分からない問題はここに書いてね449

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 00:00:54.72

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね448
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 10:40:15.64

そっかー
明らかに誤ってるのかー

……で、反例は？？？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 10:43:07.94

m' は d と素である

に直せばその部分の意味は通りますね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 10:57:09.70

あ、分かりました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 11:03:23.37

補題の証明の最初の部分で、

d を n の任意の約数とすると、 1 の原始 d 乗根はすべて {1, ζ, ζ^2, …, ζ^(n-1)} に含まれることを示しています。
1 の原始 d 乗根と 1 の原始 d' 乗根は、 d ≠ d' のとき明らかに異なります。

以上より、

∪_{d は n の約数} {1 の原始 d 乗根} ⊂ {1, ζ, ζ^2, …, ζ^(n-1)}

であり、

∪_{d は n の約数} {1 の原始 d 乗根}

は互いに共通部分のない和集合

です。

{1, ζ, ζ^2, …, ζ^(n-1)}　⊂ ∪_{d は n の約数} {1 の原始 d 乗根}

を確かめているのが後半部分ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 11:07:23.44

>>951

は上野健爾著『代数入門』ですが、証明に誤りがある上に、分かりにくいですね。

なぜ、

>>955

のように書けないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 11:22:41.98

試験で数式だけ書いて一切説明なしの答案に近いですよね。

0点ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 11:28:59.57

自分の中で結論が出てるなら日記帳に書け

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 12:32:55.33

自慢しないと生きていけないんだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 13:24:59.29

現時点での自分の学力が平均的な数学科の学部生のレベルに遥かに到達してない事もわかってるだろうし、薄々はその理由も感じてはいるんだろうけど、もう今更を心を入れ替えるには遅すぎるんだろう。
ある意味開き直ってこういう粗探しするのを数学の楽しみとするのもいいんではなかろか？
誰に迷惑かけるでもないし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 19:18:36.00

>>950
すまん察してくれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/28(金) 22:03:42.52

すいません、これって証明合ってますか？

問題文は「第一行の式はx=0を除いて-1＜x＜1で成り立つことを示せ」というものです
初っ端x=0を無視して対数を取ってるのはそのためです。

何が気持ち悪いかと言うと
①元の文章の式はx=0で定義できないのにそれを変形して得られたf(0)=0を使っている
（f(x)の連続性は微分が可能な時点でいえてるからこれは気にしなくてよいのでしょうか？）

②f`(x)が0<x<1で正、f(0)=0、これだけでf(x)は0<x<1で正と言えるのか？
（ここはf(x)が微分可能である時点で自明としてよいのでしょうか？）

どのような文を付け足せばまともな証明になるでしょうか？
よろしくお願いしますm(_ _)m

https://i.imgur.com/sHKqXYk.jpg
https://i.imgur.com/3P1SUQP.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 00:32:18.38

>>962

記述された証明に大きな問題はない。
気になる部分は、例えば、以下のような記述とすればよい。

x＜0 の場合も同様なので、以下は一応　0＜x＜1の下での記述とする。

示すべき不等式は形の上では　「0＜x＜1　のとき　(1/x)f(x)＜(1/x)g(x)」となっている。
これは　0＜x＜1 のもとで　f(x)＜g(x)　と同値ゆえ、0＜x＜1のもとで　f(x)＜g(x)　を示せば十分。

一方　f(x)、g(x) はその式の形から　-1＜x＜1 で定義された微分可能な関数とみなすことができ　特に　f(0)=g(0)=0　ゆえ
0≦x＜1 の下で　f(x)＜g(x) を示すことができれば　特に　0＜x＜1　のときでも　f(x)＜g(x)　が成り立っていることを示したことになる。

よって、以下は　0≦x＜1 の下で　f(x)＜g(x)　を示す証明である。

のように書けばよい

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 08:38:09.82

>>963
いえ、x=0の時はf(x)＜g(x)は成立しませんよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 09:13:22.59

① 解答の書き方の問題にすぎない。数学ではなく国語の問題。
解答の一番最初でいきなり f：(－1,1)→R を
f(x)＝log(x＋1)－(x－1)log(1－x) と定義してしまえば、
f(0)が自明に定義されているのでf(0)が使える。また、fの増減を調べて

「0＜x＜1においてf(x)＞0」

を示せば、これを変形することで0＜x＜1の場合における元々の式が得られる。
つまり、定義域が広いところから出発して狭いところに限定していくような順番で
解答を書けば何の問題も起きないということ。

② 厳密には証明が必要。
一般に、F：(0,1)→R が狭義単調増加かつ lim[t↓0]F(t)＝0 ならば、
0＜x＜1のとき F(x)＞0 である。

なぜなら、0＜x＜1を任意に取るとき、0＜t＜x/2 の範囲で
F(t)＜F(x/2) なので、この式で lim[t↓0] を取れば 0≦F(x/2) であり、
また F(x/2)＜F(x) であるから、0＜F(x) となる。0＜x＜1は任意だったから、
0＜x＜1のとき F(x)＞0 である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 09:48:28.74

