面白い問題おしえて～な 31問目
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面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/997
997 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/01/27(月) 19:28:57.79 ID:VuOY61Uq
あとこれは本当に興味本意だけど, 例えば
各Xiを集合{-1, 1-√2, √2}上の離散一様分布とした時に同じ主張が成り立つか, というのは興味がある
あくまで離散的だけど, 畳み込みする毎に中央あたりがどんどん"密"になっていく訳だから…
のご要望にこたえて、やってみた。収束しそうにない印象。
https://i.imgur.com/LXkHRpW.jpg
色彩には意味なし、単に俺が遊んでみただけ。
v=c(-1, 1-sqrt(2), sqrt(2)) # 指定の数値
a=(max(v)-min(v))/2 # a はｖの幅の半分にした
qn <- function(n,k=1000){ # ｎ個の乱数発生での実験を1000回繰り返す
f=function() abs(sum(sample(v,n,replace=TRUE)))<a # vから重複をゆるしてn個取り出し、総和の絶対値がaより小さければTRUEを返す関数ｆ
mean(replicate(k,f())) # fを1000回繰り返しTRUEの頻度を返す
}
n=1:1000 # ｎを変化させてqnを実行してグラフにする
y=sapply(n,function(n) sqrt(n)*qn(n)) # nを1~1000でsqrt(n)*qnを実行
plot(n,y,pch=19,bty='n',col=sample(colours())) >>2
ありがたい…予想よりかなりばらばらになってて意外だ
思ったより繊細な条件なのかアレは… 前スレのプールの問題。
最短10秒じゃないの？
プールサイドを5秒、直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。
直角三角形の辺の比が1:2:√3になるから、プールサイドから対角線まで、プールサイドの残りのちょうど2倍の距離を泳ぐことになる。
水中では速さが半分になるから時間はプールサイドを端まで行くのと同じ。つまり5秒。プールサイドのどこから飛びこんでも対角線まで5秒。
5秒+5秒=10秒
どうですか？
これが正解ではないか。 V={(x_1,..,x_n)∈[-1/2,1/2)^n | x_1+..+x_n >= 1/2}の体積が大体1/2-c/√nのオーダーって言うのは何か奇妙だな
n次元単体の体積が1/n!らしいし次元の増加に対して減少してもよさそうだけど この奇妙な感じは機械学習で言うところの球面集中現象と同じ感じかな まぁしかし理論値もシミュレーションもあってるからそんなもんと思うか、直接体積(のオーダー)計算してみるかしかないのでは？ >>7
奇妙って言うのはどこかに誤りを感じるっていう類いの物じゃなくて、n次元立方体っていうのが直観よりもイビツだなぁという感じの物かな
次元が増加すると角のあたりの体積がどんどん増加していって中心に近い部分がペシャンコになるって言うのが面白い >>4
方眼紙買ってきなさい。
10cm×10cmの正方形を書く。
左下隅中心の半径10cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9.5cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9cmの円を書く。
‥
1cm右にズレて半径5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4.5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4cmの円を書く。
‥
1cm上ズレて半径0.5cmの円を書く。
コレが大体10秒で到達できる領域。 前>>4
10秒で到達しないエリアが存在する。
最初に監視員がいるコーナーから半径10mの扇形の範囲は救える。
向かい側の縁から60の方向に対角線に向かっても10秒の時点では対角線まで到達しない。
最初に監視員がいた地点の反対側のコーナーを30°ずつ三分割したときの真ん中の対角線付近の30°のエリアで半径10mの扇形の外は10秒では到達しない。
10秒のt秒後に対角線上を泳ぐ監視員と、
向かい側の縁から進行方向に対して60°で飛びこみ、対角線に対して、
180°-60°-45°=75°の角度で泳いできた監視員が、同時に到達する地点がただ一点存在する。
15°と75°の直角三角形においてピタゴラスの定理より、向かい側の縁から60°の角度で飛びこむときの到達時間と、対角線上を泳ぐ監視員の到達時間で立式し、
5+5-√{(10√2-10-t)^2-t^2}(2/√3)(1/2)+√{(10√2-10-t)^2-t^2}(1/√3)+t=10+t >>5-8
無限次元だとなんと表面しかないぞ。
（余）境界輪体とかコホモロジーだけで論じられるケースが多いから助かるけど。 >>11
へぇー何か想像もつかないな
まあ[0,1]^nの表面付近の占める体積の割合がどんどん増えるのは分かるけど
数学科だと何の授業でやるんだろうか >>11
うわ、ホントだ。
境界しかないね。
( ･∀･)つ〃∩ へぇ～へぇ～へぇ～ >>9
イナ氏に代わって作図の練習に１０秒で到達できる範囲の図を書いてみました。
先に上に行ってから右に行くのも付け加えました。
https://i.imgur.com/92wYLCv.jpg 前>>10
>>14惜しい!!
白い空白部分を実線で囲んで、真ん中ら辺に最遅到達点の印があれば正解。 この図に4本の直線が浮かび上がってるのを読み取れないのがイナの限界だな。 >>15
せっかくなので秒数を指定して描画できるようにプログラムしてみました。
８秒、９秒、１０秒、１１秒で到達できる範囲を描いてみました。
正解が１０から１１秒の間にあることが読み取れます。
https://i.imgur.com/e9mep6G.jpg >>10
方眼紙に作図したら
１０秒以内に到達できない領域が白の部分と判明。
ここで疑問。
この白の部分の面積はいくつか？
（自作問題につき正解はもっておりませんので悪しからず）
https://i.imgur.com/mfbtwlU.jpg 前>>15
問題は(10+t)秒のtを求めよってことなんだよ。 方程式立てて解こうとすると0=0になるからみんな放置して作図に精を出してんだよ。
でももうちょい作図すると出ると思う。 みんなって誰？
というかこの問題最初のレスで>>17の図の四角形が潰れる時刻求めてるじゃん。
この問題である時刻までに到達できない領域が四角形か六角形になる事に気づいてないのは君を含む極々一部だけで他の住人はみんなわかってるんだよ。
ただその極々一部のひとがアホほど意味ないレスつけてるからわかってない人間が多くいるように見えるだけ。
おそらくこの問題まだできてないのは2、3人しかいない。 >>13
>境界しかないね
これどうやって確かめたの 前>>20
監視員のいる反対コーナーと最遅到達点と縁の向こう側の飛びこみ地点を結ぶ三角形において、正弦定理よりtの二次式を立てこれを解き、tの値を出そうとしてtにiがかかってる状態。 何か安直に単位n次元立方体の厚さ(e/2)の皮が占める体積の割合考えて
(1^n-(1-e)^n)/1^n=1-(1-e)^n -> 1 (n->∞)
で良いような気がしてきた 前>>23
図を描くとtの値は11秒弱なんだけど、
計算結果は今のところ、
10+t=13.81376309……(秒)
もうちょいだなぁ。
約分間違えたかなぁ。 >>22
直積位相の定義。
任意のx∈I^∞の点とその開近傍の基U=Π(ai,bi) (xi∈(ai,bi), 有限個を除いてai=-∞、bi=∞)をとるときUは必ずI^∞でない点を含む。
つまり内点なし。 >>29
しかし>>11は無限直積の意味でしょ？
多分。 前>>27
t/(10√2-10-t)=sin15°
t=(10√2-10-t)sin15°
=(10√2-10)sin15°-tsin15°
(1+sin15°)t=10(√2-1)sin15°
t=10(√2-1)sin15°/(1+sin15°)
=0.851642332……
10+t=10.851642332……(秒)
60°よりもっといい飛びこみ角があるってことか。 前>>31
t/(10√2-10-t)=sin13°
t=(10√2-10-t)sin13°
=(10√2-10)sin13°-tsin13°
(1+sin13°)t=10(√2-1)sin13°
t=10(√2-1)sin13°/(1+sin13°)
=0.712964721……
10+t=10.712964721……(秒)
縁からバサロが速いってか。 >>28
位相は良く知らないんだけど、x中心の半径超小さい球をとればxの開近傍でI^∞に含まれるように出来ると思うんだけど >>33
何故それを開近傍と呼ばないのかは多分数学科以外では教えてない。
すごい高度といえば高度、どうでもいいといえばどうでもいい話なので気にしなくていい。
理解しようと思うとまぁまぁ頑張らないとダメで、しかも数学科以外の人間には役に立たない。 >>34
距離空間だと球の内部は開集合ぐらいの認識なんだけど、無限次元の時だけ開集合じゃなくなる感じなのかな？
出来たらキーワードというかヒントとか教えて欲しい
ちなみに>>28でなぜ有限個を除いてai=-∞、bi=∞っていう制限が付くのかも知りたい >>35
とりあえず直積空間の定義は
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E4%BD%8D%E7%9B%B8
で何故こういう定義になるかというと
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90
平たくいうとXiの直積空間Xは
①第i成分を取り出す写像X→Xiが連続にならないと困る。
そのためにはある程度たくさん開集合がないとダメ。
②成分の空間への連続写像の組みfi:Y→Xiが与えられたら、それを第i成分とするような連続写像f:Y→Xが作れないと困る。
そのためにはあまりXに開集合がありすぎても困る。
の両方の要請を満たすのがwikiにある定義。
有限個を除いてai=-∞、bi=∞でないとダメというルールがないと開集合が増え過ぎて②を満たさなくなってしまう。 >>36
とりあえず積空間の普遍性が開近傍に有限個を除いてai=-∞、bi=∞という条件を要請してて
ゆえにどんなxの開近傍をとってもI^∞からはみ出てしまうっていう流れなのかな
>有限個を除いてai=-∞、bi=∞でないとダメというルールがないと開集合が増え過ぎて②を満たさなくなってしまう。
これ証明するの難しそうだが気になる
とりあえず積位相が射影極限の特殊なケースだってのは理解したがこれは積位相の普遍性だけ気にしてればあんまり考えなくても良いことっぽいな >>38
証明はそんなに難しいわけではないよ。
数学科の学生さんや卒業生なら腕試しにちょうどいいくらい。 >>40
これを見て理解した
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018-2019_General_Topology.pdf
位相の生成の時に有限個の共通部分をとる操作と、射影p_i:X->X_iの逆像が第i成分以外X_j全体になるってところが有限の添え字を除いて空間全体(-∞,∞)っていう制限の由来だったのか
射影を連続にする最弱の位相を入れようとすると自然と開近傍の第i成分が第i空間全体を覆ってしまうほどでかくなるってのは面白いね
大まかな流れを示してくれてありがとう 前>>39`∥____∥ ; ; ;
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（(-_-)∥ ∥;_;_;_;
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＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`なんで10秒後がわかるのに到達時間が出ないんだ。面白い。 前スレの
「V_n={(x_1,..,x_n)∈[-1/2,1/2)^n | -1/2≦x_1+..+x_n<1/2} の体積が
|V_n|=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx であることを示せ。」
という問題の難易度はどれくらいで解答パターンはいくつぐらいあるのだろうか？ >>34
>何故それを開近傍と呼ばないのかは多分数学科以外では教えてない。
開近傍でもイイヨ
位相が違うだけ >>35
座標への射影に関する弱位相入れるのが普通だから
別の位相でもイイ >>45
>>33はx中心の開球でI^∞に収まるようなものをxの開近傍として取れるのではと言ってるが
>>34は積空間の普遍性を満たすような位相を入れると>>34の開球は開近傍にはならないと言ってるのでは そもそも大元の>>11が気になるんだけど。
コホモロジー使うとか言ってるけど可縮じゃないのかな？ 前>>42
10秒77では到達できなくて10秒85で到達できるエリアで溺れた人は監視員によっては救えるけど監視員によっては救えない運命にあるってことか。 ／∥卍`∥￣￣∥前>>42
∥∩∩`∥ □ ∥[臥薪嘗
（(-_-)∥ ∥______
（っц~∥ ｡∥╂─╂
■`(_)_) ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`対角線を泳ぐより、少しだけプールサイドを進んで進行方向に対して60°の方向に飛びこむと速い。10+t(秒)で監視員が溺れてる人がおってんとこに到達するとして、
突き当たりまで5秒進んで直角に曲がって5秒から10秒までのあいだに進行方向に対して60°の方向に飛びこんだ別の監視員が、10+t(秒)で溺れてる人がおってんとこに到達することも可能。 前>>51
対角線上に監視員からx(m)の位置で溺れた人のとこに手前の縁から進行方向に対して60°に飛びんでも、向こう側の縁から進行方向に対して60°の方向に飛びこんでも同時に到達するとすると、
(x/√2-x/√6)(1/2)+(x/√2)(2/√3)=5+{10-(10-x/√2)(1+1/√3)}(1/2)+(10-x/√2)(2/√3)
辺々2√6掛けて、
(3+√3)x=10√6+√6(x/√2-10/√3-x/√6)+40√2-4x
(3+√3-√3+1+4)x=10√6-10√2+40√2
8x=(10√6+30√2)
x=5(√6+3√2)/4
=8.36516304……
∴5秒進んで直角に曲がって5秒から10秒までのあいだに60°の方向に飛びこむといい。 前>>52
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)秒。
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√((sin57.465773447629°)^3+1)=0となり極大値を与える。
向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
救出時間は、
(1/sin57.465773447629°)(10-x/√2)-(1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=(1/sin57.465773447629°-1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=2.56432763+5+x(1/2√2-0.256432763/√2)
=7.56432763+0.172228045x
10＜x≦10√2
救出時間が9秒台。あまりにも速すぎる監視員。 >>18
円の共通接線の方程式
↓
交点の座標
↓
三角形に分割した辺の長さ
↓
ヘロンの公式
は計算が複雑過ぎて俺には無理だな。 t=10の時点で下ヘリの直線が(20,0)を通る傾き1/√3の直線とわかれば簡単。
座標設定しなくても下側の頂点からx軸に垂線下ろして直角二等辺三角形と台形に分ければ相似な三角形出まくる(1:1:√2のやつと1:2:√3のやつしか出てこない)のでそれを利用すれば中学生でも解ける。
ちなみに四角形が潰れる時点の算出も上手く補助線引けば中学生でもできる。
もちろん共通接線が1m/秒でそれぞれ傾き√3と1/√3を保ちながら平行移動している事がわかる前提だけど。 前>>54
>>57
θ=60°のとき、
微分=0より、
3sin60°/2-√{sin^3(60°)+1}=0.0147020699……
≠0
●●ヘリの傾きは1/√3より少し小さいとわかった。y切片もどうだろう。手描きで20超えてる。中学生には無理だと思う。 >>58
頭使って考えてないからわからんのだよ。
>>14の図のx軸上に中心がある円を描く作業をどんどん続けていったらどこで半径0になるかわからんかね？その点を通ってx^2+y^2=100に接する直線はきみにはお手上げ？ >>58
原点スタート右上ゴールに採れば円三つ（原点中心, 右下の角中心, 右上の角中心）書くだけで解けるよ
辺の比1:2:√3の直角三角形と一次関数が分かる中学生なら解ける 前>>58
θ=57.465773447629°
向こう側の縁から飛びこむ角度が57.465773447629°ということは、
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒) 謎の57.‥°にこだわってる限り永遠に答えは出ないねぇ。 前>>61
>>62なぞは解ける。微分して極値を求めない人にはわからない。
>>54で救出時間を微分して=0のときθ=57.465773447629°
飛びこむ角度、飛びこむ地点、泳ぐ距離、救出時間、すべて求まる。
60°は当たりをつけただけだ。それで近い値は出る。実際に速いのは61°なのか59°なのか、監視員のとっさの判断を計算で求めることに数学の意味があると思う。
57°や58°はだれでもやる。57.465773447629°をやった者だけが味わいうる解放感がある。 >>63
その微分計算がおかしいと何故思わん？
>>14の図の直線の最先端、つまり直線と接している各円とその中心のプールサイドとのなす角は何度だね？
なんで図に直線が現れたらその直線の方程式を求めてみようと思わんの？
そういう問題云々いう以前の部分まるっきしダメダメなんだよ。 前>>63
>>64
60°や30°や45°で当たりをつけるのはいいと思う。でも結局はθで一般式を立てなきゃ正確な値が出ないと思う。
60°よりちょっと早いタイミングで飛びこむと、縁の距離が短くなって泳ぐ距離は長くなる。けど全体として距離は少しだけ短くなるし、直角に飛びこむのはたしか30°の方向に飛びこむときと同じだと思ったから、それなら少し早めに飛びこむと速いと思った。
せめぎあいだと思う。
微分=0で極値を求めるでいいと思う。
ちょっと勇気があれば微分できる。そんなに難しくなかった。 イナwolfram先生の採点。
(0,0) から(1,1)までかかる所要時間。
何度で最小かね？ >>57
レスありがとうございます。
秒数を指定して描画できるようにプログラムを作ったついでに
時間ｔの時の空白面積を算出するプログラムを作ろうと思っていたんだけど複雑すぎて諦めました。 >>65
wolfram先生に微分をお願いした
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28a-b+cot%28x%29%29%2F2%2Bb%2Fsin%28x%29%29%27&;lang=ja
d/dx(1/2 (a - b cot(x)) + b/sin(x)) = 1/2 b csc(x) (csc(x) - 2 cot(x))
csc(x)=1/sin(x)
cot(x)=cos(x)/sin(x)
つまりくくると
= 1/2 b csc(x) 2/sin(x)(1/2- cos(x))
ですわ。
イナ君よ。1/2-cos(x)はどこで符号が変わるかね？
57.‥のところかね？ 前>>65
>>69微分は難しいから、相手よく見て。
泳げる人や縁の近くにいる人は救出しなくていい。
まぁでも溺れてる人は自分が縁にいるとわかってないから溺れてるわけだし、縁からひっぱりあげることは必要。
ただ安易に飛びこむと監視員が溺れることになりかねない。距離が長いときは注意しないと。
縁をまっすぐ10秒でいいと思う。 大体考えたらわかるでしょ？
大学入試の問題で最小値をとる角度が60°みたいないわゆる"有名角"になってるかどうかはともかくとして、答えないといけない最小値自身は計算機使わないと答えでないような中途半端な値なわけないやん？ 前>>70
>>71
入試の問題かどうかは知らない。
最速何秒か求めようと微分して分子=0で極値を求めたらたまたま出た。
その値に端数が出たので違うとかあってるとか言われても知らない。 無限の「表面」ネタを押し流すために頑張ってるようにすら見えるな。このコテ。 >>72
何も出てない。
強いて言えば間違った答えが出ただけ。
もはや永遠にイナのレスから正解が出る事はないのだろうか？ 前>>72
>>75そのときはわかって確信を持って書いてるけど、時間が経つとなんのことだかさっぱりわからない。
とにかく同じ思考にたどり着くまでに時間がかかるからちょっと待ってほしい。
ほんとに俺が解いたのかと思うぐらい計算間違いをしてる可能性もあるし、逆にどこか間違えたまま計算はあってる可能性もある。 前>>77
y=-(1/√3)(x+10)+10
y=(x+10/√2)√3+10/√2
の交点のx座標は、
-(1/√3)(x+10)+10=(x+10/√2)√3+10/√2
x=-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4
y座標は、
y=-(1/√3)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+10)+10
=15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
この交点を通り、傾きが、
(√3-1)/(√3+1)の直線と、y=-xの交点のy座標をYとおく。 前>>78
-x={-(√3-1)/(√3+1)}(-x-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
Y={-(√3-1)/(√3+1)}(Y-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4
(√3+1)Y=-(√3-1)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+(√3+1)(15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4)
2Y√3=-(4-2√3)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+2(15/2-5√3/2+5√6/4+5√2/4)
Y=(-2/√3+1)(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=-2/√3(-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4)-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=5/√3-5+15√2/2√3+5√2/2-5/2+5√3/2-15√2/4-5√6/4+15/2√3-5/2+5√2/4+5√2/4√3
=25√3/6-10+50√6/12
救出時間=5+{Y+(10-Y)√3}/2
=5+{25√3/6-10+50√6/12+(10-25√3/6+10-50√6/12)√3}/2
=5+(25√3/6-10+50√6/12+20√3-25/2-50√2/4)/2
=5+(145√3/6+50√6/12-45/2-50√2/4)/2
=5+145√3/12+25√6/12-45/4-25√2/4
=145√3/12+25√6/12-25/4-25√2/4
=10.9432161……(秒) 4次元世界の問題
一辺の長さが10mの立方体のプールの一つの角に監視員を置く.この監視員は水中は秒速1mで,プー ルの縁上は秒速 2m で移動するものとする.この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒 必要か計算せよ. >>81
プログラムを組んでやってみた。
監視員の座標を(0,0,0)とすると、
> opt[1]
$par
[1] 7.691099 7.691099 7.691099
への到達が最も時間がかかり、
> opt[2]
$value
[1] 13.26518
秒とでてきた。
後は数理の達人の解析解と一致するかを待つまつのみ。 >>82
この点に到着する最短ルートは
(1.41135,0,0) (0,1.41135,0) (0,0,1.41135)のいずれかから水中に入るという結果になった。
数理的には偏微分して解くのかな？ 理論値とまぁまぁ離れてるな。
まぁこっちの持ってる解も100%自信があるわけではないけど。 >>83
それおかしくない？
その入水地点(1.41135,0,0)から直線y=x,z=0に下ろした垂線の足から入水すれば歩く距離も泳ぐ距離も短くならない？ >>85
プールサイドからしか入水できないという前提じゃないの？ プールの壁のどの点からでも入水できるということなら俺は全く別物を計算していることになる。
# O (Oから水没)
# O-X(X軸上から水没)
# O-X-Y(Xを全長走行してY軸上から水没)
# O-X-Y-Z(X,Yを全長走行してZ軸上から水没)
という風にして時間を計測したんだけど。 つまり、横に5m走ってから上に5m走った点から目標にむけて入水も可能という設定ですか？ >>87-88
もちろん設定は4次元なんだからプールサイドは立方体の表面ですよ？
表面どこからでも入水可能です。 >>88
立方体の辺からしか入水できないものとしてプログラムを組んだのでやり直します。 >>89
プログラムをやり直してみた。
> opt$objective
[1] 8.327796
秒で
> opt$maximum*e
[1] 5.293786 5.293786 5.293786
が座標
という結果になった。 入水する座標は (1.965991, 8.621582, 10)となった。 多分違う。
二次元のときと同じで入水地点からの泳ぐ経路と入水した面のなす角は60°である事が必要だけど60°になってません。 多分違う。
二次元のときと同じで入水地点からの泳ぐ経路と入水した面のなす角は60°である事が必要だけど60°になってません。 前>>80
>>54の前半と、
>>61で最小値あってるよね？ ちなみにウソだと思うなら2007 東工大 AO入試で検索してみるといい。
山ほど5+10/√3出てくるから。
これだけ時間かけてまだダメならもう無理でしょう。 前>>96
10.7735秒より10.735秒のほうが速い。 じゃあよかったじゃん。
おめでとう。
じゃあネット中に転がってる解答は全部間違ってるんだね。
すげーじゃん。イナ。
世間に転がってる解答の上を行ったんだね。 前>>97
>>98わずか5+10/√3-10.735371693=0.0381309989(秒)速いだけだけど、勝ててよかった。救えない命が救えるタイムだと思う。 >>93
ありがとうございます。
ｘ＝１０の平面（壁）から入水する場合にはｚ＝０の壁を通るルートとｙ＝０の壁を通るルートの二つがあるのを見逃していました。
そこを修正してみたら、
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.74535
最も時間がかかる位置は
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.466237 7.466237 7.466237
入水する点はのいずれか
(6.541114, 6.541114,10)
(10, 6.541114,6.541114)
(6.541114,10, 6.541114)
とういう数字になりました。
まだ、別のバグがあるかもしれません。 解析解を求めようとしましたが、きれいに出そうもないので、最後はNSolveを使いました。結果は次です。
(x,x,0)、あるいは、(10,y,y)で、水中に進入して、(p,p,p) へ向かったときに要する時間 t が最大必要時間。ただし、
x= 4.4181491667177352242257646161...
y= 6.5411105380457743031791097544...
p= 7.4662212132535098497019158523...
