0001１３２人目の素数さん
2020/02/10(月) 00:06:16.90ID:cjQTE70f前スレ
分からない問題はここに書いてね457
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1577457155/
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分からない問題はここに書いてね457
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0667１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 22:52:12.35ID:cOtagSUy怖くなってきたので煩雑ですが一応証明を書いておきます。
「nは偶数,k∈{1,2,...,n}とする。
1<√(n+1),√(n-1)(n+1)<n<√{n(n+1)}<n+1より、区間[0,1)∪[n,n+1)には√{k(n+1)}が一つ含まれる.
i,j∈{1,2,...,n-1}とする。
(i+1)^2-i^2=2i+1<2(n+1)より区間[i,i+1)に含まれるような√{k(n+1)}は高々２個。
[i,i+1)に√{k(n+1)}が２個含まれる
⇔i<√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔i^2<(n+1)j,(n+1)(j+1)<(i+1)^2
⇒(n-i)^2>(n+1)(n+1-2i)+(n+1)(j+1)>(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2<(n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔√{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる
[i,i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる
√{j(n+1)}<i,i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔j(n+1)<i^2,(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒(n-i)^2<(n+1)^2-2(n+1)(i+1)+(n+1)(j+1)=(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2>(n+1)^2-2(n+1)i+j(n+1)=(n+1)(n-2i+j+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が2個含まれる
[i,i+1)に1個含まれる
√{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔(j-1)(n+1)<i^2≦j(n+1)<(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j-1)}<n-i<√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が１個含まれる
よって,i≠n/2,ならば[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)には√{k(n+1)}が２個含まれ、
i=n/2ならば[i,i+1)には√{k(n+1)}が１個含まれる。
n≡0,2(mod 4)で場合分けして考えると、題意の成立がわかる。」
上の証明が合っていれば似たような解法でおそらくN{k:a(k)=pd±i}+N{k:a(k)=n-pd∓i}=2(複合同順)が示せて、>>658の一般化も示せそうなのですが、間違っていたら元も子もないですね。
0668１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 22:53:51.82ID:OTl1KJkuいや、等しくなったけど。
> sim <- function(m){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ sum(b%%2==0)==sum(b%%2==1) # mean(floor(a)%%2==0)==0.5でも同じ
+ }
> sim((46343-1)/2) # n=2*23171+1=46343
23171 23171
[1] TRUE
> sim(46343)
46343 46343
[1] TRUE
0669１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 22:58:58.55ID:8d8gCNj7x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,
(略証)
log は単調増加だから
(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
(x/y)^(x-y) ≧ 1,
(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
= (x^x - y^y)^2
≧ 0,
0670１３２人目の素数さん
2020/03/15(日) 23:21:08.82ID:OTl1KJku> sim <- function(m,print=FALSE){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ if(print) cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ mean(floor(a)%%2==0)==0.5 # sum(b%%2==0)==sum(b%%2==1) と同じ
+ }
> sim=Vectorize(sim)
> flg=sim(1)
> i=1
> k=1e5
> while(flg & i < k){
+ i=i+1
+ flg=sim(i)
+ }
> i
[1] 1e+05
0671１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 10:50:51.55ID:xw7qN3/R>0.5×2+2.5×7+4.5×13+6.5×9+8.5×6+10.5+1=197
0.5とか2.5とかってなに？最後＋1とは？
0672イナ ◆/7jUdUKiSM
2020/03/16(月) 11:23:55.08ID:thhgKhx4（(-_-)‖ ‖>>665
（っ⌒⌒ﾞ ｡‖╂─╂
■`(_)_)ц~ ‖╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前>>589
0673１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 16:37:18.30ID:xt+nxb6aこのとき、Gのとり方によらず、Hはある直線上にあることを示せ。
0674１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 17:00:59.29ID:fnD/2c+Phttps://imgur.com/a/Jepc4Sm
0675１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 17:25:45.37ID:P4igaTJGありがとう、解決しました
>>671
0以上2未満だから0以上1以下読んだ人が二人いるので0.5冊×2人と考えました
+1は×1の間違えです
0676１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 17:32:12.22ID:Q3fVY21rとりあえず誘導はともかくとして
ΣIn
=∫[0,π]sin^2(nt)/(t^2+π^2)dt
=1/2∫[0,π](1-cos(2nt)/(t^2+π^2)dt
→1/2∫[0,π]1/(t^2+π^2)dt
=1/8
だな。
0677１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 18:19:33.71ID:4LLVPoPK複素平面上で考える。
O=0, A=1, B=e^(iπ/3), C=e^(i2π/3) = B - 1, ... , E= -B, ...
