分からない問題はここに書いてね447
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
9点円の定理みたいなのって三角形じゃないと出来ないん? >>839ご指摘ありがとう。
前>>837修正。
Tが動く領域は、正三角柱4つと扇形柱6つと球1つからなる。
(正三角柱4つ)={(√3)/4}×4
=√3
(扇形柱6つ)=π(1^2){(360-90-90-109.5)/360}×6
=70.5π/60
=47π/40
(球1つ)=(4π/3)(1^3)
=4π/3
あわせると、
(Tが動く領域)=4π/3+47π/40+√3
=(301/120)π +√3 Oを原点とするxy平面の点A(1,1)を中心とする半径r(1≦r<√2)の円Cがある。
Cの周とx軸との交点のうち、原点Oに近い方をPとする。また、y軸との交点のうち原点に近い方をRQとする。
扇形APQの面積をS(r)とし、また線分OP、線分OQ、Cの劣弧PQとで囲まれる領域の面積をT(r)とする。
このとき、次の極限を求めよ。
lim[r→√2] {(√2 - r)*S(r)}/{T(r)} >>826
xx = X とおくと
「楕円」は放物線 X = 1 -2yy となり、
「放物線」は直線 2y = X+11 となる。
これらは (X,y) = (-7,2) (-17,-3) の2点で交わる。
X≧0 の交点のみが(実)xy-平面上の交点(x,y)に対応する。
X<0 の交点は xが虚数になるので、(実)xy-平面上では絣もしない。 >>845前>>843
108°ぐらいかなとは思ったんだけど。
底角1、斜角(√3)/2の二等辺三角形の頂角。
正四面体の辺と辺がなす角。
なぜかと言われても自然の摂理だから。一周を360°と決めたから、109.5°になったとしか言いようがない。 正四面体は(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)とか
(-3,1,1,1),(,1-3,1,1),(1,1,-3,1),(1,1,1,-3)で表せる。
中心から2つの頂点を見た時の角度をtとすると、
cos(t)=(-3,1,1,1).(1,-3,1,1)/(9+1+1+1)=-1/3 だから
arccos(-1/3) あるいは、
(180/pi)arccos(-1/3)=109.471220634490691369245999339962435963006843100907948288...° 前>>847
5π/2 +√3 とどっちが近いかな。 頂点が1/4で上に凸の放物線
y=-x^2/676+1/4が
座標(3,10/49)を通るように調整してくれ〜(・ω・)ノ >>844
これお願いします
数研出版の問題集を解いていますが図形の面積が表せません >>852
y=-x^2/676+1/4 (x≠3),10/49(x=3) >>853
∠OAP=θと置けばできそうじゃん
rもOPもθで表せるからあとは適当にいけるんじゃね? わからない、教えて
抽選ボックスが2つ、どちらかから1つからボールを1つだけ引き当選の有無を確認する。
抽選ボックスAはボールが3コ、ボックスBは7コ。
一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。
この時どちらのボックスを引くのが良いか?または同じか? (正三角柱4つ)={(√3)/4}×4
=√3
(扇形柱6つ)=π(1^2){(360-90-90-109.47122063449069)/360}×6
=7.052877936550931π/6
=(1.1754796560918218333……)π
(球1つ)=(4π/3)(1^3)
=4π/3
=1.333……
あわせると、
(Tが動く領域)=(2.5088129894251551666……)π+√3
(5/2)π+√3<
(301/120)π+√3=2.508333……
<(2.5088129894251551666……)π+√3
簡単な分数にはならないかと思ったが、そんな簡単じゃなかった。 >>844
r→√2の極限だと高次の微小量を無視すれば円弧PQは直線として考えられるぞ
x=√2-rと置くと
T=x^2
S=x(√2-x)
xS/Tにx=0を代入して、答えは√2だ
厳密な証明は、まあ頑張れ >>855
こんな感じか?