t=11.7453528906822212444517842198... >>101
入水角度
> asin(h/r)*180/pi # 理論値=60°
[1] 62.69019
になったから、数値解での誤差なのか、プログラムのバクの可能性も十分にあるな。 最適化のアルゴリズムをNelder-Mead法に変えて計算し直してみた。
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.69816
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.43622 7.43622 7.43622
> sim(opt$maximum,print=T) # 最遅点に最速で到達する経路を表示
Z10 Y10 X10 : 11.69816
> (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
[1] 6.074329 6.855617 10.000000
この時の入水角度は
> asin(h/r)*180/pi # 理論値=60°
[1] 59.99515
理論値と近似した！
後は、出題者の解析解と一致しているかが楽しみ。 >>102
その数値だと入水角度がぴったり６０度になりました。
> x= 4.4181491667177352242257646161
> p= 7.4662212132535098497019158523
> Scrit=c(p,p,p)
> h=p
> J=c(x,x,0)
> r=dit(Scrit,J,1)
> asin(h/r)*180/pi
[1] 60 >>97
√3の小数表示から立方体プールの方に移ればいいじゃないの？
きれいな式での解は困難ということだから、計算が二次元プール以上に楽しめると思うんだけど。 >>105
>> > (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
>> [1] 6.074329 6.855617 10.000000
あれ、こんなところで、対称性の破れが、．．．
驚きました。手抜きすべきではありませんでした。
>>102 は取り下げます。 上記は
105 ではなく、>>104の間違いです。 >>107
対称性からいえば
Z=10の平面での入水点は
（6.074329 ,6.855617, 10)
（6.855617, 6.074329 ,10)
の二つがあることになり、
どちらを経由しても
所要時間は同じになりました（まあ、当然とでしょうけど）
> f(jmpz$par[1],jmpz$par[2])
[1] 11.698156288555285
> f(jmpz$par[2],jmpz$par[1])
[1] 11.698156288555285
> 理論値は
11.69815627019646153787418090069489267584187319472412254855
です。 ちなみに方程式は4次方程式なので手計算で答え出すのは大変ですが、wolfram先生にお願いすれば二重までの根号で出るようです。
方程式自体は簡単です。
むしろ難しいのは、方程式を立式する上で、二次元の場合なら当たり前で許してもらえる事が三次元ではそこまで当たり前に思えない事。
本問では所要時間最大になる点がx=y=z上にある事を示すのがやや難しい。
今のところ持ってる解法はあまり美しくない。 前>>99訂正。
前々>>97
前々の前>>94
>>54入水角度=57.465773447629°のときが最速とわかり、
>>61救出時間=10秒735371693 >>111
所要時間の式を偏微分して極値を出すのではないの？ >>114
所要時間のなす関数は最大値を与える点で偏微分不可能です。
理由は二次元の場合と同じく、関数の定義にminが入るから。
明らかに無視できる経路を除いて最短経路になる候補が６個あり、所要時間=min{f1,f2,‥,f6}の形になる。
各々のfiは偏微分可能ですが、求める点はいずれのfiの極値にもなってはいません。
x=y=zに制限してもダメ。
手持ちの解答の方針としては
・まず６個に絞る。
・x=y=zに絞る。
・実質二個になる。
・min{f1,f2}の最大値は？
です。
６個に絞るのはめんどくさいだけ。
x=y=zに絞るところが手持ちの解はあまり綺麗でない。
以下は簡単。 あ、ウソ言った。
・６個に絞る。
・実質２個に絞る。
・x=y=zに絞る
でした。
やってる事は東工大のと同じ。 >>114
個々のfをwolfram使って偏微分しようと思っていたけど無駄なんだな。
確かに自分のプログラムコードでもminを使っている。 前>>112
>>113偏微分。
それだと思う！
入水角度θと監視員が最初にいる地点から対角線上にある救出場所までの距離xという2つの変数がある。
xが一次だから解けたのかもしれない。 >>81
単純化のためp≧q≧rとし
経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)
経路b: (0,0,0) -> (0,y,z) -> (p,q,r)
経路c: (0,0,0) -> (x,0,z) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√(x^2+y^2)/2+√((p-x)^2+(q-y)^2+r^2)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
(x/p=y/q=1-r/(√3 √(p^2+q^2))のとき)
で、これは経路a～cで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=((√2+√3)/2)p ----(1)
経路d: (0,0,0) -> (10,y,z) -> (p,q,r)
経路e: (0,0,0) -> (x,10,z) -> (p,q,r)
経路f: (0,0,0) -> (x,y,10) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√((10+y)^2+z^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y<zのとき)
t=√(y^2+(10+z)^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y≧zのとき)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√3 (10-p)+√(q^2+(10+r)^2))/2,
((q-y)/y=(r-z)/(10+z)=(10-p)/(-(10-p)+√3 √((10+q)^2+r^2))のとき)
で、これは経路d～fで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=(√3 (10-p)+√(p^2+(10+p)^2))/2 ----(2)
(1)(2)を連立させて
√(p^2+(10+p)^2)=(√2+2√3)p-10√3
これを解くと
p=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
のとき
t=(5/12)(3+√6)(5√3-4√2+√(83-32√6))
=11.69815627... >>119
(1)(2)を連立させての意味が直ぐには理解できなかったのでグラフにしてみました。
https://i.imgur.com/GG3h127.jpg wolframに
local minimum sqrt(x^2+y^2)/2+sqrt((p-x)^2+(q-y)^2+r^2) where 0<x<10 and 0<y<10
local minimum sqrt((10+y)^2+z^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y<z
local minimum sqrt(y^2+(10+z)^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y>=z
を入力したけど、どれも上手くいかなかった。 所要時間はp=q=rのとき最大 というのが私には明らかでないので
座標をいれたら所要時間を計算する関数sim2を作ってコンピュータに最大値を探索させてみた。
探索を始める初期値によって収束しないこともあるので初期値を乱数発生させて収束したら表示するように設定。
> while(opt$convergence!=0){ # 初期値を乱数発生させて収束するまで繰り返す
+ opt=optim(par=sample(0:10,3),sim2,control = list(fnscale=-1),method='N')
+ }
> opt
$par
[1] 7.436222 7.436221 7.436221
$value
[1] 11.69816
$counts
function gradient
308 NA
$convergence
[1] 0
$message
NULL
コンピュータでの探索値では収束したらp=q=rになった。 >>122
>所要時間はp=q=rのとき最大 というのが私には明らかでないので
pを固定させてq,rをp≧q≧rの範囲で動かすことを考える。
このとき、所要時間はqまたはrの単調増加関数だから明らか。 >>123
立方体でなくて直方体のときも所要時間最大の点は
原点と最遠の頂点を結ぶ線上にあるのかな？ 数値を変えて
オリンピックサイズ・プール50m×25mの水の入ったプールの一つの角に監視員を置く。
水深2.5mとする。
この監視員は世界記録で移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
をやってみたけど、最遠の頂点が一番時間がかかるという結果になったので面白みがなかった。
ただ、所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提でのプログラムなので結果には自信がない。 微分して極値を与える角度と距離だと思うんだよ。
／∥__`∥￣￣∥;;;;;;
∥∩∩ ∥ □ ∥;;;;;;
（(-_-)∥ ∥;;;;;;
（っ⌒⌒ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前>>118＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ >>125
> 水深2.5mとする。
この情報いる？
それはともかく、対角までの時間は、
75*0.0958=7.185
で、例えばプールの中心までは
(25-12.5tan(asin(9.58/46.91)))*0.0958+12.5cos(asin(9.58/46.91))*0.4691≒7.88
じゃないの？
> 所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提
そんな根拠はない、というか間違いだろう
ぱっと考えられるのが、対角の2等分線上が考え付くが、それを採用するにも根拠がいる 陸上の速度をv、水中の速度をwとし、m=w/√(v^2-w^2)とする。
プールを0<x<a、0<y<bとする。
辺y=0から入水してt秒後に到達できる領域はmx+y≦mvt、
辺x=0から入水してt秒後に到達できる領域はmy+x≦mvt、
辺y=bから入水してt秒後に到達できる領域は-y+mx≦-b+mvt、
辺x=aから入水してt秒後に到達できる領域は-x+my≦-a+mvt
である。
方程式
mx+y=mvt‥①、my+x=mvt‥②、
-y+mx=-b+mvt‥③、-x+my≦-a+mvt‥④
において
①③④を連立して得られるtをt1、
②④③を連立して得られるtをt2とすれば到達時刻の最大値はmin{t1,t2}である。 前>>126
>>54修正。
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
表記ミスがあった。計算が間違ってなければいいんだけど。 >>123
経路 a のt をqで偏微分すると
(q - y)/√((p - x)^2 + (q - y)^2 + r^2)
増加関数と言いるんだろうか？ >>131
そっちじゃなくて、tの極小値のほう
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
これは明らかにqまたはrの増加関数 >>127
立体だと複雑になるので平面で考えて
横２０ｍ縦１０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで１５．５秒で到達できる範囲を描画してみました。
https://i.imgur.com/xZrdUpX.jpg
ご指摘の通り、対角線上に所要到達時間最大点があるというのは間違いであると確認できました。 >>133
すいません、プログラムにバグを発見したので撤回します。m(__)m 気づいたバグを修正して長方形プールで描画しました。
対角線と対角二等分線をあわせて描画しました。
横２０ｍ縦３０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
https://i.imgur.com/vfPdQff.jpg
横３０ｍ縦２０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
https://i.imgur.com/WS21BMz.jpg
>127の直感通り、対角の２等分線上に所要時間最頂点が位置するようです。 >>132
レスありがとうございます。
立法体なのでp≧q≧rという仮定が許されるということと理解しました。 >81の問題を立方体から直方体に拡張して考えてみた。
オリンピックサイズ・プール50m×25mで水深2.5mの水の入った直方体プールの一つの角に監視員を置く。
この監視員は世界記録で直方体の面上や水中を移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
立方体でなくて直方体のときには、所要時間最大の点は原点と最遠の頂点を結ぶ線上にはない、ということを教えていただいたのでプログラムを組み直した。
所要時間最大点の座標
par
[1] 49.980916 24.788643 2.288643
所要時間
$value
[1] 5.552414
という数値がでてきた。 探索初期値設定により、結果がばらつくけど
多数派意見(？）は
> opt
$par
[1] 49.06521 23.86881 1.36881
$value
[1] 5.855706
$counts
function gradient
256 NA
$convergence
[1] 0
$message
NULL
になった。
確かに、この方が到達時間が長い。 >>128
③④の交点が頂点(a,b)にある角の二等分線上lなのでt1での①③④の交点もt2での②③④の交点もl上。
よくよく考えたらt1=t2だった。 >>139
ウソ書いた。
a,bの大小とt1,t2の大小は一致するでした。 前>>129問題(前スレ760)
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√((sin57.465773447629°)^3+1)=0となり極小値を与える。
すなわち向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒) xで微分してそれが0になるθ探してどーするん？
微分の意味がまるで分かってない。
結局意味もわからずやり方だけ覚えたらいいと思ってるから一つも前進しない。 前>>141問題(前スレ760)再考察。
救出する最遠方地点は監視員が最初にいる位置から対角線上x(m)にあると見て、向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√{(sin57.465773447629°)^3+1}=0となり極小値を与える。
すなわち向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒) >>143
直前のレス読んでるか？
xで微分してそれが0になるところ求めてどーするん？
それで何で所要時間が最小になるθが見つかるの？
微分というのが何か？
それで何故最小値が求まるのかという当たり前の理屈が分かってないから答えられないんだよ。
何度も解答見直した？
xで微分した。
＝0としてθについて解いた。
あれ？なんでコレで答え見つかるんだっけ？と自分に問い直してみないの？ 前>>143
>>144前スレ760を見たら、なんで答えがみつかるかを説明せよとは問われてない。
ただ最短となる時間を計算せよとある。
だから計算した。そんなけ。AO入試ってなんだ？ と思って調べたら、論文みたいだった。答えはこうじゃないかああじゃないかと思案検討し計算する姿勢が求められてるんじゃないかと思う。
なんでxで微分して答えがみつかるか知りたい気もするし、べつに知りたくない気もする。
入水角度が60°のときも計算した。60°のときは計算しやすいけど最短でということでは角度が甘いと思った。 >>145
なんで答えが微分でもとまるか書けといわれてないから書かなくていい、分かってなくていいって思ってるからいつまで経ってもデキフるようにだけならないんだよ。
思案検討ってなんで微分したら答えがわかるという事は思案したの？
してないよね？
なーんにも考えてないよね？
なんとなく最小値求める時は微分。
でもθで微分なんてできない。
よーしxで微分してみよう！
おぉできた。
60°っぽいぞ！
きっとみんなの答えより正確なハズだ！
カッコいい！オレ！
‥‥
そういうのは思案とはいわん。 >>81です。>>119さんの解答がほぼ用意してた解答です。
ひとつだけコメント。
たとえば経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)において(x,y,0)についての極小値の出し方なのですが、
これは距離関数d(A,P)のPについての全微分が
d d(A,P)=e(A,P) dP (e(A,P)はAPベクトルと同じ向きの単位ベクトル、以下同じ）
になることを用いると意味がはっきりします。
この時の所要時間Tは(p,q,r)をAとおいて陸上の速度をv、水中の速度をwとして
T = d(O,P)/v + d(A,P)/w
なので
dT = (e(O,P)/v + e(A,P)/w)dP
となります。
これが任意のz=０内のdPについて0になるのはe(OP)/v + e(A,P)/wがxy平面の法線ベクトルと平行になるときで、
すなわちe(OP)/v + e(A,P)/wのxy平面への射影が0になるときです。
これはAxyから平面へおろした垂線の足HがOPの外分点であり、
かつe(A,P)をxy平面へ射影したものの長さがw/v=1/2となるとき、すなわち∠APHが60°となるときです。
よってこの場合PはHからOの方向へPH/√3だけ移動した点なので
f1(p,q,r)=(√(p^2+q^2)-r/√3)/2 + 2r/√3/1 = √(p^2+q^2)/2 + √3/2r
が経路aの極小値です。
経路b,cは文字入れ替えるだけ、経路dについては同様に考えて
f4(p,q,r)=√((10+q)^2+r^2)/2 + √3/2(10-p)
となります。 前>>145
>>146困ったら微分。
それしかない。
60°のときを考えるのはだれでもする。けどそのまま答えは60°のときとするのは高校生まで。
大人は困ったら微分する。
60°のときじゃない、と思ってθと置いたわけで、苦しんで微分するために置いたんじゃない。
未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。 >>148
ちょっと確認させて欲しい。
> 未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。
コレは本気で書いてるのか、それともココで引き下がったらレスバに負けるから間違ってるの承知でむりくり押し通してやろうと考えてるのかどっち？
もしかしてxで微分してもいいと本気で思ってるん？
xで微分しようがθで微分しようが好きな方で微分していいと本気で思ってるの？ 前>>148
>>149どうやって解いたんだ？ と思って解きなおしたら何度やっても解けなくて、計算間違いかなぁと思ってあきらめかけた。
計算間違いじゃなくxで微分して極小値を与える角度θを出したんだとわかった。
一度はやろうとしたxとθの両方で微分するとどうなるか、またθで微分するとどうなるか、ぜひやってみてほしい。
xで微分して極小値を与える角度θを出して救出時間を出したのはまだ俺だけだと思う。今のところ正しいかどうか比べるものがない。なぜかみんな三次元がいいとか言って潜水してしまって、無人島にいる感じ。入水角度θ=60°のときより速いことは調べた。 >>150
だからxで微分しても正しい答えはでないと何度も指摘してるじゃん？
入水角が60°でない経路は最小にはなり得ません。
もし本気で出てる答え5+10/√3より小さい答えが出たと言い張るなら既出の答えの最小到達時間が最大になる点
(5(1+1/√3),5(1+1/√3))
=(7.886751345948, 7.886751345948)
に
5+10/√3 = 10.773502691896
より先に到達できる経路を明示しないとダメ。
わかる？明示？
要するにx=x.xxx‥の地点から入水したら10.77350‥より早く到達できるというx.xxx‥を一つでも見つければいい。
まぁやってごらんなさいな。 >>148
びぶんのことはびぶんでやれ、という高木貞治を想い出したよ。 7.886751345948/sin(57.465773447629deg)+7.886751345948(1-1/tan(57.465773447629deg))/2
=
10.7826518083
(10-7.886751345948)/sin(57.465773447629deg)+(10-(10-7.886751345948)(1+1/tan(57.465773447629deg)))/2+5
=
10.7759541902
いずれの経路でも 10.773502691896秒より前に到達できない。 前>>150
>>61到達時間10+t=10.735371693(秒)
＜10.7735……
入水角度θ(°)、到達時間10+t(秒)、あとは──。
>>151入水地点は、
つきあたりからの距離、
10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)に、
θ=57.465773447629°と、
xを代入するとわかる。
xは到達時間、
5+{10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)}(1/2)+(10-x/√2)(1/sinθ)=10.735371693にθ=57.465773447629°を代入し、
5+5-(5-x/2√2)(1+cos57.465773447629°/sin57.465773447629°)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
=5+x/2√2+(x/2√2)(0.637910393)-5(0.637910393)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
求めたxを代入すると入水地点もわかるはず。 こいついわれてる事全く理解してない。
真性のバカなんだな。 wolframに∂t/∂x=0, ∂t/∂y=0を解いてもらおうと
x/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-p + x)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
y/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-q + y)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
を入力すると
r = -(1.73205 sqrt(p^2 + q^2) (p - x))/p, y = (q x)/pと返ってきてx,yについて解いてもらえなかった。 xy平面において、x軸上の正の部分のみ、速度 v、その他の領域は速度 1 で移動できるものとする。
原点にいる人物が、目標地点(cosθ,sinθ) に到達すべく、移動する。
この時、より短時間で目標地点に到達するには、次の戦略αとβ、どちらが有利かを考える。
戦略α：現地点から、直接目標地点の方向へ速度 1 で移動する。
戦略β：x軸に沿って速度 v で移動する。
ε を正の小さな量とする。戦略αあるいはβ取って移動を開始し、εの時間がたった時のそれぞれの到達地点をA,Bとすると
A(εcosθ,εsinθ)、B(vε,0)
目標地点までの距離は、それぞれ、1-ε、√((vε-cosθ)^2+sin^2θ) となるが、さて、どちらが小さいか？
二乗したもの同士の差をとって比べてみると、
(1-ε)^2-((vε-cosθ)^2+sin^2θ) = 1-2ε+ε^2 -v^2ε^2+2vεcosθ-1 = ε(2v cosθ-2)+(1-v^2)ε^2
εは小さな正の量としているので、二次の項を無視すると、cosθ＞1/v で
1-ε＞√((vε-cosθ)^2+sin^2θ) となる。
つまり、目的地との方向のずれがθあるものの、v 倍の速度で移動できるとき、 cosθ＞1/v を
満たすなら、そのコースは直接目的地に向かうより有利である とえる。
この結論は、θとvのみが関与し、他の次元にも適用可。 と同時に、この類いの問題に対し、次の戦略が最速であることを示す。
現在地から目標地点へのベクトル、あるいは、その方向への単位ベクトルをｐ↑、
選択可能ないくつかの速度ベクトルｖ↑が与えられたら、
内積 ｐ↑・ｖ↑ が最大になる速度ベクトルｖ↑ に沿うコースこそ最速コースである。
この戦略に従って、四次元プールの問題を考えるなら、微分は必要なくなる。
（この戦略の背景は、微分の考え方そのものであるが、結論のみを利用するならば、微分は不使用）
目的地を、(p,q,r) ただし、対称性から p≧q≧r として考える。
この方向への単位ベクトルは(p/D,q/D,r/D) 但し、D=√(p^2+q^2+r^2)
直接この方向へ向かう場合、速度ベクトルも(p/D,q/D,r/D)なので、内積は、1
縁を進む場合は、三つの平面の内どれか。p≧q≧r という条件では、平面z=0 上に、最適コースが存在し、
それは、(2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
時刻 t まで、移動したとき、(2pt/d,2qt/d,0)に移動しているので、目的地へのベクトルは (p-2pt/d,q-2qt/d,r)
速度ベクトルは(2p/d,2q/d,0)であり、この時、この両者の角度がπ/3だという方程式を解くと、
t=(1/2)d±((√3)/6)r が得られる。マイナスの方を代入して整理すると、残りの距離は((2√3)/3)rで、
トータル (1/2)d-((√3)/6)r+((2√3)/3)r=(1/2){√(p^2+q^2)+(√3)r} の時間がかかる 以上は、向こう側の「縁」を利用しない場合の最速コースについての議論。
向こう側の縁を利用する場合は、まずは、平面x=10へ下ろした時の足の座標、(10,q,r)へ向かうコースを考える。
立方体の表面しか移動できないので、展開図上で考えることになるが、直角を挟む2辺が10+rとqである直角三角形の
斜辺上にあたるコースを辿りながら、向こう側の平面に到達したときに、(p,q,r)を目指すことになる。
これは、無限に広がるプール、ただし、三つの平面x=0、y=0、z=0上だけは、
速度2で歩けるという条件で、(10+r,q,10-p)を目標にするのと同じ事になる。
こう考えると、先ほどの結果がそのまま使えて、このコースをとった場合のトータル時間は、
(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}
最も時間がかかる地点の座標には、(1/2){√(p^2+q^2)+(√3)r}=(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}
という条件が加わる。面倒になってきたので、細かいことは省略するが、上の式で、p=q=rとして
方程式を解くと、p=q=r=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
（これは、>>119さんの結果と一致）
最後端追ったが、以上は、微分を使わない方法である。 前>>154計算のつづき。
5+x/2√2+(x/2√2)(0.637910393)-5(0.637910393)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
x=(5-3.189557196+11.8614066-10.735371693)/(0.838728105-0.353553391-0.225535382)
=11.309854(m)──救出地点までの直線距離
つきあたりから入水地点までの距離は、
10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)=10-(10-11.309854/√2)(1+0.637910393)
=6.71971502(m) (7.886751345948,7.886751345948)に10.773502691896秒以内に到達できる地点を探せと言われて7.886751345948の全く出てこない式を立てるのはどういう頭の構造してんの？ >>158
p≧q≧r という条件では、平面z=0 上に、最適コースが存在し、
までは理解できるのですが、
入水する点の座標が
(2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
が最適とはどうして分かるのでしょうか？ 前>>160
>>161
救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
図を描いて8mぐらいかなぁと思ってたからいい値だと思った。
7.88……だと入水角度も入水地点も変わると思う。
7.88……がどうやって出た値かだよね。
xとθを両方とも微分するか、θで微分して、
x/√2=7.88……ってことなら、あるいはありうるかも。わるい値じゃない。 >>143
まぁしつこいからマジメにつっこむと
>これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、
xで微分してそれが0になるθとはつまり到達地点(x,x)がどこにあろうと到達時間が一定であるようなθを探している事になる。
そんな地点は存在しないし実際wolfram大先生にグラフ書いてもらってもそんなθは存在してない。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2Fsin%28x%29%2Bcos%28x%29%2B1%2F2%3D0&;lang=ja
にもかかわらずどこからかコレが解
θ=57.46773447629
なる謎の数値を導き出す。
そしてこの謎の数値を元にした到達時間の最大値を出して、それが既出の数値より小さいから既出の値は間違ってると騒ぎ立てる。
そしてだったら既出の最大地点
(7.886751345948, 7.886751345948)
に既出の最小値10.773502691896より早く到達できる経路を明示してみろというと、この7.886751345948が全く出てこない式を立式して10.773502691896より小さいと言って得意顔。
バカさの次元の桁が違う。 >>162
>> 入水する点の座標が
>> (2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
>> が最適とはどうして分かるのでしょうか？
なるほど、紛らわしい書き方をしてしまったようです。申し訳ありません。
(2p/d,2q/d,0) というのは、入水地点ではなく、速度ベクトルです。
原点から、この方向に、時刻0 から 時刻 t まで移動すると、
(2pt/d,2qt/d,0)
に到ります。この地点から、目的地をみると、(p-2pt/d,q-2qt/d,r)という方向にあります。
このまま、この速度を維持したまま、進んだ方がいいか、戦略をβからαに切り替えた方がよいか、
その判定に用いるのが、
「cosθ＞1/v」
という式です。
この式が不成立になる時刻を求めるための、方程式が
((p-2pt/d,q-2qt/d,r),(2p/d,2q/d,0)) =(1/2)*|(p-2pt/d,q-2qt/d,r)|*|(2p/d,2q/d,0)|
です。（左辺は内積の式であり、右辺は、ベクトルの大きさの積とcos(π/3)で構成されています。）
ここで求まった時刻を、(2pt/d,2qt/d,0) に代入すると、入水地点がわかります。 >>143で救出までに最も長い時間
> 到達時間10+t=10.735371693(秒)
がかかる、と言っている点の座標はどこなん？
まあ、どこだろうが
> θ=57.465773447629°のとき、
の角度で行くより短時間のコースはあるわけだが 前>>163
>>166救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
救出地点を座標でいうと、最初に監視員がいる地点を原点(0,0)、つきあたり方向にy軸をとり、
-xの方向に直角に曲がってy軸から6.71971502mの地点から、
θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
(x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。 >>167
> θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
じゃあその(7.99727446, 7.99727446)の地点に60°で見込む点
(10, 6.841000330368)
から入水して何秒かかるかちゃんと計算してみたかね？
その数値は10.735371693より大きいかね？
そういう当たり前の確かめを一つもしないからダメダメなんだよ。 >>167
座標
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
までの最短時間は
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(π/3))/2+(10-7.99727446)/sin(π/3)/1≒7.3305
になり、、
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(θ))/2+(10-7.99727446)/sin(θ)/1
θ=57.7465773447629°
の
> 10.735371693秒
より短いな 前>>167
>>168第Ⅰ象限には水がないという設定です。
最速になる角度を探したんでほかの角度は60°と90°と45°ぐらい。
入水地点を決めてから角度を決めたんじゃなく、微分して角度が決まってから入水地点を計算した。 >>170
こんだけ言われてまだ何言われてるか理解できてないの？
どこまで頭悪いの？
みんなが60°で入水が最速である理由をあれだけ手を変え品を変えいろんな方法で示してたよね？
そのどれ一つとして理解できなかったとしても、そして自分が60°以外の角でより早い経路をみつけたとしても、最低限まず自分が見つけた地点に最速でいける方法がその角度なのか確かめてみろと言ってるんだよ。
なんでそんな簡単なことがわからん？
何よりそんな事まず自分で思いつかないの？
君のそのアポレスがどんだけスレの流れ乱してるからわからんの？
そのアポレスいつまで続けるん？
もう出てけよ。 前>>170
問題見て最初に思いついたのがたしか60°だった。
縁と水中で速さが2:1だから。
その直感は正しいと思ってたけど、微分してθ=57.465773447629°と出て、到達時間を計算した。まだこの段階で半信半疑。
むしろ60°のとき計算したら10秒735切るぐらい速いはずと思って計算したら、
10秒9……って出て、あれ!? ってびっくりした。
θ=57.465773447629°のほうがθ=60°のときよりコンマ2秒速かった。
今は結果を受け入れてる段階。 >>165
解説ありがとうございました。
最後の方程式をWolframに解いてもらったら
人間技では扱えそうにない答になりました。
Solve[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r} . {2 (p/d), 2 (q/d), 0} == Norm[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r}] (Norm[{2 (p/d), 2 (q/d), 0}]/2), x, MaxExtraConditions -> Automatic]
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 - sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 - d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 + sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4)) >>174
なぜ FullSimplify しない？
X=の最初の式を%とすると
FullSimplify[%, d > 0 && p > 0 && q > 0 && r > 0]
1/6 d (3 + (Sqrt[3] r)/Sqrt[p^2 + q^2]) >>174
165です。これは自戒を含めてのコメントになりますが、あの方程式は、手で簡単に計算できます。
お試しください。 >>175
ありがとうございます。
その機能をはじめて知りました。 >>174
「お試しください」と書きましたが、実際にお示しします。
あの戦略からの要請、二つのベクトル、P-Vt と V のなす角度がπ/3であるという方程式は
(P - V t).V=(1/2)*|(P -V t)|*|V|
と書けます。ピリオドはベクトルの内積、絶対値記号はノルムを表す記号としてます。
>>165では、無理矢理成分表示で、式を表していたため、見苦しくなりましたが、最初からこう書けばよかったですね。
|V|=2、P.V=p*(2p/d)+q*(2q/d)+r*0=2d、P.P=p^2+q^2+r^2=d^2+r^2 に注意して変形すると
P.V-t*V.V = |P -V t|
2d-4t = √(P.P-2t*P.V+4t^2)
16t^2-16td+4d^2=d^2+r^2-4td+4t^2
12t^2-12td+3d^2-r^2=0
t=(1/12){6d±√(36d^2-12(3d^2-r^2))}=(1/12){6d±(2√3)r}
と、言う具合に、簡単に t を求めることができます。 二次元平面上に無限に続く、1オームの抵抗で作られた正方形の格子において、
ナイトの動き(桂馬飛び)の位置にある2つのノード間の抵抗は
4/π-1/2 オームであることを示せ。
（Google入社試験 - 難易度を下げるために一部簡単化） >>179
コレは電気抵抗の知識なくても解けるの？
Googleの試験だからそこは知らなくても推定しろなのかな？
とりあえずググったら長さに比例して断面積に反比例するというのしか見つからない。
https://kenkou888.com/category21/dousen_teikou.html あれ？
格子点と格子点を結ぶように1Ωの抵抗が繋がってるという意味？
もしかして？ >>181
そうです。
>>179
の補足ですが、1オームの二次元無限格子の隣接ノード間の抵抗は
対称性の意味を知っていれば中学生で出せます。
より一般的には、任意の二つのノード間の抵抗は
有理数＋有理数×1/πであらわされることを示してください。 >>180
前提となる物理知識は、中学生レベルのオームの法則とキルヒホッフの法則のみです。 つまりijにおける電位をe[i,j]として(0,0)から-1A、(2,1)に+1A流入してるとして
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]
=δi0δj0-δi2δj1
のときのe[2,1]-e[0,0]かな？
留数定理の香りがする。 >>178
どうもありがとうございました。
d=√(p^2+q^2)の情報なしでwolframに入力したので複雑な答で表示されたのだと理解しました。 >>184
ヒント
ローラン展開による母関数
E(z,w)=Σ[i,j:整数] e(i,j) z^i w^j 前>>173だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。 >>187
前スレで
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/807
が偏微分で極値を出している。
プログラムでの数値解と合致した。
立方体の方の計算にうつったら。
オリンピップールの直方体の方が計算のしがいがあると思う。 >>188
