分からない問題はここに書いてね447

[0001 １３２人目の素数さん 2018/09/16(日) 23:01:23.58 ID:tU22P37B]

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね446
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1534342085/

[0002 １３２人目の素数さん 2018/09/16(日) 23:09:36.42 ID:JWphhC/O]

２げつ

[0003 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 00:39:47.36 ID:T7a194so]

削除依頼を出しました

[0004 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 09:47:40.16 ID:sCsU7dE3]

高2のベクトルの問題です
「原点O,点A(1,0,0),B(0,1,0)C(0,0,1)を頂点とする四面体OABCについて↑OA=a ↑OB=b ↑OC=cとする。
四面体OABCの体積とそれに内接する球の体積を求めよ。」
四面体の体積は簡単ですが球の体積がわからないです。
多分、四面体の内心を求めて球の半径を出すんだと思いますがやり方がわからないです。
解説お願いします。

[0005 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 09:59:37.42 ID:DDPvQ5//]

内心の座標は求める必要ないです
平面における三角形の内接円の半径の求め方と同じようにして求めることができます
もっと具体的にいうと、体積についての等式を導きましょう

[0006 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 10:10:13.35 ID:sCsU7dE3]

なるほど
四面体の体積=1/3*四面体の表面積*内接球の半径
を使うと半径が求められました。
頑張って内心を求めようとしてたのはアホでしたね（笑）
ありがとうございました。

[0007 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 10:44:40.67 ID:iDwWzM3i]

>>4
平面ABCの式は　x+y+z = 1,
内心 O(r,r,r)
△ABCの中心は　H(1/3, 1/3, 1/3)
　OH = (1/3 - r)√3 = r,
　r = 1/(3+√3) = 0.211325

>>5
4面体の体積 V = 1/6,
�儖AB = �儖BC = �儖CA = 1/2,
△ABC は1辺√2 の正△だから (√3)/2,
表面積 S = (3+√3)/2
　r = 3V/S = 1/(3+√3) = 0.211325

>>6
この問題では内心 O(r,r,r) なので、どちらでも同じ。

[0008 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 10:49:52.24 ID:uN/iN5jq]

x^3＋y^3＝x^2＋42xy＋y^2　を満たす正の整数の組(x,y)をすべて求めよ

学校の宿題で出されました
全く歯が立ちません（＞＜）
宜しくお願いしますM(__)M

[0009 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 11:31:25.15 ID:HGoJWhjD]

グラフ化してみれ

[0010 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 12:20:58.93 ID:iDwWzM3i]

>>8

x^3 + y^3 ≧ (1/4)(x+y)^3,

xx +42xy +yy ≦ 11(x+y)^2,

これらを与式に入れて
　x+y ≦ 44,

(x, y) = (1, 7)　(7, 1)　(22, 22)

[0011 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 15:13:23.72 ID:nHx7kmYQ]

Haskell先生に探してもらいました。

*Main> print [(x,y) | x <- [1..1000], y <- [1..1000], x*x*x + y*y*y == x*x +42*x*y +y*y ]
[(1,7),(7,1),(22,22)]

[0012 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 16:03:45.11 ID:nHx7kmYQ]

C言語に1万以下の正整数で探してもらいました。

http://codepad.org/ZZXRqHX7

off lineでも10万個にしてみました。

C:\pleiades\workspace\xy\Debug>xy 100000 100000
xy 100000 100000
1 : x = 1.000000, y = 7.000000
2 : x = 7.000000, y = 1.000000
3 : x = 22.000000, y = 22.000000

[0013 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 18:16:27.49 ID:8acpOrP5]

自殺をしたら、地獄に落ちて苦しむか、生前よりもさらに辛い状態で生まれてくるか、
生前にクリアできなかった課題と全く同じ課題をクリアするために、
再び生まれてくることになるのでしょうか？

[0014 学術 2018/09/17(月) 18:26:22.39 ID:jlhqH3K5]

