大学学部レベル質問スレ 13単位目
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
残念ながら人間社会も例に漏れず自然界、人間も例に漏れず動物なんで、 人間社会の綺麗事という名の人の皮を剥けば鬼畜生になるんだわ。 その良い例がネットを良い事に人の皮が剥けて悪態つける>>579 だし、 人のレスを見て高を括って人の皮が剥けて舐めた口の聞き方に変わった>>582-583 なんだわ。 こいついつも自己紹介してんな しかも他のスレだとなぜかトリップ付けない迷惑な奴 eroさんとは概してコンドームやコンデンサーペーパー紙一重で隔てられてるだけマシというものだなあという印象 アンカー付いてんの無視して十把一絡げにして言い括るって、話術だよなぁ 普段からこういう話術を駆使してる所を見ると俺が指摘する迄もなくお前らは 都合に応じて人の皮を脱ぐ事をやってきたって事だな。将来安泰だな、困ったら人を幾らでも騙すんだろ 正則である必要十分条件は固有値に0を持たない (→)対偶を示す。固有多項式のλに0を代入するとdetA=0となりAは正則でない。よって→は成立。 (←)対偶を示す。正則でないのでdetA=0でdetA=det(A-0E)=g_A(0)だから0を固有値に持つ。よって←は成立。 これであってますか? 証明終わりの□や■が美しくなくて大嫌いなのですが どうしたらいいでしょうか >>591 うんちマーク(巻き糞)にするといいよ! 多項式の正規直交化の簡単な方法ってないですか?シュミットの方法でやってるんですがめんどすぎるので 正規直交基底が得られれば良く、それ以上の条件無いなら 既に知られてるのを調べるのが一番簡単と思う https://i.imgur.com/podjbHD.jpg gA(t)=(t-λ1)gB(t)が成り立つのはなんでですか? 右辺ってgQ^-1AQ(t)のことで、これがgA(t)になるにはAとQは可換でないといけないですよね?でも可換かわからなくないですか? >>598 両辺の行列の固有多項式を考えてるだけだよ 左辺の行列であるQ^-1AQはAと相似なのでその固有多項式はAの固有多項式に等しい 右辺の行列の固有多項式は定義通りに計算してるだけ >>598 何読んでるかわかった どの程度の大学なんだろうな しょーもない質問ばっかりしてるから大体わかるが >>603 > 何読んでるかわかった かまわん、続けたまえ >>598 への回答は「相似な正方行列の固有多項式は一致する」 というものでしかなく、相似だとなぜ固有多項式が一致するのかは 説明してないので、これでは質問者の疑問を「相似」という言葉で 置き換えただけであって、本当は回答になっていない。 相似だと固有多項式が一致する理由は ・ tI−Q^{-1}AQ = Q^{-1}(tI−A)Q ・ det(tI−Q^{-1}AQ) = det(Q^{-1}(tI−A)Q) = det(Q^{-1})det(tI−A)det(Q) = det(tI−A)det(Q^{-1})det(Q) = det(tI−A)det(Q^{-1}Q) = det(tI−A) という計算による。 質問者は、回答がついてから2〜3分で「理解できました」と言っているが、 「相似」の一言でここまで辿り着けるなら、 質問せずとも自力で理解できていたのではないだろうか。 この人、本当に理解していたのだろうか。 無限次元ヒルベルト空間を作用域とするエルミート演算子Aがあるとします。 何らかの固有ベクトル x が存在する事を示してください。 (Ax = λx , 実数: λ) 具体的な構成方法あればベターですが、存在証明だけでも構いません。 (出典無しの思いつき命題なので、条件によっては存在しないかも) どう手を付けたらいいのかお手上げです。 有限次元だと簡単なのは分かります。 >>608 Aの点スペクトルσ_p(A)が空でないとして、その元λに対してAψ=λψとなるψが存在する 無限次元の場合はむしろこれを固有ベクトルと定義する ただしλは複素数を取りうるので、λを実数に制限するなら実数に制限すれば求める条件が得られる >>609 すみません、疑問は 「σ_p(A)が空でない」ことの証明も含みます。 