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分からない問題はここに書いてね447
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0736１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 01:52:32.09ID:xkRoYFRI
g(2)=0が最小なのは１秒でわかるが、それ以外にg(k)=0に
なるkがあるかどうかは知らん。
0737１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/14(日) 02:20:20.60ID:t/H/Tw4Y
質問です。

f[n](x) = (1/x d/dx)^n exp(-x)/x

とします。

f[0] = exp(-x)/x、f[1] = -(x+1)exp(-x)/x^3、f[2] = (x^2+3x+3)exp(-x)/x^5、
f[3] = -(x^3+6x^2+15x+15)exp(-x)/x^7、f[4] = (x^4+10x^3+45x^2+105x+105)exp(-x)/x^9、…

lim[n→∞] f[n](-1) 2^n n!/(2n)! を求めたいのです。
どうも -1/e に収束するらしいです。
どなたか証明できますか？
0743BLACKX ◆SvoRwjQrNc
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2018/10/14(日) 03:59:40.77ID:WRFSD9Ui
>>735
この手の問題ってk1 k2って置いて足したパターンはいくつ？って解くんだけど
そもそもn^2+kn+1だから掛けたら1になる数字しかない
2→(n+1)^2

ちなみに0も存在するけどn^2+1で問題の定義から虚数解なのでNG
0744１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 06:25:27.25ID:0CPQSloM
>>737 >>739

f[0](x) = exp(-x)/x = √(2/πx) K_{1/2}(x),

f[n](x) = (-1)^n exp(-x) Σ[k=0,n] C(n+k, n-k) (2k-1)!! / x^(n+k+1)

　= √(2/πx) K_{n+1/2}(x),

ただし　(-1)!! = 1!! = 1 とする。

f[n](-1) = √(-2/π) K_{n+1/2}(-1),

K_{…}(x) は第1種の不完全楕円積分と云うらしい。
0745１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 06:38:59.38ID:6VEy8x08
>>744
それなんです。
変形ベッセル関数でパラメータが半整数の関数。
それの n→∞ のときの >>737 の極限が求まるというレスがこのスレ？であってそれの証明がわかんなくて困ってるんですよ。
まぁ困ってるって言っても気持ち悪いだけですけど。
0746１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 06:58:37.10ID:0CPQSloM
>>744
まちがえた。K_{…}(x) は第２種の変形ベッセル函数でござった。

f[n](x) = √(2/πx) K{n+1/2}(x)

　= (1/n!) (x/2)^n∫[1,∞] exp(-xt) (tt-1)^n dt

　= (1/n!) exp(-x)/x ∫[0,∞] exp(-t) t^n (1-t/2x)^n dt

　= (1/n!) exp(-x)/x Σ[r=0,∞] (n+r)! C[n, r] (2x)^(-r),
0747１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 16:20:18.17ID:zUCY3+71
nは3以上の自然数、kは1<k<nを満たし平方数でない自然数とする。
各nに対しn^2-kを素数とするようなkが少なくとも1つ存在することを示せ。
0748１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 17:41:26.76ID:obbD/tK3
>>747
それは証明できないんじゃなかったっけかな？
π(x+y)-π(x)>0 が言えるためには最低でもある定数ε>0が存在してy>x^(1/2+ε)までしか言えないって話を聞いた希ガス。
0749１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 19:18:51.41ID:dxn070zT
基礎的な問題ですいません
1列目の式がなぜ2列目になるのかわかりません
途中式を省かずに教えてもらえますか？
2列目の左側が平方完成でこの形になるのはわかるんですが右側がわかりません

https://i.imgur.com/zXHEZid.jpg
0751１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 19:56:36.87ID:NT2gFiqK
>>749
>>749

a((x-(-a+2)/2a)^2 - ((-a+2)/2a)^2) - a^2-a+2
=a(x-(-a+2)/2a)^2 -a((-a+2)/2a)^2 -a^2-a+2
=おしまい
多分あってると思うけど目がちかちかして自信がない

-aと-a^2を写しまちがえてるのに気が付いてないってのはやめてくれよ
0752１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 20:01:41.87ID:rYLVHAc9
>>749
平方完成　でググればすげー親切な解説見つかるからそれ読むといいよ
ここは数式が見づらいし
0754１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 20:23:11.55ID:KkBlRZKF
>>749
左側の平方完成

-a-a+2-(-a+2)^2/4a
=-2a+2-(-a+2)^2/4a
=2-2a-(a^2-4a+4)/4a
=(8a-8a^2-a^2+4a-4)/4a
=(-9a^2+12a-4)/4a
=-(9a^2-12a+4)/4a∵

以上
0756１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 21:14:26.76ID:9zQHOaSO
質問です

2^x ≠ 12y　（x,yともに自然数）

この式の証明は可能でしょうか
0757１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/14(日) 21:14:42.85ID:dxn070zT
みなさんご親切にありがとうございます
書かれてる式をにらめっこしながら頑張ってみます
0760１３２人目の素数さん
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2018/10/14(日) 21:51:11.37ID:dxn070zT
>>759
ありがとうございます

>>749これわかりました

理由があって家でひとりで勉強してるもんだから聞く人がいないんですよ
だからまた初歩的なこと聞きにくるかもしれませんがその時はお願いします
0761１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/14(日) 22:35:25.34ID:nRibaf3U
もっと順を追ってやっていった方がいいと思うよ
場当たり的過ぎる
先人が試行錯誤の上に作り上げた教育課程を自ら構築するつもりなのか？
0762１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/14(日) 22:56:37.36ID:5PthFd38
>>750
>>761

質問にちゃんと答えてる人がいる一方で、答えもせずに説教をする馬鹿もいる
この違いがなぜ生まれるのかを考えよう
0764１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/14(日) 23:16:25.64ID:ZJ8mHGiC
>>751

> -aと-a^2を写しまちがえてるのに気が付いてないってのはやめてくれよ

これ、どういう意味？
0765１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/14(日) 23:57:26.25ID:NT2gFiqK
>>764
>>749の画像の１行目の後ろの方
-a-a+2
って書いてあるけど
計算はちゃんと -a^2-a+2 を使ってやってるよね？ってこと
0768１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 00:44:37.64ID:id4K6nR+
ああ、分った。
最初の質問者は2行目の右側が問題集かなにかの解答と違っているのが分らない、と言っている、という意味ね。
0769１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 02:23:42.78ID:Zm7H7leg
アラン・コンヌとウィリアム・ジェイムズ・サイディズはどっちの方が頭が良いですか？
0770１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 09:25:03.54ID:FRzng5Ty
>>761
こういう奴がもし教育関係の職についてたら生徒はかわいそうだな
749は平方完成のやり方はわかってるのに式の半分の展開がわからないと言ってる
それならどこが引っ掛かってるのかを察知してあげないとな
「順を追ってやる」→「順を追って教えてる」立場の人ならよくある質問
0771１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 12:13:25.05ID:7e+ZqB9F
5 < Σ[k=1,...,7] sin(kπ/8) < 5.1
を示せ。
必要ならばπ=3.141592..を用いてよい。
0772１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 12:22:30.59ID:/TyV0zg+
>>761
教育なんてそんな細部まできっちり決めるもんじゃないぜ
んなことしようとするから
掛け算の順序問題なんてアホな話が出てくる
0773１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 12:54:47.12ID:kOpwpmpP
トランプの束がある
2～10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が書かれている確率はいくらか
0774１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 14:10:53.06ID:7e+ZqB9F
2n枚のカードがあり、それぞれには1,2,...,2nの数が1つずつ書かれている。
この中からn枚のカードを取り出すとき、取り出したn枚のカードに書かれている数の和Sについて考える。

（1）Sは{n(n+1)/2}以上{n(2n+1)-n(n+1)/2}以下の全ての整数値をとるか述べよ。

（2）Sの期待値を求めよ。
0779１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 14:50:05.08ID:j4+CUj76
そんなに自作問題を公開したいなら自作問題スレを作ればどうですか？
あなたの問題を見たい人はそのスレも見てくれるでしょう
0782１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 17:01:42.98ID:I979f5xZ
平川-松村の定理 　の証明おしえて
0784１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 17:39:15.65ID:7e+ZqB9F
半径1の円に内接する正七角形の対角線の長さの総和を求めよという問題が分かりません。
正七角形の対角線の長さが直接求まらないのでどう工夫したらいいでしょうか。
0785１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/15(月) 19:22:20.41ID:5zaj2zrJ
>>784
対角線が文字通り辺ではない2頂点のなす線分なら3次方程式とかないと無理だな。
0789１３２人目の素数さん
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2018/10/16(火) 04:34:53.21ID:xW+nW6TE
mを3以上の自然数とする。
2を底とする対数について、自然数nと実数aを用いて
log_2 (m) = (n+a)/(n-a)
と表すことを考える。　

（1）aをmとnで表せ。
（2）以下の不等式の左辺を最小にする素数pと有理数bの組(p,b)を求めよ。
log_2 (2018) - (p+b)/(p-b) > 0
0791１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/16(火) 04:48:31.55ID:xW+nW6TE
a[1]=2
a[n+1]=a[n]/{1+a[1]+a[2]+...+a[n]}
で表される数列{a[n]}を考える。

（1）lim[n→∞] a[n] =0　を示せ。
（2）lim[n→∞] (n^k)*a[n] 　が0でない有限の値に収束する自然数kを求めよ。
0794１３２人目の素数さん
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2018/10/16(火) 08:35:16.42ID:5DYkLdwz
>>756
両辺を3で割ってみる。


>>771
sin(π/8) + sin(7π/8) = √{2-2cos(π/4)} = √(2-√2),
sin(2π/8) + sin(6π/8) = √2,
sin(3π/8) + sin(5π/8) = √{2+2cos(π/4)} = √(2+√2),
sin(4π/8) = 1,
∴　S(π/8) = √(2-√2) + √2 + √(2+√2) + 1,

(2-√2) - 0.76^2 = 1.4224 - √2 > 0,
(2-√2) - 0.77^2 = 1.4071 - √2 < 0,
∴　0.76 < √(2-√2) < 0.77

(2+√2) - 1.84^2 = √2 - 1.3856 > 0,
(2+√2) - 1.85^2 = √2 - 1.4225 < 0,
∴　1.84 < √(2+√2) < 1.85

(与式) > 0.76 + 1.41 + 1.84 + 1.00 = 5.01
(与式) < 0.77 + 1.42 + 1.85 + 1.00 = 5.04


>>784
　辺　　　L1 = 2sin(π/7) = -2sin(8π/7),
　対角線　L2 = 2sin(2π/7),
　対角線　L3 = 2sin(3π/7) = 2sin(4π/7),
　いずれも7本づつある。
　-L1 + L2 + L3 = 2{sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7)} = √7,
　L1･L2･L3 = √7,
　L3 = L1･(3-L1^2)
　
　L^6 -7L^4 +14L^2 -7 = 0,


>>790
存在しない。
　n=2018, 2019, 2020 のとき
　　C[n,2018] ≦ C[2020,2] = 2039190 < 123456789
　n≧2021 のとき
　　C[n,2018] ≧ C[2021,3] = 1373734330 > 123456789
0795１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/16(火) 09:19:29.13ID:5DYkLdwz
>>771
S = √(2-√2) + √2 + √(2+√2) + 1 = 5.027339492126…

>>784
L1 = 2sin(π/7) = 0.8677674782351
L2 = 2sin(2π/7) = 1.563662964936
L3 = 2sin(3π/7) = 1.9498558243636

L1+L2+L3 = 4.38128626753476
0798１３２人目の素数さん
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2018/10/16(火) 21:45:49.96ID:xW+nW6TE
p,qを素数、kを自然数とする。
△ABCは∠A=60°、AB=p、AC=q、BC=kの三角形である。
p,q,kの間に成り立つ関係式を求めよ。
0799１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/16(火) 22:53:10.33ID:Rp6DSvYR
少佐と大佐の間には中佐があります
小陰唇と大陰唇の間には何がありますか？
0801１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/16(火) 23:03:28.51ID:xW+nW6TE
一辺の長さが1の正四面体SとTがある。
Sは空間に固定され、TはSと1点のみを共有しながらSの外部を移動する。
Tが動きうる領域の体積を求めよ。
0803１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 02:09:37.79ID:kvrMD9Ju
xyz空間の半球
x^2+y^2+z^2=1 (x≧0)
を平面x=sおよびx=t(0<s<t<1)で切り、切り分けられた立体のs≦x≦tの部分とt≦x≦1の部分の体積が等しくなるようにする。

