分からない問題はここに書いてね449

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 00:00:54.72

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね448
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 15:51:03.00

何をもって「得」とするかによる

まじ · 2018/12/04(火) 16:14:20.20

>>208

なぜ納得できないかと言うと替えた方が良いとすると明らかに矛盾する現象が発生するからだ。

一つの封筒を開けて1万円が入っていた場合もう一つの方の封筒には2万円か5千円が入っている訳だから
封筒を替えた場合の期待値は(20000+5000)÷2=12500円だから変えた方が良いという意見が大勢だった

１．しかしもしこの理屈が正しいなら最初に開けた封筒にいくら入っていても封筒を替えた方が得という事になる。

２．つまり最初に選んだ封筒を開けてその金額を見てない場合でも、いやそもそも選んだ封筒を開けないでも封筒を替えた方が得という事になる。

３．だとするともしAさんとBさんがいてAさんは最初に選んだ封筒を選びBさんは最初にAさんと別の封筒を選ぶ人だとすると
Bさんは最初に選んだAさんと違う封筒を見ないで"Aさんと同じ封筒に替えた場合"
AさんとBさんは最終的に同じ封筒を選んた事になる

しかし常に封筒を替えた方が得という事なら最終的には同じ封筒を選んでいるのに
"封筒を替えたBさん"のほうがAさんより常に得をすると言う明らかに間違った結論になる。

>>209
最終的に選んだ封筒に入っている金額の期待値が1万円より上であれば得とします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 16:41:54.42

>>210
＞Bさんは最初にAさんと別の封筒を選ぶ人だとする
この仮定をした時点でＢの選択は無作為ではない
Ｂが無作為に選択をする場合と比べて期待値が異なっても問題ない

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 16:49:59.98

封筒に入れる金額の確率分布が与えられてないと期待値はだせないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 16:56:27.46

>>211
仮に２つの封筒を区別する為に１つは赤色でもう一つは青色とする。AさんとBさんが選ぶ前は当然
赤の封筒も青の封筒も期待値は同じだよね？
ところがAさんが赤の封筒を選びBさんが青の封筒を選んだ瞬間に赤と青の封筒の中の
金額の期待値が異なる様になるって事？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 17:01:03.02

>>210
これどう？割と説得力あるよ。
http://www.yoshizoe-stat.jp/stat/sinf9307.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 17:04:38.67

設定が現実に即していないから生じるパラドックスなんでないのかなあ
現実には1万円が高い封筒であったのか安い封筒であったのかは確率で決まるものではないのでは？
確率で決まるものではないので期待値の計算が出来ない

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 17:30:51.39

>>214
ありがとう。
Aさんの視点だけじゃなくBさんの視点から見ても封筒を替えた方が良くなり
お互いに交換すると両方が得をするというおかしな結論になるという説明を見て目から鱗でした。
自分の結論として封筒を交換した方が得(期待値が上)と言うのは完全に間違いだと確信しました。

しかし・・・その後の説明を読み続けて直ぐに笑い出してしまい後は流し読みしてしまいました。む、難し過ぎるｗ
超単純で簡単な問題の理屈を説明するのにこんな難しい高等数学(あくまで自分レベルから見て)
が必要なんて想像もしなかったです。

結局>>214さん紹介のこのページの説明でも封筒を替えた方が良いかどうかという結論は書いて無いのですが
確認なのですが結局214さんの紹介したページの青山学院大学経済学部教授
美添泰人さんは最終的に封筒は替えた方が良いと言ってるんでしょうか？
それとも替えても替えなくても同じと言ってるのでしょうか？

※正しい解答は替えた方が良い、替えない方が良い、あるいは替えても替えなくても同じ
の３つのどれかにしかならないと思うけどそのどれを意味する言葉も>>214さん紹介の
pdfファイルには見当たりませんでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 17:49:47.73

>>214
結局結論としては
・得かどうかはをキチンと確率論の議論でやるにはθの分布を決めてやらないと答えは出ない。
・いろんなθの分布で変えた方が得か否かやってみると得になる場合も損になる場合もあって一概には言えない。
・計算するための公式とかは書いてあるから色々試してみてね。
だと思う。
まぁそりゃそうかという結論なんだけどそれをやっぱり緻密に調べてみるというのが大切だなぁと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 18:09:09.44

>>171
これの（3）をお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 18:25:31.02

Prelude> let e = exp 1 in exp $ (sin e) * (log $ 1+1/e)
1.137328442017264

まじ · 2018/12/04(火) 18:36:28.69

>>217
>結局結論としては

この結論とは>>217さんの結論？それとも美添泰人さんの結論？

>損になる場合もあって一概には言えない。

最初に選んだ封筒の中の金額より替えた場合の封筒の期待値が損になる場合があるなら
最初に選んだ封筒に金額がいくら入っていた時ですか？１つでいいので教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 18:38:54.19

>>149-150
間違い方も含めて自分そっくり。。。
プログラム板で出てた問題だけど、数学板でそれはXでしょ。

ルジャンドルの定理の例題そのものぞ。
プログラミングで解く奴の数学力試してる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 18:47:33.53

>>220
わたしの計算力ではpdfの内容を全部は追えないけど
――
pdf p6
しかしここで，もっと現実的な事前分布として指数分布…およびガンマ分布…を考えてみよう．
…
すなわち封筒を交換することが有利となる条件を求めると，(12)式の指数分布については
x <4 log 2/λ
となり，(13)式のガンマ分布については
x <2(r + 1) log 2/λ
となることが導かれる．
――
だそうな。

