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分からない問題はここに書いてね458
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0617１３２人目の素数さん
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2020/03/13(金) 22:21:08.28ID:3zHLWnAK
概算したいのですが、教えて下さい。
山手線を何駅乗るとコロナウイルスを吸い込むことが期待されますか？
0619１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/13(金) 22:38:52.92ID:cCragyGR
こんなところにフラクタルが
ABACABADABACABAEABACABADABACABA
edcba　　　　　　edcba
　　　1 a　 10000 e
　　 10 b　 10001 a
　　 11 a　 10010 b
　　100 c　 10011 a
　　101 a　 10100 c
　　110 b　 10101 a
　　111 a　 10110 b
　 1000 d　 10111 a
　 1001 a　 11000 c
　 1010 b　 11001 a
　 1011 a　 11010 b
　 1100 c　 11011 a
　 1101 a　 11100 c
　 1110 b　 11101 a
　 1111 a　 11110 b
　　　　　 　11111 a
0620１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/13(金) 22:49:47.20ID:QuV6xPyP
任意のn個の整数の中からm個の整数を取り出す方法で、取り出した整数の和がmの倍数になるようなものが存在するという。
このようなnとして有り得るものの中で最小のものをmの式で表せ。

たとえばm=3なら求める値は5。
0622１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/14(土) 00:19:03.49ID:Gxl3DqPh
m(m+n)-n^2=1
を満たす正の整数の組(m,n)を考える。
このような(m,n)は無数に存在することを示せ。
0624１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/14(土) 04:01:11.31ID:Gxl3DqPh
m(m+n)-n^2=1…(*)
を満たす正の整数の組(m,n)を考える。

（1）このような(m,n)は無数に存在することを示せ。

（2）(*)を満たすすべてのnにわたって、以下の和（無限和）を計算せよ。
Σ1/(n^2+1)
0626１３２人目の素数さん
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2020/03/14(土) 11:33:08.50ID:iH59lf4s
>>620
mで割ったときの余り(剰余)を考える。
任意のn個の整数が
・{0,1,････,m-1} のどれかを m 個以上含む
・{0,1,････,m-1} をすべて含む
のいずれかを満たすならば可能。

　n = (m-1)^2 +1　ならば可能。
(これはnの上限。最小のnはずっと小さいのかも)
0627１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/14(土) 11:42:23.33ID:iH59lf4s
↑ mが奇数のとき。
--------------------------
mが偶数のときは
任意のn個の整数が
・{0,1,････,m-1} のどれかを m 個以上含む
を満たすならば可能。
　n = m(m-1) +1
0628１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/14(土) 13:50:03.60ID:iH59lf4s
>>624
(1)
フィボナッチ数を使って
　(m, n) = (F_{2k-1}, F_{2k})　　　(k：自然数)
とおくと
　m(m+n) - nn = F_{2k-1}F_{2k+1} - F_{2k}^2
　= (-1)^{2k-2}
　= 1,
となり、題意を満たす。これがすべてと思われる。

*)　フィボナッチ数 F_k について
　F_{k+1}･F_{k+3} - (F_{k+2})^2
　= (F_{k+1})^2 - F_k･F_{k+2}
　= ････
　= (-1)^k･{F_1･F_3 - (F_2)^2}
　= (-1)^k.

(2)
　1/(nn+1) = {m(m+n)-nn}/{m(m+n)}
　= n/(m+n) - (n-m)/m
　= F_{2k}/F_{2k+1} - F_{2k-2}/F_{2k-1},
より
　Σ[k=1,K] 1/(nn+1) = F_{2K}/F_{2K+1}
　→ 1/φ = (√5 -1)/2.
0631１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/14(土) 15:27:25.31ID:iH59lf4s
>>629
　意味不明････
具体的に書けば
　k=1 のとき　(m,n) = (1,1)
　k=2 のとき　(m,n) = (2,3)
　k=3 のとき　(m,n) = (5,8)
　k=4 のとき　(m,n) = (13,21)
　　････
0632１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/14(土) 16:09:22.85ID:e0nVNfU1
>>626
私も最初は偶奇で分けてその考察をしてたのですが小さいmですぐに破綻したのでこのスレに投げました
>>621が正しいっぽいです
0635１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/14(土) 22:48:56.28ID:LZxm7k+t
1つのサイコロをN回投げ、出たN個の目の積を
Anとする。この時Anが6の倍数になる確率をnを用いて表せ。
0637１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 02:05:02.76ID:x7ZMnCxT
>>636
少なくとも一つ2の倍数かつ少なくとも一つ3の倍数であることと、少なくとも一つ6の倍数である事をどうやって処理すれば良いのかが人に説明できる程、理解できていません。
すみません。教えて頂けると有難いです。
0638１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 04:25:33.20ID:OTl1KJku
>>635
ｎ　を　1～２０でシミュレーションしてみた。

sim <- function(n,k=1e5){ # n:サイコロを振る回数 k:シミュレーション回数
sub <- function(n){
prod(sample(6,n,replace=TRUE))%%6==0 # n回の目の積の6で除算した剰余が0か？
}
mean(replicate(k,sub(n))) # 0となる割合を返す
}

p=sapply(1:20,function(n) sim(n))
data.frame(p)

p
1 0.16560
2 0.41369
3 0.61413
4 0.75417
5 0.84134
6 0.89669
7 0.93356
8 0.95765
9 0.97254
10 0.98093
11 0.98873
12 0.99175
13 0.99458
14 0.99611
15 0.99737
16 0.99849
17 0.99899
18 0.99924
19 0.99963
20 0.99978
0639１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 04:45:50.62ID:AImOax5n
整数問題ならまだしも確率をシュミレーションしても検算以外に使えないよ
0640１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 08:00:20.15ID:OTl1KJku
>>638
1 : 1/6
2 : 5/12
3 : 133/216
4 : 325/432
5 : 6541/7776
6 : 4655/5184
7 : 261493/279936
8 : 535925/559872
9 : 9796381/10077696
0641１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 08:42:45.68ID:cOtagSUy
「任意の3以上の奇数nについて、n-1個の数√n,√2n,√3n,...,√(n-1)nのうち、整数部分が偶数であるものの個数と奇数であるものの個数は等しい」
成り立ってるっぽいんですけど証明ってありますか？
0643１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 09:52:36.42ID:OTl1KJku
ｆ　＜－　ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ｎ）｛
　　ｌｉｂｒａｒｙ（ｇｍｐ）
　　ｎ＝ａｓ．ｂｉｇｑ（ｎ）
　　ｒ＝１－（４＾ｎ＋３＾ｎ－２＾ｎ）／６＾ｎ
　　ｒ２＝ｃａｐｔｕｒｅ．ｏｕｔｐｕｔ（ｒ）［２］
　　ｓｕｂｓｔｒ（ｒ２，５，ｎｃｈａｒ（ｒ２））
｝
ｎ＝３０
ｆｏｒ（ｉ　ｉｎ　１：ｎ）｛
　　ｃａｔ（ｉ，＇：＇，ｆ（ｉ），＇\ｎ＇）
｝

1 : 1/6
2 : 5/12
3 : 133/216
4 : 325/432
5 : 6541/7776
6 : 4655/5184
7 : 261493/279936
8 : 535925/559872
9 : 9796381/10077696
10 : 19786525/20155392
11 : 358427653/362797056
12 : 239941975/241864704
13 : 12991999021/13060694016
14 : 26030320685/26121388032
15 : 469096926613/470184984576
16 : 938923986325/940369969152
17 : 16909350566461/16926659444736
18 : 3758920371605/3761479876608
19 : 609083700366373/609359740010496
20 : 1218351814233125/1218719480020992
21 : 21932542135610701/21936950640377856
22 : 43868026759785805/43873901280755712
23 : 789659760174634933/789730223053602816
24 : 526455508992460775/526486815369068544
25 : 28429161282767803741/28430288029929701376
26 : 56859074012717372765/56860576059859402752
27 : 1023472347053496500293/1023490369077469249536
28 : 2046956711331417849925/2046980738154938499072
29 : 36845364987782900777581/36845653286788892983296
30 : 24563640732593188077775/24563768857859261988864
0644１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 10:04:25.06ID:OTl1KJku
分数表示 小数表示 シミュ値
1 1/6 0.1666666667 0.16695
2 5/12 0.4166666667 0.41535
3 133/216 0.6157407407 0.61633
4 325/432 0.7523148148 0.75147
5 6541/7776 0.8411779835 0.84065
6 4655/5184 0.8979552469 0.89742
7 261493/279936 0.9341170839 0.93430
8 535925/559872 0.9572277235 0.95693
9 9796381/10077696 0.9720853854 0.97253
10 19786525/20155392 0.9816988427 0.98123
11 358427653/362797056 0.9879563438 0.98787
12 239941975/241864704 0.9920503944 0.99250
13 12991999021/13060694016 0.9947403258 0.99509
14 26030320685/26121388032 0.9965136865 0.99644
15 469096926613/470184984576 0.9976858939 0.99761
16 938923986325/940369969152 0.9984623256 0.99840
17 16909350566461/16926659444736 0.9989774191 0.99890
18 3758920371605/3761479876608 0.9993195484 0.99937
19 609083700366373/609359740010496 0.9995470005 0.99943
20 1218351814233125/1218719480020992 0.9996983180 0.99976
>
0645１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 10:29:33.56ID:+G0RMlYJ
>>635
事象: (偶∨3) ∨ 6 = ((2∨4∨6)∨3) ∨ 6
　　= (2∧3) ∨ (4∧3) ∨ (3∧6) ∨ 6
　　= (2∧3) ∨ (4∧3) ∨ 6
{省略記法は適当に推測してください}

P1 := P(●), 　P2 := P(●∧■), ...
Q1 := P(￢●), 　Q2 := P(￢●∧￢■), ...
Qk = ((6-k)/6)^n

P1 = 1 - Q1
P2 = 1 - 2*Q1 + Q2
P3 = 1 - 3*Q1 + 3*Q2 - Q3
P4 = 1 - 4*Q1 + 6*Q2 - 4*Q3 + Q4

確率: P((2∧3) ∨ (4∧3) ∨ 6) = (P2 + P2 + P1) - (P3 + P3 + P3) + P4
　　= P1 + 2*P2 - 3*P3 + P4　= 1 - Q2 - Q3 + Q4
　　= 1 - (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n
まあ結果を見れば工夫の余地ありですが基本に忠実な方法を採りました.
0646１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 11:01:35.13ID:8d8gCNj7
>>636ｰ637 >>642

3|An　⇔　not (all 1,2,4,5)
　p(3|An) = 1 - p(all 1,2,4,5) = 1 - Q2 = 1 - (4/6)^n,

2|An　⇔　not (all 1,3,5)
　p(2|An) = 1 - p(all 1,3,5) = 1 - Q3 = 1 - (3/6)^n,

(3|An or 2|An)　⇔　not (all 1,5)
　p(3|An or 2|An) = 1 - p(all 1,5) = 1 - Q4 = 1 - (2/6)^n,

確率：p(6|An) = p(3|An and 2|An)
　　= p(3|An) + p(2|An) - p(3|An or 2|An)
　　= 1 - Q2 - Q3 + Q4
　　= 1 - (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n.
まあ結果を見れば工夫の余地ありですが、基本に忠実な方法を採りました。
0647１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 11:36:03.29ID:+G0RMlYJ
本当に何も工夫できてなかったから「基本に忠実」と書いただけなのに
煽ったように受け止めたのでしょうかね。素直に怖いんですが...
0648１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 12:04:58.54ID:pKH/XCba
>>577
レスありがとうございます。お返事遅れてすみません。

実は今、隣の分野くらいでポスドクをしています。
この歳になると恥ずかしくて聞くに聞けない質問が増えてしまいまして、
なかなか本を調べても載っていないので困っていました。
おそらくまとまった文献はなく、散見している論文を調べないといけない可能性があるので
今度詳しそうな方に聞いてみます
0650１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 12:41:54.54ID:ijdl7Zl+
面白いけど質問のフリして出題してくるのがウザい。
人間性疑う。
0651１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 13:21:23.01ID:nyblZrKy
Excelで少し試しただけだが、
>>641
の命題を、次のように書き換えても正しそうかな？
（元の命題はq=2に相当）

「2以上の整数qを1つ固定する。
mを任意の1以上の整数とする。n=qm+1とおき、n-1個の数√n,√2n,√3n,...,√(n-1)nのうち、整数部分がqで割り切れるものの個数はm個である」
0652１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 15:41:25.77ID:cOtagSUy
>>651おお～。こちらも少し試してみましたが成り立ってそうです。そっちで僕も考えてみます。
0655１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 18:11:52.37ID:yAcb4ZNO
>>650
θを実数の定数とする。

