面白い問題おしえて～な 27問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/29(日) 01:01:12.73

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 14:19:20.33

>>795
追記。問題文にあるように、ABCDEFGH…とAEIBFJ…という探索方法をとっています。P君はQ君が先にBを調べていても4ターン目にちゃんと調べることになってますよ。
要するに、相手が調べ終わった部屋も重複して調べる場合が出てきます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 14:20:35.68

>>797
いや完全に自明だろｗ
全ての箱等価なんだから
くじ引きと同じだぞ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 14:23:30.73

>>801
全く自明じゃないよ、1マスにしか宝がないなら自明だが2マスあれば自明じゃない。
結論はネタバレになるから言わないけど案外面白い結果になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 14:29:52.71

>>802
壮絶なバカだなあ

マスを箱と考える。
箱のセットをコピーして、A～Lのセットを2つ用意する
アタリとなっているの箱の文字はどちらも同じ。

P : AEIBFJCGKDHL
Q : ABCDEFGHIJKL

PQはどの順番でハコを開けていくか？が同じだけ。
ハコの中身がランダムで未知なのに開ける順番で差がつきうるとかお笑いだなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 14:30:20.02

勝利条件が書いてないのだが

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 14:30:35.44

盛大に誤字ったｗ
どの順番でハコを開けていくか？が違うだけ　が正しい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 14:50:03.58

>>803
＞箱のセットをコピーして、A～Lのセットを2つ用意する

それ違う問題だろ。
本問の場合片方が先に見つけたお宝は他方の手には入らない

それを踏まえた上で

P：ABCDEFGHIJKL
Q：BCDEFGHIJKLA

これでもイーブンだと思う？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:00:10.11

>>804
あーごめん、完全に自分のミスです

先に宝を見つけた方が勝ちです。
いずれか1人が(あるいは同時に2人が)宝を見つけた時点でゲームは終了です。すいません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:02:08.47

>>806
100％イーブンだろｗｗｗｗ
頭悪いんだなｗ

お前の言ってるのは
「クジ引きで後に引くのは不利、先に当たりひかれちゃうかもしれないから！」
これと完全に同レベルな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:04:29.78

>>806
マジで分からないのか？

お前の言ってるのは
「どれが当たりか全く分からない12個の箱を、開ける順番を変えるだけで
当たり引くまでの回数の期待値を変えられる」
ってことだぞ？

本気で言ってんならヤバいよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:06:30.41

>>808

P：ABCDEFGHIJKL
Q：BCDEFGHIJKLA

この順に部屋を調べるとして、1個だけのお宝が
A～Lにある10の場合それぞれについて
P、Q のどちらが勝つかわかる？

Aにある場合→Pが先に調べるからの勝ち
Bにある場合→同様にPの勝ち
...

のように

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:08:01.09

>>810
＞Aにある場合→Pが先に調べるからPの勝ち
＞Bにある場合→Qが先に調べるからQの勝ち

の間違いだった

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:12:01.94

>>809
2マスに宝がそれぞれ置いてあるんですよ？？もちろん1マスにしかないならイーブンですが、2マスに宝がある場合、この2つの宝は互いに独立して配置されるわけではないんですよ。
要するに、宝が1マスに重複して置かれることがないから｢宝Aがあるマスに配置された瞬間、宝Bはそのマス以外に配置されることになる｣わけで、その期待値で考える理屈は通用しませんよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:15:24.25

>>809
1つの当たりが10個の箱に入っているとして、

P：ABCDEFGHIJKL
Q：BCDEFGHIJKLA

このように片方が開ける順よりも1つ先の箱を開けることによって、
Qが当たりを引くまでの手数は

1/10の確率でPより9増える (当たりがAの場合)
9/10の確率でQより1減る

双方の当たりを引くまでの手数の期待値は変わらないが、
他方より1でも少なければ勝ちなのでQが勝つ確率は9/10となる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:16:18.29

>>813
＞9/10の確率でQより1減る

Pより1減る、の間違いだな
なんかグダグダ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:17:46.47

宝が一つの場合でも>>810>>811みたいなのを考えると単純な期待値の問題にはならないんじゃ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:19:27.15

>>815
その場合は｢相手が調べ終わっている箱を確かめる｣回数が多い方が負けるでしょうね、、

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:36:38.92

あれ？>>799で終わったと思ってるんだけど？
間違ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:55:19.98

コレ、直感的には自明にイーブンに見えるけど、ちゃんと考えると少なくとも自明じゃないのが面白い。
けど結局イーブンだからなぁ。
縦横でも

P:AEIJFBCGKLHD
Q:ABCDHGFEIJKL

とかにしてイーブンじゃない設定の方が良かったかも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 16:15:00.24

いや、嘘書いた。>>799の残り25通りイーブンじゃないやん。
BEが宝箱ならQ部屋のBにQが入室すらのが2ターン目、EにPが入室するのが6ターン目だからQの勝ち。
同様にして勝敗を埋めて行くと

EIFJK
B QQQQQ
C QQQQQ
D QQQQQ
G PPQQQ
H PPPPQ

となってQの勝ちですね。
直感に反してて面白い。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 16:25:38.90

あかん、まだ嘘書いてる。
残りは50事象だ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 16:31:58.81

いや、合ってる。
やっぱり頭の中だけで考えるとダメだ。
ALは無視して残り10部屋で45通り。
P部屋五部屋のみから選ぶのが10通り。
Q部屋五部屋のみから選ぶのが10通り。
残りは25通り、Q勝ちの方が多い。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 19:14:50.26

なるほどねえ
確かにQの方が微妙に先に見つける場合が多いな

Pが先に見つけるのは以下の26通り
CE,DE,DI,EF,EG,EH,EI,EJ,EK,EL,FG,FH,FI,FJ,FK,FL,GI,GJ,HI,HJ,IJ,IK,IL,JK,JL,KL

Qが先に見つけるのは以下の27通り
BC,BD,BF,BG,BH,BI,BJ,BK,BL,CD,CF,CG,CH,CJ,CK,CL,DF,DG,DH,DJ,DK,DL,GH,GK,GL,HK,HL

同時に見つけるのは以下の13通り
AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ,AK,AL,BE,CI

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 19:46:16.03

何を数え上げているのさっぱりわからんが、12C2=121なので121通りないとおかしい。
イーブンだぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 19:50:19.73

>>788,789,791
e[n] = Σ[r=0,n] binomial(2n-r,r) (2n-2r)! / (n-r)!2^(n-r) と置くと、c[n], d[n]と同じ漸化式
e[n] = (2n-1)e[n-1] + e[n-2] が成り立ち、e[1]=2, e[2]=7 であるから d[n] = (e[n]-7c[n])/2。
>>789 と同様にして lim[n→∞] e[n]/(2n-1)!! = lim[n→∞] Σ[r=0,n] (1/r!)α(n,r) = e であるから
lim[n→∞] d[n]/(2n-1)!! = (e-7e^(-1))/2。

c[n]などはいろいろな表し方がある：
c[n] = Σ[r=0,n] (-1)^(n-r) binomial(n+r,2r) (2r)! / r!2^r
　　 = Σ[r=0,n] (-1)^(n-r) binomial(n+r,2r) (2r-1)!! （ただし (-1)!!=1 とする。）
0以下に延長すると:
e[-5]=266, e[-4]=37, e[-3]= 7, e[-2]=2, e[-1]= 1, e[0]= 1, e[1]=2, e[2]=7, e[3]=37, e[4]=266,
c[-5]=-36, c[-4]=-5, c[-3]=-1, c[-2]=0, c[-1]=-1, c[0]= 1, c[1]=0, c[2]=1, c[3]= 5, c[4]= 36,
d[-5]=259, d[-4]=36, d[-3]= 7, d[-2]=1, d[-1]= 4, d[0]=-3, d[1]=1, d[2]=0, d[3]= 1, d[4]= 7.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 19:58:07.26

>>823
12C2 = 12! / (2! x 10!) = 12x11 / 2 = 66

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 20:01:25.73

>>825
俺の頭が湧いてるのか？
12x11/2 = 11x11＝121

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 20:02:07.31

>>825
ごめん湧いてたwwwwwww

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 23:36:54.15

わからない、教えて
抽選ボックスが2つ、どちらかから1つからボールを1つだけ引き当選の有無を確認する。
抽選ボックスAはボールが3コ、ボックスBは7コ。
一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。

この時どちらのボックスを引くのが良いか？または同じか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 23:48:24.44

>>828

> 一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。

コレは
X : Aに一等1.二等2.Bは全部ハズレ
Y : Bに一等1,二等2,ハズレ4,Aは全部ハズレ
のいずれかであるという意味？
XとYが同様に確からしいとか、なんか条件ないと答えでないんじゃね？
同様に確からしいなら明らかに Aの方がお得だけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 00:05:07.75

>>829
同様に確かと言えるのは3/10が当たりということとどちらかに偏ることは確かだとしか聞いてない

A:1/2 ×3/10=3/20
B:1/2 ×3/7/10=5/7
でBの方がお得になるんだけど感覚として
Aは1/2 ×1/3=1/6で当たり引けるから混乱してる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 00:11:17.55

ランダムに分けるんだけど結果偏っていたという場合の考察

全ての分け方: 10C3通り
うちAに当たりが偏った分け方 : 1通り
うちBに当たりが偏った分け方 : 7C3通り

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 00:12:23.88

>>830
＞A:1/2 ×3/10=3/20

この10はどこから出てきたw

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 00:18:34.12

>>832
10個からボール1つを選ぶけどAは3個しかない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 00:33:44.91

(a) A に偏っている場合
3つのボックスのどれかを開ければ1/3の確率で1等、2/3の確率で2等
1等、2等のいずれかが当たる確率は100%

(b) B に偏っている場合
7つのボックスのどれかを開ければ1/7の確率で1等、2/7の確率で2等
1 等、2等のいずれかが当たる確率は3/7≒43%

Aに偏っているかBに偏っているかが同様に確からしい
(それぞれ1/2の確率)ならA の箱を開ければ1/2の確率で当たりをひける。

じゃなくて「ランダムに分けたんだけどなんか偏っちゃった！」だと
そもそもAに偏ってる(＝当たりが入っている)確率自体がとても低いのでAを選ぶのは危険

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 00:52:26.09

>>834
そうかー
そのランダムなんだけどAってどれくらいの確率なの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 01:11:58.87

1/10c3か?そりゃ低いや
大きい箱の方に引っ張られるのかね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 01:24:07.41

ボックスAに一等が入っているなら
ボックスBに二等が二つ

ボックスBに一等が入っているなら
ボックスAに二等が二つ入っている

という意味だよ

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2018/10/19(金) 01:29:47.49

ごちゃごちゃする前に出題者です。
たとえ話でその後の回答ないので私の方から回答しに来ました。
一般的な確率でなくLOTOを計算しております。
10個のボールの中で前提が1等が1個だけで抽選をし、1等の箱が決まった時点でその箱の中で2等が決まるため同じ箱に偏るとしました。
なので834さんがお答えの通りかなり低いです。1等が3つのボールの箱に入らなければ2等はありませんから。
箱自体に当たりのある確率で３０：７０です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 01:35:33.67

>>824
正解です。素晴らしい。
ちなみに用意の解答
―-
f(n,x) = (-1/x d/dx)^n (exp x/x)
とおけば
x^2 f(n,x) = (2n-1)f(n-1,x) + f(n-2,x)。
とくに p[n] = f(n,1)、q[n] = f(n,-1)とおけば
p[n] = (2n-1)p[n-1] + p[n-2]、q[n] = (2n-1)q[n-1] + q[n-2]。
これとp[1] = 0、p[2] = e、q[1] = -2/e、q[2] = -7/eにより
c[n] = p[n]/e、d[n] = (-7p[n]/e + 2e q[n])2。
一方で (-1/x d/dx)^n (exp x/x)をマクローリン展開して lim[n→∞] f(n,±1)/(2n)!! = ±1。
以上により
lim[n→∞] c[n]/(2n)!! = 1/e、lim[n→∞] d[n]/(2n)!! = (-7/e+e)/2。
―
前わかスレに出てた変形ベッセル関数による表示を利用しています。
(本来のベッセル関数だとx=-1を代入できないのでちょっと一工夫してますが。)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 01:39:41.07

それなら

Aに1等が入っている確率3/10
Aから選んで1等を当てる確率3/10x1/3＝1/10、2等になる確率3/10x2/3＝2/10

Bに1等が入っている確率7/10
Bから選んで1等を当てる確率7/10x1/7＝1/10、2等になる確率7/10x2/7＝2/10

となるからA、Bのどちらの箱を開けても損得はない

偏りがある。当たる確率は1/10。
流石LOTOどちらも満たしてるね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 01:42:14.19

あ、>>839の分母の (2n)!! の所 (2n-1)!! です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:07:40.86

>>838
>>840
回答ありがとうございます。納得しました
あー確率的に同じで偏りがあるから低くなるのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:13:58.97

・a[1]=2
・a[n+1]=a[n]/(1+a[1]+a[2]+…+a[n])
・b[1]=2
・b[n+1]=b[n]/{a[n]+(b[1]+b[2]+…+b[n])/n}
である数列{a[n]}および{b[n]}について以下の問いに答えよ。

（1）極限　lim[n→∞] a[n]　を求めよ。
（2）極限　lim[n→∞] b[n]　を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 03:59:50.81

(1)
エジプトのシエネという町では、年に一度、夏至の日の正午にだけ深い井戸の底まで太陽の光が差し込む。
シエネの北緯は何度か。

hint: 地球の自転軸は公転軸から 23．4°傾いている。

(2)
エジプト第２の都市アレキサンドリアはシエネのほぼ北にあり、その距離は 925 km である。
天文観測から、緯度の差が約 7．2°と分かった。
地球の半径（m）を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。

(実際のアレキサンドリアの緯度　31．22ﾟN、緯度の差 7．82°)
(距離の単位は　スタジア = 185 m が使われていた。)

(3)
司天台（浅草天文台）は伊能忠敬の住居（隠宅）のほぼ北にあり、その距離を測量したところ 2482 m だった。
天文観測から、2ヵ所の緯度の差は約0．025°であることが分かった。
地球の半径（m）を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。

(実際の緯度差は 0．02690°、距離は 3025 m、方位角 9．4ﾟW）
(距離の単位は町、間が使われている。）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 04:04:12.21

>>844

伊能忠敬の住居（隠宅）は
　〒135-0048 江東区門前仲町１丁目18-3先
　緯度　35．67452ﾟN
　経度　139．79422ﾟE

司天台（浅草天文台）は
　〒111-0053 台東区浅草橋３丁目20-12
　緯度　35．70142ﾟN
　経度　139．78876ﾟE
にあった。

・おもしろ地図と測量
http://www5a.biglobe.ne.jp/kaempfer/ac-main.htm →　史跡所在リスト

(4) 地球を「GRS80楕円体」として、この2ヵ所の距離と方位角を計算せよ。

・GRS80楕円体
　長半径（赤道半径）a = 6378137（m）
　扁平率　f = 1/298．257222101

・測量計算（距離と方位角の計算）- 国土地理院
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/surveycalc/bl2stf.html →　十進法度単位

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 07:22:50.64

そうだったのか…
伊能氏が身を削るようにして日本各地の正確な緯度・経度を決めていったのは
地面が曲がっている影響を補正することで、天文予測の精度を画期的に向上するためだった。

日本地図はオマケだった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 07:46:11.79

>>846

毎日新聞・夕刊
http://mainichi.jp/ch180515653i/没後２００年・伊能忠敬を歩く
http://mainichi.jp/ch180408943i/セカンドステージ
http://mainichi.jp/ch180408943i/セカンドステージ/1

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 09:33:43.48

>>795
この問題でQの方が有利になるならば、横長い形をしたマス目のうち2マスに宝を埋めた場合縦に沿って探すより横に沿って探した方が勝ちやすいことが一般の場合にも言えるであろうことが容易に想像出来るわけだけど、その証明は出来るだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 09:34:04.80

分かスレに提出した方がいいかもしれないな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 14:19:39.14

高校数学で解けるであろう問題を2つほど

次の定理を示せ

1. 任意の正の整数は連続しない(則ち,項番号が隣りあわない)フィボナッチ数の和として一意的に表される

2. L_(n+2)=L_(n+1)+L_n, L₁=1, L₂=3
を満たす数列(L_n)は任意の素数pに対してL_p≡1 modpを満たす

序でに1問目は「ゼッケンドルフの定理」,又2問目に出てくる数列は「フィボナッチ数列に付随するリュカ数列」(「ルカス数列」「ルーカス数列とも云う)なる名前が付いているらしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 14:54:26.57

>>843

S = 1 + Σ(k=1,∞) a[n] = 3.91202535564143

(1)
　a[n] ～ 11.12728469988 / S^n →　0　(n→∞)

(2)
　b[n+1] ≒ n･b[n]/{b[1]+b[2]+…+b[n]}　→　1,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/21(日) 21:14:25.02

>>795
シミュレーションしてみた。
1万回からPの方が先に見つける頻度を出すのを1万回繰り返したときの確率は

> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.3749 0.3906 0.3939 0.3939 0.3972 0.4132

となって０．５より小さいのでQの方が有利という結果になった

Rでのスクリプトはこれ

x=c(1,1,rep(0,10))
is.P1st <- function(){
Q=sample(x)
z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
P=as.vector(z)
which.max(P) < which.max(Q)
}
re=replicate(1e4,mean(replicate(1e4,is.P1st())))
summary(re)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/21(日) 21:28:28.30

>>852
シミュレーションにバグがある。
同時に見つける場合を考えてなかったわ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/21(日) 21:45:15.93

>>853
シミュレーションしたら　>822の通リになりました。

> x=c(1,1,rep(0,10))
> PQ <- function(){
+ Q=sample(x)
+ z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
+ P=as.vector(z)
+ c( even=which.max(P) == which.max(Q),
+ p1st=which.max(P) < which.max(Q),
+ q1st=which.max(P) > which.max(Q))
+
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,PQ())
> mean(re['even',]) ; 13/(26+27+13)
[1] 0.197025
[1] 0.1969697
> mean(re['p1st',]) ; 26/(26+27+13)
[1] 0.393803
[1] 0.3939394
> mean(re['q1st',]) ; 27/(26+27+13)
[1] 0.409172
[1] 0.4090909

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 02:11:35.13

>795
縦ｍマス、横ｎマスのｍ＊ｎマスのうちランダムに選ばれたｋマスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利？
という風に一般化してみた。

>822のカウントをRでやってみた。
例えば

縦５マス、横１０マス、宝３マスだと
P1st Q1st even
8832 9142 1626

（P1stはPが先に宝を発見する宝の配置の数）

Rのコードはここにおいた
Executeのクリックで実行（数値を変えて実行も可能）

http://tpcg.io/Ejjcs2

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 19:03:02.66

ある中学入試の問題だけど
方程式なしで小学生はどうやって解くのだろう？

　ある牧場では１００頭の羊を放すと１５日間で牧草がなくなり、１２０頭の羊を放すと１０日間で牧草が食べつくされました。　
この牧場で８０頭の羊を１０日間放した後、さらに何頭xかの羊を加えたところ、加えてから４日間で牧草は食べつくされました。　後から加えた羊は何頭ですか。
ただし、牧草は１日に一定量a生え、また、どの羊も１日で同じ量uの牧草を食べるものとします。

方程式を立てていいなら

1500u=15a + b
1200u=10a + b

a=60u
b=600u

80*14u + 4xu = 14a + b =14*60u + 600u
x=(14*60+600-14*80)/4

で俺でも答えられる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 19:45:49.05

>>856
線分図の左がはじめの草の量、
右がそれぞれ14回、9回分増えた草の量
(○の中の数字は1日に草の増える量)

(a) 100頭15日(のべ1500匹)├───┼─────┤⑭増える

(b) 120頭10日(のべ1200匹)├───┼───┤⑨増える

するとのべ300匹で⑤だけの草を食べることができる
草を①だけ食べるには60匹必要

(b)を使うと、のべ1200匹が食べた草の総量は1200÷60で⑳と求まる
よってはじめの草の量は⑪

(c) 80頭10日(のべ800匹)├───┼───┤⑨増える
このうち、10日経った時点で(800/60)=(40/3)食べられるので
残りは⑳-(40/3)=(20/3)
あと4日間で全体は(20/3)+④=(32/3)になるので
これを食べるには、4日間でのべ60×32/3=640頭必要
1日あたり160頭必要ということだから、160-80=80頭増やしたことになる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 20:11:53.26

>>857
前日まで生えた分だけでなくその日にリアルタイムで生えているのも食べるから増えるのは15日と10日分では？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 20:20:13.50

>>858
確かに
⑭は⑮に、⑨は⑩に訂正すると
はじめの草の量は⑩になって、あとは大丈夫そうですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 20:55:25.42

>>859
(800/60)=(40/3)は80頭が10日で食べた量は40/3(13.33)日で生えた
草の量だが⑳-(40/3)=(20/3)の意味不明。
はじめあった草の量⑩も出てこないし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 21:02:44.62

>>860
(c)の図(10日目が終わった時点)で
はじめの草の量⑩に、10日間で増える草の量⑩を加えて⑳
80頭の羊はそのうち(40/3)を食べてるので、
10日目が終わった時点で残りの草の量は(20/3)
という意味です

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 21:22:18.74

>>861
理解できました。

一匹の羊が1日に食べる量を１unitとして考えた方が易しくないかな。分数も出てこないし。
1日に60unit草が生える、最初の草量は600unit。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 21:24:56.34

(100×15-120×10)/5 = 60 だからこの牧場はストック0でも自然増加分で60頭の羊が賄える。
最初のストックは容量を120-60=60頭超過した時10日で食い尽くす量だから600頭日分。
容量超過が80-60=20頭の時10日で減らしたストックは200頭日分だから残りストックは400頭日分。
それを4日で食べ尽くしたので最後の4日の容量超過は100頭。
増えた羊は80頭。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 22:12:55.60

大量に入荷したアルヨ
　　　　　　 ε　⌒ﾍ⌒ヽﾌ
　　　　　　（　　( 　・ω・）
　　　　 ε　⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ヽﾌ
　　　　（　　( 　・ω・） ω・）
　　ε　⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ヽﾌ
　　（　　( 　・ω・） ( 　・ω・）ω・）
　 ε　⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ﾍ⌒ヽﾌﾍ⌒ヽﾌ⌒ヽﾌ
　（　　( 　・ω・） ( 　・ω・）・ω・）ω・）
　　しーし─Ｊしーし─Ｊし─Ｊ　─Ｊ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 00:57:47.42

■最初からある草の量をbとおく

１５a＋b＝１５００u……①
１０a＋b＝１２００u……②

②からb＝１２００u－１０aこれを①に代入して

１５a＋１２００u－１０a＝１５００u
５a＝３００u
a＝６０u
b＝６００u

８０頭の羊はx頭の羊を加えられた後も牧草を
食べつづけるので　８０ｘ１４u

x頭の羊は４日間牧草を食べるので　４ｘu

１４日間で消費される牧草の量は　１４a＋b

８０ｘ１４u＋４ｘu＝１４a＋b

４ｘu＝１４a＋b－８０ｘ１４u
　　　＝１４ｘ６０u＋６００u－８０ｘ１４u
　　　＝８４０u＋６００u－１１２０u
　　　＝１４４０u－１１２０u
　　　＝３２０u

∴ｘ＝３２０u／４u＝８０

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 07:48:20.91

>>865
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 07:59:42.41

数字の１と２だけを使って整数を作り、小さい方から並べます。１，２，１１，１２，２１，２２・・・このとき、次の問に答えなさい。
（１）１２１２１２１２１２は小さい方から数えて何番目ですか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 11:34:27.92

任意の自然数nに対して、2005^n が、互いに素な２つの整数の平方和で表せることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:02:39.33

>>867
１３６４番め

digi = function(x){ # 1000 -> 4 , 999 -> 3
n=ceiling(log10(x))
ifelse(10^n==x,n+1,n)
}

n2a <- function(num){ # nmu to array 122 -> c(1,2,2)
N=10
r=num%%N
q=num%/%N
while(q>0){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
}
return(r)
}

one2n <- function(x){ # 121 -> 13
a=n2a(x)
k=digi(x)
p=2^((k-1):0)
sum(a*p)
}

x=1212121212

> one2n(x)
[1] 1364

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:10:36.27

>>867
（２）１０００番目にくる数は何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:32:10.52

>>870
このプログラミングに難渋してる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:41:03.14

Prelude Data.List> let xs = concat $ iterate (¥x->[1:n| n<-x] ++ [2:n|n<-x]) [[1],[2]]
Prelude Data.List> xs !! 999
[2,2,2,2,1,2,1,1,2]

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:58:41.42

>>868

2005 = (20^2 + 1)(2^2 + 1) = 41^2 + 18^2 = 39^2 + 22^2,

下の公式により 2005^n は2つの平方の和。

互いに素となるかどうか…

〔公式〕
(aa+bb)(㏄+dd) = (ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 = (ad+bc)^2 + (ac-bd)^2,

http://www.quora.com/How-can-I-prove-that-a-2+b-2-c-2+d-2-ad-bc-2-+-ac+bd-2

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 13:00:38.96

>>870
library(gtools)
perm=permutations(2,9,v=1:2,rep=T)
onetwo=function(x){
n=length(x)
sum(x*2^((n-1):0))
}

perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]

> perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]
[1] 2 2 2 2 1 2 1 1 2

と総当たりで出すには出せるが、全くエレガントでない　：（

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 13:01:02.40

>>872

ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 13:16:16.58

>>868

N(a+bi) = a^2 + b^2 として ((20+i)(2+i))^n = u + vi とおけば

2005^n = (N(20 + i)N(2+i))^n = N(((20+i)(2+i))^n) = u^2 + v^2

ここで (u,v) のZ[i] における素因子 p + qi をとれば p - qi | (u,v) | u + vi でもある。
しかし Z[i] は UFD だから p+qi = (20+i)i^e、(2+i)i^e とおける。
このときいずれにせよ p - qi = (20-i)(-i)^e、(2-i)(-i)^e は u + vi の素因子でないので矛盾。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 13:44:30.07

>>850
(1)
正整数nについての帰納法で。
・n≦3 のとき
　1 = F_2、2 = F_3、3 = F_4
*　「和」は1項だけの場合もある。

・n>3 のとき
　nを超えない最大のフィボナッチ数を F_m とする。　F_m ≦ n < F_{m+1}
もしも和が F_m を含まないなら、
　Σ(k=0，[(m-2)/2]) F_{m-1-2k} = Σ(k=0，[(m-2)/2]) ( F_{m-2k} - F_{m-2k-2} ) = F_m - 1 < F_m ≦ n,
となり矛盾する。よって、和は F_m を含む。
　帰納法の仮定により、n - F_m は連続しないフィボナッチ数の和である。
　n - F_m < F_{m+1} - F_m = F_{m-1}
∴ n - F_m に対する和は　F_{m-1} を含まないから　F_m と連続しない。
∴ nについても命題が成立する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 14:17:45.16

>>867
その数列において、k桁の整数は2^k個含まれる
1212121212は10桁だが、1桁から9桁のすべての数の項数はΣ[j=1,9]2^j=1022
11********台は2^8=256個
1211******台は2^6=64個
121211****台は2^4=16個
12121211**台は2^2=4個
よって
1212121212は1022+256+64+16+4+2=1364項目

>>870
1022項目が222222222なので、これの22項前を考える
2222*****台が32項あるので、
222211111は第991(=1022-32+1)項となる
222211222が第998項なので、第1000項は222212112

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 15:06:47.65

>>867
> １，２，１１，１２，２１，２２・・・
　10, 11, 100, 101, 110, 111,...

１→0, ２→1 と置き換え、左端に1を付け加えたものを2進数とみなすと
順序を含め2以上の整数と一対一に対応する。
１２１２１２１２１２ → 10101010101(2) = 1365 であるから、１２１２１２１２１２は1364番目。

>>870
1001 = 1111101001(2) であるから、１０００番目にくる数は２２２２１２１１２。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 15:26:36.98

>>879
お見事です。
２進法に似ているのは気づいたのですが
>左端に1を付け加えたもの
ってどういうとこから思いつくのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 16:06:50.34

>>879
お知恵を拝借して　１億個めと１兆個めを計算してみました。

> digit12(10^8) # 1億め
12222212122221111211111112
> digit12(10^12) # 1兆め
221211122121211212112121112111111111112

Rのコードはここ

http://tpcg.io/D2sseW

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 17:08:43.57

一億一と一兆一を二進数に直すコード……

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:08:57.29

>>882
dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub
where sub 0 = []
sub num = mod num n : sub (div num n)
main = do
let n=2
putStr "Input integer : "
str <- getLine
let num = read str
putStrLn $ dec2n n num

Haskellだと一京一も２進数にしてくれた。

Prelude> main
Input integer : 10000000000000001
100011100001101111001001101111110000010000000000000001

ゆえに一京めは

11122211112212222112112212222221111121111111111111112

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:34:04.67

f 1 =[1]
f n = reverse $ f' (n-1) 2 0 1
f' 0 _ _ _ = []
f' n k j i | n `mod` k == j = 1: f' (n-j) (k*2) k (k*2)
　　　　　　| otherwise = 2: f' (n-i) (k*2) k (k*2)

f (10^8)
[1,2,2,2,2,2,1,2,1,2,2,2,2,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,2]

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:35:27.73

>>883
１０の６８乗を無量大数というらしい

無量大数＋１を２進数表示できるかやってみた。

Prelude> :main
Input integer : 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
1110110101100011101000100011000111010100110001001111101100100111010011001010011110101010101010000110001111101110010010111101110101001000010101101100010111000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

さすが不定長整数を扱えるHaskell。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:53:24.49

>>885
１０００不可説不可説転でお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:56:16.38

>>880
> >左端に1を付け加えたもの
> ってどういうとこから思いつくのでしょうか？

思いつくのは無意識の過程で分からないから、それまでに考えていたことをいうと
１と２の二つの文字 → 2進数に関連か？ → 2進数に対応させよう
・１→0, ２→1 と置き換えるだけでは 0,00,000などが重なる → 区別するには？ → （区別のためのマーカーがあればいい）
・問題の数字列は1桁では2つ、2桁では4つ、n桁では2^n個 → 2進数では？ → （左端の1を除いてn桁で2^n個）
⇒左端に1を付け加えればいいかも？ → あとは検証
（）内はそのとき無意識には考えていたかもしれないけど、意識したのは検証時だったこと。
その前に「左端に1を…」を思いついた。でも無意識でも必要なことだったと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 20:35:36.61

>>886

Wikipediaによると10の372183838819776444413065976878496481295乗とのこと

Prelude> dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub where sub 0 = [] ; sub num = mod num n : sub (div num n)
Prelude> putStrLn $ dec2n 2 (100*10^372183838819776444413065976878496481295)

只今、計算中。フリーズするだろうな。

>>887

解説ありがとうございました。その才能は羨ましい限りです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 20:45:06.91

>>888
残念ながら予想どおり

GNU MP: Cannot allocate memory (size=4204265496)

のエラーメッセージがでて終了しました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 21:38:28.22

これも中学入試の問題
x/6=(510+x)/21で解けるけど
方程式なしだとどうする？

ある列車が５１０ｍの鉄橋を渡るのに２１秒かかりました。また、線路のすぐそばで見ていたＡ子さんの前を列車が通るのに６秒かかりました。　この列車の長さを求めなさい。ただし、列車は鉄橋を渡るときも、Ａ子さんの前を通るときも同じ一定の速度で走ったとものとします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 21:48:37.47

A子さんの代わりに鉄橋の端っこだと考えれば簡単。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 22:47:39.63

これも中学入試

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人である作業をすると、終わるまで１０日かかります。Ａ君、Ｂ君の２人で同じ作業をすると、終わるまで１５日かかります。このとき次の問に答えなさい。
（１）Ｃ君１人で同じ作業をすると、終わるまで何日かかりますか。
（２）Ｂ君、Ｃ君の２人で同じ作業を５日間して、残りをＡ君が１人ですると、さらに１７日かかりました。同じ作業をＢ君１人ですると何日かかりますか。

方程式を使ってよければ

全作業量をu(適当な単位で30単位とすると計算が楽)として
(a+b)+c)=u/10
(a+b)=u/15
からu/c=30日

5(b+c)+17a=u
5(b+u/30)+17(u/15-b)=uから
u/b=40日
と出せる。

学習塾での特殊訓練も方程式もなしで解く小学生は凄いなと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 22:50:00.21

『列車が鉄橋を渡る』とは何か？

鉄橋の始点をa、終点をｂとすると
列車の先頭がaを通過してから列車の最後部がｂを
通過するまでである

区間［a，ｂ］に列車の長さｘを足したものを
通過時間で割ると　（５１０＋ｘ）／２１……①

ｘが点Aを通過する時間でｘを割ると　ｘ／６……②

列車は①と②を同じ速度で走るので

（５１０＋ｘ）／２１＝ｘ／６

６（５１０＋ｘ）＝２１ｘ

３０６０＋６ｘ－２１ｘ＝０

１５ｘ＝３０６０

∴ｘ＝２０４

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 22:56:10.69

>>893
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 22:57:38.97

>>890
列車が鉄橋を渡り終わるのは、
鉄橋と自分の長さを合わせた距離を走ったとき
自分の長さは6秒で走れるので、鉄橋の長さ510mは21-6=15秒で走ることができる
よって列車の速さは510/15=34(m/s)
ゆえに列車の長さは34×6=204(m)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 23:12:53.97

列車の長さｘは６秒、鉄橋の長さ＋ｘは２１秒で通過する

つまり、鉄橋の長さは１５秒で通過する

１５／６＝２．５なので鉄橋の長さは列車の長さの２．５倍

すなわち、鉄橋の長さ５１０ｍの２．５分の１が列車の長さ

∴ｘ＝５１０／２．５＝２０４

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 23:16:21.68

どっちもいいねぇ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:53:25.67

これも中学の入試問題

図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり, OAの中点をMとする。点Aを中心として点Mを通る円をかき, 円Aとする。円Oの周上に点B, Pが, 円Aの周上に点Qがあり, 次の条件をみたしている。
･∠AOB=45°
･BQと円Aは接している
･OPとBQは平行
このとき, 直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。円周率は3.14とする。

図1 https://i.imgur.com/uYNULrq.jpg
図2 https://i.imgur.com/s7n55LS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 19:23:48.06

>>898
わからんから図だけかいてみたぞ
https://i.imgur.com/TdfjSAn.jpg