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分からない問題はここに書いてね449
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0307１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 00:49:39.91ID:/hTVxJI1
>>304
|sinx|≦|x|
はおｋ？
（グラフ書けるならすぐ分かる）

これをx-y/2の時に適用している
0308１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 01:16:42.57ID:OeKC8SRu
>>302　訂正

・確率の錯覚説
金額ペア (A, 2A) の A が確率 1/2 で自分の封筒に入っている。
2A も確率 1/2 で自分の封筒に入っている。
だから自分の封筒の金額を X とすると
もう一つの封筒に X/2 が入っている確率も2X が入っている確率も、 どちらも 1/2 だ。
0309１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 01:17:12.93ID:hDAjOa19
>>301
もちろん、この設定では、交換したほうが得になると期待できますよね。

しかし、1万円を含まないペア（たとえば、3万円と6万円とか）と、5000円と1万円のペア
で同じ試行をすれば、1万円が出て交換すれば期待値（と言っていいのかな？）は5000円な
ので損になります。
また、1万円を含まないペアと、1万円と2万円のペアであれば、交換すれば期待値は2万円
で得します。

つまり、1万円が出たからといって、他方が5000円か2万円かという確率は必ずしも1/2
ではなく、それぞれ1と0か0と1の可能性もありうる。つまり、被験者の知り得た情報だけ
からでは、期待値を特定できず損得をきめられないということがよくわかると思います。
0310１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 01:18:09.57ID:/hTVxJI1
>>303
偏った分布を選択することはサイコロ問題のような状況でも可能だから、意味がない話と表現した
封筒問題で肝なのは、暗に仮定している
「条件(*)は"自然な"条件である」
が実は正しくないということだと考えている
この指摘と、極端な例を考えることができるという指摘の間には大きな隔たりがある

それを踏まえたうえで、偏った分布の例を挙げているなら文句は全くないです
0311１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 01:22:59.19ID:rQqeafdG
ちょっと封筒の問題で>>214のpdf読んで考えてみたことまとめてみる。
長レスになります。
申し訳ない。
まず封筒を交換したほうが必ず得でその期待値は元の1.25倍になる証明
pdfと同じくθを少ない方の封筒に入ってる金額を表す確率変数とする。

最初の封筒がx円の確率は1/2P(θ=x)+1/2P(θ=x/2)。
最初の封筒がx円かつ、もう一つの封筒に2x円入ってる確率は1/2P(θ=x)、
最初の封筒がx円かつ、もう一つの封筒にx/2円入ってる確率は1/2P(θ=x/2)。
よって最初の封筒がx円のときの、もう一つの封筒に2x円入ってる条件付き確率P(得する|θ=x)=1/2P(θ=x)/(1/2P(θ=x)+1/2P(θ=x/2))、
よって最初の封筒がx円のときの、もう一つの封筒にx/2円入ってる条件付き確率P(損する|θ=x)=1/2P(θ=x/2)/(1/2P(θ=x)+1/2P(θ=x/2))。
よって交換した封筒に入っているお金の期待値は
E=1/2P(θ=x)/(1/2P(θ=x)+1/2P(θ=x/2)) 2x + 1/2P(θ=x/2)/(1/2P(θ=x)+1/2P(θ=x/2)) x/2
=(2P(θ=x)/(P(θ=x)+P(θ=x/2)) + 1/2P(θ=x/2)/(P(x = θ)+P(θ=x/2)))x
ここで一様分布を仮定してるからp=P(θ=x)=P(θ=x/2)である。
したがって
E=(2 p/(p+p) +1/2 p/(p+p))x = 5/4x
となる。

で問題になるのはこの
「ここで一様分布を仮定してるからp=P(θ=x)=P(θ=x/2)である。」の部分。
なぜなら事象(θ=a)は異なるaの値について全て排反であり、これらの確率が”全部等しい”なんてありえない。
結局上の証明はそういうありえない分布を仮定しないと成立しえない。
あくまで数学的な確率や期待値の議論をするなら”ありえない仮定”の話は無視してもいいけどpdfではそういう場合の話も”積分不能な分布 (improper distribution)”として切り捨てないで議論しようとしてる。
しかしその部分は果たして一般的な方法といえるのか学部レベルの確率論しか知らないわたしにはわからなかった。
とにもかくにも上の”期待値1.25倍説”を正当化するには学部レベルの普通の確率論の範疇では無理っぽい気もするというのが今の私の意見。
以上です。スレ汚しスマソ。
0313１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 01:47:20.49ID:2u14F7ak
>>312
そうなんですね。
そういうのをうまく使えば”すべての aにたいしてP(θ=a)が一定値”でその結果として”期待値がたしかに1.25倍になる”ってモデルが作れるんですかねぇ？
ざっと検索した範囲ではそこまで大人気なく本気で封筒問題議論してる記事は見つからなかった。
有名問題みたいだからやってる人もいるかもしれませんね。
まぁ見つかっても>>214のpdfすら全部は理解出来てない私には猫に小判かもですけどw
0314１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 01:48:13.13ID:AtbMHzfa
条件付き確率の意味がわかってれば高校生でもわかる問題ですよね