それと有限次元でエルミート行列の固有値は 実数なので、無限次元でもそうだと思ったのですが例外があるのでしょうか。 λ||x||^2 = (x, Ax) = (Ax, x) = λ^* ||x||^2 Z[x]/(2x+1,x^2-5)≅Z[x]/(x+1,x^2-20) ですか? 同型なら、どうやって示せばよいのでしょうか? よろしくお願いします。 >>608 > 無限次元ヒルベルト空間を作用域とするエルミート演算子Aがあるとします。 > 何らかの固有ベクトル x が存在する事を示してください。 (Ax = λx , 実数: λ) > 具体的な構成方法あればベターですが、存在証明だけでも構いません。 > (出典無しの思いつき命題なので、条件によっては存在しないかも) > > どう手を付けたらいいのかお手上げです。 有限次元だと簡単なのは分かります。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%AE%9A%E7%90%86 の有界自己共役作用素の項に固有値を持たない例があるみたい。 正しいかは知らない。 ずらしていくだけみたいな奴で固有ベクトルないのってないかな >>610 エルミート作用素である(固有ベクトルが定義できる条件より強い)ことを見落としてた、すまん 整係数多項式を xx-c で割った余りは1次式: ax+b, これを x+1 で割った余りは b-a. 一方、2x+1 で割った余りは mod(a,2)x + b - [a/2] 同型とは思えぬが >>611 x+10 = x(2x+1) - 2(x^2-5), 19 = 2(x+10) - (2x+1) より (2x+1, x^2-5) ⊃ (19, x+10) 2x+1 = 2(x+10) - 19, x^2-5 = (x-10)(x+10) + 5*19 より (2x+1, x^2-5) ⊂ (19, x+10) よって (2x+1, x^2-5) = (19, x+10) = (19, x-9) したがって Z[x]/(2x+1, x^2-5) ≅ Z/19Z (x ↦ 9) 同様に (x+1, x^2-20) = (19, x+1), Z[x]/(x+1, x^2-20) ≅ Z/19Z (x ↦ -1) >>616 >Z[x]/(2x+1, x^2-5) ≅ Z/19Z (x ↦ 9) 文字化けしているけど、写像 F: Z[x]/(2x+1, x^2-5) → Z/19Z を F(f(x) + (2x+1, x^2-5)) = f(9) + 19Z によって定めると、これはwell-definedで、しかも環の同型になるってこと? マジか >>617 しかも同型を逆に辿れば I = (2x+1, x^2-5) とおくと Z[x]/I = {0 + I, 1 + I, … , 18 + I} で、 Z/19Z は体だから Z[x]/I も体になるのか >>616 こういうのってどうやって思いつくの? 何か知られているやり方があるの? >>621 つーか Z[x]/(x+1)=Zガンダム だろ (2x+1, x^2-5) = (19, x+10) = (19, x-9) は試行錯誤で見つけるの? 偶然 x-9 がモニックな1次多項式だから、 x に 9 を代入する写像が単射になるだけで、 モニックな1次多項式じゃなければ単射になるとは限らないよね? >>622 ガンダム? 整数列であるにもかかわらず、その一般項を初等的に表そうとすると無理数が表記上現れてしまう事がある場合があります(例:フィボナッチ数列)が、 そうなる場合とそうならない場合って何が原因ですか? >>624 例えば、下のような3項間漸化式で定まる整数列があったとする。 A[n+2]=p*A[n+1]+q*A[n] nをn+kに替えると A[n+k+2]=p*A[n+k+1]+q*A[n+k] となる。 ここで、二次方程式、x^2=px+q を考える。