0001１３２人目の素数さん
2018/11/26(月) 00:00:54.72ID:JoU+wz3V前スレ
分からない問題はここに書いてね448
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/
分からない問題はここに書いてね449
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分からない問題はここに書いてね448
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0673１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 09:19:21.83ID:fOdiIlFZ全近傍系って言葉を初めて聞いたから分からん。
自分なら「点xの近傍全体の集合N(x)」って普通書くけど、近傍系の「系」という言葉に全部集めてくるって意味合いがあるのでは。
0674１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 09:48:05.29ID:bTRZpGqF13^2 = 169 ........................ 31^2 = 961
二桁の数でこうなるのは他にある？
0675１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 09:51:17.60ID:EtvtpM+tありがとうございます
0676１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 10:09:01.63ID:fOdiIlFZn=1としてみる。
x*+x=0
はxが純虚数ということ、つまり
x=iy (yは実数）
だから、基底としてiが取れる。
nが一般でも同じように考えるとできる。
0677１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 14:27:50.70ID:jwfzbwkP3桁で900 <-> 009 も含めると
Prelude> [(x,y)|x<-[0..9],y<-[0..9],let z=(10*x+y)^2, z<1000,let a=z `div` 100,let b=z `mod` 100 `div` 10, let c=z `mod` 10,100*c+10*b+a==(10*y+x)^2]
[(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)]
0678１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 14:32:28.58ID:jwfzbwkP[(x,y)|x<-[1..9],y<-[1..9],let z=(10*x+y)^2,x<y,let a=z `div` 100,let b=z `mod` 100 `div` 10, let c=z `mod` 10,100*c+10*b+a==(10*y+x)^2]
[(1,2),(1,3)]
0679１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 14:39:04.16ID:jwfzbwkPPrelude> [(x,y)|x<-[0..9],y<-[0..9],x<y,let z=(10*x+y)^2,let a=z `div` 100, let a1=a `div`10,let a2=a `mod` 10,
let b=z `mod` 100 `div` 10, let c=z `mod` 10,1000*c+100*b+a2*10+a1==(10*y+x)^2]
[]
0680１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 21:29:59.12ID:p2jxtRG+0681１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 22:11:31.58ID:1NmX0pzo任意の複素数係数の2次関数f(x)に対して、g(x)=sin(f(x))が周期関数でないことを証明せよ。
ただしf(x)の2次の係数は1とする。
0682１３２人目の素数さん
2018/12/17(月) 23:09:43.12ID:SAlD3aSkhttps://twitter.com/genkuroki/status/1074570815901814785
https://pbs.twimg.com/media/DumkdV6U8AAeCXy.jpg
この証明について教えてください。
終盤の m→∞ の極限をとる際に
「各項の極限」をとってから 「項数の極限」をとっています。
この正当性を初等的に示すにはどうしたらいいのでしょうか？
例えば a_1 = a_2 = ... = a_m = 2^{1/m} に対して
lim[m→∞] { Π[k=1, m] a_k } = lim[m→∞] 2 = 2
Π[k=1, ∞] { lim[m→∞] a_k } = Π[k=1, ∞] 1 = 1 ≠ 2
みたいに、一般の無限積ではそのように扱えるとは限りません。
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0683１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 00:15:23.81ID:bfdz0hnc昔同じ方針の証明に挑戦したことある。
俺がやったのは一致の定理使えばいいので|s| << 1としてよい。
f_n(t) = log (1-sin^2(πs/~)/sin^2(π[t]/~)) (t≦m+1)
. 0 (t≧m+1)
とでもおいておいてf_n(t)の一様可積分性を示しておく。
すると積分と極限操作が交換可能で
lim[m→∞] ∫ [1,∞] f_m(t) dt = ∫ [1,∞] lim[m→∞] f_m(t) dt
からいける。
0684１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 00:50:16.65ID:sNQhjV5V杉浦光夫の解析入門Iの無限積の節に同様の方針で示す問題が載ってました
0685１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 01:00:14.86ID:IFEXvI2A四角の空欄を埋める問題です…
