現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>185 つづき
が成り立つようなy, z ∈ R に対して
｜f(z) － f(y)｜ <= ｜f(z) － f(x)｜ + ｜f(x) － f(y)｜ <= N｜z － x｜ + N｜x － y｜ = N(z － y) (＊)
という計算を行えばよい. これはつまり, 補題1.5 そのものである. これでf(x) が出現しなくなる
ので,
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R[x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)] }
と置けば希望が見えてくる. そして, これで実際に上手く行くのだった. ちなみに, 自分が(＊) の計
算に辿り着いたのは元ネタがある. それは, 次のような補題である.
補題(straddle lemma)
f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ.
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R
[ x － δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) － f(y) － f’(x)(z － y)｜ <= ε(z － y) ] .
この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」
からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない.
結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる.
QED
以上 まあ、読みにくいこと、このうえない
はるかにPDFの方が視認性がよい おっちゃんです。
>>177
スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。
実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して
有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、
(1)：f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
か
(2)：一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である.
のどちらか1つは否定されることになる。
勿論、実際には系1.8 の否定は出来ず、論理的には(1)も(2)も正しい。
話は元に戻し、(2)を否定したとする。すると、xは有理点であって、かつfがxで連続となる。
これはfについての元の仮定に反し矛盾する。よって、(2)を否定することは不可能。
従って、(1)に限り否定される。その結果、
(1)：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。
定理1.7 (422 に書いた定理) の証明と、その中で使っている補題1.5、補題1.6、系1.4の各証明では背理法は全く用いてなく、直接的に証明をしている。
そして、定理1.7 (422 に書いた定理) の証明の中では直接的にfが開区間(a, b) 上でリプシッツ連続なことを導いている。
この証明の中では開区間(a, b) は適当に選んで取っている。もし定理1.7 (422 に書いた定理) を否定すると、
他にも準備が必要になるが、その証明は大体結論から仮定へと順々に否定されて行き、
やがてfは開区間(a, b) 上でリプシッツ連続ではないことが示される。この結果は(1)に反することになる。
だから、定理1.7 (422 に書いた定理) の否定は出来ない。 >>188
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間(a, b) の
上でリプシッツ連続である．”
この定理1.7の面白さは
”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”（>>184）
を著しく拡張しているところだ
つまり、系1.8において、
１）不連続→リプシッツ連続でない
２）微分可能→リプシッツ連続
３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性（但し、片方は可算無限濃度限定）
の３つの特性で、系1.8を拡張したものが定理1.7になっているってこと
これに匹敵する結果は、>>41-42に書いたが
”Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. ”
つまり、一般な稠密性（但し、H. M. Sengupta and B. K. Lahiriは、可算非可算に関係なく）
”the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.”なのだが
しかし、この discontinuous →リプシッツ連続でないという、上記１）の特性で、定理1.7は拡張されているのだ
そこが、この定理1.7の面白さであり、斬新さだ
成り立てばだがね（＾＾ >>189 補足
>３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性
で、この定理1.7で首肯できないものの一つが、この拡張です
下記にあるようにP532
T(ai)(x) = 0 if x 無理数, a_n if x = m/n 互いに素な有理数
で、a_n =n^k として、kを大きくする
すると、k＞２で、どんどん微分可能な領域が増える。最後は、Liouville numbersのみが微分不可で残るという
この結果と、定理1.7の一般な稠密性とが、果たして整合するのかどうか？
現実のQと無理数（R ＼ Q）とでは、具体的なQと無理数との相性のような絡み合いがあって
Liouville numbersのように、有理数でよく近似できる数（それは微分不可）で
一方、”Diophantine approximation of algebraic irrationals, called Roth’s Theorem”のように、近似限界のある数（代数的数の性質）（それは微分可能）で
無理数にも個性があるんです（下記「Modifications of Thomae’s function」）
だが、そういうことを全部抽象化した結果が、定理1.7なんですよね
まあ、定理1.7はものすごい強い結果だと・・・本当に成立しているのか？
（（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriも、そういう結果なんですけどね（＾＾ ）
（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
P534
We finish by remarking on some obvious consequences of the previous propositions.