まじ · 2018/12/04(火) 19:18:52.84

>>222さんは>>217さんと同一人物？
もしそうなら>>220でした質問に対する回答が無いのでもう一度同じ質問をするけど
>>217の>結局結論としては

この結論とは>>217さんの結論？それとも美添泰人さんの結論？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 20:09:02.35

>>223
同一です。
結論としてPDFとしてまとめてあるわけではないので私のPDFを読んだ結論ですね。

まじ · 2018/12/04(火) 20:21:03.87

>>224
回答ありがとう。

>>217の
>・いろんなθの分布で変えた方が得か否かやってみると得になる場合も損になる場合もあって一概には言えない。

これは>>217さんの意見かな？それとも美添泰人さんの意見？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 21:12:15.30

松坂和夫著『解析入門1』を読んでいます。

論理的におかしな部分をどうやら発見しました。

f を Z からの写像とする。

S をある集合とし、

f(n) ∈ S であるような n ∈ N が少なくとも1つは存在するとする。

T := {n ∈ N | f(n) ∈ S} とする。

T は N の部分集合だから、最小元 min Ｔが存在する。

m = min T とする。

-----------------------------------------------------------------
以上の状況で、松坂和夫さんは、

m-1 は T に含まれない

と結論している議論があります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 21:19:02.10

>>212
同意。
一方に必ず１万円が入るというルールじゃないからね。
そのルールなら期待値１２５００円でいい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 21:30:16.17

>>218
> f <- function(x) (1+1/x)^sin(x)
> f(0)
[1] 1
> curve(f(x),0,2*pi)
> M=optimise(f,c(0,2*pi),maximum=TRUE)$obj
> fe=f(exp(1))
> 10*fe
[1] 11.37328

n=11

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 21:44:02.44

>>225
>>・いろんなθの分布で変えた方が得か否かやってみると得になる場合も損になる場合もあって一概には言えない。
>
>これは>>217さんの意見かな？それとも美添泰人さんの意見？

私の意見ですよ。
pdfでθに応じて交換したほうが良い例と悪い例が載ってるので一概にはいえないとまとめました。
そんな突拍子もないまとめ方ではないと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 01:20:02.56

Xを位相空間とします。
AをXの閉部分集合とします
intをXにおける開核作用素、
int_A をAにおける開核作用素とします

この時DをXの部分集合とした時、
int_A( A∩D ) = A∩int(D) は成り立ちますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 01:21:00.93

⊇　はAにおける開集合の性質から成り立ちますが
問題は⊆です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 01:52:02.23

>>231
X = R×R、A=D=R×{0}としたとき
Int_A(A∩D) = int_A A = A
A ∩ int (D) = A ∩ ∅ = ∅
なので成り立たないです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 02:12:18.98

>>174 >>192

下の式から
z = u + αβ,　|u| = 1,
とおける。また　αα" = A，ββ" = B とおく。
これを上の式に入れると
0 = z^2 -αzz" -βz"
= u^2 + 2αβu + (αβ)^2 - {Aβ"u + ααβu" + (1+AB)α} - (βu" + Bα")
= u^2 + (2αβ -Aβ")u + (αβ)^2 -(1+AB)α - Bα" - (αα+1)βu",
ここで u" = 1/u だから
0 = u^3 + (2αβ -Aβ")u^2 + {(αβ)^2 - (1+AB)α -Bα"}u - (αα+1)β,
所詮は3次方程式ですけど…

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 02:15:15.37

>>232
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 02:48:47.79

>>233
それと共軛な
0 = 1 + (2α"β" -Aβ)u + {(α"β")^2 - (1+AB)α" -Bα}u^2 - (α"α"+1)β"u^3,
と連立すると次数が下がるかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 02:50:22.52

https://www.youtube.com/watch?v=Zys26fr6qPI
この問題なんですが、解説の方が面積だけを求めてa,bを求めていません
自力ではできなかったのでa,bの出し方を教えていただけないでしょうか
f'(x)に1と-2を入れて傾きをイコールすることだけしか思い浮かびませんでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 03:03:33.58

>>236
接線をy =px+qとするとき
x^4 + ax^3 + bx^2 - (px+q) = (x-1)^2(x+2)^2
で右辺はx^4+2x^3-3x^2-4x+4だから
a=2、b=-3、p=4、q=-4。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 09:17:10.40

>>237
ありがとうございました！

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 10:02:45.37

重積分∫∫|x-y|/(1+x+y)^α dxdy (x,y≧0 0＜α＜1)ってどう解けばいいですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 10:48:04.79

>>239
訂正、α＞3でした

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 10:58:02.10

Xを位相空間とする
A,BをXの閉集合とする。
f:A→[0,1]を連続写像とする。
s∈[0,1]とする。
今、
　A∩B={a∈A|f(a)≦s}
を仮定する。

この時、
　{a∈A|f(a)<s}⊆A∩int(B)
は成り立つか？
ただし、intはXにおける開核作用素である。

よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 11:20:11.43

この問題
http://rsc.hatenablog.com/entry/2018/11/12/180034
に
正直者は嘘をつかないが
嘘つきは嘘をつくこともつかないこともある
とファジーな嘘つきにしたら答があるだろうか？

Ａ～Ｅの５人が次のように発言している
Ａ「Ｂはウソつきだ」
Ｂ「Ｃはウソつきではない」
Ｃ「Ｄ．Ｅはどちらもウソつきだ」
Ｄ「Ｅはウソつきだ」
Ｅ「私はウソつきではない」

