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数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
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0001１３２人目の素数さん垢版2018/03/29(木) 10:52:58.86ID:z4iohU7S
暇なので
0195１３２人目の素数さん垢版2018/06/27(水) 16:58:45.02ID:H9OjG7C8
1。規則性の発見。具体的に書き出す。周期8を見出す。
2。2進法。帰納法。逆に並べた数。
3。グリーディ・アルゴリズム。3進法で2が出現しない数列。
4。ガウス記号。幾何学的に表現する。グラフを描く。
5。+ 1と- 1に対応させる。中間値の定理。カタラン数。
6。帰納法。
7。同値な問題へのすり替え。組合せに帰着させる。 適切な記号や座標の導入。変数の置き換え。概念の同一視。対応。異概念への移行。
置き換え。
8。Pの位置は一定。相加相乗平均の不等式。
9。対称性の利用。対称点を取る。円周角の定理。
10。中央である5に関する対称性。ファンデアヴェルデン数。
11。大小関係を設定する。最大数cを固定して変形していく。
12。議論の展開法。解の絞り込み論法。全称命題の時に使える。n=2の時を調べるだけで必要十分条件が得られた。
13。0を代入してみる。場合分け。帰納法。
14。論点の設定法。際立った要素。帰納法。最短である 2個を取り除く。
15。帰納法。上の辺が一番高い正方形を選ぶ。
0196１３２人目の素数さん垢版2018/06/27(水) 17:38:29.63ID:H9OjG7C8
16。単位正方形で覆うことができる。
17。全て異なることが必要。対称性。大小関係を設定する。場合分け。
18。半径最小の円。
19。間接的証明法。背理法の完結のさせ方。最大性や最小性に注目。行列で表す。行を男子に列を女子に。踊ったら1を、踊らなかったら0を対応させる。1が最も多く現れている行に注目する。
最も多く女子と踊った男子に注目した。
20。背理法。素数が無限個あるのと同じ証明法。
21。有効な場合分け。必然による場合分け。性質に基づく場合分け。山登り法。対称性。階層的。漏れを防ぐ工夫。
凸包。四角形の時。五角形の時。三角形の時。エステ・クライン。
22。背理法。7の倍数が含まれているかどうかで場合分け。
23。偶奇で場合分け。乗法的。山登り法。
24。存在命題の証明の仕方。鳩の巣原理。ディリクレの部屋割り論法。正三角形を4個に分割する。空間の点を偶奇で8個に分割する。
25。0とn-1を仮定して矛盾を導く。modnでn-1に分割できるから、鳩の巣原理で同じ個数のものが存在することが示される。
26。中間値の定理。小区間の中の距離の最大値が題意を満たすように分割することができる→鳩の巣原理。
27。6個の区間に分割して中間値の定理を使う。
28。分断線の可能性は10本ある。ある分断線を跨ぐタイルが奇数個(1個3個5個)だと仮定すると、その分断線によって例えば左右が奇数個ずつになる。これは残りのスペースを
1×2のタイル(面積偶数)で覆うことが不可能になる。従って分断線を跨ぐタイルの数は偶数個(2個4個)である。このうち最小の2個であると仮定しよう。跨ぐタイルの最小値は
2×10=20である。これは全体を覆い尽くすタイルの枚数18を超えるので不可能。ロナルド・グラハム。
29。全称命題の証明の仕方。帰納法。4個に分割する。可能であることが示せる。
30。帰納法。偶奇性。S1を除くと帰納法の仮定が使える形になる。ロナルド・グラハム。
0199１３２人目の素数さん垢版2018/07/23(月) 23:13:43.05ID:aE9lzten
数オリにハマってた俺がいうが、今ならわかる
数オリなんて子供の遊びだ
本物の数学ではない
0201１３２人目の素数さん垢版2018/07/26(木) 00:09:19.56ID:ZQZlAKvh
IMO 2018 [1]
　Let Γ be the circumcircle of acute triangle ABC.
　Points D and E are on gegments AB and AC respectively such that AD = AE.
　The perpendicular bisectors of BD and CE intersect minor arcs AB and AC of Γ at points F and G respectively.
　Prove that lines DE and FG are either parallel or they are the same line.
　http://suseum.jp/gq/question/2890

IMO 2018 [2]
　Find all integers n ≧ 3 for which there exist real numbers a_1，a_2，…，a_{n+2} satisfying
　a_{n+1} = a_1，a_{n+2} = a_2 and
　　a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}
　for i = 1，2，…，n.
　http://suseum.jp/gq/question/2891

