大学学部レベル質問スレ 12単位目
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>>518
それが人にモノを尋ねる態度か？
そもそも>>509の問題は総当たりではなく理詰めで簡潔に解く方法がすでに与えられてるだろ馬鹿 lim(p->∞)[(1-x)^p+(1-y)^p-(1-x)^p(1-y)^p]1/p
ただし、x,y∈(0,1)
はmax(1-x,1-y)以下ですか？
極限の計算なのでよくわかりません。
よろしくお願いします。 lim(p->∞)[(1-x)^p+(1-y)^p-(1-x)^p(1-y)^p]^1/p
でした。すみません。 はmax(1-x,1-y)以上ですか？
の間違えでした。 >>522
u=1-x、v=1-yとおいてu>vのとき
lim(p->∞)[(1-x)^p+(1-y)^p-(1-x)^p(1-y)^p]^1/p
=lim(p->∞)[u^p+v^p-(uv)^p]^1/p
=u lim(p->∞)[1+(v/u)^p-v^p]^1/p
=u 1^0 (∵x^y はx>0、y∈Rで連続)
=max{u,v}
=max{1-x,1-y}
v<uの時も同様。
u=vのとき
lim(p->∞)[(1-x)^p+(1-y)^p-(1-x)^p(1-y)^p]^1/p
=lim(p->∞)[u^p+v^p-(uv)^p]^1/p
=lim(p->∞)[2u^p-(uu)^p]^1/p
=u lim(p->∞)[2-u^p]^1/p
=u 2^0 (∵x^y はx>0、y∈Rで連続)
=max{u,v}
=max{1-x,1-y} >>525
早速の解答ありがとうございました。
勉強になりました。 >>527
極端にしたガウス分布ともいえるディラックのデルタ関数みたいなのを正当化するための大仕掛けその一って感じ。 >>528
二年なもので難しいもんはわからんのです。
中高生に説明する感じでいうとどんな感じなんでしょう？ >>530
R上のLebesgue測度に関しては，
「完全加法的な正値関数で，区間に対してはその通常の長さを対応させるもの」
が雑な説明です． ルベーグ測度に関してだけですが，追記しときます．
Rの位相が生成するσ加法族をRのボレル集合族と呼び，ここではℬと書きます．
μを
μ:ℬ→[0,∞]
なる写像とするとき，μが完全加法的ならばμはℬ上の非負値測度と呼ばれます．
またℬ上の非負値測度で
(a,b](={x∊R|a<x≦b})
なる区間に対して
b-a
を対応させるものはただ一つしか存在しません．これはディンキン族定理から証明できます．
(R,ℳ,λ)を(R,ℬ,μ)の最小の完備拡大(ルベーグ拡大)として得られた測度空間としますが，
一次元ルベーグ測度とは，μが
∀a,b∊R[a<b⇒μ((a,b])=b-a]
を満たすときに得られるλのことです．
この説明はルベーグ測度の直感的イメージを優先しただけで，
ルベーグ測度の構成法に逆行しているのでよくはないです．
そもそも上のようなμより前にルベーグ測度が構成されます．
ルベーグ測度は、講義や本ではリースの表現定理かカラテオドリの拡張定理でゴリゴリ作ると思います． 1) 集合に正数値(∞も含む)を与える関数で
2) 共通部分のない和集合には数値の和が対応して
3) lim が使えるもの
でいいじゃん 順序数のべき乗を超限帰納法の再起法で定めるとき，
つまりαを順序数とするとき
・α^0 = 1
・α^β = α^γ・α if β=γ+1
・α^β = ∪{α^γ|γ∊β} if βが極限数
となるようにべき乗α^βを定めるとき，αとβが自然数なら
α^β = #{f|f:α→β}
って成り立つはずなんですけど、この等式はどう証明すればよいですか？ すみません、>>538の式はミスで正しくは
α^β = #{f|f:β→α}
が成り立つことを示したいです。
いまnとmを自然数とします。
m=0
ならば
n^0 = 1