G = A + AB*t = 1 + (e^(iπ/3)-1)*t = 1 + C*t ( t ∈ [0,1] )
と置くと
H = G + GC * e^(iπ/3) = (1 + e^(i2π/3)*t) + (e^(i2π/3) - 1 - e^(i2π/3)*t) * e^(iπ/3)
= (e^(i2π/3) + 1)*t - e^(iπ/3)
= B*(t - 1) = t*O + (1-t)*E
∴ HはOE線分上にのる。
0678１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 19:16:34.40ID:8zVl3xLP>>658
b_i(k)の定義がよくわからないです…。
a(k)は√の整数部分ですよね。b_i(k)はa(k)をiで割った余り？
だとすると0≦b_i(k)≦i-1か1≦b_i(k)≦iのどちらかのような気がするんですが
j=0のときはb_i(k)=0とb_i(k)=iを両方考えるんですか？
あと、>>651ではnは偶数でも奇数でもOKである、という予想です。
0679１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 19:18:36.76ID:8zVl3xLP後半、typoや議論の重複があるので、少し丁寧めにまとめるとこうなるかな？
(補題1) (□には <、≦、>、≧ のうちどれか1つが入る)
i □ √{j(n+1)}
⇔i^2 □ (n+1)j
⇔(n-i+1)^2=(n+1-i)^2=(n+1)(n+1-2i)+i^2 □ (n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔(n-i+1)^2 □ (n+1)(n-2i+j+1)
⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)
(補題2) 補題1でiにi+1とかjにj-1やj+1を入れたものを含めると、次の4つがわかる
i □ √{(j-1)(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j)(n+1)
i □ √{j(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)
i+1 □ √{j(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j-1)(n+1)
i+1 □ √{(j+1)(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j)(n+1)
この補題2の4つを使うと、次の3つのことがいえる
[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が2個含まれる
⇔あるjが存在し, i≦√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔あるjが存在し, √{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は0個含まれる
[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が1個のみ含まれる
⇔あるjが存在し, √{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるjが存在し, √(n-2i+j-1)(n+1)<n-i≦√(n-2i+j)(n+1)<n-i+1≦√(n-2i+j+1)(n+1)
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は1個含まれる
[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が0個含まれる
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, √{j(n+1)}<i,i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, n-i≦√{(n-2i+j)(n+1)},√{(n+1)(n-2i+j+1)}<n-i+1
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は2個含まれる
0680１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 20:09:56.52ID:bNeBdUF1nを正の整数とし、
I_n = ∫[0,nπ] n (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx
とする。
(i) kを正の整数とするとき、不等式
∫[(k-1)π,kπ] (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx ≦ 1/{2π[(k-1)^2 + n^2]},
が成り立つことを示せ。
(ii) lim[n→∞] I_n を求めよ。
0681１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 20:13:24.31ID:8zVl3xLPもしj=0のときは条件「b_i(k)=i」は単に「b_i(k)=0」と同じ条件と考える、のだったら、
>>658はあってそうです。
>>667の最後の段落について。
いや、前段までの論法で既に、整数部分がn/2より大のエリアと
整数部分がn/2より小のエリアでの、[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)に必ず整数部分が2個含まれるという"対称性"は示されているから、
より大エリアでの余りがjなら、より小エリアでの余りは-jなわけで、
全体をトータルで考えて和をとれば2倍カウントすることになるわけで、「ほぼ」証明終わってませんか？
しかし、Excel眺めてるだけではこの"2個対称性"は気付かなかったな…
いわれてみれば確かにそうなのですが、すごい
0682１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 20:14:46.73ID:cD1W8NBeありがとうございます
