面白い問題おしえて〜な 32問目
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おらっ!出てこい>>283 !! ドッカン ゴガギーン _ ドッカン ☆ ===( ) / `∧∧_||___ ∧∧ ( )||| |(Д`) f ⌒~ || || \ | / ̄ | |/| / / | | | ヘ/\|_/ / | | ロ|ロ\/\(_ノ) ( (_ \ | | Y / | ||\ ヽ| | || | || / / | | || | ||/ /_|___| || (_(_) (__) ワロタ 今までイナの証明が正しかったことなんか一度でもあんのか? 前>>290 >>292 2つ目に大きい直角二等辺三角形の上辺をxとおくと、 斜辺はx√2 3つ目に大きい直角二等辺三角形の左下辺は√2-x√2=(1-x)√2 右辺は2(1-x) 6番目に大きい直角二等辺三角形に右辺は1-2(1-x)=2 x-1 斜辺は(2x-1)√2 5番目に大きい直角二等辺三角形の斜辺は2(2x-1) 正方形の上辺についてx+2(2x-1)=1 ∴ x=0.6 正方形の上辺を6:4に、右辺を上から2:8に分ける点から切りこめば相似な直角二等辺三角形で7分割できる。 x 前>>299 ここを7分割でくるとはたいしたもんだ。まいったぜ^^ 分数のままでいいのに、わざわざ小数にするのが流行っているの? 完全直角二等辺三角形分割直角二等辺三角形からの構成か、、それ以外の解法無いのかな なんかそういうのに関連した情報があるサイト見つけたわ 1:2:√3みたいな他の特殊な三角形でも分割できるかどうかは気になる所だな 前>>299 >>305 1/√3=0.577309……≠0.618 7分割できないと思う。 前>>306 訂正。 0.628だった。 変な値だよなぁ。 >>302 現代のアルキメデス >>307 稲作おじさん >>292 (0,0)-(0,10)-(10,0)-(10,8)-(6,4)-(6,10)-(9,7)-(10,8)-(8,8)-(10,10)-(0,10) >>302 (0,0)-(0,7)-(7,0)-(7,6)-(4,3)-(4,7)-(6,5)-(6,7)-(7,6)-(7,7)-(0,7) 不等式(x-1)(x-2)<0の解は1<x<2 不等式(x-1)(x-2)≦0の解は1≦x≦2 である。 では、解が1<x≦2となる不等式は何か? なるべく簡単な式で答えよ (1)数列a_nに対して、 Z[a_n](z)=Σ_{n=0,∞} a_n z^(-n) をa_nのZ変換と呼ぶ. Z[n*a_n]をZ[a_n]を用いて表せ. (2)次の漸化式で表される数列の一般項を求めよ. a_1=1 a_{n+1}=(n*a_n)+1 >>314 とりあえず(1)だけ (1) Z[n*a_n](z) = - z * (d/dz) (Z[a_n])(z) >>314 >>315 (2)は計算が面倒なので方針だけ書くと、 a_0 の値をどう決めても数列 a_n の漸化式は n ≧ 0 で有効だから、 a_0 = 0 とすれば、 (1 - z)^(-1) = z^0 + z^1 + z^2 + … より、a_n の漸化式から、 Z[n*a_n](z) + (1 - (1/z))^(-1) = z * Z[a_n](z) が得られる ここで、(1)より、 Z[n*a_n](z) = - z * (d/dz) (Z[a_n])(z) であるので、 関数 f を f(z) := Z[a_n](z) と定めると、 f(z) は微分方程式 - z * (df/dz)(z) + (1 - (1/z))^(-1) = z * f(z) を満たす この微分方程式を解くと(多分) f(z) の別の表現が求まるので、それをべき級数に展開すると、 z^(-n) の係数が求める数列 a_n の一般項になる 残りの計算は他の人に任せます 上にミスがあったらすまん >>314 (2)は a(n+1)/n!=Σ[k=0,n]1/k! の右辺はこれ以上簡単になる? >>317 方針は正解です。 ローラン展開の一般項は複素積分により求まるのでそれでも大丈夫です。 >>318 積分を用いて e∫_1^∞ t^(n-1) e^(-t) dtと表現することも可能ですがそれ以上簡単にはならないですね ちなみにΓ(a,x)= ∫_x^∞ t^(a-1) e^(-t) dtを 第2種不完全ガンマ関数と言います >>318 n! / k! って順列じゃね? 