>>964
適当に修正して読んでください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 10:26:42.79

>>966
まさにその部分が質問箇所ですので……

>>965
ありがとうございます。なんとなく分かった気がしますm(_ _)m

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 11:44:43.29

>>960
このスレじゃ迷惑

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 12:07:58.65

>>968
俺なんぞ医学部卒だから中高生の質問大歓迎だな。
いつも統計ソフトRの顰蹙解しか出せないけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 12:54:29.99

>>967
> >>966
> まさにその部分が質問箇所ですので……

そこがって、
f(0)=g(0)=0 と書いてあることを使ってどう修正したらいいのかもわからないのか・・・

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 13:49:33.43

>>970
申し訳ないですが、

「0≦x＜1 の下で　f(x)＜g(x) を示すことができれば　特に　0＜x＜1　のときでも　f(x)＜g(x)　が成り立っていることを示したことになる。

よって、以下は　0≦x＜1 の下で　f(x)＜g(x)　を示す証明である。」

ここからここまで全て間違っているのになぜまだ上から目線でレスして来れるのかが分かりません。
実際のあなたのスキルがどのようなものであれ、私のできた以下の理解しかしてないのに回答してきたという事ですよね

回答していただく際は、質問文をよく読まれたほうが良いかと思われます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 14:48:24.35

https://news.yahoo.co.jp/byline/kosakunoboru/20181228-00109363/
激動の将棋界、２０１８年を振り返る――女流棋士とアマも活躍
古作登 | 大阪商業大学アミューズメント産業研究所主任研究員 Yahoo 12/28(金) 14:45
(抜粋)
　２０１８年の将棋界は激動の一年だった。なんといっても一番の出来事は１２月末に竜王戦七番勝負がフルセットで決着し、広瀬章人新竜王（３１）が誕生、羽生善治九段（４８）が２７年ぶりに無冠となったことだろう。

来年初夏に三冠達成の可能性
　夏には８つのタイトルを８人の棋士で分け合う状況だったが、秋に豊島将之二冠（２８）が誕生したことで、今後何人かの棋士にタイトルが集まる流れに向かっている。

　具体的に示すと豊島二冠（王位・棋聖）は佐藤天彦名人（３０）への挑戦権を争うＡ級順位戦で６勝０敗と単独首位、来年初夏には三冠の可能性がある。

　年明けから始まる棋王戦の挑戦者になった広瀬竜王もＡ級順位戦で５勝１敗と羽生九段と同星で豊島二冠を追っており、同じく三冠の道が開けている。

　渡辺明棋王（３４）も王将戦の挑戦者になっているので１年数カ月ぶりの複数冠（２０１７年１２月初めは竜王・棋王）の可能性十分だ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 14:49:14.28

誤爆スマソ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 22:07:01.17

2つの点を結ぶ線の中で、最も長さの短いものは線分であることを示してください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 23:11:04.71

またお前か。前スレでも同じ質問してただろ、馬鹿。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/29(土) 23:25:34.43

微分方程式の問題ですが、解ける方はおりますか？

g = g(ξ) , h = h(ξ)はR上のC1級関数として２階の常微分方程式

d^2w/dt^2 + g(w)(dw/dt) + h(w) = 0

を考える。正定数δ > 0 , κ > 0が存在し
てg , hは次の条件を満たすと仮定する。

g(ξ) ≧ κ , h(0) = 0 , h'(ξ) ≧ δ (ξ ∈ R)

とする。このとき、任意のa,b∈Rに対してw(0) = a , w'(0) = bとなるような解w(t)がt ≧ 0で存在することを示せ。またlim[t→∞]w(t) = 0を示せ。

ヒント：H(ξ) = ∫[0→ξ]h(η)dηとして

(d/dt){(1/2)(dw/dt)^2 + H(w(t))} = (dw/dt)((d^2w/dt^2) + h(w(t)))

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 06:54:11.64

２つの点を結ぶ折れ線の中で、最も長さの短いものは線分であることを示してください。
　　　　　　　￣￣￣
なら瞬殺なんだけど････

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 07:36:00.14

>>977
曲線の長さ>=折れ線の長さで定義されるから瞬殺じゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 08:25:02.05

>>978
とーとろじい？

「シュワルツの提灯」もあるよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 08:46:04.61

△ABCの「外側」を迂回する折れ線 A-P1-…-Pn-B の長さの下限は AC+CB。
これは AB より長い。

△ABCの「外側」を迂回する曲線も同様か？
もしそうなら瞬殺だが

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 08:49:47.99

ここに至ってハタと気が付いた。
曲線の「長さ」が定義されていないことに････

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 09:01:52.82

>>981
2点を繋ぐ曲線の長さは、2点を繋ぐ折れ線の長さの上限で定義されるから、2点を繋ぐ直線は折れ線なので、その長さはすべての曲線の長さ以下。
何も神から与えられたものではなく、そう人間が定義したんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 09:02:24.68

次スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1546128004/

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 11:11:04.75

>>982
ってか、この一連の流れは前スレでも展開されてたんだよなぁ。
同じ事の繰り返し。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 12:04:51.80

最短は直線ではなくて測地線だよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 17:54:52.37

X^2 + x + 3xy 2y^2 + 3y - 2
因数分解

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 20:54:51.44

>>986
x^2 + x + 3xy+ 2y^2 + 3y - 2
=x^2+2xy+y^2+x+xy+y^2+3y-2
=(x+y)^2+y(y+x)+(x+y)+2y-2
=(x+y)^2+(y+1)(x+y)+2(y-1)
=(x+y+2)(x+y+y-1)
=(x+y+2)(x+2y-1)
と解いてはみたが、xがラージＸだったり3xy2y^2になっているので違うかもしれない

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/30(日) 23:39:26.98

>>987
2y^2をy^2が二つと分解することを思いつけるのはすごいと思う
なんで、これをx+yとyにわけようと思ったかが理解出来なさすぎ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 00:08:17.23

(1)x^2,xy,y^2があるからとりあえず平方完成
(2)最低次数(この場合はx,yのどちらでも可)の変数に関して解いてみる
(3)二次式だから解の公式&因数定理
(4)当てずっぽうで因数定理

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 10:36:26.01

これは間違っていると思われますが、どこがいけないのか教えて下さい。

https://i.imgur.com/lIDrO9m.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 11:16:17.62

下から二行目

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 11:36:01.65

微分可能な関数fが f(0)=0 かつ f '(0)=π である時

lim[θ→0] f(1-cos(2θ))/(θ^2) はいくらか。

(略解)
x = 1 - cos(2θ)　とおく。
lim[θ→0] x = lim[θ→0] {1-cos(2θ)} = 0,

f(1-cos(2θ))/(θ^2) = {f(x)-f(0)}/x * (1-cos(2θ))/(θ^2),

lim[x→0] {f(x)-f(0)}/x = f'(0) = π,

lim[θ→0] {1-cos(2θ)}/(θ^2) = lim[θ→0] 2sin(2θ)/(2θ) = 2,　（←ロピタル）

∴ lim[θ→0] f(1-cos(2θ))/(θ^2) = 2π,

コメント
g(θ) = f(1-cos(2θ)) が θ^2 の関数であることを意識し、0×∞ (不定形)となる分け方は回避しましょう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 11:49:17.19

〔Wolstenholmeの定理〕
素数 p に対して
p≧5　⇒　1 + 2^(-1) + 3^(-1) + …… + (p-1)^(-1) ≡ 0　　(mod pp)
p≧5　⇒　1 + 2^(-2) + 3^(-2) + …… + (p-1)^(-2) ≡ 0　　(mod p)
p≧7　⇒　1 + 2^(-3) + 3^(-3) + …… + (p-1)^(-3) ≡ 0　　(mod pp)
p≧7　⇒　1 + 2^(-4) + 3^(-4) + …… + (p-1)^(-4) ≡ 0　　(mod p)
p≧7　⇒　1 + 2^(-5) + 3^(-5) + …… + (p-1)^(-5) ≡ 0　　(mod p)
p≧7　⇒　1 + 2^(-7) + 3^(-7) + …… + (p-1)^(-7) ≡ 0　　(mod p^3) ?

[４４７.990]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 11:50:07.83

〔Faulhaberの定理〕

・m が奇数のとき
　S_m (n) = Σ_[k=1,...,n] k^m = {1/(m+1)} P_m(n(n+1))
　P_m は (m+1)/2 次のモニック多項式。

・m が偶数のとき
　S_m (n) = Σ_[k=1,...,n] k^m = {1/(m+1)}(n+1/2) P_m(n(n+1))
　P_m は m/2 次のモニック多項式。

[４４７.991]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 12:26:17.73

自然数pを1つ決め、以下の数列a[n]を考える。
a[1]=p
a[n+1]=a[n]-√(a[n])
初めてa[n]=0となるnをpで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 12:34:14.85

>>993
>[４４７.990]

これ何？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 13:26:24.00

ヤマ勘で
　n ～ e^(e/4)･√p

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 13:28:57.01

呼んでいる　胸のどこか奥で
いつも心躍る　夢をみたい～♫

[４４７.1000]　　← ４４７スレのレス [1000]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 13:36:51.95

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　本年もお世話になりました。
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し、__X__,ノJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　来年もよいお年を
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/31(月) 13:49:11.08

なるほど

[４４９ 998]

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