与えられた情報によって確率は変動するし期待値も変わる

条件付き確率とかベイズ確率はそういう話なんですよ
0315１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 02:51:16.71ID:Xpj23hIH
αを無理数とする。
任意の自然数nに対して
(α+1)^n - (α-t)^n
が有理数となるための実数tが満たすべき必要条件はt=1であることを示せ。
またこの条件が必要十分条件であるかを判定せよ。
0317１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 03:30:34.18ID:lA6gKp7R
今年の近大の数学コンテストの問題に関するものなのですが，
アドバイスをください．
次のような問題です：

nを3以上の自然数，定数aを｜a｜＜１をみたす実数とする．
　　z^n＋az^(n−1)＋az＋1＝0
この方程式の解はすべて複素平面上の円｜z｜＝１上にあることを示せ．

以下のように考えました．

z＝w^2とおく．w≠0から
　　w^(2n）＋aw^(2n−2)＋aw^2＋1＝0
　　w^n＋aw^(n−2)＋aw^(2−n)＋w^(−n)＝0
これの解がすべて複素平面上の円｜z｜＝１上にあることを示せばいい．

f(θ)＝cosnθ＋acos(n−2)θ　(0≦θ≦π)を考えると，
f(kπ/n)＝(−1)^k＋acos((n−2)π/n)
kが奇数のとき負の値をとり，偶数のとき正の値をとる．
k＝1，2，…，nの，区間（(k−1)π/n，kπ/n)）で符号を変えるので，
各区間に1つずつf(θ)＝0をみたすものをとることができる．
α_1，α_2，…，α_n　（0＜α_1＜α_2＜…＜α_n＜π）
とすると，w＝cosα_k＋ｉsinα_kについて，
　　w^n＋aw^(n−2)＋aw^(2−n)＋w^(−n)＝2f(α_k）＝0．
ここで，α_kとこの複素共役なものは，すべて異なっていて，全部で2n個．
　　w^(2n）＋aw^(2n−2)＋aw^2＋1＝0
この方程式の解すべてになっていて，
すべて複素平面上の円｜z｜＝１上にある．　□□

いかがでしょうか？
0319１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 05:36:54.14ID:DEgDFF0a
>>315
(α+1)^1 - (α-t)^1 = 1+ t が有理数であることが必要。
(α+1)^2 - (α-t)^2 = 2α + 2αt +1 - t^2 が有理数であることが必要。
∴ t=-1が必要。
逆にこのとき(α+1)^n - (α-t)^n=0は有理数。
0320１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 06:18:37.76ID:tc+suZZS
>>317

f(z) = z^n + ax^{n-1} + az + 1 = Q(z) + P(z),
　P(z) = az + 1,
　Q(z) = z^n + az^{n-1},
とおく。
仮定 |a| <1 から　|z| <1　⇒　 P(z) ≠ 0,
また、|z|=1 上では　|P(z)| = |a+1| = |Q(z)|,

定理 2.1　　|z| <1　⇒　|P(z)| > |Q(z)|　⇒　f(z) ≠ 0.

ここで |Q(z)/P(z)| に「最大値の原理」を適用する。（実は避けたい…）
（*　Ahlfors の p.134 を参照）

ところで、f(z) は自己相反だったから
　z^n f(1/z) = f(z)
　f(1/α) = 0　　⇔　　f(α) = 0,
単位円の内部にある f(z) の根と単位円の外部にある f(z) の根が１対１に対応する。
これと 定理 2.1 から、f(z) は単位円の内部にも外部にも根を持たない。
つまり　f(z) の根はすべて単位円周上にある。

知念： KU-RIMS講究録 (2009/Oct)
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/141059/1/1665-03.pdf
0322１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 07:38:08.27ID:H6LI4wTx
>>295
こうしたら答があるだろうか？
答はないように思える。

そこに人間の門番が加わってウソも本当にも気まぐれに答える。
門番はお互いの属性は知っている。

YES（はい）/NO（いいえ）で答えられる質問を何回でもすることができる。

どんな質問をすれば天国行きの道を知ることができるか？
0324１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 07:50:03.50ID:qZpAT3x1
>>300
サイコロは現実にもほぼ1/6ずつで出るようになっているで1/6と仮定することに意味はあるだろう
封筒の問題の場合は現実には確定しているからサイコロと同じに考えるべきと言うのは詭弁なのではないのかと
確定している事実に対して偏った情報だけ言うことで確率で決まることであるかように錯覚させる司会者にインチキがあると考えるべきなのではないかってことじゃないかな
0325１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 07:58:13.65ID:36Ys94i3
現実にこの挑戦者になった場合「司会者は実は中身を知っていてこちらがどっちを引いたのかも知っている。そして高い方を選んだ人にだけ替えてもいいですよと言っている」と考えて替えないと考えるかも知れない
情報不足で答えの無い問題なのではないだろうか
0326１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 08:29:29.14ID:eWdbHcf/
封筒問題を確率で考えようとした人たちは詐欺に遭う可能性が高いかも知れないと思えてきた
いろんな意見を見てそれぞれになるほどと思ってしまった俺もやばいｗ
0328１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 09:27:23.80ID:OeKC8SRu
確率で考えようとすること自体が間違いなんじゃなくて
単に、倍額になる確率と半額になる確率を1/2ずつと錯覚してるだけのこと
「確定してる事実に対して〜」なんてのは
トランプ問題やモンティ・ホール問題でも同じだから、錯覚はそこではない
0329１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 10:08:02.93ID:9QJzoyfl
>>327
「三人の中にきまぐれな奴はいるか？ 」
正直者:YES, 嘘つき:NO, きまぐれ:YES or NO