いまtをsの関数と見てt=f(s)とおくとき、次の極限を求めよ。

lim[s→1] (1-f(s))/(1-s)
0804１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 02:26:57.50ID:RkkcdSW0
>>737
自己解決。
なんのことはない。
exp(-x)/x をマクローリン展開すればいいだけ。
第０項を除く部分は０にいってしまう。
お騒がせしました。
0805１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 05:14:41.19ID:CNsWZSmr
>>791

S = 1 + a[1] + a[2] + … + a[n] ＋ … = 3.91202535564
が収束するから、n → ∞ のとき
　a[n+1] ≒ a[n] / S,　　　…　等比数列っぽい。
a[n] ≒ 11.127284700 / S^n,

ln(a[n]) ≒ 2.409400 - 1.364055233655 n,
0806１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 05:21:15.19ID:CNsWZSmr
〔類題〕
半径1の円に内接する正七角形の
　(対角線の長さの総和) - (辺の長さの総和) = ⊿
の (2/3)乗 を求めよ、という問題が分かりません。。。
0807１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 05:33:01.02ID:kvrMD9Ju
kを実数とする。
実数xについての方程式
x^3-kx+1 = 0 ...(F)
について以下の問いに答えよ。

(1)kが十分大きいとき、(F)は相異なる3つの実数解を持つことを示せ。

(2)kが十分大きいとき、(F)の3つの解をα、β、γ(α<β<γ)とする。
以下の極限（ア）～（オ）をそれぞれ求めよ。
（ア）lim[k→∞] α
（イ）lim[k→∞] β
（ウ）lim[k→∞] γ
（エ）lim[k→∞] αβ
（オ）lim[k→∞] γ/α
0808１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 07:10:34.08ID:CNsWZSmr
>>807

(1)
題意より k > 0 としてよい。

F(-1-k/3) = -(k/3)^3 < 0,

F(0) = 1 > 0,

k > 3･(1/4)^(1/3) のとき
F(√(k/3)) = 1 - 2･(k/3)^(3/2) < 0,

F(√k) = 1 > 0,

∴ k > 3･(1/4)^(1/3) のとき
中間値の定理により各区間に実解が1個以上ある。相異なる3つの実解を持つ。

(2)
　(ア) α ～ -√k - 1/(2k) +3/(8k^2.5) → -∞,
　(イ) β ～ 1/k + 1/k^4 → 0,
　(ウ) γ ～ √k - 1/(2k) -3/(8k^2.5) → ∞,
　(エ) αβ = - 1/γ ～ - 1/(√k) - 1/(2kk) → 0,
　(オ) γ/α ～ -1 + 1/(k^1.5) → -1,
0809１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 07:32:44.28ID:XmI0cwXc
問1: 2多項式の平方の和 f_1^2 + f_2^2 として表される多項式の全体は, 乗法に関して半群をつくる事をしめせ.
(服部昭「現代代数学」 p.5 より)

多項式について特に記載がないのですが, 有理数係数の1変数多項式だと思います。
簡単な例だと
(x^2 + x^2)(x^2 + (2x)^2) = 10x^4 = (x)^2 + (3x)^2
こんな感じで乗法に関して閉じてるらしいのです (本当かな...)
どうかよろしくお願いします。
0813１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 11:41:40.69ID:uOvStamk
y=x^2のグラフの上に傾き正のある直線を引いたところ、a、bの2点で交わった。

x座標が負の点をaとした場合、aのx座標の絶対値はbのそれより小さい。


これはグラフ書くと直感的に明らかですが、図形的に説明する方法はありますか？

直線の式立てて二次方程式の解の公式使えば計算ですぐ分かりますが
直感的に説明できないのが気持ち悪くて
0814１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 11:52:59.02ID:eVoD0jAd
aを通り傾き０の直線を引く。
この直線の傾きを、少し正に／負に　変化させたとき、交点がどのように変化するか考察。
0815１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 11:55:50.76ID:eVoD0jAd
どちらでも、かまわないかもしれないけど、一応訂正
誤：aを通り傾き０の直線を引く。
正：bを通り傾き０の直線を引く。
0816１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 12:12:33.18ID:q4TTBiFC
直観的に明らかとか言ってるけど、ｘ座標が両方とも正になる場合があるのには気付いてる？

単純に
a,bの座標をそれぞれ(Xa,Ya)と(Xb,Yb)　但しXa<Xb
を考えれば
傾き正だから、Yb>Ya (>0)なので、両辺のルートを考えれば |Xb| > |Xa|, になる