平面図形で「同一直線上⇔∠OGE=180°」を使うよりも、複素数平面の方が解きやすいのでしょうか
0683１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 20:32:41.94ID:bNeBdUF1たぶん
1/{2π(k^2 + n^2)} < ∫[(k-1)π,kπ] (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx < 1/{2π[(k-1)^2 + n^2]},
だろうね。
0684１３２人目の素数さん
2020/03/16(月) 21:27:59.56ID:4LLVPoPK逆に私は
> 平面図形で「同一直線上⇔∠OGE=180°」を使う
こちらの方法が分からないので教えて欲しいです。
( ∠OGE=180° は別の何かの書き間違いだと思いますが )
0685１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 02:28:50.82ID:jkHV1VNx解決してどうする
これは0.5*2が正しい
数学検定馬鹿問題だな
0686１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 02:46:21.89ID:wiT2shNRf_1(x)=ax(x-1)
f_n+1(x)=f(f_n(x))
により順次定めていく。
（1）0<α<1かつ0<f_1(α)<1となるようなαの範囲をaで表せ。
（2）0<β<1とする。すべての自然数kに対して0<f_k(β)<1となるようなβの範囲をaで表せ。
（3）（2）においてβが取りうる値の範囲をs<β<tと表すとき、極限値lim[a→∞](t-s)を求めよ。
0687１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 03:07:25.07ID:CmDsCyUw分子は x=(k-1/2)π に関して左右対称、を利用すれば
∫[(k-1)π,kπ] (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx = 1/{2π[(k-1/2)^2 + c + n^2]},
ただし 0 < c < 1/4,
0688１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 03:30:15.69ID:CmDsCyUw[3]
下の度数分布表は、車さくらさんのクラスの
生徒38人の1学期に読んだ本の冊数を調べ
てまとめたものです。 これについて、次の問
いに答えなさい。ただし、相対度数は小数第
3位を四捨五入して、小数第2位まで表わして
います。 (統計技能)
(5) x,yにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
(6) 1学期に読んだ本の冊数の平均は何冊です
か。答えは小数第2位を四捨五入して、小数
第1位まで求めなさい。
読んだ本の冊数
−−−−−−−−−−−−−−−−−
階級(冊) 度数(人) 相対度数
−−−−−−−−−−−−−−−−−
0以上 〜 2未満 2 0.05
2 〜 4 7 0.18
4 〜 6 13 x
6 〜 8 9 0.24
8 〜 10 6 y
10 〜 12 1 0.03
−−−−−−−−−−−−−−−−−
合 計 38 1.00
0689１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 03:43:20.76ID:CmDsCyUw1人あたりの平均冊数 4.68421 〜 5.68421 (冊/人)
答え 4.7 〜 5.7 (冊/人)
0690１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 04:13:41.25ID:CmDsCyUwP_n = C[38, n-178] / 2^38, (178≦n≦216)
とするが、便宜のため正規分布 N(197, σ^2) で近似してもよい。
σ^2 = n/4 = 19/2.
0691１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 08:41:55.31ID:6f3JLIW11539538600、3079077200、4618615800......
1秒間に60回取得できる配列
769769300、1539538600、2309307900......
この数値が何を示しているか分かりますか？
0692１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 10:17:20.19ID:Vd0UZ98Wnを任意の正の整数とするとき
1<n<p<r･n
であるような任意の素数pに対して
Σ[k=0→n] {C(n, k)}^4 はpの倍数
が成立する
0693１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 10:58:24.14ID:jkHV1VNx冊数だから2未満とは1のこと
0〜1の階級値は0.5
同様に
2〜3の階級値は2.5
こんな風になるから正しい答えは>>666
0694１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 11:18:14.32ID:yOLN43Ea有効数字っぽく見えちゃうけどそうではないわけだろ？
世論調査なんかもそうだけどなんかちょっと疑問
0695１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 11:30:17.48ID:Bo3Qnj57二乗和ならr=2で受験レベルだけど四乗和でr=2だとn=3ですでに成立しないしなぁ。
それは自作問題？
ホントに成立するん？
0696１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 13:04:59.93ID:jkHV1VNx>小数第1位まで出す意味あるんかなあ
なんで？
じゃあ0以上2未満の人が3人居たら平均は？
