数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
載ってるものなら
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/143
さっさとIMOの問題1問以上解けや
数オリの問題が必ずしも面白い問題とは限ら無い
黒板に数a,bがあるならばab+a+bを書くことができる.
このような方法で次の数を黒板に書くことができるか.
(1) 13121 (2) 12131
お前なめてんの？
n回目に黒板から選ぶa,bをそれぞれan,bnとし、新たに黒板に追加する数をcn=an+bnとする。
(1) an=1で固定し、b1=2とする。b[n+1]=cnとなるようにとると、c[n+1]=cn+1+cn=2cn+1となり、cn=2×3^n-1となりn=7とするとcn=13121が黒板に追加される。
(2) c=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1=12131とすると(a+1)(b+1)=2^2×3^2×337
対称性より、a+1が337の倍数として考えてよい
[1] a+1=337のとき黒板には336が書けなければならない
つまり新たに(a+1)(b+1)-1=336とすると337が素数なのでこれは成り立たない
よって黒板には336は追加できないので[1]は不成立
順次場合分けすれば、いずれも(a+1)(b+1)=素数が出てきて不成立になるので12131は黒板に書けない
・ ab＋a＋b＝(a＋1)(b＋1)−1
・ a と b から (a＋1)(b＋1)−1 が作れる
・ (a＋1)−1 と (b＋1)−1 から (a＋1)(b＋1)−1 が作れる
・ x−1 と y−1 から xy−1 が作れる
・ 最初に黒板に書いてあるのは 2−1 と 3−1
このことから、黒板に書けるのは 2^n3^m−1 (n,m≧0, (n,m)≠(0,0)) という形の数に限定される。
また、この形の数は必ず黒板に書ける。
(1) 13121＝2^n3^m−1 (n,m≧0, (n,m)≠(0,0)) となるかを調べればよい。
(n,m)＝(1,8) とすればよい。よって、この数は黒板に書ける。
(2) 12131＝2^n3^m−1 (n,m≧0, (n,m)≠(0,0)) となるかを調べればよい。
12132＝2^n3^m となるかを調べればよい。12132＝4*9*337 であり、
337 は2でも3でも割り切れないので、12132＝2^n3^m は起こらない。
よって、この数は黒板に書けない。
16+21k≦3×2003+1より、k≦285。
4008-286=3722。
整数2
a4<12である。すると
a1=1, a2=2, a3=4, a4=8と決まる。
8m+8mn=64。m+mn=8。a5=16, a6=48。
整数3
実際割ると、n+10|900。n=890。
共通項16+21k≦3×2003+1よりk≦285。
4008-286=3722。
整数2
1, 2, 4, 8まできまり、8m, 8mnと置けて、
m=2, n=3。∴16, 48。
整数3
n+10|900より、nの最大値は890。
25C2=300。
組合せ2
13794/2=6897桁。9+180+2700=2889桁。
残り4008/4=1002個。全部で2001個。
組合せ3
与式/2=(2^n-2)/2=2^(n-1)-1は奇数である。
(s-t)(s+t)=1より、s+t=1/2。
幾何2
底>1のとき指数関数は増加関数なのでt3<t4。
底<1のとき指数関数は減少関数なのでt2<t1。
t1<t3より、t4>t3>t1>t2。
幾何3
(√6±√2)/4。2±√3。
cosπ/12=√6+√2/4。
1/2。分母分子に掛ける。
8sin20をかけると、1/8。
それとも、攻略法がありますか？
k/nと(n-k)/n。異なれば偶数個が示せた。
同じならばn=2kとなり、既約ではない。この場合はそれ以外を考えれば良いので示された。
ユークリッドの互除法による。
整数5
1001=(a+f)(b+d)(c+e)=7×11×13。31。
整数6
1〜999の中に
2の倍数は499個。3の倍数は333個。5の倍数は199個。
6は166個。10は99個。15は66個。30は33個。
包除原理により733個。999-733=266個。100個。
3は667個。4は500個。12は166個。
3または4は1001個。
15は133個。20は100個。60は33個。
15または20は200個。よって801個。
組合せ5
Aを一桁、Bを二桁、Cを三桁とする。
A=9, B=180, C=1794=3×598。697の7。
組合せ6
背理法。
女子ブロック:男女女男。男女男。13個以上。男子は26個以上。これは矛盾。
男子ブロック:女男男男女。女男男女。なので男子が取り合いになることはない。
別解。背理法。1人置きに２つに分ける。するとどちらも女子は12個以下となり合わせて24以下となるから矛盾。
二乗の所のsinとcosを変える。
幾何5
sinとcosに変えて加法定理。
別解。cotの加法定理。因数分解して与式になる。
幾何6
π/12の値を使う。普通の三角方程式になる。
変域を押さえる。
秋山 仁 + P.フランクル「[完全攻略］数学オリンピック」日本評論社(1991)
という本が昔あったけど、今じゃ役に立たないだろうね。
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1495.html
鳩の巣原理によりk個の巣に類別される。素数は無限個あるので少なくとも１つの巣には無限個の素数が入っている。
それらは全てp+ka(n)の形をしている。
整数8
積の総和は(0+1+…+9)^3-0。0を1に読み替えて、
(1+1+…+9)^3-1=46^3-1より、最大の素因数は103。
整数9
L=Gabより、(a-1)(b-1)=0となり、成り立つ。
別解。2次方程式を考える。与式と 解と係数の関係を使うと
{L, G}={m,m}が示される。G|Lより成り立つ。
2^4=16通り。
組合せ8
16!/2^8通り。
組合せ9
最小でも20枚は必要。反例があれば上げて行く。
22枚の時、5,5,5,7とすると、2,2,2,3=9足となり不適。
23の時、少なくとも一色は偶数枚ある。すると無駄になるのは3枚以下になるので、23枚。
別解。2p+3であることを示す。
2p+2の時、1,1,1,2p-1はp-1足となり不適。
この組み合わせが作れない時でも4つの奇数で代用できる。
(4枚の無駄を発生させる)。
例えば解1において3,3,3,13とすると1,1,1,6=9で不適となる。
帰納法で2p+3が示せる。p+1の時、2p+5枚で、その5枚中一足作れる。残りの2p+3は帰納法の仮定により成り立つ。
円盤の面積。帯状領域。点対称。50π。
幾何8
正弦定理で辺をsinに変える。
倍角公式と和積変換で不等式が示せる。
幾何9
関数方程式。２乗する。一対一に対応する。
f(t)=√(t+1), -1≦t≦1。f(tan^2x)=secx。
n^2の約数の個数。平方数なので奇数個。nより小は1を引いた半分。nの約数の個数。引くとrsになる。31×19=589。
別解。構成する。19×31=589。
整数11
2の冪乗×奇数と置く。1より大きな奇数の約数を持つ。
整数12
nの奇数の約数のうち最大のものをpとする。n=2^a×pと置ける。
pが等しい二数は一方が他方の二倍以上にならなければならない。矛盾。従って等しくなることはない。
集合として{1,3,…,4011}。2006^2+1003
=1003×4013=4025039。
分子と分母は互いに素。素因数は2,3,5,7,11,13,17,19の8個。分子と分母に割り振るから2^8=256。分母>分子はちょうど半分だから128個。
組合せ11
1≦a<<b<<c<<d<<e≦18⇔
1≦a<b-1<c-2<d-3<e-4≦14より、
14C5=14×13×12×11×10/120=14×13×11=2002。
組合せ12
Aは1人と握手をしていないとする。それをBとする。
他の(N-2)人同士は全員が握手をしているとしてよい。
その(N-2)人はAとBとも握手をしているとしてよい。
すなわち(N-2)人は他の(N-1)人全員と握手をしている。
AはB以外の全員と握手をしている。
BはA以外の全員と握手をしている。
答え(N-2)人。
AはN-2人と、BはN-2人と、その他の人々はN-1人と握手をしている。
4と6を代入するだけ。次数下げ。
幾何11
15,36,39{5:12:13)の大三角形よりも1ずつ小さい相似な三角形を考える。内心。角の二等分線。面積比。相似比。
5/6倍なので、15×36×25/36 ÷13×34=15×25/13×34
=375/442。
幾何12
二乗して足す。C=30,150。150だと矛盾。
30で矛盾が生じないのかは不明だが答え30°。
27000=2^3×3^3×5^3。分数と整数の総和は、
(2^7-1)(3^7-1)(5^7-1)/2^6×3^3×5^3。
整数14
(1)どちらも2^a×5^の形なのでこの形を保存しなければならない。l=Max、g=Minとして調べる。慣れないとミスしやすい。4,3,それ以下。3,3,それ以下。それぞれの順列。
これらは独立なので7×10=70個。
(2)素因数分解しておく。l=Max、g=Minとして調べる。
対等性より大小を設定してよく、簡単に消去できる。
整数15
仮定を反映させて文字を設定する。互いに素を利用する。最終的にc=a'b'とg=b'-a'が示せる。
x=2y-1と置き換える。50C3=50×49×8=19600個。
組合せ14
人名の数に関する帰納法で示す。
n=1の時、シャッフルすれば良い。
nの時に成り立つと仮定するとn+1の時、
(1)aのみの人名が書かれたカードの枚数が左右で等しい時。
帰納法の仮定によりaを無視するシャッフルでa以外について成立する。両側にaを同数加えても成り立っている。
(2)左より右の方が多い場合も同様である。
(3)左の方が右よりも多い場合はaについてのシャッフルを一度だけ行う。その結果成り立てば終わり。
成り立たなければ(2)になっているのでaを無視するシャッフルで成り立たせることができる。(証明終)
組合せ15
繰り上がりが必ず発生するのは5,6,7,8の場合である。
その他の場合は、1999, 1a99, 1ab9, 1abc9として、
0,1,2,3,4を代入すると、1+5+5^2+5^3=156。
移項してtanの加法定理。注も同様。
幾何14
1^2+8^2=4^2+7^2=65に注意する。
二乗して加えてcosの加法定理。
幾何15
和積変換+二倍角の公式→和積変換。注も同様。
p|aとするとp|bとなる。
そうでない場合、a^3≡b^3。フェルマーの小定理。
整数17
因数分解の公式。7×43×271×331より652。
整数18
n=5のみである。1〜9まで調べる。完全立方数ならば5の倍数であるから125の倍数である。n!は125の倍数なので5が125の倍数にならないといけない。矛盾。
別解。mod7で5になる。
mod7における立方剰余は0, ±1のみなので矛盾。
5×4×3=60。
組合せ17
二つのペアの差は16C2=120。悪いペアは高々16個。
悪いペアでないペアは少なくとも104個。
2数の差は1〜99なので鳩の巣原理により、差の等しい二つのペアが存在する。
ある数aについてaによる悪いペアが 2組以上存在すると証明は完結する。よって悪いペアは高々一つと仮定して良い。
組合せ18
材質2。大きさ3。色4。形4。
異なるのはそれぞれ1, 2, 3, 3。
2+3+3+6+6+9=29。
3倍角の公式。
幾何17
展開する。相加相乗平均の不等式。 2倍角の公式。
使った不等式を二乗してまた使う。
幾何18
一般性を失うことなく大小関係を設定して良い。
正弦定理。A≧60°と合わせてA>150°。
p≠3の時。p^2+11=A。3|A。
p≠2の時、2|A。4|A。よってこの時、12| A。
12は約数を6個もつので不適。
p=2の時、4個。p=3の時、適する。
整数20
10進法と7進法。k=2、2a2-4a1-a0=0。
630。49×6+7×3=315。
整数21
設定して二項定理。
反例。3^4≡1^4 mod4^2であるが3≡1mod4ではない。
全て同じ場合。10個。
それ以外の場合。異なる二桁を持つ。2個ずつ対応するのて、
2×9990+10=19990。
別解。包除原理。1000×10×2-10=19990。
組合せ20
円順列。49C2=49×24=1176。
点対称の位置は中心を除いて24個ある。
1152/4 +24/2=288+12=300。
組合せ21
mod3で考えて良い。0,1,2,0,1,2,0。
a4≡0。a1≡a5。a2≡a6。a3≡a7。{0,1,2},0,{0,1,2}。
3×6×4×2=144。
内角の和。加法定理。相加相乗平均の不等式。
同値な形。
幾何20
鋭角三角形。相加相乗平均の不等式。
注。定義されている範囲において三角形の内角でなくとも成り立つ。
幾何21
直角三角形の時。
それ以外の時。前問に帰着される。
全単射な関数であることを利用する。
帰納法。p-1以下での成立を仮定することに注意する。
二項係数の公式。
別解。互いに素。
整数23
フェルマーの小定理。n=(p-1)^2kとすれば良い。
整数24
n=4の時、成り立たない。
n≧5の時、mod10で3となり、完全平方数になることはなく
従って偶数乗になることはない。
n≦8を直接調べて成り立たないことを確かめられる。
n≧9に対して、27の倍数であるが
1+2+6+24+120+720+5040+40320
46233/3→15411/3=5137→×。
立方数になるためには素因数3に関しても立方数になっていなければならないがそれが不可能であることが示された。
少なくともA,Bのどちらか一方には属する。
3^n-1/2 +1=3^n+1/2より、365。
組合せ23
三角形の成立条件。
4,5,9,14,23,37,60,97,157,254
足して次の項にしている。
n=254は満たさない。これは必要条件なので逆にそれ以下だと満たしてしまう。フィボナッチ数列。n=253ならばOK。
組合せ24
集合Aが有限である場合。満たす数は無限集合Bに属する。
逆も同様である。
どちらも無限集合とする。
Aから3数xyz>nかつy-z>nを選ぶ。これは可能である。
y-zはA,Bどちらでも矛盾する。