YESが1人 ⇒ 正直者だけが YES と答えた.
　 正直者に 「天国行きはこちらか？」と聞けば良い。

YESが2人 ⇒ 嘘つきだけが NO と答えた.
　 嘘つきに 「地獄行きはこちらか？」と聞けば良い。
0330１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 10:19:59.70ID:0JOHUdUd
数学で一番難しい分野って数論幾何学？
0331１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 10:52:34.58ID:D0slTTke
>>329
レスありがとうございます。

多数決で判断できるということですよね。

こういう問題設定の方がいいかな？

正直者、（必ず嘘をつく）嘘つき、気まぐれの3人がいる。

自分の属性は知っているが、他者の属性は誰も知らない。

嘘つきを確定するためにYES、NOで答えられる質問（複数可）は何か？
0332１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 11:08:36.50ID:OeKC8SRu
確率分布の一例
(1,2)×1組　　(2,4)×6組　　(4,8)×3組　　(8,16)×1組
交換期待値
1→2　　2→3.57　　4→4　　8→7　　16→８

・期待値を計算するときに使う確率は 1/2 とは限らない。
・封筒を交換した方が有利か、交換しても変わらないか、あるいは交換しない方が有利かは、選んだ封筒の金額によって異なる。
・どちらの封筒を選んでも封筒を交換した方がよいことがある。
・小額の金額ペアの頻度が高額の金額ペアの頻度の 2倍のときは、封筒を交換してもしなくても有利さに変わりはない。
0333１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 11:15:08.38ID:9QJzoyfl
「あなたの属性は "きまぐれ" か？ 」
正直者:NO, 嘘つき:YES, きまぐれ:YES or NO

NOが1人 ⇒ 正直者だけがNO と答えた.
　 正直者に 「天国行きはこちらか？」と聞けば良い。

NOが2人 ⇒ 嘘つきだけが YES と答えた.
　 嘘つきに 「地獄行きはこちらか？」と聞けば良い。


やはり最初の問題が秀逸なので
こうやって設定を付け加えるほどつまらなくなるように思う。
0334１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 11:22:02.48ID:9QJzoyfl
>>331
もう門番の話ですらないのか...

NOが1人 ⇒ 正直者だけがNO と答えた.
　 正直者に 「嘘つきはこいつか？」と指差して聞けば良い。

NOが2人 ⇒ 嘘つきだけが YES と答えた.
　 そいつが 嘘つき
0335１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 11:26:35.80ID:AtbMHzfa
>>332
実際の確率分布がどうかなんてわかりませんよね

そういう話をしたいなら、封筒問題は問題不成立とするのが一番妥当です

ですから、一番単純な1/2とするんです
主観確率の問題なんですよ、封筒問題ってのは
0337１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 11:56:00.94ID:OeKC8SRu
>>335
分からないから1/2にするんじゃなくて
常に1/2にすると矛盾が生じるという話でしょう
0338１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 12:13:12.57ID:7577LRGC
>>337
矛盾なんてどこにあるんですか？

確率は主観的に決めたんだから、期待値も主観的だってだけのことです
0340１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 13:04:11.42ID:OeKC8SRu
>>338
選んだ封筒の金額がたとえば 1 円だったとします。
もう一方の封筒の金額が 1/2 円である確率と２ 円である確率がともに 1/2 であるためには、
2組の金額ペア、(1/2 円, 1 円) 、(1 円, 2 円) の確率が等しくなければなりません。
ここで、選んだ封筒の金額が 1/2 円 だったり、2 円だったりしたことを考えると、
同じ論法で、(1/2^2) 円, 1/2 円) と (1/2 円, 1 円) の確率が等しく、
(1 円, 2 円) と (2 円, 2^2 円) の確率も等しいことがわかります。
これを繰り返すと、((2^m 円, 2^(m+1) 円) の形の金額ペアの確率がすべて等しいことになり、
それらの和が無限大になってしまい、確率の数学的定義に反する事態になります。
0341１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 13:10:40.33ID:9QJzoyfl
>>336

NOが1人 ⇒ 正直者だけがNO と答えた.
　 YESと答えた2人に「あなたの属性は "きまぐれ" か？ 」
　を問い続ける。答えが揺れないやつが "嘘つき"