IMO 2018 [3]
　http://suseum.jp/gq/question/2892

IMO 2018 [4]
　http://suseum.jp/gq/question/2893

IMO 2018 [5]
　Let a_1，a_2,… be an infinite sequence of positive integers.
　Suppose that there is an integer N > 1 such that，for each n ≧ N，the number
　　a_1/a_2 + a_2/a_3 ＋ … + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1
　is an integer.
　Prove that there is a positive integer M such that a_m = a_{m+1} for all m ≧ M.
　http://suseum.jp/gq/question/2894

IMO 2018 [6]
　A convex quadrilateral ABCD satisfies AB･CD = BC･DA.
　Point X lies inside ABCD so that
　　∠XAB = ∠XCD　and　∠XBC = ∠XDA.
　Prove that
　　∠BXA + ∠DXC = 180ﾟ.
　http://suseum.jp/gq/question/2895
0202１３２人目の素数さん垢版2018/07/26(木) 03:28:25.26ID:RwuQrgKh
　　　　　　　　　　　　　　　　!
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0203１３２人目の素数さん垢版2019/06/04(火) 17:32:36.61ID:Xp4eyZ/6
>>202
臭(草)
0206１３２人目の素数さん垢版2019/09/24(火) 07:00:13.51ID:CUDTSBu2
〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.

次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
　i≠j　⇒　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,

IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号
0207１３２人目の素数さん垢版2019/09/24(火) 07:01:17.83ID:CUDTSBu2
〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.

次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
　i≠j　⇒　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,

IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号
0208１３２人目の素数さん垢版2019/09/24(火) 07:03:39.83ID:CUDTSBu2
>>206 >>207
　x_j = k { j √m - 1/2 }，　k=1+2√m,
ここに　m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
（富蘭平太氏の解）
0209１３２人目の素数さん垢版2019/10/09(水) 19:07:19.69ID:iYJrGFAo
i≠j とする。
0 ≦ x_i, x_j < k,
k > | x_i - x_j | = k･| |i-j|√m -n |,　　････ (a)
ここに　n = | [ i√m -1/2] - [ j√m -1/2] | ≧0,
ところで
k|i-j| - (|i-j|√m + n) = (k-2√m)|i-j| + (|i-j|√m - n)
　> (k-2√m)|i-j| - 1　　(← a)
　= |i-j| - 1　　　(← k=1+2√m)
　≧ 0,　　　　　　(← i≠j)
これより
|i-j|･|x_i - x_j| = k|i-j|･| |i-j|√m - n|
　> (|i-j|√m + n)| |i-j|√m - n|
　= | (i-j)^2･m - nn |
　≧ 1,　　　　　(←　m≠平方数, i≠j)
0211１３２人目の素数さん垢版2020/05/12(火) 08:36:39.11ID:6F2V66NY
〔ヘロンの公式〕
辺長 a,b,c の三角形の面積を S とする。
16SS =（a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
　　=（aa+bb+cc)^2 - 2(a^4+b^4+c^4),

-a+b+c=0, a-b+c=0, または a+b-c=0 のとき
三角形が潰れて S=0 だから
　√{(a^4+b^4+c^4)/2｝=（aa+bb+cc)/2,
0212１３２人目の素数さん垢版2020/05/19(火) 16:41:17.66ID:C7hbQ2t7
A = aa, B = bb, C = (a+b)^2,
とおくと
(C-A-B)^2 =（2ab)^2 = 4AB,
AA+BB+CC = 2(AB+BC+CA),
2(AA+BB+CC）=（A+B+C)^2,
√{(AA+BB+CC)/2｝=（A+B+C)/2,
0214１３２人目の素数さん垢版2020/05/27(水) 17:37:52.62ID:2I72JytV
　JBMO はバルカンMO（BMO）のジュニア版らしい。

http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo

17th　JBMO-2013　トルコ
18th　JBMO-2014　マケドニア (Ohrid)
19th　JBMO-2015　セルビア (Belgrade)
20th　JBMO-2016　ルーマニア (City of Slatina)
21st　JBMO-2017　ブルガリア (City of Varna)
22nd　JBMO-2018　ギリシャ (Rhodes island)
23rd　JBMO-2019　キプロス
24th　JBMO-2020　？
0215１３２人目の素数さん垢版2020/05/30(土) 19:34:24.32ID:vR2Jo4eU
[例9-3] 改
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),

秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注）鳩ノ巣原理では解けません。
0216１３２人目の素数さん垢版2020/06/01(月) 03:37:56.63ID:LHxMDESI
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4)　････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5)　････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5)　････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6)　････ (5)