で、また
#{f|f:0→n} = #{0} = {0} = 1
なので
n^0 = #{f|f:0→n}
が成立します。しかし
n^m = #{f|f:m→n}
が成り立っているときに
n^{m+1} = #{f|m+1→n}
が成り立つとどう示せばよいかわからないんです。
n^{m+1}と{f|m+1→n}の間に全単射が取れることがわかれば良いのですが
少なくともi<nである自然数iについては
n^m = #{f|f:m+1→n ∧ f(m) = i}
が成り立つので、帰納法の仮定から{f|f:m+1→n ∧ f(m) = i}からn^mへの全単射は取れます。
しかしこの全単射を取ったところで{f|m+1→n}からn^m・nへの全単射はうまく作れないです。 >>540
補題としてm,nを自然数とするとき全単射: μ:m・n→m×n が存在することを示しておく。
補題としてAとB、CとDの間に全単射があるならA×BとC×Dの間にも全単射が存在することを示しておく。
補題として{f | f:m+1→n}と{f | f:m→n}×nの間に全単射があることを示しておく。
で３つをあわせる。 うんこはそもそもVの中に無いだろ
下らないこと聞いてないで保育園に帰れ 質問なんですが、線形システムで分岐現象が起きないのはなぜですか? ▼￣＞―-＜￣▼
Ｙ● _ ●Ｙ ＿
（＠ ▽ ＠) ／／
∩ ∩ ／／
｜ |／／
｜ /／
.. |_/￣|_／ 位相空間や可測空間のように、集合Xとその(ある性質を満たす)部分集合族の組(X,A)を対象として、2つの対象(X,A)と(Y,B)に対して写像f:X→Yで任意のb∈Bの原像f^(-1)(b)がAに入るようなものを射とするような圏って何か一般的に名前が付いてたりしますか？
もしくはもっと一般化された形で調べられたりしてますか？ >>551
カテゴリーCに対してCの射の圏mor(C)をf:X→Yをobject、推して知るべしをmorphismとする圏として定義してるのは見かけた事あるけど、これも別に単射に限定してはいないしなぁ。
ジャンルそのものが小さいから一般的に通じるとか限定しちゃうとないんではない？
誰かが空間対の圏の一般化として研究した例くらいはあるかもしれないけど。 代数的じゃない解き方によるｎ次方程式の解の公式ってありますか？ 射影P:R^n→R;(x1,x2, ... , xn)→xn
って任意の点x∈Rが正則値になるようにおもうのですが。というのも
Px1=Px2=...=Pxn-1=0
Pxn=1
になるので臨界点が存在しなくないですか？
実際にはそんなことないんでしょうけど、どう誤っているか教えてほしいです。 >>555
例えば3次元球体の球面x^2+y^2+z^2=1の高さ関数
P(x,y,z)=z
って表したらPx=Py=0 Pz=1
P(x,y,z)=√(1-x^2-y^2)
って表したら臨界点は(0,0,±1)
みたいなことになりませんか？ 体K上のベクトル空間、とかでの「上の」という言葉使いはのはどういうところからきているのですか？
K係数であることが体Kの「上の」というイメージにつながらないのですが そんなどうでもいいこと気にしてたらいつまでたってもできるようになりませんよ まず係数体Kがあって、その上でベクトル空間が定義されるからだと思うが
少なくとも、方向的な意味で「上」と言ってる訳では決してない 体Kをふんわりおおってる空間みたいなイメージで
vector space over Kって言ったんじゃないかな
日本語の「上の」はoverの訳語かと K自体が1次元のベクトル空間で
一般のベクトル空間は上位次元だからだろ 英語のonをそう訳して使っているからだろ
壁に張り付いていようがonだ なぜ”on”なのかていう問題にすり替わるだけですよね
意味なんてないですよ >>561だな
環R上の加群/多項式環、多様体M上のベクトル場/層
などなどと同じ感じ >>561