前スレの807を書いた者だが、極値は二つ出たが、807では採用する方を誤ってしまった。
訂正内容を824に記してあるので、807を見る場合は、824もセットで見て欲しい。 >>187
偏微分以外は全部決め打ちと思ってる時点でもうこのスレでレスできるレベルに到達してない。 > だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
イナ以外で60°という角度を使っている人は、思い付きだけで使っているわけでなく、
書くまでもなく計算したり、スネルの法則等の定理を用いて60度を導出しているんだからな タクシー料金の改訂
# 京浜地区
# 旧運賃（小型)
F1=740 # 初乗運賃 Fair
D1=2000 # 初乗り距離 initial Distance
C1=90 # 加算運賃 Charge by distance
B1=288 # 加算距離 charge By distancce
# 新運賃
F2=500
D2=1200
C2=100
B2=264
https://travel.watch.impress.co.jp/img/trw/docs/1224/505/02_o.jpg
距離と新旧運賃および差額をグラフにしてみた。
運賃改定率が8.88％と記載されているのだがどうやって計算するんだろう？ >>187
横に１０ｍ走って縦に方向を変えてプールサイドからθの角度で座標(p,q）に向かって飛び込む時の所要時間は
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
角度を決めたら縦方向の走行距離が決まってしまう。
これを微分すればいい
D[5 + (q + (-10 + p) Cot[θ])/2 + Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2], θ] をWolfram先生にお願いすると
導関数は((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]
んでもって
solve ((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]==0 for θ
導関数が０になるθを求めてもらうと
θ = π/3 θ = -π/3
マイナスだとプールに飛び込めないから、θ = π/3
目的の座標に関わりなく６０°と算出されました。 >>192
8.88%をだしたいのなら、例えば、
100m利用、200m利用、...、6600m利用、6700m利用
の料金の合計を、新旧で比較すると、8.8位のアップになる。
1200m以下だと、新運賃は240円安い
1800m位から、逆転し、その後、じわじわ差が大きくなり、
4200m位から、240円位高くなる。
100mから4200m位をまんべんなく利用する人がいたとすると、この改定により、
利用額の増減はほとんど無いという解釈も可能。
距離が大きくなれば、値上げの効果がどんどん大きくなる。
最終的には、1m辺りの加算運賃の比 90/288 ： 100/264 = 33:40
なので、21.212121...%の上昇に近づく。
それが、6.7km辺りでは、8.8%だというだけ。
つまり、8.88位になるよう、最小距離100mと最大距離を6.7kmを恣意的に選んだだけ。
文頭の説明には説得力は全く無い。
恐らく、距離別利用割合のデータに基づいて、新旧の料金比較したのだろう。
この情報が無ければ、8.88%等の数値は出せないと思われる。 >>179
でけたかも。
まず(0,0)以外で漸化式
4e(i,j)=e(i+1,j) + e(i-1,j) + e(i,j+1) + e(i,j-1)
を満たす列を探す。
e(i,j)=∫[|x|,|y|<π] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
がこの条件を満たす。
また|i|,|j|→∞で0に行く。
そこで点i,jに電荷はe[i,j]-e[2-i,1-j]となる。(多分解は一意、ノーチェック)
e[0,0]=0, e[2,1]=32π-4π^2
であるから電位差は64π-8π^2。
e[1,0]=4π^2だから原点から隣接する4点に計16π^2の電流が流れる。
よって求める抵抗値は(32π-4π^2)/16π^2=4/π-1/2である。
またe[i,i]が
e[i,i]=∫(1-cosix))/(1-cos(x)cos(y))dxdy
であるが、yについて先に積分すると
e[i,i]=π∫(1-cosix))/|sin(x)|dx
となり、この値はπの有理数倍になる。
コレと漸化式によりe[i,j]はπとπ^2の有理係数の線形結合である。□
e[i,i]の計算が全く思いつかなかった。
e[i,j]の母関数って作れるのかな？ >>194
レスありがとうございます。
距離と新旧運賃と差額のグラフのアップロードを忘れておりました。
https://i.imgur.com/bElGqRG.jpg
与えられたデータだけからは平均値上げ率は算出できない思っていたのが確認できました。
ある距離までの乗客数が同じと仮定したときの平均の値上げ率をグラフにすると
https://i.imgur.com/2PkwY3n.jpg
> which.min((crs-0.0888)^2)
[1] 6869
> pir(6869)
[1] 0.08882413
6．9キロくらいの平均で8.9％の値上げ率になりました。
計算したひとはこういう数字を使ったのでしょう。 前>>187
>>193
角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。θで微分するか、θとxの両方で微分するかってとこですか。 >>197
https://i.imgur.com/reg8DOz.jpg
Oから出発してAを経て角度θで入水してS(p,q)に泳ぐとする
AJの長さをxとすると
tan(θ)=(10-p)/(q-x)だから
x=q-(10-p)/tan(θ)
となり、
所要時間の計算からxは消去できて
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
となる。
この極値を与えるθはp,qによらないのは>193に書いた通り。 >>197
>角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。
違う、角度を決めたら走る距離も泳ぐ距離も決まる 走る距離 10+((p-10)/tan(θ)+q)
泳ぐ距離 sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2) >>179の解の一意性の証明ができないなぁ。
昔これエレガントな解答を求むかなんかで
4a[ij]=a[i+1j]+a[i-1j]+a[ij+1]+a[ij-1]
をみたす有界な列は定数に限る事を示せ
の形で出題されて2chにえらいエレガントな解答が上がって数セミに載ったっていう事件があったけど、あれどんな証明でしたっけ？
誰か覚えてます？ >>195
正解です。よく特殊解を探せましたね。
その特殊解を(i',j')個すらして符号を変えて重ね合わせて正規化すれば、
2点(i',j')--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式が出ます。
想定していた解答は、2点(2,1)--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]=δi0δj0-δi2δj1
にexp(√-1 (ix+jy))をかけてi,jで和を取ると
(exp(-√-1 x)+exp(√-1 x)+exp(-√-1 y)+exp(√-1 y)-4)E(x,y)=1-exp(√-1 (2x+y))
(ここで E(x,y)=Σ[i,j:整数] e[i,j] exp(√-1 (ix+jy)) と置く)
より
E(x,y)=(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4)
これをフーリエ級数の公式(留数定理)
e[i,j]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π]E(x,y)exp(-√-1 (ix+jy))dxdy
を用いて逆変換すると、(2,1)--(0,0) 間の電位は
e[2,1]-e[0,0]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π](exp(-√-1 (2x+y))-1)(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4) dxdy
=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(2x+y))/(2-cosx-cosy) dxdy
=4/π-1/2
一般に(0,0)--(i,j)間の抵抗値は
(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(ix+jy))/(2-cosx-cosy) dxdy
=(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(i(x+y)+j(x-y)))/(1-cosxcosy) dxdy
=(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
(0,0)--(i,i)間の抵抗値は
(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x))/|sinx| dx
=(2/π)(1+1/3+1/5+1/7+...+1/(|2i|-1)) >>200
その解は
f(x,y)=Σe[kl]exp(ikx+ily)
が収束すると仮定して(仕事率の有限性から二乗は収束する)みたすべき関数方程式で見つけました。
見つかっちゃえば解答はコレが解だでいいハズなんですが、級数の収束性とかが自明でないのでコレのみが解なのか示せてなくて気持ち悪い。
まぁ入社試験ではそこまで求められないんだろけど。
>>201のエレガントな解答求むのやつは確か与式が等号でなくて不等号だったかな？
しかしそこから等号の有界な非自明解の存在が必要性で出てきて矛盾を導くという流れだったような。
検索しても出てこないなぁ？ >>202
補足
特殊解(原点に8π^2の電流を注入した解)
∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=4π∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
は|i|=|j|で 4πΣ[n=1,|i|] 1/(2n-1) になって |i|=|j|→∞で発散します。
一方、2点間(0,0)--(2,1)で符号を変えて重ね合わせた解((0,0)--(2,1)間に8π^2の電流を流した解)
∫[0,2π]∫[0,2π](cos((i+j)x)cos((i-j)y)-cos((i+j-3)x)cos((i-j-1)y))/(1-cosxcosy)dxdy
=4π∫[0,π](cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|-cos((i+j-3)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j-1|)/|sinx|dx
はリーマン・ルベーグの補題より|i|,|j|→∞で0に収束します。
ちなみに、3次元の無限格子ではこのような発散は起こりません。 隔離中のクルーズ船では
船内の換気が共通らしいから13日後に発症した奴がいるとその近くの部屋のやつはプラスで14日隔離しないといけない
それが今の船内の状況という。
こんな問題を考えてみた（答は自分でもまだ持ってません）。
計算には追加の設定がいるかもしれません。
両隣のどちらかが感染したら14日延長、どの部屋も1日で感染する確率pは1%
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
発症するか、隔離期間が終われば下船できる。全員定員１の個室として客と乗務員を合わせた人数nは3000人。
クルーズ船から全員下船できる日数の期待値は？ >>190
正解が出てから誤答を連投する芸人をどう納得させるかというゲームだと思って俺は楽しんでる。 部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
どの部屋にも両隣があると言う意味。
長方形に意味なし、円形配置でも同じ。 もし 4a[i,j] = a[i,j+1]+a[i,j-1]+a[i+1,j]+a[i-1,j] =: 4(Δa)[i,j] が全ての(i,j)で成り立つ状況なら、
閉領域[-n,n]^2に属する格子点(i,j)全体におけるa[i,j]の最大値、最小値は、
どちらも辺∂([-n,n]^2)上でとらなければならないから、一意性はこれが鍵になったりするのかなあ
状況的にはリウヴィルの定理に似てるから、その証明と同じ手法が使えたりはしないだろうか ある1点のみで微分可能であり、他の至る所で微分可能でないような関数の例を挙げよ。 f(x)=x^2 (x: rational)
. =0 (otherwise) 前>>197
θで微分するのとθとxの両方で微分するのとどっちが妥当か考えてみたい。 >>205
とても解析的には解けそうもないのでシミュレーションで計算してみた。
１０万回のシミュレーションで平均値
> mean(RE)
[1] 57.942
と計算された。 >>205
１日で新たに3人ということなので感染確立を0.1％にしてシミュレーションしたら。
> k=1e4
> RE=replicate(k,sim())
> mean(RE)
[1] 30.8222
全員が下船できるのは１か月後という予想になった。 >>208
それだな。
格子点の集合Sn={(k,l) | |k|+|l|≦n}を考えるとき任意のx∈Snに対して∂Sn上の関数w(y)でw(y)∈[0,1]Σw(y)=1、e(x)=Σw(y)e(y)を満たすものが存在する。
特にmax{|e(x)| ; x∈Sn}= max{|e(y)| ; y∈∂Sn}。
証明はnについての帰納法。 >>205
シミュレーションで全員下船までの日数と1日の感染確率の関係をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/u1hsEa4.png
ｐを大きくするとシミュレーションが終わらない。
p=0.9999とかすると1日で全員下船と瞬時に終わるけど。 前>>211
初めの座標のとり方から、文字の置き方まで人の数だけ異なる解法があっていいと思う。
4sin^4θ+4sin^3θ+5sin^2θ-4=0
シュクメルリの定理によりθ＜60°みたいな決定的な式をみつけたい。 ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
このとき、最後の児童が自分の座席に座れる確率は、クラスの児童数にかかわらず一定であることを証明せよ。 >>218
シミュレーションしてみたら、0.5前後の値が返ってきた。
seat.n <- function(n){ # n: 生徒の人数
s=1:n # 残り座席番号
s1=sample(s,1) # 最初の生徒１の座る席番号s1
s=s[-s1] # s1を残り座席から除く
for(i in 2:(n-1)){ # 生徒２から生徒n-1まで
if(i %in% s){ # 生徒iの座席iが残っていれば
s=s[-which(s==i)] # その座席をsから除く
}else{
ls=length(s) # 残り座席数 length of s
si=sample(ls,1) # 1:lsの中から1個選びsiとする
s=s[-si] # si番目の座席を除く
}
}
s==n # 生徒ｎの席番号はｎかの真偽を返す
}
sim <- function(n,k=1e4){
mean(replicate(k,seat.n(n)))
} nを３から５０までに変化させて最後の児童が自分の座席に座れる頻度をだしてグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/Ad8GyDJ.png >>217
>人の数だけ異なる解法があっていい
そして、正しければ答が一致する。 >>218
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が正しい席にすわる)=1
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の最後の生徒の席にすわる)=0
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初と最後の生徒の席以外の席にすわる)=1/2 (∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
∴ p(最後の生徒が正しい席にすわる)=1/2。 >>179の問題は自分的には納得できたのだけど>>201で書いたエレガントな証明が思い出せなくてムカつく。
ネットで検索すると、やはりあるのはあるはず
この↓インターネット上の匿名氏の証明。
誰か知りませんか？
http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/math/tmp/mzs/home.html
というのが有名な雨宮問題であり、長年初等的証明は懸案であった。もともとは一松信による英語本の問題であったが、雨宮が初等的解法の存在を数セミの「エレガントな解法を求む」に出題したのである。最近では
０．もともとの英語本の著者による位相空間の端点理論を使う証明
１．名古屋大学の山田氏による証明
２．インターネット上の匿名氏の証明
３．（有界な場合のみ通用する）関数解析的証明
が存在することが知られている。 前>>217
xを+にとったのはいい。
もう一度考えてみる。 51.56095029371006087°
前>>225
うまく決まらないな。 >>218
m人が残っていているとき、このうち何人分の正しい席が残っているかと考えると、
m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
なぜそのようなことが言えるか？
m人、残っている状態で、ある人物Ｘがいて、自分の席に座ろうと、自分の席があるであろう場所に向かい、
他の生徒が座っているのを見たとする。問題では、全ての生徒が気弱設定なのかもしれないが、この人物Ｘは
たまたま強気で、「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」と追い出したとする。
この追い出された人物は、『自分だって本当の席に座りたかったんだ』と心の中で反論し、本当の自分の席に
向かい、さっき自分が言われたのと同じ台詞「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」を言って、
憂さを晴らした。これが繰り返されるとどうなるか？
最初にバスに乗り、適当に座った人物、以後これをＡと称すが、Ａだけが追い出される。
この追い出し作業の間、空席には、全く変化は無いし、Ａ以外、全て正しい席に座っている。
困ったＡは、残った席の中から、適当な席を見つけて座ったとする。
さて、ここで、Ａが座った席。これを、文頭で登場した人物Ｘを、問題通り気弱設定にして、
自分の席が他の人物に占拠されていて仕方なく適当に選んだ席に置き換えてみよう。
何が違うか？何も変わらない。
問題では、バスに最初に乗り込んだ人物が、自分の席が書かれた番号札を無くしたことになっているが、
残り、m人が残っている状態で乗り込んだ人物が、番号札を無くしていたのと同じ。
最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。 あ、間違った。
×：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
×：かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
○：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
○：かつ、残りの席から、正しい席を選んだ確率に等しいとして計算できる。つまり、１／２である。 >>223
>>222 の解答を丁寧に書くと
人数がn人のときの最後の人が自分の席に座る確率をp[n]として帰納法を用いる
n=2のとき明らかにp[2]=1/2
n>2のときp[n-1]=...=p[2]=1/2と仮定すると
1人目が自分の席に座る確率 = 1人目が最後の人の席に座る確率 = 1/n, 1人目が2からn-1人目の席に座る確率 = (n-2)/n
・1人目が自分の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 1
・1人目が最後の人の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 0
・1人目がk人目(2≦k≦n-1)の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = p[n-k+1] = 1/2
従って
p[n]=(1/n)*1+(1/n)*0+((n-2)/n)*1/2=1/2 >>222
>(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
この場合
2人目～最後の置かれた状況は1人目～最後の場合と異なっているけど帰納法使えるってなんで？ >>231
1人目が2人目の席に座った場合、2人目は名簿を持っていないのと同じ状況になるから >>232
1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合の2人目の人はその可能性がないでしょ？ ああそうか1人目の席に座る可能性があると言うことか
わかった >1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合は最後の席まで問題なく正しく決まり、条件付き確率は1になる(だから解答は３つの場合分けをしてある) 前>>227計算に自信ない。極値与えるθに理由ない。
救出時間f(θ)=5+{x-(10-x)cosθ/sinθ}(1/2)+(10-x)/sinθ
=5+x/2-(5-x/2)cosθ/sinθ+10/sinθ-x/sinθ
=5+x/2-5cosθ/sinθ+xcosθ/2sinθ+(10-x)/sinθ
f'(θ)={5sin^2θ-(-5cos^2θ}/sin^2θ+(-xsinθ2sinθ-xcosθ2cosθ)/4sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
=5/sin^2θ-1/sin^2θ+10cosθ/sin^2θ-xcosθ/sin^2θ
=4/sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
f'(θ)の分子=0より、
2+5cosθ-xcosθ=0
xcosθ=2+5cosθ
x=2/cosθ+5
などかはしらねθ=60°と仮定すると、
x=2/(1/2)+5=4+5=9
f(60°)=5+{9-(10-9)cos60°/sin60°}(1/2)+(10-9)/sin60°
=5+(9-1/√3)(1/2)+√3/2
=5+9/2-1/2√3+√3/2
=19/2+1/√3
=(57+2√3)/6
=10.0773503…… >>236
心配するな。
お察しの通り間違ってる。 >>235
それも入れて2人目～で同じ状況でないといけないよ
で2人目には1人目の席に座る可能性があって
その場合が1人目が自分の席に座る場合と同様の展開になるってわけ
そのつもりでなかったの？ >>224
多分こんな感じの流れで示すことはできそう
(Δa)[i,j] := (a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1])/4
と定めると、(Δ^(2n))a を展開した時の係数は ( (cosx+cosy)/2 )^(2n) を展開した時の係数と同一視することができ、
特に e^(i(2px+2qy)) の係数 c[p,q] は次を満たす：
c[p,q]=0 when |p|+|q|>n,
c[p,q]=c[p,-q]=c[-p,q],
|p|≧|p'| かつ |q|≧|q'| ならば c[p,q]≦c[p',q'].
これより (Δ^(2n)a)[0,0] - (Δ^(2n)a)[2,0] の各係数の絶対値の和は
=2Σ_(p,q∈Z, p≧0) |c[p,q]-c[p+1,q]|
=2Σ_(q∈Z) c[0,q]
=:S_n→0 (as n→∞)
であるから、配列a[i,j]が Δa=a かつ任意の(i,j)について |a[i,j]|≦M を満たすならば、
|a[0,0]-a[2,0]|≦MS_n (for∀n) より a[0,0]=a[2,0].
同様にして a[i,j]=a[i,j+2]=a[i+2,j] が導けるから、あとは容易。 >>240
いや、残念ながら雨宮の問題で仮定できるのは正値だけ、上の有界性は仮定できないのです。 ちなみにこの結果は、例えば原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列aを求める時にも使える。
この場合、そのようなaの具体例の一つは>>195で挙げられているのでa'とおくことにすると、
もし仮に原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列 a'' が a' とは別に存在するならば、
定数cを適切に定めれば a~:=a''-ca' が全ての格子点で Δa~=a~ を満たす有界配列になるため、a~は定数。
すなわち、a'' は a' と定数の線形結合でなければならない。
同様にして、あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せることがわかる。 前>>236
>>218
生徒数をxとすると、
1/2じゃないかな。勘で。 >>244
いえいえ、少なくとも有界ケースについては定数解しかないという話は雨宮の問題はともかく>>179の問題には使える。
何故ならオレは物理そんなに詳しくないから自信ないけど流石に系において各点の電位は正電極より低く負電極よりは高いのはほぼ自明と言って良さそう。
むしろ無限遠で電位が0の方がよっぽどあやしい。
だから実は>>179の問題解くにはキルヒホッフの法則とオームの法則以外にその辺の知識もいるっちゃいるんだよな。 >>239
より丁寧に説明すると、誰も座ってない状況から
場合1: 1人目が1人目(自分)の席に座る場合 (全員正しい席に座れる)
場合2: 1人目が2人目の席に座る場合 (2人目がランダムに選ばなければならない)
場合3: 1人目が3人目の席に座る場合 (2人目は正しい席に座れて、3人目がランダムに選ばなければならない)
...
場合n-1: 1人目がn-1人目の席に座る場合 (2人目からn-2人目は正しい席に座れて、n-1人目がランダムに選ばなければならない)
場合n: 1人目がn人目(最後の人)の席に座る場合 (n人目は正しい席に座れない)
の場合分けを考えます。この場合の確率はすべて等しく
P(場合1)=P(場合2)=...=P(場合n-1)=P(場合n)=1/n
であり、最後の人が座れる条件付き確率は
P(n人目がn人目の席に座る|場合1)=1
P(n人目がn人目の席に座る|場合2)=p[n-1] (∵2人目がランダムに座る座席は1人目,3人目,...n人目のn-1席⇒n-1人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合3)=p[n-2] (∵3人目がランダムに座る座席は1人目,4人目,...n人目のn-2席⇒n-2人の状況に還元)
...
P(n人目がn人目の席に座る|場合n-1)=p[2] (∵n-1人目がランダムに座る座席は1人目,n人目の2席⇒2人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合n)=0
となります。そしてp[n]を計算すると
p[n]=P(n人目がn人目の席に座る)
=Σ[k=1,n]P(n人目がn人目の席に座る|場合k)P(場合k)
=(1/n)+Σ[k=2,n-1]p[n-k+1](1/n)
=(1/n)+(n-2)(1/2)(1/n) (∵帰納法の仮定p[n-1]=p[n-2]=...=p[2]=1/2より)
=1/2 >>247
1人目がk人目(k>1)の席に座る場合
2人目からk-1人目までは自分の席に座るから
k人目が1人目と同様の状況になるので帰納法の仮定が使える
ただしそこでk人目が1人目と同様の状況とは
k人目が1人目の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと
k人目が座るべきだった席には1人目が座っているから今ある席からランダムに席を選ぶしかないということが
1人目が自分の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと今ある席の中からランダムに席を選ぶしかないということと同じということ ／∥__`∥￣￣∥彡ミ､
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川
（ (`)∥ ∥цc_)
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＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼前>>243偏微分とかいっちょ前に言いたげだけど要は1対2対√3の三角定規当てれば小学校低学年で解けるってことだからな。 >>218
帰納法使わなくても簡単に解けると思う。
最後の人の席をL、最初の人の席をFとする。最後の人はLに座れば勝ちとしよう。
最後の人の勝利条件は「LよりFが先に座られる」ことで、敗北条件は「FよりLが先に座られる」こと。
最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける（最初の人や自分の席が座られている人の場合はFもLも等確率で座られるし、自分の席が空いている人の場合FもLも座られる確率は0）。
よって、勝利条件と敗北条件が等価なので答えは1/2。 各人の座る席が正しいか正しくないかという考察ほぼほぼ無しで解けるの凄く美しいね >>228
の解答だが
> m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
において、m-1人の正しい席が残っているときしか考慮してないように思うのだが...
m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
このときXは番号札を持っている状態に相当する
もし勘違いだったらすまん >>218
児童の数をn人とする
円周上にa1からanまでn個の点をとり、
これらをいくつか結んでa1を頂点に含む内接多角形をランダムに作る
（ただし便宜上、１角形と２角形も認める）
その多角形がanを頂点に含まない確率と同じ >>250
そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。 >>253
本当にそのふたつの間に保測写像ある？
問題文の方は分母に1～nまでなんでも出てくるけど内接多角形の方は分母に二冪しか来ないけど？ >>255
単純に多角形の数を数えて
anを含むk角形とanを含まないk-1角形の数が等しいので
全体として半分ずつになるって考えたんだがダメかな 前>>249前にx/√2にしてたx座標をxにして解きなおした。
最初に監視人がいる位置から救出地点(x,x)までの距離はx√2(m)
縁を端まで5秒、直角に曲がり、
{x-(10-x)/√3}(m)の地点まで、
{x-(10-x)/√3}(1/2)秒で行き、進行方向に対して60°の方向に飛びこんで泳ぎ、対角線上を泳いできた監視人と同時にアタックした。
(_(`.)っヾ(゜o゜)ノﾞc(`e'!彡
~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~
救出時間で立式すると、
x√2=5+{x-(10-x)(1/√3)}(1/2)+(10-x)(2/√3)
x√2=5+x/2-10/2√3+x/2√3+20/√3-2x/√3
x(√2-1/2-1+4)=5-10/2√3+20/√3
x=(30+10√3)/(3+2√6-√3)
=7.67326988……
x√2=10.8516423……(秒)
前にこの値出して最速じゃないとなったやつじゃないか。 >256
さぁ？
例えば6人だとして
325461
とすわる確率は
1/6x1x1/4x1x1/2
でこれは最後の人が自分の席に座れない場合にカウントされる軽率。
このような事象を全部足し合わせて1/2になる事を示せればいいといえばいい。
コレに3→5→6→3と結んで四角形と対応させてもいいけど確率は六角形から何点か好きに選ぶ1/64とはズレる。 >>256
すまん訂正
anを含むk角形ができる場合とanを含まない(n+1-k)角形ができる場合が対応してるんだった >>256あ、でもこの多角形論法はうまくやると1/2説明できるね。
素晴らしい。 前>>257
>>237
どっかで見覚えがある数値だと思ったら、>>31ですでにあってたんじゃないの？ >>252
最初の2行は、空席の中にせいぜい一つの席しか、過ちがないということを言いたかった。
「なぜそのようなことが言えるか？ 」と書き、主題をこの点の説明に当てている。
そして、その説明の延長として、
「自分の番号札を無くしたのが、1番目の人か、（後ろから数えて）m番目の人か、区別できない」
点を指摘し、m=2の時を使えば簡単に確率の計算ができるので、それを使って答えを求めている。
状況を、「m-1人の正しい席が残っている」場合と「m人全ての正しい席が残っている」場合
に分け、それぞれについて、説明を加えたわけではない。
m人が残っている状態で、「m-1人の正しい席が残っている」確率と「m人全ての正しい席が残っている」
確率を求め、数学的帰納法を用いて、答えを求める方法もあるが、>>218では、その手段を用いていない。
>> m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
>> このときXは番号札を持っている状態に相当する
これは、Xが登場するまえのだれかが、自分の席が占拠されているのを見て、適当な席に座った。ただし、
その席がたまたまＡの席であって、それ以降に乗車する人たちへの悪影響がこの時点で断ち切られている状況にあたる。
もちろん、一番最初に乗車したＡ自身が、適当に座った座席がたまたま、本来のＡの席であることも
「含まれ」はするものの、「ＡがＡの席に座る」には完全対応はしない。
繰り返すが、「ＡがＣ、ＣがＧ、ＧがＡ」のように解決した場合であり、これには、「ＡがＡ」も含まれる。 >>254
> そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
> 例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
そのルールは
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
には当たらないだろ？
> 確率は1/2でなくなるよ。
になっても何の問題ないだろう
>>250は帰納法の一種なんじゃじゃないかとは思うが >>264
その抽選論法で本当に正しい確率計算できるのか概略ではなく厳密に書き出したものを示してください。 >>254の論法が間違っているって言っているだけだよ
というか、この程度の論法(>>250)が正しいかぐらい自分で確認しろよ
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
が真かを確認するだけだろ >>266
あなたは>>250の言ってる事がわかるんですか？
わたしにはFもLもなんか公平にやるゲームだから1/2って言ってるようにしか見えません。
正直戦略とかゲームとかいう言葉使いたいだけで証明もできてないんじゃないかと疑ってます。 あ、戦略とかは使ってないのか。
勝利とかいってるからゲーム理論を気取ってるのかと思った。 >>218
この問題は、次の問題と対応が可能。
カードがｎ枚あり、それぞれに、１からｎまでの数字が書かれている。
これらのカードを袋に入れる。
プレイヤーは、１からｎの中から、勝ち番号と、負け番号を決め、
勝ち番号、または、負け番号が書かれているカードが出るまで、袋の中からカードを選び続ける。
勝ち番号を引いて終了する確率は？ → 当然1/2と考えられます。
取り出された数字列を、適当に選ばれて座られてしまった座席番号に対応させます。
（失念か、すでに占拠されていたか、理由は問わない）
先頭の人の本当の座席番号を先に引くか、最後の人の座席番号を先に引くかが、
先頭の人の本当の座席番号を引いて横取り連鎖が途中で終了するか、
最後の人の座席番号を引いて、横取り連鎖に最後の人も引き込むかが決定され、
問題で言うところの、最後の人が正しい席に座れるか、座れないかに対応可能です。
アイデアのほとんどは >>250さんが指摘されたもので、対応がわかりやすくなるよう少々アレンジしてます。 日本最高学費の底辺私立医大では
１年：進級失敗１０人
２年：進級失敗１６人
３年：進級失敗３４人
４年：進級失敗９人
５年：進級失敗１０人
６年：卒業失敗２６人
一学年約120～130人前後。
同じ学年で二回留年すると退学
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/doctor/1516439331/1
であるという。
1年次学費総額 12,145,000円 2年次以降学費（年間） 7,030,000円
1学年を125人として上記データから算出した確率（例、1年次は10/125の確率で留年）を用いて
卒業できる確率と卒業生の在学年数の期待値を求めよ。
また、退学になる確率と退学者の在学年数の期待値を求めよ。 >>254
その場合最初の人の着席においてFとLが等確率の抽選を受けていないので当然結果は変わってくると思いますが ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
クラスの人数をnとして自分の席に座れる生徒数の期待値をe[n]とするときlim e[n]/log(n)を求めよ。
自作。
できないかも。 >>273
訂正
lim(n-e(n))/log(n)
です。 前>>261
>>271卒業できる確率は、
8(4/23)+12.8(20/99)+(3400/99)(4/13)+(180/13)(5/14)+(125/7)(10/23)+(1300/23)
=83.7751427……(％)
在学年数の期待値は、
6(16/83.7751427……)+7{(83.7751427-16)/83.7751427}
=6.80901256(年)
退学になる確率は、
100-83.7751427……
=16.2248572……(％)
退学者の在学年数の期待値は、
1(10/125)(16/115)+2(10/125)(34/115)+3(/)+4(/)+5(/)+6(/)+7(/)もう少し。 >>275
現実世界の計算しにくい問題にも関わらずレスありがとうございます。
面倒な計算を誤答をものとのせず続けられる気力にはいつも関心します。揶揄ではありません。
で、いつもの通り、用意した答とは違います。
自作問題ですが、シミュレーション値と合致した理論値が出せました。場合分けが面倒なので場合分けもプログラムにさせました。
シミュレーションは指定の確率で乱数発生させて計算させました。
ほぼ一致する値でした。 >>276
補足
シミュレーションでの結果は以下の通り
> mean(RE[,2]==7) # 卒業確率
[1] 0.85482
> mean(RE[RE[,2]==7,1]) # 卒業までの在学年数
[1] 6.712606
> mean(tu(RE[RE[,2]==7,1])) # 卒業までの学費
[1] 52304621
> mean(RE[,3]==2) # 退学確率
[1] 0.14518
> mean(RE[RE[,3]==2,1]) # 退学までの在学年数
[1] 4.99139
> mean(tu(RE[RE[,3]==2,1])) # 退学までの学費
[1] 40204472
q=1-p # 留年確率,p=進級確率
(P=prod(1-q^2)) # 卒業できる確率 Π{1 - (2年連続留年確率)}
(Q=1-P) # 退学となる確率
の結果と近似しています。 >>273
クラスの児童には1からnまでの番号が、座席には0からn-1までの番号がついていて、
座席に座る操作は番号が大きい順に行うものとする。
ここで座席に座る操作とは、自分の番号に一致する席が空いていればそこに、
空いてなければ空席のどこかにランダムに座る動作を言う。
この時、自分の番号が座席と違うような児童の人数の期待値をe'[n]とおく。
n-eとe'の計算で唯一異なる点は、座席番号0とnの違いにより生じるもののみ。
この違いが影響するのは、最初に番号nの児童が0の座席に座る場合のみであるから、
n-e[n]=e'[n]-1/n.