*　3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
0217１３２人目の素数さん垢版2020/06/07(日) 10:21:25.18ID:RP0dHW9o
高校までならいいが
そうでなかったら人生の無駄だと思わないか？
0219１３２人目の素数さん垢版2020/06/08(月) 04:29:26.33ID:4nsS10XA
>>216
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28,　････ (3)
0220１３２人目の素数さん垢版2020/06/09(火) 10:30:36.84ID:oCR5MqlE
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)　　････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)　　････ (7)

(4)×2 - (5)×7
　-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)　　････ (8)

(6)×4 - (3)
　153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)　　････ (9)
0221１３２人目の素数さん垢版2020/06/15(月) 07:43:05.19ID:m4MzqaBi
〔問題4〕
4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cを求めよ。

IMO-1975 (ブルガリア大会)
0222１３２人目の素数さん垢版2020/06/15(月) 07:44:52.98ID:m4MzqaBi
N=4444^4444　とする。このとき
　log(N) < 4444 log(4444) = 16210.707879
であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。
また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、
　A ≦ 16211×9 = 145899
となる。
同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54
（=6×9）以下ということになり、B≦54 である。
54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その
値は13である。よって C≦13 である。
　一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。　A=72601
これより
　B = 7+2+6+0+1 = 16,
　C = 1+6 = 7,

「［完全攻略］数学オリンピック」(1991)　p.70-71
0223１３２人目の素数さん垢版2020/06/24(水) 04:59:29.47ID:Xsyvn5Xl
〔問題〕
8^1000 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cの各桁に現れる数の和をDとする。
A,B,C,D を求めよ。
0224１３２人目の素数さん垢版2020/06/30(火) 06:51:02.00ID:ECJqkbpx
空間[5]
　空間の点全体を5色すべてを使って勝手に塗る。
このとき、この空間内に少なくとも4色（異なる4色で塗られた4点）
を含む平面が存在することを示せ。

秋山 仁＋ピーター・フランクル 共著
「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991)　p.99
0225１３２人目の素数さん垢版2020/06/30(火) 06:53:29.76ID:ECJqkbpx
「2直線ABとCDが同一平面上にない場合」に補足。
平面πと直線CD とが平行ならば、交わらない。
点Pを通ってCDに平行な直線Lをひく。
直線Lは平面πに含まれる。また
L // CD はABと平行でないから、ABと交わる。
その交点Qは色a,bのどちらかで塗られている。
CDPQは同一平面上にあり、4色を含む。（終）
0226１３２人目の素数さん垢版2020/07/01(水) 03:27:42.13ID:oUd/gfq5
数列[1]
　数列{a_n} を次のように定める。
　a_1 = 1,
　n≧1 のとき a_{n+1} = a_n + 1/a_n,
このとき次を示せ。
　(1)　2≦m のとき　(a_m)^2 ≧ 2m,
　(2)　m≦100 のとき　(a_m)^2 < 2m + (H_{m-1} -1)/2 < 2(m+2),
　(3)　2≦m≦100 のとき　(a_m)^2 > 2m + (H_{m+1} -11/6)/2,
　(4)　14.20 < a_100 < 14.22
　　　ただし調和級数は H_99 = 5.1774　H_101 = 5.1973 とせよ。
　　　　　(1990年国内大会予選-改)

「［完全攻略］数学オリンピック」(1991)　p.107
0227１３２人目の素数さん垢版2020/07/01(水) 11:58:27.95ID:oUd/gfq5
(1)
(a_{n+1})^2 = (a_n)^2 + 2 + 1/(a_n)^2,

これを n=2,3,････,m-1 でたすと

(a_m)^2 = (a_2)^2 + 2(m-2) + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2
　　= 2m + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2,
　　≧ 2m,
0228１３２人目の素数さん垢版2020/07/01(水) 19:37:27.37ID:oUd/gfq5
>>223

A = 3871
B = 19
C = 10
D = 1

桁, 数字の和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
下１〜 100, 476, 9, 13, 11, 9, 4, 9, 4, 15, 10, 16,
101〜 200, 402 , 17, 9, 14, 9, 7, 4, 14, 10, 8, 8,
201〜 300, 385, 14, 12, 10, 12, 13, 9, 7, 11, 7, 5,
301〜 400, 398, 16, 13, 11, 5, 8, 15, 9, 3, 14, 6,
401〜 500, 463, 8, 9, 10, 8, 16, 8, 7, 15, 12, 7,
501〜 600, 429, 15, 6, 9, 16, 11, 5, 8, 9, 12, 9,
601〜 700, 455, 11, 9, 6, 11, 12, 9, 13, 11, 9, 9,
701〜 800, 410, 11, 9, 15, 13, 10, 11, 8, 2, 14, 7,
801〜 900, 447, 8, 15, 8, 10, 6, 11, 12, 12, 11, 7,
901〜 904, 6, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
計, A=3871, 110, 96, 95, 94, 87, 81, 82, 88, 97, 74,
0230１３２人目の素数さん垢版2020/07/11(土) 08:19:50.09ID:ZnhtLn45
〔Zsigmondy の定理〕に関連する問題

<<Problem 3>>
Prove that the sequences a_n = 3^n - 2^n contains no three numbers in geometric progression.
〔問題3〕
数列 a_n = 3^n - 2^n は等比数列となる3項を含まないことを示せ。
　(1994年 Romania 第1回TST)

<<Problem>>
Find all triplets of positive integers (a,m,n)
　such that (a^m)+1 divides (a+1)^n.
　　　　　　　　　　(IMO-2000 SLP）
〔問題〕
(a^m)+1 が (a+1)^n を割り切るような正の整数の3つ組(a,m,n)をすべて求めよ。
　(→ 和のZsigmondy の定理)

〔第2問〕
正の整数の組 (a,n,p,q,r) であって、等式
　a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1)
を満たすものをすべて求めよ。　(JMO-2011 本選)

http://science-log.com/数学/number-theory-の話題（zsigmondys-theorem）/
0232１３２人目の素数さん垢版2020/07/11(土) 13:57:58.86ID:ZnhtLn45
1 + 2^x + 2^(2x) = y^2 - 2^(2x) = (y-2^x)(y+2^x),
を使うとどうなるか？

・xが偶数のとき
　t = 2^(x/2) >0　とおく。
　1 + t^2 + t^4 = (1+t+t^2)(1-t+t^2),
　y^2 - t^4 = (y+t^2)(y-t^2),
よって
　y + t^2 = 1+t+t^2,
　y - t^2 = 1-t+t^2,
辺々引いて
　0 = 2t(1-t),
∴　t=1,　x=0,　y=±2.

・xが4の倍数のとき
　t = 2^(x/4) >0　とおく。
　1 + t^4 + t^8 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2)(1+t+t^2),
　y^2 - t^8 = (y+t^4)(y-t^4),
よって
　y + t^4 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2),
　y - t^4 = 1+t+t^2,
辺々引いて
　0 = -2t - t^2 + t^3 - 2t^4 - t^5 + t^6
　　= -t(1+t)(2-t)(1+t^3)
∴　t=2,　x=4,　y=±23.
0233１３２人目の素数さん垢版2020/07/23(木) 15:56:37.95ID:cdENLWJx
バルカンMOから

〔問題3.10〕
三角形ABCの外心をOとし、重心をGとする。
Rとrをそれぞれ三角形の外接円および内接円の半径とする。
このとき OG ≦ √{R(R-2r)} を証明せよ。
　バルカンMO-1996

〔問題3.28〕
ABCを鋭角三角形とし、L,M,N をABCの重心Gから
それぞれ辺BC, CA, AB へ下ろした垂線の足とする。
このとき次を証明せよ。
　4/27 < (LMN)/(ABC) < 1/4,
　バルカンMO-1999

〔問題3.51〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　aa + bb + cc ≧ ab + bc + ca ≧ √{3abc(a+b+c)}.
　バルカンMO-2001

〔問題3.58〕
正の実数 a,b,c に対して次を証明せよ。
　2/(b(a+b)) + 2/(c(b+c)) + 2/(a(c+a)) ≧ 9/(ab+bc+ca) ≧ 27/(a+b+c)^2.
　バルカンMO-2002

〔問題3.93〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　1/(a(b+1)) + 1/(b(c+1)) + 1/(c(a+1)) ≧ 3/(g(g+1)) ≧ 3/(1+abc),
　g = (abc)^(1/3).
　バルカンMO-2006,　Inequalitybot [77]

佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　p.127,　p.130　p.134　p.135　p.141
0234１３２人目の素数さん垢版2020/07/23(木) 16:45:50.44ID:cdENLWJx
〔問題3.51〕
左側は AM-GM で。
右側
　(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)
　= (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx)
　≧ 0,