両辺にx^n あるいは、x^(n+k)を掛けると x^(n+2)=px^(n+1)+qx^n 、 x^(n+k+2)=px^(n+k+1)+qx^(n+k) 両者には、強い親和性があることに気づくはず。 実際のところ、A[n+2]=p*A[n+1]+q*A[n] 形式で与えられる数列は、 二次方程式、x^2=px+q の解を使って表現できる。 x^2=px+q の解が、無理数を用いなければ表せない場合は、 当然A[n]の一般項も、無理数を用いなければ表せない。 >>624 線型回帰数列に限れば、特性多項式の根が全て有理数になるかどうかで決まるな もちろん一般には表し方に依るから何とも言えない 【例】漸化式 a_1 = 1 a_{n+1} = (n*a_n) + 1 で定義される整数列の一般項 面白い問題おしえて〜な 32問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/314 あっ、特性多項式の根が、解空間たるベクトル空間の基底になるからか 商群の問題なのですが、Q/Zという商群は具体的にはどうなりますか? 例えばZ/2Zだと具体的には{0,1}になりますよね🙋 簡単な問題かもしれなくてすみません💦 >>629 具体的に書こうとしたら長すぎるからってエラーなって書きこめないわ ごめん 1/2log(1+x)/(1-x) (-1<x<1) のn次導関数の求め方教えてくれる人いませんか? >>629 Q∩[0,1) ほんとに面白いのはR/Q >>630 ,633 ありがとうございます!😙 整数の違いが無視できるから0以上1未満の有理数で全て代表できるんですね R/Qについても調べてみます >>627 【例】 a_{n+1} = Σ[k=0,n] n!/k! >318 = e∫[1,∞] (t^n)e^(-t) dt >319 = [ n!e ] >320-322 >>632 (1/2){log(1+x) - log(1-x)} をn回微分すれば (1/2)(n-1)!{(-1)^(n-1)/(1+x)^n + 1/(1-x)^n}, 整数成分の二次正方行列Aについて lim[n→∞]A^nが収束するとき、A^2=AまたはA^2=Oであることを示してください 対角化不能であるもので収束するのは固有値が0の場合でこの時A^2=O。 二つの固有値の絶対値が1以下になる事が必要であるが、絶対値の積は整数だから積は-1,0,1のいずれかが必要。 ±1のときは固有値は1の冪根であり、収束するから1しか取りえない。 この時冪等行列。 積が0のとき、固有値は少なくともひとつ0で、トレースも整数だからもう一方も整数、かつ絶対値が1以下だからもう片方の固有値は±1か0。 しかし収束するからやはり1か0。 >>639 整数列が収束⇔ある番号から先が一致 A^n=A^(n+1) y=x/2+√(x+1) の逆関数の解き方と計算過程を教えてほしいです。 何がわからないのかわからない ±のどちらが逆関数になるかと定義域に気を付けるだけの問題に見えるが >>643 >>642 の式を x=… の形に式変形していく方法がわからないです 根号が混ざってて解き方に迷っています 初歩的な質問ですみません。 >>644 要は x について解けばいいわけでしょ? y - (x/2) = √(x+1) なんだから、この両辺を2乗すればいい ルート外してからの2次方程式の解の公式は試した? 最初からなんでもかんでも小綺麗にやろうとしたらだめだよ、まずは手を動かそうね >>646 >>645 ありがとうございます! 解くことができました (P,≦)は有限な順序集合 ≦から(標準的に?)位相を定める。 φ≠Aを正則開集合とする。 Aの極小元をp1,...,pnとした時 A=op・cl{p1,...,pn}を示せ。 (opは開核作用素、clは閉包作用素) ⊇は明らか ⊆であるが、Aは正則開集合なので、A⊆cl{p1,...,pn}を示せばよい。 ですが,分かりません イメージ的には、各p_iが"枝の末端"で、閉包作用素によって"先祖を辿りながらかき集めていく"から、主張の成立は分かるんだが。 >>648 よくわからないんだが、本当に成り立ってる? P = {1, 2, 3} に通常の整数の大小関係で順序を定めるとき、 A = {1, 2} の極小元は 1 のみで、 op・cl{1} = {1} じゃないの? これ間違ってる? >>650 そのAは正則開集合じゃないね clA=P >>651 そうなの? P - A = {3} = (2, ∞) が開集合だから A は閉集合で cl A = A だと思ってた >>652 Pの開集合系は{φ、{1},{1,2},{1,2,3}}だから。 T0とかT1とか、みんなそれ覚えてるの? それとも適宜調べて考えてるの? >>653 所謂順序位相ではなくて? {3} = (2, ∞) は開集合ではないの? >>656 ≦は反射、対称、推移律を満たす(普通の)順序 順序集合Xとx∈Xに対して、[x]:={z∈X|z≦x}とする {[x]|x∈X}によって生成されるXの開集合系をもってXを位相空間と考える そうすると、P={1,2,3}に普通の順序を考えて位相空間を考えると、Pの開集合系は>>653 のはず >>657 なにその変な位相 [x] = (-∞, x] ってこと? 標準的な順序位相じゃないじゃん なんか名前付いてるやつなんじゃないの? >>658 竹内外史の現代集合論入門の83ページ でブール代数から順序、位相って定めてる >>657 その位相なら>>648 は証明できる 簡単のため、 B = {p1,...,pn} と置く。 A ⊆ cl B を示す。 a ∊ A の任意の近傍を N とする。 N ∩ B が空集合でないことを示せばよい。 >>657 の位相において、任意の開集合は [x] の有限個の共通部分の和集合として書けるから、 N = ∪ O_λ として、 a が属する O_λ を1つ選び、それを O として、 O = ∩[k=1,m] [x_k] とする。このとき、全ての k に対して、 a ≦ x_k である。 すると、 b ≦ a となる b ∊ P は b ∊ [x_k] となるから、 b ∊ N である。 したがって、 p ≦ a となる p ∊ B をとれば、 p ∊ N である。 >>657 >順序集合Xとx∈Xに対して、[x]:={z∈X|z≦x}とする x入れちゃうのか なんかやだなそれ >>660 どうもです ∀a∈A∃p_i s.t. p_i≦a が要ですね 分かりました >>662 ∀x∈G∃i p_i≦xである。 ∵xが極小元でなければ、 y<xなるyをとれるがGは有限なので、 いつかはp_iに辿り着く。 ルベーグの優収束定理の条件に、f_nもf_nの極限のfもリーマン可積分という条件をつけたものを考えれば(これを条件Aとします) リーマン積分でも各点収束するf_nについて積分と極限を交換可能と言えると思うのですが リーマン積分については、条件Aではなくf_nが一様収束するという条件で定理として書かれてる場合が多い気がして、 それが何故なのか気になっています これは条件Aでリーマン積分と極限を交換可能と分かってもあまり嬉しくないからですか? それとも、条件Aで積分と極限を交換可能とリーマン積分の範囲で示すのが面倒だからですか? >>664 その主張は成り立たない 【反例】実数 R の閉区間 [0, 1] において、 f_n(x) = 4n^2 x (0 ≦ x ≦ (1/2n)), 4n^2 ((1/n) - x) ((1/2n) ≦ x ≦ (1/n)), 0 ((1/n) ≦ x ≦ 1) とすると、 f_n(x) は n → ∞ で f(x) = 0 に各点収束する。 しかし、 ∫[0,1] f_n(x) dx = 1 >>665 f_nの係数は4n^2ではなく2nでしょうか? それはともかく、考えてる条件Aはルベーグの優収束定理の条件にf_nもfもリーマン積分可能という他の条件を加えたもので、 ルベーグの優収束定理の条件はもちろん満たしてるものを考えているので、 f_nもfもリーマン積分可能なら、当然リーマン積分と極限を交換可能だと思います その例だと、f_nを上から抑える、積分値が有限になる関数が存在しないので条件Aを満たしていないと思います >>666 >f_nの係数は4n^2ではなく2nでしょうか? f_n の係数は 4n^2 で合っているよ 条件については失礼、ちゃんと読んでいなかった 一様収束の代わりに一様有界としても成り立つことは「解析入門T」や「解析概論」には書かれているね (アルゼラの定理) 解析概論によれば、「その証明はむずかしいから, ここでは述べない. 