「ΣP(n,k)(k=0, n)は、自然数 n に対しガウス記号 [] とネイピア数 e を用いて [n!e] 」 と表されるらしいけど、どうなんだろ? 証明は読んでいない 数学の質問です。順列の和ΣP(n,k)(k=0,k=n)が、自然数nに対し... - Yahoo!知恵袋 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10142429180 Σ[k=0,n]1/k! = (1/n!)[e*n!] (n≧1) ああ証明か n≧1 の時 A = Σ_(k=n+1,∞)n!/k! < Σ_(k=n+1,∞) (n+1)^(-k+n) = 1/n ≦ 1. また、 B = Σ_(k=0,n)n!/k! は整数であるから、 n!e = Σ_(k=0,∞)n!/k! = A+B の整数部分はB. >>320-322 あーなるほど、ガウス記号使って表現出来るんですか 簡単にならないと言ってしまいごめんなさい >>314 の答は (1) >>315 (2) a_(n+1)= B =[n!・e] あー今更ですが>>318 は a_{n+1}=n*a_n+1の両辺をn!で割って a_{n+1}/n!=a_n/(n-1)!+1/(n-1)! としてa_n/(n-1)!の階差数列にする方針ですか それなら確かにZ変換するよりはるかに簡単ですね ところで、>>317 の方針で f(z) の微分方程式を解くと f(z) はどう書ける? >>326 f(z)=e^(1-z)*Ei(z-1) (Eiは複素関数として拡張した指数積分) として表現できます >>327 マジか f(z) を z = 0 の周りに直接ローラン展開するというよりも、 >>319 に書かれているように、主要部の係数を複素積分で計算する感じなの? かなり難しいな 漸化式→Z変換→微分方程式→複素積分 ってベクトル解析以外の工学部で習う数学を一通りおさらい出来るな 0<α<1を取る。 x=(√π)α/2とおき漸化式 a0=x an = x/(2n+1)Σ[k=0,n-1]a_k a_(n-k-1)(2n-2k-1)/(k+1) で定められる数列anをとりz=lim anとおく。 この時 α=2/√π∫[-z,z]exp(-x^2)dx を示せ。 訂正 α=2/√π∫[0,z]exp(-x^2)dx を示せ >>330 どの辺が賛否両論なんだろう 明らかに否なのでは? 実際、もし無限級数 f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + … が f(x) ∊ T であるならば、和集合の定義から、ある非負整数 n が存在して、 f(x) ∊ T_n となるが、 f(x) は n 次多項式ではないので矛盾する F_n をフィボナッチ数列 F_0 = 0, F_1 = 1, F_(n+2) = F_n + F_(n+1) (n ≧ 0) とする。 n = 4 の場合を除いて、 F_n が素数となる n は素数であることを示せ。 また、 n > 2 に対し、 n が素数でも F_n が素数になるとは限らないことを示せ。 p_n を n 番目の素数(p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, … )とする。 このとき、有限個の n を除いて、不等式 p_(n+2) < p_n + p_(n+1) が成り立つことを示せ。 >>336 α=(1-√5)/2、β=(1+√5/)/2、 Fn=1/√5(β^n-α^n)、Ln=(β^n+α^n)とおく。 n=2m (m≧3)のとき Fn = FmLm、Fm≧F3=2、Lm≧L3=4 よりFnは素数ではない。 n:odd、n=ml (m,l≧3)のとき Fn=Fm(L(n-m)+‥)、Fm≧F3=2、L(n-m)+‥≧L6=18 よりFnは素数ではない。 >>337 素数定理より p_n+p_(n+1)-p_(n+2) =nlogn+(n+1)log(n+1)-(n+2)log(n+2)+o(nlogn) =(n-1)logn+o(nlogn) >0 (n>>0) >>331 漸化式から a_1 =(1/3)(a_0)^3, a_2 =(7/30)(a_0)^5, a_3 =(127/630)(a_0)^7, ・・・・・ となる。 z = lim[n→∞] a_n が収束するように a_0 を定めると a_0 〜 0.851 これは 0 < a_0 <(√π)/2 = 0.886227 をみたす。 