この問題はつまらない。
有限回で確定することが約束された質問は存在しない。
0343１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 13:56:45.84ID:/hTVxJI1
>>324
ちゃんと読んでください
>>300にも書いた通り一般的に封筒問題のパラドックスと呼ばれるのは
「中身が見えていない状態で同様の議論をすると、どちらを手にした場合も変えたほうが期待値が高いことになり不合理である」
という点だと思います(違ったらすみません)
中身を見る場合に話を限定してしまっていますよ

数学的にこの問題を考えるなら、封筒の中身はとある連続分布を用いて決定されていると考えるのが自然かと
そして直感的に(*)が成立してそうだと考えて計算すると上のパラドックスに陥るわけですが、他の方も指摘している通りこの条件は満たされないというのがこの問題の肝
pdfではimproper distributionを考えることで正当化もしていますが、どちらにせよ分布の取り方によって期待値は変わってしまうようです

最初から5千円と1万円しか用意していなかったら〜というのは、極端な分布を例に出して数学的思考を放棄しているだけであり、やはり1の目しか出ないサイコロを想定しているのと同様の状況だと思います
0344１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 14:14:25.70ID:7577LRGC
変えない場合の期待値は
1/2*x(次回も同じ封筒を選ぶ)+1/2*(次回は違う封筒を選ぶ)*(1/2*x+1/2*2x)=5x/4

変えない場合も5x/4,変えた場合も5x/4何が不合理なんですか？
0346１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 14:37:27.11ID:J5L1h9/6
こんな設定ならどうです？

１万円の封筒と２万円の封筒のペアを入れた大きな封筒を千枚、
５千円の封筒と１万円の封筒のペアを入れた大きな封筒を千枚用意し、
よくかき混ぜたうえで大きな封筒を１枚選び、ペアの中の１枚を開けたら１万円であった。
ペアのもう一方に替える権利を行使した方が損か得か？
0347１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 14:41:33.81ID:9sAQeraf
2変数x(t)、y(t)の連立常微分方程式('はtでの微分、a、bは定数)
x'=x-ay+(x^2+y^2)(by-x)
y'=ax+y-(x^2+y^2)(bx+y)
に対して、r=√(x^2+y^2)、φ=θ-(b/2)log(x^2+y^2)と与えた時にr'、φ'をそれぞれr、a、bを用いて表せ。(r、θはxyの極座標変換時のパラメータ)

途中計算も含めてお願いします
0348１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 15:19:08.03ID:aMwpB8R4
>>346
損するか得をするかは半々
何度でもチャレンジ出来るのなら1万円を見たときは替えた方が得（言うまでもないが2万円を見たときは替えない方が得、5千円を見たときは替えた方が得）
1回しか出来ないときに期待値で考えることが妥当なのかどうかは哲学
0349１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 15:24:08.58ID:9QJzoyfl
>>347
x’=x-ay+(x^2+y^2)(by-x) = r (c-as)+r^3 (bs-c)
y’=ax+y-(x^2+y^2)(bx+y) = r (ac+s)-r^3 (bc+s)
φ = θ - (b/2)log(x^2+y^2) = θ - b log(r)

r’ = (x/r) x’ + (y/r) y’
　= c ( r (c-as)+r^3 (bs-c) ) + s (r (ac+s)-r^3 (bc+s))
　= r - r^3

x tanθ = y 　⇒　 x’ tanθ + x θ’/cosθ^2 = y’
θ’ = (y’ c - x’ s) /r = ( (ac+s)-r^2 (bc+s) )c - ( (c-as)+r^2 (bs-c) )s
　= a - b r^2

φ’ =θ’ - b r’ /r
　= a - b r^2 - b (r - r^3)/r
　= a - b

計算ミスあるかもしれんけど、これで方針は分かるでしょう.
0352１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 15:55:06.44ID:Xpj23hIH
ある交差点で右と左に道が分かれており、片方のみが村に通じる。
ちょうど交差点には3n人の人がいて、そのうちn人は本当のことだけを言い、n人はウソだけを言い、n人は本当もウソも等確率で言う。
彼ら3n人に同じ質問を、それぞれ一回だけすることができる。
確実に村にたどり着ける質問を一つ作れ。
0354１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 16:02:18.37ID:iNuvAmm2
線型作用素について
連続⇔有界

の
連続⇒有界
の方の示し方がわからないです
0355１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 16:07:27.71ID:aMwpB8R4
本当のことしか言わない人と嘘しか言わない人の答えが一致してそれが半数以上になるから多数決で正しい道がわかるのはよいとして、
>>297の質問をしたとき本当も嘘も等確率で言うって人たちはどう答えることになるんだろうか？
0358１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 17:10:14.81ID:QVCCPqRf
>>346
別に千組もつくらなくても１組でも同じことでしょ。どっちの組み合わせを
引くかは等確率であればいいだけ。1万円でれば取り替えたほうが得すると
期待できます。