θ = ∠OAP とし、
AOを斜辺とし、x軸を底辺とする直角三角形の面積をUとすると
S = πr^2 * 2θ / (2π) = θr^2
U = r sin(π/4-θ) / 2
T = 1 - 2U - S
先ほどの直角三角形の辺の長さと角度の関係から
r = 1/cos(∠A) = 1/cos(π/4-θ)
よって U = 1/2 * sin(π/4-θ)/cos(π/4-θ)、S = θ / cos(π/4-θ)^2
T/S = (1 - 2U)/S - 1
= (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) 2cos(π/4-θ)^2 / θ - 1
f(θ) = (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) 2cos(π/4-θ)^2 とすると
f’(θ) = 2 (cos(2θ) + sin(2θ)) なので
(ここは綺麗な式にしなくてもとにかく微分できていればいい)
lim T/S = lim f(θ)/θ - 1 = f’(0) - 1 = 1
θ→0 >>859
ありがとうございます。
美しい結論、程よい難易度ですね
私の作問能力の高さを再確認いたしました なんにしろ答えは√2だな
適当な問題の背景が透けて見えてる
2T/(√2-r)が大雑把にTの三角形の高さで、S/(T/(√2-r))はSの底辺の極限。だから√2 なぁんの数学的深みも感じないけど。
しょせん受験数学どまり。 >>864
数学的深みはゲームとしての面白さではなく研究により得られるものです
私はゲームとしての面白さを追求いたします a, bを正の実数として、双曲線:
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1
の上の点P(Pのx座標,y座標はともに正とする)における接線へ
この双曲線の焦点(√(a^2+b^2),0), (-√(a^2+b^2),0)から
下した垂線の足をそれぞれH, H'とすると、
H, H'は頂点A(a,0), A'(-a,0)を直径とする円周上にあることを証明せよ。 焦点はF, F'で
F((a^2+b^2)^(1/2),0), F'(-(a^2+b^2)^(1/2),0)ということ >>866だけど
スマンが当方はわかった
双曲線の性質を使えばめっちゃ簡単だった
考えてわからない奴はバカ >>866
原点Oを通らない任意の直線を
kx - Ly = 1, … (1)
とする。 (kk+LL≠0)
F から(1)におろした垂線:
L{x - √(aa+bb)} + ky = 0,
F ' から(1)におろした垂線:
L{x + √(aa+bb)} + ky = 0,
をまとめて
Lx + ky = ±L √(aa+bb), …(2)
(1)と(2)の交点 H,H ' (x,y)では
(kk+LL)(xx+yy) = (kx-Ly)^2 + (Lx+ky)^2 = 1 + (aa+bb)LL,
xx + yy = {1 + (aa+bb)LL}/(kk+LL),
∴ 右辺が一定値になるように(k,L)をとればよい。
(1) を2次曲線
{k/x(P)}xx - {L/y(P)}yy = 1,
の点Pにおける接線とし、
x(P)/k + y(P)/L = aa+bb
とすれば、この条件を満足する。
xx + yy = aa. >>869
(1) は双曲線
(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1,
の接線だから
k = x(P)/aa,
L = y(P)/bb,
これを使うと
(ak)^2 - (bL)^2 = 1,
1+ (aa+bb)LL = aa(kk+LL), >>859
いくつかの間違いを修正して、wolframセンセーに頑張ってもらった結果
(一度じゃ計算成功しなかったけど)
答えは√2です
1. Uの定義がおかしい
UはAPを斜辺とし…とすべき(というか、計算ではそうなっている)
2.
T/S = (1 - 2U)/S - 1
= (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) 2cos(π/4-θ)^2 / θ - 1
の 2cos(π/4-θ)^2の最初の2はいらない
T/S = (1 - 2U)/S - 1
= (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) cos(π/4-θ)^2 / θ - 1
で
T/S → 0 になる
3.
求めるのは、T/Sではなくて、
(√2-r) (S/T)
>>859のやり方なら、φ=Pi/4-θと置いて、簡略化しながら計算しないと計算量が嫌になるかも。
書くのしんどいから書かないけど
△AOPの面積をVとすれば、V=√2/2 rsinθで
T=2V-Sだから計算はぐっと楽
>>855を書いた時はこれを想定してた
普通に手計算できるレベル >>873
思い付きの質問、4元数体の関数論があるみたいだから一般論があるのかと思って聞いてみた
>>874
ありがとう 数学はモノの方便みたいなところもあるよね。簡略化しすぎるといい体作りに
ならない面があると思うが。まだ数学頭脳はほとんど起きていない。 精神のまといを数学者でも雇って数式化してもらいたいなあ。精神障碍者だし。 >>872
ヒルベルト空間でよくね
っていうか微積自体ある特殊な内積空間の位相的側面の話では? >>878
体上のヒルベルト空間ってあるの?まず微積分が展開出来ないと無理だと思うが >>876-877
何を言いたいのか分からないけど、雑談スレじゃあないから 100個の自然数 1,2,3,...100から50個の数字を次の条件を満たすように選ぶとどうなるか
条件1 任意の二数は互いに素
条件2 全部の和を最小にする 教科書の演習問題についてですが自力でなかなか解けません..