自殺は憑き物のコーチの質の良さが分かれ道。無神論者になるもよし、有神論なら
赤い悪魔が先達。サッカーコーチでも自殺点に無理解ではない。

[0015 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 18:32:47.87 ID:lVBV3yvT]

>>13
｢生きがいの創造｣読んでみ
生まれ変わりが科学的に立証されてるって国立大学の教授がエピソード交えて喋ってるぞ

[0016 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 18:35:34.72 ID:vfa2x310]

390×545の長方形の紙から117×156の長方形を出来るだけ多く切り取りたいです。但し、切った紙は糊やテープなどで貼り合わせる事は出来ません。

長辺を77切って捨てれば10枚切り取れますが、なんとか11枚切り取る方法はありませんか?ないとしたら、どうやって証明すればいいですか?

また、一般にm×nの長方形からa×bの長方形を切り取る最大の枚数を求める方法はありますか?

[0017 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 18:50:19.12 ID:8acpOrP5]

>>15
その本はどんな内容の本ですか？
少しだけ気になります。

[0018 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 19:55:29.73 ID:UGjqumaZ]

>>16
その手のやつは packing problem というやつで計算アルゴリズムは存在はするけど、実用的な速度で動くものはないと思う。
packing problem でググってみましょう。

[0019 １３２人目の素数さん 2018/09/17(月) 20:40:58.80 ID:lVBV3yvT]

>>17
アマゾンのレビュー見ればいい
評価自体はクソ高い
経済が専門の国立大学教授が生まれ変わりをテーマに生きがいを語る
っていうか人生観が変わったって言う色んな人のエピソードを紹介するのがメインの本
著者のスタンスとしては｢この世は人間は生まれ変わっている。それは科学的に証明されている。
詳しくは巻末の各種論文を見てね。こう言う話をするとインチキ霊媒師とかのインチキ話も入りがちだから
参考に上げる論文はまともなアカデミックの論文だけだから信用性は大丈夫。｣ってな感じ
で、そういう断りをしておいて、内容は｢僕は先生の論文を読んだおかげで人生観が変わりました。あざっす｣っていうお礼の手紙を紹介するのがほぼ全部

[0020 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 01:32:22.46 ID:FYX0STfj]

失礼します。
この積分を解きたいのですが、お力を貸して頂けないでしょうか？
お願いいたします。
https://i.imgur.com/5V8vCFM.jpg

[0021 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 02:11:37.75 ID:tjDhjgNx]

wolfram様によれば解析的に解けないらしい
テイラー展開で近似する方法はある

[0022 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 02:12:35.00 ID:4du09Zrz]

不定ですか

[0023 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 03:55:40.62 ID:Gqtu9UtM]

方程式
exp(x)=ax+b
が解析的に溶けるためのa,b　？

[0024 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 04:03:31.11 ID:VmGjAMY2]

>>20

分子を (√B) e^(-Ayy/2) = Y　とおく。　被積分函数をマクローリン展開して

√{B e^(-Ayy)} / {1 + B e^(-Ayy)}^(1/4)

　=　Y / (1+YY)^(1/4)

　= Y -(1/4)Y^3 +(5/2^5)Y^5 -(15/2^7)Y^7 +(195/2^11)Y^9 -(663/2^13)Y^11 +(4641/2^16)Y^13 -(16575/2^18)Y^15 +(480675/2^23)Y^17 - …,

項別に積分すると

∫[0, x] Y^k dy = B^(k/2)∫[0, x] e^(-k･Ayy/2) dy = B^(k/2)･√(π/2kA)･erf(√(kA/2)･x),

[0025 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 06:28:37.17 ID:hOW38KGZ]

Xを位相空間、pt∈Xとする
このとき1次ホモロジー群H_1(X,pt)とH_1(X,∅)が同型なことはEilenberg-Steenrodの公理系からどのようにして示せるでしょうか？