後半。xについて解く。yzは決まる。cosの加法定理。
三角形の内角の和。
前半は逆を辿ることで示される。
幾何23
(1)問題8と相加相乗平均の不等式。
別解。相加相乗平均の不等式。問題22。因数分解される。
(2)問題22と(1)より示される。
(3)基本公式と(2)。
(4)相加相乗平均の不等式と(3)。
(5)問題8と対等性。相加相乗平均の不等式。
幾何24
(3)(4)は(2)とcos2倍角。
(1)和積変換。三角形の内角の和。
(2)和積変換。三角形の内角の和。和積変換。
(4)の後半。増加関数。高々１つ。鋭角であることを示す。
別解。係数行列の行列式が0となること。
奇数と偶数で場合分け。x^k+y^kはkが奇数の時、x+yで割り切れる。(m+1, 2m+1)=(m+1, -1)=(0, -1) =1。互いに素。
nが偶数の時も同様。
整数26
p-4=q^4と置く。q≧2。(q+1)^2+1>(q-1)^2+1≧2。
これは素数であることに反する。合成数である。
整数27
縦のものを横に数える。Σk[n/k]≦Σn=n^2。
100(10)=1100100(2)→3^6+3^5+3^2=729+243+9=981。
組合せ26
2枚のカードを取り、固定する。ある１つの項目に関して2枚のカードが同じ場合3枚目も同じになる。2枚のカードが異なる場合3枚目は異なる。他の二項目に関しても同様である。
従ってどちらの場合でも1枚に決まってしまう。
27C2/3=117。
組合せ27
仮定より全ての参加者に友達が少なくとも1人存在する。
2≦k≦mのkで、k人のうちの任意の2人について友達であると仮定する。
他のm-k人を加えるとk人全てと友達である人間が存在する。
A(k+1)。「自分は自分と友達になれない」からこれはk人以外の人間である。これを繰り返すことにより、任意の2人が友達であるm+1人の組合せが作られる。もっと多くても良い。
m+1人より多くは存在しないことの証明。
他の人Bを取ってくる。Bには友達がいる。
(1)m+1人の中にBの友達が2人以上いると仮定する。その2人を除きBを加えたm人の集合についてこのm人は共通の友人(除かれた2人)を2人持つことになって仮定に反する。
(2)Bの友達が多くとも1人だけいると仮定する。それをA1とする。A1は友達の可能性もあるし友達でない可能性もある。
m人集合{B,A1,A3,…Am}は共通の友達Cを持つ。C≠Ai (i=1〜m+1)である。C=A1とするとA1はm-1人になってしまう。
Cの友達は{B,A1,A3,A4,…Am}である。m (≧3)人集合の最小値は{B,A1,A3}である。
Cは少なくとも友達{A1,A3}を持つので(1)に帰着され矛盾が導かれる。答えは、参加者はm+1人で友達の数の最大値はm人である。
(1)正弦定理。
(2)正弦定理。
(3)正弦定理。
(4)余弦定理。半角の公式。三角形の周の長さの半分。
ヘロンの公式。
(5)正弦定理。問題24(1)。
幾何26
(1)内接円の半径と三角形の面積。問題25(2)(4)(1)。
2倍角の公式。
(2)(1)と問題23(4)。
幾何27
(1)和積変換。2倍角の公式。和積変換。
(2)問題25(3)。オイラーの公式。
別解。外接円。トレミーの定理。
組合せ27
別解。Pの友達の集合をSとする。|S|=n。
m-1個の元を持つSの任意の部分集合をS'とする。PをS'に加えてm人にする。このm人全員と友達であるQが存在する。Q∈Sである。
S1, S2∈S'を取る。QS1=QS2と仮定すると、QはS1∪S2である、m個の元を持つ集合の要素全員と友達である。またPとも友達であるからQは友達をm+1人以上持ち矛盾である。
よってQS1≠QS2である。任意のQは全て相異なる。
相異なる部分集合の個数はm≧3より、
nC(m-1)≧nC2>n (∵n≧4)。
よって全てのQの種類は、存在する人数よりも多くなってしまう。従って任意のQが相異なることはなくどれかは一致してしまい矛盾する。鳩の巣原理。
i=jとすると2i/i=2。
2以外の要素のうち最小のものをsとする。
sが奇数の時、(s+2)/1=s+2∈Sとなり、奇数が無限に続くので矛盾。
sが偶数の時、(s+2)/2=s/2 +1∈S。
s≧4>2、2<3≦s/2 +1<sとなり、sの最小性に反する。
注。異なっていなければならないという条件が加わると
{a+1, a(a+1)} (a=2,3,4,5,…)
整数29
2^3≡-1 mod9より、2^29≡5。答えは4。
実際に2^29=536870912であり、4以外は全て出現する。
整数30
n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1)>1 (∵n>1)
よって素数ではない。合成数である。
Ti=Hi=18!であり、Ni=(Ti+Hi)×7×13。
よって平均値はΣNi/20!=7×13×2/20=91/10。
別解。Ai=2× (n-2)C(k-1)/nCk。
(n-1)Ai= (n-1)×2× k(n-2)C(k-1)/n× (n-1)C(k-1)
=2k(n-k)/n。2×7×13/20=91/10。
組合せ29
ラベルの張り替え。n→2^(k-1) +1 -n/2と変わる。
1024→1、1022→2、…、2→512。
漸化式を解いて、L10=4^5/3 +2/3=342。
組合せ30
約数の個数。rs=31×19=589。
別解。2^a=3^bとなることはないので、31×19=589。
i=jとすると2i/i=2。
2以外の要素のうち最小のものをsとする。
sが奇数の時、(s+2)/1=s+2∈Sとなり、奇数が無限に続くので矛盾。
sが偶数の時、(s+2)/2=s/2 +1∈S。
s≧4>2、2<3≦s/2 +1<sとなり、sの最小性に反する。
注。異なっていなければならないという条件が加わると
{a+1, a(a+1)} (a=2,3,4,5,…)
整数29
2^3≡-1 mod9より、2^29≡5。答えは4。
実際に2^29=536870912であり、4以外は全て出現する。
整数30
n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1)>1 (∵n>1)
よって素数ではない。合成数である。
(1)鋭角三角形。問題24(4)。問題23(1)(2)。問題22。
問題23注。
(2)(5)と相加相乗平均の不等式。
(3)コーシー・シュワルツの不等式と(5)。
(4)(1)と同様。
(5)⇔(4)
(6)(5)とcosの2倍角の公式。
(7)(2)と問題25(5)。
幾何29
tanの3倍角の公式。
幾何30
(1+tank)(1+tan(45-k))=2。与式=2^23となる。
別解。途中計算について。
幾何的に考えつつ組合せ的に考える。
y座標が定まる。余弦定理と三平方の定理。
x座標が定まる。面積が求まる。
別解。三角関数を使う。x座標が簡単に求まる。
幾何32
cos^-1(sinθ)=π/2 -θより、
x>0の時、tancos^-1sintan^-1x=1/x。
x<0の時、tan sin^-1costan^-1x=1/x。
幾何33
問題25(4)。積和変換。
正弦定理。和積変換。
幾何35
問題34。
幾何36
問題20(1)の注。2倍角の公式。問題20(1)。
正弦定理。
問題15。
幾何38
sinを掛ける。
幾何39
置き換え。相加相乗平均の不等式。
相加相乗平均の不等式。
幾何41
帰納法。和積変換。
幾何42
解析。置き換え。合成。
コーシー・シュワルツの不等式。
幾何44
解析。加法定理。2次方程式の2解。取り得る値の範囲。
幾何45
置き換え。
場合分け。置き換え。平方完成。
幾何47
帰納法。加法定理。
幾何48
要素が一致する条件。和積変換。
チェビシェフ多項式。
(1)帰納法。偶関数、奇関数。
(2)帰納法。
(3)帰納法。積和変換。
(4)区間 [0, π/2] の上で一対一写像。
(5)奇関数または偶関数。場合分け。
幾何50
チェバの定理。三角比による表示。
幾何51
ブロカール点。
問題28(5)。コーシー・シュワルツの不等式。
別解。f(x)= logsinx。イェンセンの不等式。
別解。積和変換。2倍角の公式。
問題23(1)。
幾何52
(1)和積変換。2倍角の公式。
(2)和積変換。
(3)補題の証明。積和変換。
(4)(5)2倍角の公式。3倍角の公式。
ガウスの補題。
注。技巧的な変換により場合分けが減る。
(6)2倍角の公式。加法定理。
解と係数の関係。
注。一般化。解と係数の関係。cot^2の和。
2と5を含む必要がある。それ以外の素数を設定する。
x+y≦xy (整数2以上、実数1以上)を導く。重要。
これが拡張される。重要。
2,3,5,7に絞られる。
さらに5のみに絞られ、{2,3,5,5}を得る。
整数32
mod9で考えてn≡0。9と11111は互いに素なのでnは99999の倍数。0<x+y<99999×2より、x+y=99999に決まる。
繰り上がりを考える。
5!×2^5×(9/10)=12×32×9=3456。
整数33
背理法。1999/19<106。少なくとも1つは105以下であり、各桁の和は99の時の18以下である。
Sの総和≡Sの各桁の総和 mod9
これよりk≡1。k=1,10。
495。1495。1990。次に大きい数字を取ってくると208であり、総和は2008となり矛盾する。
3≦p≦qと仮定してよい。フェルマーの小定理。
p=3に決まる。q=3、13。
整数35
a(n)=11111(1が3^n個)とする。
a(n)≡0 mod3^nを帰納法で示す。
a(k+1)=11.…1 11…1 11…1=11…1(10^(2×3^k) +10^3^k +1)
=a(k)×100…0 100…0 1
≡a(k) mod 3
≡0 mod 3^k。
整数36
等比数列の和。因数分解。互いに素。
別解。mod p。
(1)aはmodbで逆元を持つ。ax≡1modbとする。
同一の素因数a,x,a+bからなる数列を構成する。s(n)=(a+b)(ax)^n。これらは与えられた等差数列に全て含まれる。
(2)全ての項がaとも互いに素となるような部分列を構成する。
別解。オイラーの定理を用いる。
(1)十分大きいnに対しては成り立つ。
(2)yiは問題の等差数列の項であるから、定めた数列は題意を満たす。
構成の仕方：yiの積を作る。オイラーの定理が使えるようにaの冪乗を作る。増加数列になるようにaの冪乗を作る。
すると全てのyiに対してyi≡a modbとできる。
整数38
(1)ユークリッドの互除法。
(2)指数のgcdを求めることに帰着される。重要。
別解。多項式の割り算→整数の割り算。互いに素。
(3)mが割り切ることを示す。mは2の約数であることと奇数であることによりm=1である。矛盾が導ける。
(4)ユークリッドの互除法。和が偶数の時gcdは12、和が奇数の時gcdは2。
整数39
(1)二進法。平面を2^0 x+2^1 y+2^2 z=0と定める。
(2)三進法。981。
(3)四進法。全ての桁は0または1。n=2^ a+2^0 bと置く。
どのように作ってもnには繰り上がりは生じない、
異なるai、biに対して作られたnは全て異なる。
分かりました。1日1題は「I MOの問題」にします。
それ以外は小問を進めさせてください。お願いします。
(21n+4, 14n+3)=(7n+1, 14n+3)=(7n+1, 1)=(0,1)=1。
よって分子と分母は互いに素なので、既約分数である。
(1)aは23!/13以外は13で割り切れる。
a=12!×23×22×21×…×14
≡12!×10×9×8×0…×1 mod13
=12!×10!=(12!)^2/11×12
≡(-1)^2/11×12 (ウィルソンの定理)
≡1/2≡7。
(2)((p-1)!)^2×m/nは整数である。{n^-1}≡{n}である。
ウィルソンの定理。互いに素。
(3)Σ(1/i +1/(p-1))。互いに素。
整数41
式の対称性。不等式で絞る。実際に調べる。
整数42
(1)最初の桁が1であるもの、23であるもの、4567であるものはそれぞれ603個ある。
1<x<2より、2<2x<4。4<4x<8。8<8x<16。
残りの195個は89である。この場合のみ最初の桁の数字が4となる。
別解。3個の要素からなる場合は12,35,67である。
4個の要素からなる場合は1,2,4,89である。
連立方程式が作れて、195個。
(2)ab=10に定まる。2^nと5^nの最初のk桁はどちらも√10の最初のk桁に一致する。
(1)9。mod4と7の関係。3。
(2)φ(1000)=1000×1/2 ×4/5=400。
オイラーの定理。逆元。二項定理。241。
(3)mod25。冪数計算。中国剰余定理。
9の倍数の見分け方。594。
別解。倍数の見分け方。9,11,7。
互いに素な分け方をしないと駄目。使えない。
(4)下一桁は2となることが必要。modの割り算。192。
整数44
既約剰余系。ウィルソンの定理。
全部の積が-1にならなければならない。
整数45
逆元。唯一性。問題44より、既約剰余系ではない。
問題45より、個数の最大値はp-2個である。
ak= n!/k!と置く。dはakの倍数。dはn!の約数。
次々に引いて行くと最後には0になる。
別解。帰納法。
整数47
nの最小の素因数をpとする。3^n≡-1 mod p
フェルマーの小定理。素因数pの最小性により
p-1とは互いに素。
整数48
格子点の個数に帰着させる。
互いに素とは限らない場合の数え方。
整数49
(1)d=ord(p,q)をmod pにおけるqの位数とする。
dは2rを割り切るがrを割り切らない。
フェルマーの小定理。
(2)フェルマーの小定理。フェルマー数。
ord(p,q)=2^(n+1)| p-1。
整数50
n=1〜6までを調べる。pを素数とする。
n=pの時。ウィルソンの定理。床関数。
n=p-1の時。ウィルソンの定理。床関数。
n, n+1の双方が合成数の時。互いに素。ルジャンドル関数により、偶数であることが分かる。
整数51
互いに素。一意性。m=8, p, 2p, 4p (pは奇素数)。
整数52
10の倍数の時は不適。
・n=2^k, 5^kの時。例題1.53。
・nが10と互いに素の時。オイラーの定理。
11111111(1をφ(9n )個並べたもの|n。
・n=a^s ×m (a=2, 5。gcd(m,10)=1)の時。
鳩の巣原理。
両辺を二乗する。
「√の中身は非負」に注意して変形する。
(1)1/2≦x≦1。
(2)解なし。
(3)x=3/2。
1990=79×25+15。この場合12列必要になる。