ただ、中身を知らずに、1万円だろうが、5千円だろうが、何がでてきても交換
するという戦略をとった場合、期待値はやはり12500円なんですよね。
で、何が出てきても交換しないとう戦略をとったとしてもやはり12500円
で変わらんのです。したがって、中身を知らずに戦略を立てるのであれば、
とりかえようが、とりかえまいが、どっちでもいいことになります。

一方、中身が5千円か1万円か2万円だとわかっていれば、当然戦略は出て
きた金額次第で変わりますよね。5千円ならとりかえ、2万円ならそのまま、
ってのは自明ですが、1万円ならやはり期待値が1万円を上回るので取替え
るということで。

事前確率を知ってるか知らないかで戦略が変わってしまうのは当たり前と
いえば当たり前なんですけど。
0359１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 17:15:49.84ID:QVCCPqRf
>>348
何回も繰り返し挑戦できると考えれば、期待値にも意味が出ますよね。

一千万円払って、200億円が1/1000の確率で当たるくじを買うかどうか
という1回限りの博打に参加するのはいくら期待値が上回ってもできませんけどｗ
0360１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 17:23:45.13ID:OeKC8SRu
>>358
＞ただ、中身を知らずに、1万円だろうが、5千円だろうが、何がでてきても
＞交換するという戦略をとった場合、期待値はやはり12500円なんですよね。

(5千+1万+1万+2万)/4＝11250円　じゃないの？
0361１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 17:29:57.40ID:H6LI4wTx
>>355
気まぐれにある質問にYesと答えるかと聞いてもYesともNoとも答えられないから選挙なら白票だな。多数決でいいともいえる。
無理矢理Yes/Noで答えられる質問にするなら

『「右が村に通じる道か聞かれてYesと答えるか」にYesと答えるか』にYESと答えるか？
なら気まぐれもYes/Noで答えられる質問でOK?

もっとエレガントな質問がありそう。
0362１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 19:08:56.04ID:MlPHk3IM
もういいんじゃない？確率論にはいわゆる数学科で勉強する確率論以外にも確かに主観確率なんてものがあるらしいし。
まぁそれがなんなのかようしらんけど、それに基づいたら1.25倍になるんでしょ？期待値。
数学の確率論の話じゃないってんだったらここでするような話でもないでしょ？
0363１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 19:21:44.67ID:OeKC8SRu
Ｑ　交換後の期待値は？(交換前の何倍？)
Ａ１　確率分布(全部または一部)に関する条件が判明しなければ期待値は求められない
Ａ２　ある仮定をすれば、期待値はその仮定に応じたある値になる

好みの問題で、どっちも正しいのか？
0364１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 19:31:25.98ID:/hTVxJI1
>>363
どちらも正しいことを言っている
A2のある仮定というのが分布の選択のことを指しているなら、全く同じこと

「選んだ封筒の中身に関わらず、交換したほうが常に期待値が高くなる」というパラドックスに対する回答としては
「期待される性質『任意のxに対し内訳が(x,2x)となる確率と(x,x/2)となる確率は等しい』をもつ(普通の意味での)分布は存在しない」
がより適していると思う
これはA1･A2よりも強い主張
0365まじ
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2018/12/07(金) 20:07:47.17ID:qS45dkkY
>>288
>一人の封筒の金額が 2 で相手の金額が 4 の場合、2 の人は 1 と 4 を同確率で期待し
>4 の人は 2 と 8 を同確率で期待するので、どちらの人も交換した方が有利になる。

いえ私はこの説明は間違っていると思います。
2の人は得しますが4の人は損しますからどちらの人も得することにはなりません。
しかし2の人の立場から考えると1と4が同確率？で期待出来そうで
4の人の立場から考えても2が出る確率と8が出る同確率で期待できそうで
どちらも交換した方が得のように"見える"(←ここ重要)けど実際は得じゃないから不思議なんです。

>期待値が＋かどうかと、実際に得をするかどうかとは別問題。

別問題ではありますが無関係ではありません。
例えば1回振るのに300円かかるサイコロがありその代わり出た目×100円を
もらえるゲームがあるとすると期待値は350円です。
このサイコロを1回振ると勝つ場合も負ける場合もあるでしょうが100人が1回振れば
その100人の持ち金の合計は殆どの場合サイコロを振る前よりも増えているはずです。
期待値とはそういう性質のものです。
0366まじ
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2018/12/07(金) 20:09:09.81ID:qS45dkkY
>>365の続き

