分からない問題はここに書いてね458

[0001 １３２人目の素数さん 2020/02/10(月) 00:06:16.90 ID:cjQTE70f]

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね457
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1577457155/

(使用済です: 478)

[0851 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 10:02:57.97 ID:BUSW/Nah]

>>846
>・同値関係の定義から、必ず列が一致する開始箇所が存在する
>　→そこが無限列の決定番号
一致するのは最初の項も一致していいのよ
そこから先ずっと一致しているその先頭という定義にしないとダメダメ
君こそ読めてないねｗ

[0852 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 10:06:56.46 ID:BUSW/Nah]

>>768
>定義
>・２つの無限列s1,s2∈R^Nが、ある項から先の項が全て一致するとき「同値」
>・無限列s∈R^Nの「決定番号」dとは、無限列の同値類の代表元の
>　一致箇所の先頭となる項の箇所の番号
同値類の代表元「と」の「一致箇所」というのではダメだって
それだと初項が一致してしばらく一致しなくてあるところから先はずっと一致してるときの決定番号は1ということになるからね
定義を厳密にしなくてはいけないという意識を持たないのは数学的では無いね

[0853 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 10:08:24.33 ID:BUSW/Nah]

>>847
ぷ
何を言わせたいか分かるから言わない

[0854 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 11:43:08.52 ID:OFMTPL9H]

>>851
＞そこから先ずっと一致しているその先頭という定義にしないと
読み取れたならOK

>>852
＞定義を厳密にしなくてはいけない
読み取れたなら十分

>>853
＞何を言わせたいか分かる
なるほど・・・ID:BUSW/Nah氏
ｍ→∞の極限をとると、決定番号は確率１で∞
に全面賛同、と

[0855 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 11:47:03.77 ID:OFMTPL9H]

ID:BUSW/Nah氏への問い

Q.長さn以下の10進小数の9/10が長さn
　ある人曰く
　「だからｎ→∞の極限で有限小数の9/10が長さ∞」
　これホント？

[0856 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 11:51:06.17 ID:OFMTPL9H]

某スレッドの自称大阪大工学部卒氏
敵（？）が東大理学部卒と思い込んで怒り狂う
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/589-590

よい子のみんなはこんな大人になっちゃダメだよ

[0857 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 12:03:59.16 ID:exlHwI3N]

級数Σ[n=1,2,...]1/(n^2+a)を計算することにより、(e^π-e^(-π))/(e^π+e^(-π))が無理数であることを証明せよ。

[0858 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 13:26:37.77 ID:BUSW/Nah]

>>854
忖度させる問題文
しかもほとんど意味ないものを
あらためようとしないのはNG
マルでダメだな

[0859 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 13:44:59.90 ID:93zexsP3]

>>764
返答遅くなってしまい、申し訳ございません。
回答ありがとうございます。

[0860 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 13:55:41.25 ID:uRLry4Gv]

数学掲示板群 ttp://x0000.net
(アルファ・ラボ|学術掲示板群)

[0861 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 14:02:38.08 ID:liILqu/N]

>>844(自己レス)
誤謬に気がついたので撤回しますm(_ _)m

[0862 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 14:04:27.32 ID:OFMTPL9H]

>>858
>>855に答えましょうね

[0863 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 19:48:33.60 ID:BUSW/Nah]

>>862
>>853
君の思惑は既に破産してるって気が付かないみたい
ホントに下らない人間なのかな？

[0864 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 20:16:50.88 ID:fYa2zo9P]

>>857
Σ[n=1,2,････] 1/(nn+a)
　= (1/2)Σ[n∈Z] 1/(nn+a) - 1/(2a)
　= π･coth(π√a)/(2√a) - 1/(2a),
　ランジュヴァン函数？

a=1 のとき
　Σ[n=1,2,････] 1/(nn+1) = (π/2)coth(π) - 1/2,

[0865 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 20:29:34.41 ID:7e4TwADQ]

ノルム空間Xの線形部分空間Mの閉包がXの閉線形部分空間であるという証明で、収束するMの点列xnの極限がMの閉包に属するという話が出てきたのですが、理由教えてください

[0866 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 20:33:46.31 ID:7e4TwADQ]

おかしいこと聞いてすみません、解決しました

[0867 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 21:07:30.74 ID:93zexsP3]

n枚の硬貨を同時に投げて、表の出たものを取り去り、硬貨が残っていれば、もう1回だけそれらを同時に投げて表の出たものを取り去ることにする
この時、全部取り去る確率を求めよ。

解答では、1回目に表が出たものも投げるとして、(1-1/4)^nと答えを出しているのですが、普通に考えて解いた時と、全事象も異なると思うのですが、なぜこの解き方が可能なのでしょうか？

[0868 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 21:27:03.19 ID:SSJI08wq]

>>867
全てのコインが2回投げるうちに1回でも表が出れば全て取り去ることになるから
全事象が異なっても構わない
2枚とか3枚とかで両方のやり方で全事象書き出してみれば分かるかも知れない

[0869 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 21:54:57.20 ID:P+0M8v8I]

>>https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/999
×あんなデタラメなもの
〇完全に正しい数学上の未解決問題の証明論文

[0870 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 22:13:02.85 ID:93zexsP3]

>>868 書き出してみたのですが、イマイチしっくりこないです…

[0871 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 22:19:41.32 ID:SSJI08wq]

>>870
書き出したもの全てにそうなる確率を書き込んで見比べてみてはどうだろうか

[0872 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 23:00:24.46 ID:liILqu/N]

>>871
n=10のときで総当たりで計算してみた

> rm(list=ls())
> n=10
> dec2nw <- function(num, N, digit = n){
+ r=num%%N
+ q=num%/%N
+ while(q > 0 | digit > 1){
+ r=append(q%%N,r)
+ q=q%/%N
+ digit=digit-1
+ }
+ return(r)
+ }
> d=t(sapply(0:(2^n-1),function(num) dec2nw(num,2,n))) # 10枚のコインの裏表の順列（０を取り除く表とする）
> head(d) ; tail(d)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
[3,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
[4,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
[5,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
[6,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1019,] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0
[1020,] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
[1021,] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
[1022,] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
[1023,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
[1024,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
> d1=apply(d,1,sum) #　各行ごとの合計＝裏がでた枚数
> sum((1/2)^d1)/2^n　 # 各行ごとに　(1/2) ^ 裏の枚数を計算して合算する　
[1] 0.056314
> (1-1/4)^n
[1] 0.056314