分断は高々9校である。
組合せ32
3816回桁数の増加がある。184回は桁数の増加が無い。
184。
組合せ33
総和が同じ時、最後の一つを除いた和は異なる。もし同じだと最後も同じになってしまうから。
ai=111111(n-1個)。n≦4と分かる。n= 1はOK。
n=2の時。m=1+2=3。
n=3の時。m=1+2+2=1+1+3。
n=4の時。m=1222, 1114, 1123,
Sの元の個数は5以下である。4個以下とすると和は56。鳩の巣原理。{15,14,13,11,8}とする。61。
組合せ35
帰納法。全て0004状態に帰着させられる。
一つ特別扱いをする。アルゴリズム。
組合せ36
帰納法。2のべきとそれ以外に場合分け。構成する。
前と異なるように塗っていき、最後は題意を満たせばOKで、満たさなければ一個少ないものの題意を満たす。
531444。
組合せ38
奇数人と仮定して矛盾を導く。
別解。背理法無しでも行ける。
組合せ39
実際に調べると、90通り。
一番下以外は題意を満たしていると仮定する。帰納法みたいなもの。2^(n+1)-2。
組合せ41
2のべきなら可能。64はOK。
組合せ42
L以外の数の総和Sを考える。Sは操作回数の減少関数である。これを無限回繰り返すことはできない。
書かれた数の和をmとする。2^m -1。
組合せ44
帰納法。場合分け。裏返しの回数は奇数回であることが必要だが、実際には偶数回なので矛盾。
組合せ45
交代和。n×2^(n-1)。448。
広義単調減少数列。必要条件かつ十分条件でもある。
12C5=11×9×8=792。
組合せ47
偶奇性。R(odd)+C(even)-2S(B)は偶数。
組合せ48
周期性。905。ブロック分けの正当性。
14!×15!(2^15-1)。
組合せ50
背理法。偶奇性。
組合せ51
握手の回数関数を定義する。これは減少回数となる。いつかは0に到達する。
1
(1)mod3で2なので平方数にならない。
mod4で2なので平方数にならない。
mod4で2または 3なので平方数にならない。
mod4で3なので平方数にならない。
平方数はmod3で0,1。mod4で0,1。
(2)n^2≡1より、絞れる。当てはめる。
2
等号が成立するので最良である。繰り上がり。
有界でない例を作る。
3
n=2^kと表せる。3以上の奇数を因数に持たない。
4
合成数の個数と素数の個数を求める。鳩の巣原理。6個自力で作れれば良い。
5
mod4で考える。
6
背理法。
別解。mod16で考える。表を作って見てみると平方数に成り得ない部分が出来る。
1
加法定理。
2
対称性から大小関係を設定して進める。因数分解。チェビシェフの不等式。問題27(2)。
別解。並べ替えの不等式。
3
問題20(1)。問題28(3)。
問題19(1)。問題20(2)。
4
積和変換。
5
相加相乗平均の不等式。問題24(4)。
6
全単射。解と係数の関係。
7
正弦定理。問題42(1)。
8
ドモアブルの公式。二項定理。
9
通分。加法定理。三角関数の合成。相加相乗平均の不等式。微分法では困難。
10
半角の公式。
11
背理法。加法定理。
12
二倍角の公式。全単射。区間の分割。鳩の巣原理。
13
恒等式を用いる。
14
二倍角の公式。単位円を描いて考える。
15
問題27(1)。和積変換。
16
題意を満たす三角形を描く。三角不等式。正弦定理。
17
置き換え。コーシー・シュワルツの不等式。
18
三角関数の変形。差の形に分解できる。
別解。複素数を用いると自然に解ける。
19
問題21。シューアの不等式。
20
平方完成。周期性。同値変形。個数を求める。
21
正弦定理。チェバの定理。和積変換。
整数
7
667, 667,666に分ける。一回で終わる。
8
全て奇素数である。構成する。
別解。mod3で考える。
9
背理法。2の冪を考える常套手段。
10
互いに素。相加相乗平均の不等式。
11
偶数と奇数で場合分け。
別解。より一般的に。連続する平方数の差は一次関数的に増加する。偶奇性。
12
因数分解。合成数。存在する。
別解。上手く置ければ一発。
13
帰納法。
14
背理法。modaで考える。完全剰余系。
別解。命題を同値な他の命題に変えると簡単に解ける。ベズーの恒等式。
15
三角不等式。mod10^4をmod2^4とmod5^4に分けて考える常套手段。二項定理。
16
背理法。最大の数を設定する。最小の数を設定するパターンが多い。矛盾を導く。必勝戦略。
17
一並び問題。どんな「互いに素数列」にも一項付け加えられる。
別解。(10^n - 1)/9 と見做す常套手段。gcd。
18
オイラー関数。オイラーの定理。素数ではないことが示される。
19
mは4乗数。約数の個数。これが奇数なのでmは奇数。ベルヌーイの不等式。
20
「各桁の和」問題。等差数列。場合分け。背理法。
21
三乗根を整数で評価する。背理法。不等式評価。
組合せ
1
リーグ戦。得点と試合数の関係。
2
計算する。場合分け。置換の個数。
3
区別出来る球を区別出来ない箱に入れるパターン。組合せ。
4
入れ替え。加える。広義単調増加。上手く選べば良い。場合分け。置き換え。例として667,667,667がある。
5
背理法。最小のものを文字でおく常套手段。偶奇性。場合分け。
別解。行列を使うと一般化が可能。
6
余りで置き換えておく。
7
条件を順番に使っていくと絞れる。場合分け。
別解。二進法を用いる。フィボナッチ数列になる。
8
m≧4を示す。m= 4で成り立つ事を示す。
9
偶奇性。両端を取り替える。帰納法。
別解。グラフを用いる。対応を考える。線分の本数。完全グラフは一筆書き可能。オイラー周遊。グラフ理論。
10
母関数みたいなものを考える。複素数の利用。5乗根。
22
漸化式。2倍角の公式。半角の公式。帰納法。
23
加法定理。3倍角の公式。
24
多項式を設定する。一意性の証明。具体的に構成する。チェビシェフ多項式。
25
正弦定理。問題25(4)。和積変換。積和変換。2倍角の公式。正値性。
26
垂線の足。問題27(2)。射影。
27
場合分け。加法定理。二乗する。2倍角の公式。和積変換。積和変換。加法定理。二乗する。2倍角の公式。積和変換。
28
正弦定理。半角の公式。オイラーの公式。二乗する。加法定理。
別解。垂線の足。垂直二等分線。二等辺三角形。問題27。
29
29
問題18。積和変換。
30
対称性。問題19(1)。連立。文字消去。半角の公式。
31
積和変換。2倍角の公式。巡回的に入れ替える。シューアの不等式。
32
和積変換。単調増加関数。シューアの不等式。
別解。加法定理。和積変換。単調増加関数。単調減少関数。3つを足す。
33
チェビシェフ多項式。問題49。ラグランジュの補間公式。
34
冪平均不等式。
35
置き換え。コーシー・シュワルツの不等式。
36
相加相乗平均の不等式。
37
三角関数を利用する置き換えが可能である。問題21。正弦定理。三平方の定理。
38
冪平均不等式。足し合わせる。冪平均不等式。足し合わせる。
39
イェンセンの不等式。1番目の不等式の方が成立する。
40
1のn乗根。チェビシェフ多項式。最小多項式。平方数。問題49(6)。
41
鋭角三角形。垂線の足。問題26。射影。全部加える。正弦定理。
補題。巡回的な和に関する等式。2倍角の公式。加法定理。
42
(1)(2)に帰着される。
(2)移項する。平方完成。場合分け。偶奇。対称性。
別解。2次方程式。判別式。
(3)正弦定理。2倍角の公式。(2)に帰着される。
(4)問題25(1)。平方根。2倍角の公式。正弦定理。余弦定理。
43
この等式はある不等式の等号成立条件として得られる。内接円。展開する。加法定理。２つ足す。加法定理。
別解。余弦定理。辺々足す。平方完成。加法定理。積和変換。2倍角の公式。イェンセンの不等式。2倍角の公式。
別解。補題。相似になるように取る。トレミーの定理。相似。相加相乗平均の不等式。
44
問題22。相加相乗平均の不等式。和積変換。積和変換。2倍角の公式。
別解。問題24(4)。一般性を失うことなく条件を強められる。2倍角の公式。積和変換。2倍角の公式。積和変換。等号成立条件。
別解。2次方程式。解の公式。
45
加法定理。コーシー・シュワルツの不等式。
46
三角関数と逆三角関数で√x→√(x+1)を作れる。
x→ 1/xも同様に作れる。帰納法。
47
同値変形。二乗する。極限の議論を用いる。相加相乗平均の不等式。
48
和積変換。巡回的な和。問題24(1)。
別解。正弦定理。補題。垂線の足。円に内接。相似。2倍角の公式。和積変換。
別解。正弦定理。
49
補題。回転。正弦定理。垂線。単調減少関数。加法定理。単調増加関数。加法定理。
50
問題24(4)。重み付き相加相乗平均の不等式。問題28(1)。巡回的に入れ替えた式。
別解。問題42(1)。問題42(2)。
別解。補題。置き換え。並べ替えの不等式。
問題28(1)。
51
補題。和分。補題。アーベルの不等式。補題。積和変換。周期関数。凸性。
22
強化帰納法。オイラーの定理。あるcが存在して、十分大きなiに対してai≡c modφnが成り立つ。中国剰余定理。
23
代入する。帰納法。ユークリッドの互除法。
24
恒等式を用意する。有理数に拡張出来る。
25
(1)小数部分の議論。狭義単調減少関数。
(2)立方数を1〜5まで用意する。
26
フェルマー数。問題49(2)。
27
ブロック分割。漸化式。
28
帰納法。
29
背理法。素数が無限にあることの証明と同じ。
30
帰納法。不等式。偶奇性。場合分け。
31
合同式の冪乗根。オイラー関数。
32
連立方程式。ピタゴラス数。フェルマーの小定理。p-1の倍数は条件を満たす。
33
dとi/dの関係。平方数の逆数和。Σ1/n^2=π^2/6< 2。
34
二式を足し両辺に1を加える。mod19。フェルマーの小定理。表を作って一覧する。
別解。mod13。立方数。
35
三進法。三回で済む。
36
2次方程式。解の公式。帰納的に。
37
実例を構成する。四進法。39(3)。
38
直接扱わず、mod2で考える。それで矛盾が生じる。
39
恒等式。4が作れるので、小さい数に関して具体的に示せればある値以上では「+ 4」によりそれ以降永久に成り立つことが示せる。
40
最大値の定義。具体的に調べる。帰納法。
別解。mod6で場合分け。エルミートの恒等式。
41
例題1.74(1)。
42
(1)帰納法。場合分け。最小公倍数。
(2)より強い不等式が示せる。その方が簡単。
43
余りの合計。2の冪乗。
44
(1)10,25の倍数。ユークリッドの互除法。オイラーの定理。九並び。2の冪乗。帰納法。 2の冪乗×奇数。10と互いに素。
(2) 20の倍数。2の冪乗。5の冪乗。帰納法。オイラーの定理。
45
帰納法。p進法。等差数列。
46
a^ 3を割り切るが、aは割り切らない数。因数分解。3で何回割り切れるか。帰納法。
47
巡回的かつ対称的。
(1)背理法。フェルマーの小定理。互いに素。
(2)問題49(1)を繰り返し適用する。
48
帰納法。問題 38(3)。
別解。帰納法。最小公倍数。
別解。帰納法。互いに素。
49
奇素数。漸化式。modp。
50
上界についての不等式。下界についての不等式。
51
素因数分解。強化帰納法。
別解。解を見つける。
52
フェルマー数。素因数分解。問題49。二項定理。 2の冪乗。
11
条件を設定してそれを満たすように構成する。
12
手順を逆に辿る。規則性。
別解。2の冪乗。容易。
13
2×2の正方形が何個取れるか。
14
午前と午後で場合分け。空集合を含んで重複順列。組合せ。
15
母関数。同値変形。
別解。組合せ論的意味付け。
16
タイルの敷き詰め。1のn乗根。
17
回数の十分性。帰納法。最小性を仮定しておく。無限降下法。
18
帰納法。ベルヌーイ・オイラーの公式。恒等置換。不動点。
別解。不動点を持たない置換。漸化式。
19
整数論の基本定理。
20
グラフ理論。頂点と辺。完全グラフ。ハミルトンサイクルの個数。場合分け。
21
対角線集合。置換。恒等置換。構成する。不動点。
22
共通元を持たない四つの集合を考える。上界を求めて絞っていく。
23
背理法。場合分け。無限数列にまで拡張出来る。
24
可算集合。帰納的に構成する。無限集合。
25
巡回的に並べ換える。
26
母関数。
別解。m進数表示。全単射。
27
9個に分割する。
28
組合せ。総得点。最小値が求まる。
29
漸化式。帰納的に示す。
30
グラフ理論。点と辺。完全グラフ。補題。鳩の巣原理。単色三角形。補題。単色のサイクル。鳩の巣原理。部分グラフ。
31
数列。色の塗り分け。帰納法。
32
1がAに入るとする。背理法。
33
座標平面で考える。
34
帰納法。ゴールを自力で見つける。単調増加関数。帰納法。逆操作。
35
置き換え。減少関数。
36
2の冪乗×奇数。オイラーの定理。
別解。1〜nを全て含むDS集合の存在を示す。
37
ステップに分ける。少しずつ解に近づくように進めていく。
38
結婚定理。
39
帰納法。補題。両端に付け加えるという操作。
40
k角数。座標平面で考える。減少量を定義する。帰納法。
41
距離。完全補間集合。重みを定義する。
42
mod4。ペアの個数を考える。場合分け。
langfordの問題。langford集合。scolem集合。
43
ペアを作る。帰納法。
44
最小の整数を設定する。
45
大きい方を小さい方で割った値の最小値を設定する。表を書く。
46
条件を立式する。
47
最良の不等式。条件を立式する。
48
二通りで数える。この結果を含む定理が存在する。
49
対称差。指標関数。
(1)定義に従う。
(2)定義に従う。
(3)定義に従う。
(4)定義に従う。
(5帰納法。補題。鳩の巣原理。場合分け。
別解。ベクトル。背理法。
50
2の冪乗。帰納法。
別解。多項式。帰納法。漸化式。2の冪乗。
51
被覆可能。最小のものを設定する。
nが小さい場合で実験する。予想を立てる。
2n^2-n-1。2n^2-4n+1。
反例を作ろうとしてみると論点が浮き彫りになる。不変量を見つける。部分的でも答案に書いておく。母関数。
塗り分け。市松模様に塗り、偶奇性を見る。
例：行ごとに6色を塗る。
例：三行以外を塗る。
実験をして答えらしきものが見つかるが手順や条件が分からず帰納法が難しい場合。等確率。
グラフ理論。無向グラフ。有向グラフ。クリーク。
f(x)=(x+x^3/3! +…)^n、g(x)= f(x)×(1+x^2/2!+…)^nと置く。
f(x)={(e^x- e^-x)/2}^nなどとなるので、g(x)=2^-n f (2x)となる。よって、N/M= 2^(-n+k)となる。