５人のうち、嘘つきは誰か？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 12:09:50.54

>>242
少なくともA,Cが正直者でBDEが嘘つきという解もあれば、
BCが正直者でADEが嘘つきという解もあるので、答えは
あるけど、一意には決まらない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 12:29:01.27

>>242
解があるか？なら嘘つきは必ず嘘をつくの場合の解
(A,B,C,D,E) = (1,0,0,1,0), (1,0,0,0,1)
は解だからある。
一般解は
A⇒￢B
B⇒C
C⇒￢D∧￢E
D⇒￢E
E⇒E
すなわちブール代数で方程式
AB=0
B(1-C)=0
C(D+E+DE)=0
DE=0
E(1-E)=0
を解く。
C=0のときはB=0、DE=0。
C=1のときはD=E=0、AB=0。
となるから
(A,B,C,D,E) = (0,0,0,0,0), (0,0,0,0,1), (0,0,0,1,0), (1,0,0,0,0), (1,0,0,0,1), (1,0,0,1,0), (0,0,1,0,0), (0,1,1,0,0), (1,0,1,0,0) 。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 12:32:22.20

>>242
solverでの答え

testimonies = [
(¥x->x!!1 == False),
(¥x->x!!2 == True),
(¥x->(x!!3==False) && (x!!4)),
(¥x->x!!4 == False),
(¥x->x!!4 == True)
]
isCompatible ts theCase = and $ zipWith (||) (map not theCase) (map (¥x -> x theCase) ts)
cases = (!! (length testimonies)) $ iterate (¥x-> [a:b|a<-[True,False],b<-x]) [[]]
main = mapM_ print [theCase | theCase<-cases, isCompatible testimonies theCase]

*Main> main
[True,False,True,False,True]
[True,False,False,True,False]
[True,False,False,False,True]
[True,False,False,False,False]
[False,True,True,False,True]
[False,False,True,False,True]
[False,False,False,True,False]
[False,False,False,False,True]
[False,False,False,False,False]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 12:37:30.99

>>242>>245
訂正
testimonies = [
(¥x->x!!1 == False),
(¥x->x!!2 == True),
(¥x->(x!!3==False) && (x!!4==False)),
(¥x->x!!4 == False),
(¥x->x!!4 == True)
]
isCompatible ts theCase = and $ zipWith (||) (map not theCase) (map (¥x -> x theCase) ts)
cases = (!! (length testimonies)) $ iterate (¥x-> [a:b|a<-[True,False],b<-x]) [[]]
main = mapM_ print [theCase | theCase<-cases, isCompatible testimonies theCase]

*Main> main
[True,False,True,False,False]
[True,False,False,True,False]
[True,False,False,False,True]
[True,False,False,False,False]
[False,True,True,False,False]
[False,False,True,False,False]
[False,False,False,True,False]
[False,False,False,False,True]
[False,False,False,False,False]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 13:10:26.86

>>241
必ずしも成り立たない。

X＝R として、X には R の通常の位相を入れて位相空間とする。
A＝[0,1], B＝[0,1/2] と置くと、A,BはXの閉集合である。
f：A→[0,1] を f(x)＝x と定義すると、fは連続である。
s＝1/2 とすると、{a∈A|f(a)≦s}＝[0,1/2]＝B＝A∩B である。しかし、

{a∈A|f(a)＜s}＝[0,1/2), A∩int(B)＝(0,1/2)

であるから、{a∈A|f(a)＜s}⊆A∩int(B) は成り立たない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 13:28:43.06

>>247
ありがとうございます
実はある証明でこの部分で躓いていたので
反例があると分かったので別ルートから考えることにします

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 13:58:15.52

>>239 >>240
∫∫ |x-y|/(1+x+y)^α dxdy　(x,y≧0, 3＜α)
= 2 ∫∫ Y / (1+X)^α dX dY　(0≦ X:=(x+y) <+∞ ,0≦ Y:=(y-x) ≦X)
= ∫ X^2 / (1+X)^α dX (0≦ X <+∞)
= ∫ X^{3-1}/(1+X)^{3+(α-3)} dX
= B(3, a-3) = Γ(3)Γ(a-3)/Γ(a) = 2 / ((a-1)(a-2)(a-3))

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 15:20:55.79

wolfram の計算と合わねーな、おかしいなーと思ったら
ヤコビアンのファクターを忘れていた
X := x + y
Y := -x + y
|∂(X,Y)/∂(x,y)| = 2

∫∫ |x-y|/(1+x+y)^α dxdy　(x,y≧0, 3＜α)
= 2 ∫∫ Y / (1+X)^α dX dY / 2　(0≦ X:=(x+y) <+∞ ,0≦ Y:=(y-x) ≦X)
= ... = 1/( (α-1)(α-2)(α-3) )

wolframで重積分できるのは初めて知った.
integral_0^infinity integral_0^infinity |x-y|/(1+x+y)^5 dx dy
= 1/24 (α=5 の場合). α の記号のままではダメだった.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 16:27:31.30

>>249　補足

部分積分2回のあと積分1回
(1/2)∫XX/(1+X)^a dX
= -(1/2(a-1)) XX/(1+X)^(a-1) +(1/(a-1))∫X/(1+X)^(a-1) dX
= -(1/2(a-1)) XX/(1+X)^(a-1) -(1/(a-1)(a-2)) X/(1+X)^(a-2) +(1/(a-1)(a-2))∫1/(1+X)^(a-2) dX
= -(1/2(a-1)) XX/(1+X)^(a-1) -(1/(a-1)(a-2)) X/(1+X)^(a-2) -(1/(a-1)(a-2)(a-3))1/(1+X)^(a-3) +c