」ということらしいが 一様有界でも「むずかしい」なら、ルベーグの優収束定理の条件だと相当難しいんじゃない? >>667 すいません、係数は勘違いしてました リーマン積分では示すのが難しいからリーマン積分の文脈ではあまり触れない、っぽい感じですかね ありがとうございます Riemann積分は、そもそも有界区間で有界関数でないと定義されない。 なので、収束定理としては有界収束定理を考えれば十分といえる。 もちろん、Riemann広義積分に関しても優収束定理みたいなのを作ることは出来て、 それは、有界収束定理が出来ていれば、ひと手間かけるだけ。 結局のところ、有界収束定理の証明が面倒だからやらないというだけだと思う。 参考まで、 http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/ ~ozawa/pdf/chokuhoutaijou.pdf にアルツェラの定理の証明が紹介されている。 アルゼラの定理の証明は、 Arzela's Dominated Convergence Theorem for the Riemann Integral でググるとpdfがそのまま読める。個人的にはこっちの方が読みやすい。 証明のやり方は>>669 と本質的には同じだが、なぜか>>669 は読みにくい感じがする。 n回のベルヌーイの成功の総数という確率変数の分散と各回の成功の数という確率変数の分散の関係の説明とその関係が成り立つ理由を説明しろという問題を出されたのですが、その関係性すらよくわかりません 各回の成功の数の確率変数の分散が、pq(成功の確率p 失敗をq) 総数の確率変数に分散が、平均の成功率pを一定にすると、np-Σ(k=1〜n)(pk^2) ※pkは成功の確率 であると配られたレジュメを見て考えたのですが、それすら当たっているかわかりません。 理解が浅くまともな質問が出来ず、ただ答えを聞くような感じになってしまいますが、教えていただけないでしょうか それぞれの確率変数の分散を足したら、総数の場合の確率変数の分散になるという関係の説明をしないさいということなのかもしれませんね もう少し自分で考えます。長文失礼いたしました。 行列について2つ質問があります。 @なぜベクトルの(x,y)などを行列では縦に書くのでしょうか。横に書くと1次変換の行列を後ろに掛けないといけなくなってめんどくさいとかなのでしょうか。 A固有値を求めるときに、定義式を整理すると (A-λE)(固有ベクトル)=0になるのですが、この0はスカラーですか。それとも零ベクトルっていう解釈でいいのですか。 @転置とることで縦と横どちらでも相互に変換可能、だからどちらを採用するかは人の好みの問題 A整理する方法を見るか、もしくは左辺を計算してみたらどちらの意味かは明らかですよね >>675 ありがとうございます。Aに関しては、固有ベクトルの一次変換だと考えて零ベクトルだという結論に至りました。 >>674 後に書く人も居るよ てゆーか 作用素は後に書くのが本来は正当 関数もxfと書くべきなのに 欧米のSVOに合わせてfxと書いたのが元凶 置換なんかxστって書いていたら混乱もなかったに 本来の正当ってなんだ? 欧米で論文発表なんかの研究体制が整えられて欧米で主に研究進んできた歴史から行って正当なのは欧米だろう 個個にすごい人が少数いたってだけの未開地のルールなんてそれこそ傍流だろう 文章が左から右に書くのに 作用素だけは右から左に抜けるからな おかしいんだよ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.4 2024/05/19 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる