,∞))となると書いてあるのですが、
μ([s,∞))は何を表しているのでしょうか？
0503１３２人目の素数さん
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2020/06/17(水) 13:42:07.58ID:lMu+/WT6
BC=a,CA=b,AB=c,0<a≦b≦cの△ABCにおいて、∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γとする。
以下のx,y,zの大小を比較せよ。

x=(b/a)^2+(c/b)^2+(a/c)^2
y=(β/α)^2+(γ/β)^2+(α/γ)^2
z={βγ/(α^2)}^2+{γα/(β^2)}^2+{αβ/(γ^2)}^2
0504１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 09:42:13.50ID:CYG0FbB2
(1/a)+(1/b)-(1/c)=1/d
を満たす自然数の組(a,b,c,d)を考える。
以下の各場合について、このような(a,b,c,d)が無数に存在するかどうかを判定せよ。

（1）a=b=c=d

（2）a,b,c,dのうち、3つの数は等しい。残りの数はそれらと異なる。

（3）a,b,c,dのうち、ある2つの数は等しい。この数をx,残りの2数をy,zとすれば、x≠y≠zである。

（4）a,b,c,dはすべて異なる。
0505１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 10:51:55.03ID:pULdTssQ
２変数多項式f(x,y)が任意のx,y,zに対して以下の二条件を満たすときの一般解を求めよ
（１）　f(x,y)=f(y,x)
（２）　f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
0506１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 12:14:49.53ID:yuRO46b1
>>504
　1/a + 1/b = 1/c + 1/d,

(1)　無数にある。
(2)　ない。
(3)　無数にある。　(x,y,z) = (3n,2n,6n)　(4n,3n,6n)
(4)　無数にある。　(a,b; c,d) = (2m-1,2m+1; m, m(2m-1)(2m+1))
0507１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 12:32:12.75ID:yuRO46b1
(3)　無数にある。　(x,y,z) = ((2m-1)n, mn, m(2m-1)n)
(4)　無数にある。　(a,b; c,d) = ((2m-1)n, (2m+1)n; mn, m(2m-1)(2m+1)n)

*)　１組あれば、そのa～dをn倍したものも可
0508１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 15:21:21.18ID:F4jhkTZx
有限生成アーベル群の 部分群は有限生成である事を示してください。
明らかな命題かと思ったのですが証明が思いつきません。
0509１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 15:52:50.07ID:PKg1Ay6A
>>508
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。

主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
0510１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 16:47:27.86ID:MooqUMpf
>>508
可換環R上の加群Mに対して、任意のMの部分加群が有限生成加群であるとき、ネーター的であると定義する
0→A→B→C→0をR加群の完全列としたとき、AとCがネーター的であればBもネーター的である(実は同値、証明は略)
言い換えればAによるCの拡大がネーター的となる
可換環Rがネーター的であることを、R自身の加群としてネーター的であることと定める
Rがネーター環であれば、環の直和を完全列における拡大とすることで、任意の自然数n≧1に対してR^nがネーター的となる
したがって、もしRがネーター環であれば、任意のR上の有限生成加群Mにはネーター加群であるR^nからの全射R-線型写像が存在するので、Mもネーター的となる…①

特にRとして有理整数環Zを取る
有限生成アーベル群とはZ上の有限生成加群に他ならず、Zはネーター環であるので、①よりZ上の有限生成加群はネーター的であり、したがって言い換えれば、有限生成アーベル群の任意の部分加群が有限生成アーベル群となる
最後に、任意の可換環Rに対して、ある0以上の自然数nに対してRがZ/nZに同型であれば、部分加群と部分群は同値となる
よって有限生成アーベル群の任意の部分群が有限生成アーベル群となることが示せた
0512１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 17:14:13.95ID:F4jhkTZx
>>509 ありがとうございます。理解できました。
>>510 ネーター云々は私にはレベルが高すぎました。申し訳ない。