なのでこれを>>288さんが例として挙げたパターンに適応させて考えるなら
金額ペアは ( １と 2 )、 ( 2 と 4 )、 ( 4 と 8 ) の 3 パターンの封筒があるとする。
これをそれぞれ各1000個合計6000通の封筒を作り全部の封筒に連番を入れます。
1の入った封筒は１〜1000で2が入った封筒は1001〜2000で
4が入った封筒は3001〜4000と言う風にそして全員に交換したいかどうかを聞きます。
見ためじょうは交換した方が得、つまり期待値が交換した方が交換する前より＋になるように見えるので
全員が交換をしたいと言います。そこで封筒に連番の2が書いてある人は1002の人と交換し(これはペアなので限定です)同様に封筒の連番1005の人は連番5の人と交換します。
そして6000人全員が封筒を交換した結果、得した人もいれば損した人もいますが全員が
最初に封筒を開けて手に入れた金額の合計は交換前と変わりません。
封筒を交換した場合の期待値が本当に交換する前よりも1.25倍も高いなら3000回もそれを繰り返して
全く金額が増えないのは現実的にほとんどありえません。金額は元の1.25倍に近づくはずだからです。
期待値とはそういう性質のものだとは前に書いたとおりです。
この事から封筒を交換すると交換前よりも期待値が1.25倍になるというのは間違いだと思います。
この事から私は元の問題に戻ると2つの封筒のうちの一つを開いて1万円だった場合
もう一つの封筒が2万円か5000円なのは最初から定義されているので確実ですが
上記の理由から期待値も12500円じゃなくて10000円なのでこの2つの事を同時に成立させるには
残りの封筒に2万円が入っている確率が5千円入っている確率の半分しかないとするパターンしかありません。
しかしそれを納得出来る説明が今まで誰からも聞けないので・・・
0368１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 20:45:02.38ID:H6LI4wTx
>>363
宝くじは当たるか外れるの二つに一つだから当たる確率は1/2である、を正しいと思うかどうかの話だと思う。
0369１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 20:56:49.76ID:/hTVxJI1
>>366
本来は無限にある組み合わせを考慮しないといけないのに、勝手に有限のパターンにしてるからおかしなことが起きている
有限の話と無限の話には大きな隔たりがあるから連続分布を想定しないと
何度も書いてるけど、封筒問題での暗黙の仮定は
「任意のxに対し内訳が(x,2x)となる確率と(x,x/2)となる確率は等しい」
その状況だとこれが満たされていないのは分かる？
0370１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 21:05:09.52ID:/hTVxJI1
訂正
必ず連続分布にしないといけないわけではなく、離散分布に従うとしてもいい
ただしその場合も有限個のみのパターンで考えるのは意味がない
0371１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 21:10:22.37ID:OeKC8SRu
>>366
全部で6000通
1が1000通、2が2000通、4が2000通、8が1000通

1の人の交換前合計値　　1*1000＝1000
2の人の交換前合計値　　2*2000＝4000
4の人の交換前合計値　　4*2000＝8000
8の人の交換前合計値　　8*1000＝8000
合計は、21000

1の人の交換後合計値　　2*1000＝2000　
2の人の交換後合計値　　1*1000+4*1000＝5000
4の人の交換後合計値　　2*1000+8*1000＝10000
8の人の交換前合計値　　4*1000＝4000
合計は、21000　　　　　

1の人　　1000　→　2000
2の人　　4000　→　5000
4の人　　8000　→　10000
8の人　　8000　→　4000
0373１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 21:18:38.11ID:FiQ1c5Ps
>>346

もうちょっとだけ一般化してみません？

１万円の封筒と２万円の封筒のペアを入れた大きな封筒を H 枚、
５千円の封筒と１万円の封筒のペアを入れた大きな封筒を L 枚用意し、
よくかき混ぜたうえで大きな封筒を１枚選び、ペアの中の１枚を開けたら１万円であった。
ペアのもう一方に替える権利を行使した時の期待値を、H,Lを用いて表せ？
0375１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 21:29:46.82ID:/hTVxJI1
>>372
現実の問題ではなく数理モデルを考えているから
そもそも確率論というのは数理モデルを構成して、その上で数学をしようという学問です
(1円,2円)の場合も(1万円,2万円)の場合も(1兆円,2兆円)の場合も想定するというのは確かに現実的ではないけど、数学の問題として捉えるなら想定すべき
このような考え方に否定的な考えを持つのは自由です
ただ、封筒問題のパラドックスは数学の問題として考えたときに生じるものなので、そういう立場ならそもそも何も問題は起きていません
その場の具体的な設定次第という当たり前の答えがあるだけ
0377１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 21:40:03.28ID:/hTVxJI1
>>376
数理モデルとしては、2枚の封筒の中身は単に確率変数(ある種の可測関数)に過ぎない
そして、無数にある可能性を考慮するというのは、数理モデルの言葉で書けば確率変数の値域をR^2(離散でやるならZ^2)にするというだけの話
封筒の数は値域の次元に対応しているだけで、確率変数の取りうる値の個数の有限性とは何ら関係ありません
0379１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 21:46:41.62ID:/hTVxJI1
もうすでに結論は出てると思うんだけどね
つまらない問題だからというより、問題の設定が簡単な割に結論が少しややこしいから、結論を理解できてない人がずっと質問し続けてる感じ
0380まじ
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2018/12/07(金) 21:55:42.82ID:qS45dkkY
>>369
>本来は無限にある組み合わせを考慮しないといけないのに、勝手に有限のパターンにしてるからおかしなことが起きている

