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数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
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0001１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 10:52:58.86ID:z4iohU7S
暇なので
0002１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 10:55:05.90ID:1a/PLJA0
予選の問題はナシな
0004１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 11:43:35.18ID:z4iohU7S
なんでもいいよ
載ってるものなら
0006１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 15:15:59.48ID:gNepGNGq
>>1
さっさとIMOの問題1問以上解けや
0007１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 17:36:41.72ID:/OSBVUz8
>>5
数オリの問題が必ずしも面白い問題とは限ら無い
0008１３２人目の素数さん
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2018/03/29(木) 19:58:56.94ID:z4iohU7S
黒板に数字1と2が書かれている.次の方法で新しい数を黒板に書き足すことが許されるものとする.
黒板に数a,bがあるならばab+a+bを書くことができる.
このような方法で次の数を黒板に書くことができるか.
(1) 13121 (2) 12131
0009１３２人目の素数さん
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2018/03/30(金) 09:51:52.23ID:JsUa2TUe
>>8
お前なめてんの？
0010１３２人目の素数さん
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2018/03/31(土) 03:39:27.15ID:cSYr0gHe
>>8
n回目に黒板から選ぶa,bをそれぞれan,bnとし、新たに黒板に追加する数をcn=an+bnとする。
(1) an=1で固定し、b1=2とする。b[n+1]=cnとなるようにとると、c[n+1]=cn+1+cn=2cn+1となり、cn=2×3^n-1となりn=7とするとcn=13121が黒板に追加される。
0011１３２人目の素数さん
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2018/03/31(土) 04:00:49.51ID:cSYr0gHe
>>8
(2) c=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1=12131とすると(a+1)(b+1)=2^2×3^2×337
対称性より、a+1が337の倍数として考えてよい
[1] a+1=337のとき黒板には336が書けなければならない
つまり新たに(a+1)(b+1)-1=336とすると337が素数なのでこれは成り立たない
よって黒板には336は追加できないので[1]は不成立
順次場合分けすれば、いずれも(a+1)(b+1)=素数が出てきて不成立になるので12131は黒板に書けない
0012１３２人目の素数さん
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2018/03/31(土) 10:04:17.49ID:C82FVr5T
>>8

・ ab＋a＋b＝(a＋1)(b＋1)−1
・ a と b から (a＋1)(b＋1)−1 が作れる
・ (a＋1)−1 と (b＋1)−1 から (a＋1)(b＋1)−1 が作れる
・ x−1 と y−1 から xy−1 が作れる
・ 最初に黒板に書いてあるのは 2−1 と 3−1

このことから、黒板に書けるのは 2^n3^m−1 (n,m≧0, (n,m)≠(0,0)) という形の数に限定される。
また、この形の数は必ず黒板に書ける。

(1) 13121＝2^n3^m−1 (n,m≧0, (n,m)≠(0,0)) となるかを調べればよい。
(n,m)＝(1,8) とすればよい。よって、この数は黒板に書ける。

(2) 12131＝2^n3^m−1 (n,m≧0, (n,m)≠(0,0)) となるかを調べればよい。
12132＝2^n3^m となるかを調べればよい。12132＝4*9*337 であり、
337 は2でも3でも割り切れないので、12132＝2^n3^m は起こらない。
よって、この数は黒板に書けない。
0024１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 15:57:54.38ID:+o3/uUSM
整数 1
16+21k≦3×2003+1より、k≦285。
4008-286=3722。

整数2
a4<12である。すると
a1=1, a2=2, a3=4, a4=8と決まる。
8m+8mn=64。m+mn=8。a5=16, a6=48。

整数3
実際割ると、n+10|900。n=890。
0025１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 15:59:39.10ID:+o3/uUSM
テスト
0026１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 16:03:23.78ID:+o3/uUSM
整数 1
共通項16+21k≦3×2003+1よりk≦285。
4008-286=3722。

整数2
1, 2, 4, 8まできまり、8m, 8mnと置けて、
m=2, n=3。∴16, 48。

整数3
n+10|900より、nの最大値は890。
0027１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 16:13:45.60ID:+o3/uUSM
組合せ1
25C2=300。