最初に児童nが座席m(<n)に座った場合、次にランダム性が生じるのは児童mが来た時であるが、
その時点で残りの児童は1からm、残りの座席は0からm-1であるから、
これはm人の児童とm個の座席で行う試行と一致。
（ただしn=0の時の試行は"何もしない"ことと定める。つまりe'[0]=0. ）
ゆえに、次のような漸化式が立てられる。
e'[n]=1+(1/n)Σ_(m=0,n-1)e'[m]
これより
ne'[n]-n = (n-1)e'[n-1]-(n-1) + e'[n-1]
から
e'[n] = Σ_(m=1,n) 1/m
が導かれ、求める極限値は1と計算できる。 >>278
正解です。
想定解答は>>222と一緒。
最後からk番目の生徒が正しい席に座れたとき0、そうでないとき1をとる変数をXkとする。
k:1～n-1のとき
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
= (最初の生徒が最後からk番目の席以外に座る|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
=k/(k+1)。
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が2番目の席から最後からk-1番目の席に座る)=k/(k+1)
(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)。
∴ p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる)=k/(k+1)。
∴E(Xk)=1/(k+1)
明らかにE(Xn)=(n-1)/n
∴n-e(n)=Σ[k:1～n-1]1/(k+1)+(n-1)/n～log(n)。 オリジナルですが答えはありません。ただ気になったので投稿します
実数の配列 a[i,j] (i,j∊Z) が全ての格子点(i,j)で 4a[i,j]=a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1] を満たす時、aを調和配列と呼ぶことにする。
次を満たす実数α≧0の下限はいくらか：
調和配列aが任意の格子点Xについて |a[X]|≦|X|^α を満たすならばaは定数である。ただし、|X|は点Xの原点からの距離を表す。 卒業できる確率 ： 4750970704397512 / 5551115123125783 = 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053
退学の確率 ： 800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759 単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。 >>280
とりあえず今のところこのスレでは>>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは>>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ>>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。 前>>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。 毎度思うけど思考過程をレスするの何？
〇〇となり……ああ違うか。みたいなの誰も求めてないし数学の試験でそんなこと書くか？
ちゃんとオフラインで答えに辿り着いてからそれを纏めて書けよ >>284
(※)は使えそうですね
実際には Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|=2Σc[0,q] の値は積分を使って
C(1+o(1))/√n (as n→∞, ただし定数Cはabsolute) となることが計算できるので、
|Σ(a[0,0]-a[2,0])|
≦Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|(|p|+|q|)^α
≦C(1+o(1)) ･ n^(α - 1/2) (∵|p|+|q|>n の時に係数が0となるため、|p|+|q|≦n の範囲で和をとれば良い)
という評価が得られます。
a[0,0]とa[2,0]の差以外にも同様のことが言えるので、結局 α<1/2 は条件を満たすことが導けると思います。
ちなみに一方で a[i,j]:=i (∀(i,j)∈Z^2) という例から、α≧1は条件を満たさないことがわかります 前>>285え？ >>283n=2のとき違うの？ なんで？ クロスする確率とクロスしない確率は1/2ずつじゃないのかい？
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ヒント。
ホントは積分で求めるんだけど裏技。
まず4点選ぶ。
後でどれをA1B1A2B2と割り振るか決める。 点O中心の半径1の円の内部に点Oと異なる点Aを取る。
半直線OA上にOA・OB=1なる点Bを取る。
円周上に点P,Qを、直線PQに関して点O,A,Bが同じ側に来るように任意に取る。この3点はいずれも直線PQ上に無い。
直線PQに関してAと線対称な点をDとする。
△PBD∽△OBQを示せ。 >>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに交わらない場合であり、後の二つは交わる場合である
つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3
n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする
このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える
既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える
つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える
新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、
領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、
n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける
I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1 >>292
PQの垂直二等分線が実軸でOが原点となる複素座標を設定する。
Aの実軸対称点をCとする。
ABCDPQの複素座標をabcdpqとする。
PDをPQ、実軸で続けて対称移動するとQCに移るからd-p=q-cである。
またAが単位円に関する反転でCはその実軸反転だからc=1/bである。
P,Qは単位円上かつ実軸対称だからpq=1である。
以上により
(d-p)/(b-p)
=(q-c)/(b-p)
=(1/p-1/b)/(b-p)
=1/(pb)
=(q-0)/(b-0)
であるから△BDPと△BQOは相似である。 >>291
積分でやってみた
A1,B1,A2,B2の偏角を0,X,Y,Zとして、A1を固定し、後の三つを確率変数と考える
それぞれ独立に0から2πの間の値を取る一様分布に従うので、確率密度関数は1/(2π)^3となる
YとZが共に0とXの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,x]∫[0,x]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x^2/(2π)^3}dx=1/3
Yが0とTの間、ZがTと2πの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,t]∫[t,2π]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x(2π-x)/(2π)^3}dx=1/6
二線分が交わらない確率=YとZが共に0とXの間または共にXと2πの間である確率=1/3+1/3=2/3
二線分が交わる確率=Yが0とTの間でZがTと2πの間またはその逆となる確率=1/6+1/6=1/3 >>296
おお、素晴らしい！
ここで受験数学お馴染みの1/6公式が出てくるのがへぇと思いました。 前>>290
>>283
n=1のとき2
n=2のとき3(2/3)+4(1/3)=3.33……
n=3のとき4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)(2/3)+7(1/3)^2
=(4+10+12+7)/9
=3.66……
急にnやn+1に飛んだらだれもわからないだろう。途中をちゃんとやってほしい。
n=4のとき5(2/3)^3+6(2/3)^2(1/3)+7(2/3)(1/3)^2+8(/)+9(/)+10(1/3)^2(2/3)+11(1/3)^3Ψ`o`Ψ とりあえずn=3のときn=2と同じようにやってみればいい。
6点適当に選ぶ。
ただし三点が一点で交わるような特殊なケースは確率0なので無視する。
反時計回りに123456として2個組ずつわける。
12,34,56
12,35,46,
‥
で何通りできるか？
小領域が4つになるのは何通りか？
小領域が5つになるのは何通りか？
小領域が6つになるのは何通りか？
小領域が7つになるのは何通りか？
期待値は？ >>298
m本の線分に交わる線を引くと、そのm本で分割されていたm+1個の領域の上を通ることになる
つまりm+1個の領域を切ることになるので、領域の数は倍化され、m+1個の領域が新たに増えることになる 前>>298
>>301
2本の直線と交差する直線を引くと領域が3個増えることはわかってる。
つまりm=2のとき意味が通じる。
けど交差しないときの確率を足さないかんだろ。
n=3のとき領域が4個になるのは交差しないとき。
n=2のときの考察からして交差するときが1/3で交差しないときが2/3じゃないのか？
4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)^2+7(1/3)^3
=(16+30+18+7)/27
=71/27
この計算、
2/3+2/9+1/9+1/27が1になるときじゃないと意味ないんだよ。 A1B1とA2B2が交差する確率は1/3、
A2B2とA3B3が交差する確率は1/3、
A3B3とA1B1が交差する確率は1/3、
しかし交点が３つできる確率はこの３つをかけてもダメ。
かけて求められるのはコレらの事象が独立の時。
独立ではないのでダメです。 調和配列について考えてたけど、どうも何かがおかしい気がする…
>>195 のeの構成って本当に合ってる？
以下の要領で、原点以外の全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しないことが示せそうなんだけど…
配列aを a[0,0]=1 かつ a[X]≧0 (∀X∈Z^2) を満たす、原点以外で調和的な有界配列とする。
aの下限 inf_(X∈Z^2) a[X] を0としてよい。a[X]=0 を満たす格子点Xは存在できないことに注意。
配列の列 b_n を
b_n[0,0] = 1 (n≧0)
b_0[p,q] = 0 ( (p,q)は原点以外の格子点)
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1] ( (p,q)は原点以外, n≧0)
により定めると、帰納的に
b_n[p,q]≦b_(n+1)[p,q]≦1 (p,qは全ての整数, n≧0)
が導けるため極限 b[p,q]=lim_(n→∞) b_n[p,q] が存在し、
配列 b が原点以外で調和的であることもわかる。また、各nについて
b_n[p,q]=b_n[-p,q]=b_n[p,-q]=b_n[q,p]
0≦p かつ 0≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p+1,q]
1≦p≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p-1,q+1]
b_n[p,q]≦a[p,q]
が成り立つことが帰納的に示せるため、n→∞とすることでbについても同様のことが言える。
配列aの下限が0かつ全ての格子点Xについてa[X]>0であることから、
格子点の列 X_n=(p_n,q_n) であって
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
を満たすものが存在。これより、格子点(p,q)が max(|p|,|q|)≧|p_n|+|q_n| を満たすならば
b[p,q] ≦ b[|p_n|+|q_n|] ≦ b[p_n,q_n] ≦ a[p_n,q_n]
であるから、格子点Xについて|X|→∞ならばb[X]→0が成り立つ。
一旦ここまで。 >>304
訂正。配列の列b_nの漸化式について
誤
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1]
正
b_(n+1)[p,q] = (b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1])/4 >>304
何度も申し訳ない、もう１つ訂正。
格子点列X_nについて
誤
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
正
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=∞ >>304
もちろんeは原点て
4e[0,0]=e[1,0]+e[-1,0]+e[0,1]+e[0,-1]
を満たしてませんよ。
4e[i,j]=e[i+1,j]+e[-i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]
はキルヒホッフの法則
(e[i+1,j]-e[i,j]}+(e[-i-1,j] -e[i,j]}+(e[i,j+1]-e[i,j]}+(e[i,j-1] -e[i,j]}=0
を変形したものですが、原点は電極がついてて電流を吸い出してるのでこの等式が成立していません。
>>195のeは上に有界なのでもし全ての点で上の等式が成立するなら雨宮の定理により定数になってしまいます。 >>283
(n+2)(n+3)/6 かな
導出過程はこれから考えるw 前>>302いきなりnとかmとかで一般項出して解きだす奴は偽者か曲者。1面2面クリアして今3面。
n=3のとき最小が4で最大が7、
4(2/3)(3/4)(1/4)+5(2/3)(4/6)+6(1/3)(4/6)+7(1/3)(2/6)
=4(1/8)+5(4/9)+6(2/9)+7(7/24)
=1/2+32/9+49/24
=(36+256+147)/72
=439/72
=6.0972……
ちょっとマシになった。 >>308
交点の可能な数は n(n-1)/2 である
1≦i<j≦nとしてAiBiとAjBjが交差する確率は各々1/3なのだから、
交点の数の期待値は n(n-1)/6
領域の数の期待値は (n+1)+n(n-1)/6 = (n+2)(n+3)/6 おっと、283は>>293で既に解かれていたか
まだ続いてるのかと思ったw >>292
初等幾何的証明
ABを直径とする小円を描けば、出題の二つの三角形と相似な
二つの三角形を小円の中に作図できる。
大円と小円の交点をE、F、EFとABの交点をG、
DBと小円、QBと小円の交点をそれぞれH、I、
IGの延長と小円の交点をJ、JHとPBの交点をKとすると、
△KHB∽△GIBで、この二つの三角形は出題の二つの三角形と相似である。
∠H＝∠Iであることはすぐに分かる。
あとは∠KBH＝∠GBIであることを示せばよいが、
これが意外と難しく、今のところ未解決。 >>307
eが原点で調和的でないことはわかっているのですが、問題はそこではなくて、>>304の通り
『原点以外の』全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しない
ということを示せてしまう、ということなのです
↓↓304の続き↓↓
c=4b[0,0]-b[1,0]-b[-1,0]-b[0,1]-b[0,-1] とおくと、整数n≧2について
cn = Σ_(m=1,n) c
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|,|q|<m) 4b[p,q] - b[p+1,q] - b[p-1,q] - b[p,q+1] - b[p,q-1]
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|<m) - b[m,p] - b[-m,p] - b[p,m] - b[p,-m] + b[m-1,p] + b[1-m,p] + b[p,m-1] + b[p,1-m]
= 4b[0,0] + ( Σ_(p=1,n) 2b[p,p] + 2b[p,-p] + 2b[-p,p] + 2b[-p,-p] ) - ( Σ_(|p|<n) b[n,p] + b[-n,p] + b[p,n] + b[p,-n] )
= o(n) (as n→∞)
より矛盾。したがって、a は定数でなければならない。 >>313
eは0以上の値をとりますが有界ではありませんよ。
>>204で示されています。 >>314
あら失礼しました… >>195しか見てませんでした 前>>309
>>311つづけてください。
n=3から。
さあ。
3のとき5、
4のとき7、
6のとき12です。 4e(i+1,j)+ e(i-1,j)+ e(i,j+1)+ e(i,j-1)
=
∫[～] (1-cos((x+y)(i+1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)(i-1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j+1)))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j-1)))/(1-cosxcosy)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] (2-2cos(x+y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
+∫[～] (2-2cos(x-y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4(1-cos(x)cos(y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-∫[～] 4(1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4cos((x+y)i)cos((x-y)j))dxdy
=
δ[i0]δ[j0]16π^2
になるハズ。 そうすると >>242 の最後の主張も訂正する必要がありそうだ
誤
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せる。
正
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たす配列 a であって、
任意の定数 ε>0 について |a[X]|=O(|X|^ε) を満たすようなものは、
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
に限られる。 >>312の続き
HBとEIが垂直であることを示すことができれば証明完了。
なぜなら、その場合、∠BHAは直角だからHAとEIは平行。
すると∠AHIとHIEは錯角だから等しい。
すると∠ABI＝∠AHI＝∠HIE＝∠EBH
∠Hと∠Iは同一円周角で等しいことがすでに示されているから、証明完了。
しかしHBとEIが垂直であることを示すことが難しい。
灘高校の入試問題なら、もっと簡単な解法があるに違いない（笑 n,kは自然数でk≦nとする。
穴の開いた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひもを通して輪を作る。
このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、
どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。
(某大学文系過去問 - 中学生の知識で解ける) >>321
上半分の赤の個数について考える。
玉一つ分時計回りに回したとき上半分のあかの数はそままか、一個増えるか一個減るのいずれか。
半周回したとき上半分と下半分が入れ替わるのでどっかの時点でピッタリ半分になる。 >>322
早いね、正解。
要は離散版中間値の定理(自明)。 >>280
でけた。上限は1。
全域で調和的な配列aが、ある α<1 について a[X]=O(|X|^α) を満たしていると仮定。
((Δ^n)a)[0,0] における a[-n+p+q,p-q] の係数c_n[p,q]は
((1+x)(1+y)/4)^n における (x^p)(y^q) の係数と一致。つまり
c_n[p,q] = 4^(-n)･C(n,p)･C(n,q). （ただし大文字のCは二項係数）
よって、 (Δ^(2n+1)a)([1,0]+[-1,0]-[0,1]-[0,-1]) の係数の絶対値の総和は
Σ_(p,qは整数) 4^(-n)･|C(2n+1,p)-C(2n+1,p-1)|･|C(2n+1,q)-C(2n+1,q-1)|
=4C(2n+1,n)^2
=K/n･(1+o(1)). （ただしKはある定数）
であるから、
|a[1,0]+a[-1,0]-a[0,1]-a[0,-1]|
≦K(1+o(1))･2^α･n^(α-1)→0 (as n→∞)
より a[1,0]+a[-1,0]=a[0,1]+a[0,-1].
これと Δa=a より a[1,0]+a[-1,0]=2a[0,0].
同様にして、任意にjを固定した時に a[i,j] が等差列をなすことがわかるが、|a[X]|=o(|X|) より a[i,j] はiに依存しない。
同様にしてjに依存しないこともわかるため、aは定数。 このスレで度々見かける某パズル本からの出題。
2人の修行僧がそれぞれ二つの山を登る。
2人とも同じ海抜の麓の地点から登頂を始め、ゴールの山頂の海抜も同じである。
各々の僧は山頂までの一本道の山道のみを移動する。
どちらの道も途中の地点ではスタート地点より海抜が高く、ゴール地点より海抜は低い。
この時2人の僧の登頂をうまく調節していずれの時点でも2人の海抜が完全に一致する様にして登頂をすることは可能であろうか？
2人の僧に許される行動は山道を進むか戻るか立ち止まるかのみである。
この問題の原題の設定はこれだけで当然暗黙の了解としてスタート地点からの道のりと海抜を与える関数が連続である事は仮定できます。
それはいいんですが、(そりゃそうでしょう)、パズル本の模範解答はできるで、私にはその解答はその連続関数になにか区分的に滑らかみたいな仮定がないと成立してないように思えます。
どなたか連続だけの仮定の元での肯定的な解答作れますでしょうか？ 前>>316
>>322-323赤玉どっから出てきたん？ 白玉と黒玉やろ。 ちゃんと数学的に書けば
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
です。
f,gの連続性にある程度強い仮定があれば簡単なんですけど。 >>328
f(x)=2x (0≦x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x<3/4)
f(x)=2x-1 (1/4≦x≦1)
g(x)=1/2+|x-1/2|sin((π/4)/(x-1/2))
の場合は登山五合目付近でp(t)が不連続になると思われる >>330
その程度の関数なら本に載ってる解答の肯定的解答がそのまま通用します。 >>328
条件を強くして道のりが微分可能でもダメみたい。
f(x)=1/2-(1/2)e^(4+1/(x-1/4)) (x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x≦3/4)
f(x)=1/2+(1/2)e^(4-1/(x-3/4)) (3/4<x≦1)
g(x)=1/2+8(x-1/2)^4 sin((π/4)/(x-1/2))
のとき
f^(-1)(g(x))は不連続で、f(x)の道の人は無限の距離を歩かないといけない >>332
とりあえず道のりの有限性を仮定すれば大丈夫です。
もう少し緩めてf,gが共に有界変動なら大丈夫です。
問題は有界変動性がないとき、>>328のp,qとして有界変動性がない連続関数まで含めて存在し得ない例を私は持ってないのです。
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。 ちなみにfが有界変動連続関数のとき
f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)
とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。 あ、ポコポコ間違ってるけど適当にエスパーしてください。 >>331
ん？肯定的？否定的解答じゃなくて？
328の条件を満たす連続関数p,qが存在しないのは間違いないのでは？ >>336
今上がってるケースぐらいではp,qは存在するします。
p,qは連続でありさえすれば有界変動性は要求されません。 あ、いま上がってるケースくらいならp,qも有界変動に取れます。 >>338
>連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
>p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
>を満たすものがとれるか？
の問いに対する
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
は矛盾するように思えるのだが
>>332の例でp,q連続関数かつf(p(t))=g(q(t))と仮定すると
中間値の定理よりq(th)=1/2となるth∈[0,1]が存在し、
t_0=0と置くとq(t_i)=1/2-1/(4i+2)となるt_i∈[t_(i-1),th] (i=1,2...)が存在する
しかし
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))<1/4 (i:even)
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))>3/4 (i:odd)
さらにt_iは単調有界列だから収束してp(t)はlim t_iで不連続となり矛盾
何か誤解していれば指摘してほしい >>339
あれ？
そうですね？
>>332は反例なってますね？
有界変動じゃないのかな？ ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？ >>341
>ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
めっちゃレベル下げすぎだな >>343
本では設定なしなんですよ。
ただ連続とだけ。
さすがにそれは無理だろうと。
数学的な面白さは激減しますがとりあえずplはら大丈夫、どこまで突っ込めるのかは謎。 plから条件をゆるめるとしても『区分的に広義単調』あたりが限界じゃないかな…
関数の値が無限回上下することを許してしまうと、どうしても>>330みたいな例が作れてしまうと思う。
逆に関数値の上下が有限回であれば、問題なくできそう（証明は多少面倒かもだけど） まぁplまでかな？
変に広げてもgeneral nonsenseかも。 待て、逆に『どの区間においても定数ではない』という条件でもいけるか？
単に成り立ちそうだから書いてみただけで、確かめた訳ではないけど 所持金が一万円の貧乏人が、金持ちの友達相手に掛け将棋を持ちかけた
一局ごとに一万円を掛けた2n+1番勝負で、どちらかが先にn+1勝した時点で終了とする
ただし、貧乏人だけは途中で一番でも負け越した時点で所持金を失い続行不可能となる
実力は互角で、引き分けはないものとする
貧乏人が得する確率は？ >>345
>本では設定なしなんですよ。
本が嘘
あるいは君が条件読み落とし >>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？ >>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□ 前>>327ふ～ゆ～に～ぉ～ぼえ～た～♪ う～た～ぉ～わ～すれ～て～♪ す～と～ぉ～ぶ～のな～か～♪ の～こ～ぉ～た～せき～ゆ～♪
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（(`o')/＿/（o^) )_
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿>>292メネラウスの定理で考えてたんだけど>>312はAとHが重なって描けないよね。こんな難しい作業やらせるか？ 獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。
n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0 あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。 >>353
途中で降りるのはなし
>>354
期待値はおっしゃる通り
期待値が0なのに、貧乏人は負けてもたった一万で済み勝てばそれ以上が得られるのは、
得する確率は小さいが勝った時のリターンが大きい勝負をしているからだ
この得になるケースが起こる確率はいくらか？が実は聞きたかった ∥人人∥前>>355
（_(＿)>>292裏技がある
（(-.-)のか ∩∩
（っγ)ﾞな (^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒) ？ υυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~
メネラウスとか。 >>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。 気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥ >>362
正解！！！
次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい
途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい
題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1) 前>>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t n ＝１～７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。
> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806 C[2n+1,n]/2^(2n+1)
に代入すると、
> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806
同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。 >>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。
PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。
但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。
もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。 前>>365小円なん ∩∩
((-_-)か思いつ (^_^))
[￣]c) かんやろ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ヾU
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___/ |
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
____| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／ あるカジノに次のようなカードゲームがある
n枚のカードがあり、親は裏に互いに異なる数を書き込み、よく切って重ねて伏せる
プレーヤーは一枚ずつカードをめくり、好きなところで止める
また、途中で止めずに最後の一枚をめくった場合はそこで止める
止めたときのカードが親が書き込んだ最大の数であるとき、プレーヤーの勝ちとなる
プレーヤーは次のような作戦で止める箇所を決めることにした
m枚目までは止めない
m+1枚目からは、それまでに見た最大の数を超えていたら止めて、そうでなければ止めない
この方法を使ったとき、勝率はいくらか？
nが大きいとき、上記勝率の最大はいくらか？ >>349 が気になって夜も眠れないから正式に投稿（眠れたけど）
もちろん自分では未解決。
↓↓ここから問題↓↓
連続関数 f,g:[0,1]→[0,1] は f^-1({0})=g^-1({0})={0}, f^-1({1})=g^-1({1})={1}, を満たし、
どの区間 [a,b] (0≦a<b≦1) においても定数でない。
この時、連続関数 p,q:[0,1]→[0,1] であって、p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1 かつ
f(p(t))=g(q(t)) (∀t∈[0,1]) を満たすものは存在するか。
↑↑ここまで問題↑↑
[0,1]^2 の部分集合Sを S = { (x,y)∈[0,1]^2 : f(x)=g(y) } とおくと、
二点(0,0)と(1,1)がSの同じ連結成分に属することは証明できる。
この問題は、この二点が同じ『弧状』連結成分に属するかどうか、と言い換えられる。 難問ばかりなのもアレなので解決済みのものを１つ
連続関数 f:R→R は非可算個の点で極大値をとり得るか。 >>372
しまった、ここでは関数 f が点 x_0 で極大値をとるとは、
x_0 のある開近傍 U が存在して
x∈U かつ x≠x_0 ならば f(x)<f(x_0)
を満たすこととします。 >>372
不可能。
極大値をとるx=aの集合をSとする。
Sの元aに対し開集合Uaをf(a)がUaにおいてmaxとなるようにとると異なるa,bに対してUaとUbはdisjoint。
さらにUaから有理数qaを選べばqはSからQへの単射を与える。 逆だな。
Rは可分なので可算近傍系Cをとれる。
C'={U∈C|fはCで狭義の最大をとる。}
m:C'→{極大点}をm(U)=(最大値をとる点)
で定めればこれは{極大点}への全射を与える。 m≦k≦n-1に対して
p(プレーヤー勝ち|k+1枚目が最大)
=p(1～k枚目までの最大が1～m枚目にある)
=m/k
だから
pm:=
p(プレーヤー勝ち)
=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
よって
p(m+1)-pm
= 1/n(Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k -1)。
∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
ここで
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
> ∫[m+1,n] 1/[x] dx
=log n/(m+1)、
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
<∫[m+1,n] 1/(x-1) dx
=log (n-1)/m
とlog(n-1)/m < log n/mによりpmが最大となるのはm=[n/e]のとき。 前>>369
>>370
まずm/nの確率でm枚目までに最大が出てるから絶対に負ける。
勝つ確率の最大値は1-m/n
問題はm+1枚目からn枚目までのm-n枚を引く途中で今まで見た最大を見てしまい、残りの枚数で最大が出る可能性を残したままゲームを終わらせてしまうこと。
m+k枚目で今まで見た最大が出たとすると、
(m+k)/n
まだ勝つかわからない。
勝つ確率k/(n-m)
(n-m-k)/(n-m)は負ける。
トータルで負ける確率は、
m/n+(n-m-k)/(n-m)
{m(n-m)+n(n-m-k)}/n(n-m)
=(n^2-m^2-nk)/n(n-m)
トータルで勝つ確率は、
k/n
これらが足して1だから、
(n^2-m^2-nk)/n(n-m)+k/n=1
n^2-m^2-nk+k(n-m)=n(n-m)-m^2-mk=-mn
k=n-m
∴勝つ確率=(n-m)/n
=1-m/n
だからこれは最大値だって。
(n-m)/nより小さい。
今まで見た最大値ならそこで見切るって言ってんだから勝つ確率は1-m/nより確実に小さい。
(n-m)/nを掛ければいいのか？
勘で(1-m/n)^2 前>>380
>>370
勝つ確率は1-m/nでnがじゅうぶん大きいとき1に近づく、つまり限りなく100％勝つ。 p(プレーヤー勝ち)=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
って狽Oしたきれいな式にはならないのか。 前>>381
>>379たとえば親が同じスートのA,2～Q,Kのカードを1枚ずつ持ってたら、
13/e=4.……だから、
5枚目以降に最大値が出るやいなや勝負に出たほうが勝つ確率が高いってこと？ >>384
この問題の設定はあくまで子が親の数を選ぶ分布について知りようがないという設定。
もちろん親が1～13の整数しか選ばないという情報があるならKが出てストップかけないのはバカ。
しかしその手の情報はなく、単に出た数の大小しか情報がないという設定。
そして親の数の選び方の分布が問題に与えられてないので本来解答不可能。
例えば親が常に単調増加になるように数を選ぶのなら子が勝てるのはm=n-1だけだし、常に単調減少に選ぶならm=0しか子は勝てない。
しかしそんな事は多分数学科卒でないとわからないだろうから、その辺はエスパーしないといけない。
>>379の解答は親の数の選び方の分布がn!通りある大小の分布が同様に確からしいという仮定を追加した場合の解答。
例えば親のn枚のカードの数をiidで選んだ場合などでは通用する。 前>>384いや、それは変だぜ。ジャックやクイーンが5枚目に出て、まだキングが出てないのに飛びついたら負けじゃないか。
mを1にしてnを最大にしてなるべく長く待つスタンスをとるにしても、肝心のキングが来なきゃ意味がない。 >>379
正解！素晴らしい！
>>378
>>380-381
残念ながら不正解！
>>385
ランダム性を持たせるため「よく切って重ねて伏せる」という文を入れておいた
これによりn!通りある順位のパターンは同様に確からしいと言えると思う 前>>386
>>379はlog{(n-1)/m}かlog{n/(m+1)}かどっちが答えなの？ >>388
ガンマ関数の微分をって閉じた形で書ける利点があるにしろ、確かにそう捉えるのも自然だけれども
指数関数や多項式、あとそれらの積みたいに、部分和が閉じた形で書ける関数って案外少ないからなあ >>388
いや、見た目は簡単で
p(プレーヤー勝ち)=(m/n)(ψ(n)-ψ(m))
この極限はディガンマ関数の漸近公式ψ(n)=log(n)+O(1/n)より
=(m/n)(log(n/m)+O(1/n)+O(1/m))
=-xlog(x)+O(1/n), x=m/n >>279です。
残念ながら計算間違いがあった。
Σ[1/m+‥1/(n-1)>1を満たす最大のmまではあってるけどこの方程式解き損なってる。
mのよりよい近似値として
m=[(n-1/2)/e+1/2]
は出せるけど、>>279よりはマシなだけでこれでもずれる。
(計算機使ってみると100項中1こずれてた)
>>370は完全に正確に答え解こうとすれば既出のディガンマ関数とかその逆関数とか使わないと無理かもしれない。 >>292の問題について考えていて思い付いた問題をひとつ。
中心をＯとする半径１の円があり、半径上に任意の点Ａがある。
ＯＡの延長上にＯＡ・ＯＢ＝１となる点Ｂを作図せよ。 ついでだから、もう一問。
↓この問題には別解がある。それを示せ。