0697１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 13:37:19.80ID:lZjSmGru統計嫌い養成にもってこいの問題だな
0698１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 13:38:30.48ID:fOaacBzf1≦x1<x2-1<........xk-(k-1)≦n-(k-1)となる理由が全く分かりません。申し訳ないのですが、ご教示お願いします。(x1≦<x2はx2-x1≧2を表しています)
0699１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 13:42:58.28ID:fOaacBzfすみません。自己解決しました。
勘違いをしていました。お恥ずかしい。すみません。
0700１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 13:43:02.98ID:7zzuTuCg0701１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 14:28:49.44ID:LRWp8hDUこの三つって重要度のわりに名前と内容があまりにかけ離れてますよね？
0702１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 14:34:47.95ID:jkHV1VNx人名でなければ
どうでも良い
0703１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 14:44:32.33ID:mpeXHzFh0704１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 20:46:50.50ID:KcKgs1Eg0705１３２人目の素数さん
2020/03/17(火) 22:19:48.69ID:v5PJ8Z18また長方形の内部に点Gをとり、△GEFが直角三角形となるようにする。
このようなE,F,Gのとり方は色々あるが、それらの可能なとり方の全てを考えたとき、点Gが動きうる領域の面積を求めよ。
0706１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 01:17:17.55ID:SdwDSVrFbd
0707１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 01:22:44.94ID:LbXnfiiv寅さん「それを言っちゃあおしめぇよ」
0708１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 01:37:18.08ID:LbXnfiivθ = x - (k-1/2)π, |θ| < π/2,
とおく。
( 1/{[(k-1/2)π + θ]^2 + (nπ)^2} + 1/{[(k-1/2)π - θ]^2 + (nπ)^2} )/2
≒ (1/[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2]) {１- α/[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2]・θ^2},
α(n,k) = [n^2 - 3(k-1/2)^2]/[(k-1/2)^2 + n^2],
∫[-π/2,π/2] (cosθ)^2･{１- α/[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2]・θ^2} dθ
= (π/2) {１- (π^2 -6)/(12･[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2])･α}
= (π/2) {１- c/[(k-1/2)^2 + n^2]},
c(n,k) = (π^2 -6)/(12π^2)・α(n,k) = 0.03267274 α(n,k)
かなり小さい。
0709１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 02:06:54.17ID:LbXnfiiv∫[-π/2,π/2] (cosθ)^2 dθ
= [ (θ - sinθcosθ)/2 ](θ=-π/2,π/2)
= π/2,
∫[-π/2,π/2] (θ･cosθ)^2 dθ
= [ (θ^3)/6 + (2θ^2 -3)sin(2θ)/8 + θcos(2θ)/4 ](θ=-π/2,π/2)
= (π/2)･(π^2 -6)/12,
0710１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 02:27:29.95ID:LbXnfiiv[3]
下の度数分布表は、さくらももこ さんのクラスの
生徒38人の1学期に読んだ本の冊数を調べ
てまとめたものです。 これについて、次の問
いに････
0711１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 03:24:57.98ID:LbXnfiiva(n) = Σ[k=0→n] {C(n,k)}^4
n≦12 では
1 2 2,
2 18 2･3･3,
3 164 2･2･41,
4 1810 2･5･181,
5 21252 2･2･3･7･11･23,
6 263844 2･2･3･3.･3･7･349,
7 3395016 2･2･2･3･3･61･773,
8 44916498 2･3･3･3･11･75617,
9 607041380 2･2･5･11･31･89009,
10 8345319268 2･2･11･13･67･71･3067,
11 116335834056 2･2･2･3･3･13･499･249079,
12 1640651321764 2･2･7･7･13･643897693,
・{(1+x)(1+y)(1+z)(1+w)}^n の対角項 {(xyzw)^k 形の項} の係数和
・{(1+x)(1+y)(1+z)[1+1/(xyz)]}^n の定数項
http://oeis.org/A005260
