面白い問題おしえて〜な 32問目
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>>596
・2で割る(偶数の時)
・p足して2で割る(奇数のとき)
のいずれかをp-1回行った時1となる事を示せば良い。
最初の1回目でp以下となり、以降常にp以下である。
またp-1回目でxに到達したとすれば
2^(p-1)x≡(p+1) (mod p)
である。 (´・ω・｀)
たまたま目にした企業の入社試験なのですが問2がわかりません。教えてください。
https://dotup.org/uploda/dotup.org2182228.pdf >>591
M = Q − {0}, a●b = |a|・b
なら群にならないのでは >>599
すごい
>またp-1回目でxに到達したとすれば
>2^(p-1)x≡(p+1) (mod p)
>である。
これは、 k 回目の値を x_k とすると、 x_1 = (p+1)/2 より、
2^k x_k ≡ (p+1) (mod p)
となることが k についての帰納法でわかるということですかね？ >>602
その場合はG=Q_(0<)とR={-1,+1}の直積に同型 >>591
まず任意のmについてme=mを満たすeが一意に定まるのでコレをe(m)と書く。
この時任意のm,nについて
me(m)n = mn
によりe(m)n=n、よって常にe(m)は左単位元となる。
m0を任意にとり
G={g | e(g)= e(m0)}、R={r | e(r) =r}
とおく。
g∈Gにたいしge(m0)=ge(g)=gであるからe(m0)はGの右単位元であり、左単位元でもあったからGは単位元を持つ。
さらにgh=e(m0)であるhが取れるが、ghe(m0)=e(m0)e(m0)=e(m0)=ghによりhe(m0)=h=he(h)となり、e(h)=e(m0)を得てh∈Gである。
さらにghg=e(m0)g=g=ge(m0)からhg=e(m0)となり、Gは両側可逆である。
結合性は明らかだからGは群となる。
任意のrにたいしe(r)は左単位元だから、r,s∈Rに対しrs=e(r)s=sとなりRの積は右演算である。
g,h∈G、r,s∈Rがgr=hsを満たす時、g=ge(m0)=gre(m0)=hse(m0)=he(m0)=hであり、よってr=sである。
またm∈Mを任意にとるときm=me(m)=me(m0)e(m)、me(m0)∈G、e(m)∈RからM=G×Rである。 >>605
正解です！
ちなみにですが
演算のカリー化 M→ Hom(M,M) は
演算の結合性により準同型、
問題の条件により像が群になっていて
この像がG、核(=idの逆像)がRになっています >>607
カリー化という言葉を使ったのは便利だったからで計算論がらみというわけではないです
昔、代数関係で出会った問題でした >>596
p+1 ≡ 1 (mod p)
2で割ることは 2^(-1) =a を掛けること。
φ(p)回後には ≡ a^φ(p) ≡ 1 (mod p) ････ オイラーの定理
φ( ) はオイラーのtotient函数。
また、pを足した直後を除いて 1〜p-1 の範囲にあるから = 1
* mod p で考えて 2, 2^(-1) の位数がr なら r回後に初めて1になる。
p=31 なら r=5 >>592
極限値＝0.8541…
きれいな値にはならんね S = {1,2,3,・・・,n}
A1, A2,・・・, An をすべて異なるn個のSの部分集合とする
このとき、A1 - {x}, A2 - {x},・・・, An - {x} がすべて異なるような x∈Sが存在することを示せ
(Aiにxが含まれない場合は、Ai - {x} = Ai) >>612
{1,2},{2,3},{1,3}
だと無理じゃね？ >>612
Aiの全体を頂点の集合Vとする向き付きのグラフGを
Ai→Aj iff Aj = Ai ∪{x} ∃x
とし、→の上にxを書き込んでおく。
矢印の上に出現した文字の全体をA(G)として、コレを変化させないようにGから辺を取り除いていく。
Gが木になったら終了。
Gが木でないならループを一つ選ぶ。
ループ内の頂点Aiを一つ選んでそこから始めて一周するとき文字を一文字ずつ追加または削除することになるが、一周して元に戻るので同じ文字が書き込まれた矢印が少なくとも1組ある。
そのどちらかの矢印を取り除く。
最終的に辺の上に文字の書き込まれた木を得るが、現れる文字の全体は元のグラフと同一である。
一方で、木であるから辺の数は頂点の数より少ないので現れていない文字が少なくとも一つある。
それをxとして選べば良い。 F_n をフィボナッチ数列
F_0 = 0,
F_1 = 1,
F_(n+2) = F_(n+1) + F_n (n ≧ 0)
とする。
φ := (1+√5)/2 と置く。
複素数 z に対し、関数 E(z) := Σ[n=0,∞] F_n z^n / n! を考える。
(1) E(z) は全ての複素数 z に関して絶対収束することを示せ。
(2) 不等式 E(1) > 2 が成り立つことを示せ。
(3) 不等式 (1/√5) (e^φ - e^(1-φ)) > 2 が成り立つことを示せ。
(4) Σ[n=0,∞] F_(3n+1) i^(3n+1) / (3n+1)! を求めよ。ただし、 i = √(-1) とする。
複素数 z に対し、関数 G(z) := Σ[n=0,∞] F_n z^n を考える。
(5) G(z) は |z| < 1/φ = 0.618… を満たす複素数 z に関して絶対収束することを示せ。
(6) z が有理数かつ |z| < 1/φ のとき、 G(z) も有理数となることを示せ。