https://i.imgur.com/s3aiLVM.jpg
0686１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 01:14:26.70ID:sNQhjV5V∠AOC=150°を使えばAC^2は求まる
面積は1/2AB•AC•sin∠BACを計算
0687１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 01:35:01.31ID:B2daVuKp対数をとれば級数になって、Tannery の定理の使える形になる。
ちなみにTannery の定理は極限の初歩の知識で証明できる。
0688687
2018/12/18(火) 01:37:02.46ID:B2daVuKp>>682
の間違い
0689１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 02:32:52.09ID:oDCohZ6R意味のわからない計算を延々とさせられるものが一大分野なのは何故ですか
0690１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 02:33:23.70ID:oC5JUq6Sあと、部分と全体は実は等しいのでしょうか？
0691１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 02:58:01.84ID:sNQhjV5V存在意義が分からない理由は自身の勉強不足によるものと考えるべき
線形代数でいえば、様々な分野で自然に出てくる対象なので数学の中ではとても大切
代数でも幾何でも解析でもどこでも出てくる
それらから抽象的に取り出された概念や計算を線形代数として学ぶ段階では退屈に感じるのは仕方ないと思う
0692１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 03:12:07.67ID:IFEXvI2Aどうもありがとうございます。
しかし、
＞∠AOC=150°
はどうやって分かるんでしょうか？
0693１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 03:27:37.43ID:82e6nGKh例えば6個の6面賽子で全部6にする確率を出そうと思えば
1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6で1/46656になると思うのだけど
これが仮に実際にそんな賽子存在しないかもだけど
3面ダイス二つの内、一つが3の目と一つが“2の目以上”
5面ダイス四つの内、三つが5の目と一つが“4の目以上”
こういう時にどういう風に計算すればいいか教えて頂きたい……
0694１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 03:33:10.99ID:82e6nGKhちなみに今知りたいのは上に提示した賽子の出目が
3面ダイス二つの内、一つが3の目と一つが“2の目以上”
5面ダイス四つの内、三つが5の目と一つが“4の目以上”
これ六つの賽子の合計した確率です……
0695１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 04:11:53.36ID:IFEXvI2Aやっと分かったよ、ありがとう
0696１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 07:49:57.11ID:ibdlVmzOそれぞれの目は1/3、1/5で出るものとして
3面は3*3の9通りのうち(3,3)、(3,2)、(2,3)だから3/9=1/3
5面は25通りのうち5通りだから1/5
掛け合わせて1/15なんでないか？
0697１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 07:51:37.12ID:+Y1K+VUS2*(1/3*2/3) * 4*(1/5)^3*2/5
0698１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 08:01:28.92ID:+Y1K+VUSこれ誤答だな
0699１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 08:14:31.03ID:SqYMxpnX0700１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 08:23:36.48ID:+Y1K+VUS(2*(1/3*2/3) -(1/3)^2) * (4*(1/5)^3*2/5 - (1/5)^4)
0701１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 08:57:31.67ID:ibdlVmzO5面は625通りのうち5通りだった
0702１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 09:07:03.18ID:ibdlVmzO(1/5)^4は3倍する必要があるんじゃ？
0703１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 09:32:56.34ID:s3JskfYrご指摘の通りです。
0704１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 09:33:51.41ID:s3JskfYr> gr3=as.matrix(expand.grid(1:3,1:3))
> f3 <- function(x){
+ any(x==3) & all(x>=2)
+ }
> gr3[apply(gr,1,f3),]
Var1 Var2
[1,] 3 2
[2,] 2 3
[3,] 3 3
>
> gr5=as.matrix(expand.grid(1:5,1:5,1:5,1:5))
> f5 <- function(x){
+ all(x>=4) & sum(x==5)>=3
+ }
> gr5[apply(gr5,1,f5),]
Var1 Var2 Var3 Var4
[1,] 5 5 5 4
[2,] 5 5 4 5