0712１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 03:33:10.33ID:LbXnfiivrは整数ぢゃなくていいんぢゃね？
r = 1+ε とか････
0713１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 09:45:15.53ID:PBV1H3Jpでも普通に出題ミスな気がする。
0714哀れな素人
2020/03/18(水) 10:04:06.51ID:lVJCas+h>>706の解答者は理由を書いていないが、
GはEFを直径とする円周上にあると考えると、
EがAからBまで動き、FはAに固定されていると考えると、
GはABを直径とする半円内を動く。
次にEはBに固定されているとし、FがAからDまで動くと、
GはBDを直径とする円に内接する長方形ABCDから、
ABを直径とする半円を除いた部分を動く。
結局Gは長方形ABCD内の全領域を動く。
0715１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 16:16:48.31ID:cnODbM85（1）任意のnに対してp[3n]はnによらない定数であることを示し、その値を求めよ。
（2）3q[n]-p[3n]をnで表せ。
0716１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 17:03:55.77ID:FKTohgBqp[3] = -1, p[6] = +1 定数になりませんよね？ 問題を写し間違えてませんか？
0717１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 19:47:03.16ID:VrpVs/Q6統計学の本にのっている最尤推定は、確率分布や密度関数のパラメーター付された族を考え、真の分布から独立に得られた確率変数を用いて、尤度関数を最大化してパラメーターを推定するものだと思います。
しかし、例えば線形回帰だと、各xに対しyの値が正規分布に従っているとしても、それぞれ平均が違うので同一分布から独立に得られていません。
0718１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 20:24:26.05ID:lfw++vLDたぶん式はあってるけど、「nによらない定数」って日本語が間違ってる。
1つめの有理式は、分母を複素数の範囲で(x-a)(x-b)と因数分解すると
aやbは1の6乗根となる。
そして1/(x-a)と1/(x-b)のべき級数展開を考え、2つのべき級数展開の積
であることからx^3、x^6、x^9の係数を求めてみる。
2つめの有理式の3倍を部分分数分解する。
2つの有理式のべき級数展開を考え、2つのべき級数展開の和から3q[n]を出す。
0719１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 22:42:44.30ID:GwJqdJPg（1）を計算しましたが確かに(-1)^nになってnに依存しないとは言えませんね。ありがとうございます。
（2）の計算、（多項式）×（多項式）からn次の係数をどう出そうか方針が立たないです。分かる方お願いします。
どうやら数学検定1級の計算問題らしいです。
0720１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 23:22:24.44ID:FKTohgBq3/(1-x-2xx) = 3/((1-2x)(1+x)) = 2/(1-2x) + 1/(1+x)
= 2/(1-(2x)) + 1/(1+(-x)) = 2* (1 + (2x) + (2x)^2 + ... ) + (1 + (-x) + (-x)^2 + ... )
= ...
>>718 の「部分分数分解」がヒントですね
0721１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 23:24:06.90ID:FKTohgBq0722１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 23:40:24.36ID:FKTohgBq積を求める方針でもできるのですね... って計算難しいような...
部分分数分解なら
1-x+xx = (1+xxx )/(1+x) = (e^{+πi/3} - x) (e^{-πi/3} - x) より
1/(1-x+xx) = (1/(2i*sin(π/3)))*( e^{+πi/3}/(1-e^{+πi/3}x) - e^{-πi/3}/(1 - e^{-πi/3}x) )
x^{3n} の係数
(1/(2i*sin(π/3)))* e^{+πi/3}* (-1)^n - e^{-πi/3}*(-1)^n = (-1)^n
0723１３２人目の素数さん
2020/03/18(水) 23:51:45.06ID:XruWdSLm0724１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 00:11:17.10ID:SA9Xv9DQ0725１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 00:15:07.59ID:mXsnD9nM延べ冊数を
n = μ ± σ = 197 ± √(19/2) = 193.92 〜 200.08
とすると、答え 5.1 〜 5.3
0726１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 01:15:24.22ID:mXsnD9nMa(n) を割り切らない最小の素数p (>n) を b(n) とすれば
n b(n) b(n)/n
--------------------------
1 3 3.0000
2 5 2.5000
3 5 1.6667
4 7 1.7500
5 13 2.6000
6 11 1.8333
7 11 1.5714
8 13 1.6250
9 13 1.4444
10 17 1.7000
11 17 1.54545
12 17 1.4167
r < 1.4167 (上限)