(7) G(1/2) を求めよ。
(8) m = 2, 3, 4, … のとき、 m / G(1/m) は常に整数となることを示せ。
(9) G_a,b(z) := Σ[n=0,∞] F_(an+b) z^(an+b) と置くとき、
G_3,0(1/2), G_3,1(1/2), G_3,2(1/2) は全て有理数となる。
このとき、不等式 G_3,0(1/2) < G_3,2(1/2) < G_3,1(1/2) が成り立つことを示せ。 >>612
Sの部分集合全体からなる集合Vを、
対称差△を加法とすることで二元体上n次元ベクトル空間とみなす。
n-1個の元 (A1△A2), … ,(A1△An) が張るVの部分空間Wの次元はn-1以下であるから、
Wは全ての m∈{1,…,n} について{m}を元に持つことはできない。
ゆえに、どの x,y∈{1,…,n} をとっても
Ax△Ay = (A1△Ax)△(A1△Ay) ∈ W
が{m}と等しくならないようなmが存在する。 >>578
出題者です。
s=0の場合の当初用意した解答の議論が間違ってたんですが、やっと修正できた。
s=0の場合はpnの一般項が全て1になるようです。
すなわちどんなnをとっても確率1で動点はいずれかの時点でnに来るようです。
s>0の場合には元スレに出てた解答を微調整ですみます。 >>619
この解き方もシンプルでいいですな
一応用意した612の答えは、0,1を成分とする行がすべて異なるn×n行列に置き換えて
正則かどうかで場合分けするものでした F_nをn番目のフィボナッチ数とする (i.e. F_1=F_2=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n])
このとき Σ[n=0,∞]1/(1+F[2n+1]) = √5/2 を証明しなさい
問題の出典はWikipedia(Fibonacci number)ですが証明が書いてないです
誰かこの等式の証明をかいてくれませんか？ >>623
ググったら解説されている動画が見つかった
A nice Fibonacci reciprocal sum!
https://www.youtube.com/watch?v=FCDy3ZYfrzw
英語だけどわかりやすいと思う
ちょっと冗長だけど
コメント欄にも単純な別証明が書いてある >>624
動画が長いから、掲示板に書くには余白が少なすぎる問題かと思ったけど、簡単に言うと
Σ[n=0→k] 1/(1+F[2k+1]) = 1/2 + F[2n]/(1+F[2n+1]) を示す
lim[n→∞] (1/2 + F[2n]/(1+F[2n+1])) = 1/2 + (-1+√5)/2 = (√5)/2 を導く
ってことなのね ＞Σ[n=0→k] 1/(1+F[2k+1]) = 1/2 + F[2n]/(1+F[2n+1]) を示す
訂正
Σ[k=0→n] 1/(1+F[2k+1]) = 1/2 + F[2n]/(1+F[2n+1]) を示す 1 + F[4n-1] = F[2n-1]･(F[2n+1] + F[2n-1]),
1 + F[4n+1] = F[2n+1]･(F[2n+1] + F[2n-1]),
2項をまとめて
1/(1+F[4n-1]) + 1/(1+F[4n+1])
= 1/(F[2n+1]･F[2n-1])
= (F[2n+1]･F[2n-1] - F[2n]^2) /(F[2n+1]･F[2n-1]) (Lemma 1)
= (F[2n+1]+2F[2n])/(2F[2n+1]) - (2F[2n]-F[2n-1])/(2F[2n-1]),
= (F[2n+2]+F[2n])/(2F[2n+1]) - (F[2n]+F[2n-2])/(2F[2n-1]),
Σ[k=0,2n] 1/F[2k+1] = {F[2n+2]+F[2n]}/(2F[2n+1])
→ (φ + 1/φ)/2 (← Lemma 2)
= (√5)/2,
Lemma 1
F[m]･F[n+1] - F[m+1]･F[n] = (-1)^n F[m-n] (m≧n)
F[n-1]･F[n+1] - F[n]^2 = (-1)^n
Lemma 2
lim[n→∞] F[n]/F[n+1] = 1/φ, >>624
stack_exchange さんのコメント
「ビネの式」 F[m] = {φ^m - (-1/φ)^m}/√5 から次のように書ける。
1/(1+F[2n+1]) = (√5)/{(√5) + φ^(2n+1) + (1/φ)^(2n+1)}
= (√5)φ^(2n+1) /{1 + (√5)φ^(2n+1) + φ^(4n+2)}
= (√5){φ^(2n+2) - φ^(2n)}/{1 + φ^(2n) + φ^(2n+2) + φ^(4n+2)} (*)
= (√5){φ^(2n+2) - φ^(2n)}/({1+φ^(2n)}{1+φ^(2n+2)})
= (√5)(1/{1+φ^(2n)} - 1/{1+φ^(2n+2)})
∴ telescoping するだけで無限和は (√5)/2 になる。
*) 1 = φ - 1/φ, √5 = φ + 1/φ,
arctan版もある。
http://www.youtube.com/watch?v=pn0J0p0R_GM 13:25 動画が長いから、掲示板に書くには余白が少なすぎる問題かと思ったけど、簡単に言うと
(F[2n]-1)(1+F[2n-1]) - F[2n-2](1+F[2n+1])
= (F[2n]-1)(1+F[2n-1]) - (F[2n]-F[2n-1])(1+F[2n+1])
= F[2n-1]･F[2n+1] - F[2n]^2 -1 + F[2n](F[2n-1]+F[2n]-F[2n+1])