[3,] 5 4 5 5
[4,] 4 5 5 5
[5,] 5 5 5 5
0705１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 11:11:15.76ID:sNQhjV5V行列表示すればいい
0706１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 12:38:50.29ID:Ty3NwcOH＞＞無限を有限の中に閉じ込めることは可能ですか？
∃ω∀x∈ω[ x∪{x}∈ω ]
有限記号列によって表された表現(論理式)の中に｢無限個の要素を持つ集合ωが存在する｣という意味が込められています
0707１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 12:40:06.82ID:Ty3NwcOHφ∈ω∧∃ω∀x∈ω[ x∪{x}∈ω ]
0708１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 12:40:52.50ID:Ty3NwcOH∃ω[ φ∈ω ∧ ∀x∈ω x∪{x}∈ω ]
0709１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 13:30:50.90ID:SqYMxpnX確かに行列式で区別できますね
ありがとうございます
0710１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 15:50:28.19ID:wVSb/Keeありがとうございます。理解できました。
(k≦m) q[m,k] := ( sin(πs/(2m+1))/sin(πk/(2m+1)) )^2 ≦ (s/(2k/π))^2 = (π/2)^2 * 1/k^2 ≦ (π/2)^2 =: β
(m<k) q[m,k] := 0 ≦ β/k^2 ≦ β
|a[m,k]| := |log(1-q)| ≦ q/(1-q) ≦ (β/k^2)/(1-β) = (β/(1-β)) /k^2 =: M[k]
∃ Σ[k=1,∞]a[m,k], ∃ Σ[k=1,∞]a[∞,k] (∵ Σ[k=1,∞]1/k^2 = π^2/6)
∀ε ∃N ∃m
|θ[m]| := | Σ[k=1,∞]a[∞,k] - Σ[k=1,∞]a[m,k] |
≦ Σ[k=N+1,∞]M[k] + Σ[k=N+1,∞]M[k] + Σ[k=1,N] | a[∞,k]-a[m,k] |
< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε
∴ lim[m→∞]θ[m] = 0 (Tannery の定理)
Π[k=1,∞](1-q[∞,k]^2) = exp{ Σ[k=1,∞]a[∞,k] }
= exp{ Σ[k=1,∞]a[∞,k] - Σ[k=1,∞]a[m,k] } exp{ Σ[k=1,∞]a[m,k] }
= exp{θ[m]} exp{Σ[k=1,∞]a[m,k]}
= exp{θ[m]} Π[k=1,∞]( 1-q[m,k]^2 )
= lim[m→∞] Π[k=1,∞]( 1-q[m,k]^2 ) = lim[m→∞] Π[k=1, m]( 1-q[m,k]^2 )
0711１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 15:55:23.37ID:wVSb/Kee指摘は不要です。瑣末な問題なので。
0712１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 19:22:15.88ID:2lmvarOuf_i(i＝1,…,n)は閉区間[a,b]上で定義された実連続関数です
https://i.imgur.com/sADw8Sg.jpg
0713１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 19:52:52.01ID:sNQhjV5V∫∫f(x)g(y)dxdy=(∫f(x)dx)(∫g(x)dx)
を繰り返し使って、右辺のdetを展開した時に出てくる各項を積分の積にバラす
右辺は変数のラベル付けしてる分、同じ項が丁度n!回出てくるはず
0714１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 20:59:56.97ID:oDCohZ6Rこのときγ=αβとなるための必要十分条件は、「α,βが（ ）の上にあることである」。
空欄にあてはまる適当な図形を求めよ。
0715１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 21:06:48.45ID:dasdSwTr原点を中心とする単位円だろ？
0716１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 21:11:29.24ID:dasdSwTrかつβが実軸に対してαと対称という条件も要るか
0717１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 21:58:00.37ID:oMyjvxR7D(2γ) とすると AO = AD なので |α| = |α - 2γ|
γ = αβ なら |α| = |α - 2αβ|
α ≠ 0 だから 1 = |1 - 2β|
すなわち |β - 1/2| = 1/2
同様に |α - 1/2| = 1/2
E(1/2) を中心とする半径 1/2 の円周上にある
（ただし O(0) を除く）
0718おっ中にビー玉入ってたぜ
2018/12/18(火) 22:34:48.63ID:LX7ac1np対称行列式の積だからね
0719１３２人目の素数さん
2018/12/18(火) 23:04:27.09ID:wVSb/Keeやってみた。
https://i.imgur.com/OVZQuoH.png
0720１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 02:19:07.23ID:TsZ8WhkbX=Π_i X_i を直積空間とします
A_i ⊆ X_i を部分集合とします
この時、 cl(Π_i A_i) = Π_i cl_i(A_i) が成り立ちます。----★
ただし、clはXにおける閉包、cl_i はX_iにおける閉包です。