0727１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 04:45:40.82ID:o+4AW6nT>718です。べき級数展開の積でやるのはこんな感じです
まず、 1/(1-x+x^2)=1/{(x-a)(x-b)} と因数分解すると
a=(1+i√3)/2=e^(2πi/6), b=(1-i√3)/2=e^(-2πi/6) である
ここで a^3=-1 と 1/b=a に注意しておく
1/(x-a)=1/(-a) * 1/{1-(x/a)}
=1/(-a)*{1+(x/a)+1+(x/a)^2+1+(x/a)^3+…}
同様に
1/(x-b)=1/(-b) * 1/{1-(x/b)}
=1/(-b)*{1+(x/b)+1+(x/b)^2+1+(x/b)^3+…}
=1/(-b)*{1+(x/b)+1+(x/b)^2+1+(x/b)^3+…}
=(-a)*(1+ax+1+(ax)^2+1+(ax)^3+…)
すると、
1/(x-a) * 1/(x-b)
のx^(3n)の項は、
(x/a)^(3n)*1+(x/a)^(3n-1)*ax+(x/a)^(3n-2)*(ax)^2+ … +(x/a)^2*(ax)^(3n-2)+(x/a)*(ax)^(3n-1)+(ax)^(3n)
よってこの係数は
(1/a)^(3n)+(1/a)^(3n-2)+(1/a)^(3n-4)+ … +a^(3n-4)+a^(3n-2)+a^(3n)
=(1/a)^(3n)*{1+a^2+a^4+ … +a^(6n-4)+a^(6n-2)+a^(6n)}
=(1/a)^(3n)*{1-(a^2)^(3n+1)}/(1-a^2)
=1/(-1)^n *{1-a^(6n)*a^2}/(1-a^2)
=(-1)^n
ある分野ではこんなべき級数展開の積をばんばんやるのですが、
でも、この問題では>723の方がエレガントですね
0728１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 04:50:14.81ID:o+4AW6nTおおう、typo…
前半の計算は、正しくは
1/(x-a)=1/(-a) * 1/{1-(x/a)}
=1/(-a)*{1+(x/a)+(x/a)^2+(x/a)^3+…}
同様に
1/(x-b)=1/(-b) * 1/{1-(x/b)}
=1/(-b)*{1+(x/b)+(x/b)^2+(x/b)^3+…}
=1/(-b)*{1+(x/b)+(x/b)^2+(x/b)^3+…}
=(-a)*(1+ax+(ax)^2+(ax)^3+…)
でしたorz
0729１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 05:11:41.08ID:a1uvWnRb0730１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 05:19:43.05ID:a1uvWnRb何故未解決問題を解決したのに、一か月以上も誹謗中傷の的にならなければならないのか？
何の利益にもならない言動を繰り返す人間がいることに対しては完全に理解不能である。
同業者憎悪だということも聞こえてきているが、こいつらの声は常に子供で
ボイスチェンジャーを使って必死だとしかいいようがない。
こいつらの嫌がらせは四六時中鹿児島県のド田舎で繰り返されているわけだが
それが何時までも放置されているのも不思議なことだ。
0731１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 12:57:32.09ID:Mh9O8PwY0732１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 15:07:45.84ID:trCTUkSkの答えが
x^8-2x^4y^4+y^8
になるんですが、これは
x^16-2x^4y^4+y^16
ではないでしょうか？
途中式で
(x+y)^2(x-y)^2(x^2+y^2)^2
= {(x+y)(x-y)(x^2+y^2)}^2
= {(x^2-y^2)(x^2+y^2)}^2
= （ｘ^4-y^4)^2
になって最後をを展開すると
(x^4-y^4)(x^4-y^4)
で
x^16-2x^4y^4+y^16
だと思うのですが・・・
間違ってますか？
0733１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 15:09:46.68ID:MINdtvdR0734１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 15:16:07.04ID:trCTUkSkですが自己解決しました
指数法則を間違っていたようです
x^4 * x^4 = x^8
でした
0735１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 15:50:49.80ID:BHbROujG今見つかっている最大の素数よりも大きい素数とか
0736１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 16:13:01.25ID:MINdtvdRなるほど。。質問の意図は具体例は何一つないけど存在することだけは証明されているものはあるのかな？
っていうことでした。
0737１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 16:29:41.53ID:BW7TgbOd0738１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 16:31:25.44ID:BW7TgbOd0739１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 17:30:42.82ID:SA9Xv9DQこれっていつか誰かが具体的な整列方法を例示する事ってありえるんですかね？
0740１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 17:48:02.01ID:BW7TgbOdhttps://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88#%E5%B0%8E%E5%85%A5