https://www.youtube.com/watch?v=ejtPSxoUlRo
但し、コメント欄にある別解は禁止。
コメント欄の別解とは違う別解を挙げよ。 >>393
そう言うのを円による反転という。
初等幾何のイロハのイ。 反転。初耳なので少し調べたが、>>393の問題とは関係ない（笑
ま、ここの連中は初等幾何の問題などバカにして答えないだろうと思っていた（笑 半直線に垂直に線引いて交点での接線を引き、半直線との交点をとるだけだろ あと連続関数絡みで、前スレだったかで置き去りにされてた問題（を改編したもの）も出題しておこうかな
以前のものと同様、未解決ですが
次を満たす関数 f:R^2→{1,2,…,n} が存在するような正の整数nのうち、最小のものを求めよ：
連続関数 p:[0,1]→R^2 について、もしpとfの合成が定関数ならばpも定関数である。 >>396
長さaの線分の逆数1/aを作図せよという問題なら
検索キーワードは"作図 逆数"で解答がたくさん出てくる
四則演算と平方根は作図可能というのが作図の基礎知識 >>399
a:(0,1)×(0,1)→(0,1)を二進表示を交互に編み込む連続関数とする。
さらにb(x,y)=((atan(x)+2)/4,(atan(y)+2)/4)とする。
g:(0,1)→{1,2}をQ∩(0,1)の特性関数とする。
f=gabと定める。
p:(0,1)→R^2が定数でない連続関数とするとabpも定数でない連続関数である。
この時任意の相異なる有理数の間には無理数が存在する事と相異なる無理数の間には有理数が存在する事からgabpは定数でない。
よってfpも定数でない。
よって求める最小値は2。 あ、しまった。
aは連続じゃないや。>>403は撤回します。 >>393の問題は、円による反転とか、そんな難しい問題ではない（笑
単に方べきの定理の応用問題である（笑
それに初等幾何のイロハのイというが、
反転なんて小中高でも習ったことはない（笑
それを「初等幾何のイロハのイ」と書いているところに、
お前らの虚栄心が現れている（笑
もちろん>>402のように考えて解いてもいいが、もっと簡単な方法がある。
ＯからＯＡに垂直な直径を引き、円との交点をＰ、Ｑとし、
ＰＡの延長と円との交点をＲとし、
ＱＲの延長とＯＡの延長との交点をＢとすると、Ｂが求める点である。 虚栄心しかないやつが何言ってんの？
こんなもん理系の人間で知らん人間いない常識問題だっていってんだよ？
検索したらアホほどでてくるやろが？
こんな常識問題でも知らないで出すのはしょうがない。
調べてみて頻出、常識問題だとわからないのがアホだと言ってる。
人の書いた文章理解する能力ないんかね？
そもそも一番最初にでてる>>294の証明にもでてくるやろ？
読んでないの？
読んでもわからないの？ >>399
未解決ですがというのは出題者も答え持ってないという意味？ 別に初歩的な問題を初歩的と知らないで出題するのはいいけどね
それを指摘されて訳のわからないキレ方をするのはみっともない 訳のわからないキレ方をしているのはお前らの方だ（笑
僕は虚栄心のために0.99999……≠１と説いているのではないし、
検索して>>405のような答えが出て来るとも思えないし、
>>294は初等幾何的証明ではないのである。
>>394の問題にしても、お前らは、答えが分っていても、書かないだろう、
と僕は最初から思っていた（笑
なぜなら、>>393-394のような問題はお前らのプライドを傷つけるからだ。
というわけで、お前らは、僕のことは無視して、数学の腕比べに励めばよい。
しかし、お前らがどんなに優秀であろうと、0.99999……＝１だと言った途端に、
世間の聡明な人々からは、お前らは笑われる（笑
https://www.youtube.com/watch?v=47zjeq13NwY
ここでも作者は５＝4.99999……という間違いを平気で犯しているが、
お前らはこの作者と同レベルなのである。 >>407
紛らわしくて申し訳ない、そういう意味です
既に誰かが答えを与えていないかどうかまでは調べられてないです >>409
もういいからここには書くなよ。
自分の学力がこのスレではハナクソレベルなのがなんでわからんのかねぇ？
灘中の入試レベルでまだ四苦八苦してるレベルで。 /＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（e^) )/＿/（o^) )_
/_（υ＿)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ちょ～しっぱずれの～♪
よし晴れてきた、洗濯もん乾くぞ！ 前>>389とかいのろじうらでぇ～♪ 勝つ確率にlogはねえよ。のんだくれたかえりに～♪ 確率にlog出てきたんじゃ訳わかんねえよなぁ。しこたまはいたぁ～♪ 髭剃るか。 ∥人人確率がlogって
（_(＿)どういう
（(-.-)意味なんだ？
（っγ)ﾞ
（⌒⌒)
~~~~~~~~~~~~~~~
log{n/(m+1)}が答えなのか？ >>411
では>>292の問題の初等幾何的な証明を書いてくれ（笑
どうせ書かないだろうが（笑
何で初歩的な問題を投稿するだけで、
こんなに叩かれ嘲笑されなければならないのか（呆
荒らしをしているわけではないのに、荒らし扱いだ（呆 >>414
だから馬鹿だっていってるんだよ。
なんで初等幾何的証明だれも書かないかわかってないだろ？
書きたくても問題文の条件だけじゃ配置が不定なのでめちゃめちゃ書きにくいんだよ。
既に>>294で証明上がってる方針を初等的に焼き直すとき∠BPD=∠BOQを示すのが気もになる。
方針として>>294のCをとってBPとCQの交点をEとしてBEOQが同一円周上にある事を利用する手があるけど、そのときBPEの位置配置とBECQの円周上の配置によって∠BPD、∠BEQ、∠BOQの位置関係が微妙に変わる。
この三角がすべて等しい時もあれば捕角を取らないといけないときも出てくる。
おそらく原題では図が与えられてて位置配置が細かく決定してるんだろう。
あなたその中の勝手な一個の位置配置決め打ちして証明してるけどそんなの証明として通用しないんだよ。
しかもそんな事しなくても複素座標とれば全部のケースひっくるめて一撃で証明できるのになんでそんな意味ない事するの？
そもそもOA・OB=1という条件見た瞬間に反転幾何学≒複素座標使ってみようと思う発想が出てこない時点であんた失格なんだよ。
もんいいからでてけよ。
あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
スレ汚し。 >>415
>あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
そんなこと最初から分かっている(笑
しかしこのスレはスレタイからして難問を出すスレではないから、
初等幾何の問題を出してもいいはずなのだ。
だからスレ汚しなどと叩かれる筋合いはない。
それに>>292の問題は灘高校の入試問題だというから、
複素数など使って証明する問題ではなく、
初等幾何で解けるはずの問題なのである。
これ以上書くと荒らしだと思われるかもしれないから、ここで止める。
お前らも僕に対する嘲笑とか攻撃はここで止めるように。
もちろんやりたければどんどんやればいい(笑 ∥人人∥前>>413
（_(＿)>>292も>>370も
（(-.-)納得∩∩でき
（っγ)ﾞる(^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)答えυυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ではないなぁ。>>292は相似。相似比も相似条件もまだわからん。>>370は確率。すべての場合分のその場合の数。すべての場合がいくつでその場合がいくつなのかまだわからん。 >>416
こいつここまで丁寧に説明してまだ何言われてるのかわからんのか。
どこまでアホなん？ (a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
分かスレの問題
全然わからん >>420
それは多分解答もなんも作ってない奴が適当に文字並べただけの問題だと思う。
あのスレはわからん問題なら何書いてもいいという独特なロジックでその手の問題がよく上がってるから注意しないと。 >>421
やっぱそうだよね
一応頑張って解こうとしたけど約数の個数とかその辺を一般化しなきゃいけないっていう壁にぶち当たった
プログラム組んでOEISにぶち込んでも何も出てこないし無理ゲー >>420前>>418
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)
4･3=6･2
a=6,e=2,b=4,f=1,c=8,d=3
n=8のとき、6･2=4･3もありうるから、
a=8,e=2,b=3,f=1,c=6,d=4
a=8,e=1,b=4,f=2,c=3,d=6のとき8･1=2･4で成り立つ。
もう一つあれば、
n以下の数で√n通りあるとか大胆な予想が立つけど。 >>422
え？そんな手があるの？あのOEISって検索できるん？ この数列の法則性は？
なんて聞かれたときは検索機能が重宝する >>427
いや、nが大きいほど簡単でしょ？
n=3のときのfはすぐできる。
n=2のときにfが作れるのか？が問題。
最小値は3 or 2。 R^2の点をpathconnected componentが1点になるようないくつの部分集合に分けられるかか
R^1なら有理数と無理数でイイから
A={(x,y) | x, y∈Q} B=R^2-A
でよくない？
アーダメかy=eがB内だわ
4つに分けて
A=Q^2 B=Q×I C=I×Q D=I×I（I=R-Q）
ならいいでしょ
p1,p2:R^2→R
につなげたらいいから
しかしn=2,3でダメということはどう言えば良いのか？ >>428
>n=3のときのfはすぐできる
どう作る？ 某大学入試過去問改
東西に10本、南北に3n+1本の道路が碁盤の目状に走った町がある。
この町の道路は最南端にある東西に走る道路を南から順に東西0号線から東西9号線、南北に走る道路を西から順に南北0号線から南北3n号線と呼ぶ。
3の倍数3kに対し南北3k号線、東西0、3、6、9号線は大通り、その他は生活道路と呼ばれる。
各交差点には以下のような規則が定められている。
・生活道路と大通りの交差点においては、生活道路から進入する場合には左折して大通りに合流する事のみしか出来ず直進、右折はできない。大通りから進入する場合には左折して生活道路にはいるか、そのまま直進する事はできるが右折は禁止である。
・大通り、生活道路どうしの交差点では右左折、直進すべて可能である。
この町の南西端をX、北東端をYとするときのXからYへ規則に従う最短経路の数を求めよ。
原題はn=7の場合です。 >>430
有理数×有理数は1,
有理数×無理数、無理数×有理数は2、
無理数×無理数は3にする。
コレでいけるはず。 あ、だめだ。
これだとずっと2になるかのうせいがある、
有理数×有理数は1,
有理数×無理数は2、
無理数×有理数は3、
無理数×無理数は4にする。
コレは絶対いける。
なので最小値は2か3か4。 >>428
あーそういう感じなのか？
2の時はダメだと言えて
3とか4とかどうなるのか、って方向性になるかなと思ったけど >>424
n=1,2,……の時の答えをぶち込んでなんか出てきたらラッキー 前>>423
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。 前>>437訂正。
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北3n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。 前>>438訂正。大通り右折できるわ。
>>431
Xから東西0号を東へ。南北Σn[n=1→3n+1]号との交差点を左折し北へ。適宜右折してYに着く経路。
∴(3n+1)^2通り 前>>439訂正。生活道路も掛けてた。
>>431
(n+1)^2通り 前>>440訂正。
>>431
11(n+1)通り >>431
これは、どうやってシミュレーションするかなぁ。
とりあえず、ｎ＝７のときで道路を作図
https://i.imgur.com/fJDSrQo.jpg 南から大通りに入る生活道路は全部カット（最短で進めないから）
大通りから東に入る生活道路も全部カット（最短で進めないから）
あとは自由に考える
大通りで囲まれた区画でなら
1+4C2=7通り
これを
左端の大通りは１
それ以外の南北の大通りが6
東西の大通りは１
で考えたら良いのではないかね 大通りの直進左折右折で変わるから>>446だと考えにくい
左から直進が1通り
左から左折が6通り
下から直進が1通り
下から右折が1通り
これで考えるんだな
あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか >>448
>あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
書きやすく南北逆転させてみたら
１ １ １ １ １ １ １
１ ６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
１ ７ 13 19 25 31 37
１ 12 48 84 19*6+6-120
１ 13 61 61+84=145
こんな感じか 「遠回りしない」という条件の下、東西、および、南北の0号、3号で囲まれる
3×3の区画内のいずれかの生活道路を使用する場合、
(1,0)か(2,0)から進入し、(3,1)か、(3,2)から出る場合しかなく、合計5通りある。
つまり、生活道路同士の交差点、(3p+s,3q+t) (s,t=1,2)を利用する場合、
必ず、大通り同士の交差点(3p,3q)と(3p+3,3q+3)を利用している。
題意の条件に従い、通った大通り同士の交差点のみをプロットし、結ぶと、
“横に変化”、“上に変化”、“斜めに変化”の三通りに分類できる。
“斜めに変化”の回数がk回だとすると、“横に変化”は、n-k回、“上に変化”は3-k回となる。
斜めに変化の場合、生活道路の通り方で、5通りあるので、
Σ[k=0,3] 5^k*((n-k)+(3-k)+k)!/{(n-k)!*(3-k)!*k!} で計算できることが判る。
答え 36n^3-54n^2+36n+1 >>450
正解
ちなみに東西線3m+1本、南北線3n+1のときは
Σ[0≦i≦m]C[m,i]C[n,i]6^i
(ただしj<kのときC[j<k]=0とする)
になります。
>>450さんの証明よく読めばできます。
ちなみに超幾何関数というのを使って
3F2(-m,-n,1;6)
とも表示されます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hypergeometric2F1%28-3%2C-x%2C1%2C6%29&;lang=ja なるほど。ということは、
Σ[k=0,m] C[m,k]*C[n,k]*(x+1)^k = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]*C[n,k]*x^k
が成立しそうですが、証明はどうやるんだろう．．．。 自然数nに対してm=C[n+1,2]変数の多項式Pn(x[12],‥,x[n-1,n])で次の条件を満たすものが存在する事を示せ。
n次元ユークリッド空間の点p0,‥pnに対し、その凸包をK、m個の正の実数a[12],‥,a[n-1n]をd(pi,pj)を並べたものとするとき
vol(K)^2=Pn(a[12],‥,a[n-1n])
が成立する。(高次元のヘロンの公式)
またこの時次が成り立つ事を示せ。
実数の組みa[12],‥,a[n-1n]が任意の{1,‥,n}のk元集合Sと添字がSに入るC[k2]個のa[ij]を選ぶとき
Pk(a[ij])>0
が成立するときn次元ユークリッド空間の点p0,‥pnでa[12],‥,a[n-1n]がd(pi,pj)を並べたものと一致するようなものがとれる。(高次元の三角不等式)
例
p1(x)=x
P2(x,y,z)=(1/16)(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
でn≦2では成立しています。 >>399
n=3の時は、f(x,y)の値を
1 (xもyも有理数の時)
2 (xとyの片方だけが無理数)
3 (xとyの両方無理数)
とすれば良い。fpの値が1か3で定数の場合は明らかにpも定数。
fpの値が常に2である時、pが定数でないと仮定。すると、任意の有理数qについて
C(q):=p^(-1)({q}×R) も C'(q):=p^(-1)(R×{q}) も区間[0,1]の閉集合になる。したがって
[0,1]=∪_(q:有理数) C(q)∪C'(q)
は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
そのような分割は不可能であるため矛盾。 >>454
>は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
[0,1]=[0,1]∪Φ >>452
(1+xz)^n = Σ[i=0,n]C[n,i]x^i z^i
(1+z)^m = Σ[j=0,m]C[m,j]z^j
(1-z)^(-n-1) = Σ[j=0,∞]C[n+j,j]z^j
より
(1+xz)^n (1+z)^mのz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[m,m-k]C[n,k] x^k
(1+xz)^n (1-z)^(-n-1)のz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]C[n,k] x^k
だから
f(z) = (1+z+xz)^n (1+z)^m/z^(m+1)
g(z) = (1+xz)^n (1-z)^(-n-1)/z^(m+1)
のz=0における留数が等しいことを示せばよい。
これはz=t/(1-t)と置くとf(z)dz=g(t)dtより明らか >>455
例えば C(q)=[0,1] の場合、pの第一成分が常にq、第二成分が常に無理数をとる訳だけど、
その場合は第二成分も定数でなければならないから、結局pも定数関数であることがわかる。
C'(q)の場合も同様。 >>455
の反例は乗り切ってるかもだけど[0,1]が高々可算無限個の非自明な非交和になり得ないは正しいのかな？
反例も証明も分からん。 >>412
イナさんは
おじさん(♂)だったんですか？ Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎという数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる確率はいかほどか？
(初めから無限個の集合で考えなくてもＯＫです
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません) log[10]2、
ちな最高位が3の確率？はlog[10](3/2) >>460
jlog2(10)≦i<jlog2(10)+1を満たす整数iはjに対して必ず1つ存在するので
2^nがm桁の数とすると{1,2,4...,2^n}にはm個の最高桁が1となる数が存在する
この確率はm/(n+1)=ceil(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでceil(x)はx以上の最小の整数 >>462 訂正
m/(n+1)=floor(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでfloor(x)はx以下の最大の整数 >>458
閉集合だと無理だと「現代数学の系譜・・・」スレでやってた /＿/＿/人人_/＿/＿/＿
/＿/_（＿^_)/＿/＿/＿
/＿/_（＿＿)/＿/＿/＿
/＿/_（ (^o)/＿/＿/＿
/＿/_（＿っ-┓_/＿/＿
/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿/＿/__/__/__/__/__/＿/＿/＿/＿/＿/あのどろだらけのすに～かぁじゃ～♪ ぉいこせない～の～わぁ～♪ ごめん、>>423の前>>417だった。
前>>442でんしゃ～でも♪ じかんでもなく♪ ぼくかもしれなぃ～け～ど～♪ ♪♪ >>458
さすがに省略しすぎてしまった、申し訳ない
>>454 の補足
閉区間[0,1]が、可算無限個の空でない閉集合により
[0,1]=∪_(n=0,1,…)C'_n (ただし 0∈C_0, 1∈C_1, n≠mならばC_n∩C_m=φ とする)
と分割されると仮定。
ここで、数列{a_n}, {b_n}を次のように定める。
まず、区間[0,1]におけるC_0∪C_1の補集合の、連結な部分集合を与える開区間(a_1,b_1)を１つとる。
つまり、a_1,b_1∈C_0∪C_1 であることに注意。
(i)nが奇数の時、a_(n+1)=a_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = min((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
（開区間(a_n,b_n)の両端はどちらもある C_m' (m'<m) の元であるため、
(a_n,b_n)∩C_m = [a_n,b_n]∩C_m. よってminが存在。）
(ii)nが偶数の時、b_(n+1)=b_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = max((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
以上のように定めた数列{a_n}, {b_n}は a_n<a_(n+2)<b_(n+2)<b_n を満たすため、どちらもn→∞で収束。
しかし、例えばa_nの極限Aは全てのn≧1について A∈(a_n,b_n) を満たすため、
どの C_n (n≧1) にも属さない。よって矛盾。 >>466 で変なところに C'_n が出てきてるけど、これは普通に C_n として処理してくだせえ…
余談ではあるけど、>>399 の問題におけるR^2を全てR^mで置き換えてできる問題を考えれば、
同様の方法で、求めるnの最小値は2以上(m+1)以下の整数であることがわかる。
具体的には、関数 f:R^m→{1,2,…,m+1}を
f(X)=1+(Xの成分のうち有理数であるものの個数)
と定めれば、>>454 と同様の方法で(fpが定数ならばpも定数)を示せるはず。 >>463
解答例は現在ガロアスレで絶賛展開中です。ご参考下さい。 >>456
御下賜ありがとうございます。
当初、目が点状態でしたが何とかフォローできました。
二重、三重に驚きました。鮮やかな手法に恐れ入るばかりです。
>>これはz=t/(1-t)と置くと
恐らく、z=t/(1+t) のミスだったのではないかと思います。
他の方の為に、記しておきます。 正の整数a,bを互いに素とする。
ある非負整数x,yがあってn=ax+byと書ける時nは良い整数であると定義する。
正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。 前>>465
>>470
正の整数でax+byと書けないものは、1,2
∴2個 >>470
>正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
(a,b)>1の時は無限大
(a,b)=1の時は面倒くさい nが良くない整数、かつn+a,n+bのどちらも良い整数である時、
n+a=bm, n+b=ak より a(k+1)=b(m+1).
これよりk=bk'-1であるから
n=a(bk'-1)-b.
nの良くない性より n≦ab-a-b であるから、k'=1.
以上から、任意の良くない整数 n<N:=ab-a-b について、n+a,n+bの少なくとも一方は良くない整数。
したがって、0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良くない整数ならばN-nは良い整数であることが導ける。
また、N=N-0が良くない整数であることと、
(N-nが良くない整数ならばN-(n+a)もN-(n+b)も良くない整数である)ことから、
0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良い整数ならばN-nは良くない整数であることが導ける。
以上の議論から、整数n∈[0,N]について、nとN-nの片方だけが良くない整数であることがわかる。
ゆえに、求める個数は(1+N)/2=(a-1)(b-1)/2. >>399 の類題と言えるかも知れない問題、こちらも出題者には未解決
実数全体からなる集合をRとおく。Rの任意の部分集合Aについて、次の主張は成り立つか：
Aの補集合とAの少なくとも一方は、Rの非可算な閉部分集合を含む。 実数全体からなる集合などというものは存在しないし、
実数は非可算ではない（笑 >>476
R={有理数}∪{無理数}でよくない？
{無理数}が閉集合Fを含むとするとU=R＼Fは{有理数}を含む開集合で{有理数}はdenseだからU=R。
∴{無理数}が含む閉集合は空集合のみ。 >>478
一応説明しておくと、例えば無理数の部分集合を
{x∈[0,1] : xを２進展開した時、小数点以下第(2n)位はnが平方数の時1、それ以外の時0}
等と定めればこれはカントール集合と同相になります >>454
これってx,y,の両方が無理数の時と
それ以外の場合で分けてやっても同じようにpが定数は言えないの？ まあカントール集合って構成的に閉集合の共通部分だし Rを稠密で内点のない2つの連続濃度の部分集合に分割して欲しい (1/4845)(4Ｃ2)(16Ｃ1)(4Ｃ1)
=6･16･4/4845
=2･64/1615
=128/1615
=0.07952569659……
前>>148
∴約7.952569659％ >>485
その場合、p:[0,1]→R^2を例えば p(t)=(0,t) と定めた時にp(t)がずっと R^2-{無理数}^2 に属することになるね 無理数集合はR上の閉集合の可算和では書けないことを証明せよ >>492
R\Q=∪_(n≧1) C_n と可算個の閉集合に分割できたと仮定。
0以上1以下の全ての有理数を {q_n}_(n≧1) と番号づけすると、
∪_(n≧1) ((C_n∩[0,1])∪{q_n}) = [0,1]
により、可算個の閉集合による区間[0,1]の非自明な分割が与えられてしまい、>>466と矛盾。 >>493
なるほど素晴らしい
想定解はベールのカテゴリー定理を使うものでした >>495
R\Q=U_{n∈N} C_nと可算和で書けたとする
Q= {q_n}_{n∈N}とすると
R=U_{n∈N} (C_n ∪ {q_n})となる
ここでRは完備距離空間より
ベールのカテゴリー定理「空でない完備距離空間は内点を持たない閉集合の可算和にはならない」
から、あるC_nは内点を持つがC_nはR\Qの部分集合のため矛盾 >>476 はどうやら否定的に解決されてるみたいだ…Bernstein集合が反例になっている
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bernstein_set
Bernstein集合の存在性については、下のpdfの定理3.7で示されている
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2017/07/ukeru_gene_topo.pdf
そして多分同じ手法で、>>399の答えが2であることもわかる。
ポイントは、（非可算な）閉集合全体からなる集合の濃度が、R^2と同じ連続体濃度である、ということ。 >>497
そのポイントから>>399の答えが2になる事をも少しkwsk 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0
R* := R ∪ { e }
(0 ≠ e ≠ dx)
a + e = a = a – e (a ∈ R)
ne = e (n ∈ Z)
応用例：
Vistaかwin7のファイルの表示方法を設定するメニューがその例です。 色々整ったので>>399の答えが2であることを示します。
ちなみにR^2からR^nに変えても同様で、答えが2であることも言えます。
R^2は可算な開基を持つので、R^2の開集合の個数は連続体濃度。
よって、R^2の閉集合全体からなる集合の濃度も同じく連続体濃度である
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
Pの各元が閉集合であるため、同じく連続体濃度を持つ。
これより、連続体濃度を持つ最小の基数をΩとおくと、PからΩへの全単射ωが存在。
超限帰納法により、R^2の点列 {a_p}_(p∈P), {b_p}_(p∈P) であって、
任意のp∈Pについて a_p≠b_p かつ
a_p, b_p ∈ p＼∪_(p'∈P, ω(p')<ω(p)){a_p',b_p'}
を満たすものが存在。
（任意のp∈Pについてpは連続体濃度を持つことと、
p'∈P であって ω(p')<ω(p) を満たすものの個数は連続体濃度未満であることに注意。）
B={b_p:p∈P} とおけば、任意のp∈Pについて
b_p∈p∩B, a_p∈p∩(R＼B)
を満たすので、これを用いて関数 f:R^2→{1,2} を
f(X)=1 (X∈Bの時), 2 (それ以外)
と定めれば良い。 >>501
BもR＼Bも、どの弧とも共通部分を持たなければならないことを考えると、なると思う
でも、そのような例であれば他にも
Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合みたいな分割はできそう >>500
まって。よくわからない。
b_pを構成するところにもfが出てくるけどコレは我々が作らないといけない関数f:R^2→{0,1}のfとは別物だよね？
目標としてる命題は
∃f:R^2→{0,1} ∀p:[0,1]→R^2 ‥‥
だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？ >>502
>Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合
なーるほど
ありがとう >>503
>だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
まずBを作ってそこからｆを作ってるから大丈夫 >>505
Bを作る時にPが出てきて、そのPはfから来てるけど、fは[0,1]からR^2への連続関数で好きなものとってくるの？ >>506
納得いかないならPを定義しているところのｆはｇにでも名前変えてみたら？ >>507そのgはどんな関数を使ってもいいんですか？ わかった。
連続写像の像として得られる閉集合の全体がPか。
なるホロ やべえ、fを複数箇所で使っちまった
必要であれば>>500は以下のように訂正して読んでください
誤
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
正
ゆえに、区間[0,1]からR^2への定数でない連続写像の像全体からなる集合Pは、 一辺10[m]の正方形ABCDのプールがある
点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
点Aから正方形の中心まで泳ぐのに掛かる最短時間を求めよ >>512
> 点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
コレはその地点ではどっちの向きを向いていてもr/10？
Dに向かっていようがいまいが？ >>513
とりあえず問題文の通りどの向きでもr/10
さすがに向きによってスピード変わると難しくなる
そんな湧き出し方が現実に存在するかどうかは知らん >>514
なるほど。
じゃあ測地線求めよみたいなもんなのかな？ >>513
無意味な文章題だよな
こんな問題出題したら大顰蹙だ >>515
測地線というより断面積最小化かな
>>516
まあじゃあ湧き出しじゃなくて場所によって水質や重さが違うってことにしてくれ 前>>490
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって弧を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=2π･5(1/4)t-at^2/2=5π/2
2t-at^2=5π
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=5π
(1+1/√2)t=5π
t=5π/(1+1/√2)
=5π√2/(√2+1)
=5π√2(√2-1)
=π(10-5√2)
=9.20151185……(秒) >>517
断面積？
中心をE、AからEへのpathをp(t)(0<t<1)として所要時間は
T=∫[0,1] 10/r |x'(t)|dt
だから計量が
ds^2=(dx^2+dy^2)/r^2
のときの測地線を求めよになるのでは？ >>520
失礼しました
f(x)=1/||x||のグラフ上で線積分をしてるから断面積を最小化するという考えです
たしかにそれなら測地線問題ですね >>512
Dを原点として極座標(rcosθ,rsinθ)を取り
曲線θ=f(r), 5π/4=f(10√2)=f(5√2)上を泳ぐときの時間は
T(f)=∫[5π/4,10√2]√((cosθ-rsinθdθ/dr)^2+(sinθ+rcosθdθ/dr)^2)/(r/10)dr
=10∫[5π/4,10√2]√(1/r^2+(f'(θ))^2)dr
この最小値はf'(θ)=0のときで
minT(f)=10∫[5π/4,10√2](1/r)dr
=10log2 >>522
不正解です
f’=0の場合、境界条件を満たしません >>512
極座標の曲線r=f(θ), 10=f(-π/2), 5√2=f(-π/4)上を泳ぐ時間は
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(f'(θ)/f(θ))^2)dθ
δT(f)=0に対するオイラーラグランジュの方程式は
-(f'/f)^2/(f√(1+(f'/f)^2))-(d/dθ)((f'/f)/(f√(1+(f'/f)^2)))=0
整理すると
(f'^2-f''f)(f^2+f'^2)^(-3/2)=0
この解はf(θ)=a e^(bθ)で境界条件を合わせると
f(θ)=10e^((-θ-π/2)(2log2)/π)
このとき
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(2log2/π)^2)/dθ
=(5/2)√(π^2+4(log2)^2) 前>>518
8秒切るのかよ──。
泳ぐ経路は放物線か？ 前>>526
5/{4log(√5+2)}+5√5/2
=7.58390826(秒) >>525
素晴らしい
正解です
>>527
不正解 前>>527
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって放物線を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=1.4789･5
2t-at^2=14.789
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.789
(1+1/√2)t=14.789
t=14.789/(1+1/√2)
=14.789√2/(√2+1)
=14.789√2(√2-1)
=14.789(2-√2)
=8.66319563……(秒) __∩∩__/__/__/__/__/
_((`.`)_/__/__/__/__/
_(っц~`～っﾞ_/∩∩_/
∥￣￣υ∥￣￣(`) )/
∥＼／∥∥＼／,U⌒ヽ/
__/__/__/__/_(＿＿＿)
__/__/＿/＿/＿/_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/少数……。前>>529
__/__/__/__/__/__/__/
__/__/__/__/__ﾁｭ_/__/
__/_ц~_/__∩∩∩ξ､/
∥￣￣∥∥( (-(`) )/
∥＼／∥∥(`っ,U⌒ヽ/
__/__/__/_ι_(______)
__/＿/＿/＿υυ_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/>>531好きだよ。愛してる。せやて数の大きさが実感できるじゃないか。 >>525
左上の頂点Dを極とする極座標ですね。
DP = f(θ) = 5･e^{-(2log2)θ/π} = 5･2^(-2θ/π),
T(f) = (5/2)√{π^2 + (2log2)^2} = 8.584657992882624266 (秒)
経路は対数らせん。 >>529
t秒後の速度と位置を
v = 1 - at,
AP = t - (a/2)tt,
とする。
AD=10(m), ∠PAD = 45ﾟ ゆえ
第二余弦定理より
(DP/10)^2 = 1 - (√2)(AP/10) + (AP/10)^2
≧ 1 - (√2)(AP/10)
= 1 - (√2){t -(a/2)tt}/10,
また
v^2 = (1-at)^2,
題意 (v ≦ DP/10) を満たすために
a = 1/(10√2),
とすると、到達時間は
t｡ - (a/2)t｡^2 = 5√2 = 1/(2a),
より
t｡ = 1/a = 10√2 = 14.1421356 (秒)
となり、止まってしまう････orz ;;;;;;;;人;;;;;;;;;;
;;;;;;（＿）;;;;;;;;
;;;;;（＿＿);;;;;;;;
;;;;;（＿(`);;;;;;;;
;;;;;（＿_っ┓;;;;;;
;;ε=◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;;;;
ﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝ……。螺旋状に正方形の中心に近づくように泳いだほうがいいな。前>>532標的に対しできれば右回りで、左回りでもいいけどじゅうぶん近づいてから中心に切りこむ。湧水による減速を最小限にとどめるべきだ。 前>>535
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かってまっすぐ直線をt秒間泳ぐと、速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=5√2
2t-at^2=14.1421356
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.1421356
(1+1/√2)t=14.1421356
t=14.1421356/(1+1/√2)
=20/(√2+1)
=20(√2-1)
=20･0.41421356……
=8.28427123……(秒)
あれ？ まっすぐ泳いだほうが速いのか。 長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する三角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。
この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。 Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
= 10 (1.3169579-0.8813736)
= 4.355843 (秒)
これを合計して 9.591831 (秒) イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ >>536
v = 1-at,
AP = t -(a/2)t^2,
より
v^2 - (DP/10)^2
= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
= AP(10√2 -200a -AP) /100,
・ここで a = 1/(10√2) なら
v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
1-at｡= 1/√2,
t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
a = 1/(20√2),
v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。 F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)≦C (x∈R)
・x^2≦F(x) (x∈R)
このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ. >>543
失礼しました修正します
任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.