合致した。

[0873 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 23:20:34.47 ID:liILqu/N]

n=20での100万回のシミュレーション

> # simulation
> sim <- function(n){
+ (flip1=sample(0:1,n,rep=T)) # 0:1から重複を許してn個選んだ配列をflip1とする
+ (flip2=sample(0:1,sum(flip1),rep=T))　# 0:1からflip1の総和個選んだ配列をflip2とする
+ sum(flip2)==0 # flip2の総和が０か否かを返す
+ }
> mean(replicate(1e7,sim(20))) # 100万回試行して全部取り去った割合を計算
[1] 0.0031899
> (1-1/4)^20
[1] 0.0031712

まあ、近似した。

[0874 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 23:24:01.87 ID:liILqu/N]

>>867
1枚の硬貨が取り除かれない確率は、裏裏と続くときだから1/4
その余事象（1枚の硬貨が取り除かれる事象）の確率は3/4
どの硬貨の裏表がでるかは独立事象だから、(3/4)^nでいいんじゃないの？

[0875 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 23:36:46.27 ID:PkAuPrUG]

無限級数
(1/1^2)+(1/2^3)+(1/3^4)+...
を求めよ。

[0876 １３２人目の素数さん 2020/03/22(日) 23:54:02.20 ID:liILqu/N]

>>828
シミュレーションプログラムの練習　数理解は賢者にお任せ

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
En 1.0000 1.1991 1.4378 1.6744 1.9163 2.1544 2.3992 2.6329 2.9352 3.1542 3.4106
Pn 0.3405 0.1997 0.1483 0.1148 0.0917 0.0775 0.0700 0.0608 0.0516 0.0458 0.0416
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22]
En 3.6105 3.8742 4.1257 4.3780 4.6665 4.7706 5.0866 5.4512 5.6246 5.8261 6.1474
Pn 0.0375 0.0381 0.0383 0.0308 0.0295 0.0296 0.0269 0.0223 0.0227 0.0221 0.0239
[,23] [,24] [,25] [,26] [,27] [,28] [,29] [,30]
En 6.5768 6.5863 6.8209 7.0221 7.3743 7.652 7.8525 8.1056
Pn 0.0217 0.0204 0.0189 0.0202 0.0183 0.017 0.0166 0.0161

fn <- function(n){
B=c(rep(1,n),0,0) # 1:青玉 0:白玉
flg=3 # drawを初期値
i=0 # 試行の回数カウンター
while(flg==3){ # drawなら繰り返す　1:win 2:lose 3:draw
i=i+1
flg=(1:3)[sum(sample(B,2))+1] # (1:3)[sum(c(0,0))+1] : win
}
c(i=i,flg=flg)
}
sim <- function(n){
k=1e4
re=t(replicate(k,fn(n)))
c(mean(re[,'i']),mean(re[,'flg']==1)) # 回数と勝率を返す
}
n=1:30
re=sapply(n,sim)
En=re[1,]
plot(n,En,bty='l',pch=19)
Pn=re[2,]
plot(n,Pn,bty='l',pch=19)
rownames(re)=c('En','Pn')
re

[0877 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 00:22:10.10 ID:LEqUK4fn]

数列{a[k]}を
a[k]={nCk*(-1)^(k+1)}/k
とおく。
必要であれば
lim[n→∞]{(1+1/2+...+1/n)-ln(n)}=0.5772...を用いて以下の問いに答えよ。

（1）lim[n→∞] {1/ln(n)}*Σ[k=1,...,n]a[k]=1
を示せ。

（2）次の極限を調べよ。
lim[n→∞] {1/ln(n)}*Σ[k=1,...,n]❲Σ[j=1,...,k](a[j]/j)❳

[0878 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 04:05:11.11 ID:uvHIelYA]

>>828
E(n) = (n+2)*(n+1)/(4*n+2)

> E(1:30)
[1] 1.0000 1.2000 1.4286 1.6667 1.9091 2.1538 2.4000 2.6471 2.8947 3.1429 3.3913
[12] 3.6400 3.8889 4.1379 4.3871 4.6364 4.8857 5.1351 5.3846 5.6341 5.8837 6.1333
[23] 6.3830 6.6327 6.8824 7.1321 7.3818 7.6316 7.8814 8.1311

>876のシミュレーションと近似している

pw=choose(2,2)/choose(n+2,2) # Pr[win]
pl=2*n/choose(n+2,2) # Pr[lose]
p=pw+pl
q=1-p # Pr[draw]
# 1*p + 2*q*p + 3*q^2*p + 4*q^3*p + i*q^(i-1)*p
# Σ[i=1,i=m] i*q^(i-1)*p
# p*Σi*q^(i-1)
# p*Σd(q^i)/dq
# p*d(Σq^i)/dq
# p*d((1-q^m)/(1-q))
# m→∞ q^m→0
# p*d/dq(1/(1 - q)) = p/(1 - q)^2 = 1/p

[0879 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 05:09:19.45 ID:uvHIelYA]

>>828
2）　 1/(n+1)　かな？
シミュレーションかこっちのどちらかが間違いだな

[0880 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 11:47:06.63 ID:Q1ISEmaR]

>>828
nが偶数の場合
P[win] = (n+2)/2 * 2!n!/ (n+2)! = 1/(n+1) {n+2個をシャッフルして偶境界に白白}
E[n; win] = ( 1 + 2 + ... + (n+2)/2 ) * 2!n!/ (n+2)! = ...
E[n; lose] = (1*2n + 2*2(n-2) + .... + n/2*2*2 ) * 2!n!/ (n+2)!　{n+2個をシャッフルして偶境界に黒白or白黒、その後方に白}
　= ...
nが奇数の場合も同様

(便利な公式)
1*N + 2*(N-1) + ... +(N-1)*2 + N*1
1*(N+1-1) + 2*(N+1-2) + ... +(N-1)*(N+1-(N-1)) + N*(N+1-N)
= (1+2+...+N)(N+1) - (1^2 + 2^2 + ... + N^2)
= N(N+1)(N+1)/2 - N(N+1)(2N+1)/6 = N(N+1)(N+2)/6