（1）rについての方程式cos(θ+r)=sin(rθ)はいくつの正の実数解を持つか。

（2）同様に、
-sin(θ+r)=rcos(rθ)-r/2はいくつの正の実数解を持つか。
0656１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 19:05:48.56ID:ux99Nd6q
>>651
正しそう
証明に取り掛かってみます
0658１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 19:36:57.79ID:cOtagSUy
>>651 文字をちょっと変えてもっと一般化して、
nを正の偶数、[]は床関数として、
「数列a(k)=[√{k(n+1)}] 　1≦k≦n、
数列b_i(k)≡a(k) (mod i) i|n,0≦b_i(k)≦i、
N{k:b_i(k)=j}でb_i(k)=jとなるkの個数を表すと、
N{k:b_i(k)=j}+N{k:b_i(k)=i-j}=2n/iが成り立つ。」
でもいけそうですね。>>641はi=2の場合、>>651はj=0の場合。

>>641を考えてましたが、区間[i^2/(n+1),(i+1)^2/(n+1))∪[(n-i)^2/(n+1),(n-i+1)^2/(n+1))に含まれる整数の数が常に２個であることが適当に文字をおいて不等式を解くとわかるので、おそらく解けました。
0660１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 20:09:55.76ID:cOtagSUy
>>658連投失礼
一般化したらnの偶奇も関係なくなるかもしれませんね（本当に成り立ってたら）
0661１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 21:11:09.66ID:kVh6ZCdm
>>641
実際にチェックしてみたところ、n=46341以下では、成立していると確認できたけど、
n=46343以上では、不成立っぽい。
（n=46343の時、奇数が23169個で、偶数が23173個）

・誤差の可能性を疑ったけど、単独で発生しているのではなく、n=46343以上で連続して不成立
・[sqrt(i*n)]と[i*n/sqrt(i*n)]が一致するかのチェックも通過

どなたか、検証お願いします。
0664１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 22:30:54.74ID:8d8gCNj7
>>653

(1,1)を頂点とするＶ字曲線の外側 (左側と下側) の領域で成り立つ。

　{(x,y) | 0<x<0.932806　or　0<xy<1　or　0<y<0.932806}　を含む。
　
境界線は点
　(1, 1.66038753819)
　(0.932806, 1.220063)
　(1, 1)
　(1.220063, 0.932806)
　(1.66038753819, 1)
を通る。
0667１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/15(日) 22:52:12.35ID:cOtagSUy
>>661
怖くなってきたので煩雑ですが一応証明を書いておきます。

「nは偶数,k∈{1,2,...,n}とする。
1<√(n+1),√(n-1)(n+1)<n<√{n(n+1)}<n+1より、区間[0,1)∪[n,n+1)には√{k(n+1)}が一つ含まれる.

i,j∈{1,2,...,n-1}とする。
(i+1)^2-i^2=2i+1<2(n+1)より区間[i,i+1)に含まれるような√{k(n+1)}は高々２個。

[i,i+1)に√{k(n+1)}が２個含まれる
⇔i<√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔i^2<(n+1)j,(n+1)(j+1)<(i+1)^2
⇒(n-i)^2>(n+1)(n+1-2i)+(n+1)(j+1)>(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2<(n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔√{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる
√{j(n+1)}<i,i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔j(n+1)<i^2,(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒(n-i)^2<(n+1)^2-2(n+1)(i+1)+(n+1)(j+1)=(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2>(n+1)^2-2(n+1)i+j(n+1)=(n+1)(n-2i+j+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が2個含まれる

[i,i+1)に1個含まれる
√{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔(j-1)(n+1)<i^2≦j(n+1)<(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j-1)}<n-i<√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が１個含まれる

よって,i≠n/2,ならば[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)には√{k(n+1)}が２個含まれ、
i=n/2ならば[i,i+1)には√{k(n+1)}が１個含まれる。
n≡0,2(mod 4)で場合分けして考えると、題意の成立がわかる。」

上の証明が合っていれば似たような解法でおそらくN{k:a(k)=pd±i}+N{k:a(k)=n-pd∓i}=2(複合同順)が示せて、>>658の一般化も示せそうなのですが、間違っていたら元も子もないですね。
0668１３２人目の素数さん
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2020/03/15(日) 22:53:51.82ID:OTl1KJku
>>661
いや、等しくなったけど。

> sim <- function(m){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ sum(b%%2==0)==sum(b%%2==1) # mean(floor(a)%%2==0)==0.5でも同じ
+ }
> sim((46343-1)/2) # n=2*23171+1=46343
23171 23171
[1] TRUE
> sim(46343)
46343 46343
[1] TRUE
0669１３２人目の素数さん
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2020/03/15(日) 22:58:58.55ID:8d8gCNj7
x,yは正の実数とする。
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,

(略証)
log は単調増加だから
　(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
　(x/y)^(x-y) ≧ 1,
　(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
　= (x^x - y^y)^2
　≧ 0,
0670１３２人目の素数さん
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2020/03/15(日) 23:21:08.82ID:OTl1KJku
10万＊２＋１までは成立することを確認。

> sim <- function(m,print=FALSE){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ if(print) cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ mean(floor(a)%%2==0)==0.5 # sum(b%%2==0)==sum(b%%2==1) と同じ
+ }
> sim=Vectorize(sim)
> flg=sim(1)
> i=1
> k=1e5
> while(flg & i < k){
+ i=i+1
+ flg=sim(i)
+ }
> i
[1] 1e+05
0671１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 10:50:51.55ID:xw7qN3/R
>>666
>0.5×2+2.5×7+4.5×13+6.5×9+8.5×6+10.5+1=197
0.5とか2.5とかってなに？最後＋1とは？
0672イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/03/16(月) 11:23:55.08ID:thhgKhx4
(1･2+3･7+5･13+7･9+9･6+11)/38=217/38=5.71……≒5.7(冊)
（(-_-)∥　　∥>>665
（っ⌒⌒ﾞ　 ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前>>589
0673１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 16:37:18.30ID:xt+nxb6a
正六角形ABCDEFの辺AB上に点Gをとり、また正六角形の内部に点Hを△CGHが正三角形となるようにとる。
このとき、Gのとり方によらず、Hはある直線上にあることを示せ。
0675１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 17:25:45.37ID:P4igaTJG
>>672
ありがとう、解決しました
>>671
0以上2未満だから0以上1以下読んだ人が二人いるので0.5冊×2人と考えました
+1は×1の間違えです
0676１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 17:32:12.22ID:Q3fVY21r
>>674
とりあえず誘導はともかくとして
ΣIn
=∫[0,π]sin^2(nt)/(t^2+π^2)dt
=1/2∫[0,π](1-cos(2nt)/(t^2+π^2)dt
→1/2∫[0,π]1/(t^2+π^2)dt
=1/8
だな。
0677１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 18:19:33.71ID:4LLVPoPK
>>673
複素平面上で考える。
O=0, A=1, B=e^(iπ/3), C=e^(i2π/3) = B - 1, ... , E= -B, ...
G = A + AB*t = 1 + (e^(iπ/3)-1)*t = 1 + C*t 　 ( t ∈ [0,1] )
と置くと
H = G + GC * e^(iπ/3) = (1 + e^(i2π/3)*t) + (e^(i2π/3) - 1 - e^(i2π/3)*t) * e^(iπ/3)
= (e^(i2π/3) + 1)*t - e^(iπ/3)
= B*(t - 1) = t*O + (1-t)*E
∴ HはOE線分上にのる。
0678１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 19:16:34.40ID:8zVl3xLP
>>651を書いたものです

>>658
b_i(k)の定義がよくわからないです…。
a(k)は√の整数部分ですよね。b_i(k)はa(k)をiで割った余り？
だとすると0≦b_i(k)≦i-1か1≦b_i(k)≦iのどちらかのような気がするんですが
j=0のときはb_i(k)=0とb_i(k)=iを両方考えるんですか？

あと、>>651ではnは偶数でも奇数でもOKである、という予想です。
0679１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 19:18:36.76ID:8zVl3xLP
>>667
後半、typoや議論の重複があるので、少し丁寧めにまとめるとこうなるかな？

(補題1)　(□には <、≦、>、≧ のうちどれか1つが入る)
i □ √{j(n+1)}
⇔i^2 □ (n+1)j
⇔(n-i+1)^2=(n+1-i)^2=(n+1)(n+1-2i)+i^2 □ (n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔(n-i+1)^2 □ (n+1)(n-2i+j+1)
⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)

(補題2) 補題1でiにi+1とかjにj-1やj+1を入れたものを含めると、次の4つがわかる
i □ √{(j-1)(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j)(n+1)
i □ √{j(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)
i+1 □ √{j(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j-1)(n+1)
i+1 □ √{(j+1)(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j)(n+1)