です 前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω] 前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。 Aから対角線の交点まで直進する。
A付近では加速度aを大きく {a=1/(10√2)} せねばならんが、
そのままａ一定にすると、後半で遅くなり過ぎる。 >>534
制限速度いっぱいで直進すると
v = DP/10
= √{１ - (√2)AP/10 + (AP/10)^2}
= (1/√2)√{１ + (1 - AP/5√2)^2},
T = ∫[0,5√2] (1/v) dAP
= 10 ∫[0,1] 1/√(1+uu) du {← u = 1 - AP/(5√2)}
= 10 [ arcsinh(u) ](u=0,1)
= 10 arcsinh(1)
= 10 log(1+√2)
= 8.81373587 (秒)
2.7%ぐらい遅いが。。。 A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},
ds = √{1+(2bx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
= 8.6463092 (秒)
0.72%ほど遅い。。。 >>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},
ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
= 8.78206166 (秒)
2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？ 前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!! 前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.905626282……
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=15.905626282……
(1+1/√2)t=15.905626282……
t=15.905626282(2-√2)
=9.31730016……(秒)
たいして速くない。 n次関数 y = d x^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから d=1/5^(n-1).
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (d/10)x^n]^2},
ds = √{1 + [nd･x^(n-1)]^2} dx,
T(n) = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+[nd x^(n-1)]^2} (10/DP) dx
n T(n)
----------------------------------------------------
1 8.8137358702 +2.67% >>549
2 8.6463092000 +0.718 >>550
3 8.7820616603 +2.30% >>551
4 8.9261905925 +3.98%
5 9.0515773221 +5.44%
6 9.1577166076 +6.675
----------------------------------------------------
正解 8.5846579929 >>525 >>533
近似式 (n≧2)
8.584658{1 +0.0182(n-1.62) -0.0007(n-1.62)^2} >>512はもう>>525で答え出てるんじゃないの？ √{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
──どういうことや？
前>>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。 訂正
n次関数 y = d･x^ｎ -10 でした。
n→∞ のときは直角に近づく。
横： A(0,-10) → (5,-10)
DP = √(100+xx),
∫[0,5] (10/DP)dx = 10∫[0,5] 1/√(100+xx) dx
= 10 [ arcsinh(x/10) ](x=0,5)
= 10 arcsinh(1/2)
= 10 logφ {φ=(1+√5)/2=1.618034}
= 4.8121182506 (秒)
縦：(5,-10) → X(5,-5)
DP = √(25+yy),
∫[5,10] (10/DY) dy = 10∫[5,10] 1/√(25+yy) dy
= 10 [ arcsinh(y/5) ](y=5,10)
= 10 {arcsinh(2) - arcsinh(1)}
= 10 {log(2+√5) - log(1+√2)}
= 10 (1.443635475 - 0.88137358702)
= 5.6226188816 (秒)
これを合計して
T(∞) = 10 log{(2+√5)(√2 -1)φ} = 10.4347371322 (秒) 円卓の席に座る方法を考える。
4人席の場合、既に着席している4人が1,2,3,4と書かれたくじを引いて、反時計回りに1,2,3,4と並ぶように座り直すことにする。1の席が固定されているということはない。
すると、どのようにくじを引いたとしても高々2人の移動で済むことが簡単な考察で分かる。
では一般にn席あって着席済のn人が1,2,…,nと書かれたくじを引く時、移動しなければならない人は高々何人だろうか？ 前>>556
>>558
4人いたら2人移動。
5人いたら3人移動。
n人いたら、
高々n-2人移動すれば半時計回りに番号順に並べると思う。 >>558
n人が『時計回りに』1,2,…,nの番号を引いた場合、
動かずに済む人数は、nが偶数の時2人、奇数の時1人となる。
また、どのようにくじを引いても1人は動かずに済むことから、
nが奇数の時の答えはn-1人であることがわかる。
nを偶数とし、Z/nZ上の任意の全単射fをとる。
g(x):=f(x)-x もZ/nZ上の全単射を与えていると仮定すると
Σ_(x∈Z/nZ) g(x) = Σ_(x∈Z/nZ) f(x) = Σ_(x∈Z/nZ) x = n/2 + nZ
となるが、これは
Σg(x) = - Σx + Σf(x)
と矛盾。ゆえにgは全単射でない。
したがって、f(x)-f(y)=x-y を満たす異なる x,y∈Z/nZ が存在。
以上の考察から、n人がどのようにくじを引いても、2人は動かずに済む。
よって、nが偶数の時の答えはn-2人。 以前、たしかこのスレに、
円に内接する多角形を三角形に分割したとき、
どのように分割しても、
それらの三角形の内接円半径の和は一定である、
という問題があったが、四角形の場合の証明が分った。
円に内接する四角形を、右上から左回りにABCDとし、
各辺をAから左回りにa、b、c、dとする。
円の中心Oからa、b、c、dに下ろした垂線をe、f、g、hとし、
対角線AC、BDに下ろした垂線をi、jとする。
また円の中心Oは△ABC、△BCDの外にあるとする。
また外接円半径をR、
△ABC、△ACDの内接円半径をr1、r2
△BCD、△ABDの内接円半径をr3、r4とする。
するとカルノーの定理により、
e+f-i=R+r1、g+h+i=R+r2 ⇒e+f+g+h=2R+r1+r2
f+g-j=R+r3、h+e+j=R+r4 ⇒e+f+g+h=2R+r3+r4
∴ r1+r2=r3+r4 >>557
楕円 y = -√(100-kxx) に沿って進む。
対角線の交点X(5,-5) を通るから k=3,
v = DP/10
= (1/10)√{100-(k-1)xx},
dy/dx = kx/√(100-kxx),
ds = √{(100+k(k-1)xx)/(100-kxx)} dx,
T = ∫(1/v) ds
= 10∫[0,5] (1/DP)(ds/dx)dx
= 10∫[0,5] √{(100+k(k-1)xx)/((100-kxx)(100-(k-1)xx))} dx
= 8.6698357840
0.992%ほど遅い。
近似式
T(n) = 10.434737 - 4.8644/n^0.6 + 3.2450/n^1.2 この式は n=1.61693 の辺りで極小値 8.61175 となる。(0.315%遅い)
この辺が曲線 y = 5(x/5)^n -10 に沿って進む場合の限界かな～ https://matome.naver.jp/odai/2142193955410363201
Naver まとめ
おもしろく、素敵で、考えさせられる、大学入試問題 519gugさん 2015年01月23日
最も短い入試問題 （京都大学編）
tan１°は有理数か。
2006年 京都大学 後期 理系 第6問
超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。
出典
http://mathtrain.jp/tan1 >>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん >>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾 4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3677-0 そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう 正の有理数 x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と
a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1)
の関係がある。
a+b+c の値が 100と最も近いもの および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。 1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry 訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。 >>570
tan(30ﾟ) が有理数でないことを示すには
sin(30ﾟ) = s とおく。
1 = sin(90ﾟ) = 3s -4s^3,
(s+1)(2s-1)^2 = 0,
s≠-1 だから s=1/2,
tan(30ﾟ) = s/√(1-ss) = 1/√3,
1/√3 が有理数でないことを示せばよい。
1/√3 が有理数だったと仮定すると
1/√3 = p/q (p,qは自然数)
q^2 = 3p^2,
ここで両辺を素因数分解すると
左辺の3の指数は偶数(または0)、右辺の3の指数は奇数
となって UFD に反する。 (矛盾) >>575
{ sign(q)･arctan(√|q|) + nπ | q∈Q, n∈Z }
かな 和を1/2に保ちながらエジプト分数の項数を二倍に増やす
1/2=1/3+1/6=1/4+1/10+1/12+1/15=1/5+1/14+1/20+1/21+1/24+1/28+1/35+1/40=
1/6+1/18+1/30+1/30+1/33+1/36+1/44+1/45+1/60+1/65+1/63+1/70+1/77+1/84+1/88+1/104=
1/7+1/22+1/39+1/42+1/42+1/52+1/55+1/60+1/66+1/70+1/85+1/90+1/99+1/112+1/117+1/119+
1/126+1/126+1/130+1/133+1/144+1/152+1/154+1/165+1/168+1/170+1/198+1/204+1/209+1/228+1/234+1/273=1/2 有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.
(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).
(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).
以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1) は周期的にならない。
一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、
x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。
これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。 >>580
正解です。
中々面白い解答で素晴らしい。
想定の解答は
(tan(mπ/n))^2 が有理数でm,nが違いに素ならQ(tan(π/n))はQの2次拡大なのでこのようなnを決定すればよい。
cos(2π/n)∈Q(tan(π/n)、[Q(cos(π/2):Q]=φ(n)/2 (n≧3) なのでφ(n)≦4が必要。
よってn=1,2,3,4,5,6,8,10,12が必要。
以下ry
でした。 (tan(2π/n))^kが有理数となる自然数n,kを決定せよ。 前>>559
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＲ 前>>583訂正。有理数の記号はＱでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＱ 前>>584訂正。自然数の記号はＮでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＮに対して、
与式=1^k=1эＮ
∴n=8のとき、kは任意の自然数。
n≠8のとき、k=0
もっとありそうな感じがする。 >>582の確認。
こんなの感でも答えはtan(2π/n)=1、またはk≦2のときに限られるのはわかります。
題意はそれを証明しなさいです。
すなわち
(tan(2π/n)^kが有理数となるのはtan(2π/n)=1、または(tan(2π/n)^2が有理数の場合に限る事を 証 明 せよ。
です。 K:=Q(tan(2π/n))⊂Q(e^(2πi/n)) より K/Q はアーベル拡大であるから、
tan(2π/n)^k=p/q において k=2 とできなければならない。
あとは>>580と同じ…というのは飛ばし過ぎだろうか 前>>585
1+tan^2θ=1/cosθより、
tan^2θ=1/cosθ-1
tanθ=√(1/cosθ-1)
θ=2π/nとして、
tan(2π/n)=√{1/cos(2π/n)-1}
tan^k(2π/n)={1/cos(2π/n)-1}^(k/2)
n=1のとき、
tan^k(2π)={1/cos2π-1}^(k/2)
0=0^(k/2)
kは任意の自然数。
n=2のとき、
tan^kπ={1/cosπ-1}^(k/2)
1^k=(-2)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
n=8のとき、
tan^kπ/4={1/cos(π/4)-1}^(k/2)
1=(√2-1)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
∴n=1,kは任意の自然数。
もしあってたとしても、どこが面白いかはわからない。 >>587
まぁそれがほぼ想定解です。
しかしさすがに飛びすぎ。
実数tにおいてある自然数kにおいてt^kが有理数、かつQ(t)がQ上のアーベル拡大のときt^2が有理数である事を示せ。
です。 >>590
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)を4頂点とする。
E(a,0) (0<a<1/2) を適当にとる。
直線AC∩直線BD=F(1/2,1/2)∈S
直線DE∩直線AC=G∈S
直線BG∩直線AD=H(0,a)∈S
直線AH∩直線BC=I(1,1-a)∈S
直線EI∩直線CD=J(1+a,1)∈S
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S
この時□AEJCと□KACLのそれぞれの対角線の交点を結べば良い。 じゃあまた投稿者には未解決だけど一つ
任意の複素数係数多項式 F∈C[x] について、次を満たす f,g,h∈C[x] は存在するか：
F(x) = f(x)^3 + xg(x)^3 + (x^2)h(x)^3 /∥__∥ □ ∥ |ﾟ○。
|∩∩∥ ｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`e) [￣]∥(`) )ﾟ
(￣,`っ｢￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ >>590正方形の対角線の交点は垂直二等分線が通る。前>>588あともう一点、垂直二等分線上の点が必要。定規にシャーペンを固定してコンパスみたいに回したらどうかな。 >>591
直線AH∩直線BC→ 直線FH∩直線BC
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S → K(-a,0)
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S → L(1-a,1)
ということかな？
平行四辺形二つ作って刺す感じですか
なるほど正解です
想定していた解法はチェバを使うものでした >>595
ここでいう「定規」とは以下の能力しか持たない抽象的な道具です
・与えられた二点を結ぶ線分を引く
・線分を延長する
また、点とは「線と線の交点」、「線分の端点」のことを指します >>599
この要領で対辺にも中点を作ってそれらを結べばよい ユークリッド平面上に三点(-1,0),(0,0),(1,0)だけが作図されている状態から、
任意の有理数rについて点(r,0)を作図できることを示せ。 >>602
補題1
A1,A2,A3が同一直線上にこの順に等間隔に並ぶとき、この直線上の点A4をA1,A2,A3,A4が等間隔に並ぶようにできる。
∵)Pを直線外にとり線分PA2上にQを任意にとる。
PA1とQA3の交点をB1、PA3とQA1の交点をB3とすればB1B3//A1A3となる。
同じ手順をQを取り替えて行えばさらに線分PB1上のC1と線分PB3上のC3をとってB1B3//C1C3とできる。
C1C3とPA2の交点をC2とすればC2B3とA1A3の交点が求めるA4である。□
補題2
A1A2と線分PA1上のB1とPB2上のB2においてB1B2が平行でA1ある時A1とA2の中点がとれる。
∵)A1B2とA2B1の交点をQとする時、PQとA1A2の交点が求める中点である。□
補題3
n≧1と補題1の設定の元にA1A2を1:2^(n+1)-2に内分する点Xと2:2^(n+1)-3に内分する点Yがとれる。
∵)Pを直線外心に任意にとる。
補題1によりA1A2を2^n:2^n-1に外分する点Qがとれる。
Rを線分PA1上に任意にとりQRとPA2の交点をSとする。
A1SとA2Rの交点をTとしPTとA1A2の交点をUとすればUはA1A2を2^n:2^n-1に内分する点である。
補題2により中点を取る操作を何度もくりかえせばXとYが得られる。□
定理
補題1の設定の元に任意の1未満の正の有理数tに対しA1:A2をt:1-tに内分する点がとれる。
∵)t=a/bとなる自然数をとる。
補題2によりbが奇数の時しめせば十分である。
自然数nを2^n-1がbの倍数であるようにとれる。
この時2^n-1=bcとおけばa/b=ac/(2^n-1)であるから補題1,補題3により可能である。□ >>604
わあすごい、お見事
想定していた流れは
・y=0 以外でy軸に平行な直線Lが作図可能。
・全ての整数nについて点(n,0)は作図可能。
・ゆえに、直線L上に、任意に長い等差点列を作図可能。
・任意の整数n,a>0,b>0について、二点(n,0),(n+1,0)をa:bに内分する点を作図可能。
最後のは、例えば直線Lが y=√2 で表され、なおかつ全ての点 (e+πm,√2) (m∈Z) が作図できたとして、
二点(n,0),(e,√2)を結ぶ直線と二点(n+1,0),(e+π(a+b),√2)を結ぶ直線の交点をPとおけば、
二点P,(e+πa,√2)を結ぶ直線とy=0の交点が求める点になる。 簡単かもしれないけど
“円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形である事”
を初等幾何で証明できますか
まあ解ける人はサクッと解けるのだろう 前>>595
>>590あ、わかった！
正方形を折り紙みたいにぴったり半分に折ればいいんだ。
で、その折り目に沿って定規で線を引く。 >>606
△ABC = (1/2)AB･CH
ここで CHは、頂点Cと直線ABの距離。
2頂点 A,B を固定し、中心Oから辺ABに垂線を下ろす。
垂線と円周の交点をX1,X2とする。
辺ABも、X1, X2 で引いた接線も、直径X1-X2 に垂直だから互いに平行。
円周は、この2本の接線の間にある。
Cがこの円周上を動くとき、 △ABCが最大になるのは CH が最大のとき。
すなわち Cが、2つの接点Xのうち ∠AXB が鋭角の方であるとき。
このとき AC=BC
A,B,Cを入れ替えても同様だから、正三角形。 >>606
△abcは円周上の相異なる三点から作られる三角形で、それらのうちで面積最大であるとする
いま、△abcが正三角形ではないと仮定し、abとbcの長さが異なるとする
するとacの垂直二等分線かつ円上のbのある側に点dがあり、△adc>△abcで矛盾 >>590
正方形S内の作図でも可能でした。
>>591 のあと、対角線BDに平行な線分EHを作ります。←これがミソ
線分EH ∩ 線分AC = M(a/2,a/2)
線分EF ∩ 線分BM = N(3a/{2(1+a)}, a/{2(1+a)})
直線AN ∩ 線分BC = P(1,1/3)
直線AN: y = x/3,
あとは簡単ですね。
ABCDが長方形のときも全く同じ。 >>609
ab≠bc から △adc > △abc を出すのはどうやるんでつか？ >>607
「定規」とは>>597にある能力しか有しません
しがたって「折り目に沿って線を引く」という能力はありません >>602 関連
二点が与えられたときに中点を定木だけで作図はできない
証明ってどうやるんですか？ >>613
2点しかないんだったらできることはその2点を通る直線を引くことだけ
あと適当に引いた直線はその2点とは全く独立だから結論に何も役立たない >>613
定規だけが使える状況では、与えられた二点の中点が作図できることは、
与えられた二点を通る直線と平行な直線が作図できることと同値になりそうだ
しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
別のある特定の点が作図できてしまうんだからな >>615
>しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
>別のある特定の点が作図できてしまうんだからな
コンパスもあれば2次方程式を解けるということが重要
定規だけでは何も出来ない n点与えられているときに定規で出来ることは
そのn点から2点取って直線を引き
その交点も含めて点の個数を
n(n-1)/2(n(n-1)/2-1)/2=(n+1)n(n-1)(n-2)/8
に増やすことだけ
これを繰り返して点をいくらでも増やせるが
それだけ とは言え等間隔な三点が与えられたら、602の通りに実際『何かができた』わけだからなあ…
定規だけを使った作図に何ができて何ができないのか、という問いに正確に答えようとしたら、
それは中々自明でない問題な気がする ２点をm:nに内分(外分)する点を与えたらm:nに外分(内分)する点は定木だけで作図できる
けど中点は無限遠点になる。。 よく知らんけどもしかして平行線公理の独立性ってやつ？ というかまず、明示的に許されている訳ではない操作である、
『点を適当にとる』という操作を定式化する必要があるんだよな
しかしこれはおそらく、二人不完全情報ゲームの文脈を使えばできると思う
便宜的に二人の名前を『作図者』と『神』と名づけておく。
作図者は、>>597に記されている操作をしている間はずっと自分の手番。
しかし、作図者がある直線上に点を適当にとりたいと思った時は、まずその直線の開部分集合を一つ指定し、
その開部分集合のうちどこに点をとるかを神が決める、という操作を経なければならない。
更に、作図者は開部分集合のうち神がどこに点をとったのかは、知ることができない。
（ただし『これは作図を始めてから何番目にとった点である』等のように、
適当にとった点に番号付けをして、他と区別することは可能。）
平面上に適当に点をとりたい時も同様。
すなわち先に作図者が開集合を指定し、その中から神が作図される点を決める、という操作を経る。
作図者は、開集合の中で神がどこに点をとったかを知ることはできない。番号付けは可能。
最終的に作図したい点を作図できれば作図者の勝ち。さもなくば神の勝ち。
作図者に必勝法がある時、その点は『作図可能である』と言う。 >>619
つまりn:mの間隔にある三点から、(n-m):mの間隔にある三点を作図することが可能という訳か
n:mが整数比なら、互除法使えば最終的に1:1にたどり着くから、
結果的にその直線上にある全ての有理（的な）点が作図できる >>611
acに垂直な玄のうちdを通るものは直径で最長なので底辺acに対する高さがbよりも高いから /∥;;∥∩∩］∥ |;;;;;
|∩∩|((-_-)｡∥ ∩∩;;
( (`)(っ/c) ∥(`) );
(￣￣)「￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~>>590正方形の対角線の交点は辺の垂直二等分線が通る。前>>607あともう一点。一辺をのばした延長上の一点から最遠方の頂点まで定規で直線を引く。
この直線を引いたとき辺と交点ができる。この交点から頂点に向かって新たな直線がもう一つ引ける。この直線を引いたとき対角線と交点ができる。この交点に先にとった一辺の延長上の一点から半直線を引くと、この半直線はふたたび正方形の辺と交わり
(>>599チェバの定理より正方形の辺を二分する)、この交点と対角線の交点を通る直線を引けば、垂直二等分線が定規だけで引ける。 >>613 より少しだけ弱い問として
『何も作図されていない状態の平面から、定規だけを使って平行線を作図することは可能か』
というものが挙げられる。
弱いというのは、もし613が可能ならばこちらが可能であることも導ける、という意味。
しかし解決の方法はさっぱりわからん… 前>>624
>>625
一般に定規は平行な直線が一定の幅を保つように作られている。
∴平行な2直線を引くことは可能。 平行線と中点の定木のみ作図可能性はチェバの定理より同値では？
垂線の作図はどうんだろ 平面上に直線だけが与えられているとして、定規だけで垂線作図するのは無理だろうね
最初に与えられてるのがx軸だけであれば、>>621の意味で作図可能な図形は、
ある開集合に属する任意の実数aについて、変換 f(x,y)=(x+ay,y) で不変でなければならない >>608>>609
半分正解！
正当化の議論すれば間違ってはない
それで示せるのは「正三角形以外は最大値を与えない」という命題であって
「正三角形で最大値を取る」という事は直接言えない
これは「必ずある三角形が最大値を与える」という命題を認めなければならないということ
まあそれを確かめるのも大学数学の範疇では簡単なので、それ込みでそういう解き方もアリっちゃあり
でも一応初等幾何だけでも解けるんだよーって話
元ネタは京大入試の問題だかなんかで、「正三角形以外の三角形は不適を示すだけでは不正解になる」という話があって
模範解答は解析的に解いてたけど
ちょっと工夫すれば一応幾何だけで解けるな、と思ったので >>629
一応できた。
二等辺三角形に限定していいのは既出の通り。
正三角形ABCの外接円をΓとする。
BCに関してAと対称である点をD、
CAに関してBと対称である点をE、
ABに関してCと対称である点をFとする。
B、Cから直線EFに下ろした垂線の足をG,Hとする。
ADに垂直な弦PQに対して△APQ≦△ABC、等号はPQとBCが一致するときを示せば良い。
直線PQとDB、DCの交点をRSとすれば△APQ≦△ARSで等号成立はBC=PQのときだから△ARS≦△ABCを示せば良い。
R,Sから直線EFに下ろした垂線の足をT,Uとする。
□BCGH=2△ABC、□RSTU=2△ARSだから□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
以下EF方向に√3倍して議論する。(√3倍した点を定義していけばよいがめんどくさいだけなので手を抜く)
RSがBCよりDに近い側にある時は□RSTUが□BCGHの外側にはみ出してる部分は内に引っ込んでる部分と比較して同じ幅で長さの短い長方形になっているのでこの場合はよい。
反対側にRSがずれている時も同様である。 >>606
本問では △ABC の面積を
f(C, B-A)
とおくことが可能ですね。(何でもない事のようですが)
>>609 から
∠Cを固定して ∠A, ∠B を変えたとき、
面積は、二等辺三角形(B-A=0)のときに最大である。
Max[x] f(C,x) = f(C,0)
次に ∠C を変えたとき、
面積は、B=C (=π/3) のときに最大である。(正三角形)
Max[C] f(C,0) = f(π/3,0)
これらより、最大値は
Max[C,x] f(C,x) = f(π/3,0)
つまり「正三角形で最大値をとる」という事が言えます。(キッパリ)
周囲の長さが一定とか、うまくパラメータ付けできない時には >>629 のようになりますが････
>>623 も同様かと････ >>630
□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
ここ以降も少し簡単にできるな。
△DEFのうち□RSTUの外側の部分が内側の部分より大きいことを示せば良い。
RSがBCよりDに近い側にある時は△ERT、△FSUをそれぞれRT、SUで□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えないで残る部分はちょうど△DRSと合同な三角形だからよい。
RSがBCよりDに遠い側にある時は△DRSを□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えないで残る部分は△ERT、△FSUに合同な三角形二つを合わせたものだからよい。□ >>631
補足します。
C≠π/3 ⇒ f(C,0) < f(π/3,0)
(略証)
f(C,|A-B|) は |A-B| について単調減少なので
f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
< f((π-C)/2, (1/2)|C-π/3|)
= f(π/3, |C-π/3|)
< f(π/3, 0)
= (正三角形の面積). >>633
> f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
コレは何故？ 内角が (π-C)/2, (π-C)/2, C の二等辺三角形だから。 >>635
fは外接円の半径固定されてるんですよね？
二つに割って貼り直すと思うんですが外接円の半径変わっちゃうのでは？ あ、失礼、貼りなおさなくてもいいのか。
頂角を取り直すだけね。
なるホロ。 >>633
さんの方法は中々いいな。
この方法で内接円の面積最大とか3辺の長さの和最大とかが正三角形のときとかも初等的に示せるね。 >>631 >>633 は、内角で表わせば
{A, B, C}
{(π-C)/2, (π-C)/2, C}
{(π-C)/2, π/6 + C/2, π/3}
{π/3, π/3, π/3}
の順に面積が拡大するということですが、
この計算じたいは高校数学の範囲内でしょう。
その他にも、
外接円の半径が一定の三角形の集合はどんな集合か？
なぜうまくパラメータ表示できるのか？
といった問題もありますが、そちらは大学数学の問題でしょう。 >>633
を使って初等的に示してみるまとめ。
半径1の円に内接する三角形ABCをとる、
A≦B≦Cとしてよい。
優弧BC上にDEFを∠BCD=π/3、∠CBE=π/3、∠BCF=∠CBFとなるようにとる。
EもしくはFのいずれかが弧CF上にある方をXとする。
この時
△ABC≦△XBC‥(✳︎)
であり∠XBCか∠XCBのいずれかはπ/3である。
前者のときY,ZをそれぞれC,B、後者のときはY,ZをそれぞれB,Cとすれば
△ABC≦△XYZ
であり∠Z=π/3
である。
Wを∠WXY=π/3
とすれば
△XYZ≦XYW‥(✳︎)
であり△XYWは正三角形である。□
証明の(✳︎)のところは面積のかわりに内接円の半径や三辺の和にしても初等的に示せるので内接円、三辺の和最大も処理できるし、面積をその系で示すこともできて中々気分がいい。 正の整数nの任意の約数d<nに対し、ある正の整数mがあってmd+1<nがnと互いに素になるという。
nの必要十分条件を求めよ。 ・優弧BC上に
∠BCF = ∠CBF = (π-∠A)/2 ( >π/3),
となるように 点F をとる。
△ABC < △CBF,
∠BFC = ∠A < π/3,
・劣弧CF上に ∠EBF = π/3 となるように 点E をとる。
∠BEF = ∠BCF = (π-∠A)/2 > π/3,
すなわち
∠CBF > ∠EBF > (π-∠BEF)/2,
∴ △CBF < △EBF,
・優弧EF上に ∠DEF = ∠DFE = π/3 となるように 点D をとる。
△DEF は正三角形
△EBF < △DEF,
以上により
△ABC < △DEF, >>641
n≡2(mod 4)とするときd=n/2に対してdm+1<nを満たすmは1しかないが、このときdm+1みnみ偶数だから条件は満たされない。
m≡1,3(mod4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子p>2がとれるが、このときnとn/p+1の共通素因子はpしかあり得ず、pが共通素因子なら2n/p+1とnは共通素因子を持ち得ず互いに素である、
m≡0 (mod 4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子pにたいしp>2であれば先と同じようにしてmを選べる。
p=2のときは(n,n/2+1)=1でよい。
以上により与えられた条件はn≡0,1,3(mod4)と同値である。 前>>626
>>292名高い灘高。
OA・OB=1しか条件ない。
あとは直線PQで垂直二等分されるADをどう使うか。
△PBD∽△OBQを示すために、OについてQと点対称なQ'を取り、△PBA∽△OBQ'を示したらどうか。
OA・OB=1と△PBA∽△OBQ'
どうつなげるか。
相似比PD:OQ=PA:1
見るからに相似なんだけど、相似条件がわからない。
2辺の比とその間の角が等しい、かな？
OB=1/OA=OQ/OA=OQ/PD=1/PD
接弦定理かな？
考え中？ まだ出ない？
相似だけどだれにも証明されていない問題？ 前>>644
平面図形に複素数なんかあるわけない。
相似条件は3つ。
3組の辺の比が等しい。
2組の辺の比とその間の角が等しい。
2角が等しい。
この3つの条件を探してみつけられなかったとしても探した奴、探そうとした奴を合格にすべきだと思う。 >>292
半直線OABを実軸とする複素平面上で考える。
O(0)
A(a) 0<a<1,
B(1/a)
P(e^(ip))
Q(e^(iq))
0 < p < q < 2π, 0 < q-p < π,
D(e^(ip) + e^(iq) - a･e^i(p+q))
とおくと
PD = e^(i(p+q)){e^(-ip) -a} = e^(i(p+q))AP~,
QD = e^(i(p+q)){e^(-iq) -a} = e^(i(p+q))AQ~,
|PD| = |AP|
|QD| = |AQ|
∴ Dは直線PQに関してAと線対称である。
OQ/OB = a･e^(iq) = PD/PB,
ゆえ相似だろうな。。。 前>>645
検索したら似たような問題があって、複素数で解いてあった。
複素数を使わない解き方をみつけないといけない。
△BPA∽△BOQ'
かつ△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO PはADの中点、OはQQ'の中点だから、
△BPA∽△BOQ'
または△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO 前>>648違うか。
AP=DPは言える。
AD⊥PQ
OA=t(0＜t＜1)とおくと、
OB=1/t
ADとPQの交点をR、BRとODの交点をSとすると、メネラウスの定理より、
(OB/BA)(AR/RD)(DS/SO)=1
{(1/t)(1/t-t)}(1/1)(DS/SO)=1
DS/SO=(1/t-t)/(1/t)=1-t^2
わからん。 >>292
ある人に初等幾何による解答を書いてもらったのでここに貼ります
仮定よりEACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円であることに注意すると
∠APC=∠CPB=:z
∴A,DはPQに関して線対称なので
DP:PB=PA:PB=AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
=OQ:OB·····①
(補足 OA=a,OB=1/aとすると)
∠OQB=x,∠OBQ=yとすると
∠BOQ=180-x-y
円周角の定理,タレスの定理などから
∠EPC=∠ECQ=90°-∠QEO=90°-(180°∠EOQ)/2
=(x+y)/2
∠APC=∠CPB=,線対称から∠DPQ=∠QPAより
∠DPB=2∠QPC=180°-2∠EPQ=180°-x-y=∠QOB·····②
①②より
2辺比夾角相等から
△PBD∽△OBQ∎
https://i.imgur.com/NwrNyyo.jpg
https://i.imgur.com/cOvLchw.jpg >>650
> ∠BOQ=180-x-y
> 円周角の定理,タレスの定理などから
この辺りが問題文で明示されてない点の配置でめちゃくちゃ場合わけしないとダメで実質証明にならない。 前>>649
>>651
PQが半直線ABをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bと同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。 >>651
これを証明した人に教えたら「PQに関してOABは同じ側だから場合分けは
上図のような場合とPQがひっくり返ったもののみだと思います」とのこと >>653
そんなわけないやん。
そもそもOA・OB=1てOAとOBどっちが長いとか直線ABとPQの位置の配置とかで角度の計算とか全部影響する。
円周角の配置になったり縁に内接する四角形の対角の位置にきたり。
それぞれに対して全部どっちとどっちを出すのか、引くのか、とか、完全に一致したり捕角の関係になったり。
OAが長いか、OBが長いかに始まって証明を分けざるを得ない配置の場合わけが3回くらい必要で、各々について2通りか3通りの場合わけが必要で10通りを超えた。
OB<OAの時は一応全部潰したけど、残りのケース全部潰したとしてもとても書く気にはならないだろうからやめた。
図が問題に与えられてて配置が決まってないと初等幾何の証明はそうなる事が避けられない。
もちろん図がなくてもきちんと言葉で確定してればいいけど>>292は無理。
長さ、角度の足し引きが出る証明はその点の並んでる順番の不定性がある時は必ずそうなる。 >>654
Aは円Oの内部だからOA<OBとのことです >>655
そうなん？
でもそれだけじゃすまない。
>>292の文章だけでは確定しない点の配置がメチャメチャ出てくる。
そんな事ないというなら>>650 の証明で"などから"なんてごまかししないで全部書いてみてよ。
それがホントに>>653で言うように な2通りで済むのかどうか示してみてよ。 前>>652訂正。
>>650
PQが半直線BAをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bに対して同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。 前>>657
>>650
∠EPC=∠ECQじゃないなぁ。
∠EPC=90°だから、移し間違いか文字化けか式が重なったか。
OA=tとおいてOB=1/tは同じだった。
∠APC=∠CPBは、たしかに見るからにそうなんだけど、すぐ言えるの？
どういうことだろう。
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
たしかに∠ACP=∠CPBに見えるんだけど。ここがこの問題の肝か。 >>650の回答を読んだ感想。
アポロニウスの円や調和点列の知識がないと解けない。
仮に知識があっても、
>EACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円である
>AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
これを見抜くのは難しい。
後半の説明は煩雑だが、要するに∠DPB=2∠QPC=∠QOB
x、yその他の説明は不要。
問題自身には何の不備もない。 前>>658
>>659
AC:CB=1-t:1/t-1
=1-t:(1-t)/t
=1:1/t
=t:1
EO:OB=1:1/t
=t:1
たしかにAC:CB=EO:OBだけど、AC:CB=EO:OBが知りたいという必要性がどうなって出てきたか。
おそらく2組の辺の比が等しいことを言いたいからだと推察する。
もうちょっとでつながりそう。 前>>660
>>292問題。
>>650を理解した。
半直線OAと円周の交点をC,
半直線BAと円周の交点をEとする。
OA=tとおくと、
OB=1/t
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
∠QOB=∠QOCは弧QCに対する中心角だから、
円周角∠QPCの2倍。
∠QOB=2∠QPC──①
線分PQは線分DAの垂直二等分線だから、
∠DPQ=∠QPA
△OPA∽△OBP(相似比t:1,相似条件2組とその間の角が等しいから)だから、
同一中心角を頂角とした二等辺三角形△OPCをはさむと、
∠APBはPCにより二等分され、
∠APC=∠CPB
4つの角を足した∠DPBと、内側2つを足した∠QPAで、
∠DPB=2∠QPC──②
①②より∠DPB=∠QOB
△OBQにおいて、
OQ:OB=OE:OB=1:1/t=t:1──③
△PBDにおいて、
PD:PB=PA:PB=t:1──④
③④よりPD:OQ=PB:OB
2組の辺の比とその間の角が等しいから、
△PBD∽△OBQ 二元体上の既約多項式であって自己相反であるものが無限に存在することを示せ。
ただし、n次多項式f∈F_2[x]が自己相反であるとは、f(x)=f(1/x)x^n を満たすことを言う。 >>663
q>4を二冪として写像f:Fq＼{0}→Fqをf(x)=x+1/xで定める。
S=im(f)＼{0}の各元yについてf(x)=yを満たすFq＼{0,1}の元xが2個ずつ存在するから
2#S=q-2
であり、#S=q/2-1<q-3であるからSにみF4「も属さないb∈Fqがとれる。
bのF2上の最小多項式をP(y)とする。
Q(x)=P(x+1/x)x^n (n=degP)とおく。
代数閉体Ωの元aをf(x)=bの解とすればaはQ(x)の根である。
ここで[Fq(a):F2]はqまたは2qであるからd=[F2(a):F2]は2q,q,2,1のいずれかである。
d=qとなるのは方程式F(x)=bがFqに解を持つ時であり、それはbの取り方に反する。
d=1,2となるときF2(b)⊂F2(a)最小⊂F4上となりやはりbの取り方に反する。
よってF2(a):F2]=2qとなりQ(x)はaの最小多項式であり既約である。
さらにQ(x)の根はP(x)の根βに対して方程式x+1/x=βの解をとるときの全体だから自己相反である。□ >>664
訂正q=2^eとしてeは素数にとるでした。
[Fq:F3]=eで以外それに応じてエスパーおながいします。 >>664
実際に構成したのか…お見事
想定してたのは、F2上n次既約多項式全体の集合をS_nとおいて、S_nの元の個数が
(1/n)Σ_(d|n)μ(n/d)2^d
になること、これが無限個のnについて奇数になること、
それを利用してS_n上の対合 φ(f)(x)=f(1/x)x^n が固定点を持つことを示す、という感じでした 前>>661
>>662(1)(2)(3)の誘導付きだったか。
どんなけ難しいんじゃ、さすがｼ難高思たけど。 >>631 >>639
三辺の長さa,b,cの連続関数は、
2変数の連続関数の合成で表わせます。(アーノルド,1958)
→ ヒルベルト「数学の将来の問題」13番
しかし微分可能とは言えないので使えるかどうか････
>>652 >>653
0 < p,q < 2π
かつ
0 < |p-q| < π
です。 縦n個、横n個のマス目のそれぞれに 1,2,3,...,n の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも、2つの対角線上にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。(2020京大文系 改)
この問題って普通に解けるのかな 前>>667
>>670
ルービックキューブの白の面に油性の黒で１,２,３のいずれかの数字を書きこむとすると、
コーナーキューブの白の面に黒で１と書いたとき、
これととなりあうエッジキューブの白の面2つあるうちの1つに２と書いたらもう1つは３。
∵コーナーキューブの白の面に３が2つ来たらだめだから。
これで縦に１,２,３、横に１,３,２と並んだとして、
白の面のセンターキューブは必然的に１となり、
一方の対角線は３,１,２ないしは２,１,３と並べられるのに対し、
もう一方の対角線が１,１,１となり、題意を満たさない。
∴3が2でも4でもnでも不可能である。 >>670
n=1～5について1,0,0,48,480
一般式つくれる？ 元の京大の問題はn=4で可能でちゃんと値は求められる 対角線の要素を考えなければ計算しやすくなったりするだろうか？
1,2,12,576,… >>676
プログラムのバグを修正したら、n=4で48通りとカウントされた。 >>679
プログラムに列挙させると、
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 3 4 1 2
[3,] 4 3 2 1
[4,] 2 1 4 3
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 4 3 2 1
[3,] 2 1 4 3
[4,] 3 4 1 2
から始まって
> matrix(B[,counter[48]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 2 1 4 3
[3,] 1 2 3 4
[4,] 3 4 1 2
で終わり。 前>>673反省。
n=2,3のときは0通りだけど、
n=1のときが１の1通りとしたら、
n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。
縦に１,２,３,４、
横に１,２,４,３とすれば可能。
対角線は斜め下から、
４,１,２,３もしくは、
４,２,１,３の2通り。
最初が4通り。
縦の並びが6通りで24通り。
横に2通りで48通り。
n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、
ａ_n=1,0,0,48,……
=n^2(ａ_n-1)
縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？
ａ_5はそんなに増えないか。 前>>682
ａ_5=480なら、
ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1
こうか？
480=5･5･4･48 前>>683
うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、
ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？
ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1)
ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2}
ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3}
…… 対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%86%E3%83%B3%E6%96%B9%E6%A0%BC
ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう
https://oeis.org/A002860
対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、
こちらの方もますます研究されていなさそうだ >>680
対角線条件を外すと５７６通り
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 1 2
[4,] 4 3 2 1
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 2 1
[4,] 4 3 1 2
で始まって
> matrix(B[,counter[m-1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 3 4
[4,] 1 2 4 3
> matrix(B[,counter[m]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 4 3
[4,] 1 2 3 4
で終わり シラミ潰しだとメモリ不足になった。
１億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 5 4 3 1
[2,] 4 3 1 2 5
[3,] 1 2 5 4 3
[4,] 5 4 3 1 2
[5,] 3 1 2 5 4 n=5 で対角線も考える場合
□□□□□
□■□■□
□□■□□
□■□■□
□□□□□
上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。
よって次のように固定して良い（重複度120）
□□□□□
□①■②□
□■③■□
□④■⑤□
□□□□□
四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、
中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、
その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。
すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2）
□■□■■
□①⑤②□
■②③④■
□④①⑤□
■■□■□
黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。
ゆえに重複度は2*2=4.
以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？ >>687
一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3 に置き換えるとかすれば、120個作れるな。
例
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 4 5 3 1 2
[2,] 3 1 2 4 5
[3,] 2 4 5 3 1
[4,] 5 3 1 2 4
[5,] 1 2 4 5 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 2 3 4 1
[2,] 3 4 1 5 2
[3,] 1 5 2 3 4
[4,] 2 3 4 1 5
[5,] 4 1 5 2 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 1 3 5
[2,] 1 3 5 2 4
[3,] 5 2 4 1 3
[4,] 4 1 3 5 2
[5,] 3 5 2 4 1
などなど サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？ >>691
１０万回シミュレーションして頻度をグラフ化
https://i.imgur.com/DYbNCto.jpg
sim <- function(){
dice=0
i=0
while(dice!=1){
i=i+1
dice=sample(6,1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l') >>691
n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト 前>>683
>>691
出るまで引くよりベストがあるなら、
1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917……
5割超えんのは4回目。
∴4回目がベスト。 前>>696
単勝１番は0.166……
一方４番は125/1296=0.09645……
千円賭けて9,645円もらえるのかと思った。
n回目は5^(n-1)/6^n
下がる一方か。 前>>698
サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、
納n=1→n]5^(k-1)/6^k
ですか？
千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？ >>699
プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？ 前>>699
>>700
100回目までに1回も受賞しない確率は、
(99/100)^100
100回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^100=0.633967659……
69回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50016297……
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50516134……
見とおしが立った！ ^69とかどうやって計算するのさ
まぁ出来ない事はないが 前>>701
693回目までに受賞する確率は、
1-(999/1000)^693=0.500099765……
年間7作。
100年要らない。99年で受賞する。 前>>703
>>701訂正。
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^70=0.50516134…… 類題
1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？ >>710
正解
n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、
これが最大になるのはn=6,7の時。 EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とする このとき
L(A(E))=|detA|L(E)
が成立することを証明せよ >>711
10万回シミュレーションしてみた。
https://i.imgur.com/Mv1Rkfa.jpg
"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"
sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l') >>711
100回目までを計算してみた。
> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594
bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:(10*x)
y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum
if(print){
plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19)
yy=c(floor(y),ceiling(y))
cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n')
}
return(floor(y))
}
sapply(1:100,bg) 前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。 1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。
多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ 確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト >>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。 6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6) １万回のシミュレーション
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
> =6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7 100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651 最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6
1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5
2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4
以下同様
回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい 成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する >>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。 訂正します。
成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布
でした。 クーポンコレクター問題の一般化
サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？ >>735
1万回のシミュレーション結果
> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
> 10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537 これ貼っとこか
0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d
カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。
M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。 a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3
ほんとだ。シミュレーションと一致した。 P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222... >>737
100万回シミュレーション結果 7.3ぽいね。
> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615 >>743 訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10 p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]
-------
0.9999999999999996 あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]
------------
7.300000000000009 >>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから >>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多いのでは？ 入試レベル
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？
期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。 >>754
１０万回シミュレーション
balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}
k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854 >>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/sd8l1wQ.jpg
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00
５．２５が答みたいだなぁ。
解析解は賢者にお任せ。 〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
= 1/p. XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p 最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、 Ｃ[11,n-7] とおり。 (*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
1～(n-1)回目 (n-1)! とおり
n回目 7 とおり
(n+1)～18回目 (18-n)! とおり 〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
= 11!(18!/11!)
= 18! (←当然)
次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
= (6･7/8)10!(18!/10!)
= (6･7/8)18!
∴ E{w} = 6･7/8 = 5.25
*)
7≦n≦12 のとき Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
13≦n≦18 のとき Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････ (n-1)回目までの白玉の数wの分布は >>756
P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
= (6!/13!)(13!/6!)
= 1.
E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
= (7･6/8)
= 5.25 >>760
正解！
想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。
どうしよう？
夜まで待ってみますね。 白玉の個数wの分布
0個 1個 2個 3個 4個 5個 6個
1/1716, 7/1716, 28/1716, 84/1716, 210/1716, 462/1716, 924/1716
0.06% 0.41% 1.63% 4.90% 12.24% 26.92% 53.84% 黒玉は無視
赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり）
赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4
従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25 赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ >>754
P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=kP(k)=21/4 >>766
さすがにダメやろ。
いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。 黒玉は無視する。(13個で考える)
(最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、
最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから
P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7))
= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
あとは >>760 で >>767
これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した
偶然一致するとは思えないが？ >>767
P(k)の値(k=0～6)は>>762と一致する なるほど
時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。
参考になる >>767
C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j]
ここの部分が、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率
分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている
最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける >>770
いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。
受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。
計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。 >>774
この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳ではなかろう _____∩ っﾞ___
＼ (-_-)) /|
＼＼υ⌒υ､ /|
￣￣￣￣|υ/|
________｢￣|
九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。
前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。 こうしたらどうなる？
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？ >>780
P(k)=Σ[j=0,5]4C[7,3]C[6,k]C[5,j]/(C[18,3+k+j](15-k-j)
E=Σ[k=0,4]kP(k)=881/429 整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても
|a-b| が平方数にならないものは存在するか。 >>754
7/8 * 6=21/4
>>780
4/8 * 6=3 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？ >>784
レピュニット数を元とする無限集合とすればいい >>766 訂正
P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4 >>786
E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8
E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2
E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12
E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12 >>786
最初の２つは線形性でいける。
3番目は独立性。
暗算で苦しいのは最後だけだな。
黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。
よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。
X^2の期待値は
E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%5E2+from+0+to+6&;lang=ja >>787
残念。|111-11|=100 は平方数になります >>784
A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2}
c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1},
c^(n-m) > 1, (n>m)
カタラン予想（ミハイレスクの定理) により
c^(n-m) - d^2 = 1 となる d >1 は存在しない。
∴ c^(n-m) - 1 は平方数でない。
c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。
A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？ >>789
シミュレーションで近似してみました。
> balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
> picked=NULL # 取り出された玉の配列
> flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
> sim <- function(){
+ while(flag==FALSE){
+ i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
+ picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
+ balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
+ flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
+ }
+ # 取り出した白玉の個数
+ a0=sum(picked==2)
+ # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値
+ a1=sum(picked==2)-sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値
+ a2=sum(picked==2)-sum(balls==2)
+ # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値
+ a3=sum(picked==2)*sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値
+ a4=sum(picked==2)*sum(balls==2)
+ return(c(a0,a1,a2,a3,a4))
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> apply(re[2:5,],1,mean)
[1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039
> c(37/8,9/2,35/12,35/12)
[1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667 >>790,792
サンクス
期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと
2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない
V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32
E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32 >>784
a1=1
a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3
a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6
…
a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2} >>798
二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw
忘却の彼方ww >>797
後2問シミュレーションと随分違うな
何故？
37/8, 9/2, 105/32, 105/32
を想定 >>801
しまった。
黒玉iが取り出される事象は独立でない。
取り出される事象の特性関数をXiとして
E(Xi)=E(Xi^2)=7/8
i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9
なので独立ではない。
よってX=ΣXiとすれば
E(X)=6×7/8=21/4
E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12
でした。
吊ってくるorz。 >>802
あー
2項分布じゃないってことか
こりゃ不味いわめんどくさ シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう >>780
黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。
TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る
f=function(x){
re=rep(zero,n) # 容れ子
re[x]=one # 指定のindexにoneを代入
re
}
t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置
}
TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤 13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個
(x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ
f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す
i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として
sum(x[1:i4]==0) # i4までの白(0)の個数を返す
}
re=apply(TE,1,f)
sum(re)
length(re)
mean(re)
> sum(re)
[1] 5148
> length(re)
[1] 1716
> mean(re)
[1] 3
答は３ >>806
白単独なら2項分布と同じで
白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから
単に答えだけ見るのだと
正しい考察の結果かどうか分からないので
これ>>786の第1，2問は悪問だな
第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問 >>808
いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
二項分布の公式は使えないけど例えば第一問なら黒玉iが取られる事象の特性関数をBi、白玉jが取られる事象の特性関数をWjとすれば一問目の求める期待値は
E(ΣWj-(5-ΣBi))=ΣE(Wj)-5+ΣE(Xi)=6×7/8-5+5×7/8=37/8。
コレは独立性いらない。 n個からr個を選んで得られる順列の総数をP(n, r)とする. 任意のr>1に対して, P(n, r)は平方数でないことを示せ. >>809
>いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
それは分かってる
だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ >>812
>それは分かってる
もともと白－黒と白－白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた）
独立線形
非独立線形
独立非線形
非独立非線形
で4題にできて上手く行ったと思ってた
悔しい A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改） >>814
総当たりで計算
# A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
library(gtools)
v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5)))
pm=try(permutations(10,10,v,set=F))
tail(pm)
f <- function(x){
n=length(x)
flg=FALSE
for(i in 1:(n-1)){
if(x[i]==x[i+1]){
flg=TRUE
break
}
}
return(flg)
}
(x=pm[10000,])
re=sum(apply(pm,1,f))
library(gmp)
N=nrow(pm)
as.bigq(re/N)
re/N
Big Rational ('bigq') :
[1] 1388609885105903/2251799813685248
> re/N
[1] 0.6166667 同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。
そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。
（つまりXだけは隣り合っても良い）
AとBだけに着目した時の並びが
(1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。
このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21.
(2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。
６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126.
…
以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は
2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966
A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は
966/2520 = 23/60.
ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666… 半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。 ／∥__`∥￣￣∥ ｡◯゜
∥∩∩ ∥ □ ∥ ﾟ｡
（(-_-)∥ ∥______
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥∩∩╂
＼■υυ■___∥_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779
凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902…… てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読んだなぁ。
凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。 >>820
四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。
vertices <- function(r=1){
a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
theta=a[1]
phi=a[2]
x=r*sin(theta)*cos(phi)
y=r*sin(theta)*sin(phi)
z=r*cos(theta)
c(x,y,z) # 直交座標を返す
}
sim <- function(r=1){
vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標
abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e6
re=replicate(k,sim())
mean(re)
> mean(re)
[1] 0.1069067 球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値
library(nleqslv)
Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2))
sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius
C=CR[1:3]
R=CR[4]
v4=replicate(4,vertices())
c(
Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C)
)-R
}
sphere(1:4/10) # example
sim2 <- function(){
r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4)
4/3*pi*r^3
}
sim2()
k=1e5
re=replicate(k,sim2())
mean(re)
> mean(re)
[1] 1.8112 >>821
＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？ >>824
正方形内で乱数x,yを発生させて r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外して、北半球と南半球は1/2ずつ分配して乱数発生させてみた。
https://i.imgur.com/bC0gBW7.png
こっちの方が一様分布っぽいな。 >>827
これで10万回シミュレーションして、凸包は球（最小球の考慮なし）としてみると
k=1e5
re=replicate(k,sim3())
mean(re)
> mean(re)
[1] 1.800846
という値がでてきた。 >>827
だめでしょ
xyzで外と原点は切ってそれ以外は正規化はどうかなあ
これでもダメかも知らんが θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う
dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする
つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る
dV=dxdydz=rdrdSだから
xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな dV=drdS
rは余計だったが言わんとするところは分かろう >>830
それを実装してみました。
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
vtx=replicate(5000,vertex())
x=vtx[1,]
y=vtx[2,]
z=vtx[3,]
rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue")
https://i.imgur.com/27K33kB.png >>832
これで4点発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて
体積の10万回の平均をとると
> k=1e5
> hull=replicate(k,sim())
> mean(hull)
[1] 1.160583
という結果になった。
あまり、自信がない。
解析解は賢者にお任せ。 半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132..
>>817の解はこれより小さい（はず） >>834
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
で、球の表面から４点を取り出して
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
で１０万回シミュレーションしたら
k=1e5
tetra=replicate(k,sim())
mean(tetra)
summary(tetra)
こんな結果
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962
最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
https://i.imgur.com/xX0mTim.png
https://i.imgur.com/H7hs9w8.png
これでやってみると、四面体の場合
> mean(tetra)
[1] 0.1201118
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545 >>836
>x,y,zともに一様分布
ではダメだろ
球面上に一様に分布するのなら
x座標は√(1-x^2)の確率密度となる あーそうか
st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て
原点中心の円の外にあれば棄て
内部にあればそのs座標を取ることで
確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる
これでxyzをそれぞれ取ってやればいい
あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな
じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで >>837
あー間違いか>>836で正しいやスマン <V> = 1/6 = 0.16667 だったら >>834 の要求を満足するんだが････ 某イベントで紹介された問題の同値な改題
整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について
【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】
を満たすものを全て求めよ ＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、
V=(4/3)Sh
h=1/3(∵球の半径=1)
S=(√3/4)a^2とすると、
底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、
√{1^2-(1/3)^2}=2√2/3
正三角形の高さは√2
a=√2(2/√3)
=2√2/√3
S=(√3/4)(2√2/√3)^2
=(√3/4)(8/3)
=2√3/3
前>>820
V=(4/3)(2√3/3)(1/3)
=8√3/27
=0.513200239……
ここまではわかった。
1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2
2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、
3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、
すべてうまくとる確率は1/4
V/4=2√3/27
=0.12830006…… >>836
数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
x1,x2,x3～Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として
(x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2
Marsaglia(1972)
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177692644
実装してみた。
図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。
vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2)
v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v
v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る
}
vtx=replicate(5000,vertex())
par(mfrow=c(3,1))
x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink')
y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange')
z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen')
rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue')
par(mfrow=c(1,1))
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e5
tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション
mean(tetra)
summary(tetra)
BEST::plotPost(tetra)
期待値も分布もほぼ同じ。
> mean(tetra)
[1] 0.119512
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198
四面体の体積の分布も同様でこんな分布。
https://i.imgur.com/yjsaR3Q.png >>844
>数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな
でも>>836でいいと思うし
関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら
>>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし ３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？
球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。
こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか
x y z
[1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669
[2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002
[3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850
.....
.....
x y z
[4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340
[4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661
[5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530 >>846
ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？
十分細かく分割を取っておいて
サンプル点を十分多く取っていけば
大数の法則で
期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし >>847
レスありがとうございます。
x,y,z を 極形式にして⊿θ ⊿φの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。 直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。
https://i.imgur.com/swLs0hO.png
両端が疎に見えます。
グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？
どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。 辺の長さが全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ. >>848
ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ
θが南北でΔθの幅の中央の値ね
点の個数をこれで割らないと一定にならない
ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い >>819
0.1196797201367540････ >>849
>どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
Δθ=π/n
Δφ=2π/m
つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定）
一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから
数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？ >>849
>両端が疎に見えます。
横軸がθとすると
縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い
それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK >>849
これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。
一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。 >>854
数理を理解できないままにグラフ化すると
plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）')
https://i.imgur.com/R8TFUG3.png
理解が足りないので断念。 >>856
θを北極点からのにするなら
sinθ掛けて >>855
極に近い方がずっと狭くなるからね
球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという
2000年前から知られている原理からすると
xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる
これは>>836の
https://i.imgur.com/xX0mTim.png >>850
リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う >>857
θとφの定義は下図に準拠
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/figures/fig27.png
rm(list=ls())
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
# 直交座標を極座標に
c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar
x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3]
r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ
theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値
phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π
2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π
c(theta,phi)
}
n=1e5
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に
head(v,3) ; tail(v,3)
vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換
tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に
fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す
θ=x[1]
φ=x[2]
0<=φ & φ<=sin(θ)
}
tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して
θ=tp1[,1]
φ=tp1[,2]
plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)')
# グラフ化
https://i.imgur.com/dtO0oRW.png
正弦波が描出されただけのような？ >>852
>844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。
計算法はさっぱり思いつかないけどｗ >>860
>正弦波が描出されただけのような？
点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ
だから球面上で一様分布だってことだよ
さらに厳密性のために
点の密度が一定かどうかを検定するには
十分細かく分割して
一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて
それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ >>860
>正弦波が描出されただけのような？
あれ？
正弦波の0～πの部分と違うな
上に凸なのに両端近くに変曲点がある
なんで？ 任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？
関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。 球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、
各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Spherical_cap_diagram.tiff/lossless-page1-597px-Spherical_cap_diagram.tiff.png
中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000
[1] 3.148086
ヒストグラムだと
https://i.imgur.com/4XaXArc.png
# 球面一様分布 c(x,y,z)
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
n=5000
vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる
rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue")
Theta=(pi/180)*5
onCap <-function(x,y,theta){
acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある
}
hmonCap<- function(j){
count=0
for(i in (1:n)[-j]){
count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta)
}
return(count)
}
dots=sapply(1:n,hmonCap)
summary(dots) ; sd(dots)
hist(dots) ; table(dots)
BEST::plotPost(dots) 極に分布が偏る
# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
だと
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0
[1] 26.50699
標準偏差が大きいので一様とは呼べない。
ヒストグラムを描くとhttps://i.imgur.com/Y8mFUop.png >>863
球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、
上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。
色々と助言ありがとうございました。 >827の
正方形内で乱数x,yを発生させて r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00
[1] 5.694825
標準偏差5.69と前二者の間になった。 まあ、直感と合致した感じ。 >>869
単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、
平面と球の中心の距離はいくらか？ 答えは
y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2
このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、
半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。
>>827 の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。
ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
というのが、シンプルだと思われる。 >>830
>xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
これね
スマン意図伝わってなかったかも知らん >>871
一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。
×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2 >>871
[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
でやってみました。
>866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000
[1] 3.193939 球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、
カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。
>>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。
一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。 数aの問題です。
【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】 という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。 ↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。 ↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。 >>876
(1)147+86-(300-131)=64
(2)147-64=83 86-64=22から83+22=105
答が理解できない理由が謎。 >>875
緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。 前>>843
>>817
面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。
半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、
その体積はa^3√2/12
4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。
a=1のときV=√2/12
=0.11785113…… ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ 前>>885
∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0～2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2
同様にAC=√2,BC=√2
もっともとり得る△ABCの面積は、
△ABC=(√3/4)(√2)^2
=√3/2
△ABCの重心をGとして、
四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。
つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。 前>>886訂正。
>>817
四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1
=1/6
=0.166……
∵>>886 888げとー (パチスロか?)