[0881 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 12:56:08.97 ID:mjeu1Sts]

>>828
非復元試行だね？

[0882 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 13:39:57.58 ID:mjeu1Sts]

>>828
k回目にあいこになる確率をpkとすると
k+1回目の始まる時点では青石がn-2k個になっているので
n-2k<2ならp(k+1)=0
n-2k≧2ならp(k+1)=pk・(n-2kC2)/(n-2k+2C2)=pk・(n-2k)(n-2k-1)/(n-2k+2)(n-2k+1)
n-2k=0,1いずれでも
p(k+1)=pk・(n-2kC2)/(n-2k+2C2)=pk・(n-2k)(n-2k-1)/(n-2k+2)(n-2k+1)
としてよいので
この漸化式で0になるまでと考えると
k+1≦n/2でp(k+1)=p1・(n-2k)(n-2k-1)/n(n-1)=(n-2k)(n-2k-1)/(n+2)(n+1)
k+1>n/2でp(k+1)=0
k+1回目に終了する確率はpk-p(k+1)なので試行回数の期待値は
Σ(k+1)(pk-p(k+1))=Σpk-うーん面倒

[0883 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 14:28:40.31 ID:C6r5Z2Qx]

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[0884 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 15:20:20.77 ID:iIfIhG5+]

>>881
非復元試行だったのか？
復元試行と思って解答しようとしていた。

[0885 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 15:29:26.68 ID:mjeu1Sts]

>>884
復元なら簡単すぎでしょうから>>880は非復元で解いてる

[0886 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 16:59:20.79 ID:shYRDHVH]

2^2^2^2^2^2
は
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=2%5E2%5E2%5E2%5E2%5E2
において、
最後の数桁:
...7437428736
であるというが、その根拠は？

[0887 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 19:49:00.11 ID:d4Un7xXa]

>>880
どうでもいいことだが、
1*N + 2*(N-1) + ... +(N-1)*2 + N*1 = N(N+1)(N+2)/6
の別証明。

右辺は C(n+2,3) であるが、これを次のように考える。
1,2,3,4,…,n+2 のn+2個の数から3つ選ぶ選び方については
選んだ3つの数を左、真ん中、右と呼ぶことにすると、
真ん中に選ぶ数で場合分けできる。
真ん中が2となる選び方は、左1通り*右n通り。
真ん中が3となる選び方は、左2通り*右(n-1)通り。
真ん中が4となる選び方は、左3通り*右(n-2)通り。
…
真ん中がn+1となる選び方は、左n通り*右1通り。

[0888 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 19:51:38.16 ID:Lq4C2mrA]

千葉逸人@HayatoChiba

珍しく（？）数学の質問をしたいのですが、文字数のため画像添付でお許しください。面白い話題だと思うのですが、何かご存知の方いますでしょうか。（ちょっと悔しいけど、でも教えてください・・・）
https://pbs.twimg.com/media/ETybe_oUMAAfIhq.jpg

https://twitter.com/HayatoChiba/status/1242039227069550592
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

[0889 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 20:11:02.23 ID:cYCm1Zv8]

辺の長さが全て整数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[ラジアン]は無理数であることを示せ.

[0890 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 20:48:10.79 ID:Q1ISEmaR]

>>886
準備1: オイラーφ関数
　φ(5^10) = 5^9 (5-1) = 5^9*2^2

準備2: ユークリッド互除法
　1745224 *2^10 - 183 *5^10 = 1 　{計算方法は省略}

2^{2^{2^{2^{2^{2 }...} ≡ 0　(mod 2^10)　 {∵2の因子の多さは明らか...}

2^{2^{2^{2^{2^{2 }...}
≡ 2^{ 2^{ 1024*64 } (mod 5^9*2^2) }} 　(mod 5^10) {∵フェルマーの小定理}
≡ 2^{ 406736 } 　(mod 5^10) 　{※}
≡ (1-5)^203368 　(mod 5^10)
≡ 1 + (-5)*C{203368,1} + 5^2* C{203368,2} +... +(-5)^9 *C{203368,9}　(mod 5^10)
≡ 5788111　(mod 5^10)

中国人剰余定理より
2^2^2^2^2^2 ≡ 0*(-183*5^10) + 5788111*(1745224*2^10)　(mod 2^10*5^10)
≡ (57*10^5 + 88111)* (17*10^5*45224)* 1024 (mod 10^10)
≡ ((57*45224 + 88111*17)*10^5 +88111*45224 )*1024 (mod 10^10)
≡ 421427437428736 (mod 10^10)
≡ 7437428736 (mod 10^10)

∴ 2^2^2^2^2^2 = ..... 7437428736

※ ここは多倍長計算可能な数式ソフトに任せた。
常識的な桁数で済ませたいなら後半と同様に (1-5)^{ 1024*32 } (mod 5^9) etc. を計算したらよい。

[0891 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 21:20:30.94 ID:8hlHRLPg]

>>888
転載おつです
千葉逸人@HayatoChiba 先生か

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー 　2020年4月号
＊数学との向き合いかた……千葉逸人　8

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%83%E8%91%89%E9%80%B8%E4%BA%BA
千葉 逸人（ちば はやと、1982年1月18日 - ）は日本の数学者、東北大学材料科学高等研究所教授[1]。

略歴
福岡県久留米市生まれ。福岡県立明善高等学校を経て、2005年京都大学工学部物理工学科卒業。2009年京都大学情報学研究科数理工学専攻博士課程修了。専門は力学系理論、微分方程式、および非線形函数方程式。

大学3回生の時に『これならわかる工学部で学ぶ数学』を出版した[2]。

また修士課程在学中に『ベクトル解析からの幾何学入門 』を出版した。（書いたのは学部４回生の時だという）

2013年より九州大学マス・フォア・インダストリ研究所准教授[3]。

2015年に蔵本予想（蔵本モデル）の証明をした[4]。

2019年度より九州大学を退職し東北大学材料科学高等研究所の教授[5]。

[0892 886 2020/03/23(月) 21:24:18.67 ID:shYRDHVH]