長完全系列
...→H_n(pt,∅)→H_n(X,∅)→H_n(X,pt)→H_n-1(pt,∅)→...から、
n≧2ではH_n(pt,∅)=0だからH_n(X,∅)とH_n(X,pt)は同型
n=0では分裂するのでH_n(X,∅)はH(X,pt)⊕H(pt,∅)と同型
までは分かるのですが、n=1のときが分かりません

[0026 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:38:44.63 ID:3cV882Ep]

>>8
[第１段]：x^3＋y^3＝x^2＋42xy＋y^2 …�@ の両辺はxとyの対称式だから、
(x,y) の存在性の考察や、もし (x,y) が存在するとしたときに (x,y) を求める考察では、x≧y≧1 としても一般性は失わない。
仮に、�@ を満たすような正の整数の組 (x,y) が存在するとする。
1)：x＝y＝1 とすると、�@ の等号は成り立たないから (1,1) は不適。
2)：(x,y)＝(2,1) とすると、同様に、�@ の等号は成り立たず (2,1) は不適。
3)：(x,y)＝(2,2) とすると、同様に、�@ の等号は成り立たず (2,2) は不適。
4)：x≧3、y＝1 のとき。このとき、�@ から x^3＝x^2＋42x だから、x≠0 から x^2−x＝42。従って、x(x−1)＝42 となる。
故に、x＝7。逆に (x,y)＝(7,1) は �@ を満たす。故に、(x,y)＝(7,1) は適する。
[第２段]、5)：x≧3、y≧2 のとき。m＝x＋y とおく。x^3＋y^3＝m(x^2−xy＋y^2) で、x^2−xy＋y^2＞0 だから、�@ から、
m＝(x^2＋42xy＋y^2)/(x^2−xy＋y^2)＝1＋43xy/(x^2−xy＋y^2) …�A
で x^2−xy＋y^2≧xy＞x,y、従って x^2−xy＋y^2 は2正整数 x,y のどちらをも割り切らない。
故に、x^2−xy＋y^2 は 素数43 か 43x か 43y か 43xy のどれかを割り切る。

[0027 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:43:48.37 ID:3cV882Ep]

>>8
(>>26の続き)
[第３段]：或る (x,y) が存在して x^2−xy＋y^2 は 素数43 か 43x か 43y のどれかを割り切るとする。
5-1)：x^2−xy＋y^2 が43を割り切るとき。x≧y≧2 としているから x^2−xy＋y^2＝43 …�B となる。
x≧3、y≧2 としているから、y^2 の値は4、9、16、25、36の何れかの値になる。従って、yの値は2、3、4、5、6の何れかになる。
5-1-1)：y＝2 のとき。このとき �B から x^2−2x＝x(x−2)＝39。
39は 39＝3・13 と素因数分解出来るから、xの値は存在しない。よって、矛盾。
5-1-2)：y＝3 のとき。このとき �B から x^2−3x＝x(x−3)＝34。
34は 34＝2・17 と素因数分解出来るから、同様に、xの値は存在しない。よって、矛盾。
5-1-3)：y＝4 のとき。このとき �B から x^2−4x＝27。しかし、x^2−4x−27＝0 の
2解 x＝2±√31 はどちらも正整数ではないから、正整数xについて矛盾が生じる。
5-1-4)：y＝5 のとき。このとき �B は x^2−5x＝18 となる。しかし、x^2−5x−18＝0 の2解
x＝(5±√97)/2 はどちらも正整数ではないから、正整数xについて矛盾が生じる。
5-1-5)：y＝6 のとき。このとき �B は x^2−6x＝7 となる。従って、x^2−6x−7＝(x−7)(x＋1)＝0 から、x＝7。
しかし、(x,y)＝(7,6) のときは �@ つまり x^3＋y^3＝x^2＋42xy＋y^2 について、
(左辺)−(右辺)＝7^3＋6^3−(7^2＋42・6・7＋6^2)＝7^2・(7−1)＋6^2・(6−1)−42・6・7
　　　　　　　　＝7^2・6＋6^2・5−42・6・7
　　　　　　　　＝49・6＋36・5−42^2＝294＋180−42^2＝474−42^2
　　　　　　　　≠0
となって、(x,y)＝(7,6) のときは �@ が成り立たない。よって、矛盾が生じる。
5-1-1)〜5-1-5) から、x^2−xy＋y^2 が43を割り切るとき、何れの場合も矛盾が生じる。

[0028 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:53:41.24 ID:3cV882Ep]

>>8
(>>27の続き)
5-2)：x^2−xy＋y^2 が43xを割り切るとき。このとき、或る正整数nが存在して、n(x^2−xy＋y^2)＝43x となる。
よって、nは素数43か正整数xのどちらかを割り切る。
5-2-1)：nが素数43を割り切るとき。43の正の約数は1と43の2つに限るから、n＝43 としてよい。
そこで、n＝43 とすると、x^2−xy＋y^2＝x、従って x(x−y−1)＋y^2＝0。x≧y≧2 としているから x＜y＋1、
故に x＝y から、x^2−x＝x(x−1)＝0。しかし、これを満たすxは存在せず矛盾する。
5-2-2)：nがxを割り切るとき。xの最大の約数はxなることに着目すると n＝x としてよい。そこで、n＝x とすると、x^2−xy＋y^2＝43、
ゆえに x^2−xy＋y^2 は43を割り切る。しかし、5-1)のときと同様に考えると、矛盾が生じることになる。
5-2-1)、5-2-2) から、nについて何れのときも矛盾が生じる。
故に、x^2−xy＋y^2 が43xを割り切るとき、正整数nは存在しないことになって、矛盾が生じる。
5-3)：x^2−xy＋y^2 が43yを割り切るとき。x≧y, x≧3, y≧2 としているから、5-2) と同様に考えると、矛盾が生じる。
5-1)、5-2)、5-3) から、何れのときも矛盾が生じるから、x^2−xy＋y^2 (x≧y≧2, x≧3) が
43、43x、43y のどれかを割り切るようなxとyの組 (x,y) (x≧y≧2, x≧3) は存在しない。

[0029 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 08:59:41.55 ID:3cV882Ep]

>>8
(>>28の続き)
[第４段]、5-4)：x≧3、y≧2 であって、x^2−xy＋y^2 が43xyを割り切るとき。
[第２段] までの議論に従い �@ を満たす組 (x,y) が存在するとする。すると、x^2−xy＋y^2＞x,y であって、
x^2−xy＋y^2 は x,y のどちらをも割り切らない。また、x^2−xy＋y^2 は43、43x、43y の何れをも割り切らない。
43xy の約数をすべて挙げると43、x、y、43x、43y、xy、43xy となるから、x^2−xy＋y^2 は xy か 43xy のどちらかを割り切る。
5-4-1)：x^2−xy＋y^2 が xy を割り切るとき。すると、xy の最大の約数は xy なることに着目すると x^2−xy＋y^2＝xy としてよい。
そこで、x^2−xy＋y^2＝xy とすると、(x−y)^2＝0 となって、x＝y を得る。従って、�A から、
m＝1＋43xy/(x^2−xy＋y^2)＝1＋43x^2/(x^2−x^2＋x^2)＝1＋43＝44。
m＝x＋y としていたから x＋y＝44 であり、x＝y＝22。逆に、(x,y)＝(22,22) は �@ を満たすから、(x,y)＝(22,22) は適する。
5-4-2)：x^2−xy＋y^2 が 43xy を割り切るとき。x^2−xy＋y^2 は43を割り切らないから、5-4-1)の議論に帰着される。
5-4-1)、5-4-2) から、�@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(22,22)。
[第５段]：5-1)、5-2)、5-3)、5-4) から、x≧3、y≧2 (x≧y) のとき �@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(22,22)　　　(　5：x≧3、y≧2 のとき終わり　)。
1)〜5) から、x≧y≧1 とした上での �@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(7,1)、(22,22)。
[第６段]：�@ の左辺 x^3＋y^3 と �@ の右辺 x^2＋42xy＋y^2 がxとyの対称式なることに注意して x≧y≧1 としていたから、
はじめに y≧x≧1 として上と同様に考えれば、�@ を満たす正整数 x,y の組は (x,y)＝(7,1)、(1,7)、(22,22) の3つ。

[0030 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 09:07:58.84 ID:+9yVRIw4]

wが1以外の全ての値を取るということは証明しなくてもよいのですか？
それはなぜですか？

https://i.imgur.com/amM3qaw.jpg

[0031 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 09:11:13.54 ID:zz7LfpDa]

自分で解いた解答がださいと思ったので書かなかったが、遥かに上を行くのが現れた

[0032 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 09:25:46.63 ID:3cV882Ep]

>>8は、きれいには解けんであろう。

[0033 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 09:29:41.32 ID:+9yVRIw4]

>>10
1番目の恒等式はどうやったら証明できますか？

[0034 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 10:02:34.07 ID:VmGjAMY2]

>>9

43/3 = a とおく。

0 = x^3 + y^3 - (xx+42xy+yy)

= {x+y+(42-2a)}{xx-xy+yy -a(x+y) +a(42-2a)} - a(42-2a)^2

= X^3 + Y^3 +42(XX-XY+YY) -a(X+Y) -aa(4a-42)

= (X+Y+42)(XX-XY+YY -a) - a(42-2a)^2,

ここに、X = x-a,　Y = y-a,

漸近線：　x+y+(42-2a)=0　(X+Y+42=0)

>>33

4(x^3 + y^3) - (x+y)^3 = (x+y){4(xx-xy+yy) -(x+y)^2}
　= (x+y){3(x-y)^2}
　≧ 0

[0035 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 10:05:24.72 ID:AUgeu19y]

高千穂交易　イスラエルのスーパースマート社の新世代チェックアウトシステム「Ｓｕｐｅｒｓｍａｒｔ」の取り扱いを開始

[0036 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 10:11:29.71 ID:VmGjAMY2]

>>34

デカルトの葉線に似てるけど、チョット違うか。
原点で自身と交叉する。

[0037 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 10:52:40.84 ID:0aLrbzrN]

>>25
H_0(pt,∅) → H_0(X,∅) が monic を Eilenberg-Steenrod だけから示すとこ？
出来るんだっけ？

[0038 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 11:02:44.80 ID:0aLrbzrN]

>>25 >>37
出来た。
f:pt→X、g:X→pt としてgf = 1_pt。
よって H_0(g)H_0(f) = 1なのでH_0(f)はmonic。

[0039 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 11:19:23.67 ID:hOW38KGZ]

>>38
モニックになるところまでは分かっていたのに0→ H_1(X,∅)→H_1(X,pt) → Ker=0がつくれていることに気がついていませんでした
ありがとうござます！

[0040 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 11:21:13.08 ID:0aLrbzrN]

３行目までの記述は厳密には
w=z/(z+1)、w≠1⇒ z = -w/(w-1)
だけど受験数学ではこの記述が
「逆にw≠1のとき、z = -w/(w-1)とおけば先の変形を逆にたどってw=z/(z+1)になる。」…�@
と読んでもらえる。
もちろんこんなの厳密な数学の文章としてはアウト。
しかしそれは数学の教科書ではなく、受験数学の教科書だから、受験数学では書かなくても許してくれることを ”模範” 解答に書くことはない。
�@のような拡大解釈は日本の長い受験制度のなかで”defuct standard”(=既成事実化された標準)として定まって来たものだから覚えとくしかない。
べつにそれは利用しなくてもいい事だから覚える必要もないけど。