図形的に考えれば、「Ｙ座標が大きいほうがＹ軸から離れている」
ってこと。
0817１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 12:25:23.65ID:Qz/b3TB8
二点を通る直線の傾きはa+bで与えられ、それが正かつa＜bだから|a|＜|b|
0818１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 13:02:17.30ID:uOvStamk
色々な解答ありがとうございますm(_ _)m

両方正になるパターンを忘れてました……
直線がy軸の正の部分と交わるという条件が言いたかったことです。

簡単というか秒で言えそうですね……なぜ煮詰まったのか不思議です。ありがとうございました
0819１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 13:03:43.56ID:uOvStamk
二次曲線と直線が共有点を持つかどうかという問題では、単純に連立するだけでよく、解の範囲が二次曲線の取りうるxyの条件を満たすかどうかは調べる必要が無いのに

二次曲線どうしが共有点を持つかどうか判定する場合にはその条件を調べなければならないのはなぜですか？
0821１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 13:33:56.24ID:uOvStamk
単に連立して得られる方程式の実解と実際の交点が一対一対応しないのはなぜか？ということです。
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 13:48:37.28ID:lYXNgkR/
でかるとせんせーに喧嘩売るぞって話？
0824イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2018/10/17(水) 15:48:40.97ID:T1WitPnt
>>801
正三角錘Tが動く領域内部にある正三角錘Sは領域に含まれない。
Sのすぐ外の部分は3つの領域からなる。
正三角柱4つ={(√3)/4}×4
=√3
扇形柱6つ=π(1^2){(360-90-90-109.5)/360}
=47π/40
球1つ=(4π/3)(1^3)
=4π/3
あわせると、
Tが動く領域=4π/3+47π/40+√3
=(301/120)π +√3
0826１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 16:45:22.47ID:uOvStamk
>>823

例
楕円x^2+2y^2=1、放物線2y=x^2+11の交点を求めたい。

交点となるxyはx^2=2y-11を満たすので
楕円の式に代入して2y^2+2y-12=0、y^2+y-6=0

y=2,-3となるが、どちらも楕円にはかすりもしてないので解にはならない。楕円の図形的条件を考えないといけない。

こうなるのはなぜでしょうか？
0828１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 16:53:37.26ID:0klAX64q
>>826
x^2+2y^2=1 ＆ 2y=x^2+11
⇔y^2+y-6=0 ＆ x^2=2y-11
であって、２式はワンセット。
y^2+y-6=0を解いた y について x^2=2y-11 を満たす x があるかどうかは確認しないとわからない。
両方OKのときもあれば、片方だけOKのときもあれば、全滅するときもある。
一次式を利用して一文字消去した場合には対応する x が必ず見つかる。
0829１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 16:53:45.31ID:eVoD0jAd
>>826
交点と言うからには、(x,y)を求めてから、言ってください。

y座標だけ求まったとしても、それに対応するxが実数として
存在しなければ、それは、交点ではありません。
0831１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 17:18:22.82ID:uOvStamk
いえ、この場合は実数条件を考慮しないとダメ、というのは分かるんですよ

なぜ直線と二次曲線の交点の場合はそれを考えなくてよくなるのでしょうか？というのが最初の質問です
0832１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 17:36:08.92ID:CLF9yvIF
直線と二次曲線だって考えなきゃダメじゃね？
y=x^2+1とy=0の交点を求めようとして連立させてx^2+1=0とすると虚数解しか出て来なくて解無し、つまり交点無しってわかるだろ？
0833１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/17(水) 17:42:17.61ID:CVjHYV3z
直線の式をy=ax+b(a,bは実数)とする
ある曲線がこの直線と交わるか交わらないか、という問題を考えよう

連立した方程式を仮にxについて解いて実数解が得られたとすれば、関係式y=ax+bによって対応するyの値も自動的に実数になる
逆に、xについて解いて虚数解が得られたとすれば、対応するyの値も自動的に虚数になる
なので、直線との交点を求める際に限ってはxについて解くかyについて解くかに関わらず、一方の値が実数なのか否かさえ見れば良いことになる

もちろん直線との交点ではない場合は>>826のように、一方の値が実数であったとしてももう一方の値が虚数になることがあり得るので、それも確かめないといけない
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