M :=＜s1,s2,..,sM＞,　M' ⊂ M
L := ＜s2,..,sM＞ ⊂ M
N := M/L = ＜[s1]＞
L':= L∩M' {有限生成 ∵L'⊂L}
N':= M'/L' {有限生成 ∵M'/L'≃(M'+L)/L ⊂ M/L=N}
完全系列: 0→ L'=L∩M' → M' → M'/L'=N' → 0
補題より M' は 有限生成
0513１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 17:40:23.24ID:O0ypD0fT
数直線上の点0に点Pが置かれている。
サイコロを振り、出た目の数だけPを数直線の正の方向に動かす。
例えばサイコロを3回振り、出た目が順に3,2,4である場合、Pは点3、点5、点9の順に止まる。
以下、サイコロは無限回振られるものとし、その仮定のもとでPが点nに止まる確率をa[n]とする。

（1）数直線上の点kを1つ選ぶ。その点にPが止まった場合、賞金が得られるとする。賞金を得る確率を最大化するよう、kの値を定めよ。

（2）lim[n→∞] a[n]を求めよ。
0516１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 20:42:46.67ID:++bXFhVL
n=6のとき最大
(∵ 全てのコウは前6項の平均なのでその最大を超えることはなく、等号成立は前6項が等しい時のみ。)

(0,1 % 1)
(1,1 % 6)
(2,7 % 36)
(3,49 % 216)
(4,343 % 1296)
(5,2401 % 7776)
(6,16807 % 46656)

(0,1.0)
(1,0.16666666666666666)
(2,0.19444444444444445)
(3,0.22685185185185186)
(4,0.2646604938271605)
(5,0.30877057613168724)
(6,0.36023233882030176)
0518１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 21:51:08.22ID:ScdplQZO
>>517
それはタンジェントの加法定理になってるから
x=tanα
y=tanβ
f(x,y)=tan(α+β)

他にもf(x,y)=min(x,y)とかokだよね
0519１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 22:14:48.20ID:ScdplQZO
可換かつ結合的な演算●があるところへ全単射gがあれば
f(x,y)=g^-1(g(x)●g(y))
として可換かつ結合的な演算を得られるのか

>>511 はg(x)=ax+bで、●として通常の積を採用したものになってる

>>517 はg(x)=arctanxで、●として通常の和を採用したものになってる
0520１３２人目の素数さん
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2020/06/18(木) 22:58:37.92ID:MpFvMcz/
>>516
lim[n→∞] a[n]　はわかりますか？
直感的に1/6かなと思うのですが、きちんとした証明を与えられません。
0522１３２人目の素数さん
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2020/06/19(金) 05:06:07.60ID:GCb30kF+
X1, ...., Xnをベルヌーイ分布に従う独立な確率変数
T(X) = X1 + ... + Xn
とすると、
X1,......,Xn,Tの同時確率分布が
P(X1=x1,......,Xn=xn,T=t)=P(X1=x1)......P(Xn=xn)
となる理由を教えて下さい。
0526１３２人目の素数さん
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2020/06/19(金) 14:32:01.89ID:IfhMapdU
>>503
　x ≦ y ≦ z,

(左側)
〔補題〕　⊿の辺と角は同順序
　0 ≦ (b-a)/2R = sinβ - sinα　　　(←正弦定理)
　　= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2)　　(←和積公式)
　　= 2sin((β-α)/2)cos((π-γ)/2)　　(←α+β+γ=π)
　　= 2sin((β-α)/2)sin(γ/2),　etc.　　(終)

よって題意より
　0 < α ≦ β ≦ γ,
sin は上に凸だから
　1 > sinα /α ≧ sinβ /β ≧ sinγ /γ,

これより
　1 ≦ b/a = sinβ / sinα ≦ β/α,
　1 ≦ c/b = sinγ / sinβ ≦ γ/β,

f(u,v) = uu + vv + 1/(uv)^2　とおくと
　x = f(b/a, c/b)
　y = f(β/α, γ/β),
f(u,v) は u≧1, v≧1 では単調増加
∴　x ≦ y,