このとき z 〜 0.018 となるが、これは a_0 = ∫[0,z] exp(-xx)dx < z, と合わない・・・・ >>336 α =(1-√5)/2, β =(1+√5)/2 は α+β=1, αβ=-1 をみたす。 F_n =(β^n - α^n)/√5, ・・・ Binetの式 いま α^p = A, β^p = B とおくと AB = (αβ)^p =(-1)^p, A+B も整数。 より F_(pq)/F_p ={β^(pq)- α^(pq)}/(β^p - α^p) =(B^q - A^q)/(B-A) = B^(q-1) + B^(q-2)A + ・・・・ + BA^(q-2)+ A^(q-1), これは A,Bの対称式ゆえα, βの対称式で、係数も整数だから整数。 >>337 の不等式は n > 1 で常に成り立つか? >>342 最初の十項は (2,3,5,0) (3,5,7,1) (5,7,11,1) (7,11,13,5) (11,13,17,7) (13,17,19,11) (17,19,23,13) よりn=1を除いて成立。 n≧6においてDudartの不等式 n(log(n log(n)))-n<p_n<n(log(n log(n))) により p_n+p_(n+1)-p_(n+2) > n(log(n log(n)))-n + (n+1)(log((n+1) log(n+1)))-n-1- (n+2)(log((n+2) log(n+2))) >0 (if n≧8) https://en.m.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function >>343 凄い その不等式は、 Dusart, Pierre. (1999). The $k^{th}$ prime is greater than $k(\ln k + \ln\ln k-1)$ for $k\geq 2$. Mathematics of Computation - Math. Comput.. 68. 411-416. 10.1090/S0025-5718-99-01037-6. の結果から得られるものですね 最新の結果を使うとここまで簡単に示せるとは ちなみに、>>337 の不等式が全ての n > 1 で成り立つことの元ネタは、 Ishikawa, H. "Über die Verteilung der Primzahlen." Science Rep. Tokyo Bunrika Daigaku 2, 27-4 (1934). です 前>>307 >>336 F_0=0 F_1=1 F_2=0+1=1 F_3=1+1=2が素数となる3は素数。 F_4=1+2=3 F_5=2+3=5が素数となる5は素数。 F_6=3+5=8 F_7=5+8=13が素数となる7は素数。 F_8=8+13=21 F_9=21+13=34 F_10=34+21=55 F_11=55+34=89が素数となる11は素数。 F_12=89+55=144 F_13=144+89=233が素数となる13は素数。 F_14=233+144=377=13×29 F_15=377+233=610=2×5×61 F_16=610+377=987=7^3×3 F_17=987+610=1597が素数となる17は素数。 >>336 p=19 のとき F_p = 4181 = 37・113 (合成数) >>341 GCD(F_m, F_n) = F_g, ここに g = GCD(m,n) 前>>345 >>346 F_18=1597+987=2584=2^3×323 なんか、なんかしらんF_19は本能的に危険だと感じた。 >>331 確かめ f x = sum $ (!!500) $ map fst $ iterate (nextf x) ([x],1) nextf x (ts,n) = id $ (\x->(x,(n+1))) $ (:ts) $ (*(x/(2*n+1))) $ sum $ foldl1 (zipWith (*)) $ [ts, (reverse ts), (map recip [1..]),[2*n-1,2*n-3..] ] g x = sum $ take 500 $ map fst $ iterate (nextg x) (x,1) nextg x (y,n) = (-x^2*y*(2*n-1)/(2*n+1)/n,n+1) main = do mapM_ print [(x, g$f$x) | x<-[0,0.1..0.9]] (0.0,0.0) (0.1,0.1) (0.2,0.20000000000000004) (0.30000000000000004,0.30000000000000004) (0.4000000000000001,0.4000000000000002) (0.5000000000000001,0.5) (0.6000000000000001,0.6000000000000003) (0.7000000000000001,0.7) (0.8,0.8000000000000003) (0.9,NaN) 簡単そうにみえるのだけど なかなかうまくいかない 賢者の皆様なら解決できるのだとおもってここに投稿させてもらいます n,kを正の整数とするとき,どのような正の整数xに対しても, Σ[i=1,n]gcd(k, x+i) ≧ Σ[i=1,n]gcd(k, i) が成り立つことを証明せよ k>n が条件から抜けていましたので修正 n,kをk>nを満たす正の整数とするとき, どのような正の整数xに対しても, Σ[i=1,n]gcd(k, x+i) ≧ Σ[i=1,n]gcd(k, i) が成り立つことを証明しなさい. 以上です 数学掲示板群 ttp://x0000.net/forum.aspx?id=1 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net 数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学 IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など PS 連続と離散を統一した! ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0 >>351 不等式の左辺を f(x) := Σ[i=1, n] gcd(k, x+i) とすると、右辺は f(0) であるので、 f(x) ≧ f(0) を示せばよい ユークリッドの互除法より、整数 a ≧ b > 0 に対して、 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) であるので、 x = 0, 1, 2, … に対し、 gcd(k, x+k+i) = gcd(k, x+i) (i = 1, 2, … , n < k) となるから、 f(x+k) = f(x) が成り立つ したがって、 f(0) が f(0), f(1), f(2), … , f(k-1) の中で最小になることを示せばよい …ここまでわかったんですが、ここで詰まりました >>351 φをオイラーのトーシェント関数とする。 正の整数mについて m=Σ_(d|m)φ(d) であるから、 Σ_(i=1,n) gcd(k,x+i) =Σ_(i=1,n) Σ_(d|gcd(k,x+i)) φ(d) =Σ_(d|k) φ(d) Σ_(1≦i≦n, d|(x+i)) 1 ≧Σ_(d|k) φ(d) ceil(n/d) =Σ_(d|k) φ(d) Σ_(1≦i≦n, d|i) 1 =Σ_(i=1,n) Σ_(d|gcd(k,i)) φ(d) =Σ_(i=1,n) gcd(k,i). 問題ではないけど。 サザエさんの番組最後に行われるジャンケンに乱数検定を実施した人達がいて。その結果、大きな脆弱性が発見され「ランダムで決められているわけではなく、人の感覚で決められているのでは?」という結論に至ったらしい。 >>351 gcd(a,b) * lcm(a,b) = ab → gcd(a,b) = ab/ lcm(a,b) 前>>348 >>355 ちゃんとサザエさんの初動を把握すれば、サザエさんがなにを出すかがわかり、勝てるようになると思う。ねずみのすもうって話があっただろう。いつも 庄屋のねずみに負けてた🐀お爺 さんちの👴ねずみだが、どっこいどっこいぐらい勝てるようになった。ふつうに考えて庄屋のねずみも強くなるから差はそんなに縮まらないはず。それはつまり庄屋のねずみの初動をお爺さんちのねずみが見抜くようにな ったからじゃないか? 問い. 以下 の a〜 の値、または近似値を答えよ。 A.「整数空間Z の 約a割が 自然数空間N で占められている」 B.「実数空間R の 約b割が 有理数空間Q で占められている」 C.「素数の空間のうち、約c割が奇数で占められている」 D.「半素数の空間のうち、約d割が偶数で占められている」 E.「偶数空間のうち、約e割が 矩形数で占められている」 >>359 自然数集合や実数集合上には平行移動不変かつ全測度有限となる非自明な測度は存在しない 無限集合における「割合」の定義を明確に述べよ よい答えだ。 