[0041 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 11:43:24.16 ID:48smdFkf]

>>40

誤： defuct standard
正： de facto standard

[0042 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 12:15:43.97 ID:0aLrbzrN]

>>41
ラテン語だったのか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%AF%E3%83%88%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%89

[0043 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 14:01:29.36 ID:Gqtu9UtM]

a,bを実数とする。
媒介変数θ（0≦θ<2π）を用いて
x=acosθ+bsinθ
y=bcosθ-asinθ
と表されるxy平面上の曲線Cについて、以下の問に答えよ。

（1）Cが一点または線分になるときのa,bの値または条件を求めよ。答えのみでよい。

（2）C上の点のx座標の最小値をm、最大値をMとする。直線x=t（m≦t≦M）とCの交点の個数を求めよ。

[0044 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 16:49:42.63 ID:VmGjAMY2]

>>43

(1)
　xx + yy = aa + bb,
　Cが一点となるのは a=b=0 のとき。それ以外は円周になる。
　線分にはならない。

(2) m = -√(aa+bb),　M = √(aa+bb),
　t=m のとき　1個　　(x, y) = (m, 0)
　m<t<M のとき　2個　(x, y) = (t, ±√(aa+bb-tt))
　t=M のとき　1個　　(x, y) = (M, 0)

[0045 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 18:40:43.54 ID:I+fCkgCe]

>>26-29って誤答おじさんだよね？

[0046 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 18:52:24.72 ID:DmF3CBzT]

f(x,y)=1/(1+x^2+y^2)を(0,0)まわりでテイラー展開せよ
わからないのでどうかお願いします

[0047 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 18:57:11.61 ID:x0XO2pL+]

わからないんですね

[0048 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 19:09:36.65 ID:4du09Zrz]

計算知能なら自動で展開する

[0049 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 19:36:30.83 ID:onEza3By]

>>29
xとyが互いに素だと仮定してない？
互いに素ではなくない？

＞43xy の約数をすべて挙げると43、x、y、43x、43y、xy、43xy となるから

[0050 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 19:53:36.57 ID:ldwT9XMl]

>>41
defunct standard なら今は亡き標準

[0051 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 20:12:14.97 ID:I+fCkgCe]

>>49
昔から馬鹿で有名な誤答おじさんに何言っても無駄

[0052 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 20:17:46.86 ID:9rAY//KM]

>>30
質問とは関係ないけど

z を -10iから10iまで変化させてグラフを書いてみた。

z=seq(-10i,10i,length=100)
plot(z/(1+z),asp=1,bty='l',pch=19)


http://i.imgur.com/rY6bLUr.png

[0053 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 20:31:58.49 ID:6aLe7Rjk]

a＞0として

∫(∞→a) -1/x^2 dx ＝［1/x］(∞→a)＝　1/aですよね？

起点の∞では-0に近づき、全域で常にマイナスのものを積分したのに、求めた面積が正になってしまうのはなぜですか？

[0054 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 20:34:00.16 ID:6aLe7Rjk]

いや、単純に、aから∞まで積分するのの逆だからか………

いやでもなんでマイナスになるんだ……？

積分範囲を逆転させて常に負の関数を積分すると正の値が出るのはなぜですか？

図形的にはどういう意味があるんですか？
アホな質問ですみませんがお願いします

[0055 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 21:08:54.44 ID:48smdFkf]

問7

同値な正方行列のトレースは等しいこと、すなわち

tr(P^(-1) * A * P) = tr(A)

を示せ。

この解答を見てみたところ、この問題よりも前の問題である問3と問5より明らか、と書いてありました。

同値な正方行列の固有多項式は等しいから、問5のみから明らかだと思います。

問3はどこで使うのでしょうか？


問3
n 次正方行列 A, B, C について、 A と B、 B と C が同値ならば A と C は同値であることを示せ。


問5
A の固有多項式を g_A(t) = t^n + a_(n-1) * t^(n-1) + … + a_1 * t + a_0

とするとき、

a_(n-1) = -tr(A)