[問題]
{Yn}がn=1,2,...について自由度nのχ^2分布に従う確率変数のとき、
(Yn-n)/√(2n)が標準正規分布に法則収束することを示せ。
という問題です。
積率母関数を求めて極限を取る方法で示そうとしているのですがどうもうまくいきません。。。
解説お願いします。 >>881
> 条件1 任意の二数は互いに素
ごめん。「互いに素」ではなくて「互いに約数、倍数の関係になっていない」に訂正 >>881
勘で
[34..66] ++ [67,69..99] >>885
いや、48抜いて24にとりかえられるorz 以下の命題を証明してください。
F を閉凸集合、 z を F に含まれない点とする。このとき、次を満たすベクトル a およびスカラー Θ が存在する:
∀x ∈ F、 a^T * z < Θ < a^T * x. fを実係数n次多項式、s_0,s_1,...,s_nを相異なる実数とすると
f(x+s_0),f(x+s_1),f(x+s_2),...,f(x+s_n)は一次独立であることを示してください 方法A:X回中65/10000X回成功
方法B:Y回中7/1000Y回成功
という統計データがあるとき
「真の(正確な)成功確率が方法Bの方が高い」確率が
80%以上である為の最小のXとYを求めよ
よろしくお願いします q=1−{{165n−3n^2+936}/(193n−7n^2+1248)}
n=3のときにqはいくつですか? >>881 >>884
[16] ++ [24] ++ [20,28,36,44] ++ [26,30..66] ++ [35,37..99]
かな。 >>887 イミフ
>>888 成立しない
>>889 イミフ >>888
実数体のなかでならn=0以外では成立しない。
多項式環のなかで一次独立ならVandermonde行列式を考えれば自明。 xyz空間の円板C:x^2+y^2=1,z=0の周または内部の点A(a,b,0)における方べきの値をf(a,b)とおく。
また空間の原点をOとしたときの半直線OAとx軸の正の部分とのなす角をθ(a,b)、積f(a,b)・sinθ(a,b)=g(a,b)と定める。
ただしθ(a,b)は0≦θ(a,b)<2πを動く。
(1)f(a,b)をa,bで表せ。
(2)a,bが動くとき、点P(a,b,g(a,b))が囲む領域をVとする。Vを平面x=t(-1≦t≦1)で切った断面図を描け。 894は(1)は簡単でしたが、(2)で断面図を描くところで手が止まります。極座標でもやってみましたが難しくて計算ができません。
教えてください。 以下の命題を証明してください。
F を閉凸集合、 z を F に含まれない点とする。このとき、次を満たすベクトル a およびスカラー Θ が存在する:
∀x ∈ F、 <a, z> < Θ < <a, x>. サイコロを繰り返し投げ、出た目が直前の回に出た目の約数でなくなったら終了します。
n回目にサイコロを投げ、かつその目が1である確率 p[n] を求め、n回目に終了する確率をp[n]とp[n+1]を用いて表してください。
プロセス(解き方)もお願いします。 >>897
普通に考えればいい
n-1回目が
1→n回目が2,3,4,5,6で終了
2→n回目が3,4,5,6で終了
3→n回目が2,4,5,6で終了
4→n回目が3,5,6で終了
5→n回目が2,3,4,6で終了
6→n回目が4,5で終了
あとはa[n]を上の結果使ってa[n-1]とつなげるだけ
p[n]経由しなくても直接解ける 2のべき指数で分類するとこうか?