(右側)
　uvw=1 のとき　u+v+w ≦ u/w + v/u + w/v,　････ (*)
∴　y ≦ z,

*)　佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)
　　p.26　演習問題1.75
0528１３２人目の素数さん
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2020/06/19(金) 19:29:00.40ID:IfhMapdU
(補題) の略証
　a/sinα = b/sinβ = c/sinγ,　　(←正弦定理)

・α,β,γ ≦ 90°のとき (鋭角△、直角⊿)
　sin は 0～90°で単調増加だから成立。

・θ > 90°のとき (鈍角⊿)
　　θ ' = 180°- θ = (他の2角の和)
　および 他の2角は鋭角だから、正弦定理より
　(a,b,c) と (他の2角, θ') は同順序。
　(他の角) < θ' < θ だから θ ’→ θ としてよい。

*)
　(u/w + u/w + w/v)/3
　= (u/w + u/w + uww)/3　　(← uvw=1)
　≧ u,　　　　　　　　　(← AM-GM)
巡回的にたす。
0529波の人
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2020/06/20(土) 14:08:16.68ID:vxR4m7V3
桜じゃありません。本当にわからないです
(y^2＋1/y^2)/x^2＝1
の関数はどんなグラフになりますか？
この式がどこからどうでたかというと
y^2＋x^2＝r^2 の円の式の変形です
この円の式が一点を中心に回帰する理由がもしr^2のせいなら、r^2をx^2に変えて、グラフは2次元なので他の2要素をyに習合したら波形になるかもと考えた中学生並感の考えです
このyをm、xをsにそれぞれ置き換えたら(三角関数など使わずに)物理の単位で表せるようにならないかという展望なのですが、スレチすいません
とにかく、(y^2＋1/y^2)/x^2＝1で波になるか、または成らないとしたらこのような形式で波になる三角関数など使わない式を教えて欲しいのです

よろしくお願いします。
0531１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 14:19:53.37ID:CtYe69Zx
0<a<b<1、0<c<d<1、(a,b)と(c,d)を両端とする線分をLとする。
2つの放物線
C:y=px^2
D:y=(1/p)(x-1)^2
がともにLと共有点を持つような実数pの条件をa,b,c,dで表せ。
0532イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/06/20(土) 15:15:20.09ID:m+z4y6nz
前>>386
>>531
(a-1)^2/p＞b＞pa^2のとき、
pc^2＞d＞(c-1)^2/p
pa^2＞b＞(a-1)^2/pのとき、
(c-1)^2/p＞d＞pc^2
辺々掛けてc^2(a-1)^2＞bd＞a^2(c-1)^2
またはa^2(c-1)^2＞bd＞c^2(a-1)^2
0535１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:09:54.07ID:Y1MEvwr9
>>530
>>533
ありがとうございます。波にならないですね

(y^2+1/y^2)=(x^2+1/x^2)
この式ならどうでしょう？このサイトでもグラフ化されなかったのですが
0537１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:23:14.86ID:Y1MEvwr9
色々式変えてみたのですが、yとxだけで波になるのは難しいようですね

もし見つかりましたら教えてください
0540１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:44:21.51ID:Y1MEvwr9
>>539
微分記号そのものを指数化すると円や波にできるんですか！
…でも物理の単位を作りたいのでNGです
0541１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 17:48:32.89ID:hsq8T7LL
テイラー展開を有限項で切れば途中までは波っぽくなるだろうけど
数学的には>>538だな
0543１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:02:40.03ID:3GFxA0wR
>>540
単位なんか時定数かければ揃えられる