連続分布と言う言葉を使っている人は皆元々の有限の問題を頭の中で無限の問題にすり替えて
いるからおかしな説明になるんじゃないかと思う。

封筒は２つで入っているのはお金だから整数の金額です。そして最初に開いて出てきた金額は1万円
だから残りの封筒に入っているのは5千円か2万円、全て有限の数字ですよ？
そしてさらに最終的な正しい答えは

１.交換した方が得
２.交換しない方が得
３.交換してもしなくても同じ

のどれかという単純なもので数字で答えが出てる時点でそれは答えとしては間違いです。
ただその上記１.−３.の答えを選んだ説明として数字が出てきても良いですがその場合でも
問題は現実に実行する事が出来る問題なのだから当然有限の問題だと思います。
無限の問題ならそれは実行不可能でしょう？
封筒にお金を入れる人は無限の枚数の封筒を用意してる訳でもないし無限のお金を封筒に入れてる訳でもありません
0381１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 22:03:59.89ID:/hTVxJI1
>>380
その点については>>370で訂正した通り、連続である必要はない
本当に何度も書いてるんだけど、中身を見ないバージョンも含めての封筒問題
この場合、金額を見るというのは条件付き確率を求めてると解釈される

損得については他に指摘してる人がいたけど、何を基準にするかによって異なるから
数学の問題に置き換えるときは期待値の大小に置き換えることが多いし、パラドックスは期待値計算の際に生じるものだから期待値について話をしてるの、分かる？
それから、現実の問題と数理モデルとは切り離さないとダメです
>>375と>>377を読んでください
0382まじ ◆QqQ47VaF4Rc/
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2018/12/07(金) 22:26:57.21ID:qS45dkkY
今非常に良い説明が思いつきました！
説明に確率分布という言葉も使いません難しい数式も一切使いません。
有限の問題だからこそ解決出来ました。
解決してみるとモンティホール問題と似ていて言葉と発想の問題でした。
発見できたのは嬉しいけど違ってたら恥ずかしいので明日書いてみます。
とりあえず自分で書いた>>366の
>残りの封筒に2万円が入っている確率が5千円入っている確率の半分しかないとするパターンしかありません。
これは間違いでした。
0383１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 23:05:13.65ID:Xpj23hIH
Aさんが封筒を開けたところ10000円が入っていた。
BさんがAさんに「封筒を変えることもできる。1つには1円が、もう1つには99999円が入っている。」と持ちかけた。
封筒を変えるべきか。
0384１３２人目の素数さん
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2018/12/07(金) 23:07:17.69ID:OeKC8SRu
>>375
＞その場の具体的な設定次第という当たり前の答えがあるだけ
その当たり前の答えさえ納得してくれないんだけど

(1,2)、(2,4)、(4,8)、の3組6通の設定での交換後期待値
1→2、2→2.5、4→5、8→4
0385１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 00:03:00.70ID:YHt3Ju1a
元スレ見てないけどそっちでも「納得できない！」って暴れまわったんだろうなあ
0386１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 00:07:23.38ID:PiC3CStw
問題を正しく書き写すだけの論理的日本語力がないのが紛糾の原因。
0387１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 00:13:11.27ID:ILFZ5lNM
>>360
あ、そうでしたね。すみません。
交換しようがしまいが、どちらも同じく11250円になるというのが味噌です。
0388１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 00:40:16.59ID:BaL6cvQV
長い文章になりますが、>>380を読み直して気がついたことを書いておきます

私はだいぶ前に貼られていたpdfを念頭に置いているから、パラドックスの解決が目的だと考えていたけど、よく読み直すと突っかかっている人は「封筒を変えるべきか否か」という点だけを気にしているようだから、そこで齟齬があったのかもしれない

封筒問題のパラドックスは
「封筒を選んだとき、その封筒の中身に依らずもう一方の中身の期待値は1.25倍になる」
というもの
本来は２つとも対等なのにおかしいよねって話
これは現実の問題を離れて封筒問題を数学の問題と解釈しており、このような性質を持つ分布の存在を数学的に否定することが正しい解決

一方、他の人が気にしていると思われる変えるべきか否かという問題は次の説明だけで済むと思われる
「封筒の中身は(x,2x)か(2x,x)のいずれかなので、封筒を交換するとき、もともとxを選んでいた場合はx円得、2xを選んでいた場合はx円の損だから、交換により追加で得られる金額の期待値は0」
ただし、これは上のパラドックスの解決には何も繋がっていない
なぜなら、上のパラドックスは、一方の封筒の金額を知っている時にもう一方の金額の期待値を計算する、という条件付き確率が絡んだ話
この説明ではもう一方の封筒の金額の期待値計算を回避しているだけで、どこがおかしいのかは指摘できていない

そういう意味で私はずっと確率分布を用いた数理モデルを使わなければならないと唱えていました
0389１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 00:41:19.86ID:RPj/UiUJ
元々>>210で
「なんで期待値12500なんだ？納得いかん！」
から始まって、ところがここでは形勢逆転して
「なんで12500じゃないんだ！納得いかん！」
になるという。
元スレはどこなんだろ？
0390１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 00:52:01.81ID:ILFZ5lNM
>封筒を選んだとき、その封筒の中身に依らずもう一方の中身の期待値は1.25倍になる

