分からない問題はここに書いてね447
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>>245 \section{TeX の時間} %%% 第 XIII 節 %%% http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532439476/ amsmath.sty も使っているなら \text{abc} でいけるんじゃね リアルタイムに TeX の出力結果が確認できるソフトってありますか? 電車の中でジャンプしても後方のしきりに激突しないこと ここはわからない問題を書くスレッドです お願い事をするスレでも誰かに答えてもらえるスレでもありません >>237 y = cos(√[1-{arcsin(x)}^2]) ≒ Σ[k=0,∞] c_k x^{2k} (|x|≦sin(1)) c_0 = cos(1), c_1 = (1/2)sin(1), c_2 = (1/24){7sin(1) -3cos(1)} c_3 = (7/720){22sin(1)-15cos(1)} c_4 = (1/13440){2427sin(1)-2114cos(1)} たるんだ放物線? >>207 >>251 >>233 を参照。 >>210 先従解始(先づ解より始めよ) …… 「戦国策」 (大意) 逆向きに解くんでしょうね。 >>237 y = cos(√[1-{arcsin(x)}^2]) ≒ 0.540302 + 0.420735x^2 + 0.177891x^4 + 0.101187x^6 + 0.0669681x^8 + … 四色定理「平面上のいかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗り分けるには4色あれば十分だ」 この命題中の「平面上のいかなる地図」が地球儀のような「球面上のいかなる地図」となった場合、何色あれば塗り分けるのに十分なんでしょう? 5色…とか? 最初の平面の地図だと、地図の外側のスペースは無として定義されている。 この無の部分に1つの色を与えて灰色とする。 地図を丸めて球体を作る。 この時、東西南北の端がくっつく部分で、重複が起こらないように灰色の欠片をあてて継ぎ接ぎする。 4色+灰色で5色 >>258 球面も彩色数は4 いかなる球面上の地図も、彩色数を変えずに平面地図に置き換えることが可能 みなさん、ありがとう。 >>261 球面地図と平面地図は置き換え出来るんですね。 置き換えできるとかではなく偶然球面も4色で良かったってだけかもしれないんじゃない? いや、球面上の地図なら平面上の地図の問題に還元できるやろ? 球面上の地図が与えられたら、いずれかの領域の内点をとって、その点を極としてRiemann球\{極}と平面の一対一対応を考えればいい。 数2の質問です aを実数の定数とする。xy平面上に2円 c1: x^2+y^2=5 c2: (x-a)^2+(y-2a)^2=2がある。 (1) c1,c2が外接、内接するようなaの範囲をそれぞれ求めよ (2) a=1のときc1,c2の2交点の座標 解説おねがいします >>265 ちゅうしんとちゅうしんのきょりをかんがえる 多分教科書に似たような問題ある(傍用にもある) 交点の座標は計算する 計算の仕方も大事 >>265 c1の中心が(0,0)で半径が√5 c2の中心が(a,2a)で半径が√2 中心間の距離は(√5) |a| (1) 外接する時 中心間の距離が、半径の和に等しいので (√5) |a| = (√5) + √2 a = ±{1 + √(2/5)} 内接する時 中心間の距離が、半径の差に等しいので (√5) |a| = (√5) - √2 a = ±{1 - √(2/5)} (2) x^2 +y^2 = 5 (x-1)^2 +(y-2)^2 = 2 上から下を引いて 2x +4y -5 = 3 x + 2y = 4 x = -2y +4 最初の式に代入して (-2y +4)^2 +y^2 = 5 5y^2 -16y +11 = 0 (5y -11)(y-1) = 0 y = 11/5, 1 y = 11/5 のとき x = -2/5 y = 1 のとき x = 2 >>264 平面を球面に置き換えて同じ結論がえられるってまじかよ、 それじゃ >>259 がバカみたいじゃん。 >>268 というか、この手の発想は3色では不可能な事の証明でもよく使われる 知らない人は悩むってだけで 正四面体の面の塗分けは3色では不可能だから 面の1つに穴を開けて (面はゴムのようなものでできていると思って)平面上に広げれば 3色で塗分け不可能な地図ができる って具合に 四色定理の空間バージョンの定理ってありますか? つまり、例えば、立体パズルにおいて隣接してる(0以上の面積を共有してる)ピースは別の色にして塗るということにした場合 何色あれば十分ですか? >>270 空間をいくつかの領域にわけるという意味なら明らかに何色あっても無理。 100色用意しても101完全グラフ用意して各点にたいし、その点とその点から出てる確辺のまん中までを1領域とする分割を考えれば100色では無理。 E^2に埋め込めない一般の場合という意味ならその地図を埋め込める種数ごとに必要最低限度の色数は決定されてる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%AE%9A%E7%90%86 >>239 n=6まで一致する式ができた 2n^5−63n^4+500n^3−1605n^2+2594n+297×2^(n+1)−2616 q=――――――――――――――――――――――――――――――――― 66{10n^3−n^4−35n^2+80n+6{2^(n+2)−18}} 最適化問題です。 どういった方法で解を出すかという方針 だけでも教えていただきたいです。 変数Piとして、それ以外は定数とする。 min 煤mi=1からN]Pi 条件 0≦Pi≦Pmax(i=1,,,N) Σ[i=1からN]A×Pi+煤mi=1からN、ただしi≒j]Σ[j=1からN]√(PiPj)×B ≧C 数学IIの図形と方程式の問題です。 (1)以下の不等式で表されるxy平面上の領域Dを図示せよ。 (x+y-1)(-2x+y-3)(-x-2y+4)≧0 (2)一辺の長さ1の正三角形Tをxy平面上に置く。TとDの重なる部分の面積を最大にするようにTを置くときのGの座標を求めよ。 ただしGはTの重心である。 >>236 Σ[m=0,∞] a^m e^(imθ) = Σ[m=0,∞] {a e^(imθ)}^m = 1/{1-a e^(iθ)} = {1-a e^(-iθ)}/(1-2a・cosθ+aa) = {(1-acosθ) +ia sinθ}/(1-2a・cosθ+aa), の虚部から Σ[m=1,∞] a^m sin(mθ) = a・sinθ/(1-2a・cosθ+aa), 一方、実部から Σ[m=0,∞] a^m cos(mθ) = (1-a cosθ)/(1-2a・cosθ+aa), 1/(1-2a・cosθ+aa) = {1/(1-aa)}{1 + 2Σ[m=1,∞] (a^m)cos(mθ)}, 2a cosθ/(1-2a・cosθ+aa) = (1+aa)/(1-2a・cosθ+aa) -1, (X_i) は i∈I を添え字集合とする集合列とします Pr_i は Π_i X_i の第i射影とします 知られている通り、 Pr_i(Π_j X_j)=X_i ですが、この証明(⊇について)には選択公理を使いますよね? 定理 … 公理を用いて証明された命題 公理 … 証明が不要で前提とする事柄 ↑ とあります。 高校までの数学で作られてからもっとも新しい公理 (理論) って何ですか? 複素平面? 微積分? >>279 高校数学はそういう難しいことは考えないで適当に作られてますから考えるだけ無駄です 曲線Cをy=sin(πx)の0≤x≤1の部分とする。 また以下の曲線Dと直線Eはいずれも、Cとx軸とで囲まれる部分の面積を2等分するという。 正数a,bの大小を比較せよ。 D y=asin(πx/2) E: y=bx >>282 曲線Cとx軸で囲まれる部分の面積は ∫[0,1] sin(πx) dx = [ -(1/π)cos(πx) ](x=0,1) = 2/π = 0.636619772367581343 a = 0.5857864376268 b = 0.8062893052025 ∴ a < b >>283 aとbは数値計算に依らず求められるはずですがどうでしょうか >>284 Cとx軸で囲まれた領域の中でDとEは交差する。