IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。 concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e., roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and, moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model”
＞ZFCの9個の公理 のIUT-4の記載部分は、投稿版も最終版も、以下記載だったが、修正されてないので此処は問題でないよ。 ”[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice - cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].” だいたい [Drk], Chapter 1, §3].の出典元の引用で、些末なことで、タオが此処を問題しないと思うよ。 だから確認したら、此処とは違うところの指摘だよ。
置換公理から ”On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by” と書かれていて、置換公理って、こうやって使うのか〜ｗ、と感心したのです で、まあ ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・ 達を、公理 Axioms 1,3,4,5 ＆ Axiom 6(Replacement Scheme) とか（勿論 他の公理も）使って、通常の集合論の記号や用語を組立て さらには、定理を作って・・と出来るのです（多分ねｗ）
（参考） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋)
P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り)
１．”⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・ 達を、公理 Axioms 1,3,4,5 ＆ Axiom 6(Replacement Scheme) とか（勿論 他の公理も）使って、通常の集合論の記号や用語を組立て” って話なんだよね ２．で、⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・ これらは、全部公理じゃない！ ３．なぜならば、これらを導く論理式 ψってのは、それぞれ 他の公理から導かれるものだから だから、くどいが 個々の”これらを導く論理式 ψ”達ってさ、これらは公理じゃないよね？ｗ （∵ 他の公理から導かれるものは、公理ではない） ４．だったら、置換公理”Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,”って、やっぱり1つと数えるべきだと思うぜ 論理式 ψに具体的に、他の公理達（含む Axiom 6）から導かれた ”formula ψ”を適用したものは、これは もう公理として扱うべきでない！ それが、公理主義の真っ当な思想でしょ？！ ５．だから、繰返すが 置換公理”Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,”は、公理としてはあくまで、具体的な ”formula ψ”を当てはめる前の状態のことで そう考えて、1つなんだよね！
もうどうして間違った思い込みするんだろ 日本語読めないのかな？ 0383現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 10:03:08.39ID:mjl0bfS3>>378 補足 英文 Class (set theory) wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory) Class (set theory) (抜粋) Examples The collection of all algebraic structures of a given type will usually be a proper class. Examples include the class of all groups, the class of all vector spaces, and many others. I n category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.
Classes in formal set theories Another approach is taken by the von Neumann?Bernays?Godel axioms (NBG); classes are the basic objects in this theory, and a set is then defined to be a class that is an element of some other class. However, the class existence axioms of NBG are restricted so that they only quantify over sets, rather than over all classes. This causes NBG to be a conservative extension of ZF. (引用終り) 0384現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 10:07:29.48ID:mjl0bfS3>>382 (引用開始) >>380で実例示したよ ¬（ｘ∈ｘ）は公理でも定理でもないって もうどうして間違った思い込みするんだろ 日本語読めないのかな？ (引用終り)
はいはい、ぼくちゃん、基礎論ごっこ楽しい？ 小学校へ行こうね 小学校で、公理主義教えてくれるよ
公理主義では、全てが公理から組み立てられるんだ Kenneth Kunen先生のPDFを2つ挙げておいたから、しっかりお勉強しましょうね ？ 英語まだ習ってない? 藤田 博司 (翻訳)の訳本があるから見てね （これ定評があるみたいだね（＾＾） 0385現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 10:23:13.23ID:mjl0bfS3>>383 >However, the class existence axioms of NBG are restricted so that they only quantify over sets, rather than over all classes. >This causes NBG to be a conservative extension of ZF.
https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_extension Conservative extension (抜粋) In mathematical logic, a conservative extension is a supertheory of a theory which is often convenient for proving theorems, but proves no new theorems about the language of the original theory. Similarly, a non-conservative extension is a supertheory which is not conservative, and can prove more theorems than the original. Contents 1 Examples 2 Model-theoretic conservative extension (引用終り)
要は（＾＾ conservative extension：often convenient for proving theorems, but proves no new theorems about the language of the original theory non-conservative extension：can prove more theorems than the original ってこと ZFCに対し、NBGは conservativeで、ZFCGは non-conservative です
（参考：本スレより転載） Inter-universal geometry と ABC予想 52 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588702281/606 (抜粋) 606 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/05/09(土) 17:57:38.91 ID:/BYRDNlz ＞案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってる と書いてガゼで主張しただけだよ。 IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。 concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e., roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and, moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model” (引用終り) 0386現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 10:36:56.83ID:mjl0bfS3>>383 まず訂正 I n category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category. ↓ In category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.