((2π/T)^2)y + (d/dx)^2 y == 0
xの単位が秒なら、周期Tの単位も秒
0544１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:19:07.40ID:rSe2B6jP
T=0 ｔ＝T
Φ→（１＋ｒ）ΦY０
Y０→YT（U）＝uY0　　（PU時）
→YT（D）＝ｄY０　（PD時）
C０→CT（U）
　→CT（D）
市場は完全流動的、売値＝買値、取引コスト０、無裁定と仮定する。
時刻ｔ＝０に於ける安全証券（銀行預金等）額をΦ０、原資産 (株等)の価格
をY０、この原資産の (コール)オプシ ョンの価格をC０、オプション行使価
格を Kとする。そしてこの時刻ｔ＝０で、この安全債権と原資産をΔ０単
位保有するポートフォリオを組んだとする。 このときｔ＝０における全資
産X０は
　X０：＝Φ０＋Δ０Y0
である。オプション契約時刻ｔ＝０、オプション満期時刻ｔ＝T以外の時刻は考えず、
市場利子率 (銀行利子率)を ｒ≧０、満期時刻ｔ＝Tで原資産価格は確率Puで、YT（U）＝uY0,
u>1と値上がりし、確率PdでYT（D）＝ｄY０,0□ｄ＜１と値下がりするとする。時刻ｔ＝Tでのオプション価格をCTとする。
そして時刻ｔ＝Tでの総資産をXTとおく。即ち
　　XT：＝（１＋ｒ）Φ０＋Δ０TY
である。ここにYT、CT、XTはそれぞれ値
YT＝YT（U）,YT（D）　CT＝CT（U）,CT（D）　XT＝XT（U）,XT（D）
を取る確率変数である。
以上のことから次の（１）～（４）を証明せよ
（１）０□ｄ＜１＋ｒ＜u
（２）X０＝C０
（３）XT=CT
（４）CT＝（YT－K）^＋：＝｛YT－K（YT－K≧０）｝
　　　　　　　　　　　　　　｛　　０（YT－K<０）｝
0545１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:21:08.89ID:RpizhPTb
y = 4 (-1)^[x/π] {x/π} (1-{x/π})

[ z ] = floor(z)　∈ Z　は z を超えない最大の正数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
0547１３２人目の素数さん
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2020/06/20(土) 18:47:41.85ID:gxQjJnHj
三角関数は、単振動とかで現れる波そのものなんだから、三角関数使いたくないということは、
すなわち、単振動とか扱えないものを作りたいということでしょ。
何がやりたいの？
0548１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 19:00:42.19ID:RpizhPTb
>>545
y = 1 - 2(4 {x/π} (1-{x/π}) )^2

[ z ] = floor(z)　∈ Z　は z を超えない最大の整数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
0550１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 19:43:09.76ID:RpizhPTb
>>535　>>539
g(x,y) = y^2 + 1/(y^2) - x^2 - 1/(x^2)
　= (y^2 - x^2) + (x^2 - y^2)/(xy)^2
　= (y^2 - x^2){(xy)^2 - 1}/(xy)^2
　= (y-x)(y+x)(xy+1)(xy-1)/(xy)^2,
よって
　y = ±x,　　　(45°線、原点を除く)
　y = ±1/x,　　(直角双曲線)
の4つに退化する。
0551１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 19:49:27.58ID:B6UCbhfA
>>537
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります

y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります

y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります

こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね

波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています

で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ

ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
0554１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 22:08:11.18ID:a2GfXqVt
非斉次微分方程式の特解って、グリーン関数の方法を使わなければ人によって変わりますよね？なんでそれで大丈夫なんですか？
0555波
垢版 |
2020/06/20(土) 22:34:44.69ID:xNDcWa2+
>>551
(x-1)(x-2)(x-3)の123と増えていくものをsにしてyとxをmに習合できませんか？

三角関数は単位にできませんし、πという物理の単位もありません。微分や積分も物理の単位では^1/n、^nになりますし、周期または周波数のs/syc、syc/sのサイクルも物理的な実体はないですし