〔問題3.58〕
左側
　Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積)　　　(チェビシェフ) により
　(左辺) ≧ 2/(c(a+b)) + 2/(a(b+c)) + 2/(b(c+a))
　≧ 2･9/{c(a+b) + a(b+c) + b(c+a)}　　　(AM-HM)
　≧ 9/(ab+bc+ca),
右側は AM-GM で。

〔問題3.93〕
左側は
　(abc+1)/(a(b+1)) = b(c+1)/(b+1) -1 + (a+1)/(a(b+1)),
巡回的にたして AM-GM する。
　(g^3 + 1)(左辺) ≧ g -1 +1/g = (gg-g+1)/g,
　g^3 + 1 > 0 で割って
　(左辺) ≧ 1/(g(g+1)),
右側は
　(g^3 +1) - g(g+1) = (g+1)(g-1)^2 ≧ 0,

佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　p.127,　p.130　p.134　p.135　p.141
0235１３２人目の素数さん垢版2020/07/25(土) 01:16:39.25ID:g3fpMEvS
>>220
(3)×1372 - (2)
　-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9)　････ (10)
また
　-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6)　････ (11)
(5) - (11)×2
　789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　････ (12)
(11) - (3)×79
　1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(10)×3 + (7)×50
　-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8)　････ (13)
(13) - (3)
　-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9)　････ (14)
(13) - (14)×15
　269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12)　････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
　249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12)　････ (16)
(16) - (9)
　96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13)　････ (17)
0236１３２人目の素数さん垢版2020/08/06(木) 08:18:34.62ID:/L5rc026
>>233
バルカン半島はかつて「ヨーロッパの火薬庫」と呼ばれたが、
今はイスラエル（エルサレム）やレバノン（ベイルート）の辺りだろうな。
　(硝酸アンモニウム：2750トン)
0237１３２人目の素数さん垢版2021/02/27(土) 12:57:15.70ID:LMn5+ngY
>>215
　次の不等式をみたす整数 a,b,c で、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
　｜a + b√2 + c√3｜< 1/n^2,

( 面白スレ３４-995 )


例)
n=10　　　0.339978835200 /n^2,　(a, b, c) = (-3, -4, 5)
n=10^2　　0.520711297654 /n^2,　(-1, 35, -28)
　…　…
n=10^6　　0.335288234411 /n^2,　(96051, -616920, 448258)
n=10^7　　0.617825865545 /n^2,　(2425305, 2250206, -3237536)
n=10^8　　0.594330503906 /n^2,　(54823746, 25581379, -52539613)
n=10^9　　0.466099494288 /n^2,　(-116906393, -23832207, 86954853)
n=10^10　　0.600393045602 /n^2,　(-2133560879, -933735484, 1994203778)
　(注：鳩ノ巣原理では解けません)
0238１３２人目の素数さん垢版2021/02/27(土) 15:41:10.90ID:LMn5+ngY
n=10^3　　0.03795765927 /n^2,　(-28, 495, -388)
n=10^4　　0.8889085512745 /n^2,　(817, 5753, -5169)
0239１３２人目の素数さん垢版2021/03/01(月) 10:41:37.14ID:C+7k2GlV
n=1　　　　0.317837245196　(0, -1, 1)
n=2　　　　0.049888052765　(-2, -1, 2)
n=3,4　　　0.046488264413　(1, 3, -3)
n=5〜17　　0.003399788352　(-3, -4, 5)
n=11〜15 　0.004128746211　(11, -9, 1)
0241１３２人目の素数さん垢版2021/03/08(月) 15:34:52.38ID:Vhpg2AFq
2項だと無理っぽいけど、3項なら可能(？)
　|a'|, |a"|, |b|, |c| ≦ n　とする。

リウヴィルの定理(1844)
　|a' + b√2| > k(√2)/b > k(√2)/n,
　|a" + c√3| > k(√3)/c > k(√3)/n,

　k(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575
　k(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.2679492
0242１３２人目の素数さん垢版2021/03/18(木) 20:04:27.14ID:YUb0UK5f
>>237
n=10^5　　0.9710681853653 /n^2,　　(17841, 11305, -19531)

(略解)
　 -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　　　　････ (3)
　 789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　　････ (12)
(3)×21 - (12)×17
　-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10)　････ (18)

　1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(7)×2 - (18)
　17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)
0244１３２人目の素数さん垢版2022/08/26(金) 17:46:08.17ID:hAPW0WoL
問題
コインが何枚かあって
１枚のコインが他のコイン全てに接することが
それぞれのコインについていえるような最大数は何枚か

答え　５枚

というのが数学オリンピックの本に載っていたように思うが
どのように配置すればいい？
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