x=1のときDはEより下にくるからa<b >>283 C: y = sin(πx), D: y = a sin(πx/2), a = 0.5857864376268 E: y = b x, b = 0.8062893052025 CとDの交点 (x,y) = (0.810763906019775 , 0.5600968657158) CとEの交点 (x,y) = (0.782633029520911 , 0.6310286460088) DとEの交点 (x,y) = (0.559244088133690 , 0.4509125272599) 2^2-1^2、3^2-2^2、4^2-3^2・・・ と続く数列の答えはそれぞれ2n-1になるらしいけど、 方程式では解けてもなぜそうなるか疑問です。 丁寧に答えて下さる方いませんか 計算したらそうなったんですよね だからそういうもんだ、でいいんですよ そのための文字式なんです 何にでもそういう理由を求めようとするのは、疲れるだけであまり本質ではないことが多いですからやめといた方が良いでしょうね でも今回の場合は正方形考えるといいかとしれないですね 玉を正方形に並べます 一列増やしてちょっと大きな正方形作るにはどうすれば良いでしょうか >>284 aの方は CとDの交点を(c, d) とおく。 sin(πc) = a sin(πc/2), a = 2 cos(πc/2), より ∫[0,c] {sin(πx) - a sin(πx/2)} dx = (1/2π)(4-aa) -(a/π)(2-a) = (1/2π)(2-a)^2, これが 1/π に等しいから、 a = 2-√2 = 0.585786437626905 c = (1/π)arccos(2(1-√2)) = (2/π)arccos(1-(1/√2)) = 0.810763906019740 d = sin(πc) = (√2 -1)√(2√2 -1) = 0.560096865715887 bの方は分かりませぬ… ●●●○ ●●●○ ●●●○ ○○○ +○ タテ3✕ヨコ3に並べた丸に●に、 ○をタテ3コ、ヨコ3コ、角っこうめるためもう1コ付けると4✕4になりますね 3^2(もと●) + 3*2+1(追加○) =4^2 こういうことです。 >>289 >>291 確かにそういう計算をしてることになりますね!数式って凄いなあ 次の無限級数が収束するxの範囲をそれぞれ求めよという問題です 一様収束ではなく収束なので解き方が分からないですどうかお助けを…… Σ[n=1,∞]1/(1+nx^n) Σ[n=1,∞]1/(n^2-x) Σ[n=1,∞]|x|/(1+|x|)^n >>273 n=7まで一致する式ができた 1783n^5−83n^6−15785n^4+71005n^3−166892n^2+198292n+1485×2^(n+3)−112080 q=――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 66{63n^5−3n^6−545n^4+2405n^3−5572n^2+6892n+480(2^n−9)} >>293 Σ[n=1,∞]1/(1+nx^n) |x|<1のときは項が0に収束しない。|x|>1のときは絶対収束する。 x=1のときは対数発散する。x=-1のときはn=1の項が1/0になって未定義。(n=1の項が無ければ条件収束) Σ[n=1,∞]1/(n^2-x) x=-1,-4,-9,-16,... なら1/0の項が出てくるので未定義。それ以外なら絶対収束する。 Σ[n=1,∞]|x|/(1+|x|)^n 具体的に計算できる。x=0のとき0、それ以外のとき1に収束する。 集合Sに対して、P(S)でSの巾集合を表す。 Fin(S) := {A∈P(S)|Aは有限集合} とする。 Xを集合とする。 S⊆P(X)とする。 O(S)でSによって生成される開集合系とする。 O(S)を具体的に表したい。 O(S) = { ∪_{T ∈ F} ∩T | F ⊆ Fin(S) } でいいんですかね? >>296 自己解決しました この表し方でいいみたいですね 二次関数の最大と最小を求める時に最後 8a-4とかの文字式が答えになるんですがどこをどう代入すればこの式になるか分かりません グラフは描けるんですが… >>298 君は問題を端折らずに書いたほうがいい もっと言えば画像で上げたほうがいい >>295 ありがとうございます 過程も書いて頂けると助かります…… >>302 どの問題について聞いてるの? そのページのどの問題を解いても 8a-4なんて式は出てこないようだが >>301 Σ[n=1,∞]1/(1+nx^n) |x|<1のときは項が0に収束しない。←自明 |x|>1のときは絶対収束する。←n≧2のとき |1+nx^n| > (n|x|^n)-1 > |x|^n と評価する。 