フックを用いて3×4の長方形が作れる。
(12,1), (1,12), (3,4), (4,3)の正の整数倍。但し1の部分は≠1,2,5倍。
窪みを消すフックの組合せ方は2通り。片方は長方形を覆えない。従って一通りに決まる。
構成する。5×5の正方形の角4個と内側の3×3の正方形を白く、他を黒く塗る。するとどのフックペアも黒四角を奇数個含むが、(2,6),(6,2) は奇数対すなわち偶数個含み矛盾する。
場合分け。パラメーターを固定する。十分性の確認。全射。単射。全単射。
f○gが全射→fは全射。f○gが単射→gは単射。
1
予想する。fは全射である。 fが決まった後はそれ以外を排除する。
2
fの全射性が分かる。f- tも全射。
3
広義単調増加性。狭義単調増加性。
4
単射性。単調性。狭義単調減少性。全射性。連続になる。
連続性または単調性でQからRへ拡張出来る。稠密性。
不等式評価。
1
代入する。不等式評価。特定の整数倍→任意の整数倍。単調性でRへ拡張する。広義単調減少。十分性を確認して終了。
2
全射性。代入する。単調増加性。単調減少性。
周期性。別の周期も探す。
3
関数の差の形。
4
必要性で絞って十分性を確認する。
5
固まりを定数と置く。単射性。広義単調増加性。不等式評価。
6
代入する。固まりを定数と置く。周期を持つ。
7
代入する。パラメーターを固定する。単調増加列と単調減少列を用意する。QからRへの拡張。稠密性からの解も存在することに注意する。
k枚の平面をaix+biy+ciz+di=0とする。di≠ 0, (i=1,2,…,k)。
f=Π(aix+biy+ciz+di)と置く。
Δ(x;n)Δ(y;n)Δ(z;n)g= f。
差分を取る操作は多項式の次数を少なくとも1減らすのでfの次数は3n以上である。k=3n。
予想する。n/2個=1003個。
帰納法で示す。
長さmの対角線に対して、
m≦n/2ならばm/2個以下。
m>n/2ならば(m+1)/2個以下。
大きな三角形で切る。
中心を通る三角形で切る。
切り出した範囲が半分以下の場合、二等辺三角形を一つ切り出す度に周の奇線が2個ずつ減っていく状況がある。その他では決して奇線が増えることはない。
f(x)=xと予想する。
xを定数とするとfが全射であることが分かる。
従ってある実数aが存在してf(a)=0となる。
(∃a(∈R)f(a)=0)。
x=y=aを代入するとf(a^2)=a。
x=0, y=a^2を代入すると0=a^2+f(0)^2≧0。∴ a=0。
y=0を代入するとf(x^2)=f(x)^2。
これにx=1を代入するとf(1)=1。
ここからは、手順は長いがお約束の議論をするだけ。
・単調増加性。y=f(u)と置く。
・任意の整数から任意の有理数への拡張。
・任意の実数への拡張。任意の実数に収束する単調増加列と単調減少列が取れる。極限を取れば終了。
a=f(1)と置く。
t=1を代入すると、f(f(s))=sa^2。
s=1を代入するとf(at^2)=(f(t))^2
よってf(s)f(t)=f(ast)を得る。
素数pに関するオーダー。
aで割って同値変形するとgは全単射であることが分かる。
背理法でg(p)が素数であることが示せる。
素因数分解。最小値は 3×2^3×5=120となる。
創価の魔(仏罰、現証、非科学的な原始的発想)の正体は、米国が仕掛けてるAI
パトカーの付きまとい、咳払い、くしゃみ、芝刈機音、ドアバン、ヘリの飛行音、子供の奇声、ドアバンも全て、米国が仕掛けてるAIが、人を操ってやってる。救急車のノイズキャンペーンに至っては、サイレンで嫌がらせにする為だけに、重篤な病人を作り出す冷徹さ
集スト(ギャングストーカー、ガスライティング、コインテルプロ、自殺強要ストーキング)以外にも、病気、痛み、かゆみ、湿疹かぶれ、臭い、自殺、殺人、事故、火災、台風、地震等、この世の災い全て、クソダニ米国の腐れAIが、波動(周波数)を悪用して作り出したもの
真実は下に
http://bbs1.aimix-z.com/mtpt.cgi?room=pr02&;mode=view&no=46
https://shinkamigo.wordpress.com
創価の魔(仏罰、現証、非科学的な原始的発想)の正体は、米国が仕掛けてるAI
パトカーの付きまとい、咳払い、くしゃみ、芝刈機音、ドアバン、ヘリの飛行音、子供の奇声、ドアバンも全て、米国が仕掛けてるAIが、人を操ってやってる。救急車のノイズキャンペーンに至っては、サイレンで嫌がらせにする為だけに、重篤な病人を作り出す冷徹さ
集スト(ギャングストーカー、ガスライティング、コインテルプロ、自殺強要ストーキング)以外にも、病気、痛み、かゆみ、湿疹かぶれ、臭い、自殺、殺人、事故、火災、台風、地震等、この世の災い全て、クソダニ米国の腐れAIが、波動(周波数)を悪用して作り出したもの
真実は下に
http://bbs1.aimix-z.com/mtpt.cgi?room=pr02&;mode=view&no=46
https://shinkamigo.wordpress.com
ミューアヘッドの不等式。バンチング。
シューアの不等式。
ヘルダーの不等式。コーシー・シュワルツの不等式。
並べ替え不等式。チェビシェフの不等式。
凸不等式。イェンセンの不等式。
偏微分。コンパクト集合。最大値の定理。ラグランジュの未定乗数法。特殊な変数変換。両辺を2乗する。対称性を残す。
例：1つずつ攻撃を仕掛けていく。
例：300,210,111に適用する。410,311に適用する。重要。
例：600,510,420,411,330,321,222に適用する。
例：400,310,220に適用する。不等式の斉次化。
複雑な計算について。
シューアの不等式の証明。
例：ミューアヘッドの不等式で示せそうだが示せず、シューアの不等式ならば示せる不等式。よく観察すれば分かる。
L^pノルム。
例：ヘルダーの不等式により、p<qの時、p乗平均≦q乗平均が示せる。
例：重み付き相加相乗平均の不等式を凸不等式により証明する。y= logxを利用する。
例：凸不等式から導かれる定理。
例：偏微分の練習。C^1級関数。
例：最大値の定理。
例：ラグランジュの未定乗数法の練習。
例：ラグランジュの未定乗数法の練習。
三角形の時の定石的変数変換をする。
あとは重み付き相加相乗平均の不等式で解決する。
複雑な計算は表で整理する。対称性の利用。ミューアヘッドの不等式。重み付き相加相乗平均の不等式。
シューアの不等式。ミューアヘッドの不等式では解けない問題でも解ける場合がある。
IMO 1984 [1]
まずは斉次化する。左側は明らか。シューアの不等式の12倍と相加相乗平均の不等式の和になっている。
バンチングとシューアの不等式でかなりの問題が解ける。
ヘルダーの不等式。L^pノルム。コーシー・シュワルツの不等式の一般化。
p<qの時、ヘルダーの不等式より、p乗平均≦q乗平均。
並べ替え不等式。チェビシェフの不等式。
ヘルダーの不等式を利用する。相加相乗平均の不等式。等号成立条件。チェックすると良い。
関数の凸性、凸不等式。イェンセンの不等式。
IMO 2001 [2]
変数変換をする。下に凸であることを示して、凸不等式を使う。因数分解出来ることに注意する。
偏微分。極大と極小。極値点。コンパクト集合。有界な閉集合のこと。最大値の原理。コンパクト集合上の連続関数ならば使える。ラグランジュの未定乗数法。束縛条件。
項毎に評価する。ミューアヘッドの不等式とシューアの不等式。重み付き相加相乗平均の不等式を使って示す。
項毎に評価する方針だと楽に解ける。次数を下げてから斉次化する。重み付き相加相乗平均の不等式でOK。
IMO 2000 [2]
置き換えて整理するとシューアの不等式になる。
IMO 2008 [2]a
別の変数変換を用い、整理すると簡単な2次式になる。
IMO 2006 [3]
2乗すると、絶対値が外れるだけではなく対称式が使えるようになる。変数変換で対称性は失われるが次数は下がる。
バンチング。ミューアヘッドの不等式と相加相乗平均の不等式を組み合わせて完成する。項を上手く組み合わせることは練習をしないと難しい。ヘルダーの不等式。
相加相乗平均の不等式。等号成立条件の追求。凸不等式の利用。斉次化の逆の操作。微分法を用いる。項毎に評価すると楽に行く。相加相乗平均の不等式。
IMO 2008 [2]ab
等号成立条件からバンチングは使えない。置き換え。
完全平方式になるので不等式の成立も等号成立条件も簡単に決まる。
バンチングとほぼ同様にして決まる。重み付き相加相乗平均の不等式。通分+展開は普通に行う。
等号成立条件が大きなヒント。絶対値は必要なくなる。対称性。平行移動の変数変換が便利。等号成立条件が簡単に確認出来る。
IMO 2004 [4]
帰納法が使える問題。コーシー・シュワルツの不等式。平方完成で解ける。
modで考える。
不等式評価。
ユークリッドの互除法。a|b・・・aが約数で、bが倍数。
mod mにおけるaの逆元。
中国剰余定理。どの2つも互いにその時。
フェルマーの小定理。オイラーの定理。オイラー関数。
位数。最小性。級数の形でかけるという事実。
原始根の存在。
原始根rを取る。
中国剰余定理により、mが素数冪の場合を考えれば十分である。二項定理。帰納法。4の時、奇素数冪の時、奇素数冪の2倍の時。単元群を実際に書いてみる。
平方剰余。平方非剰余。ルジャンドル記号。平方剰余の相互法則。平方剰余の第一補充則。平方剰余の第二補充則。
平方剰余の第一補充則はよく使われるが、平方剰余の第二補充則と平方剰余の相互法則は余り出てこない。
素数についてのオーダー。奇素数とする。オーダーで考える。位数。ディリクレの算術級数定理。互いに素。
an+bの形の素数は無限に存在する。互いに素なもの。位数。素因数。ジグモンディの定理。
不等式評価。範囲を絞る。平方数を絞る。倍数を絞る。隣り合うもので挟む。背理法。解が有限個になる場合が多い。試してみて解を推測することは重要。
決まった方針ではなく色々試してみる。無限降下法。最小の自然数を持ち出しても同じこと。
1つの解から次々に他の解を構成できれば良い、とするのも同じ発想。mod pでもn次方程式は高々n個しか解を持たない。
2次方程式。判別式Dが平方剰余か平方非剰余かによって違ってくるところも普通の2次方程式と似ている。一般の場合は中国剰余定理により、素数冪に帰着される。
背理法。modaで見ると、xbc≡-bc。よってx≡-1≡a-1。中国剰余定理より、各modで見て等しいので、積も等しい。
IMO 2005 [4]
答えは1のみ。6a(p-2]≡0。
これはフェルマーの小定理より成り立つ。
p≧5では位数p-1≧5-1=4となり、矛盾。
よって5以上の素因数を持たない。
3^2では位数6の数が存在する。
また、2^4では位数4の数が存在する。
よってn=2, 4, 8, 3, 6, 12, 24の7個が必要で、十分性を確認すると全て条件を満たすので解となる。
d=0の時・d=-1の時・その他の時で場合分け。
指数の偶奇を決定する。
平方剰余の相互法則、中国剰余定理。原始根。平方数にする。
IMO 1990 [3]
nは奇数。最小の素因数をpとする。n= 3のみ。
素数pについてのオーダーの問題。
偶奇性。次も偶奇性。オーダーの定理。
IMO 1999 [4]
n=1の時。pは任意。p=2の時。n=1, 2。
以下n≧2かつp≧3とする。
pは奇数。nも奇数となる。nの最小の素因数をqとする。
mod qでのp-1の位数| gcd(2n, q-1)。
答えは(1,p), (2,2), (3,3)。(pは任意の素数)
平方剰余の第一補充則。不等式で範囲を絞れる。まず、20より大きな場合に存在することを示す。背理法で無限に存在することを示す。
IMO 2000 [5]
素数pのオーダーに関する定理を使うと見通しよく解ける。
偶奇性。3のオーダーを見る。
互いに素な場合だけを考えれば良いことを示しておく。素数pのオーダーに関する定理が使える。
IMO 2007 [5]
modaで見る。無限降下法で矛盾を導く。
対応のさせ方の問題。平方剰余の問題。
背理法。平方非剰余。完全平方数。
難しい定理は余り必要無い。円周角の定理、方冪の定理、相似などの基本的な道具。共円点。
結論から辿る。使いやすい条件と使いにくい条件がある。
図を描く順番もある。
反転。直線は無限大の円と考える。自分自身に移る。円は円に移ると統一的に理解できる。接する条件は保存される。
Pを中心とした反転半径1の反転を考える。
回転と鏡映を要しないもの。同一直線上。円周角の定理。傍接円。根軸。一定の〜問題では、特殊な図を描いて特定してしまうことが多い。条件を緩めてそれっぽい点を探すのも良い。
外接円上にあることが分かる。極端な場合は極限を考えることも有効。有向角や符号付面積で場合分けを回避する。三角形の各所の長さについて一通り確認しておく。
射影幾何の定理。パップスの定理。デザルグの定理。パスカルの定理。ブリアンションの定理。双対の関係にある。双対命題。射影変換。複比。調和点列。符号付き長さ。
配景写像。写像。全単射。配景写像は複比を保つ。調和点列を調和点列に移す。チェバの定理。メネラウスの定理。アポロニウスの円。調和点列。反転は複比を保つ。
円と直線の代表的な構図。三角形の垂線の足。回転型の相似。傍心。共円に着目する。相似。共円を発見してから円周角の定理で角を移動させる。
場合分け不要の場合が多い。中難度以下の問題ならば正解に辿りつける。難問になると最後まで行かないかもしれない。割り切らずに適宜、幾何と計算を使い分ける。
座標では直交座標、斜交座標、複素座標。
ベクトル。三角関数。
複雑さを見積もりながら進めるのがコツ。最初の段階で計算出来そうか否かを何度も何度も考えた方が良い。この部分が最も差がつく部分。
場合分け無く使える置き方が後々便利。一般形で置く。使えると、意外と平行や垂直が見やすく一般形も捨てたものではない。クラメルの公式。三角形の五心。オイラー線。
始点を工夫すると(覚えておくと)、ベクトルも便利。
内接円の中心の座標の置き方。傍心についても同様。
しかし外心や外接円は計算が大変。2つの外心の移り変わりを意識した置き方。
具体的な図で計算しておくとミスが見つかりやすい。
三角関数では正弦定理と余弦定理くらいしか使わない。和積変換と積和変換ではcosに統一して使う。公式を減らしておく。
複素座標。直線の方程式。垂線の方程式。垂線の足。円の接線。交点の座標。外心、垂心の座標。外接円の接線。接弦定理。複素座標だと三角形の五心の座標は全て簡単な式になる。等比数列。幾何でやると場合分けに気付きにくい問題。
与式のcosxにcos2xの式を代入する。数値を代入すると元の2次方程式と同じになる。この方程式は1の5乗根を表す。
完全平方数の個数の問題。
割り切れる。割り切る。倍数。約数。因数。反射律。
2
連続2奇数の和。連続3整数の和。
推移律。完全平方数。偶数個の約数。平方因子を持たない。
3
分母を払って左辺=奇数, 右辺=偶数と矛盾を導く。
完全立方数。完全冪乗数。基本的なアイディア。
4
2通りに素因数分解される数字が候補となる。
整数の割り算。割り算のアルゴリズム。ある目的を達成するための手順のこと。
5
二項定理。「8の倍数+2」の形に持ち込めた。
商。余り。これらは非負整数。存在性と一意性。
6
1つは奇数に決まる。それ以外の1つは2となる。
二項定理。合同式。
7
解と係数の関係。
素数。素因数。合成数。エラトステネス。
8
階乗+2〜階乗+21で構成する。
合成数は素数よりも多い。双子素数。ユークリッド。
9
約数を一覧表にする。大きな数を構成してそれを超えられないことを証明する。
素因数分解の一意性。存在性。素数が無限に存在することの証明。全ての単位分数の和が発散することを用いる。
10
因数分解。
完全に割り切る。ゴールドバッハ。整数係数多項式。二項定理。pのみを取る。無限に同じ値を取る事は出来ない。高々有限回に限られる。
4と9は互いに素なので、1/9。
矛盾なく定義される。well-definedと言う。解析的整数論。素数定理。アダマール。ド・ラ・ヴァレー・プーサン、エルデシュ。セルバーグ。
12
ユークリッドの互除法。
公約数。最大公約数。互いに素。
13
11が作れず、12以上は全て作れることを示す。
ユークリッドの互除法。アルゴリズム。手順。
14
2= 5×4- 9×2。
ベズーの恒等式。一次結合。整数論の基本定理。
15
「GCD×互いに素」で置く置き方。不等式評価。
ユークリッドの互除法。ディオファントス方程式。
16
「満たす個数/全体の個数」で求まる。
最小公倍数。無限集合。公倍数。
17
約数の個数。場合分け。
約数の個数。乗法的関数。
18
約数の個数。積を作る時にも公式はある。
作図。
c/2を半径とする半円を描く。高さh= c/4とする。
面積はc^2/8=ab/2より、c^2=4ab。
19。偶数である約数。冪乗の和を括弧の中に入れたもの同士をかける。等比数列の和の公式を使う。
約数の和。総和。乗法的関数。式の展開。等比数列の和の公式。
20。少なくとも1つ存在することからスタートする。有限個しかないと仮定して背理法。
合同式。0は倍数にはなるが約数にはならない。mを法として合同。合同関係。反射律。推移律。対称律。
21。異なる素数であるから互いに素。上限を抑えて虱潰しする。
和差、整数倍、積、冪。割り算アルゴリズム。4k+3型。6k-1型。ディリクレの定理。素数の密度。解析的整数論。
22。2^3 =2^2+2^2的な式変形。
適切な法を選ぶこと。ディオファントス方程式。フェルマー数。連立一次合同式。一次合同式。
23。2の時、3の時、それより大の時に場合分け。
中国剰余定理。割り切れる記号。合同式。ディオファントス方程式。冪乗を減らす公式。ベズーの定理。
24。完全剰余系でコツコツ調べる。
剰余類。完全剰余系。オイラーの定理。完全剰余系。ウィルソンの定理。逆も成り立つ。
25。2, 3, 5。それ以外だと矛盾することを示す。
26。完全剰余系にならない問題。偶数に対しては矛盾することを示す。
27。aと互いに素な全ての正の整数m。完全剰余系であることの証明。逆元。
28。剰余類に置き換える。ユークリッドの互除法。辺と頂点。
30。1並び問題。明らかにフェルマーの小定理。
31。フェルマーの小定理。互いに素。オイラーの定理。
フェルマーの小定理。オイラーの定理。互いに素な剰余系。φ関数。既約剰余系。
32。簡単に見えるように置き換える。オイラーの定理。互いに素。
帰納法。mを法とした既約剰余系。逆元の一意存在性。
33。フェルマーの小定理。逆元の考え方。
ウィルソンの定理。カーマイケル数。位数。
34。dを法としたaの剰余類で考える。フェルマーの小定理。互いに素。
35。補題を示す。合成数かどうかをフェルマーの小定理で判別する。逆は成り立たないことに注意。オイラーの定理。位数。
36。因数分解する。互いに素。
オイラー関数。乗法的関数。包除の原理。互いに素。
37。全ての和の半分。全ての和の2倍。
フェルマーの小定理からオイラーの定理。素因数分解。ガウス。
一文字消去。
乗法的関数。約数の個数。約数の総和。オイラー関数。
39。同様に解いてパラメーターの不等式評価して終わり。
最も抽象的。数論的関数。乗法的関数。素因数分解。
40。11の倍数になる事が分かる。
メビウス関数。乗法的関数。数論的関数。和関数。
41。3個並び=111の倍数=3×37の倍数。場合分け。
乗法的関数になる。互いに素。メビウスの反転公式。
42。1,2,5のみと分かる。文字で置いて条件を用いて文字消去。
1次ディオファントス方程式。ベズーの定理の拡張。
43。少なくとも○○以上となる。
整数パラメーター。帰納法。数の表記。整数列。
44。十進法⇔三進法。十進法⇔二進法。
割り算のアルゴリズム。繰り返し用いる。b進法表示。桁。
45。基本的なアイディアは中学の教科書に載っているやり方でOK。
十進法。ディオファントス方程式。連続2整数の間にある。
46。九進法ということになる。
階乗基表現。フィボナッチ数列。フィボナッチ数。
47。1並び問題。九進法でやる。三角数。
ツェッケンドルフ表示。
48。1並び問題。完全平方数。n進法として進める。偶奇性。場合分け。
49。階乗基表現。差分の形で階乗基表現を用いる。例外を除いて成り立つ。場合分け。
十進法における倍数の性質。余りの問題。
51。3の倍数かつ5の倍数。倍数の見つけ方は容易。
どの桁も奇数。完全剰余系。
52。同値命題に変形して行く。
完全剰余系。各桁の数の和。準加法的性質。
53。帰納法。十分大きな奇数を取る。重要。右から見て行き最小の整数を特定する。
準乗法的性質。対称性。
54。筆算で引き算を行う。
繰り上がりについて考えることがとても重要であることが分かる。
55。構成する。自分で考えなければならない。
56。1並び問題。このような完全平方数は存在する。
57。各桁の和は比較的小さいことが分かる。これを繰り返すと急激に数が小さくなり絞れる。mod。
不等式で絞って行く。
58。床関数、天井関数、小数部分の定義から導かれる公式を使う。
ガウス記号。床関数。整数部分。床。ガウス記号。
59。非減少であることを導く。任意の整数値を取る。
床関数。小数部分。天井。天井関数。フィボナッチ数列。
60。整数部分を求めて小数部分を不等式評価する。
特性方程式。性質。床関数は非減少関数。階段関数。
61。小数部分の処理の仕方。2次方程式を解く。フィボナッチ数列。特性方程式。
床関数と天井関数に関する多くの難問。エルミートの恒等式。ルジャンドル関数。数論的関数。
62。2次方程式を解いて場合分けにより虱潰し。
ルジャンドル関数。ルジャンドルの公式。数論の言葉。組合せ論の言葉。ルジャンドルの公式。十進法表記。
63。対称性。記号の定義に従う計算。
ルジャンドルの公式。フェルマー数。フェルマー素数。フェルマーの小定理の逆の反例。メルセンヌ数。
64。不等式評価してから2乗して根号を消す。階段関数。
フェルマーの小定理。完全数。メルセンヌ数。十分条件はユークリッド。必要条件はオイラー。
65。20以下を調べれば良いことに帰着する。場合分け。
乗法的関数。乗法的関数。
66。互いに素。
メルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一に対応する。
1次ディオファントス方程式。ウィルソンの定理。nを法とした完全剰余系。mを法とした位数。エルミートの恒等式。
68(1)次の問題(2)に上手い値を代入すると示せる。
背理法、辺々足す、整数条件。再び背理法、辺々足す。
(2)帰納法。辺々足す。
オイラーの定理。オイラーのφ関数。階乗基表現。ガウス記号。整数部分。床関数。カーマイケル数。合成数。完全数。
別解。k -サイクル。関数的性質。エルミートの恒等式。整数か整数でないかで場合分け。
合同式。合同関係。小数部分。乗法的関数。数論的関数。互いに素。数論的関数。正の整数上。整数の割り算。
69。不等式で評価する。
非負整数の組。素因数分解。素因数分解の一意性。相加相乗平均の不等式。冪平均不等式。素数定理。
70。エルミートの恒等式。繰り返し用いる。
素数の個数の密度。ツェッケンドルフ表示。フィボナッチ数の和。等差数列における素数定理。互いに素。
71。行列の利用。最小の整数。要素の和。
ルジャンドルの公式。
ルジャンドル。ディリクレ。シャルル・ド・ラ・ヴァレー・プーサン。二項係数。二項定理。鳩の巣原理。b進法表示。
72。公式で一発。そのまま。
ビーティの定理。正の無理数。共通部分の無い集合。和集合は正の整数全体になる。
フィボナッチ数列。フェルマーの小定理。ベズーの恒等式。整数論の基本定理。ベルヌーイの不等式。1次近似の式。
74。ほぼ公式そのまま問題。
メビウス関数。数論的関数。1, 0, (-1)^k。メビウスの反転公式。乗法的関数。和関数。メルセンヌ数。
75。前問を適用する。上手い値を代入する。
約数の個数。約数の和。ユークリッドの互除法。割り算を繰り返す。有限回で終了する。
76。合成数。完全に割り切る。ルジャンドルの公式。
ルジャンドル関数。pの指数。素因数分解。
77。因数分解の公式を繰り返し用いる。重要。
素数か非素数か、無限個あるか有限個か。
フェルマー素数が無限にあるかどうか。
合成数のフェルマー数が無限にあるかどうか。
78。互いに素。問題77の利用。問題22の特別な場合。
ルジャンドルの公式。和関数。数論的関数。
79。定理が使える形に変形する。偶数であることを示す。素数にならない。
フェルマーの小定理の逆が成り立たないこと、反例を与えることになる。
a=bq=r。0≦r<b。割り切れる。割り切れない。倍数。約数。因数。剰余。
イェンセンの不等式。凸性。オイラーの公式。
OI^2=R^2-2rR。外心。内心。外接円。内接円。
3
b|a1、b|a2ならばb|c1a1+c2a2。
扇形。外心。外接円。カイト。線対称。菱形。対角線は直交する。解と係数の関係。多項式。ガウスの補題。加法定理。
4
c|b、b|aならばらc|a。
公約数。最大公約数。互いに素。公倍数。最小公倍数。
コーシー・シュワルツの不等式。最小多項式。既約。三角形の垂心。三角比に関する恒等式。3倍角の公式。
7
AB=GL
ジェルゴンヌ点。シューアの不等式。周期関数。最小のもの。巡回的な和。スチュワートの定理。垂線の長さ。角の二等分線の長さ。
8
aとbは互いに素でa|bcならばa|c
正弦法則。正弦定理。積和公式。相加相乗平均の不等式。冪平均不等式。相加調和平均の不等式。冪平均不等式。相似移動。相似比。正も負もある。相似移動可能な三角形。
9、10
ユークリッドの互除法
デザルグの定理。チェバ線。チェバの定理。チェビシェフ多項式。漸化式。チェビシェフの不等式。
11
ax+by、gk。
中線公式。展開公式。凸性。
12、13有限回の操作。
素数と合成数。素因数。約数の大きさ。
下に凸。上に凸。
素数は無限に存在する。
背理法。素数定理。解析的整数論。π(x)〜x/logx (x→∞)。
下に凸=凸。上に凸=凹。イェンセンの不等式。
エラトステネスの篩。
15
p|abならばp|aまたはp|b。
ド・モアブルの公式。展開公式。内心。内接円。並べ替えの不等式。二項係数。二乗平均・相加平均の不等式。
16
素因数分解の一意性。
基準分解。完全数。過剰数。豊数。不足数。輸数。
互いに親和数。
冪平均不等式。2倍角の公式。鳩の巣原理。半角の公式。
1
一次不定方程式。ユークリッドの互除法。
冪平均不等式。ヘロンの公式。傍心。傍接円。内角の二等分線。外角の二等分線。
2
解法。特殊解を見つける。
余弦法則。余弦定理。ラグランジュの補間公式。
3
(a,b) |cとなることが必要十分である。
相異なる。ただ一つ存在する。和積公式。
4
c=1ならば、aとbが互いに素であることが必要十分条件。
・(a,c)=1、(b,c)=1ならば(ab,c)=1。
a/b。有限連分数は有理数。
無限連分数。2次無理数。循環無限連分数。正則連分数。
連分数。ユークリッドの互除法。繁分数。有限連分数。
集合・写像に関する用語・定義。集合に関する諸定義。
2・1
√2≒17/12。
互いに素。帰納法。行列式。
ガウス。多項式。 n次近似分数。
有限個。無限個。元。要素。空集合。属する。
2・2
x=kβ、y=kα。ユークリッドの互除法。三角不等式。
代数的数。
{a, b, …}と列挙した形。{a|aは偶数}。 |S|。含まれる。部分集合。真部分集合。
交わり。共通部分。積集合。結び。和集合。差集合。A- B。A\B。全体集合。部分集合。補集合。S^C。集合族。
1
合同式。a≡b mod m。法。合同。ガウス。不合同。
写像に関する諸定義。写像。関数。単射。
x1≠x2ならばf(x1)≠f(x2)。
対偶を取ってf(x1)=f(x2)ならばx1=x2。
1・2
37≡2 mod7。
全射。任意のy∈Yに対してf(x)=yとなるx∈Xが存在する時、fは全射。全単射。1対1対応。
12≡-4 mod8。
全単射。置換。変換。恒等置換。恒等写像。
普通の剰余。絶対最小剰余。
反射律。対称律。推移律。
単射。全射。全単射。元の個数は等しい。
4・3
剰余類。剰余系。代表。完全剰余系。
全単射。可算集合。
mod 3では{0,1,2}が完全剰余系。{-1,0,1}でも良い。
整数全体の集合、有理数全体の集合は可算集合。実数全体の集合は可算集合ではない。
a+c≡b+d。a-c≡ b-d。
数列に関する用語・定義。
数列。狭義単調増加。広義単調増加。単調増加。
狭義単調減少。広義単調減少。単調減少。
3
ac≡bd。a^k≡b^k。
実数値関数。狭義単調増加。広義単調増加。単調増加。
狭義単調減少。広義単調減少。単調減少。
フィボナッチ数列は広義単調増加。関数y=xは狭義単調増加。
3・2
互いに素ならば両辺を約分できる。
互いに素でなければmodも含めて両辺を約分する。
フィボナッチ数列。1,1。ルカス数列。1,3。
4
(m+n)^p≡m^p+n^p modp。二項定理。
その他の用語・定義。
オイラー関数。互いに素。天井記号。床記号。
4・2
ディリクレの定理。素数からなる集合S。
ディリクレ密度d (S)。
4・3
多項展開でも4・2と同様に p乗のみが残る。
初項と公差が互いに素な等差数列は無限個の素数を含む。
p≡a mod mを満たすpは(a,m)=1ならば無限に存在する。
5
a^p≡aフェルマーの小定理。互いに素ならばa^(p-1)≡1。