これの『例と反例』の項の『実数の集合』を見ると、無理みたいだね
0741１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 17:57:01.77ID:EOulK+qHアルゴリズム系はそういうの多いんじゃないの？
○○の定理によると計算量の下限はnlognだが構成法は不明、みたいな
0742１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 18:56:59.50ID:KrhQLEngV=L入れればできるって書いてあるやン
0743１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 19:16:34.36ID:BW7TgbOd相対的に無矛盾としか書いてないね
『構成可能であると証明できる』ことと『実際に構成できる』ことは違うでしょ
0744１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 19:36:28.37ID:KrhQLEng？
> ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
0745１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 19:55:31.68ID:BW7TgbOdその公理を加えてできる公理系ではそういう論理式の存在が証明できるというだけでしょ
そういう論理式の存在が、つけ加える前の公理系（単なるZFCとか）と独立な場合もちゃんと考慮しようよ
0746１３２人目の素数さん
2020/03/19(木) 22:04:33.79ID:FC13N0bq各項目を四捨五入して合計した値と
合計値を四捨五入して合計した値が
一致しない確率は
1-( (6/(π×Ｌ))^(1/2) )
で求まるそうなんです。
問題１ この式の導き方を教えて下さい。
なぜ円周率が・・・？
問題２
毎年、ある会合にかかった費用を、A,B,C,D,Eの５人で支払うことになってます。
費用は毎年変わるのですが、
５人の支払い比率は、a%、b%、c%、d%、e% （a>b>c>d>e>0）
で毎年一定です。
（例えば32.3%、24.1%、21.6%、16.8%、5.2%）
１円未満は四捨五入しますが、一致しなかった時はAで差額（±１円）を調整します。
つまり、AのN年間の調整額の合計の期待値は約０円です（おそらく）。
２０年経ったとき、Aの調整額の合計が＋１０円になる確率はいくらですか？
N年経ったとき、Aの調整額の合計がM円になる確率はいくらですか？
0747１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 00:28:49.59ID:vSa3xPGpある特定の論理式
だから実際にそういうものを具体的に作るってことじゃないの？
0748１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 00:29:17.58ID:p5Mf5WxlL→∞で正規分布が出てくる関係かな？
確率密度関数に1/√(2π)というのがあったような
0749１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 00:30:07.33ID:vSa3xPGp>その公理を加えてできる公理系ではそういう論理式の存在が証明できるというだけでしょ
それはZFCでできるでしょ
具体的では無いが
0750１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 01:23:50.19ID:vKiJI24Bx1y1+x2y2……xnynが偶数になる確率をPnと置くと、2項定理により、
2Pn=(3/4+1/4)^n+(3/4-1/4)^nとなる。
と解答に書いてあるのですが、2Pn=(3/4+1/4)^n+(3/4-1/4)^nがどこから出てきたのかわからないです。
よろしくお願いします。
0751１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 01:41:42.67ID:xh3ZxbS/これって正しい？
0752１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 03:36:31.67ID:lC3HBZ24f(x) = a/2 + cos{π･log(x)/log(2)}
0753１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 03:36:59.33ID:1YkioBb1f(x) = 1 x∈(1/2,1]
f(x) = 0 x∈(1/2^2,1/2]
f(x) = 1 x∈(1/2^3,1/2^2]
.. . .
f(x) = 1 x∈(1/2^{2k+1}, 1/2^{2k} ]
f(x) = 0 x∈(1/2^{2k+2}, 1/2^{2k+1}]
(マイナス側も同様に定義)
lim[x->0](f(x)+f(2x))=1 (有限確定)
lim[x->0] f(x) (不確定)
0754１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 03:52:29.56ID:1YkioBb1x1y1+x2y2……xnynが偶数(=2m) になるパターンは
(x,y)=(1,1)のペアが 2m個、他のペア(n-2m 個)は (0,0)(0,1)(1,0) のどれかの組み合わせ
Pn = Σ[0≦2m≦n] C{n,2m} 3^(n-2m) /(2^n * 2^n)
= Σ[0≦k≦n] C{n,k} 3^(n-k) (1 + (-1)^k)/2 /4^n
二項定理より
2 Pn = (3+1)^n /4^n + (3-1)^n /4^n
= (3/4 + 1/4)^n + (3/4 - 1/4)^n
0755１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 04:35:00.55ID:lC3HBZ24f(x) = [ 1 + sin(π･log(x)/log(2)) ]