★の証明に選択公理(AC)は使っていますか？
0721１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 02:26:04.22ID:TsZ8Whkbcl(Π_i A_i) ⊇ Π_i cl_i(A_i)
の証明に於いてACを使っているように思われますが、いかがでしょうか？
0722１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 07:32:26.71ID:yZ9IGW8e逆に なんで必要だとおもうの？
集合論の公理ZFと ごっちゃにしてないですかね？
0723１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 07:46:53.60ID:yZ9IGW8eごめん、ちょいと修正
包含関係が逆にみえた
cl(Π_i A_i) ⊃ Π_i cl_i(A_i) は選択公理は必要
cl(Π_i A_i) ⊂ Π_i cl_i(A_i) は選択公理は不要
0724１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 13:20:46.26ID:6UM+ijGq0725１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 16:30:26.98ID:zMzB0WAS誰か解いてください
「Xがどのようなときに、√Xが無理数になるか示せ。」
0726おっ中にビー玉入ってたぜ
2018/12/19(水) 17:07:43.16ID:PJa5apqO0727１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 17:11:36.92ID:2LzBNLpKそれはわかるけど、証明は難しくないですか？
0728１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 17:25:27.59ID:XNuWlbz60729１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 20:27:24.89ID:jE+wIL6Pp=A^2+B^2, p=C^2+2*D^2
(A,Cは奇数、B,Dは偶数)と書けますが、このとき
B≡0 (mod 8) ⇔ C≡±1 (mod 8)
です
自分はこれをx^4≡2 (mod p)が整数解を持つ条件を2つの方法で書いたけれど、他の視点はありますか？
0730１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 21:54:16.38ID:kMa/vesF定義そのものを組み合わせただけのような答だな。
0731１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 22:09:46.87ID:5PcuICgO簡単だよ
「√Xが有理数である条件P」を求めれば「Pを満たさないもの」が問題の答えになる
例えばY=√Xとおいて、Yは有理数だからX=Y^2は有理数の自乗
マジでこれだけ 何も難しくない
0732１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 22:11:04.09ID:5PcuICgOこの形にならない数は全て√Xが無理数
0733１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 22:37:24.06ID:5oxPJ9Df既約分数で平方数/平方数で表せる数「のみ」が有理数になる証明なんてできるのか？
自分は思い付かんぞ
0734１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 22:52:49.32ID:n3Xt7SCYA,B2人が2つのサイコロを使って以下の賭けを行う。
2つのサイコロを投げて目の和をxとするとき、xが偶数の時はAはBにx枚だけ100円硬貨をもらい、、が奇数の時はAはBにx枚だけ100円硬貨を与える。この時Aがもらう(負の場合は支払う金額)の分散を求めよ。
これなんですけど、分散が何回やっても5,000になってしまうんですが、回答は548,333になってます。
解き方を教えて貰いたいです、お願いします。
0735１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:11:06.41ID:dI2ZhlJ8期待値は0なので、二乗の平均を計算すればよい
まじめに計算して四捨五入すればその値になります
0736１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:19:43.17ID:5PcuICgOそれを今やったんだが………
これが理解できないのはあなたの責任で私の責任ではない
最高に丁寧に解説するな？
①ある非負の実数Xの平方根、Y=√Xは有理数か無理数かのどちらかである。
②従って、
(a)「Yが無理数となるXの条件」
(b)「Yが有理数となるXの条件」
このどちらかだけ求めれば問題は解ける。
(b)を調べることにする。
仮定よりX=Y^2は常に成り立ち、XとYは一対一対応することは自明である。
つまりYが有理数である場合、Xは有理数の自乗となる。
逆も自明であるからこれで必要十分条件がただちにわかる。
つまり、Yが有理数⇔Xが有理数の自乗⇔Xが平方数/平方数で書ける
あなたの質問はこれすら理解できてないということで論ずるに値しない。
0737１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:22:07.20ID:FnQfyjZ9P: √X は有理数である
Q: X は平方有理数である
まずこれが同値である事を確かめる。
{P → Q} √X = a/b (既約分数) → X = a^2/b^2 (既約分数) である。
{Q → P} X = a^2/b^2 (既約分数) → √X = a/b (既約分数) である。
よって P ↔ Q (同値) であり、not Q ↔ not P が導ける。
つまり、
X は平方有理数ではない ↔ √X は無理数である(有理数ではない)
んなの自明だろ/あきらかwって問題ほど、
{P→Q}だけ示して {Q → P} も示した気になってたりするので注意が必要。
>>736 と重複した内容かもだが、まあ書いてしまったので...