= F[2n-1]･F[2n+1] - F[2n]^2 -1
= 0 (← Lemma 1)
∴ 1/(1+F[2n+1]) = F[2n]/(1+F[2n+1]) - F[2n-2]/(1+F[2n-1]),
Σ[k=0,n] 1/(1+F[2k+1]) = 1/2 + F[2n]/(1+F[2n+1]),
以下 >>625-626
ってことなのね >>629-630
なるほど 言われてみれば かなり単純(実際に変形するのは自分にはできなかったが) 関数 f(x) は
x が無理数の時 、f(x) = 0
x が有理数の時、 x = n/m とし、 f(x) = 1/n をとる。
区間 0 < x < 200 で、
x が有理数の時、
f（x） の最小値 とその時のxの値を答えよ。 >>632
xが有理数のときの定義が不完全な気がするけど
良心で解釈すると xが正の有理数のときは x=n/mを満たす互いに素な
正の整数n,mの組が取れて そのときは f(x) = 1/n と定めるということ(だとおもう)
それで回答としては 「最小値は存在しない」
一方、最大値のほうをきいてるなら それは 1 となる
関数の定義上, f(x) = 1/n ≦ 1 がいえるから
f(x)=1となるような有理数x=n/mを求めると
それは明らかに x=1/m の形の正の有理数全体となる
しかし 最大値のタイプミスだとすると 200未満の条件を用いていないから...
つまり 問題文(そのまま解釈すると最小値は存在しないになる)はどこかおかしいのだが
どこがおかしいのかよくわからない もとの問題文を推察するのが困難 200とか2020とか
作った年や関係ない数字を問題文に入れるのは
数学の大会問題、懸賞問題ではよくあること
気にしなくていいと思うよ
よく練られてない自作問題を投げる人も多いし 実数 x に対し、 {x} で x の小数部分 ( 0 ≦ {x} < 1 ) を表す。
(1) lim_[n→∞] {n!*e} を求めよ。ここで e はネイピア数 e = 2.718… とする。
(2) lim_[n→∞] {n!*x} = 1 となる実数 x を具体的に1つ求めよ。
（ x が有理数のときは必ず lim_[n→∞] {n!*x} = 0 となることに注意）
(3) lim_[n→∞] {n!*(e/2)} は存在しないことを示せ。
(4) 全ての実数 x に対して、 lim_[n→∞] {n!*x} ≠ a となるような実数 a ∊ (0, 1) が存在することを示せ。
(5) (4)の条件を満たす実数 a ∊ (0, 1) を具体的に1つ求めよ。
(6) {n!*√2} や {n!*π} は n → ∞ のときにどのような挙動を示すか？
(5)と(6)は自作問題で、答えはわかりません（もしかしたら未解決かもしれない） >>636
補足
(4)は、論理記号を使って書くと
∃a ∊ (0, 1) s.t. ∀x ∊ R, lim_[n→∞] {n!*x} ≠ a
を示せという意味です。
ここで (0, 1) は R の開区間とし、 R は実数全体の成す集合とします。 3^(3^(3^(3^3))) の最上位の1桁を求めよ(計算機を用いてもよい) コラッツの問題を一般化して、得られる構造を議論せよ。 >>638
1
1737662031938094565999824459494356270619397861001172505471732865032623760224580084650943336301208543380031943621630075979872254724835986408433356854417101939662741313385571925863990067892927145547675001947961279645969066059766058736658595806001619985565113685309604009071992534506041686227703502285271246267285386268054188334701076510916419199007254159946899201122191709070235613544840470257137346516087775445798461110010594821321809566894441083157854016421880441787886298535922284673317305198107635595779448820162864939086315031011211661095716822957694703795145311052399652092453140826655185793355112915252303733164866977865323352062741492408134892018287738543530418555987093906754309603810722704323839135427021302024301866373218623310688617767802110828569845060500248953943201394358684846438433680024960899560464199640198775868455302077489943945015055881469790826298713660881217637905553645132439842440041476360402191364434103777980116087227171313236217001593357864456019476016940251078882930170581785626471754610263843434388748614065167671583732790323210962621265516202556666051857894632079443919057568868296675205530147243722453008787860917005634440791070990090033802303564619892603772739860232814440760827834068244717034998446429155877901463847580516635477753360218291710334110437969770421905196578617628042261474807555550852780628662686778424328514217905444070065811486319791485712994 