円をy^2＋x^2＝r^2と三角関数を使わないで表現できるように、三角関数を何かしらの計算方法としてyとxの直接的な計算記号に落とし込んでyとxだけで表現できないかということです

完成目標はsin刃とcos刃の単振動です
0556波
垢版 |
2020/06/20(土) 22:40:27.85ID:xNDcWa2+
たぶんyとxをmに習合するとyの面範囲になって確率表現になると思うんですけど
あ、まったくわからないです
0559１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/20(土) 23:40:30.33ID:3GFxA0wR
習合という単語にとんと聞き覚えがないので
辞書を引いてみたんだよね

「哲学上または宗教上で、相異なる諸種の教理や学説が融合すること。神と仏を結びつけて、その本地垂迹を考えた、神仏習合思想はその一つ。」

なるほど。宗教の話をしていたのか
道理で話が通じないわけだ。
0560１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 00:54:50.67ID:2Oslh1MN
>>555
足し算の記号はΣで表しますけど、掛け算の記号は大文字のΠで表します


Π(x-m)=....(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)......
0561１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 10:08:29.44ID:TWkOlglI
偏微分方程式の変数分離法って方法がありますが、その解の線形結合で表される解以外の解があることってあるんでしょうか？
あんがい応用系の本には載ってないもので…
0562１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 10:42:59.50ID:Wwj5EQcX
（１）　x^n + y^n = z^n + 1
（２）　x^n + y^n = z^n - 1
nは３以上の整数のとき方程式（１）（２）の整数解x,y,zは必ず存在するか？
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 11:47:20.03ID:6R/grUKn
TをXの確率変数として、Pr(x,t)を考えます。
XとYは離散確率変数とします。
T(x)=tとならないxに対して、Pr(x,t)=0となることの証明と、
T(x)=tとなるxについては、Pr(x,T(x))=Pr(x)となることの証明を教えて下さい。
0567１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 11:53:31.95ID:TWkOlglI
>>564
ありがとうございます
非線形ならある場合もあるんですね。まあ非線形で変数分離できるとは限らんでしょうが
0568１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 14:03:31.74ID:TNWiRm1q
nは自然数の定数とする。
1≦k≦nの条件のもとで、(n,k)+(n+k,k)を最大にする自然数kをnで表せ。
ただし(a,b)は二項係数を表し、aCbとも書く。
0570１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/21(日) 16:05:00.56ID:nFN2fLDa
>>568
k = n

（適当な証明）
n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、次の主張が成り立つ。
主張「 1 ≦ k < n のとき、 (n,k) + (n+k,k) < (2n,n) 」
主張が正しければ、 k = n のときに最大となることがわかる。

補題1「 1 ≦ k < n のとき、 (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) 」
（補題1の証明）
数列 (n+k)!/k! を考えると、これは k について単調増加であるので、
(2n-1)!/(n-1)! ≧ (n+k)!/k! より (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) が従う。

補題2「 1 ≦ k < n のとき、 (n+k,k) > (n,k) 」
（補題2の証明）
明らか。あるいは、ヴァンデルモンドの畳み込みから、
(n+k,k) = Σ[j=0,k] (n,j)(k,k-j) > (n,k) より成り立つ。

（主張の証明）
パスカルの三角形より、
(2n,n) = (2n-1,n-1) + (2n-1,n) であり、二項係数の対称性から
(2n-1,n) = (2n-1,n-1) であるので、
(2n,n) = 2(2n-1,n-1)
あとは補題1と補題2から主張が従う。

エレガントな証明は他の人に譲ります
0572１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 16:21:56.37ID:Wwj5EQcX
(9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1 (オイラー）で無限個あるそうな.-1の方もn=3のときは無限個あるそう
0574１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 19:08:17.24ID:ScL+3aN1
>>573
>>566で返答が得られていると思うけども。