この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。 空間を圏で表す (O, ?) が順序集合のとき、これを次のような圏 CO と同一視することができる：obj(CO) = O とし、p, q ∈ O = obj(CO) について p ? q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として CO における射を定める。 ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。
G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
圏論 圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。 例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。これは上記の上部構造に類似している。 グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。 対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。 すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。
グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。 つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
（>>385より） （参考：本スレより転載） Inter-universal geometry と ABC予想 52 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588702281/606 (抜粋) 606 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/05/09(土) 17:57:38.91 ID:/BYRDNlz ＞案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってる と書いてガゼで主張しただけだよ。 IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。 concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e., roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and, moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model” (引用終り)
それから ”On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by” は、Axiom7〜9以降の式を簡便に記載するために用いる 記号⊆,Φ,S,∩,SING(x)の定義について語ってるだけ （Axiom6とは関係ないｗ）
The axiom schema of replacement is not necessary for the proofs of most theorems of ordinary mathematics. Indeed, Zermelo set theory (Z) already can interpret second-order arithmetic and much of type theory in finite types, which in turn are sufficient to formalize the bulk of mathematics. Although the axiom schema of replacement is a standard axiom in set theory today, it is often omitted from systems of type theory and foundation systems in topos theory.
（>>371より ｗｗ（＾＾； ） （参考） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋)
P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り) 0405現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 11:57:50.86ID:mjl0bfS3>>403 おサル必死 Kenneth Kunen 先生、知ってますかぁ〜！ ｗｗ（＾＾； 0406IUT応援団 団員2020/05/10(日) 11:59:59.82ID:vZYbiwt9 置換公理が必要な場合
ここ誤読しているんじゃね？ ”Although the axiom schema of replacement is a standard axiom in set theory today, it is often omitted from systems of type theory and foundation systems in topos theory.” ｗｗ（＾＾； 0408IUT応援団 団員2020/05/10(日) 12:03:36.33ID:vZYbiwt9>>404 団長〜、この文章、読「め」ましたか？
”The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.”
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋) P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y) P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り)
＜補足＞ １．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:” で、これらを定義しているのだが ２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて 左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの ３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです 迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を 公理から 構築すべき or 構築できる それぞ、公理主義です
https://en.wikipedia.org/wiki/Singleton_(mathematics) Singleton (mathematics) (抜粋) In mathematics, a singleton, also known as a unit set,[1] is a set with exactly one element. For example, the set {null?} is a singleton containing the element null. The term is also used for a 1-tuple (a sequence with one member).
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合 (抜粋) 数学における単集合（たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。 例えば、{0} という集合は単集合である。
性質 ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。 つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は 空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も、ただ一つの集合を元（その元自身は単集合ではない）として持つ単集合である。 単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。 公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。 ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。 任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである）。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。 (引用終り) 以上 0417IUT応援団 団員2020/05/10(日) 13:29:30.11ID:vZYbiwt9>>415 ＞空集合が、公理から導けないとすれば、空集合の存在を公理にする必要がある ＞しかし、その必要はないと Kenneth Kunenは いうのです
ええ Axiom 3 分出公理図式 ∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z ∧ ϕ(x)) を使えばできますね
問題：φ（x）としてどんな式を書けばいいでしょう？
ヒント１ ¬を使います ヒント２ 一部は上記のAxiom 3の図式中にすでに書かれてます
ああ、こんなの、数学科に入る1年生なら、３秒で答えられるなｗ 0418現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日) 14:25:53.85ID:mjl0bfS3>>417 必死の論点ずらしご苦労さん （>>410再録） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋) P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y) P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り)
＜補足＞ １．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:” で、これらを定義しているのだが ２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて 左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの ３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです 迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を 公理から 構築すべき or 構築できる それぞ、公理主義です
おサルは The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
これを x ⊆ y def⇒ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ def⇒ ∀z(z not∈ x) y = S(x) def⇒ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y def⇒ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) def⇒ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
と いうように 読んだらしいな つまり、左辺のx ⊆ y などを、「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」と定義する その「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」は、天下りに与えられるものだと
確かに、普通の数学本ならそうかも しかし、Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”は公理的集合論を説く教科書であり ZFC公理系から、いかに集合論を構築するのか？ という視点で読むべきもの
SING(x) (x is a singleton) も、与えられた公理から導くか、さもなければ 最初から公理として与えるか？ 二択しかありません！ （多分ｗ、ZFCでは ”singleton”の存在は 公理から導かれると思います。Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”には、そう書いてあるようですよｗ）
ZFC = Axioms 1–9. ZF = Axioms 1–8. ZC and Z are ZFC and ZF, respectively, with Axiom 6 (Replacement) deleted. Z −, ZF −, ZC −, ZFC − are Z , ZF, ZC , ZFC, respectively, with Axiom 2 (Foundation) deleted
Most of elementary mathematics takes place within ZC − (approximately, Zermelo’s theory). The Replacement Axiom allows you to build sets of size ℵω and bigger. It also lets you represent well-orderings by von Neumann ordinals, which is notationally useful, although not strictly necessary.