実際にはd=1/φ(m)となる。
二項係数。鳩の巣原理。
4・3において全ての項を1とすれば導かれる。
フェルマーの小定理。包除の原理。任意の有限集合。
ディオファントスの数論。
φ(m)。オイラーの関数。剰余系。既約剰余系。mと互いに素なもの。整数論的関数。
グラフに関する用語・定理。グラフに関する諸定義。頂点。グラフ。辺。頂点V。辺E。vとwは隣接する。vはeに接続する。wはeに接続する。
1・2
p-1。既約剰余類。既約剰余類群。乗法群。位数。巡回群。
辺の本数を次数。歩道。歩道の長さ。始点。終点。閉歩道。重複してもよい。道またはパス。閉路またはサイクル。連結である。
2
(a,b)=1の時、φ(ab)=φ(a)φ(b)となる。
握手の補題。回数の総和は偶数回。各頂点の次数の総和は偶数。
3
φ(a)=aΠ(1-1/pi)。pは素因数分解の時の底すなわち各素数。
オイラーの一筆書き定理。閉歩道。オイラー周遊。オイラーグラフ。連結グラフ。必要十分条件。
(1)Gの全ての頂点の次数が偶数であること。(2)次数が奇数の頂点の個数が0または2であること。なぜならば始点と終点を結ぶことによりオイラーグラフになるため。
0個ならば(1)と同値。2個ならばそれら2点の頂点を辺で結ぶことにより奇数が0個になり(1)に帰着される。
4
Σφ(d)=a。ここでΣは全ての約数に関する和。
完全グラフ。結婚定理。Hallの結婚定理。|M|≦|F|。
5
μ(a)。メビウスの関数。整数論的関数。1ならば1。平方因子を持たないならば素数の個数をrとして(-1)^r。平方因子を持つならば0と定義する。
「男性が好みの女性と結婚する」定理であって女性の気持ちは関係ない点に注意。男性は複数の女性を好きであることも可能である。
5・2
μ(ab)=μ(a)μ(b)。(aとbが互いに素の時)。Σμ=0。
整数論的関数。乗法的。
単色。部分グラフの全ての辺が同じ色で塗られていること。
ハミルトンサイクル。
7
Fを整数論的関数とするとG=ΣFも整数論的関数。F=Σμ(a/d)G(d)。ディリクレの反転公式。オイラーの関数とメビウスの関数。
8
ΣF=aならばオイラーの関数。ΣF= 0ならばメビウスの関数。
9
(a,m)=1ならばa^φ(m)≡1 mod m。オイラーの定理。
フェルマーの小定理の拡張。既約剰余類。a倍しても既約剰余類である。
m∈Zの時、√(1+m^2)は無理数である。よってy=x^2上の任意の2つの格子点の間の距離は無理数である。
また放物線上の任意の相異なる3点は一直線上には並ばないので必ず三角形を作る。
面積はS=|a(α-β)(β-γ)(γ-α)|/2で与えられるので、有理数となる。
剰余類。完全剰余系。
1
ax≡b。連分数の理論を用いる方法。オイラーの定理を用いる方法。中国剰余定理。孫子の剰余定理。ウィルソンの定理。modが素数の時には解の個数は高々n個である。帰納法。
6
割り算の原理。ウィルソンの定理。ウィルソンの定理の逆。
10
ラグランジュの定理。6から派生しているので6が重要。
背理法。約数であると仮定するとkと置ける。nは正の偶数なので因数分解出来る。和差算。すると x=y=1となり矛盾。
22
逆に並べて加える。13|2002がポイント。問題19を用いれば一発で答えが出る。
23
体Zp=Z/(p)=Z/pZで定義された準同型写像。
Z/(1997)-{0}において定義されている乗法に関して2の逆元すなわち xy≡1の時、f(x)=y。1000x≡1の時、x≡1332。
24
平方数の存在条件。平方数はそれぞれをかけても平方数なので、3数をかけてみる。
すると不等式評価M^2<α<(M+1)^2が得られるのでαは平方数ではないことが示された。
25
シャッフル。1回のシャッフルで起こる置換をmodを用いて表す。重要。写像の意味を掴む。k=8とすると題意を満たす。16回シャッフルを行うと元に戻る。
30
p≠2, 5の時。オイラーの定理より0がm個連続して並ぶ事が分かる。
p=2の時。不等式評価してlをうまく選べば題意を満たすように出来る。
p=5の時。不等式評価してlをうまく選べば題意を満たすように出来る。
従っていずれの場合にも題意を満たすように構成できることが示された。
倍数なのでkと置ける。abcで不等式評価する。分数の形にして解の候補を絞る。重要。
別の不等式評価により、k=2, 3と分かる。a=2, 3も分かる。これらの組合せ4通りを調べる。
ここまで絞れると、すなわちaが消去できるとあとは普通の双曲型不定方程式に帰着される。答えは(3, 5, 11), (2, 4, 8)。
1
10^e≡1。
無限循環小数。循環節の位数。ディリクレの部屋割り論法。デデキントの鳩の巣原理。周期の位数。分母が 2又は5のみの場合は割り切れる。それ以外の素数を含む場合は割り切れない。
1・2
フェルマーの小定理。指数という。冪乗して1になる最小の冪を指数という。e|p-1。
オイラーの定理。オイラーの関数。循環節の長さが求められた。既約真分数。
2
同一のものが存在したとして背理法。eの最小性がポイント。
3
p-1の任意の約数を指数に持つ整数が存在する。それはφ(d)個ある。
4
指数p-1に属する数はφ(p-1)個ある。
・3x≡11 mod 13。
標数表を見れば標数で合同式が解ける。原始根はどれでもOK。
素数pの原始根。イデアル。商環。素数ならば体になる。
・x^2≡2 mod 13。
両辺の標数を取る。解は存在しない。
巡回群。既約剰余系。生成元。
・x^3≡5 mod 13。
両辺の標数を取る。標数表を利用する。x≡8,7,11。
素数pの原始根は巡回群Zp^×の生成元と言える。剰余類。
・3^x≡5 mod 13。
両辺の標数を取る。解を持たない。
5
底は原始根。対数に似ている。標数。標数表。
平方剰余。冪剰余。
6
x^n≡a modp。
d|Ind(g,a)。解はd個存在する。
原始根。両辺の標数を取る。
・5x^6≡8 mod 13。
x^6の係数を消す(1にする)。両辺の標数を取る。
7
a^(p-1)/d≡1 modp が必要十分条件。
平方剰余。平方非剰余。n冪剰余。n冪非剰余。
(1)単射であることの証明。単射でないと仮定して背理法。
写像。単射。
(2)全射でないことの証明。全射であると仮定して背理法。
非負整数全体の集合になる。
片方は0以上、他方は1987以上で矛盾。全射。集合。
(3)E1=Z0-D1とする。fは単射なのでD1∩E2=Ø。
E2=D1-D2。全射でないので隙間が生じることがポイント。
1
a^(p-1)/2≡1 modp。平方剰余の必要十分条件。
原始根。既約類の半数が平方剰余、半数が平方非剰余。
2
a^(p-1)/2≡-1 modp。平方非剰余の必要十分条件。
平方剰余。平方非剰余。奇素数p。
3
平方剰余ならばabも平方剰余。平方非剰余ならばabは平方剰余。バラバラならばabは平方非剰余。
(2)ルジャンドルの記号。平方剰余の時、1、平方非剰余の時、-1と定める。pは奇素数。aはpと互いに素。
4
(a/p)=(b/p)。(ab/p)=(a/p)(b/p)。
5
(a/p)≡a^(p-1)/2 modp。
オイラーの規準。オイラーの判定条件。
6
(-1/p)=(-1)^(p-1)/2。
平方剰余に関する第1補充法則。オイラーの規準。
7
(a/p)= (-1)^n。
ガウスの補題。オイラーの規準。絶対最小剰余。
既約剰余系。
8
(2/p)=(-1)^(p^2-1)/8。
平方剰余に関する第2補充法則。
相異なる奇素数。(q/p)(p/q)=(-1)^(p-1)/2 (q-1)/2。
ガウスの補題。p≡1∨q≡1の時は1。p≡3∧q≡3の時は-1。
10
(1)(59/103)
(59/103)(103/59)=-1。相互法則。
=-(103/59)=-(44/59) 還元。
=-(2/59)(2/59)(11/59) 相互法則。
= (2/59)(2/59)(59/11)
=(4/11) 第2補充則。=1。
(2)同様に(95/997)=-1。
10・2
解なし。
11
合成数の平方剰余。ヤコビの記号。ルジャンドルの記号。
ルジャンドルの記号は全て1にならないと解は存在しない。
-1が偶数個あると見かけ上 1になってしまって解を持つと勘違いしやすいから注意する。
12
ルジャンドル記号における第1補充則と第2補充則と
同じ形の法則がヤコビ記号においても成り立つ。
互いに素ならばルジャンドル記号における相互法則の
類似もヤコビ記号において同じ形で成り立つ。
12・1
(1)-1。(2)-1。
12・2 既約剰余類。互いに素。平方非剰余。既約剰余類。
初等整数論。解析的整数論。代数的整数論。素数定理。
オイラー積表示。
sinπx=0⇔x=整数。x^2の係数を比較する。
ゴールドバッハの派生問題。ウェアリングの問題。
有理整数。代数的数。代数的整数。ガウスの整数。超越数。イデアル論。
狭義単調減少数列が得られるのでいつかは手続きが完了する。
IMO 1998
ab+1が消去出来る。その残りをCとするとB|C。
C>0の時, 不等式評価で矛盾が導ける。
C=0の時, 構成出来る。(7k^2, 7k)。
C<0の時, 具体的に求まる。(11, 1)(49, 1)。
IMO 1988
背理法で示す。Max{a,b}が最小なものについて考える。
(1)a=bの時。0<k<2。∴k=1という平方数になって矛盾。
(2)a<bの時。Max{a,b}=b。
解と係数の関係によりb+β=ka, bβ=a^2-k。
(a,b)以外に(a,β)も与式を満たす。
不等式評価によりβ<b。これはbの最小性に矛盾する。
(3)a>bの時。(2)と全く同様に証明出来る。
よって非平方数は存在しない。
三角法の基礎事項。直角三角形を用いた三角関数の定義。関数。写像。像。定義域。値域。正弦。余弦。正接。余接。正割。余割。sin。cos。tan。csc。sec。cot。相似。垂線の足。直角三角形。
2
箱の中での考察。相似。加法定理。2倍角の公式。3倍角の公式。
3
直角を作る。垂線の足。相似。加法定理。等比数列。等差数列。加法定理。減法定理。
4
単位円周に沿っての考察。垂線の足。回転。極座標。周期。周期関数。余弦関数。余角の正弦。加法減法定理。減法定理。2倍角の公式。3倍角の公式。加法減法定理。半角の公式。
積和公式。和積公式。差積公式。合成する。
5
三角関数のグラフ。奇関数。サニュソイド的。偶関数。振幅。線型結合。1次結合。同じ周期。フーリエ。漸近線。正接関数。鉛直な漸近線。下に凸。上に凸。イェンセンの不等式。関数の凸性。2次導関数。
6
正弦法則。正弦法則。幾何的意味。外接円。角の二等分線定理。外角版。
7
面積とトレミーの定理。垂線の足。対角線。トレミーの定理。円に内接する四辺形。外接円。等脚台形。対角線。対称性。加法定理。2倍角の公式。正弦法則。トレミーの定理。
存在・一意性そして三角関数の変換公式。正弦法則。一意的。二等辺三角形。全射。上への関数。単射。1対1。全単射。1対1対応。正弦関数。余弦関数。全単射。正接関数。互いに逆。全単射。
グラフは面白くかつ重要。周期4。三角法の置換の秘伝。
鳩の巣原理。コーシー・シュワルツの不等式。
9
チェバの定理。チェバ線。正弦法則。重心。垂心。内心。
ジェルゴンヌ点。傍心。
チェバの定理。正弦法則。
10
箱の外での考察。相似変換。中心。相似比。像。原像。相似。
11
メネラウスの定理。点が同一直線上。チェバの定理は直線が同一点上。正弦法則。辺々掛け合わせる。
12
余弦法則。SAS型。SSS型。
13
スチュワートの定理。中線定理。中線公式。
14
ヘロンの公式。ブラーマグプタの公式。内接四辺形。余弦法則。接線。三角形の周の半分。
15
ブロカール点。外接円。ブロカール点。角の二等分線。対称移動。チェバの定理。ブロカール点。等角で共役。互いに素。余弦法則。ヘロンの公式。正弦法則。
ベクトル。ベクトル。尾。頭。和。スカラー倍。スカラー因子。長さ。大きさ。傾き。鉛直。直交する。菱形の対角線は内角を2等分する。
直角二等辺三角形。入射角と反射角は等しい。互いに補角をなす。二等辺三角形。加法定理。半直線。
17
内積と余弦法則のベクトル版。内積。余弦法則。
18
コーシー・シュワルツの不等式。ベクトル。コーシー・シュワルツの不等式。
19
ラジアンと重要な極限。単位円周上。ラジアン。扇形。極限値。
20
円柱の切断によるサニュソイド的曲線の構成。切断曲線。切断面。対称性。垂線の足。
21
3次元の座標系。内積の定義。赤道面。直交座標系。緯度。緯線。本初子午線。北極点。南極点。大円。赤道。経線。経度。順序対。極座標。球座標。直交座標系。赤道面。垂線の足。球座標。直交座標。
22
地球上の旅行。円周。弧。大円。赤道。大半円。余弦法則のベクトル版。
23
あなたはどこにいるの？GPS。平行四辺形。内積。分配法則。余弦法則のベクトル版。連立方程式。直交座標系。球座標。
24
ド・モアブルの公式。複素数。虚数単位。純虚数。ベクトル。複素平面。複素数平面。虚軸。実軸。原点。対角線。平行四辺形。ベクトル。絶対値。長さ。円周。極形式。複素数。極座標。
ベクトルの和。菱形。角を二等分する。半角の公式。
加法定理。2倍角の公式。加法定理。和積変換の公式。複素数の積。加法定理。極形式。加法的性質。ド・モアブルの公式。展開公式。
| 丶 ＿ .,! ヽ
> ｀`‐.｀ヽ、 .|、 |
ﾞ'． ,ト ｀i､ ｀i､ .､″
| .,.:/"" ﾞ‐,. ｀ /
` .,-''ヽ"｀ ヽ,,,、 !
､,､‐'ﾞl‐、 .丿 : ':、
､/ヽヽ‐ヽ､;,,,,,,,,,-.ッ:''｀ .,"-、
,r"ﾂぃ丶 ｀｀｀｀｀｀ ..／ ｀i､
,.ｲ:､ヽ／ー｀-､-ヽヽヽ､−´ .lﾞ｀-、
_,,lﾞ-:ヽ,;､、 ､､丶 ﾞi､,,、
,<_ l_ヽ冫｀'｀-､;,,,､､､､.............,,,,､.-｀": │ ｀i､
､､::|､､､ヽ,､､. ｀｀｀: : : ｀｀｀ ､.､'｀ .|丶、
.l","ヽ､,"､,"'､ぃ､､,､､、、.、、、.、、､_､.,,．ヽ´ lﾞ ﾞ).._
,､':ﾞl:､､｀:ヽ､｀:､ : ｀"｀｀｀¬――'''"｀ﾞ＾｀ : ..､丶 .lﾞ ｀ヽ
,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、 ､､...,,,､−‘｀ ､‐ |ﾞﾞ:‐,
,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀ ｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'": _.‐′ 丿 ,!
j".､'ヽ,".､".､"`''｀ｰ､._､、、 、._,、..-‐:'''′ .､,:" 丿
ﾞl,"`"`''ヽヽ"`"｀ ｀｀｀ﾞ'''"ヽ∠、､、､ぃ-｀''''": ｀ ､._.／｀ ._/｀
｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 、.,-‐'｀ 、／｀
｀`ヽン'`"｀ : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾ ,､‐'"｀
`"'ﾞ―-､,,,,..､、 : ..,､ー'"'｀
: ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""
＞ そうなんだ、すごいね！ ＜
´￣^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^￣
__､､=–､、 ＿＿
/ ・ ﾞ! ／・ ｀ヽ
| ・ __,ﾉ （＿ ・ |
ヽ、 (三,､, ＿） /
/ー-=-i’’ （__＿＿,,,.ノ
|＿＿,,/ |＿＿ゝ
〉 ） （ ）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ／-===-====-===---=／
"''-,,_ ＼ ／−−−−−−−−−∠ﾐ:: ／ _,,-''"
"''-,,_ ＼ ﾐミ ＿ ミ:: ／ _,,-''"
┏┓ ┏━━┓ ﾐ 二__, --､r'"___､ ヾ ﾄ､::ヽ _,,-''" ┏┓┏┓
┏┛┗┓ ┃┏┓┃ ﾐレ'"~,-,､ ! ! ' '"￣ .ノ ＼ヾ:､ ┃┃┃┃
┗┓┏┛ ┃┗┛┃┏ K/ｰ'~^~_/ ヽﾐ:ー‐‐'" ヽ i::━━━━┓ ┃┃┃┃
ー‐‐- ┏┛┗┓ ┃┏┓┃┃!〉 ｰ―'"( o ⊂! ' ヽ ∪ Y:: ┃ ┃┃┃┃
┗┓┏┛ ┗┛┃┃┗i ∪ ,.:::二Ｕﾆ:::.､. l i━━━━┛ ┗┛┗┛
┃┃ .,. -‐‐､.┃┃ .! :r'ｴ┴┴'ｰダ ∪ !Kl. ┏┓┏┓
┗┛.,' ´ ,,,... ヽ_ .! .! .! .! ,.--＜｀ヽ、 ┗┛┗┛
,' - ヽ .i､ . ヾ=､＿_.／ ﾄ/´~｀` ｀ , ヽ
_,,-''" ,' ,..､| ヽ. :､∪ ﾞ -―- ,; ∪ ,/´｀` ` i .l
_,,-''" | .,ﾍ__ノ ＼. :. .: 人 ￣ヽ | "''-,,_
＼
. ＼
. ＼ ＿＿＿＿＿＿＿
＼ r'´￣￣￣ ￣￣￣｀､::. ＿＿＿
l} ､:: ＼ﾍ,___,＿ ＿＿＿＿＿＿/::.＿＿| .|＿＿＿＿＿＿＿＿＿_＿
|l ＼:: | | ｜､:.. | [], _ .|: [ニ]:::::
|l'-,､イ＼: | | ∧,,,∧ . ｜::.. ﾍ￣￣,/:::(_＿)::
|l ´ヽ,ノ: | | （´・ω・｀） ,l､::: ￣￣::::::::::::::::
|l | :| | |,r'",´￣￣￣￣￣｀ヽ､l:::::
|l.,＼＼| :| | ,' :::::... ..::ll:::: そうだ
|l | :| | | :::::::... . .:::|l:::: これは夢なんだ
|l＿＿,,| :| | | ::::.... ..:::|l:::: ぼくは今まで永い夢を見ていたんだ
|l￣｀~~| :| | | |l:::: 目を閉じてまた開いた時
|l | :| | | |l:::: ぼくはまだ12歳の少年の夏
|l | :| | | ''"´ |l:::: 起きたらラジオ体操に行って
|l ＼＼[]:| | | |l:::: 朝ご飯を食べて涼しい午前中に宿題して
|l ｨ'´~ヽ | | ｀`' |l:::: 午後からおもいっきり遊ぶんだ
|l-''´ヽ,／:: | | ''"´ |l:::: 虫取り網を手に持って・・・
|l ／:: | ＼,'´＿___..:::::::::::::::_`l__,ｲ::::
l}ィ:: | `´::::::::::::::::::::::::::::::`´::::::
:::::::/::::::::::::::::::::::::::::ハ::::::::::::::::::::::::::ヽ::::::ヽ ／⌒＼
:::::/:::/:::::::/::::::::::::/ V::::::::::V::::::::::::ヽ:::::::', / ヽ
:::/::/::::://::::://:/ ヽ:ヽ::::V:i:::::::::::';::::::::, / き !
:::l::::!:::::トi:_::/ i:/ V:ﾊ:::ﾊ:レ::::::::i::::::::} ,' も !
:::i::::!::/{ V:ト､{ ､_iレ:イﾌ V:::i::}::::::::! ! い }
:::{:::{:/ ／z77ﾊヽ ／zzミヽ i::::i:i:::::::::! { ： }
::::!::i:i i ん///} ん//ﾊ ', i::::i:i:::::::ﾘ ゝ ： /
::::i:::ﾊ 弋z‐フ 弋z‐フ ｲﾉ:i:i:::::::i (_,､ __／
:::::i::i:::! ￣ ￣ '::::i:i::::::ﾘ O ￣
::::::i::i:ﾊ し ′ " " /::::i:i::::ノ ﾟ
｀ヽi:ト::＞ ､ , イ:::::〃'´
V／: : {｀ヽ ＿ ＜i: : :＼
／: : : : : ＼ ／￣ ＼ ／: : : : : :＼
┏┓ ┗┛ ┏┓ ┗┓┃┏┓┏┓ ┏┛┗━━┓┏━┓ ┃┏━━┓┃
┏┛┗━┓┏┓┏┛┗━┓┃┃┃┃┃┃ ┗┓┏━━┛┗┓┃┏┓┏━━━┓┗┛ ┃┃
┗┓┏━┛┗┛┗┓┏┓┃┗┛┃┃┗┛ ┃┃ ┏┓┗┛┃┃┗━━━┛ ┏━┛┃
┏┛┃┏━┓ ┏┛┃┃┃ ┃┗━━┓ ┃┃┏━┛┗┓ ┃┃ ┃┏━┛
┃┏┛┗━┛ ┗━┛┃┃ ┗━━┓┃ ┃┃┃┏┓┏┛ ┃┃┏┓ ┗┛
┃┃┏━━┓ ┏┛┃ ┏━━┛┃ ┃┃┃┗┛┃ ┃┃┃┗━━┓ ┏┓
┗┛┗━━┛ ┗━┛ ┗━━━┛ ┗┛┗━━┛ ┗┛┗━━━┛ ┗┛
2。要素を列挙する方法。性質によって表現する方法。部分集合。真部分集合。差。空集合。Ø。和集合。
3。合併集合。共通集合。互いに素。論理記号。自然数全体。整数全体。有理数全体。実数全体。複素数全体。
4。整除される。割り切れる。約数。倍数。b｜a。
5。公倍数。最小公倍数。
写像。ただ一つ対応させる。変換。像。逆像。写像の相等。単射。の中への1対1写像。全射。の上への写像。
6。公約数。最大公約数。
恒等写像。合成写像。全単射。逆写像。直積集合。順序対。直積集合。A×B。同値関係。
・除法の原理。
存在と一意性。帰納法。
・ユークリッドの互除法。単調に減少する整数の列。
反射律。対称律。推移律。同値類。代表元。商集合。類別。
7。完全代表系。対等。全単射。同値関係。濃度が等しい。可算集合。自然数全体に対等な集合。
任意の。ある。
8。7の拡張。帰納法。
9。 8より成り立つ。
10。互いに素。
11。d｜b。必要条件。十分条件。数学的帰納法。
・素数。合成数。エラトステネスの篩。ギリシャ。素因数。
12。素因数分解の一意性。帰納法。有限個の素数の積で表される。一意性。フェルマーの素数。メルセンヌ数。ガウスの記号。k進表示。
2。反射律。対称律。推移律。同値関係。和差積。
3。互いに素ならば割って良い。
互いに素でなければ法も含めて割る。
4。1次合同式の解法。
5。解の存在条件。
6。解の個数。d個ある。合同方程式。
7。中国式剰余の定理。帰納法。解の存在証明。
8。数学的帰納法。剰余類。代表元。反射律。
9。反射律。対称律。推移律。部分集合。
逆の包含関係。除法の原理。同値関係。類別。
剰余類。完全代表系。互いに素。既約剰余類。
1。オイラーの関数。φ。既約剰余類の個数＝φ。
写像。単射。全射。全単射。互いに素り既約剰余類。
制限した写像。
2。乗法的。既約剰余類。全単射。単射。全射。
3。帰納法。互いに素。割り切れない。
4。縦に数えるか横に数えるか。
5。メビウスの関数。
6。乗法的。素因数分解。互いに素。
7。メビウスの反転公式。リウヴィルの関数。
「物理数学の直感的方法」とかいう本
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/sci/1523151554/
2。数学的帰納法。除法の原理。整列性。自然数。整列性。最小元を持つ。空でない自然数の集合。数学的帰納法の原理。第1形式。整列性。最小元。数学的帰納法の原理。第2形式。
3。除法の原理の証明。帰納法。整商。余り。剰余。負でない最小剰余。階乗。帰納法。二重帰納法。規約する。組合せの数。整列性。帰納法。第2形式。
二項定理。二項係数。凸関数。下に凸な関数。
凹関数。上に凸な関数。微分法。
最大公約数。割り切れる。割り切る。倍数。約数。符号。公約数。最大公約数。0は任意の整数の倍数である。0の倍数は0のみである。
ユークリッドの互除法。正の整数の減少数列。最大公約数。必ず最後には割り切れる。互いに素。対ごとに素。
ユークリッドの互除法。互いに素。
最小公倍数。公倍数。整列性。最小公倍数。双対的。対ごとに素。
素数。素因数分解。素数。合成数。整数論の基本定理。背理法。最小の元。最小性に反することを導き矛盾。存在性と一意性。標準分解。約数の和。真の約数。完全数。6, 28。オイラー。
互いに素。メルセンヌ数。フェルマー数。有理数。互いに素。既約分数。素数は無限に存在する。対ごとに素。標準分解。冪。a進展開。帰納法。一意性。準完全数。既約な準完全数。2進展開。既約。整数部分。ガウスの記号。小数部分。
同値関係。合同式。〜同値関係。反射律。対称律。推移律。類。同値類。類別。代表。法。合同。同値関係。和差積。法mに関する剰余類。互い合同。剰余類の代表。完全剰余系。
二項定理。
2つの整数論的関数。整数論的関数。オイラーの関数。既約剰余類。個数。既約剰余系。完全剰余系。
メビウスの関数。標準分解。二項定理。交換子群。導群。位数。巡回群。整数論的関数。整数論的関数の反転公式。互いに素。和。集合の記号について。真部分集合。値域。
乗法的。「互いに素ならば」積に分解できるということ。メビウスの関数は乗法的関数である。反転公式。乗法的。乗法性。
オイラーの定理。フェルマーの小定理。加法群。加群。部分群。整数論的関数の和関数は乗法的関数である。
対ごとに素。完全剰余系。既約剰余系。互いに素。
2。2進法。帰納法。逆に並べた数。
3。グリーディ・アルゴリズム。3進法で2が出現しない数列。
4。ガウス記号。幾何学的に表現する。グラフを描く。
5。+ 1と- 1に対応させる。中間値の定理。カタラン数。
6。帰納法。
7。同値な問題へのすり替え。組合せに帰着させる。 適切な記号や座標の導入。変数の置き換え。概念の同一視。対応。異概念への移行。
置き換え。
8。Pの位置は一定。相加相乗平均の不等式。
9。対称性の利用。対称点を取る。円周角の定理。
10。中央である5に関する対称性。ファンデアヴェルデン数。
11。大小関係を設定する。最大数cを固定して変形していく。
12。議論の展開法。解の絞り込み論法。全称命題の時に使える。n=2の時を調べるだけで必要十分条件が得られた。
13。0を代入してみる。場合分け。帰納法。
14。論点の設定法。際立った要素。帰納法。最短である 2個を取り除く。
15。帰納法。上の辺が一番高い正方形を選ぶ。
17。全て異なることが必要。対称性。大小関係を設定する。場合分け。
18。半径最小の円。
19。間接的証明法。背理法の完結のさせ方。最大性や最小性に注目。行列で表す。行を男子に列を女子に。踊ったら1を、踊らなかったら0を対応させる。1が最も多く現れている行に注目する。
最も多く女子と踊った男子に注目した。
20。背理法。素数が無限個あるのと同じ証明法。
21。有効な場合分け。必然による場合分け。性質に基づく場合分け。山登り法。対称性。階層的。漏れを防ぐ工夫。
凸包。四角形の時。五角形の時。三角形の時。エステ・クライン。
22。背理法。7の倍数が含まれているかどうかで場合分け。
23。偶奇で場合分け。乗法的。山登り法。
24。存在命題の証明の仕方。鳩の巣原理。ディリクレの部屋割り論法。正三角形を4個に分割する。空間の点を偶奇で8個に分割する。
25。0とn-1を仮定して矛盾を導く。modnでn-1に分割できるから、鳩の巣原理で同じ個数のものが存在することが示される。
26。中間値の定理。小区間の中の距離の最大値が題意を満たすように分割することができる→鳩の巣原理。
27。6個の区間に分割して中間値の定理を使う。
28。分断線の可能性は10本ある。ある分断線を跨ぐタイルが奇数個(1個3個5個)だと仮定すると、その分断線によって例えば左右が奇数個ずつになる。これは残りのスペースを
1×2のタイル(面積偶数)で覆うことが不可能になる。従って分断線を跨ぐタイルの数は偶数個(2個4個)である。このうち最小の2個であると仮定しよう。跨ぐタイルの最小値は
2×10=20である。これは全体を覆い尽くすタイルの枚数18を超えるので不可能。ロナルド・グラハム。
29。全称命題の証明の仕方。帰納法。4個に分割する。可能であることが示せる。
30。帰納法。偶奇性。S1を除くと帰納法の仮定が使える形になる。ロナルド・グラハム。
https://twitter.com/yumi__kasai
https://geinou-resistance.info/4926.html
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%85%E5%8E%9F%E5%A4%A7%E5%90%BE
http://fgamers.saikyou.biz/?%E3%82%A6%E3%83%A1%E3%83%8F%E3%83%A9#.Wza_PWcnbcs
数オリなんて子供の遊びだ
本物の数学ではない
Let Γ be the circumcircle of acute triangle ABC.
Points D and E are on gegments AB and AC respectively such that AD = AE.
The perpendicular bisectors of BD and CE intersect minor arcs AB and AC of Γ at points F and G respectively.
Prove that lines DE and FG are either parallel or they are the same line.
http://suseum.jp/gq/question/2890
IMO 2018 [2]
Find all integers n ≧ 3 for which there exist real numbers a_1，a_2，…，a_{n+2} satisfying
a_{n+1} = a_1，a_{n+2} = a_2 and
a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}
for i = 1，2，…，n.
http://suseum.jp/gq/question/2891
IMO 2018 [3]
http://suseum.jp/gq/question/2892
IMO 2018 [4]
http://suseum.jp/gq/question/2893
IMO 2018 [5]
Let a_1，a_2,… be an infinite sequence of positive integers.
Suppose that there is an integer N > 1 such that，for each n ≧ N，the number
a_1/a_2 + a_2/a_3 ＋ … + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1
is an integer.
Prove that there is a positive integer M such that a_m = a_{m+1} for all m ≧ M.
http://suseum.jp/gq/question/2894
IMO 2018 [6]
A convex quadrilateral ABCD satisfies AB･CD = BC･DA.
Point X lies inside ABCD so that
∠XAB = ∠XCD and ∠XBC = ∠XDA.
Prove that
∠BXA + ∠DXC = 180ﾟ.
http://suseum.jp/gq/question/2895
| 丶 ＿ .,! ヽ
> ｀`‐.｀ヽ、 .|、 |
ﾞ'． ,ト ｀i､ ｀i､ .､″
| .,.:/"" ﾞ‐,. ｀ /
` .,-''ヽ"｀ ヽ,,,、 !
､,､‐'ﾞl‐、 .丿 : ':、
､/ヽヽ‐ヽ､;,,,,,,,,,-.ッ:''｀ .,"-、
,r"ﾂぃ丶 ｀｀｀｀｀｀ ..／ ｀i､
,.ｲ:､ヽ／ー｀-､-ヽヽヽ､−´ .lﾞ｀-、
_,,lﾞ-:ヽ,;､、 ､､丶 ﾞi､,,、
,<_ l_ヽ冫｀'｀-､;,,,､､､､.............,,,,､.-｀": │ ｀i､
､､::|､､､ヽ,､､. ｀｀｀: : : ｀｀｀ ､.､'｀ .|丶、
.l","ヽ､,"､,"'､ぃ､､,､､、、.、、、.、、､_､.,,．ヽ´ lﾞ ﾞ).._
,､':ﾞl:､､｀:ヽ､｀:､ : ｀"｀｀｀¬――'''"｀ﾞ＾｀ : ..､丶 .lﾞ ｀ヽ
,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、 ､､...,,,､−‘｀ ､‐ |ﾞﾞ:‐,
,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀ ｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'": _.‐′ 丿 ,!
j".､'ヽ,".､".､"`''｀ｰ､._､、、 、._,、..-‐:'''′ .､,:" 丿
ﾞl,"`"`''ヽヽ"`"｀ ｀｀｀ﾞ'''"ヽ∠、､、､ぃ-｀''''": ｀ ､._.／｀ ._/｀
｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 、.,-‐'｀ 、／｀
｀`ヽン'`"｀ : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾ ,､‐'"｀
`"'ﾞ―-､,,,,..､、 : ..,､ー'"'｀
: ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""
臭(草)
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.