>>890
さっぱり分からんが回答ありがとう。
logを使う方法がネット上で載っていたが違う方法もあるんだな。

[0893 １３２人目の素数さん 2020/03/23(月) 21:31:34.88 ID:8hlHRLPg]

>>891
https://en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function
Walsh function From Wikipedia

https://mathworld.wolfram.com/WalshFunction.html
Walsh Function -- from Wolfram MathWorld

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%80%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B
アダマール変換（ウォルシュ?アダマール変換やアダマール?ラーデマッヘル?ウォルシュ変換、ウォルシュ変換、ウォルシュ?フーリエ変換としても知られている）はフーリエ変換の一般化の1つである。

この変換はフランスの数学者ジャック・アダマール、ドイツの数学者ハンス・ラーデマッヘル、アメリカの数学者ジョセフ・L・ウォルシュ（英語版）にちなんで命名されている。

[0894 886 2020/03/23(月) 21:45:32.24 ID:shYRDHVH]

https://sites.google.com/site/allamsnumbers/home/the-beginning-of-the-beyonds/hyperoperational-numbers
It turns out that the leading digits of this number can be computed,
by taking the log10(2) accurate to at least 19735 decimal places,
and multiplying it by the decimal expansion of 2^^5.
Below are the first and last 40 digits of 2^^6.

2120038728808211984885164691662274630835...............8862693010305614986891826277507437428736


こっちも読んでも分からんけれども。

[0895 １３２人目の素数さん 2020/03/24(火) 00:41:48.96 ID:MOWxPvKi]

>>887
更にどうでもいいことだが、
　1･N + 2･(N-1) + ････ + (N-1)･2 + N･1
は
　{1 + 2x + 3x^2 + ････ + k･x^(k-1) + ････ }^2
　= (1 + x + x^2 + x^3 + ････ + x^k + ････ )^4
　= 1/(1-x)^4
　= Σ[k=0,∞] Ｃ[k+3, 3] x^k,
における x^(N-1) の係数に等しい。
∴　Ｃ[N+2, 3] = N(N+1)(N+2)/6.

なお　1/(1-x)^a = Σ[k=0,∞] Ｃ[k+a-1, a-1] x^k,

[0896 １３２人目の素数さん 2020/03/24(火) 01:10:08.53 ID:MOWxPvKi]

↑　一般化された二項展開公式

[0897 １３２人目の素数さん 2020/03/24(火) 01:44:42.10 ID:MOWxPvKi]

>>875

Σ[k=1,∞] 1/(k^k)　=　1.291286
Σ[k=1,∞] 1/(k^(k+1))　=　1.138390
Σ[k=1,∞] 1/(k^(k+2))　=　1.066873
Σ[k=1,∞] 1/(k^(k+3))　=　1.032685

(下限)
Σ[k=1,∞] 1/(k^(k+a))　>　1 + 1/(2^(2+a))

[0898 １３２人目の素数さん 2020/03/24(火) 14:18:31.14 ID:4B4ZGbe9]

geogebraで５点を通る二次曲線を描いたときに
５点から決まる焦点や漸近線の作図方法はどうやればいいのでしょうか？

[0899 １３２人目の素数さん 2020/03/24(火) 15:06:33.54 ID:7gzwGu/s]

数列{a[k]}を
a[k] = {nCk*(-1)^(k+1)}/k
とおく。
必要であれば
lim[n→∞] {(1+1/2+...+1/n)-ln(n)} = 0.5772... を用いて以下の問いに答えよ。

（1）lim[n→∞] {1/ln(n)}*Σ[k=1,...,n]a[k] = 1
を示せ。

（2）次の極限を調べよ。
lim[n→∞] {1/ln(n)}*Σ[k=1,...,n]❲Σ[j=1,...,k](a[j]/j)❳

[0900 １３２人目の素数さん 2020/03/24(火) 20:13:20.63 ID:xFdt2vDE]

>>898
・二次曲線の中心
・円と二次曲線の4交点
が作図できるので、X軸, Y軸 が得られる.
双曲線: (aY)^2 - (bX)^2 = 1 の a, b を数式で求めてしまえばよい
　https://imgur.com/nUiPUqs
楕円: 作図オンリーで簡単に求まる↓

[0901 １３２人目の素数さん 2020/03/25(水) 00:53:30.65 ID:/JBpNTYO]

>>899
Σ[k=1..n]a[k] = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1}/k
= Σ[k=1..n] ∫[x=0,1]dx C{n,k} (-x)^{k-1}
=lim[ε→∞] ∫[x=ε,1]dx ( x^{-1} - x^{-1}(1-x)^n )
=lim[ε→∞] ∫[x=ε,1]dx x^{-1} - ∫[x=0,1-ε]dx (1-x)^{-1} x^{n} )
=lim[ε→∞] -log(ε) - Σ[k=n+1..∞](1-ε)^k/k
=lim[ε→∞] -log(ε) - Σ[k=1..∞](1-ε)^k/k + Σ[k=1..n](〜)
=lim[ε→∞] -log(ε) + log(1-(1-ε)) + Σ[k=1..n](〜)
= Σ[k=1..n] 1/k
= {Σ[k=1..n] 1/k - ln(n)} + ln(n)

lim[n→∞]Σ[k=1..n]a[k]/ln(n) = 0.5772.../∞ + 1 = 1

[0902 １３２人目の素数さん 2020/03/25(水) 00:54:49.21 ID:/JBpNTYO]

lim[ε→∞] じゃなくて lim[ε→0]

[0903 １３２人目の素数さん 2020/03/25(水) 14:39:45.07 ID:/JBpNTYO]

>>899 問(2)
Σ[k=1..n]Σ[j=1..k] a[j]/j = Σ[j=1..n]Σ[k=j..n] a[j]/j = Σ[j=1..n] (n-j+1) a[j]/j
= (n+1)Σ[j=1..n]a[j]/j　-　Σ[j=1..n]a[j]