＞まず係数体Kがあって、その上でベクトル空間が定義されるからだと思うが
なぜ、「その上」という表現なのですか？ いや、そこは数学関係なくただの日本語の文章だろ……
そこに疑問をもつのは深い洞察でもなんでもなくただのアホ >>571
加群にせよ層にせよ、それらのみで定義できるものではなく、基礎環(ground ring, base ring)や基礎空間(base space)を一つ決めて初めて、そこに乗っかる付加構造(… over ring/space)として定義できる
そもそも専門用語だから辞書的意味と整合性を取る必要もないわけだが、まあこの辺の用語は感覚的にも親しみやすく作られてると思うけど
どうしても違和感があるなら抽象概念の取り扱いに向いてないのかもしれん 言葉の定義だから意味がない、でいいわけですよね
ということは、>>561は説明になってないですよね 言葉遊びでそんなに夢中になれるなんてうらやまかわいそうだ >>573
R係数の多項式環R[X] は、それだけで定義されるものではなく変数Xを１つ決めてその上で付加構造として定義される、とも言えるのに、何故変数X上の多項式環という言い方はされないのですか？ ファイバーバンドルの言葉遣いで言えば
底空間の上にあるファイバーの方なのに
変な言葉遣いだなあ的な ゆとり、って言うより、スレを読むと
「10％の食塩水」と聞いて「重量濃度10％の食塩水」と固定で考える古い世代と
「いろいろな解釈があるがどう考えればいい？」で思考停止してしまう世代との違いが現れているように思う
異論あればドゾー
ていうかマルチすんなw >>576
環に対しその上の多項式環を与える、という対応を考えているから
変数の記号を固定せずとも多項式環は定義されるから「それだけで定義されるものではなく変数Xを１つ決めてその上で付加構造として定義される」は完全に誤り nxnの正方行列の各要素を全実数と全複素数であるとしたとき
nxnの正方行列が特異行列である確率はどのように考えれば導き出せるでしょうか？
2x2の正方行列[a,b;c,d]で単純化して考えると
ad-bc=0であるときに逆行列が存在せず特異行列となることは分かるのですが
各要素が全実数と全複素数であるとき、ad=bcである確率が求まりません 2x2だとあまりに難しくて全く手を出せないようだから、とりあえず1x1を考えれば？ >>584
1x1は行列式はその値なので
全実数と全複素数の範囲だと0しかないから
確率は1/∞なのは分かるのですが、2次正方行列以降の考え方が分からなくて ad=bcを満たすa,b,c,dの組みをNとすれば確率は1/Nで求められますね
Nはいくつでしょうね >>586
その考え方がわからないんです
全実数と全複素数の範囲で∞_allなので
ad=bcを満たすa,b,c,dの組はたぶんそれよりは小さい∞_1個あるのでしょうが
全体の∞_allとの比率が分かりませんよね
こういった場合にはどのように解くのですか？
ad=bcを満たすa,b,c,dはせいぜい有限個なのか
それとも無限に存在するから比較できないと諦めるのか
あるいは実数と複素数の範囲を可変にして、その割合の増加ペースを指標にして
統計学的？に解いていくのか
どういった手法で解くのでしょうか？ >>583
確率を計算するためにはその空間に確率測度というのを導入しないとダメ。
その例だと2次の実、又は複素係数の行列環の全体に確率測度を導入しないとダメで答えはその導入した確率測度による。
と言っても何言ってるかわからないとは思うけど、ザックリ普通に考えられる測度で考えるとad=bcとなる確率は0かな？ >>588
ありがとうございます
確率測度勉強してみます R^n上の一様分布は存在しないから、何かしら確率測度を指定する必要がある
各要素を[-1,1]の一様分布で与える、とかなら初等的に考えることもできる
2×2で雑に説明すると
d=0となる確率は0なので、d=0の場合は無視してよい
b,c,dを自由に取るとき
a=bc/d
でなければならない
[-1,1]から一つ実数を選ぶ時にbc/dを選ぶ確率は0
よって特異行列となる確率は0
一般のサイズでも帰納的に考えれば同様にできる
測度論的には確率を求めることは
{ (a,b,c,d)∈[-1,1]^4 | ad=bc }
の測度(≒体積)を求めることに対応してる >>591
ない
有限集合は、自然数全体の集合Nとして、n∈Nとの間に全単射が存在するようなnが存在する集合
一方、非可算集合は、Nへの単射が存在しない集合 デデキント有限集合と普通の有限集合は選択公理の下で同値になるんじゃなかったっけ？ >>581
なるほど
「多項式環」は変数を固定せずに定義されるから変数X上の、とは言わないけど、
「多項式環R[X]」は変数をXに固定さないと定義されないので、これを変数X上の構造とみなせば、変数X上の多項式環と言って良いということですね >>595
「〜と言って良いか」と言われると、書きたいなら勝手にそう書けばいい、としか言えない
変数の記号はただの表記上の記号に過ぎず、普通は"X"を数学的な対象とは見なさないし、その上に構造が入っているとも見なさない
Gを群とするときにR[G]をG上の群環と書くのは一般的な表現 ｎ次元空間をn次元の図形によって"敷き詰める"ことが可能かどうかについてはどの程度のことが分かっていますか？
例えばn=2なら三角形によって敷き詰めることが可能です。(四角形でも同じ)
ｎ=3なら立方体によって可能です。
これの一般化についてちょっと気になりました
ｎ次元立方体によって敷き詰めることが出来るような気はしますが、他の図形ではどうでしょう？
他にも敷き詰めることが出来るかどうかを判定する方法はあるのでしょうか？
もしくは"サイズが無限"の図形によって敷き詰めることは可能なのでしょうか？ 4次元は3つの正多胞体(超立方体と三角形による双対な2つ)
5次元以上は超立方体のみ ｎ変数部分帰納的関数ｆ、ｇについて質問ですが、
f \simeq g の定義って、｢ｆ、ｇの定義域が一致して、その定義域における値も一致している｣
つまり｢ｆ、ｇを(n+1)項関係関係と見たとき、集合としてｆ=ｇ｣という理解でいいですか？
それとも、｢ｆ、ｇの定義域は異なっていても良いが、ｆ、ｇ両方の定義域に属する元に対しては値が一致する｣ということですか？ >>601
部分関数に関するKleene equalityのこと？
だったら定義域も完全に一致せねばならない 斎藤毅著『微積分』を読んでいます。
以下の命題があります：
命題1.4.4
f(x) と g(x) を閉区間 [a, b] で定義された連続関数で、開区間 (a, b) で微分可能であるものとする。 (a, b) で f'(x) ≦ g'(x) であるとする。
a ≦ s ≦ t ≦ b ならば、
f(t) - f(s) ≦ g(t) - g(s) (1.7)
である。(1.7)で等号がなりたつならば、 (s, t) で f'(x) = g'(x) である。
これって分かりにくくないですか？
↑の命題と同値な以下の命題のほうが分かりやすいですよね。
命題(A)
f(x) と g(x) を閉区間 [a, b] で定義された連続関数で、開区間 (a, b) で微分可能であるものとする。 (a, b) で f'(x) ≦ g'(x) であるとする。
さらに、 f(a) = g(a) とする。
f(b) ≦ g(b) (1.7)
である。(1.7)で等号がなりたつならば、 (a, b) で f'(x) = g'(x) である。 >>603
> f(x) と g(x) を閉区間 [a, b] で定義された連続関数で、開区間 (a, b) で微分可能であるものとする。 (a, b) で f'(x) ≦ g'(x) であるとする。
> a ≦ s ≦ t ≦ b ならば、
>
> f(t) - f(s) ≦ g(t) - g(s) (1.7)
>
> である。
普通に反例があるだろ >>604
f'(s)≦g'(x)より
g(t)-g(s)-f(t)+f(s) = ∫_s^t(g'(x)-f'(x))dx≧0 環の教科書で、
>Aを可換環、I, JをAのイデアルとして、
>I:J = { x∈A | ∀a ∈J, xa∈I }
>をIのJによる商という。J=(a)なら、I:JをI:aとも書く。
>Aが整域なら、Aの商体の元aに対してもI:aを同様に定義する。
とあるのですが、最後の行で定義されるI:aというのがいまいちわかりません。
Aの商体をKとして、(a)をKのイデアルと考えると(a)=Kとなるので
I:a = { x∈A | ∀b ∈K, xb∈I }
という定義なのかとも思いますが、これは{0,1}とかあまり意味のない集合になってしまう気がします。
（xが0でも1でもないとするとx*(1/x^2) ? Iなので、x?I:a。）
それとも商体の場合はaで生成されるイデアル(a)を考えるのではなく
I:a = { x∈A | xa∈I }
と定義するのでしょうか？ >>606
たとえばA=Z(整数環)でI=9Z、a=3/2のときはI:a=6Zと定めるという事じゃないの？ 要素の属してる集合の記号使うか
集合に属してる要素の記号使うか >>607
ありがとうございます、I:a = { x∈A | xa∈I }ということですね
この記法の意味が分かっていないこともあってこれを使っているところが理解できていないのですが、
この意味だというつもりで理解を試してみます 可換環を勉強していますが今のところおもんないです
どの辺からおもろくなりますか？ やっぱり整数論とか代数幾何とかに応用し始めてからじゃない？ 面白くなるというより、環論はいろんなところで自然に出てくる基本的な道具だから嫌いとか言ってられなくなる
代数はもちろん、幾何なら関数環やコホモロジー環、解析ならバナッハ環や作用素環など それらを環論的に調べたことってある？
ただ「環になる」というだけではなく、可換環論の道具立てを用いて何か面白い結果を出したことは？ まあ可換環論とかになると代数幾何のまぁまぁ深いとこまでいかないと何やってんのかわかんないからな。
上の方であった分数イデアルの話もPicard群の話くらいまで進んでやっと意味分かるし。
４回進んで研究室入ってはじめてなるほどそういう話につながるのねってやっとわかったりする。
可換環論は代数幾何、代数解析、整数論とかに進まない限りごく基本的な概念さえわかってればなんとかなるかもね。
明らかに学部生向けの可換環論はそっち方面に行く人用に書かれてる事が多いと思う。
逆にいえば４回言ってから身いれて勉強するのもありかもしれん。
Hartshon の代数幾何の本とか読み出すといたるところ See Matsumura のオンパレードだからそこまで行って必要性を実感してから身入れて読み直す作戦もありかも。
しかしすると今度は Hartshorn はどこで使うのってなるかもしれないけどww >>613
これは612に対するレスでいいのかな
とりあえず答えておくと、まず自分は幾何系をやってるので解析の事情はよく知らない
多様体のある種のコホモロジー環の環としての性質を調べる、といったことはたまにやるよ
幾何における可換環論の有用性の話としては、少し専門的な話になるけど、環に関連した道具で(環のなす)層やスキーム論がある
それぞれ簡単に説明すると、層は空間上の局所的に定義される関数(一般には関数でなくてよい)を全て集めたような対象
スキームは、環を位相空間に置き換えて、さらにそれらを繋ぎ合わせて出来る空間
それぞれの道具の基礎づけには可換環論が必要で、これらから導かれた面白い結果は沢山ある >>615
すまん代数幾何は知ってる
コホモロジーに関してもH空間ならホップ代数絡みで触ったこともあるからほんこ少しは知ってる
ただ>>612の一行目は大袈裟じゃないかと ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