でござるか。
それにしても 27.66秒で整数化されたとは、驚きでござる。
0756１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 07:30:26.64ID:u6fG/32K『整列可能性』と『整列順序を定義する論理式の存在』は違わない？そもそも
>しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。
とあるけど何を根拠に？
0757１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 07:51:30.64ID:p5Mf5WxlL個の実数を一様分布で抽出して２〜５０でシミュレーションしてみた。
https://i.imgur.com/ppslW60.png
Lが大きくなると1-( (6/(π×Ｌ))^(1/2) )に一致するようです。
数理は賢者にお任せ。
rm(list=ls())
f45 <- function(a) { # 四捨五入
x=a-floor(a) # floor(a):aを超えない整数ガウス記号[x]と同じ,x:小数部分をxに入れる
floor(a)+ (x>=0.5) # xが0.5以上なら１をそうでないなら０を加える
}
f45(1.5) ; f45(2.5)
round(1.5) ; round(2.5)
sim <- function(n=3,k=1e4){
sub <- function(n){
x=runif(n) # 一様分布乱数(実数)ｎ個の配列 roundならrunif(n,0,2)
y=numeric(n) # y：四捨五入での整数を入れる配列
for(i in 1:n) y[i]=f45(x[i]) # ｘの各実数を四捨五入してyに入れる
f45(sum(x))!=sum(y) # xの総和の四捨五入数とyの総和が異なればTRUEを返す
}
r=mean(replicate(k,sub(n))) # k個のシミュレーションでのTRUEの頻度を返す
p=1-( sqrt(6/(pi*n)) ) # 理論値？
return(c(r,p))
}
L=2:50
plot(L,sapply(L,function(x) 1-( sqrt(6/(pi*x)))),bty='l',type='l')
re=t(sapply(L,function(x) sim(x)))
plot(re,bty='l',pch=19,asp=1,xlab='実験値',ylab='理論値',type='l')
abline(a=0,b=1,lty=3)
0758１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 08:09:31.37ID:ULA/5c7bそれちょっと前に面白い問題スレにでてたやつじゃないの？
答え違ってなかったっけ？
0759１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 09:46:50.78ID:1YkioBb1ランダム整数: x[i] {なんらかの範囲の一様分布}
ランダム偏差: α[i] ∈ [-0.5,0.5) {一様分布}
A = Σ[i=1,L] round(x[i]+α[i]) = Σ[i=1,L] x[i]
B = round( Σ[i=1,L](x[i]+α[i]) ) = A + round(Σ[i=1,L]α[i])
A=B ⇔ -0.5 < α[1]+α[2]+...+α[L] < 0.5
s := α[1]+α[2]+...+α[L]
中心極限定理より Lが大の時、
確率分布: f(s) ≒ 1/√(2πσσ) * exp(- s^2/(2σσ) )
標準偏差: σ ≒ (√L)* σ1, ( σ1 := √{ ∫[α=-0.5,+0.5] α^2 dα } = 1/√12 )
1-P = ∫[s=-0.5,+0.5] f(s) ds ≒ 1/√(2πσσ) = √(6/(πL))
0760１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 09:53:19.40ID:1YkioBb1> ランダム整数: x[i] {なんらかの範囲の一様分布}
こちらはランダムである必要はなかった
0761１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 11:02:16.64ID:1tt2YkMaありがとうございます
つぎはぎ関数で反例ができて、連続なら正しいようなダメなような？と思っていたのですが
全然ダメですね
0762１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 13:05:55.24ID:p5Mf5Wxl四捨五入前の支払いが5.5,4.5,3.5,2.5,1.5とするとAは-2円にならないかな？
0763１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 15:02:55.42ID:vKiJI24B回答ありがとうございます。
= Σ[0≦k≦n] C{n,k} 3^(n-k) (1 + (-1)^k)/2 /4^nの
(1 + (-1)^k)/2はどうやって出てきたのでしょうか？
すみません。よろしくお願いします。
0764１３２人目の素数さん
2020/03/20(金) 15:29:24.36ID:1YkioBb1これで偶数項のみ取り出した和 (一つ上の式) と等価になります。
0765１３２人目の素数さん
2020/03/21(土) 00:24:20.17ID:JeZUUa8W四捨五入前の支払額がそういう値になることは無いと思いますが・・・
きのせい？
0766１３２人目の素数さん
2020/03/21(土) 06:43:15.16ID:4nSuI7cb（1）a+biを極形式の形で表せ。iは虚数単位である。
（2）任意の自然数nに対して、(a+bi)^nは実数でないことを示せ。
0767１３２人目の素数さん
2020/03/21(土) 07:11:29.33ID:+5Jp9pU8その数列をxとして
xをx/肺の比で配分すれば得られる。
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