Σ[j=1..n]a[j]/j
= Σ[j=1..n] C{n,j} ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy (-xy)^{j-1}
= ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy {1 - (1-xy)^n }/{1 - (1-xy)}
= ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy 1 + (1-xy) + ... + (1-xy)^{n-1}
= ∫[x=0,1]dx 1 + (1-x/2) + ... + (1-(1-x)^n)/nx
= ∫[x=ε,1]dx Σ[k=1,n] 1/xk - x^{-1}(1-x)^k/k
= Σ[k=1,n] { 1/k * (-ln(ε)) - ∫[x=0,1-ε]dx (1-x)^{-1} x^k/k }
= Σ[k=1,n] { 1/k * (-ln(ε)) - {Σ{[m=1,∞] - Σ[m=1,k]} (1-ε)^m/mk }
= Σ[k=1,n]Σ[m=1,k] 1/mk
= { Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] 1/mk + Σ[k=1,n] 1/kk }/2
= { (γ+ln(n)+α)^2 + π^2/6 + β }/2　　【 γ=0.5772..., α→ 0, β→ 0 (n→∞) 】

∴ lim[n→∞] { Σ[k=1..n]Σ[j=1..k] a[j]/j }/ { n*ln(n)^2 } = 1/2
分母は勝手に変えさせてもらった

[0904 １３２人目の素数さん 2020/03/25(水) 15:33:24.20 ID:YzGeEn4T]

このスレ、レベル高くなってきたね

[0905 901 2020/03/26(木) 10:34:43.57 ID:IM17g/m8]

極限操作が雑に見えなくもないので少し書き直しておく (実際は同内容)

0 < ε < 1 とする.
Σ[k=1..∞] (1-ε)^k/k = -ln(1-(1-ε)) = -ln(ε) ・・・(1)

N を n < N, (1-ε)^N/ε < ε となるようにとる.
Σ[k=n+1..N] (1-ε)^k/k = ∫[x=0,1-ε]dx Σ[k=n+1..N] x^{k-1}
= ∫[x=0,1-ε]dx (x^n　-　x^N)/(1-x)
= ∫[x=ε,1]dx (1-x)^n/x　-　α(N)
= -ln(ε) + Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k} (1-ε^k)/k　-　α(N) ・・・(2)
Nの条件より 0 < α(N) < ε

(1)-(2) より
Σ[k=1..n] (1-ε)^k/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} (1-ε^k)/k + α(N)
ε → +0 の極限をとって
Σ[k=1..n] 1/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} 1/k
を得る.

[0906 １３２人目の素数さん 2020/03/26(木) 11:46:58.26 ID:IM17g/m8]

変なとこがあったので訂正

0 < ε < 1 とする.
α[N] := ∫[x=0,1-ε]dx x^N/(1-x)
β[N] := Σ[k=N+1,∞](1-ε)^k/k
N を n < N, (1-ε)^N/ε < ε, β[N] < ε となるよう十分大きくとる. (εに依存)
条件より 0 < α[N] < ε である.

Σ[k=1..∞] (1-ε)^k/k = -ln(1-(1-ε)) = -ln(ε) ・・・(1)

Σ[k=n+1..N] (1-ε)^k/k = ∫[x=0,1-ε]dx Σ[k=n+1..N] x^{k-1}
= ∫[x=0,1-ε]dx (x^n - x^N)/(1-x)　=　∫[x=ε,1]dx (1-x)^n/x　- α[N]
= -ln(ε) + Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k} (1-ε^k)/k　- α[N] ・・・(2)

(1)-(2) より
Σ[k=1..n] (1-ε)^k/k　+ β[N] = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} (1-ε^k)/k　 + α[N]

ε → +0 の極限をとって
Σ[k=1..n] 1/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} 1/k
を得る.

[0907 １３２人目の素数さん 2020/03/26(木) 15:42:53.55 ID:IM17g/m8]

もうちょっと頑張ってみた.

Σ[k=1,n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k
= Σ[k=1,n] ∫[x=0,1]dx C{n,k} (-x)^{k-1}
= Σ[k=1,n] ∫[x=0,1]dx C{n,k} (x-1)^{k-1}
= ∫[x=0,1]dx { (1+(x-1))^n - 1 } / (x-1)
= ∫[x=0,1]dx (x^n - 1) / (x-1)
= ∫[x=0,1]dx Σ[k=0,n-1] x^k
= Σ[k=1,n] 1/k

Σ[j=1..n]a[j]/j
= Σ[j=1..n] C{n,j} ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy (-xy)^{j-1}
= ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy {1 - (1-xy)^n }/{1 - (1-xy)}
= ∫[x=0,1]dx Σ[k=0,n-1] ∫[y=0,1]dy (1-xy)^k
= ∫[x=0,1]dx Σ[k=1,n] (1-(1-x)^k) / kx
= ∫[x=0,1]dx Σ[k=1,n] (1-x^k) / k(1-x)
= Σ[k=1,n] 1/k ∫[x=0,1]dx Σ[m=0,k-1] x^m
= Σ[k=1,n] 1/k Σ[m=1,k] 1/m
= Σ[k=1,n]Σ[m=1,k] 1/km

εやらlog展開を使うなんてアリエネーだろ... と自分でも思っていたのでスッキリした.

[0908 １３２人目の素数さん 2020/03/26(木) 18:19:07.01 ID:IM17g/m8]

よりシンプルに...

f(x) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-x)^k / k
f’(x) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-x)^{k-1}
　= (1 - (1-x)^n)/x = (1-(1-x)^n)/(1-(1-x)) = Σ[k=0..n-1] (1-x)^k

Σ[k=1,n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k
　= f(1) - f(0) = ∫[x=0,1]dx f’(x) = Σ[k=1..n] 1/k

問2をこの方向でやるのは却って面倒かもしれない.