17963950579210719961422405768071335213324842709316205032078384168750091017964584060285240107161561019930505687950233196051962261970932008838279760834318101044311710769457048672103958655016388894770892065267451228938951370237422841366052736174160431593023473217066764172949768821843606479073866252864377064398085101223216558344281956767163876579889759124956035672317578122141070933058555310274598884089982879647974020264495921703064439532898207943134374576254840272047075633856749514044298135927611328433323640657533550512376900773273703275329924651465759145114579174356770593439987135755889403613364529029604049868233807295134382284730745937309910703657676103447124097631074153287120040247837143656624045055614076111832245239612708339272798262887437416818440064925049838443370805645609424314780108030016683461562597569371539974003402697903023830108053034645133078208043917492087248958344081026378788915528519967248989338592027124423914083391771884524464968645052058218151010508471258285907685355807229880747677634789376 >>638
wolfram 先生は６を返してきた。 >>642
確かに。
さすがwolfram大先生ww >>643
Wolfram先生によると
小数点以下6.002253567994547×10^3638334640023桁
らしいから、掲示板には表示無理だな。 >>636
>>637
(4)と(5)は誤りでした
すなわち、(4)の否定
(4') ∀a ∊ (0, 1), ∃x ∊ R s.t. lim_[n→∞] {n!*x} = a
が成立します
そのため、(4)と(5)を以下のように変更します
(4) (4')を示せ。
(5) (4')を満たす x の集合を S とするとき、 S のルベーグ測度は 0 であることを示せ。 >>638
3^3^3^3^3 の常用対数を取ると
log_10(3^3^3^3^3) = (3^3^3^3) log_10(3)
だから，log_10(3) を 3 進数で
3^3^3 = 7,625,597,484,987 桁
まで求め，それ以降の数を 10 進数に
復元すれば最上位の桁がわかる．
スパコン持ってる人計算よろ 参考文献
巨大数研究Wiki ＞ テトレーション
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%86%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3
したがって、\(^ba\) の上位の桁は \(10^{\text{frac}(^{b - 1}a \log_{10} a)}\) となり、\(^{b - 1}a \log_{10} a\) の小数部分を計算する問題に帰着する。これは、任意の \(a\) 進数表記の \(^{b - 2}a\) を、\(^{b - 2}a\) 番目の桁から計算することと同じである。 >>647
inlineのTeXが化けまくってTeXソースで出てくる。
とても読めない。 スパコンがあっても さらに工夫しないと難しい予感
たとえば log_10(3) を高速で計算する方法とか >>634-635
ごめんね、おじさんバカだから…。 ある区間 に素数が1つ以上存在するかどうかの予想。
ルジャンドル予想
n^2 ~ (n+1)^2
インガムの予想
n^3 ~ (n+1)^3
これって数学の専門家たちの予想では、
真or偽 、どちらが多数派なの？
あなた個人では真or偽 どちらだと思う？
素数の存在する区間として証明されているのは
ベルトラン=チェビシェフの n ~ 2n の区間だけだよね？ >>651