[0056 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 21:51:21.74 ID:Jq2Da5XV]

>>8
事実上 >>10 で終わってるけど。
p = x+y、q=xyとおいて >>10 より 2≦ p ≦ 44。
与式より
p^3 - p^2 - q(3p+40) = 0。
∴q = (p^3 -p^2)/(3p+40)。
∴27q = (9p^2-129p+1720)-68800/(3p+40)
∴3p+40 は46以上172以下の3でわって1余る68800の約数。
68800 = 2^6・5^2・43
であるから
3p+40 = 2^a 5^b 43^c とおくとき (a,b,c) = (6,0,0),(5,1,0),(2,2,0),(2,0,1)。
それぞれで(d,p,q) = (64,8,7),(100,20,76),(160,40,390),(172,44,484)。
このうちx^2 -px +q = 0が整数解をもつのは(p,q) = (8,7),(44,484)のとき。

[0057 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 21:51:38.42 ID:ywgy1XuA]

問題
A,B,Cのカードが2枚、D,E,F,Gのカードが各1枚、合計10枚ある。このカードを無作為に横一列に並べたとき、左から2枚目がBのカードでかつ3枚目がEのカードである確率はいくらか。

解答
B,Eのカード以外はどのカードも関係ないので、それをまとめてXのカードとします。10枚のカードの中にBのカードが2枚、Eのカードが1枚、Xのカードが7枚あると考えましょう。
並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて、
10!/2!1!7!=360(通り)です。
左から2枚目がBのカード、左から3枚目がEのカードであるのは、他の場所に残りのカード(B1枚、X7枚)を並べればよいので、
8!/1!7!=8(通り)
したがって、求める確率は、
∴8/360=1/45

なぜ、B,E以外のカードをまとめてXのカードとして考えるのか、理解できる人いますか？30歳の私に教えてください。

[0058 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 22:15:32.04 ID:ky7MeYqE]

>>57
わかりにくければB1、B2、E、X1〜X7を並べると考えればいい

[0059 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 22:19:04.92 ID:zz7LfpDa]

>>56
俺の解答と同じだ
上手く 3p+40 を上から押さえないと手計算放棄決定
というわけで、やっぱり実質>>10で終わってるな

[0060 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 22:40:40.93 ID:bTifwJNg]

計算機でやっても何年にもなりそうとかならともかく、”x+y≦44を満たす正の整数の組” ぐらいまで絞れたら実質終了だね。

[0061 学術 2018/09/18(火) 23:01:41.80 ID:bdccv7Cm]

マイナスとマイナスじゃ超マイナスなはず。

[0062 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 23:02:23.19 ID:dotA1T5U]

>>8
A=x+y,B=x-y とおけば、44A^2=A^3+3AB^2+40B^2
B^2について解くと
B^2=A^2(44-A)/(40+3A)
明らかにx,yは正整数なので2≦A、左辺は非負なので、A≦44
この範囲で右辺が整数になるのは、A=8,20,40,44で、平方数になるのはA=8,44
(x,y)=(1,7),(7,1)(22,22)

[0063 学術 2018/09/18(火) 23:06:21.75 ID:bdccv7Cm]

死神死族か。

[0064 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 23:15:21.73 ID:+9yVRIw4]

>>62
超エレガント………

[0065 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 23:19:04.29 ID:zz7LfpDa]

>>62
すげえ、言われてみれば自然な解答だな
絵を描いたら思いつきそうか？

[0066 １３２人目の素数さん 2018/09/18(火) 23:20:11.61 ID:8tNJHaXw]

>>58
ヒントありがとうございます。しかし、まだ理解できません。
もう頭がパンクしそうです。
なぜ残りの7枚を同じ種類のカードとみなせるのか、不思議です。