x=1のときは対数発散する。← 1/(1+n) > ∫[n+1〜n+2] (1/x) dx と評価する。 x=-1のときはn=1の項が1/0になって未定義。(n=1の項が無ければ条件収束)←絶対値が単調減少する交代級数は収束する。 Σ[n=1,∞]1/(n^2-x) 訂正 × x=-1,-4,-9,-16,... なら1/0の項が出てくる ○ x=1,4,9,16,... なら1/0の項が出てくる xがこれらの値以外であるとき m^2-x>0 を満たすmを適当に選ぶと n≧m+1 のとき n^2-x = (n-m)^2 + 2nm + m^2 - x > (n-m)^2 Σ[n=1,∞]|1/(n^2-x)| < Σ[n=1,m]|1/(n^2-x)| + Σ[n=m+1,∞]1/(n-m)^2 < ∞ Σ[n=1,∞]|x|/(1+|x|)^n ただの等比級数の和 >>304 本当に助かりました 丁寧にありがとうございます >>303 適当な例題をアップしてしまったのが悪かったですね… 8a-4のことは忘れていただいて構いません a<0のとき 最小値a^2+1 0≦a≦2のとき… とあるんですが問題の始めに与えられた式y=x^2-2ax+a^2+1 (0≦a≦2) からa^2+1などの文字式をどうやって導き出すのかが分からないんです >>306 ちゃんと例題の真似をして解いたのか? 区間の両端か軸での値として計算すれば出てくるはず >>307 解決しました、ありがとうございます! 難しく考えすぎていました… ヒマラヤさんは二項定理がわからない、最強の定理ですね ヒマラヤさんは三角関数がわからない これも大事ですね ∠B=∠Cである△ABCがある。 その辺CAを一辺とする正三角形△CADで、頂点Dが直線CAに関してBと反対側にあるようなものを作る。 このとき、以下の問いに答えよ。 (1)∠Bの内角を2等分する直線Lの上に△CADの内心Iが乗るという。△ABCの形状はどのようであるか述べよ。 (2)(1)において、内心Iを以下に置き換えた場合、△ABCの形状はどのようであるかを述べよ。 (i) 外心O (ii) 重心G (iii) 垂心H 大量の白板と黒板があり、どちらの板も一辺の長さが1の正方形の形状をしている。 いま床の上に白板1枚が置かれている。 この状態から次のような操作(T)を行う。 (T)表が出る確率が0.8のコインがある。 このコインを振って表が出れば、一番右側の板に白板1枚を貼り付ける。 ただし板が1枚の場合はその板を「一番右側の板」とみなす。以下も同様である。 裏が出れば、一番右側の板に黒板k枚を貼り付ける。ここでkは自然数である。 いずれの操作を行った場合も、板を貼り付けて出来上がった新しい板は、縦の長さが1、横の長さが1より大きい自然数の長方形となる。 このとき、以下の問いに答えよ。 (1)(T)を繰り返し、板の並びに「黒白黒」が現れた時点で操作を終了する。最終的に出来上がった長方形の横の長さの期待値E(k)をkで表せ。 (2)8≦E(k)≦10となるkの範囲を求めよ。 5人中3人が1列に並ぶときの並び方の総数を求めなさい。 お願いします。。。 >>317 それくらいはまず書き出せよ どうすればもれなく書き出せるかを考えてみれば数式もたぶんわかる http://fast-uploader.com/file/7093485013825/ 上の画像で式が成り立たないと思うんですけどどうやって証明するんですか? u_2(0)が0じゃないと駄目なきがするのですが >>319 証明は、Casoratian の定義式だけあればよく、 C(r) = | u1(r) u2(r) | | u1(r+1) u2(r+1) | = u1(r) u2(r+1) - u2(r) u1(r+1) = u1(r) u1(r+1) {u2(r+1)/u1(r+1) - u2(r)/u1(r)} = u1(r) u1(r+1) Δ{u2(r)/u1(r)}, よって u2(n)/u1(n) = u2(0)/u1(0) + Σ[r=0,n-1] Δ{u2(r)/u1(r)} = u2(0)/u1(0) + Σ[r=0,n-1] C(r)/{u1(r)u1(r+1)}, ここで u2(0)=0 を使うと… Casoratian はつまり Wronskian の 差分version かな。 >>320 u2(0)=0とはどこにも書いてないんですけど? >>319 これはどの教科書のexerciseですか? >>322 画像の黄色く光っているところの文字列をグーグルで検索してみてください >>323 あった。