ルジャンドル予想やベルトラン=チェビシェフの一般化にあたる
区間[kn, (k+1)n] に必ず素数が存在するという予想がある
k=1の場合は有名な解決済み問題(ベルトラン=チェビシェフ)で
k=nの場合 [n^2, n(n+1)] となるからルジャンドル予想より強い予想
そしてルジャンドル予想のほうが (n^3,(n+1)^3)の範囲に必ず存在するという予想より強いわけだから
区間[kn, (k+1)n] に必ず素数が存在するという予想がこの中では最強ということになる >>651
素数の存在する区間として証明されているのは
ベルトラン=チェビシェフの n ~ 2n の区間だけだよね？
というのは誤っているとおもわれるので改めると
たとえば [kn, (k+1)n] の問題は k=1の他に k=2,3 とかで証明が与えられている
遥かに強力な結果としては [n, n+C*n/{log(n)}^2] に常に素数があるというものがある
Cは定数で実際に計算できる これはDusartが得た結果を変形すればただちにCが具体的に得られる >>652
k が 1,2,3... だけでなく、
k = n/3 くらいまで使えたらいいのにな〜。
>>653
[n,n + C* n/(ln(n))^2]
= [64, 64 + C * 3.70]
となったんですが、C って nが64の時はいくらですか？ 前>>542
>>638
3を3^7625597484987回掛けると最上位の数がなにかわかることはわかった。 いつものプログラム解
dec2nw <- function(num, N, digit = 4){
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
price=c(200,200,300,300,400,400)
A=c(NA,NA, 1, 1, 1, 1)
B=c(NA,NA, 1, 1,NA,NA)
C=c(NA,NA, 1, 1,NA,NA)
D=c( 1, 1, 0, 1,NA,NA)
E=c(NA,NA,NA, 1,NA,NA)
ABCDE=rbind(A,B,C,D,E)
colnames(ABCDE)=c('いか赤','たこ赤','いくら黒','まぐろ黒','うに金','たい金')
ABCDE
i2y<- function(i){ # i -> binary -> matrix 5人 × 6ネタ
x=dec2nw(i,2,digit=17)
y=ABCDE
y['A',c(1,2)]=x[1:2]
y['B',c(1,2,5,6)]=x[3:6]
y['C',c(1,2,5,6)]=x[7:10]
y['D',c(5,6)]=x[11:12]
y['E',c(1,2,3,5,6)]=x[13:17]
y
}
fn <- function(y){
pay=apply(y,1,function(x) sum(x*price))
all(
all(apply(y,1,sum)>=3),# 5人は，それぞれ3皿以上注文した。
sum(pay)==5000,# 5人が注文した金額の合計は5，000円であった
which.max(pay)==1 & sum(y[1,]*price)==1600,# 注文した金額が最も多かったのはＡで，1，600円であった。
all(y[,4]==1), # 5人とも，「まぐろ」を注文した。
all(y[1:3,3]==1), # A，Ｂ，Ｃは，「いくら」を注文した。
sum(y[4,1:2])==2 & sum(y[4,3:4])==1 & sum(y[4,5:6])==1, # Dは，赤皿を2皿，黒皿を1皿，金皿を1皿の合計4皿を注文した。
all(y<2) # 同じネタを2皿以上注文した者はいなかった。
)
}
# brute force
ans=NULL
N=2^17-1
dec2nw(N,2)
for(i in 1:N){
y=i2y(i)
if(fn(y)){
ans=append(ans,i)
}
}
length(ans) Y=NULL
for(j in ans) Y=rbind(Y,as.vector(t(i2y(j))))
all(Y[,2]==1) # Ａは「たこ」を注文した。
all(sum(Y[,7:8])==2) # Ｂは赤皿を2皿注文した。
all(apply(Y[,13:18],1,function(x) sum(x*price))==800) #Ｃが注文した金額は800円であった。
all(Y[,23]==1) # Ｄは「うに」を注文した。
all(Y[,29:30]==1) # Ｅは金皿を1皿注文した。
実行すると
> for(j in ans) Y=rbind(Y,as.vector(t(i2y(j))))
> all(Y[,2]==1) # Ａは「たこ」を注文した。
[1] FALSE
> all(sum(Y[,7:8])==2) # Ｂは赤皿を2皿注文した。
[1] FALSE
> all(apply(Y[,13:18],1,function(x) sum(x*price))==800) #Ｃが注文した金額は800円であった。
[1] TRUE
> all(Y[,23]==1) # Ｄは「うに」を注文した。
[1] FALSE
> all(Y[,29:30]==1) # Ｅは金皿を1皿注文した。
[1] FALSE
>
理詰めの解答は賢者にお願いします。 実数 x > 0 に対し、 [ ] をガウス記号とし、 {x} = x - [x] を x の小数部分とする。
∀x ∊ (0, 1) に対し、無限級数 Σ[n=0,∞] max(1, [nx])/n! は絶対収束するので、
関数 f : (0, 1) → R を
f(x) := Σ[n=0,∞] max(1, [nx])/n!
によって定めることができる。
(1) f の逆関数 f^(-1) : Im(f) → (0, 1) が存在することを示せ。
(2) f^(-1)(x) = lim_[n→∞] {n!*x} が成り立つことを示せ。
(3) f(1/2) を求めよ。
(4) Im(f) ⊂ (e, 3) - Q が成り立つことを示せ。
(5) |Im(f)| = |R| だが、 Im(f) のルベーグ測度は 0 であることを示せ。
(6) f の連続性を調べよ。
(7) f の微分可能性を調べよ。
(6)と(7)は個人的に未解決です 前>>655
>>656
3.Cはまぐろ300円、いくら300円、赤皿200円1枚を頼んだので800円。
Aはまぐろ300円、いくら300円、金皿400円2枚、赤皿200円1枚を頼んだので、赤皿の選び方が2通りある。
Bはまぐろ300円、いくら300円、赤皿200円1枚を頼んだので、赤皿の選び方が2通りある。
Cはまぐろ300円、いくら300円、赤皿200円1枚を頼んだので、赤皿の選び方が2通りある。
Dはまぐろ300円、いか200円、たこ200円、金皿1枚を頼んだので、金皿の選び方が2通りある。
Eはまぐろ300円、いか200円、たこ200円を選んだ。
2×2×2×2=16(通り) >>659
(6) x が有理数のときは不連続で、 x が無理数のときは連続
したがって、(7)の部分的な解「少なくとも x が有理数のときは微分不可能」が得られる。
（ x が有理数のときに不連続であることの証明）
x = a/b ∊ (0, 1) （ a, b は正の整数）とすると、 ∀y ∊ (x/2, x) に対して |f(x) - f(y)| ≧ 1/(2b)! となることを示す。
∀y ∊ (x/2, x) に対し、 2by > bx = a ≧ 1 であるので、 max(1, [2by]) = [2by] である。
また、 2by < 2bx = 2a = [2bx] より [2by] ≦ [2bx] - 1 である。
これより、
|f(x) - f(y)| ≧ |max(1, [2bx]) - max(1, [2by])| / (2b)! = ([2bx] - [2by])/(2b)! ≧ 1/(2b)!
が成り立ち、ゆえに関数 f は x が有理数のときに不連続である。
（ x が無理数のときに連続であることの証明）
方針は、 p_n(x) := max(1, [nx]) と置くとき、 x と y が十分近ければ途中の n までは p_n(x) = p_n(y) で
残りの部分は 0 に収束することを利用することである。
∀x ∊ (0, 1) - Q および ∀ε > 0 をとる。
e = Σ[n=0,∞] 1/n! が収束することから、ある整数 N > 1 が存在して、
Σ[n=N+1,∞] 1/(n-1)! < ε/2
が成り立つ。
n = 1, 2, 3, … に対し、 d_n := min(nx - [nx], [nx] + 1 - nx) と置くと、 x が無理数であることから d_n > 0 である。
ここで |x - y| < d_n/n ならば [nx] < ny < [nx] + 1 より [ny] = [nx] が成り立つことに注意して、
上で得た N を使って実数 δ > 0 を
δ := min{d_1/1, d_2/2, … , d_N/N}
と定めると、 |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε が成り立つことを示す。
|x - y| < δ ならば、上の注意より、 n ≦ N のとき p_n(x) = p_n(y) が成り立つ。
したがって、 |p_n(x) - p_n(y)| < n+1 (∀n > 1) が成り立つことから、
|f(x) - f(y)| = Σ[n=N+1,∞] |p_n(x) - p_n(y)| / n!
< Σ[n=N+1,∞] (n+1)/n! = Σ[n=N+1,∞] 1/(n-1)! + Σ[n=N+1,∞] 1/n!
< 2 * Σ[n=N+1,∞] 1/(n-1)!
< ε
が成り立ち、ゆえに関数 f は x が無理数のときに連続である。
(7)について、 x が無理数のときの微分可能性はどうなるんでしょうか？
誰かわかる人いますか？ (1) lim_[n→∞] {n!f(a)}＝a (0＜a＜1) が成り立つことが言える(直接計算するだけ)。
特に、fは単射である。よって、(1)が成り立つ。
(2) lim_[n→∞] {n!f(a)}＝a (0＜a＜1) において a＝f^{−1}(x) (x∈Im(f)) と置けばよい。
(3) 直接計算するだけなのでパス。
(4) 0＜x＜1とする。max(1, [nx])≧1 (n≧0)であり、あるnに対して max(1, [nx])＞1 なので、
Σ[n=0,∞] max(1, [nx])/n! ＞ Σ[n=0,∞] 1/n! ＝ e である。次に、0＜x＜1なので [nx]≦n−1 であり、
Σ[n=0,∞] max(1, [nx])/n!≦Σ[n=0,∞] max(1, n−1)/n!