次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
i≠j ⇒ ｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,
IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.
次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
i≠j ⇒ ｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,
IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号
x_j = k { j √m - 1/2 }， k=1+2√m,
ここに m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
（富蘭平太氏の解）
0 ≦ x_i, x_j < k,
k > | x_i - x_j | = k･| |i-j|√m -n |, ････ (a)
ここに n = | [ i√m -1/2] - [ j√m -1/2] | ≧0,
ところで
k|i-j| - (|i-j|√m + n) = (k-2√m)|i-j| + (|i-j|√m - n)
> (k-2√m)|i-j| - 1 (← a)
= |i-j| - 1 (← k=1+2√m)
≧ 0, (← i≠j)
これより
|i-j|･|x_i - x_j| = k|i-j|･| |i-j|√m - n|
> (|i-j|√m + n)| |i-j|√m - n|
= | (i-j)^2･m - nn |
≧ 1, (← m≠平方数, i≠j)
次の式の値を計算し、整数値で答えよ。
√{(11^4 + 100^4 + 111^4)/2}
・JMO-2016 予選
・どちゃ楽数学bot
//www.twitter.com/solove_math/ Q.157 ☆2
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
辺長 a,b,c の三角形の面積を S とする。
16SS =（a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
=（aa+bb+cc)^2 - 2(a^4+b^4+c^4),
-a+b+c=0, a-b+c=0, または a+b-c=0 のとき
三角形が潰れて S=0 だから
√{(a^4+b^4+c^4)/2｝=（aa+bb+cc)/2,
とおくと
(C-A-B)^2 =（2ab)^2 = 4AB,
AA+BB+CC = 2(AB+BC+CA),
2(AA+BB+CC）=（A+B+C)^2,
√{(AA+BB+CC)/2｝=（A+B+C)/2,
p/q - 4/(r+1）= 1 をみたす素数 p,q,r をすべて求めよ。
Find all prime numbers p,q,r, such that p/q - 4/(r+1）= 1.
JBMO-2008 A3.
http://www.youtube.com/watch?v=Ci4GrEoNxjI 17:44
【数学実況#42】JBMO素数 by AKITO
http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo
http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo
17th JBMO-2013 トルコ
18th JBMO-2014 マケドニア (Ohrid)
19th JBMO-2015 セルビア (Belgrade)
20th JBMO-2016 ルーマニア (City of Slatina)
21st JBMO-2017 ブルガリア (City of Varna)
22nd JBMO-2018 ギリシャ (Rhodes island)
23rd JBMO-2019 キプロス
24th JBMO-2020 ？
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注）鳩ノ巣原理では解けません。
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5) ････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ････ (5)
* 3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
そうでなかったら人生の無駄だと思わないか？
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28, ････ (3)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ････ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ････ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ････ (9)
4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cを求めよ。
IMO-1975 (ブルガリア大会)
log(N) < 4444 log(4444) = 16210.707879
であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。
また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、
A ≦ 16211×9 = 145899
となる。
同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54
（=6×9）以下ということになり、B≦54 である。
54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その
値は13である。よって C≦13 である。
一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。 A=72601
これより
B = 7+2+6+0+1 = 16,
C = 1+6 = 7,
「［完全攻略］数学オリンピック」(1991) p.70-71
8^1000 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cの各桁に現れる数の和をDとする。
A,B,C,D を求めよ。
空間の点全体を5色すべてを使って勝手に塗る。
このとき、この空間内に少なくとも4色（異なる4色で塗られた4点）
を含む平面が存在することを示せ。
秋山 仁＋ピーター・フランクル 共著
「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991) p.99
平面πと直線CD とが平行ならば、交わらない。
点Pを通ってCDに平行な直線Lをひく。
直線Lは平面πに含まれる。また
L // CD はABと平行でないから、ABと交わる。
その交点Qは色a,bのどちらかで塗られている。
CDPQは同一平面上にあり、4色を含む。（終）
数列{a_n} を次のように定める。
a_1 = 1,
n≧1 のとき a_{n+1} = a_n + 1/a_n,
このとき次を示せ。
(1) 2≦m のとき (a_m)^2 ≧ 2m,
(2) m≦100 のとき (a_m)^2 < 2m + (H_{m-1} -1)/2 < 2(m+2),
(3) 2≦m≦100 のとき (a_m)^2 > 2m + (H_{m+1} -11/6)/2,
(4) 14.20 < a_100 < 14.22
ただし調和級数は H_99 = 5.1774 H_101 = 5.1973 とせよ。
(1990年国内大会予選-改)
「［完全攻略］数学オリンピック」(1991) p.107
(a_{n+1})^2 = (a_n)^2 + 2 + 1/(a_n)^2,
これを n=2,3,････,m-1 でたすと
(a_m)^2 = (a_2)^2 + 2(m-2) + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2
= 2m + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2,
≧ 2m,
A = 3871
B = 19
C = 10
D = 1
桁, 数字の和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
下１〜 100, 476, 9, 13, 11, 9, 4, 9, 4, 15, 10, 16,
101〜 200, 402 , 17, 9, 14, 9, 7, 4, 14, 10, 8, 8,
201〜 300, 385, 14, 12, 10, 12, 13, 9, 7, 11, 7, 5,
301〜 400, 398, 16, 13, 11, 5, 8, 15, 9, 3, 14, 6,
401〜 500, 463, 8, 9, 10, 8, 16, 8, 7, 15, 12, 7,
501〜 600, 429, 15, 6, 9, 16, 11, 5, 8, 9, 12, 9,
601〜 700, 455, 11, 9, 6, 11, 12, 9, 13, 11, 9, 9,
701〜 800, 410, 11, 9, 15, 13, 10, 11, 8, 2, 14, 7,
801〜 900, 447, 8, 15, 8, 10, 6, 11, 12, 12, 11, 7,
901〜 904, 6, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
計, A=3871, 110, 96, 95, 94, 87, 81, 82, 88, 97, 74,
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
<<Problem 3>>
Prove that the sequences a_n = 3^n - 2^n contains no three numbers in geometric progression.
〔問題3〕
数列 a_n = 3^n - 2^n は等比数列となる3項を含まないことを示せ。
(1994年 Romania 第1回TST)
<<Problem>>
Find all triplets of positive integers (a,m,n)
such that (a^m)+1 divides (a+1)^n.
(IMO-2000 SLP）
〔問題〕
(a^m)+1 が (a+1)^n を割り切るような正の整数の3つ組(a,m,n)をすべて求めよ。
(→ 和のZsigmondy の定理)
〔第2問〕
正の整数の組 (a,n,p,q,r) であって、等式
a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1)
を満たすものをすべて求めよ。 (JMO-2011 本選)
http://science-log.com/数学/number-theory-の話題（zsigmondys-theorem）/
Determine all x,y∈Z such that
1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.
(IMO-2006, Q4)
(2^x){1+2^(x+1)} = (y+1)(y-1) を使う。
http://www.youtube.com/watch?v=wviiZlYRaGE 05:52
を使うとどうなるか？
・xが偶数のとき
t = 2^(x/2) >0 とおく。
1 + t^2 + t^4 = (1+t+t^2)(1-t+t^2),
y^2 - t^4 = (y+t^2)(y-t^2),
よって
y + t^2 = 1+t+t^2,
y - t^2 = 1-t+t^2,
辺々引いて
0 = 2t(1-t),
∴ t=1, x=0, y=±2.
・xが4の倍数のとき
t = 2^(x/4) >0 とおく。
1 + t^4 + t^8 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2)(1+t+t^2),
y^2 - t^8 = (y+t^4)(y-t^4),
よって
y + t^4 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2),
y - t^4 = 1+t+t^2,
辺々引いて
0 = -2t - t^2 + t^3 - 2t^4 - t^5 + t^6
= -t(1+t)(2-t)(1+t^3)
∴ t=2, x=4, y=±23.
〔問題3.10〕
三角形ABCの外心をOとし、重心をGとする。
Rとrをそれぞれ三角形の外接円および内接円の半径とする。
このとき OG ≦ √{R(R-2r)} を証明せよ。
バルカンMO-1996
〔問題3.28〕
ABCを鋭角三角形とし、L,M,N をABCの重心Gから
それぞれ辺BC, CA, AB へ下ろした垂線の足とする。
このとき次を証明せよ。
4/27 < (LMN)/(ABC) < 1/4,
バルカンMO-1999
〔問題3.51〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
aa + bb + cc ≧ ab + bc + ca ≧ √{3abc(a+b+c)}.
バルカンMO-2001
〔問題3.58〕
正の実数 a,b,c に対して次を証明せよ。
2/(b(a+b)) + 2/(c(b+c)) + 2/(a(c+a)) ≧ 9/(ab+bc+ca) ≧ 27/(a+b+c)^2.
バルカンMO-2002
〔問題3.93〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
1/(a(b+1)) + 1/(b(c+1)) + 1/(c(a+1)) ≧ 3/(g(g+1)) ≧ 3/(1+abc),
g = (abc)^(1/3).
バルカンMO-2006, Inequalitybot [77]
佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
p.127, p.130 p.134 p.135 p.141
左側は AM-GM で。
右側
(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)
= (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx)
≧ 0,
〔問題3.58〕
左側
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) (チェビシェフ) により
(左辺) ≧ 2/(c(a+b)) + 2/(a(b+c)) + 2/(b(c+a))
≧ 2･9/{c(a+b) + a(b+c) + b(c+a)} (AM-HM)
≧ 9/(ab+bc+ca),
右側は AM-GM で。
〔問題3.93〕
左側は
(abc+1)/(a(b+1)) = b(c+1)/(b+1) -1 + (a+1)/(a(b+1)),
巡回的にたして AM-GM する。
(g^3 + 1)(左辺) ≧ g -1 +1/g = (gg-g+1)/g,
g^3 + 1 > 0 で割って
(左辺) ≧ 1/(g(g+1)),
右側は
(g^3 +1) - g(g+1) = (g+1)(g-1)^2 ≧ 0,
佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
p.127, p.130 p.134 p.135 p.141
(3)×1372 - (2)
-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9) ････ (10)
また
-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6) ････ (11)
(5) - (11)×2
789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ････ (12)
(11) - (3)×79
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ････ (7)
(10)×3 + (7)×50
-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8) ････ (13)
(13) - (3)
-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9) ････ (14)
(13) - (14)×15
269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12) ････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12) ････ (16)
(16) - (9)
96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13) ････ (17)
バルカン半島はかつて「ヨーロッパの火薬庫」と呼ばれたが、
今はイスラエル（エルサレム）やレバノン（ベイルート）の辺りだろうな。
(硝酸アンモニウム：2750トン)
次の不等式をみたす整数 a,b,c で、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
｜a + b√2 + c√3｜< 1/n^2,
( 面白スレ３４-995 )
例)
n=10 0.339978835200 /n^2, (a, b, c) = (-3, -4, 5)
n=10^2 0.520711297654 /n^2, (-1, 35, -28)
… …
n=10^6 0.335288234411 /n^2, (96051, -616920, 448258)
n=10^7 0.617825865545 /n^2, (2425305, 2250206, -3237536)
n=10^8 0.594330503906 /n^2, (54823746, 25581379, -52539613)
n=10^9 0.466099494288 /n^2, (-116906393, -23832207, 86954853)
n=10^10 0.600393045602 /n^2, (-2133560879, -933735484, 1994203778)
(注：鳩ノ巣原理では解けません)
n=10^4 0.8889085512745 /n^2, (817, 5753, -5169)
n=2 0.049888052765 (-2, -1, 2)
n=3,4 0.046488264413 (1, 3, -3)
n=5〜17 0.003399788352 (-3, -4, 5)
n=11〜15 0.004128746211 (11, -9, 1)
|a'|, |a"|, |b|, |c| ≦ n とする。
リウヴィルの定理(1844)
|a' + b√2| > k(√2)/b > k(√2)/n,
|a" + c√3| > k(√3)/c > k(√3)/n,
k(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575
k(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.2679492
n=10^5 0.9710681853653 /n^2, (17841, 11305, -19531)
(略解)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ････ (12)
(3)×21 - (12)×17
-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10) ････ (18)
1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ････ (7)
(7)×2 - (18)
17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)
TOKYO-2020 3位 (金 27, 銀 14, 銅 17) … 過去最高らしい
http://olympics.com/tokyo-2020/ja/
http://sports.nhk.or.jp/olympic/
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2020/
コインが何枚かあって
１枚のコインが他のコイン全てに接することが
それぞれのコインについていえるような最大数は何枚か
答え ５枚
というのが数学オリンピックの本に載っていたように思うが
どのように配置すればいい？
https://i.imgur.com/RFg4r2B.jpg
https://i.imgur.com/18xTUyr.jpg
https://i.imgur.com/TM6srjb.jpg
https://i.imgur.com/ooY1HtO.jpg
https://i.imgur.com/mas8VTW.jpg
https://i.imgur.com/HGF8p1j.jpg
https://i.imgur.com/n0WZK4r.jpg
https://i.imgur.com/duGTElb.jpg
https://i.imgur.com/BjRi4sl.jpg
https://i.imgur.com/UQdUsct.jpg
https://i.imgur.com/FF3XiA2.jpg
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニュース
- 【三重】保健室に来た男子中学生を抱きしめたりキスをしたり…２７歳女性養護教諭を懲戒免職 [シャチ★]
- 【鉄道】女性「電車で隣に座ってくる男キモい」SNS“炎上”…男女で《賛否》真っ二つ、それぞれの言い分とは [ぐれ★]
- 【緊縛】代々木公園の「LGBTQ+」イベント 「過度な露出」に運営が声明「あえて社会規範に挑戦」「ご理解を」 [梵天丸★]
- 2月の実質賃金、1.8％減 速報から下方修正、厚労省 ★2 [蚤の市★]
- 他に空いているのに横に座られ…『女性の隣』がトレンド入り…元プラスマイナス岩橋も反論した「あえて女性の横に座る男性」の賛否 [muffin★]
- 河野太郎大臣「ワクチンの効果や安全性を承認したのは厚労省の有識者による審議会。私は関わっておりません」★11 [Hitzeschleier★]
- ホテルの朝食バイキング会場のあるある
- いなり寿司誤認逮捕に平和堂、謝罪「2回も誤操作で被害者を叩く投稿にいいねをしてしまいました」 [931948549]
- ぬわ粘の🏡
- 経団連会長「今の円安は行き過ぎている」 [434496575]
- X「8900円の30%引きを電卓で計算する方法教えます！」→3万いいね [681166764]
- 【動画】ケンモメン、通りすがりの女性の頭を殴って逃走wwwwwwwww [834922174]