0738１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:44:06.26ID:L1OiJVpk「aが無理数で1+a^2=b^2ならば、bは無理数」
この命題がどうやら偽らしいのですが、反例が思いつきません。
何か良い手はありますか？
0739１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:45:42.93ID:E+Ui38Y9a=√8
0740１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:48:28.03ID:FnQfyjZ9反例： a=√3 のとき b=2
1+ (√3)^2 = 2^2
0741１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:48:52.42ID:L1OiJVpkああ本当だありがとうございます
こういう問題ってbに有理数を入れてみて式を遡ればある程度検討がつくのでしょうか
0742１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:54:40.38ID:agdISSsJb=1,2...と試していけばすぐ見つかりますね
0743１３２人目の素数さん
2018/12/19(水) 23:55:25.63ID:E+Ui38Y9数学1Aの教科書に√nが無理数になるnの例が出ているんだろうね。
nに順に1,2,3,4,5,6,7,8,・・・を入れて行けば、>>740さんの 3 や>>739の 8 が見つけられる、という
数学は実験だ！の精神を実感させる問題。
0744１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 00:05:04.39ID:NYQc/nhL>>743
ありがとうございます
本当に実験は大切ですね。身にしみました
テンパらずに実験できるように心がけます
0745１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 00:59:22.50ID:nSWMetx7>>737
やっと理解できました
ありがとうございました
0746１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 02:57:39.00ID:5y+dkzoB数式なしで話してくださるとありがたいです。
0747１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 05:16:46.49ID:Ui87Mjw2定義に従って計算
gr=expand.grid(1:6,1:6)
w=apply(gr,1,sum)
ev=100*w[w%%2==0]
od=-100*w[w%%2==1]
p=rep(1/36,18)
m=sum(p*ev+p*od) #期待値=0
sum(p*(ev-m)^2+p*(od-m)^2) #期待値周りの二次モーメント=分散
> sum(p*(ev-m)^2+p*(od-m)^2)
[1] 548333.3
どういう計算をして、5000がでる？
0748１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 05:26:41.12ID:Ui87Mjw2> 偶数の時
200 400 600 400 600 800 400 600 800 600 800 1000 600 800 1000 800 1000 1200
> 奇数の時
-300 -500 -700 -300 -500 -700 -500 -700 -900 -500 -700 -900
-700 -900 -1100 -700 -900 -1100
>
各々の確率1/36で計算するだけ。
Xの分散＝X の２乗の平均 ー（Xの平均）の２乗
でも計算できる（同じことだけど）
0749１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 09:19:47.56ID:ALj//3EQO(x)は高々xの項しか含まれない
o(x)はx^2以上の項が含まれる
0750１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 10:40:47.13ID:aTZ4Qgc1プログラムに算出させてみた。３桁まで。
> n=999
> is.whole <- function(x) floor(x)==x
> ans=NULL
> for (i in 1:n){
+ j=sqrt(i)
+ k=sqrt(i+1)
+ if(!is.whole(j) & is.whole(k)){
+ ans=rbind(ans,c(i,k))
+ }
+ }
> ans
[,1] [,2]
[1,] 3 2
[2,] 8 3
[3,] 15 4
[4,] 24 5
[5,] 35 6
[6,] 48 7
[7,] 63 8
[8,] 80 9
[9,] 99 10
[10,] 120 11
[11,] 143 12
[12,] 168 13
[13,] 195 14
[14,] 224 15
[15,] 255 16
[16,] 288 17
[17,] 323 18
[18,] 360 19
[19,] 399 20
[20,] 440 21
[21,] 483 22