だから、期待値を計算するために必要な確率分布が不明なのでそうなるとは限らないってだけでしょ。
半分になる確率が0なら、期待値は2倍だし、2倍になる確率が0なら期待値は半分。どちらも等確率
なら期待値は1.25倍。
0391１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 01:02:19.96ID:BaL6cvQV
>>390
その説明を持ち出す人が多いけどそれも全然違います
それは反例として偏った分布を提示してるだけ
それだけでは、条件を満たすような分布が存在するのかしないのかが分かっていないままです

正しい解決はそういう性質を持つ分布が存在しないことを数学的に示すことです
その証明はpdfにもありますし、ここのスレでも丁寧に書いてる人がいましたよ
0392１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 01:03:44.20ID:nzKzKTmO
英語版のwikiが詳しい。

ttps://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

Second mathematical variant のところに、
確率分布を設定したバージョンも書いてある。
0394１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 02:34:17.10ID:ILFZ5lNM
仮に一つ目の封筒から出る金額が未知の数xと2xの二通りしかありえず、それら
の出る確率がそれぞれ0.5だとすれば、一つ目の封筒から出る金額の期待値は1.5x
になる。一方、一つ目の封筒からxが出る確率は0.5、2xが出る確率も 0.5 なので、
二つ目の封筒から出る金額の期待値も 0.5*2x + 0.5*x =1.5x で同じになる。
つまり、交換しようがしまいが期待値は同じになる。

一方、x の具体的な数値が判明していれば、一つ目の封筒を開けた時点でもう一方の
値が確定してしまうので、交換すべきかどうかは一つ目の封筒の中身次第となる。
0395１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 03:52:06.05ID:tDbz+yzw
>>320 さん
>>321
0396１３２人目の素数さん
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2018/12/08(土) 03:57:43.91ID:tDbz+yzw
失礼しました．317　です．
>>320　さん
>>321　さん
興味深い情報（アドバイス）をありがとうございます．
自分の考えたことが正しいのかも気になるところなので
何かお気づきのことがありましたらお願いします．
別の所でもアドバイスを求めたいと思います．
0397１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 08:23:02.27ID:28kbddvX
(x,y,z)=(sinθ,cosθ,tan(θ-π/3))
がいずれも有理数となるとき、(x,y,z)として考えうる組をすべて求めよ。
θを求める必要はない。
0398１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 08:24:38.50ID:28kbddvX
6辺の長さが8,9,10,11,12,13である四面体の体積を有理数pと自然数nを用いてp√nと表すとき、nを求めよ。
0399１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 09:20:30.22ID:ILFZ5lNM
>>391
>条件を満たすような分布が存在するのかしないのかが分かっていないままです

どういう方法であれ、2通の封筒の中身が確定した時点で、一方を開ければ、他方が
どうなるかは確定しているので、他方が半分か倍かの確率分布は1,0か0,1なのかな。
0.5と0.5ということはありえない？
0400１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 10:13:01.29ID:rZPjIodW
>>399
１万円が選ばれる確率も
１万を選んだときに他方に２万を入れる確率決まってないままの議論じゃないのかなぁ。
0401１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 11:06:21.22ID:ILFZ5lNM
2通の封筒を確定する際に5千円と1万円の組になるか、1万円と2万円の組になるかは等確率という
状況は作れる。で、どちらかの2通が選ばれたあとの確率としては、前者の場合、1通目が1万円なら
2通目で5千円が出る確率が1なので期待値（ってのも変だが）は5千円、後者の場合だと2通目で
2万円が出る確率が1なので期待値は2万円。ただし、どちらの組合わせが選ばれたのかという確率
まで考慮して期待値をとれば、それぞれ1/2なので、12500円。

さらに、1通目が5000円や2万円である可能性まで含めて期待値をとれば、1通目で出る金額の
期待値は11250円。当然、2通目で出る金額の期待値も11250円となるので、何が出ても交換
した方が得ということにはならない。あくまでも2通の封筒を選ぶ確率がどちらも等確率になる
という状況下で1万円が出た場合に限っては、2通目に期待したほうが得になるというだけ。
0403１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 12:09:32.47ID:gX5r5mp8
>>402
倍額にするか半額にするかは五分五分とするとして
1万円が選ばれる確率は2万円が選ばれる確率*0.5と5千円が選ばれる確率*0.5を含むことになるよね？
0404１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/08(土) 13:14:43.03ID:BzHF+GhQ
(1,2)、(2,4)、(4,8)
開封前期待値　3.5→3.5(1倍)
開封後期待値　1→2(2倍)　2→2.5(1.25倍)　4→５(1.25倍)　8→4(0.5倍)

最大額以外は交換すれば得になる(期待値＞1倍)
最大額の上限をなくすとどうなるか？
サンクトペテルスブルグのパラドクスに似てると思った
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