>>887
OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6
>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが) ∥∩∩ ∥ □ ∥○⊿∇
（(-_-)∥ ∥Δ>>888
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。
前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。
稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、
(1/3)(1/2)･1=1/6
=0.166……
あってると思うけど。 >>817
数値積分による解
In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[
t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2]
In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{
Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])]
h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]]
In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In
tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/
2}]]
In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,
Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-
Pi/2,Pi/2}]
Out[4]= 0.11968 前>>889
>>881少数第三位を四捨五入すると、
V=0.12 >>890 の式を整理して精度を上げてみる
In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]
(2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2)
/(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2])
,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11]
Out[1]= 0.119679720136 これってパソコンなしでは解けませんよね？
【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数 54人 陽性0人
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1584811696/
ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして
PCR検査の感度0.7 特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。 Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。 >>895
前計算してた人居るよ
確率密度関数与えられるから
あとは体積の計算して平均出すだけだけど
式は書けても計算ができそうもない 半径1の半円の内部に閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ 前>>891
>>898
閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、
短軸1,長軸1/√2
面積π(1/2)(1/√2)
=π/2√2
周長2π√(1/2)√(1/√2)
=π√√2
面積/周長=1/2√2･√√2
=0.297301779……
蛹で越冬する感じか。 >>899
不正解
それなら半円そのもの
π/(2(π+2))=0.3055...
の方が大きい 前>>899
>>900半円は直線が入ってるら。不適だに。 >>901
いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける
よって>>899は最大値ではない
でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので>>898は改題します すみません
「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」
ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ')
S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2
maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π
>>896
レスありがとうございます。
こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。
事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、
陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、
陽性数はこの確率で二項分布、 >>897
具体的には球面上の2変数の座標系stがあって
st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき
球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し
dS/4π=g(s,t)dsdt
となる
頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る
球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して
これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を
何とか式で表せはするから
∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4
を計算したら良いだけ 前>>901
>>902
y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、
(0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。
点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、
正弦定理より、
sinθ=(3/2√2+1/2)/2t
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積をsとおくと、
面積/周長=(π/4+π/16+π/64+s)/{π/2+π/4+π/8+2πt(θ/2π)}
=(21π/64+s)/(7π/8+tθ)
=(21π/64+s)/{7π/8+(1+√2)(3/4)θ}
=(21π/8+8s)/{7π+6(1+√2)θ}
=(21π+64s)/{56π+48(1+√2)θ}
sは扇形半分から三角形を3つ引いて2倍で出る。
θを度数のまま代入してよいかは気になる。 >>903
Sの式で (θ/2) の所は (θ+π/2)/2、 (θ'/2) の所は (θ'+π/2)/2 では？
Steinerに習って対称性を仮定しますた。
l(θ) = 2(θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)} + 2cosθ/(1+sinθ) + π -2θ,
S(θ) = (θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)}^2 + sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + π/2 -θ.
θで微分して
(d/dθ)(S/l) = {2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ)}{π･cos(2θ) -sin(2θ) -2θ}
／{4(1+sinθ)(π/2 -θ +π･sinθ +cosθ)^2},
ここで
2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ) >0, (0<θ<π)
だから
π･cos(2θ) - sin(2θ) -2θ = 0,
θ = 0.4827200003884401212939116114621300267
このとき最大値
(S/l)max. = 0.31702857011315030244270875179918713
これは、半円の値 π/(2(π+2)) = 0.3055077351758286 >>900
より大きい。 (補足)
θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ
(S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡)
= 0.31702857011315030244270875179918713
(原点～中心の距離) = 1/(1+sinθ｡)
= 0.68297142988684969755729124820081287 >>905
まあ1点は固定して考えて良いし
2点目も1点目を通る大円で考えて
その上で一様分布で取れば良い(1次元)
3点目は半球内で一様に取るかな(2次元)
4点目は球上で一様に(2次元)
積分は5変数でよいかな (続き)
l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431
S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774
S/l = 0.31702857011315030244270875179918713
また、θ=30° のとき
(小円の半径) 1/3,
(原点～中心の距離) 2/3,
l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208
S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042
S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251
θ = 0 では
l(0) = π+2 = 5.141593
S(0) = π/2 = 1.570796
S/l = 0.305507735 >>907
素晴らしい
数値としては0.317028570...で正解ですが、
なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです
ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します >>911
閉曲線が囲む図形は
・凸集合として良い
・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能）
・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い
ことから>>903の形を仮定していいはず >>910
参考
-------------------------------------------------------------
θ r(θ) l(θ) S(θ) S/l
-------------------------------------------------------------
0° 0.000000000 π+2 π/2 0.30550773518
15° 0.205604647 4.906228243054 1.544232748162 0.31474947183
30° 0.333333333 2(5π+3√3)/9 (11π+3√3)/27 0.31695250990
45° √2 -1 4.351158878394 1.361230101991 0.31284311606
60° 2√3 -3 4.013126310452 1.211844939375 0.30197029588
75° 0.491333810 3.616783365011 1.021692472380 0.28248649954
90° 0.500000000 π π/4 0.25000000000
------------------------------------------------------------- >>912
凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか >>914
尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、
切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、
Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。
よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。
あと忘れてたけど
・最大の S/l を与える閉曲線が存在する
も言う必要あるな…大したことないかもだけど
前>>906
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
=3(1+√2)/4
=1.81066017……
t^2=9(3+2√2)/16
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積は等脚台形,鈍角三角形,うすい欠円からなる。
面積=π/4+π/16+π/64+πt^2θ/360°
+(1/4√2+1/4)(1/4√2)･2
+(1/2√2+1/4)(1/4√2)
-t(3/4√2+1/4)
周長=π/2+π/4+π/8+2πt(θ/360°)
=7π/8+{3(1+√2)π/2}(θ/360°) >>915
あーなるほど...
たしかに角を小さく切る、つまり
xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか
ありがとうございました
Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます 前>>916
面積=π/2
周長=2π/2+2=π+2
とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？
面積/周長=π/(2π+4)
=3.05507735…… 前>>918直線も曲線のうち。
半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、
半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、
(1-r)sinθ=r
sinθ=(1+sinθ)r
r=sinθ/(1+sinθ)
1-r=1/(1+sinθ)
r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2
面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π
=π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ)
=π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2
周長=π-2θ+2(1-r)cosθ+2πr(π+2θ)/2π
=π-2θ+2(1-r)cosθ+r(π+2θ)
=π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)
面積/周長={π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2}/{π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)}
={(π/2-θ)(1+sinθ)^2+sinθcosθ+(π/2+θ)sin^2θ}/{(π-2θ)(1+sinθ)^2+2cosθ(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ(1+sinθ)}
θで微分し、分子=0とすると、
θ=27.6578187……° >>919
正解だけどもう>>907で解答出てます >>921
正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ .､､,,
彡`e)⌒～っ
⌒～っ
ιγ)
`彡´
υ´前>>919別解を探ってんだよ。 単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ 正方形は面積の等しい奇数枚の三角形では分割出来ないことを証明せよ >>924
正方形を座標 [0,1]×[0,1] におく。
アドホックだけど
周上の3点 A(0,1), B(0.4,0), C(1,0.59) を考えると
線分ABが面積0.2の三角形を切り出す。
線分ACが面積0.205の三角形を切り出す。
線分BCが面積0.177の三角形を切り出す。
残った三角形ABCは面積が0.418だから、AからBCの中点へ線分を引くとこれを面積0.209ずつに等分する。 ちなみに
「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」
については私は答えを知りません
おそらく>>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。
全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。
5.345794人であってる？ 前>>923
>>929違うと思う。
少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。
2人中1.5人が感染しているから、10人だと、
1.5(10/2)=7.5
∴7人か8人が感染している。 >>924
周上の3点 A(0, 1) B(√2 -1, 0) C(1, 2-√2) を考えると
4つの⊿が合同になり (√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5
残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875
一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682～0.18 ですかね 6.5の計算式
x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x
pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率 ＝ 1 - (ｍ人全員非感染の確率)
pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して
(E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算 >>932
2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？
# p:感染確率
p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率
p2=p^2 # 二人とも感染確率
(1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値
1.5になるのはp=2/3のとき。 >>931
ツボの中に黒碁石がx個と白碁石が10-x個入っている確率をQ(x)とし、
黒石がx個の下で2個取って黒がn個である確率は、P(n)=C[x,n]C[10-x,2-n]/C[10,2]
P(1)=C[x,1]C[10-x,1]/C[10,2]=x(10-x)/45、P(2)=C[x,2]C[10-x,0]/C[10,2]=x(x-1)/90
だから、P(n=1,2│黒石=x)=P(1)+P(2)=x(19-x)/90
P(n=1,2かつ黒石=x)=Q(x)P(n=1,2│黒石=x)=Q(x)x(19-x)/90
P(黒石=x│n=1,2)=P(n=1,2かつ黒石=x)/納k=1,10]P(n=1,2かつ黒石=k)
=Q(x)x(19-x)/90/納k=1,10]{Q(k)k(19-k)/90}、ここで、Qが定数なら、
P(黒石=x│n=1,2)=x(19-x)/納k=1,10]{k(19-k)}=x(19-x)/660
xの期待値=納k=1,10]x*x(19-x)/660={19*10*11*21/6-(10*11/2)^2}/660=13/2 面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。
n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が
P_1:(1,0,0,…,0)
P_2:(0,2,0,…,0)
P_3:(0,0,3,…,0)
…
P_n:(0,0,0,…,n)
となるように取る。
P_1～P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき
lim[n→∞] d(n) を求めよ。
https://twitter.com/StandeeCock/status/1242443303880028161?s=19
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) (n-1)次元空間 (超平面とよぶ) は
x_1 + (1/2)x_2 + ････ + (1/n)x_n = 1,
で表わされる。
この超平面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
≧ {Σ[k=1,n] (1/k)x_k}^2 / {Σ[j=1,n] 1/jj} (← コーシー)
= 1 / {Σ[j=1,n] 1/jj}
= d(n)^2,
d(n) = {Σ[j=1,n] 1/jj}^(-1/2)
→ {Σ[j=1,∞] 1/jj}^(-1/2) (n→∞)
= {ζ(2)}^(-1/2)
= (√6)/π
= 0.7796968
面白い！ (n-1)次元空間 (超楕円面とよぶ) は
(x_1)^2 + {(1/2)x_2}^2 + ････ + {(1/n)x_n}^2 = 1,
で表わされる。
この超楕円面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
≧ Σ[k=1,n] {(1/k)(x_k)}^2
= 1
= d(n),
lim[n→∞] d(n) = 1.
面白い！ >>392
嘘をついてしまい申し訳ありませんでした
＞∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k<log((n-1)/m)より、(n-1)/m<eのとき、右辺<1よりp(m+1)<pmなので、
(n-1)/e<mのうち最小でないmは不適だから[n/e]+1より大きいmは不適
Σ[m≦k≦n-1] 1/k>log(n/m)より、n/m>eのとき、右辺>1よりp(m-1)<pmなので、
n/e>mのうち最大でないmは不適だから[n/e]より小さいmは不適
（また、p([n/e]+2)<p([n/e]+1)だからΣ[[n/e]+2≦k≦n-1] 1/k<1で、
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k<1+1/([n/e]+1)<2）
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/kが1未満のときm=[n/e]で、1以上のときm=[n/e]+1で最大だから、
m=[n/e]+[Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k]のとき最大
このときm/nlog(n/m)<pm<m/nlog(n/m)+1/nだから、pm→1/e >>936
レスありがとうございます。
多数決で決める事項ではないけど同じ結論の人がいてほっとしました。 （謎）
昨日の東京のコロナ陽性者は87人検査して63人陽性であったという。
検査の感度0.6 特異度0.9と仮定して、87人中に感染者は何人と推定されるか？ キャバクラ客100人から無作為に5人から検体を採取してこの検体を混合攪拌してコロナ検査したところ陽性であった。
100人のキャバクラ客の陽性数の期待値を求めよ >>929
ベイズ的に考えると
n人からm人選んだら少なくとも一人の感染者がいたとする。
Ax: x人の感染者がいる(x=0~n)という事象
B:最低一人の感染陽性判定という事象
Pr[Ax|B]=Pr[B|Ax]Pr[Ax]/Pr[B]
Pr[Ax]:事前確率
Pr[B|Ax]:尤度
Pr[B]:周辺尤度(規格化定数)
求めたい期待値Eは
Σ(x*Pr[Ax|B])/ΣPr[Ax|B] = Σ(x*Pr[B|Ax]Pr[Ax])/Σ(Pr[B|Ax]Pr[Ax])
Pr[Ax]がxにかかわらず定数であれば
E=Σ(x*Pr[B|Ax])/Σ(Pr[B|Ax])
事前確率分布を一様分布と仮定しての計算ということだな。 >>946
哀れな素人さん、どうもガロアスレのスレ主です。
面白い問題やね（＾＾； (1) s²+s=n^4-n² を満たす整数s, nは存在するか。有限組あるならすべて求めよ
(2) 5^c+s²+s=n^4-n² を満たす整数c, s, n は存在するか。有限組あるならすべて求めよ (1)
0 = s(s+1) - nn(nn-1) = (s+nn)(s+1-nn),
∴ s = -nn または s = nn-1. (無数にある) (2) s(s+1) も nn(nn-1) も偶数だから矛盾。 b(x) は奇関数で、aを実数として
b(x)= ∫[0, x] b(u) du + ∫[a, x+a] b(u) du
を満たす。
(1) b(a), b(2a) を求め、
(2) a_n=∫[0, na] b(u) du とする。a_1= ∫[0, a] b(u) du =1 としてa_nをnを用いて表せ。 前>>932
>>948(1)
(s,n)=(3,2),(3,-2),
(0,1),(0,-1),
(-1,1),(-1,-1),
(8,3),(8,-3),
(-9,3),(-9,-3) >>951
b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a),
ここに F(x) = ∫[0,x] b(u)du は偶関数。
b(x+a) = - b(-x-a)
= - F(-x-a) - F(-x) + F(a)
= - F(x) - F(x+a) + F(a)
= - b(x),
よって b(x) は周期2aをもつ。 ゆえに
b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du
= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du
= 0, 半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか >>955
x軸の上に、四角を横に三個並べ、その上に同様に三個乗せ、その上に二個を中央に並べる
右下の角は(3/2,0)、中段の右上の角は(3/2,2)、最上段の右上の角は(1,3)だが、
どれも(0,√7/2)からの距離が2を超えないのでここを中心に円を書けばいい 前>>952
>>955
円の中心を原点(0,0)として、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形の4つを描き、
あとの4つはそれぞれ4つの象限に正方形の中心を置き、y軸に対して2つが対称になるように置く。
x軸に正対させるんじゃなく斜め45°ぐらいで先に置いた4つの単位正方形にぎりぎり接するか接さないかぐらいで探るとよい。 >>955
https://imgur.com/3vsxb6D
完全に手探りで詰め込んでみました. ( Geogebra で作図 )
描画線幅のボヤケで接触してるように見える箇所も実際は離れています. >>956
円の中心を(0,0)とすれば
(±3/2, -(√7)/2) と (±3/2, 2 -(√7)/2) のなす長方形に６個
(±1, √3) と (±1, √3 -1) のなす長方形に２個
ですね。
* 2 - (√7)/2 = 0.677124344
√3 - 1 = 0.7320508 前>>957
残り4つのうち2つを第3象限と第4象限に斜め45°で入れようとすると、
点(1/2,√15/2-1)と直線y=x-1/2+1-√3+1/2√2の距離は、
|4√2-√30-2√6+1|/4=0.929837703……＜1
予想通り残りの2つを第1象限と第2象限に入れることができない。
つまり第3象限と第4象限に入れようとした2つの単位正方形を最初に置いた2つの単位正方形の1つの頂点(-1,1-√3)および(1,1-√3)辺が接したままその点を支点に円弧側に傾けて、残り2つの単位正方形が入るようにする。
最大限傾けると点(1/2,√15/2-1)と第4象限で傾けた単位正方形の最も近い辺の距離は1を超えるはず。
点(1,1-√3)から√5/2の距離にある単位正方形の2つの頂点が決まり次第お伝えしたい。 一辺の長さ3の正方形を、半径1の円5つで被覆することは可能か 上から √3 =1.7320508 の部分を1×√3の長方形に三等分する。
下から (√7)/2 = 1.3322875 の部分を 3/2 × (√7)/2 の長方形に二等分する。
各長方形は、対角線の長さが2だから、半径1の円で被覆することが可能。 〔問題〕半径Rの円板上に、直径1の円板何枚かを互い
に重なる部分が無いように置きたいのですが、最大何枚
まで置けるでしょうか。
・R=2 の場合。
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988)
●104
(日本MOでも使われたらしい。) 前>>960方針変更。最初の4つは同じ。傾き45°は変えない。
>>955
5つ目～8つ目の単位正方形を第1象限～第4象限に振り分け、y軸に対して2つを対称に、かつ辺がy=xまたはy=-xと平行になるように置くと、5つ目の単位正方形の頂点の座標は、
(2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2-√2/2+√15/4-√3/2),
(2+√2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2+√2/2-√15/4-√3/2)
6つ目,7つ目は第2象限,第3象限に置くとして8つ目の単位正方形を5つ目の単位正方形とぴったりくっつけたままy軸方向に寄せると、
y=x-3/2-√2+√15/2とx=1/2の交点は、
(1/2,-1-√2+√15/2)
対角の頂点は、
(1/2+√2,-1-√2+√15/2)
x^2+y^2=(1/2+√2)^2+(-1-√2+√15/2)^2
=1/4+2+√2+15/4+3+2√2-√15(1+√2)
=9+3√2-√15-√30
=3.89243177……＜4
∴半径2の円に単位正方形が8つ入る。 前>>967
最初に描いたy軸を挟んで円弧と接する2つの単位正方形の第3象限のを①,第4象限のを②,次に描いた原点を含むのを③,y軸の+方向で円弧と2か所で接するのを④とすると、③と⑧が接さない可能性がある。
つまり5つ目と8つ目を接したまますべらせつつ右回転、6つ目と7つ目を接したまま左回転し、円内に納める。
名づけて八星天道虫作戦。 前>>968
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形①、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形②、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形③、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形④を描き、
5つ目の単位正方形⑤を第1象限に、
6つ目の単位正方形⑥を第2象限に、
⑤と⑥がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形⑦を第3象限に、
8つ目の単位正方形⑧を第4象限に、
⑦と⑧がy軸に対して線対称となるように置き、
⑤と⑧の1つの辺をぴったりくっつけ、
⑧の頂点の1つが円と接するようにし、
⑥と⑦の1つの辺をぴったりくっつけ、
⑦の頂点の1つが円と接するようにする。
∴方法は示された。
題意にはないが、⑤～⑧の頂点の座標を決めることもできる。 いま、ある人がコロナに感染しており、n個のコロナウイルスを持っている
コロナは一時間ごとに増減し、確率pでa個増え、1-pでb個減るとする(0<p<1、aとbは自然数)
また、コロナはS個以下になれば生存確定、T個以上になれば死亡確定とする
生存確率の範囲は？
Tを正の無限大に飛ばしたときの生存確率の範囲は？ 前>>969別解。
>>955
①②③はそのまま、④を原点のほうに寄せ③にくっつけ、⑤と⑧および⑥と⑦をそれぞれ縦に並べ③④を挟みこむようぴったりつける。
⑥④⑤
⑦③⑧の6つはy軸に対して左右線対称なので、
⑤の右上の座標(3/2,3-√3)が円内にあれば単位正方形8つはすべて円内にある。
(3/2)^2+(3-√3)^2=9/4+9-6√3+3
=57/4-6√3
=14.25-6･1.7320508……
=14.25-10.3923048……
=3.85……＜4
∴狐につままれた。 半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つと
（2/3)×√3 の長方形を１つ詰め込むにはどうしたらよいか 正解です！
(√3）+ (√15)/2 - 3 = 0.66854248
√(8√7 - 7）- 2 = 1.763776094
まではいけそうです。 充てん率で言えば 9.1547/4π = 0.72851
（単位正方形8つの 2/π = 0.63662 より向上) 前>>971
>>972
①②③まで同じ。
④はy軸切片2の位置ら辺の周に頂点をひっかけて待つ感じ。
⑤⑥⑦⑧を第1,2,3,4象限に配置し片側に寄せると、⑤または⑥が円周につかえるためやや内側に押され、⑤と⑥が頂点で④のとなりあう2辺と接する形になる。
たとえば左寄せで⑤と⑧の縦の面をあわせて横幅2/3,縦に√3の辺が来るようにすると、
右上の頂点(11/3-√3,1/2)の座標から、
(11/3-√3)^2+(1/2)^2=3.99273852……＜4
なんとか円内に入る。
④の左上辺または右下辺を傾ける角度は、
30°～45°で円内収納の可能性がある。
たとえ数値的にむりでも右端の長方形にわずかに余裕があった。④は⑤と⑥のあいだに楔状に押しこめる可能性がある。 半径2の円内に交わりのない √(5/8)×√(3/2) の長方形を１0個詰め込むにはどうしたらよいか >>978
a^2+((3/2)b)^2＝(2a)^2+b^2＝2^2
を解いてa＝√(5/8),b＝√(3/2)って係数を得たということね 前>>977
>978
横長に下から1つ2つ3つ重ねると上面は、
3√(5/8)-√[2^2-{(1/2)√(5/8)}^2]=0.411159852……
残り4つを半円より小さな上のエリアに、
￥マークのように2つの長方形をソの字に置き、その上に2つを□に置くか、
または羊の異体字のように横向きの長方形を上下に離して置き、そのあいだに左右からハの字に楔状につっこむ。 x軸の上に長方形を寝かせて三個並べる
その上に中央に寝かせて二個並べる
下段の右上の角は(長辺の長さ×3/2,短辺の長さ)
上段の右上の角は(長辺の長さ,短辺の長さ×2)
どちらも原点からの距離が4なので原点中心の半円に五個はまる 正解です！
充てん率で言えば 9.68246 / 4π = 0.770505
半径2の円内に交わりのない (2/√13)×(8/√13) の長方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか 長方形を寝かせて六段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける
重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2
横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2 >>983訂正
× 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
○ 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2 ほぼ正解です！
充てん率で言えば 9.846154 / 4π = 0.783532
□よりも細長い方が収まりがいい（?) 正直あまり数学って感じでもないけど
ある日の午前中に雪が降り始めた。
除雪車が正午ぴったりに動き出し、
1時間で2マイルの除雪を完了し、
さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？
ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。
上記のようなSnow plow problemの派生として
それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。
電卓等は使わないものとする >>986
√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が
9.882353 / 4π = 0.7864
となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。
とくに意味はないが････ 正午よりc時間前に雪が降り始めたとする。
積もった雪の高さは t+c に比例し、
除雪車の速さv(t)は t+c に反比例する。
v(t）= k/(t+c),
正午からt時までに除雪車が進んだ距離は
∫[0,t］v(t')dt' = ∫[0,t] k/(t'+c）dt'
= k･log{(t+c)/c}
題意により、
k･log{(c+1)/c｝= 2マイル
k･log{(c+2)/c｝=（2+1)マイル
∴ 3log{(c+1)/c｝= 2log{(c+2)/c},
∴（c+1)^3 = c(c+2)^2,
∴ c =（√5 -1)/2 = 0.618034（時間）= 37.082（分)
加速度は -k/(t+c)^2 だから
1/(c+2)^2 = 1/{2(c+1)^2},
0 = 2(c+1)^2 - (c+2)^2 = cc -2,
c = √2,
雨は夜更け過ぎに 雪へと変わるだろう
Silent night, Holy night
∴ 平方根表。 時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t)
除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t)
x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、
x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a)
((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2
雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた
dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、
(2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前
平方根表が必要 前>>980
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形①、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形②、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形③、
(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形④を描き、
5つ目の単位正方形⑤を第1象限に、
6つ目の単位正方形⑥を第2象限に、
⑤と⑥がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形⑦の中心を第3象限に、
8つ目の単位正方形⑧の中心を第4象限に、
⑦と⑧がy軸に対して線対称となるように置き、
⑤⑥⑦⑧がそれぞれ1つの頂点で円と内接するように置けないでしょうか？ もし2つ3つ3つと積み重ねて正対させる以外の置き方がないとしたらちっとも面白い問題じゃないです。 前>>991
>>955予想。
①②をy軸に対して線対称にハの字型に置き、①の右下辺の傾きを4/3、②の左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。
③は原点付近に中心を置き正対させ、④をy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。
⑤～⑧の中心を第1～4象限に置き、
⑤⑧は②と同じ傾きにし、⑥⑦は①と同じ傾きにすると、
①,②,④～⑧をそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。 前>>992
>>955別解。
①②をy軸に対して線対称に置き、②の左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。
③の中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、④をy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。
⑤の左上辺と右下辺の切片の差は7/5。
②⑤⑧の左上辺の傾きを3/4,
①⑥⑦の右上辺の傾きを-3/4にあわせ、
⑤をめいいっぱい上げて⑧の左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、
x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。
⑤の左端の頂点を④の右下辺よりわずかに下にとるには、
y=x+2-√2に0.4を代入し、
y=0.4+2-√2=0.985786438……
(0.4,0.98)とすると確実に④と⑤は離れていて、
⑤の上端の座標は、
(0.4+0.8,0.98+0.6)=(1.2,1.58)
1.2^2+1.58^2=3.9364＜4
⑤の右端の座標は、
(1.2+0.6,1.58-0.8)=(1.8,0.78)
1.8^2+0.78^2=3.8484＜4
⑤の下端の座標は、
(0.4+0.6,0.98-0.8)=(1,0.18)
⑤の右下辺および⑧の左上辺の方程式は、
y=3(x-1)/4+0.18
⑧の左端の座標を(0.56,-0.15)とすると、
⑧の右端の座標は、
(0.56+0.8+0.6,-0.15-0.8+0.6)
=(1.96,-0.35)
1.96^2+(-0.35)^2=3.9641＜4
⑧の左下辺および②の右上辺の方程式は、
y=-4(x-0.56)/3-0.15
②の左端はy軸に接するといいから、②の上端のx座標0.8を代入し、
②の上端の座標は(0.8,-0.47)
②の左端の座標は(0,-1.07)
②の下端の座標は(0.6,-1.87)
0.6^2+(-1.87)^2=3.8569＜4
②の右端の座標は(1.4,-1.27)
1.4^2+(-1.27)^2=3.5729＜4
∴単位正方形8つを真ん中の1つ以外をすべて正対させることなく半径2の円内に納めることができる。 [0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.
p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、
極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ. 前>>993訂正。⑤の左上辺と右下辺の切片の差は5/4。
>>955
単位正方形①②の頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47)
単位正方形③の頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5)
単位正方形④の頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)
単位正方形⑤⑥の頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58)
単位正方形⑦⑧の頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。 >>996
乾円の直径をD
坤円の直径をd
水平線の長さを 2L
とする。
⊿の相似により D：L=L：d
水平線の長さ L = √(Dd) … (1)
Dをδだけ変えたとき、
・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。
・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。
黄色部分の面積が最大となるとき
2L - πD/2 = 0 … (2)
(1)(2)からLを消すと
d = D(π/4)^2, >>987のまねをしてみた
雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する
降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4)
正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる
雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた
さらにその後30分で一マイルの除雪ができた
雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か =1000+1000-1000*1000/1000 このスレッドは１０００を超えました。
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