この手の自明なことを証明せよということは、定義に忠実に従った記述が求められているわけで
Pr(x,t)やPr(x)の定義が正確に記述されてない以上こちらで勝手に決めつけて答えにくいわけで
自明ですね、となるわけだ
0575１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 20:07:20.38ID:KCThDFGX
>>568
　a_k = (n,k) + (n+k,k)
とおく。
パスカルの△より 1≦k≦m に対し
　(m,k) = (m-1,k) + (m-1,k-1) > (m-1,k)
よって
　a_{k+1} - a_k = (n,k+1) - (n,k) + (n+k,k+1)
　　> (n,k+1) - (n,k) + (n+k-1,k)
　　≧ (n,k+1)　　　　　　　　(1≦k<n)
∴ a_k は単調増加
0576１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 20:08:37.59ID:6R/grUKn
>>574
直感的に明らかではあるんですけど証明ができないです。。。
Pr(x,t)は確率変数(X,T)の同時確率測度
Pr(x)はXの確率測度でPr(t)はTの確率測度です
0577１３２人目の素数さん
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2020/06/21(日) 20:59:39.08ID:ScL+3aN1
>>576
直感的に明らかなのではなく、定義から明らかなのです。

確率変数、離散確率変数、確率測度、同時確率測度の定義を述べればそれでほぼ証明できたも同然のはずなのです。
つまり証明できないということはあなたがこれらの定義をわかっていないのだと思うのですが、それでは証明のしようもないのです。
0578１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 10:35:54.84ID:HOq0vlXr
>>572
n=3 の場合
　y^3 = z^3 - x^3 + 1
　　　= (z-x)(zz+xz+xx) + 1
　　　= (z-x){(2x+z)^3 - (z-x)^3}/9x + 1,
ここで 9x = (z-x)^4 とすれば
　y^3 = {(2x+z)/(z-x)}^3,
　y = (2x+z)/(z-x)
　　= 3x/(z-x) +1
　　= (1/3)(z-x)^3 + 1,
　z = x + (z-x),
これより
　x = 9t^4,
　y = 9t^3 + 1,
　z = 9t^4 + 3t,
0579１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 13:00:47.55ID:qRmIzlOs
xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線をL_Pとする。
CはL_Pにより2つの曲線に分割されるが、Pの位置に関わらず、この2つの曲線はL_Pに関して線対称でないことを示せ。
0582１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 15:29:36.80ID:FzufUNm3
f(x)(x+1)＝4(x+1)の時と、f(x)(x+1)＝(2x+3)(x+1)の時では解答に差が出るのでしょうか？
前者はx≠-1のただし書きがなかったのですが、どういう事なのでしょうか？
0584１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 17:13:41.14ID:0/eLdBm+
>>579
初等的に解いてみた

「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線」を
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける接線に垂直な点Pを通る直線」と解釈する

曲線 C 上の任意の点 P を P(x, y) = (a, e^a) とすると、 e^a ≠ 0 より、 直線 L_P は
L_P: y = - e^(-a) (x-a) + e^a = - e^(-a) x + ae^(-a) + e^a
となる。
曲線 C 上の任意の点 Q(x, y) = (x_1, e^x_1) に対し、
点 Q と直線 L_P に関して線対称な点を R(x, y) = (x_2, y_2) とするとき、
(e^(-2a) + 1)y_2 = - 2 e^(-a) x_1 + (e^(-2a) - 1)e^x_1 + 2(ae^(-a) + e^a)
が成り立つ。

