>>556

>>543 補足

定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)

端的に、この定理と証明の問題の結論を言えば・・

１．「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」→「f は”Bf内の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」
　　という表現にすべきだったろう。”Bf内の”は、私には自明だが、証明を書いた人は、
　　表現がまずく”証明のために作った”B_N,M”なる被覆空間の合併集合”との区別を忘れてしまった。つまり、”B_N,M”と”Bf”とを混同してしまったのだ
２．集合の被覆（>>210ご参照）だから、被覆される集合と被覆する集合の性質とは、基本的には無関係。単に集合の大小関係にすぎない
　　つまり、「Bf ⊆ ∪B_N,M」以上のことはなにも言えないから、「∪B_N,M」側について何か証明しても、”Bf”には無関係だということに気付いていない
３．”稠密”についての意識が希薄。集合R−Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R−BfもR中に稠密分散している。
　　ならば、”Bf内”に、”リプシッツ連続である開区間”など取れるはずがない。” ruler function ”を思い浮かべれば、気付くのは容易だったろう

言ってみれば・・、言われて見れば・・、他愛もない話だろ
が、私スレ主は、これに気付くのに、約一月掛った
お恥ずかしい話だ。その道のプロならわずか３分で気付くだろうな（＾＾