この補題2の4つを使うと、次の3つのことがいえる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が2個含まれる
⇔あるjが存在し, i≦√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔あるjが存在し, √{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は0個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が1個のみ含まれる
⇔あるjが存在し, √{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるjが存在し, √(n-2i+j-1)(n+1)<n-i≦√(n-2i+j)(n+1)<n-i+1≦√(n-2i+j+1)(n+1)
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は1個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が0個含まれる
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, √{j(n+1)}<i,i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, n-i≦√{(n-2i+j)(n+1)},√{(n+1)(n-2i+j+1)}<n-i+1
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は2個含まれる
0680１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 20:09:56.52ID:bNeBdUF1
>>674
nを正の整数とし、
　I_n = ∫[0,nπ] n (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx
とする。

(i) kを正の整数とするとき、不等式
　　∫[(k-1)π,kπ] (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx ≦ 1/{2π[(k-1)^2 + n^2]},
が成り立つことを示せ。

(ii) lim[n→∞] I_n　を求めよ。
0681１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 20:13:24.31ID:8zVl3xLP
>>678への自己レス。
もしj=0のときは条件「b_i(k)=i」は単に「b_i(k)=0」と同じ条件と考える、のだったら、
>>658はあってそうです。

>>667の最後の段落について。
いや、前段までの論法で既に、整数部分がn/2より大のエリアと
整数部分がn/2より小のエリアでの、[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)に必ず整数部分が2個含まれるという"対称性"は示されているから、
より大エリアでの余りがjなら、より小エリアでの余りは-jなわけで、
全体をトータルで考えて和をとれば2倍カウントすることになるわけで、「ほぼ」証明終わってませんか？

しかし、Excel眺めてるだけではこの"2個対称性"は気付かなかったな…
いわれてみれば確かにそうなのですが、すごい
0682１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 20:14:46.73ID:cD1W8NBe
>>677
ありがとうございます
平面図形で「同一直線上⇔∠OGE=180°」を使うよりも、複素数平面の方が解きやすいのでしょうか
0683１３２人目の素数さん
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2020/03/16(月) 20:32:41.94ID:bNeBdUF1
>>674 (i)
たぶん
　1/{2π(k^2 + n^2)} < ∫[(k-1)π,kπ] (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx < 1/{2π[(k-1)^2 + n^2]},
だろうね。
0684１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/16(月) 21:27:59.56ID:4LLVPoPK
>>682 各自やりやすいと思う方法で解けばいいと思います。
逆に私は
> 平面図形で「同一直線上⇔∠OGE=180°」を使う
こちらの方法が分からないので教えて欲しいです。
( ∠OGE=180° は別の何かの書き間違いだと思いますが )
0685１３２人目の素数さん
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2020/03/17(火) 02:28:50.82ID:jkHV1VNx
>>675
解決してどうする
これは0.5*2が正しい
数学検定馬鹿問題だな
0686１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 02:46:21.89ID:wiT2shNR
aを正の定数とする。n=1,2,...に対して関数f_n(x)を、
f_1(x)=ax(x-1)
f_n+1(x)=f(f_n(x))
により順次定めていく。

（1）0<α<1かつ0<f_1(α)<1となるようなαの範囲をaで表せ。

（2）0<β<1とする。すべての自然数kに対して0<f_k(β)<1となるようなβの範囲をaで表せ。

（3）（2）においてβが取りうる値の範囲をs<β<tと表すとき、極限値lim[a→∞](t-s)を求めよ。
0687１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 03:07:25.07ID:CmDsCyUw
>>683
分子は x=(k-1/2)π に関して左右対称、を利用すれば
　∫[(k-1)π,kπ] (sin x)^2 /{x^2 + (nπ)^2} dx = 1/{2π[(k-1/2)^2 + c + n^2]},
ただし 0 < c < 1/4,
0688１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 03:30:15.69ID:CmDsCyUw
>>665
[3]
　下の度数分布表は、車さくらさんのクラスの
生徒38人の1学期に読んだ本の冊数を調べ
てまとめたものです。　これについて、次の問
いに答えなさい。ただし、相対度数は小数第
3位を四捨五入して、小数第2位まで表わして
います。　　　　　　　　　　(統計技能)
(5)　x,yにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
(6)　1学期に読んだ本の冊数の平均は何冊です
　か。答えは小数第2位を四捨五入して、小数
　第1位まで求めなさい。