＝2＋Σ[n＝2〜∞] (n−1)/n！＝2＋Σ[n＝2〜∞](1/(n−1)！−1/n！)＝3
となる。等号が成り立つとすると、任意のn≧0に対して max(1, [nx])＝ max(1, n−1) でなければならないので、
nが十分大きければ常に [nx]＝n−1 であり、両辺を n で割って n→∞ とすれば x＝1 となる。これは矛盾。
よって、等号は成り立たない。よって Im(f)⊂(e,3) となる。もし q/p∈Im(f) なる有理数があるとすると、
q/p＝f(a) なる 0＜a＜1 が取れて lim_[n→∞] {n!f(a)}＝a すなわち lim_[n→∞] {n!(q/p)}＝a となるので、
a＝0 となるが、これは矛盾。よって、Im(f)⊂(e,3)−Q である。
(5) f：(0,1) → Im(f) は全単射なので、Im(f)はRと同じ濃度である。
次に、A＝{a∈R｜lim[n→∞] e^{2πia} が存在する } と置くと、Aは(R,＋,0)の部分群になることが分かる。
また、Aはボレル可測であることが言える。steinhaus theorem により、Aはゼロ集合である。
また、Im(f) ⊂ A である。よって、Im(f) はルベーグゼロ集合である。
(6) ルベーグの収束定理の数列版により、
0＜x＜1 が無理数のときは lim[y→x]f(y)＝f(x) が成り立ち、
0＜x＜1 が有理数のときは lim[y↓x]f(y)＝f(x) が成り立つ。
また、0＜x＜1 が有理数のときは、lim[y↑x]f(y) の値が(ルベーグの収束定理の数列版により)直接計算できて、
その形を見る限りは lim[y↑x]f(y) ≠ f(x) が成り立つものと思われる(面倒くさいので検証はパス)。
(7) わからん。 訂正
× 次に、A＝{a∈R｜lim[n→∞] e^{2πia} が存在する } と置くと、Aは(R,＋,0)の部分群になることが分かる。
〇 次に、A＝{a∈R｜lim[n→∞] e^{2πin！a} が存在する } と置くと、Aは(R,＋,0)の部分群になることが分かる。
× また、Aはボレル可測であることが言える。steinhaus theorem により、Aはゼロ集合である。
〇 また、Aはボレル可測であることが言える。steinhaus theorem により、Aがゼロ集合でないなら
Aは開区間を含むことになるが、lim[n→∞] e^{2πin！a} が存在しない a∈R は R 内に稠密に
存在することが言えるので、矛盾し、Aはゼロ集合になるしかない。 (7) 0＜x≦y＜1 のとき max(1, [nx]) ≦ max(1, [ny]) なので、f(x) ≦ f(y) である。
すなわち、f：(0,1)→R は広義単調増加である。
一般に、広義単調増加な g：(0,1)→R は a.e.x∈(0,1) で微分可能であるという定理があるので、
f もまた a.e.x∈(0,1) で微分可能である。
f '(x) の具体的な値は分からん。たぶんこれはカントールの悪魔の階段みたいになってて、
f '(x)＝0 a.e.x が成り立つと予想。 >>666
1001が7で割りきれることを利用する 前>>660
>>666
7て🤮割ってみな。
割り切れたらいいよ。
そいつは7の倍数に違いない。 >>665
>一般に、広義単調増加な g：(0,1)→R は a.e.x∈(0,1) で微分可能であるという定理があるので、
>f もまた a.e.x∈(0,1) で微分可能である。
なるほど、ルベーグの定理ですね
さらに
∫[0,1] f'(x) dx ≦ 3-e
もわかるわけですか
その例外集合に無理数が含まれるかどうかは気になるところですね
ところで、 f(0) := e, f(1) := 3 として関数 f の定義域を閉区間 [0, 1] まで拡張すると、
f は単調増加なので [0, 1] 上リーマン積分可能ですが、
S = ∫[0,1] f(x) dx
はいくらになるんでしょうか？明らかに
e < S < 3
であることはわかりますが
例えば、 S > f(1/2) か S < f(1/2) か、それとも S = f(1/2) か？ そもそも像の測度が0かつ定数でない時点で連続なわけないのでは？ >>671
面白いことに、 Im(f) ⊂ (e, 3) - Q なので f(x) は (e, 3) 上の全ての有理数をすり抜けるが、
x が無理数のときは連続になる 数学掲示板群 ttp://x0000.net/forum.aspx?id=1
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net
数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など
PS 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0
微分幾何学入門
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3694-0 >>666
元の数の１の位を取り去った数(10で割って余りを切り捨てたもの)と、１の位の数の２倍との差が、７の倍数であるか判定する >>669
あんまり使えないてゆか1001使った後で7と98使うといい
abc=2a+3b+c 前>>668
ニベヤはある。希乃屋がない。
てかシミはそんなんじゃ消えないんだろ？ 前>>668
7はいい。
車列の長さを測るなら7だ。7がいい。 神様がおっしゃいました。
これから1週間、社会実験として世界の法則を書き換える。