曲線 C を直線 L_P によって分割した2つの曲線が直線 L_P に関して線対称であると仮定して矛盾を導く。
上の点 Q, R に対し、線対称の仮定から、 x_1 → +∞ のとき y_2 → 0 でなければならない。
しかし、上の y_2 の表示から、
a ≧ 0 のとき y_2 → -∞ (x_1 → +∞)
a < 0 のとき y_2 → +∞ (x_1 → +∞)
となるので矛盾。
0585１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 17:37:31.54ID:DpfREwGB
ていうか
e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
もし線対称線があるなら、それはe^xの傾きが45度
つまりx=0での法線でなければならない
しかしこの点では明らかに線対称でないから不可能
0586１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 18:43:51.70ID:oXHhmpkM
>>585
＞e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
いやさすがにe^xがx→+∞でy軸に平行に向かうは無いわ。
0587１３２人目の素数さん
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2020/06/22(月) 18:49:18.07ID:0/eLdBm+
>>585
y = e^x は x → -∞ のとき直線 y = 0 に漸近するので、
線対称線があると仮定して y = e^x を折り返すと x → +∞ のときも漸近線が存在することになるが、
実際には x → +∞ のときに漸近する直線は存在しないので矛盾。
という論理なら正しいと思います
0588１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/22(月) 18:52:12.15ID:DpfREwGB
>>586
言い方がアレだが傾きは∞(つまりy軸の傾き)に向かう
それ以外のどの傾きにも向かっていかないわけだから
線対称にするなら少なくとも45度のところでなければならない、てのは論理的に問題ない
0591１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/23(火) 08:37:16.55ID:aDKneL6R
任意の自然数nに対してr^nが無理数となり、r^n-rが有理数となる実数rが存在するならば、それらを全て求めよ。
0592１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/23(火) 11:17:32.20ID:5kvsRr7n
＞＞591
存在しない。

r^2-r=r(r-1) および r^3-r=r(r-1)(r+1) が有理数であるからその商r+1も有理数である。つまりrは有理数である。
しかし、rが有理数であればr^nが無理数となることはない。矛盾するのでこれを満たすrは存在しない。
0593１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/23(火) 16:27:19.84ID:FjhXp1Fi
1/(x^2+1)が実数の範囲で一様連続かどうかという問題で、微分係数の形にしないと上手く証明出来ないかなと思ったのですが、δをどのようにとったら上手く証明できますか？
0594１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/24(水) 03:51:36.47ID:s7K3jYNh
以前lim［n→ ∞］（1＋1/x）^nとかについて聞いた者なんだけど、また質問させて欲しい
x= ∈Rの時
lim［n→∞］（1＋1/x）^n=lim［n→∞］（1＋1/-x）^-x=e
を証明せよ

Rの指数法則
0<a,b a≠1,b≠1 x,y ∈ Rに対して
（1） R a^x＋y=a^x・a^y
（2） R （a^x）^y=a^xy
（3） R （ab）^x=a^x・b^x
（4） R a^0=1,1^0=1
（5） R a^-x:=1/a^x
（6） R a^1/n=n√a
（7） R a^無理数
0595１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/24(水) 06:28:04.91ID:vyYURpQJ
>>594
nとxがごちゃまぜになっているようなので正確に書いてくれるか。

あと質問自体とは全く無関係ではあるが
そのRの指数法則って書いているものは表記がおかしい部分があるもののおおむね意味は分かるが
最後の「a^無理数」これだけ意味が分からんのだがどういうことだ？
0596１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/06/24(水) 09:51:26.93ID:NoItLLRp
>>593
f(x) := 1/(x^2+1)
|f(x+h)-f(x)| = ... = |(2hx + hh)/{((x+h)^2+1)(x^2+1)}|
≦ |2hx|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)| + |hh|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|
≦ |2hx|/|x^2+1| + |hh|　　{∵ |1/((x+h)^2+1)|≦1, 1/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|≦1}
≦ |h| + |hh|　　{∵ |2x/x^2+1|≦1}
≦ (|h|+1/2)^2 - 1/4

∀ε＞0, ∃δ = √(ε+1/4) - 1/2
|h| < δ ⇒ |f(x+h)-f(x)| < ε
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