[22,] 528 23
[23,] 575 24
[24,] 624 25
[25,] 675 26
[26,] 728 27
[27,] 783 28
[28,] 840 29
[29,] 899 30
[30,] 960 31
>
0751１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 11:16:57.61ID:7rFwEY87ここでiは虚数単位である。
0752１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 12:37:45.57ID:6fQj7XXR「F(x),G(x)が★を満たすならば, 1)F(x)+G(x), 2)F(x)G(x), 3)F(G(x)), 4)exp(F(x)), 5)log(F(x)) は★を満たす」
0753１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 12:53:35.64ID:9BinZb4P0754１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 13:01:26.87ID:7RWhETYcn=1のとき a∈ℕ かつ b=0
よって n>2 のとき a∈ℕより条件が厳しくなるか考えれば良い(b=0 はこれ以上条件を厳しくできない)が、a∈ℕ なら任意のn について (a+bi)^n=a^n は実数になる。
ゆえに任意の n に対しては a∈ℕ かつ b=0
0755１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 13:08:26.07ID:zDwt6WPya=b じゃないかな
0756１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 13:46:47.04ID:velCYqyyA = lim(n→∞) 1/n * Σ(k=1→n) 1/k
これを求めたいとして、
この場合f(k/n)=1/kとならないといけないですからf(x)=1/nxですよね
公式にあてはめて∫(0→1) 1/nx dx これ発散しますよね？
Aは明らかに収束しますよね？(たとえばnが2のベキになるときを考えて上から抑えればすぐ分かる)
これってどういうわけなんでしょう？
どういう状態だと区分求積の公式は使えないんですか？
いつでも使えるわけではないにもかかわらず、記述のなかで証明なしで用いて良いことになってるって不思議なんですが
0757１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 13:58:52.66ID:sX8qT1m6より一般化するならルベーグの収束定理かねえ
ちなみに、f(x)=1/nx だと n にも依存してるから f_n(x)=1/nx などと書かなければだめでしょう
でもこれだと Σ(k=1→n) (1/n)*f_n(k/n) になっちゃうから区分求積の形にできてない
nに依存しない関数f(x)を使って Σ(k=1→n) (1/n)*f(k/n) という形にできなければ区分求積とは呼ばないからな
そして、区分求積の形にできてないということは、
区分求積が使えるかどうかという話まで到達できてないということであり、
「いつ区分求積が使えるのか？」という疑問点と話が噛み合ってない
全体的にめちゃくちゃ
0758１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 14:07:19.52ID:ttA84OCj関係ないとこで文句をつけてるようだな
0759１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 14:26:02.35ID:1VpHSLTB0760１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 14:30:28.36ID:9BinZb4P0761１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 14:48:06.47ID:0JHA20ou条件を満たす a, b, n が存在したとすると、Im{ (a + b i)^n } = 0 である
a , b は互いに疎とする. 必要なら後で自然数倍すればよい.
〔1〕 a=b=1 なら n=4 で (1+1 i )^4 = 4 となるので問題ない.
〔2〕 a, b どちらかは 1 ではない場合
〔2.1〕nが奇数 n = 2m+1 の場合
n a^{n-1} b + .... + (-1)^m b^{n} = 0
a | b^n となってしまうので これはありえない.
〔2.2〕よってnは偶数 n = 2m
このとき (a + b i)^m は純虚数または実数である.
〔2.2.1〕(a + b i)^m が純虚数の場合
Re{ (a + b i)^m } = 0 より mは奇数である. ( a | b^m は不可 )
m = 2m’ + 1 とおくと
(a + b i)^m = (-a i + b)^{2m’ + 1} * (-1)^m’ * i
しかし Im{ (-a i + b)^{2m’ + 1} } = 0 はありえない. ( b | a^{m} は不可 )
〔2.2.2〕 よって (a + b i)^m は実数である.