thx https://books.google.co.jp/books?id=gAPqBwAAQBAJ& ;pg=PA67&lpg=PA67&dq=contemplate+the+second+order+difference+equation&source=bl&ots=sWOAD9FkYq&sig=6ciWUQi6ZWeVSU5zY2eaK5JyPV4 &hl=ja&sa=X&ved=2ahUKEwjD_oTP8NfdAhU1HjQIHSEoAmEQ6AEwDHoECEkQAQ#v=onepage&q=contemplate%20the%20second%20order%20difference%20equation&f=false 〔問題〕 次の2階差分方程式を考えよう。 u(n+2) + p1(n) u(n+1) + p2 u(n) = 0, その解を u1(n),u2(n)、それらのCasoratian を C(n) とするとき C(n+1) = p2 C(n) = …… = (p2)^{n+1} C(0), を示せ。 このスレも 過疎らし庵... >>324 の本の p.60 にあった。 Lemma 2.13 (Abel's lemma) C(n) = {Π[i=0,n-1] p2(i)} C(0), … (2.2.9) >>315 (T)をシミュレーションしてみました。 黒白黒=裏表裏と続くときの表と裏の回数の表の回数、裏の回数の10万回シミュレーションでの平均値は [1] 28.98207 [1] 7.24779 長方形の横の長さの期待値E(k)は 28.98207 + 7.24779*k に近似するという結果が得られました。 解析でとく頭はないのでご容赦。 >>293 蛇足ですが… (2) 無限級数Σ[n=1,∞] 1/(nn-x) は x≠平方数 のとき収束し、 x>0,x≠平方数のとき {1 − (π√x) cot(π√x)}/2x, x=0 のとき ζ(2) = ππ/6 = 1.644934… x<0 のとき {(π√(-x))coth(π√(-x)) − 1}/2(-x), >>318 総数より、列挙する方が難しかった。注目する3人が1,2,3とするとその並び方は > perm[i,] [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 2 3 4 5 [2,] 1 2 3 5 4 [3,] 1 3 2 4 5 [4,] 1 3 2 5 4 [5,] 2 1 3 4 5 [6,] 2 1 3 5 4 [7,] 2 3 1 4 5 [8,] 2 3 1 5 4 [9,] 3 1 2 4 5 [10,] 3 1 2 5 4 [11,] 3 2 1 4 5 [12,] 3 2 1 5 4 [13,] 4 1 2 3 5 [14,] 4 1 3 2 5 [15,] 4 2 1 3 5 [16,] 4 2 3 1 5 [17,] 4 3 1 2 5 [18,] 4 3 2 1 5 [19,] 4 5 1 2 3 [20,] 4 5 1 3 2 [21,] 4 5 2 1 3 [22,] 4 5 2 3 1 [23,] 4 5 3 1 2 [24,] 4 5 3 2 1 [25,] 5 1 2 3 4 [26,] 5 1 3 2 4 [27,] 5 2 1 3 4 [28,] 5 2 3 1 4 [29,] 5 3 1 2 4 [30,] 5 3 2 1 4 [31,] 5 4 1 2 3 [32,] 5 4 1 3 2 [33,] 5 4 2 1 3 [34,] 5 4 2 3 1 [35,] 5 4 3 1 2 [36,] 5 4 3 2 1 > >>327 100万回での平均が re = replicate(1e6,f()) mean(re[1,]) ; mean(re[2,]) [1] 29.01175 [1] 7.252559 >>328 補足 x > 0, x≠平方数のとき y≒0 では πcot(πy) ≒ 1/y, また、cot(πy) は周期1をもつから、 πcot(πy) = 1/y + Σ[n=1,∞] {1/(y-n) + 1/(y+n)} = 1/y + 2yΣ[n=1,∞] 1/(yy-nn), x<0 のとき y≒0 では πcoth(πy) ≒ 1/y, また、coth(πy) は周期 i をもつから、 πcoth(πy) = 1/y + Σ[n=1,∞] {1/(y-ni) + 1/(y+ni)} = 1/y + 2yΣ[n=1,∞] 1/(yy+nn), >>318 理解できました! 