組合せ2
13794/2=6897桁。9+180+2700=2889桁。
残り4008/4=1002個。全部で2001個。

組合せ3
与式/2=(2^n-2)/2=2^(n-1)-1は奇数である。
0028１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 16:26:55.31ID:+o3/uUSM
幾何1
(s-t)(s+t)=1より、s+t=1/2。

幾何2
底>1のとき指数関数は増加関数なのでt3<t4。
底<1のとき指数関数は減少関数なのでt2<t1。
t1<t3より、t4>t3>t1>t2。

幾何3
(√6±√2)/4。2±√3。
cosπ/12=√6+√2/4。
1/2。分母分子に掛ける。
8sin20をかけると、1/8。
0029１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 16:44:49.53ID:cRJXHdY2
数オリと大学への数学の宿題とでは、どちらの方が難しいのでしょうか？
0030１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 20:07:33.45ID:cRJXHdY2
The IMO Compendium持ってる人いますか？
0031１３２人目の素数さん
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2018/04/09(月) 22:01:20.61ID:cRJXHdY2
数オリって、才能ですか？
それとも、攻略法がありますか？
0032１３２人目の素数さん
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2018/04/10(火) 22:05:09.55ID:7QxnvtaX
整数4
k/nと(n-k)/n。異なれば偶数個が示せた。
同じならばn=2kとなり、既約ではない。この場合はそれ以外を考えれば良いので示された。
ユークリッドの互除法による。

整数5
1001=(a+f)(b+d)(c+e)=7×11×13。31。

整数6
1〜999の中に
2の倍数は499個。3の倍数は333個。5の倍数は199個。
6は166個。10は99個。15は66個。30は33個。
包除原理により733個。999-733=266個。100個。
0033１３２人目の素数さん
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2018/04/10(火) 22:21:05.90ID:7QxnvtaX
組合せ4
3は667個。4は500個。12は166個。
3または4は1001個。
15は133個。20は100個。60は33個。
15または20は200個。よって801個。

組合せ5
Aを一桁、Bを二桁、Cを三桁とする。
A=9, B=180, C=1794=3×598。697の7。

組合せ6
背理法。
女子ブロック:男女女男。男女男。13個以上。男子は26個以上。これは矛盾。
男子ブロック:女男男男女。女男男女。なので男子が取り合いになることはない。
別解。背理法。1人置きに２つに分ける。するとどちらも女子は12個以下となり合わせて24以下となるから矛盾。
0034１３２人目の素数さん
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2018/04/10(火) 22:25:30.54ID:7QxnvtaX
幾何4
二乗の所のsinとcosを変える。

幾何5
sinとcosに変えて加法定理。
別解。cotの加法定理。因数分解して与式になる。

幾何6
π/12の値を使う。普通の三角方程式になる。
変域を押さえる。
0036１３２人目の素数さん
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2018/04/11(水) 07:40:50.16ID:vtMoHJ1t
なんで役に立たないの？
0037１３２人目の素数さん
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2018/04/11(水) 11:15:47.93ID:lZSCuy2n
整数7
鳩の巣原理によりk個の巣に類別される。素数は無限個あるので少なくとも１つの巣には無限個の素数が入っている。
それらは全てp+ka(n)の形をしている。

整数8
積の総和は(0+1+…+9)^3-0。0を1に読み替えて、
(1+1+…+9)^3-1=46^3-1より、最大の素因数は103。

整数9
L=Gabより、(a-1)(b-1)=0となり、成り立つ。
別解。2次方程式を考える。与式と 解と係数の関係を使うと
{L, G}={m,m}が示される。G|Lより成り立つ。
0038１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/11(水) 11:30:07.71ID:lZSCuy2n
組合せ7
2^4=16通り。

組合せ8
16!/2^8通り。

組合せ9
最小でも20枚は必要。反例があれば上げて行く。
22枚の時、5,5,5,7とすると、2,2,2,3=9足となり不適。
23の時、少なくとも一色は偶数枚ある。すると無駄になるのは3枚以下になるので、23枚。
別解。2p+3であることを示す。
2p+2の時、1,1,1,2p-1はp-1足となり不適。
この組み合わせが作れない時でも4つの奇数で代用できる。
(4枚の無駄を発生させる)。
例えば解1において3,3,3,13とすると1,1,1,6=9で不適となる。
帰納法で2p+3が示せる。p+1の時、2p+5枚で、その5枚中一足作れる。残りの2p+3は帰納法の仮定により成り立つ。
0039１３２人目の素数さん
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2018/04/11(水) 11:35:25.07ID:lZSCuy2n
幾何7
円盤の面積。帯状領域。点対称。50π。

幾何8
正弦定理で辺をsinに変える。
倍角公式と和積変換で不等式が示せる。

幾何9
関数方程式。２乗する。一対一に対応する。
f(t)=√(t+1), -1≦t≦1。f(tan^2x)=secx。
0040１３２人目の素数さん
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2018/04/12(木) 17:43:40.06ID:+y6gkPFl
整数10
n^2の約数の個数。平方数なので奇数個。nより小は1を引いた半分。nの約数の個数。引くとrsになる。31×19=589。
別解。構成する。19×31=589。

整数11
2の冪乗×奇数と置く。1より大きな奇数の約数を持つ。

整数12
nの奇数の約数のうち最大のものをpとする。n=2^a×pと置ける。
pが等しい二数は一方が他方の二倍以上にならなければならない。矛盾。従って等しくなることはない。
集合として{1,3,…,4011}。2006^2+1003
=1003×4013=4025039。
0041１３２人目の素数さん
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2018/04/12(木) 18:05:28.85ID:+y6gkPFl
組合せ10
分子と分母は互いに素。素因数は2,3,5,7,11,13,17,19の8個。分子と分母に割り振るから2^8=256。分母>分子はちょうど半分だから128個。

組合せ11
1≦a<<b<<c<<d<<e≦18⇔
1≦a<b-1<c-2<d-3<e-4≦14より、
14C5=14×13×12×11×10/120=14×13×11=2002。

組合せ12
Aは1人と握手をしていないとする。それをBとする。
他の(N-2)人同士は全員が握手をしているとしてよい。
その(N-2)人はAとBとも握手をしているとしてよい。
すなわち(N-2)人は他の(N-1)人全員と握手をしている。
AはB以外の全員と握手をしている。
BはA以外の全員と握手をしている。
答え(N-2)人。
AはN-2人と、BはN-2人と、その他の人々はN-1人と握手をしている。
0042１３２人目の素数さん
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2018/04/12(木) 18:20:31.10ID:+y6gkPFl
幾何10
4と6を代入するだけ。次数下げ。

幾何11
15,36,39{5:12:13)の大三角形よりも1ずつ小さい相似な三角形を考える。内心。角の二等分線。面積比。相似比。
5/6倍なので、15×36×25/36 ÷13×34=15×25/13×34
=375/442。

幾何12
二乗して足す。C=30,150。150だと矛盾。
30で矛盾が生じないのかは不明だが答え30°。
0043１３２人目の素数さん
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2018/04/13(金) 12:02:06.15ID:77Nm3n+g
整数13
27000=2^3×3^3×5^3。分数と整数の総和は、
(2^7-1)(3^7-1)(5^7-1)/2^6×3^3×5^3。

整数14
(1)どちらも2^a×5^の形なのでこの形を保存しなければならない。l=Max、g=Minとして調べる。慣れないとミスしやすい。4,3,それ以下。3,3,それ以下。それぞれの順列。
これらは独立なので7×10=70個。
(2)素因数分解しておく。l=Max、g=Minとして調べる。
対等性より大小を設定してよく、簡単に消去できる。


整数15
仮定を反映させて文字を設定する。互いに素を利用する。最終的にc=a'b'とg=b'-a'が示せる。
0044１３２人目の素数さん
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2018/04/13(金) 12:23:21.56ID:77Nm3n+g
組合せ13
x=2y-1と置き換える。50C3=50×49×8=19600個。

組合せ14
人名の数に関する帰納法で示す。
n=1の時、シャッフルすれば良い。
nの時に成り立つと仮定するとn+1の時、
(1)aのみの人名が書かれたカードの枚数が左右で等しい時。
帰納法の仮定によりaを無視するシャッフルでa以外について成立する。両側にaを同数加えても成り立っている。
(2)左より右の方が多い場合も同様である。
(3)左の方が右よりも多い場合はaについてのシャッフルを一度だけ行う。その結果成り立てば終わり。
成り立たなければ(2)になっているのでaを無視するシャッフルで成り立たせることができる。(証明終)

組合せ15
繰り上がりが必ず発生するのは5,6,7,8の場合である。
その他の場合は、1999, 1a99, 1ab9, 1abc9として、
0,1,2,3,4を代入すると、1+5+5^2+5^3=156。
0045１３２人目の素数さん
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2018/04/13(金) 12:27:41.47ID:77Nm3n+g
幾何13
移項してtanの加法定理。注も同様。

幾何14
1^2+8^2=4^2+7^2=65に注意する。
二乗して加えてcosの加法定理。

幾何15
和積変換+二倍角の公式→和積変換。注も同様。
0046１３２人目の素数さん
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2018/04/14(土) 18:43:44.66ID:rYST/HlV
整数16
p|aとするとp|bとなる。
そうでない場合、a^3≡b^3。フェルマーの小定理。

整数17
因数分解の公式。7×43×271×331より652。

整数18
n=5のみである。1〜9まで調べる。完全立方数ならば5の倍数であるから125の倍数である。n!は125の倍数なので5が125の倍数にならないといけない。矛盾。
別解。mod7で5になる。
mod7における立方剰余は0, ±1のみなので矛盾。
0047１３２人目の素数さん
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2018/04/14(土) 19:00:54.55ID:rYST/HlV
組合せ16
5×4×3=60。

組合せ17
二つのペアの差は16C2=120。悪いペアは高々16個。
悪いペアでないペアは少なくとも104個。
2数の差は1〜99なので鳩の巣原理により、差の等しい二つのペアが存在する。
ある数aについてaによる悪いペアが 2組以上存在すると証明は完結する。よって悪いペアは高々一つと仮定して良い。

組合せ18
材質2。大きさ3。色4。形4。
異なるのはそれぞれ1, 2, 3, 3。
2+3+3+6+6+9=29。
0048１３２人目の素数さん
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2018/04/14(土) 19:06:08.62ID:rYST/HlV
幾何16
3倍角の公式。

幾何17
展開する。相加相乗平均の不等式。 2倍角の公式。
使った不等式を二乗してまた使う。

幾何18
一般性を失うことなく大小関係を設定して良い。
正弦定理。A≧60°と合わせてA>150°。
0049１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/15(日) 12:46:22.27ID:qwjLd3sE
整数19
p≠3の時。p^2+11=A。3|A。
p≠2の時、2|A。4|A。よってこの時、12| A。
12は約数を6個もつので不適。
p=2の時、4個。p=3の時、適する。

整数20
10進法と7進法。k=2、2a2-4a1-a0=0。
630。49×6+7×3=315。

整数21
設定して二項定理。
反例。3^4≡1^4 mod4^2であるが3≡1mod4ではない。
0050１３２人目の素数さん
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2018/04/15(日) 13:08:37.14ID:qwjLd3sE
組合せ19
全て同じ場合。10個。
それ以外の場合。異なる二桁を持つ。2個ずつ対応するのて、
2×9990+10=19990。
別解。包除原理。1000×10×2-10=19990。

組合せ20
円順列。49C2=49×24=1176。
点対称の位置は中心を除いて24個ある。
1152/4 +24/2=288+12=300。

組合せ21
mod3で考えて良い。0,1,2,0,1,2,0。
a4≡0。a1≡a5。a2≡a6。a3≡a7。{0,1,2},0,{0,1,2}。
3×6×4×2=144。
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