>>885
S = [64] + [・] + [48] + [40+56] + [36+44+52+60] + [34+38+42+…+66] + [35+37+39+…+99]
(9個) (33個)
= 64 + 0 + 48 + 96 + 192 + 450 + 2211
= 3061,
>>886
48→24
S = 64 + 0 + 0 + 120 + 192 + 450 + 2211
= 3037
>>891
4の倍数のうち、40,52,56,60 →半分, 64→16
S = [・] + [・] + [16] + [24] + [20+28+36+44] + [26+30+34+…+66] + [35+37+39+…+99]
(11個) (33個)
= 0 + 0 + 16 + 24+ 128 + 506 + 2211
= 2885, 16+20+22+24+26+28+30+33+34+35+
36+37+38+39+41+42+43+45+46+47+
49+50+51+53+54+55+57+58+59+61+
62+63+65+67+69+71+73+75+77+79+
81+83+85+87+89+91+93+95+97+99=2830 >>902 oops
22 →44
33 →66
で2830+55=2885 で>>900と一致 1〜100だからかえってわかりにくい。
いっそ1〜10000から5000個とかで考えた方がいい。
奇数kに対して2べき×kの全体をC[k]とする。
1〜10000=C[1]+C[3]+…C[9999]
同じ類から2つ取れないので各類から一個づつ。
C[9999]は全部9999の倍数なので3333は取れない。
よってC[3333]から選ばれるのは6666の倍数。
同様にしてC[1]〜C[3333]の各類で選ばれるのは2…6666の倍数。
同様にしてC[1]〜C[1111]の各類で選ばれるのは4…13332の倍数。
…
の必要条件出しといて十分性チェックして完了。 >>899
質問の目的はn回目に終了する確率を上手に求めることです。誘導を使うも、誘導を無視してn回目に終了する確率を直接求めてもらうも構いません。ただしなるべく計算のいらない面白い解法を追求したいです。 >>905はいわば>>897の補足みたいなものと解釈してください、レス先を間違えました
>>899
a[n]とはなんでしょうか
何を主張するものか理解できないし、もっと詳しく説明して頂けないでしょうか
>>897を確認してください n回目の目がkで未終了の確率p(k,n)、q(k,n)=6^np(k,n)として
q(1,n+1)= q(1,n)+…+ q(6,n)
q(2,n+1)= q(2,n)+ q(4,n)+ q(6,n)
q(3,n+1)= q(3,n)+ q(6,n)
q(4,n+1)= q(4,n)
q(5,n+1)= q(5,n)
q(6,n+1)= q(6,n)
こんなモンなんか一工夫したいと思える余地ない希ガス。 >>890
次の式はn=3,[0≦c≦124]の範囲ですべてq=10/49
∴q=1−{{165n−3n^2+(39+39c)}/{(216−c)n−7n^2+(52+52c)}}
■q=10/49 ∵n=3,c=23 I_2018=∫[0→1] 1/(1+x^2018) dx
の値を求めよ。 2^n+1と3^n+2を17で割ったとき、余りが等しくなるような最小の自然数nを求めよ。 凸六角形ABCDEFの対角線AD、BE、CFの長さはいずれも1であるという。
このような凸六角形の最大値と最小値が存在するかを述べよ。存在するならばその値を求めよ。 aとbは互いに素な自然数で、cとdも互いに素な自然数である。
ab=cdかつa≠cかつa≠dであるa,b,c,dの例を挙げよ。また、a=2018となる場合は存在するか。 >>910
I_n = ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx
= (1/n)∫[0,1] 1/(1+y) y^(1/n -1) dy
= (1/2n) {ψ((n+1)/2n) - ψ(1/2n)},
ここに ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x), (digamma函数)
∫[0,1] 1/(1+x^2018) dx
= (1/4036) {ψ(2019/4036) - ψ(1/4036)}
= 0.999656719605351957806207034918974864517522986561577745876 先日ここでマッハの意を問わせてもらった者です
その節はありがとうございました
ついでに伺いたいのですが「平均速度マッハ1」という表現(書き方)は間違いでしょうか?
例えば「平均時速60キロ」は聞き慣れててしっくり来るのですけど
「平均速度マッハ1」ってのは聞き慣れていません
もし平均速度をマッハで書きたい場合はどうすればいいですか? 916です。ヒントだけでも教えてください。focus gold なども見ましたが全然わかりません。 以下の命題を証明してください。
F を閉凸集合、 z を F に含まれない点とする。このとき、次を満たすベクトル a およびスカラー Θ が存在する:
∀x ∈ F、 <a, z> < Θ < <a, x>. >>922
d(zw) = d(z,F) となる w∈F をとり a = w - z とおく。 >>922
d(x0,z) = d(F,z) となる x0∈F をとり a = x0 - z、Θ = d(x0,z)/2 とおく。 >>922
d(x0,z) = d(F,z) となる x0∈F をとり a = x0 - z、Θ = d(x0,z)/2 とおく。 >>773答えもう出てる?