どうやら君は不正確な回答を 書き込む知ったかの連中とは違うようだな。 >>351 kの素因数分解を k = Π_j pj^ej とする。 {x+1, x+2, ・・・・, x+n}のうち、pの指数が最大の項x+m を基準とする。 x+m+i のpの指数 ≧ i のpの指数 (i=1,・・・・,n-m) x+m+1-i' のpの指数 ≧ n+1-i' のpの指数 (i'=1,2,・・・・,m) (ここで n<p^(e+1)を使う) Σ[i=1,n] gcd(p^e, x+i)≧ Σ[i=1,n] gcd(p^e, i) すべての素因数pjについてたす。 gcd(k, y) - 1 ≧ Σ_j{gcd(pj^ej, y)- 1} を使う。 >>361 問い.が曖昧すぎて答えようがないんぢゃね? >>359 ・N(自然数), Z(整数), 2Z(偶数), P(素数), PP'(半素数), 矩形数 ・・・・ 離散 ・Q(有理数) ・・・・ 稠密 は可算で、同型写像で移り合う。 ・R(実数) ・・・・ 連続 だけ不可算で別格ですね〜 しいて言えば b=0 c=10 か? >>354 解法ありがとうございます もしよろしければ Σ_(i=1,n) Σ_(d|gcd(k,x+i)) φ(d) =Σ_(d|k) φ(d) Σ_(1≦i≦n, d|(x+i)) 1 の成立理由をきいてよろしいでしょうか? (他の部分は理解できましたが念の為) >>365 横からすみません 私はそこと Σ_(d|k) φ(d) Σ_(1≦i≦n, d|(x+i)) 1 ≧Σ_(d|k) φ(d) floor(n/d) の成立理由がわからないのですが、ここの成立理由について教えていただけないでしょうか? この不等式は、恐らく Σ_(1≦i≦n, d|(x+i)) 1 ≧ floor(n/d) が成立するということかと思いますが、これがなぜだかわかりません 上の不等式の左辺は、 x+1, x+2, … , x+n の中で d で割り切れる数の個数を意味しますが、 どうしてこれが floor(n/d) 以上になるのでしょうか? >>366 当人じゃないのですがそこの部分は次の性質を使ったのだとおもいます: [α+β] ≧ [α]+[β] が一般に成立する ( [.]は床関数) x+1, x+2, … , x+n の中で d で割り切れる数の個数は [(x+n)/d] - [x/d] ですが さっきの性質から [n/d]以上です >>362 その解法は機能しますか? 最初わたしも素冪でわけて考えたりしたのですがまるでうまくいかなかったです >>354 の解法は芸術品みたいで おそらく正しいのだとおもいますが 10^100+3 ≡3^4+3 ≡0 (mod 7) 7×157×769×2593×4888946572366141×933379288600368294785169967190258422519522243538669103040838466576871923901 これくらいの桁なら素因数分解できるのかw どうせなら10^10^10+3にしとけば良かった m↑↑nを繰り返し冪m^m^…^m(mがn個)とする (a) 10↑↑10+3が合成数であることを示せ (b) 7↑↑7-2が合成数であることを示せ (a) 10^m ≡ 4 (mod 6) ∴ 10↑↑n ≡ 4 (mod 6) n≧2 のとき 10↑↑n = 10^(10↑↑(n-1)) ≡ 10^4 (mod 7) (フェルマーの小定理) ≡ 4 (mod 7) 10↑↑n + 3 ≡ 0 (mod 7) >>359-360 を見て作った問題 #AをAの濃度とする 可算無限濃度の群G={g_i | i∈N}とその正規部分群Hに対して、 #(G/H)=lim(n→∞) #{g_i | i < n}/#{g_(k_i} | g_(k_i} ∈ H , k_iは増加列、k_i < n} は常に成立するか?成立しないのならば反例を挙げよ. >>365 Σ_(i=1,n) Σ_(d|gcd(k,x+i)) φ(d) = Σ_(1≦i≦n, d|k, d|(x+i)) φ(d) = Σ_(d|k) Σ(1≦i≦n, d|(x+i)) φ(d). >>366 連続したd個の整数のうち少なくとも一つはdの倍数。 (x+1)から(x+n)までには、連続したd個の整数からなるブロックが[n/d]個あるから、 そのうちdの倍数も[n/d]個以上あることになる。 >>373 (b) 7 ≡ -1 (mod 4) 7^(4m-1)≡(-1)^(4m-1)= -1 (mod 4) ∴ 7↑↑n ≡ -1 (mod 4) ∴ n≧2 のとき 7↑↑n = 7^(7↑↑(n-1)) = 7^(4m+3) ≡ 7^3 = 343 ≡ 3 (mod 10) (∵ 7^4 = (50-1)^2 ≡ 1 (mod 100)) ∴ n≧3 のとき 7↑↑n = 7^(7↑↑(n-1)) = 7^(10m+3) ≡ 7^3 (フェルマーの小定理) = 343 ≡ 2. (mod 11) ∴ 7↑↑n - 2 は 11の倍数。(n≧3) >>369 >>373 (a) 10^m ≡ 4 (mod 6) より 10^(10^m) ≡ 10^4 (フェルマーの小定理) =(100)^2 ≡ 2^2 = 4 (mod 7) ∴ 10^(10^m)+ 3 ≡ 0 (mod 7) >>377-378 正解です! 同じように 任意の整数a(>0),bに対してあるp(>1),Nが存在して a↑↑n+b=0 modp (n≧N) が成り立ちそうな気もするんですがどうなんでしょうか… >>377 をチョト改良 (b) 7 ≡ -1 (mod 4) Lが奇数のとき 7^L ≡(-1)^L = -1 (mod 4) 7^(7^L)= 7^(4m+3)≡ 7^3 = 343 ≡ 3 (mod 10) (∵ 7^4 = (50-1)^2 ≡ 1 (mod 100)) 7^{7^(7^L)} = 7^(10n+3) ≡ 7^3 (フェルマーの小定理) = 343 ≡ 2. (mod 11) ∴ 7^{7^(7^L)}- 2 は 11の倍数。(L:奇数) >>375 #{g_(k_i) | g_(k_i)∈H, k_i は増加列, k_i<n } はどういう意味?k_iは#{}の束縛変数?それともg_iから一意に定まるもの? >>382 すみません iの部分列として表記してましたが 紛らわしいだけなので {g_j ∈ G | g_j ∈ H , j < n}とすれば良かったですね jは束縛変数で g_j ∈ Hかつj < nを満たす自然数jを全て取ってきて g_jを集めた集合、ということです。 >>375 いちおう修正 #AをAの濃度とする 可算無限濃度の群G={g_i | i∈N}とその正規部分群Hに対して、 #(G/H)=lim(n→∞) #{g_i | i < n}/#{g_j | g_j ∈ H , j < n} は常に成立するか?成立しないのならば反例を挙げよ. >>384 というか H∩{g_i | i<n} だけで良かったのか アホだな >>385 それが空集合のときは分母が 0 になるけどどうする? >>387 たしかにそうですね ある自然数Nがあって、g_N∈H は言えるのでその自然数以降で考える もしくは形式的にH∩{g_i | i<n}が空ならば1ということでお願いします >>379 これは有名な反例があることがわかったw >>384 必ずしも成り立たない。 Gとして整数全体 Z を考える(加法群としてのZ)。 正規部分群Hとして、偶数全体の集合を考える。 もちろん、ここでの「偶数」は負の数も込めている。 Z = { g_i|i∈N } と表示できる任意の g:N → Z に対して #(Z/H) = lim[n→∞] #{ g_i|i<n } / #(H∩{ g_i|i<n }) が成り立つかどうかを考える。以下では、g:N → Z が全単射のときを考える。 #{ g_i|i<n } = n であり、#(Z/H)= 2 であるから、 2 = lim[n→∞] n / #(H∩{ g_i|i<n }) が成り立つかどうかを考えればよい。そのためには 1/2 = lim[n→∞] #(H∩{ g_i|i<n }) / n が成り立つかどうかを考えればよい。 全単射 g:N → Z を、以下の性質を満たすように作る。 ・ g_n が偶数になるのは、3^{2s} ≦ n < 3^{2s+1} (s=0,1,2,…) のとき、かつそのときのみ このような g が存在することは後で見ることにして、先にこのような g に対して 1/2 = lim[n→∞] #(H∩{ g_i|i<n }) / n が成り立たないことを示す。というか、この g に対しては そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i|i<n }) / n が存在しない。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.4 2024/05/19 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる