基本近傍系は無数に取れる。
例えばR^2にユークリッド距離を入れたものとマンハッタン距離を入れたものはそれぞれ異なる開球が定義される。
ある点xを取って、その点を中心とした開球の全体はxの基本近傍系なので、2種類の基本近傍系が定まったことになる。

ちなみにどちらの距離をとっても誘導される位相は同じ。

更に言えば1≤p<∞に対して(R^2上で)p-ノルムというものが定まって、そのノルムから誘導される距離による開球を考えることが出来る。
だかは基本近傍系はもっとたくさんあるんだね。

>>671
全近傍系って言葉を初めて聞いたから分からない。
自分なら「点xの近傍全体の集合N(x)」って普通書くけど、近傍系の「系」という言葉に全部集めてくるって意味合いがあるのでは。