5C3 だと思っていましたが、5P3でしたね。。 どうもすみませんでした。 【天文台閉鎖、FBI】 アポロ捏造のキューブリックも真っ青、太陽に映ったのはマ@トレーヤのUFO http://rosie.5ch.net/test/read.cgi/liveplus/1537840672/l50 おまいらが注目しないから宇宙人は出てこれない、その結果、地球の放射能危機がどんどん進んでしまう! (1)k! + m! = n!を満たす自然数の組(k,m,n)をすべて求めよ。 (2)いずれも2以上の自然数かつすべて異なる自然数の組(m,n,p,q,r,s)で、以下の等式を満たすものは存在するか。 mCn = pCq + rCs >>294 n=8まで一致する式ができた 7{589n^7−76252n^6+1473418n^5−12519640n^4+55110541n^3−127896988n^2+150467292n+66825×2^(n+7)−83666160} q=―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 495{34286n^5−25n^7−1316n^6−317240n^4+1446935n^3−3416084n^2+4304724n+5040{2^(n+6)−551}} 領域3x^3+(4y-1)x^2-(37y^2+22y-1)x+(14y^3+23y^2-6y)≧0 と直線x=tとの共有点のうち、y座標が最大となるものの座標を求めよ。 >>334 31以下では 1!+ 1! = 2! は確認 >>339 総当たりでPCで計算 63以下でも 1!+ 1! = 2! のみ >>334 (1) k! < k! + m! = n! より k < n。 よって、k!/n! ≦ (n-1)!/n! = 1/n。同様に、m!/n! ≦ 1/n。 1 = n!/n! = k!/n! + m!/n! ≦ 2/n より、n≦2。 したがって、(k,m,n)=(1,1,2)のみ。 Haskell先生に100以下を計算してもらいました。 Prelude> let fact n = if n == 0 then 1 else n * fact (n - 1) Prelude> print [(k,m,n) | k <- [1..100], m <- [1..100], n <- [1..100], fact(k) + fact(m) == fact(n) ] [(1,1,2)] よろしくお願いします。 モルモットにAを投薬したところ、 250匹中200匹の治療に成功した。 B薬の場合は、180匹中162匹であった。 B薬の方がA薬より有効性が高いかどうか、有意水準5%で検定しなさい。 Aを投薬で250匹中200匹の治療に成功 Bを投薬で250匹中225匹の治療に成功 >>334 6C2=15 5C4=5 10C9=10 6C2 = 5C4 + 10C9 10以下の組み合わせをHaskellで出すと [(6,2,5,4,10,9),(6,2,10,9,5,4),(9,2,6,4,7,5),(9,2,7,5,6,4),(10,2,5,3,7,4), (10,2,7,4,5,3),(6,3,5,2,10,9),(6,3,10,9,5,2),(9,4,10,3,6,5),(9,4,6,5,10,3), (9,4,6,5,10,7),(9,4,10,7,6,5),(8,5,9,2,6,3),(8,5,6,3,9,2),(8,5,6,3,9,7), (8,5,9,7,6,3),(9,5,4,2,10,3),(9,5,4,2,10,7),(9,5,10,3,4,2),(9,5,10,7,4,2), (8,7,3,2,5,4),(8,7,5,4,3,2),(9,8,3,2,6,5),(9,8,6,5,3,2),(10,8,5,2,7,3), (10,8,5,2,7,4),(10,8,5,3,7,4),(10,8,7,3,5,2),(10,8,7,4,5,2),(10,8,7,4,5,3), (10,9,3,2,7,6),(10,9,4,3,6,5),(10,9,6,5,4,3),(10,9,7,6,3,2)] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる