面白い問題おしえて～な 27問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/29(日) 01:01:12.73

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 17:57:25.67

>>681

稜の長さが { p^(3r), p^(2n+r), p^(2n-r)[p^(2n)-p^(2r)] } である直方体 (r=0,1,…,n-1)

表面積　2p^(6n),

体積　p^(4n+3r)[p^(2n)-p^(2r)],

p>1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 18:16:47.45

>>682 の拡張

稜の長さが { p^r, p^r, [p^(2n-r)-p^r]/2 } である正方形柱 (r=0,1,…,n-1)

表面積　2p^(2n),

体積　(p^r)[p^(2n)-p^(2r)]/2,

p>1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 18:43:59.68

どうやって思いつくん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 20:12:28.11

■■■■■■■■■■■■■
□□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■□■
■□□□□□□□□□■□■
■□■■■■■■■□■□■
■□■□□□□□■□■□■
■□■□■■■□■□■□■
■□■□■□□□■□■□■
■□■□■■■■■□■□■
■□■□□□□□□□■□■
■□■■■■■■■■■□■
■□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■■■

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 20:15:52.31

呪怨キタ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 01:15:04.79

>>682 >>700

稜の長さを { A, A, (S/2A - A)/2 } とおく。

(S/2A - A)/2 が自然数となるAを n個以上とれるように Sを決める。

稜　…　多面体の辺

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 04:11:30.00

{(x,y,z)|x+y+z=n、x,y,z は非負整数、n は1以上の整数}
を満たす格子点の集合をAとする。
Aから異なる三点を選んだとき、それが正三角形を成している確率を n で表せ。

答えは、プログラムを組めば予想可能なものになるので、答えのみの解答は認めないものとする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 04:56:56.32

Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。

（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[0]P[1]=P[1]P[2]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°

n以下の各自然数iに対し、△OP[i-1]P[i]の重心をG[i-1]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[0]P[1]の長さを定めることができるか。

（A）相異なる整数jとkをうまく選べば、2点P[j]とP[k]を通る直線で、その上にG[0],G[1],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗るようにできる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 05:31:43.70

すいません先程の問題文がおかしかったので訂正します。

Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。

（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[1]P[2]=P[2]P[3]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°

n-1以下の各自然数iに対し、△OP[i]P[i+1]の重心をG[i]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[1]P[2]の長さを定めることができるか。

（A）相異なる整数jとkをうまく選んで2点P[j]とP[k]を通る直線を引けば、その上にG[1],G[2],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 05:39:36.69

>>705
求める確率をp[n]とすると
p[n]=2/(n^2+3n-2)
になると予想した

A[n]={(x,y,z)|x+y+z=n, x,y,zは非負整数}
できる正三角形の個数をT[n]とすると、
最初の方は
T[1]=1, T[2]=5, T[3]=15, T[4]=35, T[5]=70
となった
A[n]と△型・▽型の正三角形の個数は規則的に数えられるけど
傾いてる正三角形が一般の場合にうまくいかないorz

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 07:08:48.15

>>708
　辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)

>>705
A[1] = 3,
A[n] = A[n-1] + (n+1),
より
A[n] = (n+2)(n+1)/2,　　　… 三角数

A[n]個の点から3点を選ぶ方法は
C[A[n], 3] = A[n] (A[n]-1) (A[n]-2)/6
　= {(n+2)(n+1)/2} {(n+3)n/2} {(nn+3n-2)/2},

　辺長nの大きい△型の中に
　辺長Lの△型が C[n+2-L, 2] 個ある。
　傾いている正三角形も含めれば、そのL倍になる。

T[n] = Σ(L=1, n) C[n+2-L, 2]・L
　= C[n+3, 4]
　= (n+3)(n+2)(n+1)n/24
　= A[n](A[n]-1)/6,
よって
T[n]/C[A[n], 3] = 1/(A[n]-2) = 2/(nn+3n-2),

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 08:26:01.48

ご名答
>> 辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)
ここがポイントですね。傾かないものも含めると、
「サイズLの正置な正三角形には、調度L個の正三角形が属す」
と言えます。全ての正三角形は、いずれかの正置な正三角形に属すため、
あとは、正置な正三角形がいくつあるかを調べ、足し合わせるだけです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 09:33:26.40

707おねがいします

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 10:15:57.85

>>709,710
なるほど、そうやって考えるんですね

C[n+2-L, 2]の部分ですが、これは
辺長Lの正置な正三角形のいちばん上の辺長1の正三角形に注目して
Σ[k=1,n-(L-1)]k
と数えたものでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 10:53:25.52

サイズ　n　の正置な正三角形は　１　(=C[2,2])
サイズ　n-1　の正置な正三角形は　３　(=1+2=C[3,2])
サイズ　n-2　の正置な正三角形は　６　(=1+2+3=C[4,2])
サイズ　n-3　の正置な正三角形は　10　(=1+2+3+4=C[5,2])
．．．
サイズ　1　の正置な正三角形は　1+2+3+...+n=C[n+1,2]
です。では、サイズ　L　では？　というと、　C[n+2-L,2]　という事です。

注目するサイズの正置正三角形のトップの頂点の、可動範囲を数え上げるという考えでもｏｋですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 12:10:03.51

>>682
用意していた答え

３辺の長さを (a,b,c) = (1, 2^r-1, 2^{2n-r}-1)、r=1,2,…n とおくと、
表面積 S = 2(ab+bc+ca) = 2(2^{2n}-1).

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 17:00:25.87

■■■■■■■■■■■■■
□□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■□■
■□□□□□□□□□■□■
■□■■■■■■■□■□■
■□■□□□□□■□■□■
■□■□■■■□■□■□■
■□■□■□□□■□■□■
■□■□■■■■■□■□■
■□■□□□□□□□■□■
■□■■■■■■■■■□■
■□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■■■

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 00:17:31.81

>>580
山札からダイヤが１２枚出たところまですべて１／４で
１３枚目のみゼロにすることも可能

■箱の中のカードがダイヤである確率は

基本形の式

ｑ＝１－｛｛１６５ｎ－３ｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎ－７ｎ^2＋４６８）｝に

係数αをｎの各項に掛ける

ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８）｝

３５１と４６８にはそれぞれβ＝４７９００１６００を掛ける

∵ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１β｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８β）｝

α＝（ｎ^2－13ｎ）^6＋182（ｎ^2－13ｎ）^5＋13468（ｎ^2－13ｎ）^4
　　　＋516360（ｎ^2－13ｎ）^3＋10752768（ｎ^2－13ｎ）^2＋114341760（ｎ^2－13ｎ）
　　　＋479001600

これで出来上がり

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 01:58:40.96

どうして確率や場合の数の問題しか出てこないのかね。
そんなに面白いかい？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 11:23:19.73

AとBが引き分けのないゲームを次々と行い、一回のゲームで勝つ確率はそれぞれa, bである。つまりa+b=1である。
Aが先にn勝に到達する確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 11:30:00.57

>>718
これ求まるん？
1/2の時でもバナッハのマッチ箱で超難題なのに。
1/2じゃなくて求まるん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 11:33:21.47

>>719
続けたまえ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 11:44:18.11

先にn勝というのは、2n-1回やってn勝以上することと同じ
Σ[k=n～2n-1] a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 13:22:40.67

何も難問じゃない
将棋の番勝負の勝率レーティングから推計したことあるやつなら簡単にわかるはず

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 13:40:31.38

あ、失礼。単にAが勝つ確率か。回数の期待値と勝手に思った。勝つ確率だけなら出るかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 13:43:03.18

つまりは>>721か。
これ求まるんかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 13:51:24.17

707おねがいします

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 13:57:37.32

>>721,724
p(n)=Σ[k=n,2n-1]a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)
とおくと、n≧2のとき二項定理より
(a+b)^(2n-1)=2(p(n)-a^n・b^(n-1))+a^n・b^(n-1)
よって
p(n)=(1+a^n・b^(n-1))/2

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 14:02:16.70

>>726
二項係数抜けてるしそもそも3行目ダメですね
撤回します

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 15:59:39.87

とりあえず10項ほど計算させてみたけど
makelist(factor(expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,1,10);
[
a,
－a^2*(2*a－3),
a^3*(6*a^2－15*a+10),
－a^4*(20*a^3－70*a^2+84*a－35),
a^5*(70*a^4－315*a^3+540*a^2－420*a+126),
－a^6*(252*a^5－1386*a^4+3080*a^3－3465*a^2+1980*a－462),
a^7*(924*a^6－6006*a^5+16380*a^4－24024*a^3+20020*a^2－9009*a+1716),
－a^8*(3432*a^7－25740*a^6+83160*a^5－150150*a^4+163800*a^3－108108*a^2+40040*a－6435),
a^9*(12870*a^8－109395*a^7+408408*a^6－875160*a^5+1178100*a^4－1021020*a^3+556920*a^2－175032*a+24310),
－a^10*(48620*a^9－461890*a^8+1956240*a^7－4849845*a^6+7759752*a^5－8314020*a^4+5969040*a^3－2771340*a^2+755820*a－92378)
]
なんにも思いつかんorz。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 16:20:15.25

あかん、いろいろ調べたけどどうしようもなさそう。
>>721で正解なんかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 18:00:13.71

pを有理数とする。3辺の長さがp,p,1の二等辺三角形をT(p)と書く。
ある自然数kが存在して、k個のT(p)のみに分割できる多角形全体からなる集合をS(k)とする。
k=1,2,3,...に対し、以下の条件を満たすS(k)の要素の多角形の形状をすべて決定せよ。

条件『多角形の任意の2頂点間の距離は有理数である。』

【中吉】 · 2018/10/01(月) 21:00:19.22

>>718
Aが先にn勝する確率をPnとすると、
P1=a
P2=a^2+2a^2･b
P3=a^3+3a^3･b+6a^3･b^2
P4=a^4+4a^4･b+(5Ｃ2)a^4b^2+(6Ｃ3)a^4･b^3
=a^4+4a^4･b+10a^4b^2+20a^4･b^3
P5=a^5+5a^5･b+(6Ｃ2)a^5･b^2+(6Ｃ3)a^5･b^3+(6Ｃ4)a^5･b^4
=a^5+5a^5･b+15a^5･b^2+20a^5･b^3+15a^5･b^4
P6=a^6+6a^6･b+(7Ｃ2)a^6･b^2+(7Ｃ3)a^6･b^3+(7Ｃ4)a^6･b^4+(7Ｃ5)a^6･b^5
=a^6+6a^6･b+21a^6･b^2+35a^6･b^3+35a^6･b^4+21a^6･b^5
P7=……
前>>624フィボナッチだな。一般項出るぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 22:20:08.16

■□■■■□■■■□■■■□■■■
■□■□■□■□■□■□■□■□■
■■■□■■■□■■■□■■■□■

【大吉】 · 2018/10/01(月) 23:00:40.25

P1=a
P2/a^2=1+2b
P3/a^3=1+3b+6b^2
P4/a^4=1+4b+(5･4/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3
P5/a^5=1+5b+(6･5/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3+(6･5/2･1)b^4
P6/a^6=1+6b+21b^2+35b^3+35b^4+21b^5
P7/a^7=1+7b+28b^2+56b^3+70b^4+56b^5+28b^6
P8/a^8=1+8b+36b^2+84b^3+126b^4+126b^5+84b^6+36b^7
P9/a^9=1+9b+45b^2+120b^3+210b^4+252b^5+210b^6+120b^7+45b^8

P10/a^10=1+10b+55b^2+165b^3+330b^4+462b^5+462b^6+330b^7+165b^8+55b^9
前>>731漸化式ができそう。
nが奇数のとき、
Pn/a^n=
nが偶数のとき、
Pn/a^n=

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 02:29:23.68

>>721

p(n) = Σ[k=n, 2n-1] a^k b^(2n-1-k) C(2n-1, k),　　　(b=1-a)

p(n+1) = p(n) + C[2n-1, n] (a-b)(ab)^n,　　　(b=1-a)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 04:59:51.66

∂p(n)/∂a = (n/2) C(2n, n) {a(1-a)}^(n-1),

p(n) = (n/2) C(2n, n) Σ[k=0, n-1] (-1)^k C(n-1, k)/(n+k) a^(n+k)

　　　= (n/2) C(2n, n) a^n Σ[k=0, n-1] C(n-1, k)/(n+k) (-a)^k,

　　　

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/02(火) 05:33:31.15

前>>733訂正。
P10/a^10=1+10b+(11Ｃ2)b^2+(12Ｃ3)b^3+(13Ｃ4)b^4+(14Ｃ5)b^5+(15Ｃ6)b^6+(16Ｃ7)b^7+(17Ｃ8)b^8+(18Ｃ9)b^9
=1+10b+55b^2+220b^3+715b^4+2002b^5+5005b^6+11440b^7+24310b^8+48620b^9
P9/a^9=1+9b+(10Ｃ2)b^2+(11Ｃ3)b^3+(12Ｃ4)b^4+(13Ｃ5)b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
=1+9b+45b^2+165b^3+495b^4+1287b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
P8/a^8=1+8b+36b^2+120b^3+(11Ｃ4)b^4+(12Ｃ5)b^5+(13Ｃ6)b^6+(14Ｃ7)b^7
P7/a^7=1+7b+(8Ｃ2)b^2+(9Ｃ3)b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
=1+7b+28b^2+84b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
P6/a^6=1+6b+(7Ｃ2)b^2+(8Ｃ3)b^3+(9Ｃ4)b^4+(10Ｃ5)b^5
P5/a^5=1+5b+(6Ｃ2)b^2+(7Ｃ3)b^3+(8Ｃ4)b^4
=1+5b+15b^2+35b^3+56b^4

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 07:32:49.03

>>718
Rを使うと　負の二項分布を使ってpnbinom(n-1,n,a)で数値計算はできる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/02(火) 10:50:51.36

>>718
前>>736一般項が出た。
Pn=a^n/(n-1)!Σ[k=1～n-2]{(n+k)!b^(k+1)}/(k+1)!

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 12:38:55.19

>>735
おお、すごい。
流石にこれ以上は無理？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 13:11:05.17

>>735
makelist((expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,0,10);
makelist((expand(n/2*a^n*binomial(2*n,n)*sum(binomial(n-1,k)/(n+k)*(-a)^(k),k,0,n-1))),n,0,10);

(%o1) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]
(%o2) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]

素晴らしい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 17:12:04.16

ｎ＝０，αｎ／βｎ，α＝｛２^ｎ＋２^（ｎ－1）｝，β＝｛２^（ｎ＋2）＋２^（ｎ－1）｝

分母と分子の両方にゼロ掛けているのに
なんで１／３が出力されるねん？(´・ω・`)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 18:09:37.32

(1)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが絶対収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？

(2)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが条件収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 18:18:08.02

(1) a_n > 1 である n は有限個なのでそれらを除いて (a_n)^2 ≦ a_n。よって収束する。
(2) しない。反例：a_n = (-1)^n/√n。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 18:19:03.50

>>743
早すぎワロタ
正解

学術 · 2018/10/02(火) 19:49:00.32

間違ってるものを採点して生徒が伸びた方がいたと思う。
高速通信添削で赤入れるみたいにしちゃうといい。女子美味しいな。

学術 · 2018/10/02(火) 19:49:43.60

フルハウスの意味表象記号観。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/02(火) 23:29:03.26

前>>738
Pn(n-1)!/a^n=(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!

Pn={a^n/(n-1)!}{(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!}

通分するのかな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 01:24:31.41

>>743 (2)

S = Σ_{n=1}^{∞} a_n = Σ_{n=1}^{∞} (-1)^n /√n　が収束すること。

S = -1 + 1/√2 - Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m-1) - 1/√(2m) )
　> -1 + 1/√2 - (1/2)Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m -3/2) - 1/√(2m +1/2) )　　…　(*)
　= -1 + 1/√2 - 1/√10
　= -0.60912098483…

S = -1 + Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m) - 1/√(2m+1) )
　< -1 + (1/2)Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m -1/2) - 1/√(2m +3/2) )　　　　…　(*)
　= -1 + 1/√2 - 1/√3 + 1/√14
　= -0.60298224609…

S = -0.60489864342163…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 02:07:38.39

>>748 (補足)
　f(n) = 1/√n の平均変化率 {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h) が h>0 と共に増加すること。

　{f(n-h) - f(n+h)}/2h = {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h)
　= {√(n+h) - √(n-h)}/{2h √(nn-hh)}
　= 1 / {√(nn-hh)･(√(n-h) + √(n+h)}
　= 1 / {√(nn-hh)･√[2n+2√(nn-hh)]},

あるいは平均値の定理により
　f(n-L-h) - f(n+k+h) - {f(n-h) - f(n+h)} - {f(n-L+k-h) - f(n-L+k+h)} + {f(n+k-L) - f(n-L+h)}
　= {f(n-L-h) -f(n-h) -f(n-L+k-h) +f(n+k-h)} - {f(n-L+h) -f(n+h) -f(n-L+k+h) +f(n+k+h)}
　= -2h {f '(a-L) - f '(a) - f '(a-L+k) + f'(a+k)}　　　　(n-h<a<n+h)
　= -2h {f '(a-L) - f '(a)} -2h {f '(a-L+k) - f '(a+k)}
　= 2hk {f "(b-L) - f "(b)}　　　(a<b<a+k)
　= -2hkL f '''(c)　　　　　　　(b-L<c<b)
　> 0

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 05:10:42.84

[0,π]上の連続関数fに対して、
lim(n→∞)∫_0^π f(x)cos(nx) dx=0
となることを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 13:43:17.24

>>751
(p,q) := 2/π∫ pq dx とする。
これは双線形であり、{cos nx} は (cos lx, cos mx) = δ(l,m) となる。
Nを自然数とし
a[n] = (cos nx, f)、g = Σ[m:1～N] a[m] cos mx、h = f-g とおく。
n: 1～N に対し
(h, cos nx) = (f-g, cos nx) = (f, cos nx) - (Σ[m:1～N] a[m] cos mx, cos nx) = a[n] - a[n] = 0
であるから (h,g) = 0 である。
よって
(f, f) = (g+h, g+h) = (g, g) + 2(g, h) + (h, h) = (g, g) + (h, h) ≧ (g, g) = (Σ[l:1～N] a[l] cos lx, Σ[m:1～N] a[m] cos mx) = Σ[m:1～N] a[m]^2
である。
これが任意のNで成立するから
Σ[m:1～∞] a[m]^2
は収束するので lim(n→∞)a[n]=0 である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 15:09:19.50

>>751
正解！
ベッセルの不等式証明してくれた感じかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 15:16:20.13

【世界教師マⅰトレーヤ】　トランプは現在、ツイートを囮にして、史上最悪の法案にサインする気でいる
http://rosie.5ch.net/test/read.cgi/liveplus/1538533045/l50

山本太郎もブチ切れる、労働者へのゲスい裏切り！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 00:09:55.61

>>734

　p(n+1) - p(n) = (2a-1) C[2n-1, n] (a(1-a))^n,　　　　　(n≧1)
の両辺に t^n を掛けて和をとると
　G(t)/t - p(1) - G(t) = (2a-1)Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] (a(1-a)t)^n

　= (1/2)(2a-1) {1/√(1-4a(1-a)t) -1},　　　　　… (*)
　
　(2(1-t)/t) G(t) = 1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t),

　G(t) = Σ[n=1,∞] p(n) t^n = (t/2(1-t)) {1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t)},

*) 一般化された二項定理
　1/√(1-4x) = 1 + 2Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] x^n,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 02:29:02.41

>>718 の答えは今出てる答えで正解でいいのかな？
流石にもうこれ以上はどうしょうもない気がする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 02:43:03.87

母函数面白いね
カタラン数のそれに近い感じもある

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/04(木) 10:21:42.56

>>755
>>718の答え、>>747でいいの？
確率をnとaで表せってことだよね？
……があるままでいいってこと？
通分して分子が簡単になったりして。
前>>747

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/04(木) 11:08:57.18

前>>757
通分すると、
Pn={a^n/(n-1)!(n-1)!}[(n+1)!{(n-1)(n-2)……3}(1-a)^2+(n+2)!{(n-1)(n-2)……4)}(1-a)^3+……+(2n-2)!(1-a)^(n-1)]
簡単にならないなら……を許可するしかないか。それかΣとkを使うか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 22:51:50.84

>>756

Catalan(n) = C[2n, n] - C[2n, n-1] = {1/(n+1)} C[2n, n]

Σ[n=0,∞] Catalan(n) t^n = {1 - √(1-4t)}/(2t),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 23:00:52.73

カタラン数を語らん！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 23:14:12.31

このスレで見つけた問題。
[0,n]×[0,n]の格子点の隣接する格子点をむすんで得られるグラフを考える。（図１参照）
このグラフの左下と右上を結ぶグラフ上の経路で長さ2nのもののうちy≦xの部分にある横線をちょうどk回通るものの個数を求めよ。

>>432より
>―図１―(n=6の場合)
>┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼─┼─┼─┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼─┼─┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼─┼＝┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼─┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>├─┼＝┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│　│　│　│　│　│　│　
>└＝┴＝┴＝┴＝┴＝┴＝┘

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 18:08:41.43

■■■■■■■■■■■■■
□□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■□■
■□□□□□□□□□■□■
■□■■■■■■■□■□■
■□■□□□□□■□■□■
■□■□■■■□■□■□■
■□■□■□□□■□■□■
■□■□■■■■■□■□■
■□■□□□□□□□■□■
■□■■■■■■■■■□■
■□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■■■

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 17:11:17.49

不思議な現象に遭遇したけど、よくわからないのでみんなの知恵を借りたい。

a1,a2,…を不定元とし、σをその添字を１だけ大きくする作用素とする。
次で有理式の列{F[n]; n=0,1,2,…}を定める：
F[0] = 1, F[n] = (F[n-1] + σF[n-1])/(a1+a2+…+an) (n≧1)。
F[1] = (1 + 1)/(a1) = 2/a1,
F[2] = (2/a1 + 2/a2)/(a1+a2) = 2/a1a2,
F[3] = (2/a1a2 + 2/a2a3)/(a1+a2+a3) = 2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3),
F[4] = (2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3) + 2(a2+a4)/a2a3a4(a2+a3+a4))/(a1+a2+a3+a4)
　　 = 2(a1a2+a2a3+a3a4)/a1a2a3a4(a1+a2+a3)(a2+a3+a4)
のようになるが、既約分数表示での分母を見ると偶数項の因数は約分で消え、奇数項の因数しか現れていない。
PCで調べるとF[8]まではそうなっている。
なので「F[n]を既約分数で表したとき分母には奇数項の因数しか現れない」と予想するが、
これは正しいだろうか？

また関連しそうなことがあったら教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 20:40:52.47

1/a(a+b)(a+b+c)…(a+b+c+…+z) を [a,b,c,…,z] と書くことにする。
[] = 1,[a] = 1/a, [a,b] = 1/a(a+b) など。
次を示せ。
(1) [a][b] = [a,b] + [b,a]
(2) [a,b][x] = [a,b,x] + [a,x,b] + [x,a,b]
(3) [a,b][x,y] = [a,b,x,y] + [a,x,b,y] + [a,x,y,b] + [x,a,b,y] + [x,a,y,b] + [x,y,a,b]
(4) [a][b][c] = [a,b,c] + [a,c,b] + [b,a,c] + [b,c,a] + [c,a,b] + [c,b,a]
また、一般にどのようなことがいえるだろうか？
（>>763 を考えた背景にあるもの）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 10:12:53.96

E, A, B を同じ型の正方行列とし、Eを単位行列とする。
E-ABが逆行列Cをもつとき、E-BAが正則であることを示し、その逆行列をE, A, B, Cを用いて表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 11:38:51.05

>>765
C = (E-AB)^-1 = E + AB + (AB)^2 + … とおもえば
(E-BA)^-1 = E + BA + (BA)^2 + … = E + BA + B(AB)A + B (AB)^2 C + … = E + BCA と予想できて、
あとは計算で (E-BA)(E+BCA) = (E+BCA)(E-BA) = E。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 11:48:27.04

A,Bがn次行列のとき、ABとBAの固有値は等しいことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 18:47:55.39

係数環がZで証明できれば十分。
よってさらにCで証明できれば十分。
Aが正則のときABA^(-1)とBの固有多項式が等しく故成立。
一般の場合は等式 ch AB = ch BA がザリスキ開集合 det A≠0 で成立する故一般に成立。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 20:07:46.18

■ニャンティホール問題

□□□　　∧,,∧ 　　 ∧,,∧　　　
□□□　 (,,・∀・) 　ﾐ,,・∀・ﾐ　
□□□～(_ｕ,ｕﾉ　＠ﾐ_ｕ,,ｕﾐ　

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 11:53:39.52

>>763

それ無理じゃね？
全変数に１をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。
一方でa1 = 1、残りに２をいれると全てのnでF[n]は２進整数。
よって分母に必ず項の数が偶数の因子が出てくると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 12:43:35.59

>>770
> 全変数に１をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。

v_2は2進付値だよね。だったら、
v_2(n!) = Σ[k=1,∞] floor(n/2^k) ≦ Σ[k=1,∞] n/2^k ≦ n だから
v_2(F[n]) ≧ 0 だよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 14:26:48.59

>>771
あ、ホントだ。
失礼しました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 17:00:40.06

平川-松村の定理

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 18:23:54.97

p1, p2, Pは素数かつ、
p1 ≧ 3, p2 ≧ 3, P ≧ 7で、
p1 + p2 = ( P + 1 )
が成り立つときの
p1, p2, P がみたす性質って何かありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 18:33:36.53

>>774
mod

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 23:27:34.88

>>767
Aが正則でないとき…

Eをn次の単位行列、yは実数とする。
|A+yE| はyのn次式だから、|A+yE| = 0 を満たすyの個数は高々n個である。
|A+yE|≠0 となるyに対しては
　|xE - (A+yE)B| = |xE - B(A+yE)|,
が成り立つ。|A+yE| = 0 の解をうまく避けながら y→0 とすれば、
　|xE-AB| = lim_{y→0} |xE - (A+yE)B| = lim_{y→0} |xE - B(A+yE)| = |xE-BA|,
∴ |xE-AB| = |xE-BA|.

A,B∈Ｍ_n(Ｃ)に対して ABとBAの固有多項式が同じになることを証明せよ。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1239473677

任意のn次正方行列A,Bについて ABとBAの固有多項式が同じになることの証明
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11107489021

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 23:28:12.32

777☆

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 10:47:22.37

nを自然数として、a_1=3,a_n=n(a_(n-1)-1)+2 (n≧2)でa_nを定める。
ここK村の人口はa_n人で、増えることも減ることもない。
さて、K村から任意の2人を選んだ時、その2人はある｢関係｣を持っているとする。そして、その｢関係｣はn種類にわたって存在する。
この時、どの2人を選んでも同じ｢関係｣で結ばれているような3人組が必ず存在することを示せ。

オリジナルです
考え方自体は既出だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 11:06:57.32

イミフ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 15:17:31.18

a[1]=3人だと1種類
a[2]=6人だと2種類
a[3]=17人だと3種類
・・・

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 15:31:09.15

>>778
よく分からんけど、ラムゼー数（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ）
R_n(3,3,…,3) ≦ a[n] を示せってことか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 15:51:55.66

>>778
正確に言葉を使え
高卒か？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 16:25:15.98

>>778が>>781の意味ならそのままwikiに書いてある漸化式で解けちゃうね。R(…)の中の2は自動的に落ちてしまう

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 17:30:56.90

清書
Claim 1)
R(k1,…,kn)≦R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2
(∵) R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2個の点からなる完全グラフから1点v を選び、そこから残りの点への辺を1～nに彩色する。
このとき、色1に塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn)以上かまたは…色nに塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn-1)以上である。
最初の場合（残りの場合も同じように議論できる）、色1に塗られている辺の向かう先の点の個数がR (k -1, k2,…,kn)以上だから、それらの点からk1 -1個の点の、色1のみからなる完全グラフか、ki個の点の色iのみからなる完全グラフがある。
前者の場合、v とあわせればk1 個の点の色1のみからなる完全グラフが得られる。

Claim2)
R(k1,…,kn,2) = R(k1,…,kn)
(∵) R(k1,…,kn)個以上の頂点からなる完全グラフをn+1色に塗り分ける時、色n+1が使われていればその辺のみからなるグラフが2点完全グラフである。
n+1がつかわれていなければR(k1,…,kn)の定義からいずれかの色 i のみで塗られた完全 ki グラフを含む。

以上により R(3,3,…,3) ≦ a_n。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 12:18:06.75

>>782
これで理解できへんのはアウトやろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 12:26:37.27

この問題文はあかん

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 15:01:02.00

問題文かは鳩ノ巣かなと思ってた

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 15:40:39.54

わかスレの問題改題。

数列 (c[n], d[n]) を

　c[n] = (2n-1)c[n-1] + c[n-2]、c[1] = 0、c[2] = 1、
　d[n] = (2n-1)d[n-1] + d[n-2]、d[1] = 1、d[2] = 0

で定める時 lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!!、lim[n→∞] d[n]/(2n-1)!! を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:50:29.46

>>788
c[n]の方は組合せ的意味(https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1534342085/494,510,623)を考えれば、
c[n] = Σ[r=0,n] (-1)^r binomial(2n-r,r) (2n-2r)! / (n-r)!2^(n-r) が分かって、
α(n,r) := n!(2n-r)!2^r/(2n)!(n-r)! が
0 < α(n,r+1) < α(n,r), α(n,r)→1 (n→∞) となるのを使えば
lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!! = lim[n→∞] Σ[r=0,n] ((-1)^r/r!)α(n,r) = e^(-1)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 19:18:42.08

やっと二重階乗がでてきたのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 21:40:01.85

>>289
おお、なるほど。
素晴らしい。
それなら前スレででてきたベッセル関数もへったくれもなしに証明できますね。
今の所用意している解答はベッセル関数もへったくれもある解答です。
d[n]の方もそんな感じでできるかもしれないですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 21:53:46.92

ジョーカーを除いたトランプ５２枚を外からは中が
確認できない５２個の箱の中に表を見ないで一枚ずつ入れた
そして、５２個の箱の中から適当に三つの箱を選んで三枚の
カードを取り出すと三枚ともダイヤであった
このあと残りの４９個の箱の中からどの箱を選んでも
箱の中のダイヤの確率は１０／４９である

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 03:38:50.93

a,b (1≦a≦b) を整数とする。
b階建てビルのエレベーターは1階からb階までを移動している。
a階でエレベータを待つとき、上からやってくる確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 04:25:18.54

>>793
何が同様に確からしいのかわかんねー

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 12:33:59.38

縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた2マスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利？

ABCD
EFGH
I JK L

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 13:16:58.60

>>795
移動時間とかなんにも条件ないならイーブン。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 13:36:41.89

>>795
以外に自明じゃないけど結局イーブン
P : AEIBFJCGKDHL
Q : ABCDEFGHIKKL

部屋　　 : ABCDEFGHIKKL
先に入る：△QQQPPQQPPP△

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 13:40:36.12

ABCDEFGHIJKLとBCDEFGHIJKLAの争いがえぐい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 13:54:02.75

ETFJKをP部屋と呼ぶ。Pはこの部屋にQより先にこの順に入室する。
BCDGHをQ部屋とよぶ。Qはこの部屋にPより先にこの順に入室する。
Aに宝があれば同着でイーブン。
Aに宝がなくLに宝があれば残りがP部屋か、Q部屋かによるのでイーブン。
２つともP部屋ならP勝ち、２つともQ部屋ならQ勝ちでその確率はイーブン。
のこり２５通りは
　EIFJK
B△
C　△
D　　△
G　　　△
H　　　　△
と５×５マスからひとつ選ぶ場合だけど△の組み合わせなら同着、
上半分ならQ勝ち、下半分ならP勝ちでイーブン。
以外に思ったより自明じゃないなぁ。