[0909 １３２人目の素数さん 2020/03/26(木) 19:42:03.72 ID:IM17g/m8]

それほどでもなかった.
g(x,y) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^k /kk
∂[x]∂[y]g(x,y) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^{k-1}
　= (1- (1-xy)^n) / xy　= (1- (1-xy)^n) / (1- (1-xy))
　= Σ[k=0..n-1] (1-xy)^k
∂[x]g(x,y) = ∫dy ... = Σ[k=1..n] (1-(1-xy)^k) / kx　{∵ ∂[x]g(x,0)=0}
　= Σ[k=1..n] y(1-(1-xy)^k) / k(1-(1-xy))
　= Σ[k=1..n] Σ[m=0..k-1] y(1-xy)^m / k
g(x,y) = ∫dx ... = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] { 1- (1-xy)^m }/mk　{∵ g(0,y)=0}

∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /kk
　= g(1,1) = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] 1/mk

[0910 １３２人目の素数さん 2020/03/26(木) 21:24:39.90 ID:zUlAmjt2]

　Σ[k=1..n] a[k] = 1 + 1/2 + 1/3 + ･････ + 1/n = H[n],
とおく。
　Σ[j=1..k] a[j]/j = Σ[j=1..k] {C(n,j) (-1)^(j-1)} /jj
　= Σ[j=1..k] (1/j) Σ[m=1..j] 1/j
　= Σ[j=1..k] H[j]/j
　= (1/2)H[k]^2 + (1/2)Σ[j=1,k] 1/jj,
まで出た。
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j]/j
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 - Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
かな？

H[n] 〜 log(n) + γ　　　【γ = 0.5772...】

[0911 １３２人目の素数さん 2020/03/26(木) 21:49:15.07 ID:IM17g/m8]

さっきの方針に沿って一般化してみた.
f{0} := f(x_1,...,x_m) := -Σ[k=1..n] C{n,k}(-x_1***x_m)^{k} /k^m
f{m} := ∂[x_1]...∂[x_m] f = { 1-(1-x_1***x_m)^n } / { 1-(1-x_1***x_m) }
　= Σ[k_1=0..n-1] (1 -x_1***x_m)^k_1
f{m-1} = ∫ dx_1 f{m} = Σ[k_1=1..n] { 1 - (1 -x_1***x_m)^k_1 }/{ x_2***x_m) }
　= Σ[k_1=1..n] x_1 { 1 - (1-x_1***x_m)^k_1 }/{ 1 - (1-x_1***x_m) }
　= Σ[k_1=1..n] (x_1/k_1) Σ[k_2=0..k_1-1] (1-x_1*...*x_m)^k_2
f{m-2} = ∫ dx_2 f{m-1}
　= Σ[k_1=1..n](x_1/k_1) Σ[k_2=1..k_1] (x_2/k_2){ 1 - (1-x_1***x_m)^k_2 }/{ 1 - (1-x_1***x_m) }
　= Σ[k_1=1..n](x_1/k_1) Σ[k_2=1..k_1] (x_2/k_2) Σ[k_3=0..k_2-1] (1-x_1*...*x_m)^k_3
. . . ...
f{1} = Σ[1≦k_{m-1} ≦...≦k_1≦ n] (x_1***x_{m-1})/ (k_1***k_{m-1}) Σ[k_m=0..k_{m-1}-1] (1-x_1*...*x_m)^k_m
f = f{0} = ∫ dx_m f[1] = Σ[1≦k_m≦...≦k_2≦k_1≦n] { 1-(1-x_1*...*x_m)^k_m } /(k_1***k_m)

∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /k^m = Σ[1 ≦ k_1 ≦ k_2 ≦...≦ k_m ≦ n] 1/(k_1*k_2**k_m)
なかなか面白い式が得られた.

[0912 １３２人目の素数さん 2020/03/26(木) 23:05:40.69 ID:IM17g/m8]

この式から
　lim[n→∞] { Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /k^m } / ln(n)^m = 1/m!
が得られる.

[0913 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 01:30:07.86 ID:GzR1OrPK]

>>910 訂正

　Σ[j=1..n] a[j]/j = Σ[k=1..n] {C(n,k) (-1)^(k-1)} /kk
　= Σ[k=1..n] (1/k) Σ[m=1..k] 1/m
　= Σ[k=1..n] H[k] /k
　= (1/2)H[n]^2 + (1/2)Σ[k=1,n] 1/kk,
は出た。　しかし k<n に対して
　Σ[j=1..k] a[j]/j
を出すのが難しく　(∵ a[j] は陰にnに依存する｡)　(2) に使えそうにない。。。

むしろ
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j] /j
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) a[k] /k
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) {C[n,k] (-1)^(k-1)}/kk
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 - Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
とする方が早いかな

[0914 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 01:38:15.26 ID:MKzt7giy]

ここのスレッドの数式は記号の意味すらわからん

はじめアルゴリズムを見て数学はじめた人いますか？

[0915 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 02:32:03.81 ID:GzR1OrPK]

>>913 また間違えた。
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j] /j
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) a[k] /k
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) {C[n,k] (-1)^(k-1)}/kk
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
　　　　　　　　　　↑

[0916 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 11:03:34.84 ID:GzR1OrPK]

>>908-909
　１変数でもできそう。。。

f(x) := Σ[k=1..n] a[k] x^k
　= (-1)Σ[k=1..n] C[n,k]/k・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k,

f(1) = Σ[k=1..n] a[k]
　= Σ[k=1..n] 1/k = H[n],

g(x) := Σ[k=1..n] a[k]/k・x^k
　= -Σ[k=1..n] C[n,k]/kk・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k･(Σ[m≧k] 1/m),

g(1) = Σ[k=1..n] a[k]/k
　= Σ[k=1..n] Σ[m=k..n] 1/mk
　= (1/2){H[n]^2 + Σ[k=1,n] 1/kk},

これらより

Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k・x^k = (n+1)g(x) - f(x),
x→1 として
Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k
　= (n+1)g(1) - f(1)
　= ((n+1)/2){H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],

[0917 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 13:20:44.65 ID:vg0i1FkQ]

1変数でやってみた.
f[m](x) := Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} x^k/k^m
h[m](x) := Σ[1≦k_m≦...≦k_1≦n] (1-(1-x)^{k_m}) / (k_1*k_2*...*k_m)

・f[1](x) = h[1](x) は証明済み.
・f[q](x) = h[q](x) を仮定する.
・f[q+1](x) = ∫[t=0,x]dt f[q](t) / t = ∫[t=0,x]dt h[q](t) / t
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　 　* ∫[t=0,x]dt (1-(1-t)^{k_q})/(1-(1-t))
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　　 * Σ[k=0..k_q-1] ∫[t=0,x]dt (1-t)^k
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　　 * Σ[k=1..k_q] (1-(1-x)^k)/k
　= h[q+1](x)
帰納法により h[m](x)=f[m](x) (m=1..∞)
∴Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k^m = f[m](0) = h[m](0)
　 = Σ[1≦k_1≦..≦k_m≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_m)

何か応用例があるのなら知りたいです.