前>>857
2〜10は各スート一枚ずつなんで、
9×4=36枚
ジョーカー24枚
あわせて36+24=60枚
すべての取り方は、
60C12=60・59・58・……・49/12・11・10・……・1
つづく。 連続するn個の自然数k,k+1,...,k+n-1を2つのグループに分ける。また次の操作(T)を行う。
(T)一方のグループに含まれる自然数の和と他方のグループに含まれる自然数の和が等しくなるようにする。
(1)(T)が可能なとき、k,nはどのような整数か。
(2)あるk,nをとったところ、その連続する自然数は(T)が可能であった。またその連続する自然数の中から、ある自然数1つを取り去ると、(T)は不可能になるという。取り去る自然数が満たすべき条件を述べよ。 >>923
まさに、
>何をしていいかわかりません >>927
1万回のシミュレーションを1万回やって平均を求めてみた
x=c(rep(2:10,4),rep(0,24))
f <- function(){
y=sample(x,12)
z=y[which(y!=0)]
length(z)==length(unique(z))
}
re=replicate(1e4,mean(replicate(1e4,f())))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0992 0.1085 0.1106 0.1106 0.1127 0.1217 前>>927
(確率)=(その場合の数)/(すべての場合の数)
すべての場合の数は先に示した。
その場合の数は、
ジョーカーが1枚2枚のときは数字のカードが少なくとも1枚2枚かぶるのでありえない。
よってジョーカーが3枚から12枚のときを考える。
ジョーカーが3枚のとき、
24C3・4^9=23・22・4^10
ジョーカーが4枚のとき、
24C4・4^8=6・23・11・7・4^8
ジョーカーが5枚のとき、
24C5・4^7=23・22・21・4^8
ジョーカーが6枚のとき、
24C6・4^6=23・11・7・19・4^7
ジョーカーが7枚のとき、
24C7・4^5=23・11・19・18・4^6
ジョーカーが8枚のとき、
24C8・4^4=23・11・19・9・17・4^4
ジョーカーが9枚のとき、
24C9・4^3=23・11・19・17・4^5
ジョーカーが10枚のとき、
24C10・4^2=23・11・19・17・6・4^3
ジョーカーが11枚のとき、24C11・4=23・19・17・3・7・4^3
ジョーカーが12枚のとき、24C12=23・19・13・7・4
これらをすべて足して、すべての場合の数で割ると、
――つづく。 >>930
re=NULL
re[1:2]=0
for (k in 3:12){
re[k]=choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k)/choose(60,12)
}
sum(re)
> sum(re)
[1] 0.1106278
シミュレーション解とほぼ一致 Prelude> choose (n,r) = product[1..n] `div` product[1..n-r] `div` product[1..r]
Prelude> fromIntegral(sum $ map (\k -> choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k)) [0..12]) /fromIntegral(choose(60,12))
0.1106278297721166 >>933
分数で書くと
7371811052/66636135475 トランプの束がある
2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、
ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が
書かれている確率はいくらか
2〜10各スート一枚ずつ9×4=36枚
ジョーカー24枚
合計60枚
この中から12枚ではなく10枚のカードを取り出すとすると
数字のカード6枚、ジョーカー4枚となる
この組み合わせの確率は
(9x8x7x6x5x4)/9^6=60480/531441
=0.11380379007 放物線y=x^2上の2点P,QはPQ=1を満たしている。点Pのx座標は点Qのx座標より小さいとする。
(1)P(p,p^2)とする。線分PQ上の一点Kを無作為に選び、点A(0,a)と結んで線分AKを作る。AKの長さの期待値E(p,a)をp,aで表せ。
(2)aを固定し、pの関数f(p)をf(p)=E(p,a)-(AP+AQ)/2と定義する。
f(p)と0の大小を比較せよ。 とりあえず、ゴリ押しで式を書き並べて整理して積分したらいいんじゃないの?
最終的には(0,0,1)か(0,0,2)からの角度で置換積分することになりそうだけど
文字3個くらい置いて計算していけばとりあえず一本道だと思う
自作? レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。