「実数から全ての無理数を取り除き
有理数だけが存在する世界A」 にしようか。
あるいは、その反対の世界Bにしようか。
選び給え。
あなたはどちらを選ぶか？
その理由を述べて論ぜよ。 >>678
無理数だけだと無理数どおしの演算も不可能になる
√2 * √2＝不能かと思ったがそもそも、2が無理数じゃないから使えないな。 人「そんな世界が作れるならどっちでもいいがあなたに作れるのか？」
神「……」 >>670
∫[0,1] f'(x) dx がどんな値になるかは不明。f ' がカントールの悪魔の階段みたいになってて
f '(x)＝0 a.e.x が成り立つのであれば、∫[0,1] f'(x) dx ＝ 0 になる。
たぶん実際にこうなっていると予想。
これとは別に、S = ∫[0,1] f(x) dx なら自明に計算可能。
f(x)＝Σ[n=0,∞] max(1, [nx])/n! (0＜x＜1)
の右辺は非負値可測関数の無限和なので、
ルベーグ積分とΣの順序交換が無制限に可能で、値が＋∞になる可能性を込めて
∫[0,1] f(x) dx ＝ Σ[n=0,∞] ∫[0,1] max(1, [nx])/n! dx
が無条件に成り立つ(厳密な証明は単調収束定理による)。
右辺は簡単に計算可能なので、あとはやるだけ。 >>683
確かにカントールの悪魔の階段に似ている感じがしますね
微分不可能な例外集合 ( ⊃ Q ) について調べるのは難しいでしょうか？
>ルベーグ積分とΣの順序交換が無制限に可能で、値が＋∞になる可能性を込めて
>∫[0,1] f(x) dx ＝ Σ[n=0,∞] ∫[0,1] max(1, [nx])/n! dx
>が無条件に成り立つ(厳密な証明は単調収束定理による)。
なるほど、言われてみれば確かにそうですね
>右辺は簡単に計算可能なので、あとはやるだけ。
やってみました
【結果】
S := ∫[0,1] f(x) dx = 3/2 + Ei(1) - γ = 2.817902…
ここで Ei(x) は指数積分関数であり、 γ はオイラーの定数である。
f(1/2) = 2 + (e + e^(-1))/4 = 2.7715403… であるので、 S > f(1/2) が成り立つ。
（証明的なもの）
I_n := ∫[0,1] max(1, [nx]) dx と置く。 I_0 = 1 は明らか。 n > 0 のとき、積分区間を n 等分することで、
I_n = 1/n + (n-1)/2
となることがわかる。これより、
∫[0,1] f(x) dx = Σ[n=0,∞] I_n/n!
= 3/2 + Σ[n=1,∞] 1/(n(n!))
が成り立つ。あとは右辺の無限和に指数積分関数 Ei(x) の公式
Ei(x) = γ + log(x) + Σ[n=1,∞] x^n/(n(n!))
(x > 0) を適用すれば良い。
【参考】
Ei(1) - γ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Ei%281%29+-+%CE%B3 f(x) =1/ 2x(x^2 −1) (x < 0)
x(e^x − 3/ 2) (x ≥ 0)のとき
(1) f′(0)を求めよ.
(2) f′(x)を求めよ.
(3) f ∈ C＾n(R)としたとき, 最大のn ∈N∪{0}を求めよ
ただし、以上のうちで定まらないものがあればその理由を述べよ x(e^x-3/2) =
-x/2 + x^2 + x^3/2 + x^4/6 + x^5/24 + x^6/120 + O(x^7)
1/2x(x^2-1) =
-x/2 + x^3/2
よりC^1級 広義重積分の問題でおもしろくってためになるのを教えてください >>679
多い日も 安心！
>>680
ピタゴラスの三平方の定理が
実質的にピタゴラス数の整数倍でしか使えなくなるぞ。
・25^2 = 24^2 + 7^2
・29^2 = 20^2 + 21^2 とか…
>>681
Good piont. そこは重要だぞ。
>>682
神と和解せよ >>688
完備化してもう一度作れば結局同じなんで、どっちでも良い。
有理数が先にある方が分かりやすいとは思うが。 無理数が禁止になると、
計算機の浮動小数点が何割か禁止になるな。
計算機の誤差を気にしなくていいから幸せ！ 自然数N={1,2,3,・・・}に対して
通常とは異なる加法演算+':N×N→Nを入れよ
ただし加法は可換かつ結合的で通常の乗法に対し分配的であるものとする 自然数N={1,2,3,・・・}に対して
通常とは異なる乗法演算×':N×N→Nを入れよ
ただし乗法は可換かつ結合的で通常の加法に対し分配的であるものとする >>691
u(2^e3^fm) = 2^f3^em for (2,m)=(3,m)=1と定め、vをその逆写像とする。
x+'y:=v((u(x)+v(y))
で定めれば良い
>>692
m×'n := 2mn
で定めれば良い。 >>693
正解です！
ちなみにその(+',×)構造は通常の(+,×)構造と同型ですが同型でないものも存在しています
さて整数Zにおいて環構造としての(+,×')は通常のものと同型なものしか存在しないことがわかりますが、(+',×)は通常のものと同型でないものは存在するでしょうか？ >>695
正解です！
是非Z版もトライしてみてほしいです
Zに通常と非同型な加法があるか気になってるんですがわかりません +'の群構造も何も仮定しないなら a+'b=a とかも良さそう ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