　　　　　読んだ本の冊数
　－－－－－－－－－－－－－－－－－
　階級(冊)　　　　度数(人)　相対度数
　－－－－－－－－－－－－－－－－－
　0以上 ～　2未満　　2　　　　　0.05
　2　　～　4　　　　7　　　　　0.18　　
　4　　～　6　　　　13　　　　　x
　6　　～　8　　　　9　　　　　0.24
　8　　～　10　　　　6　　　　　y
　10 　～　12　　　　1　　　　　0.03
　－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　合 計　　　　　38　　　　　1.00
0689１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 03:43:20.76ID:CmDsCyUw
延べ冊数　　　　　　　178 ～ 216　(冊)
1人あたりの平均冊数　　4.68421 ～ 5.68421　(冊/人)
答え　　　　　　　　　4.7 ～ 5.7　(冊/人)
0690１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 04:13:41.25ID:CmDsCyUw
延べ冊数nの分布は二項分布
　P_n = C[38, n-178] / 2^38,　　　(178≦n≦216)
とするが、便宜のため正規分布 N(197, σ^2) で近似してもよい。
σ^2 = n/4 = 19/2.
0691１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 08:41:55.31ID:6f3JLIW1
1秒間に30回に取得できる数列
1539538600、3079077200、4618615800......

1秒間に60回取得できる配列
769769300、1539538600、2309307900......

この数値が何を示しているか分かりますか？
0692１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 10:17:20.19ID:Vd0UZ98W
次の条件を満たす1より大きいrが存在することを示してください:
nを任意の正の整数とするとき
1<n<p<r･n
であるような任意の素数pに対して
Σ[k=0→n] {C(n, k)}^4 はpの倍数
が成立する
0693１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 10:58:24.14ID:jkHV1VNx
>>688
冊数だから2未満とは1のこと
0～1の階級値は0.5
同様に
2～3の階級値は2.5
こんな風になるから正しい答えは>>666
0694１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 11:18:14.32ID:yOLN43Ea
小数第1位まで出す意味あるんかなあ
有効数字っぽく見えちゃうけどそうではないわけだろ？
世論調査なんかもそうだけどなんかちょっと疑問
0695１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 11:30:17.48ID:Bo3Qnj57
>>692
二乗和ならr=2で受験レベルだけど四乗和でr=2だとn=3ですでに成立しないしなぁ。
それは自作問題？
ホントに成立するん？
0696１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 13:04:59.93ID:jkHV1VNx
>>694
>小数第1位まで出す意味あるんかなあ
なんで？
じゃあ0以上2未満の人が3人居たら平均は？
0697１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 13:37:19.80ID:lZjSmGru
そんな感じなことをやってるわけか
統計嫌い養成にもってこいの問題だな
0698１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 13:38:30.48ID:fOaacBzf
1≦x1≦<x2≦<........xk≦nの同値変形が
1≦x1<x2-1<........xk-(k-1)≦n-(k-1)となる理由が全く分かりません。申し訳ないのですが、ご教示お願いします。(x1≦<x2はx2-x1≧2を表しています)
0699１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 13:42:58.28ID:fOaacBzf
698です
すみません。自己解決しました。
勘違いをしていました。お恥ずかしい。すみません。
0700１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 13:43:02.98ID:7zzuTuCg
すごくわかりにくい俺様記号パス
0701１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 14:28:49.44ID:LRWp8hDU
「群」「環」「体」を現在の視点から適切な用語に変えるいいアイデアが提案されたことってありますか？
この三つって重要度のわりに名前と内容があまりにかけ離れてますよね？
0702１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 14:34:47.95ID:jkHV1VNx
>>701
人名でなければ
どうでも良い
0703１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 14:44:32.33ID:mpeXHzFh
ドイツ語だの英語だのフランス語だので変えてくれないと意味ないじゃん
0704１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 20:46:50.50ID:KcKgs1Eg
じゃ、たとえば、「軍」「艦」「隊」とかどう？
0705１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/17(火) 22:19:48.69ID:v5PJ8Z18
AB=b,AD=dの長方形ABCDの辺AB上に点E、辺AD上に点Fを自由にとる。
また長方形の内部に点Gをとり、△GEFが直角三角形となるようにする。
このようなE,F,Gのとり方は色々あるが、それらの可能なとり方の全てを考えたとき、点Gが動きうる領域の面積を求めよ。
0708１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/18(水) 01:37:18.08ID:LbXnfiiv
>>687
　θ = x - (k-1/2)π,　　|θ| < π/2,
とおく。

　( 1/{[(k-1/2)π + θ]^2 + (nπ)^2} + 1/{[(k-1/2)π - θ]^2 + (nπ)^2} )/2
　≒ (1/[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2]) {１- α/[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2]・θ^2},

　α(n,k) = [n^2 - 3(k-1/2)^2]/[(k-1/2)^2 + n^2],

　∫[-π/2,π/2] (cosθ)^2･{１- α/[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2]・θ^2} dθ
　　= (π/2) {１- (π^2 -6)/(12･[(k-1/2)^2･π^2 + (nπ)^2])･α}
　　= (π/2) {１- c/[(k-1/2)^2 + n^2]},

　c(n,k) = (π^2 -6)/(12π^2)・α(n,k) = 0.03267274 α(n,k)
かなり小さい。
0709１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/18(水) 02:06:54.17ID:LbXnfiiv
続き

∫[-π/2,π/2] (cosθ)^2 dθ
　= [ (θ - sinθcosθ)/2 ](θ=-π/2,π/2)
　= π/2,

∫[-π/2,π/2] (θ･cosθ)^2 dθ
　= [ (θ^3)/6 + (2θ^2 -3)sin(2θ)/8 + θcos(2θ)/4 ](θ=-π/2,π/2)
　= (π/2)･(π^2 -6)/12,
0710１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/18(水) 02:27:29.95ID:LbXnfiiv
>>688
[3]
　下の度数分布表は、さくらももこ さんのクラスの
生徒38人の1学期に読んだ本の冊数を調べ
てまとめたものです。　これについて、次の問
いに････
0711１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/18(水) 03:24:57.98ID:LbXnfiiv
>>692
　a(n) = Σ[k=0→n] {C(n,k)}^4
n≦12 では
1　　　　　　 2　　2,
2　　　　　　18　　2･3･3,
3　　　　　 164　　2･2･41,
4　　　　　1810　　2･5･181,
5　　　　 21252　　2･2･3･7･11･23,
6　　　　263844　　2･2･3･3.･3･7･349,
7　　　 3395016　　2･2･2･3･3･61･773,
8　　　44916498　　2･3･3･3･11･75617,
9　　 607041380　　2･2･5･11･31･89009,
10　　8345319268　　2･2･11･13･67･71･3067,
11　116335834056　　2･2･2･3･3･13･499･249079,
12 1640651321764　　2･2･7･7･13･643897693,

・{(1+x)(1+y)(1+z)(1+w)}^n の対角項 {(xyzw)^k 形の項} の係数和
・{(1+x)(1+y)(1+z)[1+1/(xyz)]}^n の定数項

http://oeis.org/A005260
0714哀れな素人
垢版 |
2020/03/18(水) 10:04:06.51ID:lVJCas+h
>>705
>>706の解答者は理由を書いていないが、
GはEFを直径とする円周上にあると考えると、
EがAからBまで動き、FはAに固定されていると考えると、
GはABを直径とする半円内を動く。

次にEはBに固定されているとし、FがAからDまで動くと、
GはBDを直径とする円に内接する長方形ABCDから、
ABを直径とする半円を除いた部分を動く。

結局Gは長方形ABCD内の全領域を動く。
0715１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/18(水) 16:16:48.31ID:cnODbM85
1/(1-x+x^2)と1/(1-x-2x^2)をxのべき級数に展開し、x^nの係数をそれぞれp[n],q[n]とおく。

（1）任意のnに対してp[3n]はnによらない定数であることを示し、その値を求めよ。

（2）3q[n]-p[3n]をnで表せ。
0716１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/18(水) 17:03:55.77ID:FKTohgBq
>（1）任意のnに対してp[3n]はnによらない定数であることを示し、その値を求めよ。
p[3] = -1, p[6] = +1 定数になりませんよね？ 問題を写し間違えてませんか？
0717１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/18(水) 19:47:03.16ID:VrpVs/Q6
回帰分析ででてくる最尤推定は統計学の教科書にのっている最尤推定とは別物ですか？

統計学の本にのっている最尤推定は、確率分布や密度関数のパラメーター付された族を考え、真の分布から独立に得られた確率変数を用いて、尤度関数を最大化してパラメーターを推定するものだと思います。
しかし、例えば線形回帰だと、各xに対しyの値が正規分布に従っているとしても、それぞれ平均が違うので同一分布から独立に得られていません。
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