[0918 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 13:59:07.41 ID:8/I0F+NU]

線分A_0A_1上にある点A_2を中心とした点対称でA_0とA_1を移動した点のうちA_2に近い方をA_3とする。
次にA_3と一番近い距離にある二点A_2 と A_0 or A_1をA_3を中心に点対称で移動したときA_3と近い方をA_4とする。
同様に点対称で移動した点A_mに一番近い２点をA_mを中心として１８０度回転させた点のうちA_mに近い方をA_(m+1)
とする。A_0A_1：A_0A_2＝1：p のとき A_0A_1：A_0A_m はm→∞のときどうなるか？

[0919 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 14:18:36.06 ID:8/I0F+NU]

>>918 冗長だったので訂正
「同様に点対称で移動した点A_mに一番近い点をA_mを中心として１８０度回転させた点をA_(m+1)とする」

[0920 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 15:15:04.85 ID:8uK7rffV]

凸n角形Tが与えられている。
Tと相似なn角形で、そのn個の頂点がすべてTの周上にあり、かつTとは異なるものが存在することを示せ。

[0921 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 17:42:25.28 ID:8/I0F+NU]

>>918　比が有理数だと最近接点が二点になってしまうので
A_0A_1：A_0A_2＝1：p 　(pは無理数）　

[0922 １３２人目の素数さん 2020/03/27(金) 21:34:44.34 ID:HNHzaI19]

>>920
出鱈目

[0923 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 06:29:27.53 ID:IpE4JaSb]

50代の馬鹿なおっさんだがこんなスレがあったとは
以前から聞きたいと思っていたが、いいですか？
自分は57歳です、妻は49歳。歳の差8歳
自分の両親も歳の差8歳.妻の両親も歳の差8歳です。
2〜3歳だと珍しくもないが、これはかなりレアだと思うが確率だと、どのくらいでしょうか？
教えてください

[0924 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 07:00:49.34 ID:BJlezchp]

>>923
結婚可能年齢の男女ごとの人口ピラミッドの分布から
無作為に選らんで歳の差が８になる確率pを計算してp^3で計算。
結婚適齢期を無視した試算になるので
年齢差が2-3歳の確率との比で論じた方がいいだろうね。

[0925 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 11:25:51.31 ID:LkLNve/s]

結婚相手は無作為に選ぶわけじゃないし確率でもないような気もする

[0926 イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/28(土) 12:00:53.97 ID:zOKjl8OR]

前>>672
>>923
年の差8つは生まれ年でいうと7〜9歳差までは8つ差とみなし、干支の一回り違いの12歳差が最大としたとき、4組の夫婦のうち1組は8つ差になる。これが3組の夫婦でそうなる確率は、
(1/4)^3=1/64
∴100/64=1.5625(％)
8つ差自体は25％ぐらいだから、確率的に低くない。それに遺伝的に似てくるとも考えられる。

[0927 イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/28(土) 12:20:59.02 ID:zOKjl8OR]

前>>926
父は申年生まれ、自分と母と祖母は亥年生まれ、父方の祖母は巳年生まれで十何年か前に94歳で亡くなりました。
母方の祖父は満99歳で何年か前に亡くなりました。
祖母はその何年か前に亡くなりましたが、祖父より何歳か年下で一回りもは離れてなかったはず。
父方の祖父は父が3歳ぐらいのとき66歳で亡くなったそうなので、1880年か1881年の生まれで、父方の祖母は1905年生まれだと思います。
母方の祖母は1923年生まれで、母方の祖父は1916年か1917年の生まれだと思います。
48歳の自分の相方の期待値は何歳か。

[0928 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 12:25:23.21 ID:EeqfWA+y]

平面z=0上の単位円を底円とし、高さがh(>1)の直円柱を考える。

（１）平面z=x+aが直円柱と共有点を持つよう、実数aが動く。aの取り得る値の範囲を求めよ。

（２）（１）で求めたaの範囲の最小値をm、最大値をMとする。
[m,M]から実数を1つ無作為にとり、それをrとおく。
平面z=x+rによる円柱の切断面の面積S(r)がπ以上(2/√3)π以下となる確率を、小数点以下1桁まで求めよ。
小数点の2桁以下は切り捨てよ。

[0929 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 15:00:02.80 ID:MbLPP9qO]

>>926
なんで8歳差は4組に1組なの？
そんなに多い訳ない
1〜3歳差くらいは多くて年が離れる程レアな気がするが
そんな簡単な計算ではないと思うが
例えば加藤茶など45歳差だと自分の両親も妻の両親も45歳差なんて現実的にはありえんと思うがな

[0930 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 15:39:15.39 ID:GB5uxKLH]

>>928
(1)
直円柱は -1≦x≦1 ∩ 0≦z≦h の範囲に含まれるから
　-1 ≦ z-x ≦ h+1
∴ aの取り得る値は -1≦a≦ h+1 に限る。
逆に、
-1≦a≦0 のときは (1,0,a+1) を、
0≦a≦h のときは (0,0,a) を、
h≦a≦h+1 のときは (-1,0,a-1) を共有点に持つ。

以上より、aの取り得る値の範囲は -1 ≦ a ≦ h+1.

[0931 イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/28(土) 18:53:04.86 ID:zOKjl8OR]

前>>927
>>926
半年違いを同い年と見るか1つ違いと見るかで違うから干支の一回りが12年として前後含めた3年が同い年とみなせる領域で1/4という意味でした。
統計を見ると夫が7歳以上年上っていうのが11％なんで、8歳年上は10％ぐらいじゃないかと。

[0932 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 22:13:23.34 ID:etvsflac]

a,bが有理数で
　a+√(a^2+4b) = 2+2√2
を満たせば、a=2, b=1 と言えますか。

[0933 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 22:37:48.34 ID:6jJILqDt]

詳しくはやる気しないけどa=m/n,b=p/qでやって分母払って一次独立性でいけるんちゃう？

[0934 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 23:13:44.00 ID:jupOXOht]

>>932
a+√(a^2+4b) = 2+2√2
⇔
√(a^2+4b) = 2+2√2 -a
⇒
a^2+4b = (2+2√2 -a)^2
⇔
b = (3+2√2) - (1+√2) a
ここで a, b が有理数なら √2 項を打ち消すため a=2 である必要があり,
この時 b=2 である.　つまり他の有理数ペアではあり得ない事が分かる.

[0935 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 23:14:38.09 ID:xeEd/uAu]

この時 b=1 である.　つまり他の有理数ペアではあり得ない事が分かる.

[0936 １３２人目の素数さん 2020/03/28(土) 23:22:02.25 ID:lEVDGi5H]

Q：有理数全体
とする
このとき

∃a,b∈Q；　a+√(a^2+4b) = 2+2√2　が在る

∃a,b∈Qを前提として

a：=2
b：=1

とおけばよい

と言える

[0937 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 01:34:34.62 ID:DBFujSM6]

問われているのは、
　∀a,b∈Q { a+√(a^2+4b) = 2+2√2　→ (a=1 ∧ b=2) }

それと等価な論理式
　∀a,b∈Q { (a≠1 ∨ b≠2) → a+√(a^2+4b) ≠ 2+2√2 }
や
　¬[ ∃a,b∈Q { (a≠1 ∨ b≠2) ∧ a+√(a^2+4b) = 2+2√2 } ]
なんかでもOK

[0938 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 01:42:57.37 ID:tVnKZGKQ]

また対偶がとれないやつか

¬∀　等値　∃　〇

∀　等値　¬∃　　これは無関係

[0939 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 01:47:22.04 ID:tVnKZGKQ]

しかも全称命題の不存在性から
は一般に無限集合から元を選び取ることはできないので

∀a,b∈Q，　a=1, b=2　

と書くことはできない

必ず

∃a,b∈Q；　a=1，b=2

である

[0940 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 01:48:31.83 ID:tVnKZGKQ]

それだから
体や環の「すべての元に対して」
という命題は全部間違っている
本を捨てろ

[0941 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 01:54:27.93 ID:DBFujSM6]

ごめん何言ってるか分からん...

[0942 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 02:52:41.01 ID:KoUAUYKP]

簡単でいいので解き方も教えて欲しいです。
https://i.imgur.com/b6U7pOL.jpg

[0943 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 03:33:17.59 ID:py51p9Qu]

有限体もあるで

[0944 イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/29(日) 04:11:13.58 ID:MDUQhG4d]

前>>931
>>942
xの並びにある2つの同じ長さの辺をyとおくと、
三辺(2,6,2y)と三辺(x,3x,8)の三角形が相似だから、
2:x=2y:8=y:4
∴xy=8──�@
斜辺8の合同な直角三角形の1つと斜辺3xの直角三角形においてピタゴラスの定理より、
8^2-y^2=(3x)^2-(x+y)^2
64=9x^2-x^2-2xy
�@を代入し、
64=8x^2-16
8=x^2-2
x^2=10
x=√10
図からxは3ぐらいだからあってるはず。

[0945 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 04:27:42.41 ID:+5NmdWjO]

>>942
円に内接する三角形の一辺がその円の直径ならば、その辺に対向する角が直角であることを利用する。
x^2+(3x)^2＝(2×5)^2 よって x＝√10

http://i.imgur.com/TUmodHy.png

[0946 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 04:37:24.61 ID:JlXmRJZe]

>>942
図から、円の直径 10 を求めて、円に内接する3辺の長さ 6、8、10(直径) の直角三角形の辺の長さ8を求める。
2辺の長さが8に等しい二等辺三角形の底辺の長さを 2y y＞0 とする。
図から、対頂角が鈍角の互いに相似な三角形について、8：x＝2y：(10-8)＝y：1 ∴ xy＝8。
図から、円に内接する円周角が等しく互いに相似な三角形の性質と三平方の定理より、
√( (√(8^2-y^2))^2 + (x+y)^2 )：x＝6：2＝3：1
∴ 3x＝√( (√(8^2-y^2))^2 + (x+y)^2 )。
∴ 9x^2＝8^2-y^2 + (x+y)^2＝64 + x^2 + 2xy
∴ 4x^2＝32+xy＝32+8＝40 ∴ x^2＝10 ∴ x＝√10 (∵ x＞0)。

[0947 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 05:19:47.23 ID:aOvcdyIH]

上の頂点Aから対辺BCに下した垂線を AH
外接円の中心を O
AOの延長線と円周の交点を D
AOの延長線と辺BCの交点を X
とする。

AODは直径だから
　∠ACD=90°,　　AD = 10,
三平方の定理で
　AC = √(AD^2 - CD^2) = √(10^2 - 6^2) = 8,
題意よりΔACXは二等辺三角形
　AX = AC = 8,
　DX = AD - AX = 10 - 8 = 2,

ΔACX ∽ ΔBDX より
　BD = (AC/AX)BX = (AC/AX)x,　

△CDX ∽ △ABX より
　AB = (CD/DX)BX = (CD/DX)x,

AODは直径だから ∠ABD = 90ﾟ,
再び三平方の定理で
　AD^2 = AB^2 + BD^2 = {(CD/DX)^2 + (AC/AX)^2}x^2 = ・・・・
以下 >>945 のとおり

[0948 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 08:43:41.58 ID:SG2vd0Xj]

各点の名称を>>947さんに合わせる
△ACDが直角三角形であることからAC=8
△AXCが二等辺三角形でAB=8
CからADに垂線を降ろし足をFとする
△AFCは△ACDと相似であるのでAF、CFが求まり、FXも求まるのでそこから三平方でCX=(8√10)/5
△XCD∽△XABであるのでx=√10

>>945さんのほうがきれいだな……

[0949 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 09:31:55.20 ID:JlXmRJZe]

>>946は直径を通らなくても、二等辺三角形の3辺の長さが分かれば適用出来ることがあるから、或る意味で有力な求め方になっている。

[0950 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 09:44:47.32 ID:JlXmRJZe]

いや、円に内接する三角形の3辺の長さ、二等辺三角形の等しい2辺の長さが分かれば、>>846の2行目以降のような解法は適用出来ることがある。
この際、直径云々は関係ない。

[0951 １３２人目の素数さん 2020/03/29(日) 10:22:32.12 ID:JlXmRJZe]

>>950の訂正：

>>846 → >>946