帰納的に n = 2*2*2*...*2 、そして (a + b i)^2 は実数である。
が、これは不可能である (a=b=1 ではないので)
以上より、自然数a,bが満たすべき条件は a=b のみである。
(自然数は０を含まないという立場をとりました)
0762１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 14:52:38.98ID:0JHA20oua=1, b≠1 とかの場合を見落としてたので上の証明は忘れてくれ.
0763１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 14:59:49.87ID:pY1YYVPP距離d_1と距離d_2が同値⇔ある定数C,c>0が存在して
cd_1(x,y)≦d_2(x,y)≦Cd_1(x,y) ∀x,y∈R となる
ということなら dをユークリッドノルムと同値な距離として
{x_n}_(n∈N)⊂Rをd距離の意味でのコーシー列とすれば
|x_n-x_m|≦Cd(x_n,x_m)→0 (n,m→∞)
より{x_n}はユークリッドノルムの意味でもコーシー列
(R,ユークリッドノルム)の完備性から{x_n}はあるx∈Rにユークリッドノルムの意味で収束する
したがってd(x_n,x)≦C|x_n-x|→0 (n→∞)
から{x_n}はd距離の意味でもxに収束する
したがって(R,d)は完備距離空間
0764１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 15:19:00.56ID:dAi3UyiQn>2のときは、Im{ (a + b i)^n }を展開したものをよく眺めれば、nの偶奇に依らず
a|b^k (i.e. a=1)
b|a^(n-1) (i.e. b=1)
が言えそう
(kはnの偶奇によって異なる)
0765１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 16:57:08.23ID:I/y96RZ3これどうやったら積分求められるでしょうか？
高校で出たチャレンジ問題なのですが、全く歯が立ちません
(log2)/6+(log3)/8 が答えらしいのですが、導出過程をガンバレと言われました
どなたかお助けいただけないでしょうか・・・
0766１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 16:58:23.37ID:I/y96RZ3https://i.imgur.com/yPm02Ku.png
0767１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 18:06:58.73ID:dAi3UyiQ(-x/(x^2-1))'=(x^2+1)/(x^2-1)^2
を使って部分積分すればどうか
0768１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 18:36:59.82ID:I/y96RZ3おぉおおおおすごい！！！スッキリ解けました！超スッキリ
ここで聞いて正解でしたｗ
でもこれ自力で思いつくのかなり無理そうですねｗ
0769１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 20:14:39.59ID:xii2rAWK解き方お願いします
0770１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 20:25:20.77ID:dAi3UyiQ(xの多項式)*log(x)の積分でまず試したいのは部分積分だと思う
今回は分母に二乗があるお陰で比較的楽に部分積分できた
>>769
初等関数では無理
結果だけ知りたいならwolfram等を使えばいいと思う
0771１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 20:42:21.68ID:dv0n+7uF1/2*log(x)* { 1/(1-x)^2 + 1/(1+x)^2}
∫ log(x) * (1/(1-x))'dx = log(x)/(1-x) - ∫(1/x)*(1/(1-x))dx
∫(1/x)*(1/(1-x))dx = ∫ 1/x -1/(1-x) dx = log(x) - log(1-x)
と変形していけば部分積分でできるはず。
0772１３２人目の素数さん
2018/12/20(木) 21:11:42.27ID:0JHA20ou少し遠回りなようにも見えるけど...
∫ dx logx*(x^2+1)/(x^2-1)^2
= ∫ d{logx} x* logx * (x^2+1)/(x^2-1)^2
= ∫ dy y/2 * cosh(y)/(sinh(y))^2 { y = logx }
= [ y/2 * ( -1/sinh(y) ) ] - ∫ dy 1/2 *( -1/sinh(y) )
= [ logx * ( -x/(xx-1) ) ] + ∫ dx 1/(xx - 1)
= [ logx * ( -x/(xx-1) ) ] + (1/2) [ log(x-1) + log(x-1) ]
= ...
{-x/(xx-1) }’ = ... を使えばいいぞ、なんてのは後知恵じゃないのかな。
直には思いつかんでしょ。
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