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 17:47:50.38

高専2年
線形数学
(2)が分かりません
解説お願いします

https://i.imgur.com/lX8taCC.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:09:58.19

x = (-8/17) * a + (-15/17) * b', where b' = (-1, 4, 17)^T

y = c - x

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:12:07.60

>>244
レスありがとうございます。

ブール代数はド・モルガンの法則くらいしか理解できていないので
C⇒￢D∧￢E　は　C(D+E)=0でなくてC(D+E+DE)=0となるのがわからなくて先に進めなくております。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:23:28.40

>>254
X⇒Y は￢(X ∧ ￢Y) だから X(1-Y) = 0。
なので C⇒￢D∧￢E は C(1-(1-D)(1-E)) = 0、すなわち C(D+E+DE)=0。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:23:38.14

>>252

b' := b - (<a, b> / |a|^2) * a とおくと、

<a, b'>

=

<a, b> - (<a, b> / |a|^2) * <a, a>

=

<a, b> - (<a, b> / |a|^2) * |a|^2

=

<a, b> - <a, b>

=

0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:25:55.16

>>246
いつも（私には）難解なHaskellコードありがとうございます。

核心部分の

isCompatible ts theCase = and $ zipWith (||) (map not theCase) (map (\x -> x theCase) ts)

が消化できないでいます。

解説いただければ幸いです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:26:51.89

c' = c - (<a, c> / |a|^2) * a - (<b', c> / |b'|^2) * b' とおくと、

<a, c'>

=

<a, c> - (<a, c> / |a|^2) * <a, a> - (<b', c> / |b'|^2) * <a, b'>

=

<a, c> - (<a, c> / |a|^2) * |a|^2 - (<b', c> / |b'|^2) * 0

=

<a, c> - <a, c> - 0

=

0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:29:16.95

>>252

<b', c'>

=

<b', c> - (<a, c> / |a|^2) * <b', a> - (<b', c> / |b'|^2) * <b', b'>

=

<b', c> - (<a, c> / |a|^2) * 0 - (<b', c> / |b'|^2) * |b'|^2

=

<b', c> - 0 - <b', c>

=

0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:33:29.17

>>252

x * a + y * b = [(<a, b> / |a|^2) * y + x] a + y * b'.

x * a + y * b' = [x - (<a, b> / |a|^2) * y] * a + y * b.

だから、

a, b が張る部分空間と a, b' が張る部分空間は等しい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:35:21.90

>>252

<x * a + y * b', c'>

=

x * <a, c'> + y * <b', c'>

=

x * 0 + y * 0

=

0 + 0

=

0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:40:20.54

>>252

c' は W の任意の元と直交する。

c' = c - (<a, c> / |a|^2) * a - (<b', c> / |b'|^2) * b'

だから、

c = (<a, c> / |a|^2) * a + (<b', c> / |b'|^2) * b' + c'.

(<a, c> / |a|^2) * a + (<b', c> / |b'|^2) * b' ∈ W.

c' ∈ W^⊥

だから、

c は、 W の元と W^⊥ の元の和.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:41:20.62

>>257
Fazzy version なら可能性 theCase に対して

theCase において X は嘘つきであるか、Xの証言とtheCaseが適合する。

がすべての証人Xについて成立することが条件。

theCase は theCase!!i が i 番目の証人が正直ならTrue, 嘘つきならFalseをとるList。
map not theCase はその True と False をひっくり返したもの。
(map (¥x -> x theCase) ts) は (map (¥x -> x theCase) ts)!!i が i 番目の証人の証言とtheCaseが矛盾しないときにTrue、矛盾するときFalseになるList。
各証人にたいしていずれかが True になることが条件だからそれを zipWith (||) で論理和をとっておいて and ですべて True となっているかを確認しています。

まぁ、ホントはこんな技使うべきではないんですけどね。
可読性落ちるし。
ちなみに
(||) = (証人が嘘つき ∨ 証言とtheCaseが矛盾しない)
のかわりに
(==) = (証人が嘘つきなら証言はtheCaseと矛盾、証人が正直なら証言はtheCaseと適合)
をもちいれば嘘つきが常に嘘つくVersionのsolverになります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:41:47.39

x := (<a, c> / |a|^2) * a + (<b', c> / |b'|^2) * b',

y := c'

とすればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:46:34.16

>>255
素早いレスありがとうございました。
これで次に進めます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:49:31.23

>>263
解説ありがとうございました。
初心者には難読コードでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 19:11:03.55

>>255
Aが嘘つきなら
真実を語るときはA⇒￢BからAB=0だけど
嘘をついているときはAB=1では?
嘘つきは真実も嘘も語るのでどういう式になるのだろうか、というのが次の疑問です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 19:36:53.50

>>267
Xの証言がYであるとします。
面倒なのでXが正直者という命題もXとします。
「正直者は必ず正しいことをいい、嘘つきは真実も嘘もいう」
という条件下では X⇒Y という命題に矛盾しないモデル M を探す問題です。
X、Y のモデルMでの真理値をx yとするときX⇒Yの真理値は1-x(1-y) (=Xが正しいのにYが間違いということはない)です。
これが 1 になるときなので 1-x(1-y) = 1、すなわち x(1-y) = 0 が成立するときが M が X の証言に適合する条件です。

Aの証言が￢Bであるのでモデル M でのA,Bの真理値を a,b とすれば a(1-(1-b)) = 0、すなわち ab=0 がモデル M が A の証言から得られる条件に矛盾しない条件です。
実際真理値をあてはめてみると

a b ab=0 Mは適合
――――――――――
0 0 　○　　○　　Mにおいて A が嘘つきなので b の値によらず M は A の証言から得られる条件に矛盾しない。(Aの証言は考慮にいれなくてよい。)
0 1 ○　　 ○　　Mにおいて A が嘘つきなので b の値によらず M は A の証言から得られる条件に矛盾しない。(Aの証言は考慮にいれなくてよい。)
1 0 ○　　 ○　　Mにおいて A は正直ものでAの証言は勘案しなければならないが、Bが嘘つきなのでAの証言と矛盾しない。
1 1　 ✕　　 ✕　　 Mにおいて A は正直ものでAの証言は勘案しなければならないが、Bが正直者なのでAの証言と矛盾する。

となってab=0がAの証言から得られる条件とMが矛盾するか否かと同値であることが確かめられます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 20:09:58.33

>>268
丁寧な解説ありがとうございました。
嘘つきは必ず嘘をつくならAの証言はA=1-Bという式になるのですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 21:22:21.04

>>229
人の意見について聞くのも変ですがもしわかったら教えて下さい。

美添泰人さんのpdfでθに応じて交換したほうが良い例と悪い例が載ってるの

との事ですがその交換したら悪い場合とは最初に封を開いた封筒から何円が出た場合だと書いてあるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 21:51:25.36

>>270
とりあえずpdfによると
最初の封筒の中身がx円としてθが平均1/λの指数分布に従う場合には

x ≧ 4log2/λ

の場合、平均 r/λ，分散 r/λ2 ののガンマ分布に従う場合には

x ≧2(r+1)log2/λ

の場合には交換した場合のほうが期待値下がるらしいです。
なぜ交換した場合の期待値が3x/2にならないかの理由はp3右カラムの真ん中あたりから説明が始まっている模様。
当方そのあたりは1mmも読まず結論しか見てないのであしからず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 21:58:49.15

>>263
>>268
ご両名とも迅速で丁寧な解説ありがとうございました。
解説を参考にRに移植してみました。

# dat : all possible combinations
n=5 ;arg=list()
for(i in 1:n) arg[[i]]=0:1
dat=do.call(expand.grid,arg) # expand.grid(0:1,0:1,...)
dat=as.matrix(dat)
colnames(dat)=LETTERS[1:n]

# A=>!B, B=>C, C=>!D&!E, D=>!E, E=>E
is.compati<-function(i,x){ # i:index of honest, x: possible combination
switch(i, # 1..n
x['B']==0, # testified by A (=LETTERS[1])
x['C']==1, # testified by B (=LETTERS[2])
x['D']==0 & x['E']==0, # ...
x['E']==0,
x['E']==1)
}

check=function(x){
re=NULL
honest=which(x==1) # index of honest
for(i in honest){
re=append(re,is.compati(i,x))
}
all(re)
}
dat[apply(dat,1,check),]

同じ結果が得られました。
> dat[apply(dat,1,check),]
A B C D E
[1,] 0 0 0 0 0
[2,] 1 0 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 1 0 1 0 0
[5,] 0 1 1 0 0
[6,] 0 0 0 1 0
[7,] 1 0 0 1 0
[8,] 0 0 0 0 1
[9,] 1 0 0 0 1

ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 22:42:52.43

わたしもラスト。
変な小技使って読みにくかった。
ちょっと長くなるけど以下の方がよかった。
数学チックだし。

(==>) x y = not x || y
axions = [
(¥x-> x!!0 ==> (x!!1 == False)),
(¥x-> x!!1 ==> (x!!2 == True)),
(¥x-> x!!2 ==> ((x!!3 == False) && (x!!4 == False))),
(¥x-> x!!3 ==> (x!!4 == False)),
(¥x-> x!!4 ==> (x!!4 == True))
]
isCompatible axions model = and $ [ axion model | axion<-axions ]
models = (!! 5) $ iterate (¥x-> [a:b|a<-[True,False],b<-x]) [[]]
main = mapM_ print [ model | model<-models, isCompatible axions model]

*Main> main
[True,False,True,False,False]
[True,False,False,True,False]
[True,False,False,False,True]
[True,False,False,False,False]
[False,True,True,False,False]
[False,False,True,False,False]
[False,False,False,True,False]
[False,False,False,False,True]
[False,False,False,False,False]

まじ · 2018/12/05(水) 22:46:44.88

>>271
回答ありがとうございます。
>>271さんの事を言ってるわけじゃないので怒らないで聞いてもらいたいのですがｗ
元々の問題は2つの封筒があってその2つにはお金が入ってるという話なので
もし交換しない方が良い場合があるというならそのその場合の答えは
2円とか1万円とか整数の数字で無ければ確実に間違いです。
何故なら人や銀行に行って4log2/λ円を封筒に入れて下さいと言っても｢何言ってるんですか？日本語で話して下さい｣と
言われてしまうはずです。

最終的な答えが１つの整数になる現実の問題を解く為の方法として途中で数式を使ったり記号を使ったりするのは普通ですが
答えにまで記号や数式が入ったらそれは完全に間違いで有る事は数学の苦手な私でもわかります。
もちろん>>271さんについて何かを言ってるわけじゃないので誤解しないでください。

ただ残念ながら美添泰人さんは最初はすばらしい考え方を書いているのに途中から封筒の問題と関係ない
別の数学の問題にすり替えてしまってその自分で作った数式について説明しているだけで
最初の封筒の問題については答えが判ってないのか説明が下手なのか答えて無いようですね。
ただ誰も封筒問題について説明出来なかったのは残念ですがこういうやりとりが出来たのは面白かったです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 23:03:22.12

1万円を見た時点で、用意された封筒は5千円と1万円、あるいは1万円と2万円のどちらかであるとわかるけど
どちらであるのかは確率で決まることなのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 01:47:26.47

>>275
その点についてもpdfでは言及されてますよ。
とりあえず封筒のお金を整数にして整数値しかとらない分布にしてしまうとととえば9999円入ってた時点で残りの封筒に19998円入ってることが確定してしまったり、なにより問題が無用に難しくなってしまうので連続分布の場合を主に考えることにしてるそうです。
確かに少なくとも「一個目の封筒をあけたとき10000円であるとき、もう片方の封筒に入ってるお金の条件付き期待値は15000円なのか？」を検証するのにはそれで十分におもえます。
私にはその”簡単なケースでの検証”でも目まわりますけどww

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 05:45:36.45

四面体PABCに対し、3辺PA,PB,PCと交わる平面で、この四面体を体積の等しい2つの部分に分割するものを考える（平面は辺の両端点とは交わらないものとする）。
さらに、このような平面にPから下ろした垂線の長さをp、Aから下ろした垂線の長さをaとする。(p,a)を1つ固定して与えれば、それに対応する平面はただ1つであることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 05:59:20.79

P(0,0,0) A(4,0,0) B(0,4,0) C(0,0,4)
X(3,0,0) Y(0,32/9,0) Z(0,0,3) ⇒ 平面XYZ
U(3,0,0) V(0,3,0) W(0,0,32/9) ⇒ 平面UVW

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 08:11:45.87

>>276
それ、現実と合わないんじゃないかってことには実際に封筒は2つしか用意されておらずそんな分布は存在しない
この問題でその分布が存在することを仮定することが妥当なのかどうか？

この問題は、
司会者が5千円と1万円の入っている封筒を用意し、「どちらかがどちらかの2倍の金額が入っています」とだけ言う
挑戦者が片方を選び中身をこっそり見たところ1万円であった
司会者は替えてもいいですよと言う
挑戦者は替えた方が得と考えるべきかどうか
と同じと考えるべきなんじゃないだろうか
このとき、挑戦者が用意された封筒が5千円と1万円であったか1万円と2万円であったかを確率で考えることは正しいのか
実際に実験を繰り返すと（現実の実験なので常に5千円と1万円しか用意されていない）、
実験に参加した挑戦者の半数が1万円を見るわけだが替えたら100％損をすることになる
確率で考えた場合と矛盾するのは確率で考えることが間違いであるからではないのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 10:53:06.68

>>242
厳格嘘つきとfuzzy嘘つきに対応。
# dat : all possible combinations
n=5 ;arg=list()
for(i in 1:n) arg[[i]]=0:1
dat=do.call(expand.grid,arg) # expand.grid(0:1,0:1,...)
dat=as.matrix(dat)
colnames(dat)=LETTERS[1:n]
# A=>!B, B=>C, C=>!D&!E, D=>!E, E=>E
is.compati.H<-function(i,x){ # i:index of honest, x: possible combination
switch(i, # 1..n
x['B']==0, # testified by A (=LETTERS[1])
x['C']==1, # testified by B (=LETTERS[2])
x['D']==0 & x['E']==0, # ...
x['E']==0,
x['E']==1)
}
is.compati.L <- function(i,x){# is compatible for liars?
# i:index of liars, x: possible combination
switch(i, # 1..n
!(x['B']==0), # testified by A (=LETTERS[1])
!(x['C']==1), # testified by B (=LETTERS[2])
!(x['D']==0 & x['E']==0), # ...
!(x['E']==0),
!(x['E']==1))
}

check=function(x,Strict){
re=NULL
honest=which(x==1) # index of honest
for(i in honest){
re=append(re,is.compati.H(i,x))
}
if(Strict){
liar=which(x==0) # index of liar
for(i in liar){
re=append(re,is.compati.L(i,x))
}
}
all(re)
}
dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=TRUE)),]
dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=FALSE)),]

> dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=TRUE)),]
A B C D E
[1,] 1 0 0 1 0
[2,] 1 0 0 0 1
> dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=FALSE)),]
A B C D E
[1,] 0 0 0 0 0
[2,] 1 0 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 1 0 1 0 0
[5,] 0 1 1 0 0
[6,] 0 0 0 1 0
[7,] 1 0 0 1 0
[8,] 0 0 0 0 1
[9,] 1 0 0 0 1

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 10:57:23.62

>>277
> 平面はただ1つ
そうとは限らないでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 13:37:44.54

嘘つきは必ず嘘をつく
A「Bは嘘つきではない」
B「Cは嘘つきだ」
B「Aは嘘つきだとCが言っている」

正直者と嘘つきの可能性の組み合わせは？

１：正直者 0:嘘つき
A B C
[1,] 1 0 1
[2,] 0 0 1
[3,] 1 1 0
[4,] 1 0 0
[5,] 0 0 0

であってます？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 13:46:10.63

>>282
誤答だな、考え直す(._.)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 14:49:34.58

>>282
これしか残らなかった
> dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=TRUE)),]
A B C
1 1 0

嘘つきは必ず嘘をの制限をとって、嘘つきは気まぐれにしても
> dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=FALSE)),]
A B C
1 1 0
と同じ結果。

プログラムに自信がないので、数理での検証をお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 15:32:46.05

最後のBの発言はこのように設定

Cが「Aは...」と語ったが質問者が末尾を聞き取れずBが補足発言、
B「Aは嘘つきだとCが言っている」

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 16:22:11.50

これでよさそうな気が

厳格嘘つき
> dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=TRUE)),]
A B C
1 1 0
ファジー嘘つき
> dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=FALSE)),]
A B C
[1,] 0 0 1
[2,] 1 1 0
[3,] 0 0 0

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 16:29:14.82

初期状態(無前提)
A=1⇒ 1 ? ? , A=0 ⇒ 0 ? ?
B=1⇒ ? 1 ? , B=0 ⇒ ? 0 ?

追加条件: A「Bは嘘つきではない」
A=1⇒ 1 1 ? , A=0 ⇒ 0 0 ?

追加条件: B「Cは嘘つきだ」
B=1⇒ ? 1 0 , B=0 ⇒ ? 0 1

追加条件: B「Aは嘘つきだとCが言っている」(Aの状態についてCが言及した事は真)
B=1⇒ 1 1 0 , B=0 ⇒ 1 0 1

A,Bの状態で衝突しない組み合わせは 1 1 0 のみ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 16:35:13.07

>>216
＞Aさんの視点だけじゃなくBさんの視点から見ても封筒を替えた方が良くなり
＞お互いに交換すると両方が得をするというおかしな結論になるという説明を見て目から鱗でした。
＞自分の結論として封筒を交換した方が得(期待値が上)と言うのは完全に間違いだと確信しました。

全ては確率分布によるのでは？
二人とも交換したほうが有利になる状況も普通に起きうる。
期待値が＋かどうかと、実際に得をするかどうかとは別問題。

金額ペアは ( １と 2 )、 ( 2 と 4 )、 ( 4 と 8 ) の 3 パターンだとする。
これら三つのパターンはどれも同じ確率 1/3 で起きる。
一人の封筒の金額が 2 で相手の金額が 4 の場合、2 の人は 1 と 4 を同確率で期待し
4 の人は 2 と 8 を同確率で期待するので、どちらの人も交換した方が有利になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 17:11:48.43

kの三乗は9を法として0または－1または1と合同である
kの三乗≡0、±1（mod9）
さらっとかかれてたけどどういう過程でそうなるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 17:18:53.44

>>287
レスありがとうございます。

嘘つきは常に嘘をつく厳格嘘つきのときは

> dat[apply(dat,1,function(x) check(x,Strict=TRUE)),]
A B C
1 1 0

で結論が一致して安心。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 17:45:26.19

>289
k = 3n + r　(m=-1, 0, 1)
k^3 = r^3 + 3 r^2 (3n) + 3 r (3n)^2 + (3n)^3
≡ r^3 (mod 9)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 17:51:50.46

>>284
厳格嘘つきのときの三番目の条件の扱いがどうかと思う。
Bが嘘つきなら「Cが「Aは嘘つき」と言った」が否定されるんだから
「Cがホントに言ったのは「Aは正直者」」
という可能性も
「CはAが正直者とも嘘つきともなんともいってない」
という可能性もあると思う。
ので
(嘘つき, 嘘つき, 正直者)
も残ると思う。
つまり３番めの条件は
B ⇔ ( C ⇔ ￢ A)
ではなくて
B ⇒ ( C ⇔ ￢A )
になると思う。
つまりここだけFuzzy嘘つきの場合と同じ扱いになると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 19:36:40.22

>>292
Aは閻魔大王です、と言った可能性もあるけど
ここは嘘つきと言ったの否定は正直者と言ったと考えるように問題設定したつもり。
Cが「Aは...」と語ったが質問者が末尾を聞き取れず、にしたのは
「Cが「Aは嘘つき」と言った」の否定に
「Cが「Bは嘘つき」と言った」とかの可能性を排除するため。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 19:36:51.37

>>279
＞このとき、挑戦者が用意された封筒が5千円と1万円であったか
＞1万円と2万円であったかを確率で考えることは正しいのか

普通に正しいと思うけど。
単にそれが1/2ずつじゃなくて不明だから、期待値計算ができないというだけの話かと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 20:09:36.96

分かれ道があります
どちらかが天国行きでどちらかが地獄行きです
それぞれの分かれ道にいる門番に、
YES（はい）/NO（いいえ）で答えられる質問を
一度だけすることができます

門番はいつも本当のことを言う天使か、
いつもウソを言う悪魔のどちらかなのですが、
どちらなのかは見分けがつきません

どんな質問をすれば天国行きの道を知ることができますか

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 20:36:07.41

分母が自然数で分子が1であるような有利数を単位分数と呼ぶ。
以下のように定義される単位分数からなる数列a[n]について、a[12]を求めよ。
・a[1]=1/2
・n>2のとき、a[n]は
「a[1]+...+a[n]が1未満となるような単位分数で最大のもの」

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 21:10:58.37

>>295
私がこちらが天国への道かと聞いたときに
はい　と答えますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 21:45:05.89

映画「ラビリンス魔王の迷宮」('86 監督:ジム・ヘンソン) に
この論理パズルを扱ったシーンがある.

主人公サラ (ジェニファー・コネリー) も >>297 と同じような正しい答えを導き出した.
...が、扉をくぐってすぐに落とし穴に落とされる.
なんで? 正解だったのに！ ← 魔王(デヴィッド・ボウイ)はイジワルだから.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 22:03:28.52

>>294
横から口を挟んで申し訳ないが、>>279氏が言ってることと本質的に同じじゃないかと。
すでに誰かが中身を入れた時点で決定してるので（確率分布で言えば、他方が５千円か
２万円かは1.0と0になってる）期待値を云々するのは知らぬが仏でナンセンスとか？

ちょっと問題を変えて、これならどうだろう。
5千円入り封筒と１万円入り封筒のペアと、１万円入り封筒と２万円入り封筒のペアが
一組ずつ用意されている。
あなたには、それぞれのペアで封筒の中身の金額が倍違うことだけが知らされている。
ここで、まず、どちらかのペアを選ばされた。さらに、そのペアの一方の封筒を空けたら
１万円が入っていた。すなわち、もう一方の封筒には５千円か、２万円が1/2の確率で入っ
ていることになる。ここで、同じペア内で封筒を交換しても良いといわれたら、そうすべ
きであろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 23:33:14.57

認識が間違ってたら申し訳ないけど、封筒のパラドックスは、
「中身が見えていない状態で同様の議論をすると、どちらを手にした場合も変えたほうが期待値が高いことになり不合理である」
という部分がメインかと
そしてpdfの指摘は、この議論は
(*)「全てのxに対し、封筒の中身が(x,2x)となる確率と(x,x/2)となる確率は等しい」
ということを暗に使っているけど、これって分布の取り方次第で変わっちゃうから当り前じゃないよねってこと

数学における確率の問題って、問題文で明記していない部分は自然に等確率だと決めて計算するよね
サイコロの出目とか袋から球を取り出すとか
封筒の問題でも(*)は自然に考えると正しいことだと仮定したくなるけど、実は厳密に計算するとそんなことはないっていうのがからくりだと考えてる
崩れた原因は金の組み合わせが無限に考えられるせいで連続分布を持ち出す必要が出てくるから
一般的に無限が絡む問題で直観に頼ると危ない

>>279では、初めから組み合わせが決められてたら確率計算が無意味になると主張してるけど、これはあまり意味のない話かな
サイコロの出目が等確率だと信じて問題を解いている人に対し
「サイコロに工学的装置が組み込まれていて1の目しか出ないとしたらその計算は誤りじゃないのか」
と突っ込んでいる感じ
数学の問題として取り組む場合は、その辺は一様な分布だと仮定して数値計算を試みるのが目的だから

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 23:38:55.49

>>299
その設定で、乱数発生させてシミュレーションしてみた。

x=list(c(0.5,1),c(1,2)) #　封筒のペア
sim <- function(){
y=x[[rbinom(1,1,0.5)+1]] #ペアを選ぶ
z=y[rbinom(1,1,0.5)+1] # 選んだペアから１封筒選ぶ
c(y=y,z=z) #c(選んだペアの額,選んだ封筒の額)
}
re=t(replicate(100000,sim())) # 10万回の繰り返し結果を保存
idx1=which(re[,'z']==1)　# 選んだ封筒が１万円の場合のペアを抽出
chg=apply(re[idx1,-3],1,function(x) x[which(x!=1)]) # 交換して得られる金額

> mean(chg) # その平均値
[1] 1.248531

(2+0.5)/2に相当

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:10:54.50

・二組の金額ペア妄想説
封筒は二つなので金額は二つしかない。
二組の金額ペアを考えるためには三つの金額が必要になるから
二組の金額ペアを考えるのは間違いだ。

・変数の誤用説
期待値計算式の中の x/2 の方の x は大きい方の金額を表し
2x の方の x は小さい方の金額を表しているので異なる値を表している。
こんな x を使って期待値計算式を作ったことがパラドックスの原因だ。

・確率の錯覚説
選んだ封筒の金額を特定した場合
封筒を交換して倍になる確率と半減する確率が等しいとは限らない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:35:06.36

>>300
>「サイコロに工学的装置が組み込まれていて1の目しか出ないとしたらその計算は誤りじゃないのか」

封筒の問題はまさにそういう状況なんじゃないの？って話かと。
封筒を選ぶ人が仮定する確率分布と実態とがかけ離れているという。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:35:59.47

大学受験生です。波線を引いた部分の変形が分からなく困っています。
https://i.imgur.com/DVNKVoK.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:37:16.11

わからないんですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:41:31.47

>>305
そうなんです。宜しければ教えて頂けると幸いです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:49:39.91

>>304
|sinx|≦|x|
はおｋ？
（グラフ書けるならすぐ分かる）

これをx-y/2の時に適用している

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 01:16:42.57

>>302　訂正

・確率の錯覚説
金額ペア (A, 2A) の A が確率 1/2 で自分の封筒に入っている。
2A も確率 1/2 で自分の封筒に入っている。
だから自分の封筒の金額を X とすると
もう一つの封筒に X/2 が入っている確率も2X が入っている確率も、どちらも 1/2 だ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 01:17:12.93

>>301
もちろん、この設定では、交換したほうが得になると期待できますよね。

しかし、1万円を含まないペア（たとえば、3万円と6万円とか）と、5000円と1万円のペア
で同じ試行をすれば、1万円が出て交換すれば期待値（と言っていいのかな？）は5000円な
ので損になります。
また、1万円を含まないペアと、1万円と2万円のペアであれば、交換すれば期待値は2万円
で得します。

つまり、1万円が出たからといって、他方が5000円か2万円かという確率は必ずしも1/2
ではなく、それぞれ1と0か0と1の可能性もありうる。つまり、被験者の知り得た情報だけ
からでは、期待値を特定できず損得をきめられないということがよくわかると思います。