First, for k <= 2, T(1/n^k ) is nowhere differentiable. By Roth’s Theorem, if
α(an) > 2, T(ai ) is differentiable on the set of algebraic irrational numbers. T(1/n^9) is
differentiable at all the algebraic irrationals, e, π, π^2, ln(2), and ζ(3), and not differentiable
on the set of Liouville numbers. Finally, if α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on
the set of all non-Liouville numbers. Since the set of Liouville numbers has measure
zero, T(ai ) is differentiable almost everywhere.
(引用終り) 時枝を分からない男は定理1.7も分からないという分かりやすい結果でした おっちゃんからもらったスレ主への連絡がある。>>188の
>従って、(1)に限り否定される。その結果、
>(1)：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
>となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。
の部分は
>従って、(1)に限り否定される。その結果、
>「(3)」：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
>となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。
と訂正して読んでほしいとのことである。
これは>>188で分からなかったスレ主の読解力を考慮した訂正とのことである。
by 魔人プー >>192
どうも。スレ主です。レスありがとう。訂正を適用すると
（>>188 訂正し引用）
スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。
実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して
有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、
(1)：f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
か
(2)：一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である.
のどちらか1つは否定されることになる。
勿論、実際には系1.8 の否定は出来ず、論理的には(1)も(2)も正しい。
話は元に戻し、(2)を否定したとする。すると、xは有理点であって、かつfがxで連続となる。
これはfについての元の仮定に反し矛盾する。よって、(2)を否定することは不可能。
従って、(1)に限り否定される。その結果、
「(3)」：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。
定理1.7 (422 に書いた定理) の証明と、その中で使っている補題1.5、補題1.6、系1.4の各証明では背理法は全く用いてなく、直接的に証明をしている。
そして、定理1.7 (422 に書いた定理) の証明の中では直接的にfが開区間(a, b) 上でリプシッツ連続なことを導いている。
この証明の中では開区間(a, b) は適当に選んで取っている。もし定理1.7 (422 に書いた定理) を否定すると、
他にも準備が必要になるが、その証明は大体結論から仮定へと順々に否定されて行き、
やがてfは開区間(a, b) 上でリプシッツ連続ではないことが示される。この結果は(1)に反することになる。
だから、定理1.7 (422 に書いた定理) の否定は出来ない。
(引用終り)
つづく >>193 つづき
１）（>>190 PDFより）”有理数の点で不連続, 無理数の点で、the set of all non-Liouville numbersで微分可能、the set of Liouville numbersで微分不可（勿論リプシッツ連続ではないが連続）となるf : R → R が存在する”は正しい
２）これは”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”の別証明になっている
３）ところで、スレ主は頭が悪いので、定理1.7を場合分けして、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”けれども、R－Bf がR中で稠密な場合を考える。
４）これはQを想定した場合。この場合は、「f : R → R は存在しない！」が、定理1.7の直接の帰結である。
５）R－Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する
ａ）R－Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる）
ｂ）R－Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
ｃ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
（注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜＝ +∞を満たすこと）
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない
７）で、系1.8が正しいからといって、定理1.7が正しいことの証明の代用にはならない。だから、系1.8を出発点に論じるのは如何なものかという気がするよ
以上 >>194 訂正
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない
↓
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない
＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” おっちゃんです。
先は魔人プーが私の代わりに書いてくれた。
私からスレ主へ。
何でもいいから大学の微分積分の本を読んで ε-N や ε-δ を身に付けること。
あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
取り敢えず、その2点を遂行しないことには、幾らやっても話にならん。 >>195 補足
R－Bfを拡張して、Ｑ＋the set of Liouville numbers（これは、非可算だが、内点を持たない閉集合の和）を含むように、可算→非可算 まで考える
すると、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
だから
ｃ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
の２ケースとも、そのような「f : R → R は存在する！」（ ｃ）の具体例が>>190の PDF
"α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on the set of all non-Liouville numbers. "だ ）
だから、R－Bfを縮小して、非可算→可算に落としたときに、
「f : R → R は存在しない！」になる数学的な背景があるや否やだが >>196
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとうよ
だが、おっちゃん
おれの挙げたＰＤＦの専門論文からっきし読めないのか？ >>196
>あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
話は逆で、数学のその道の専門家が、投稿論文にして、それを他の人が、引用して・・
その引用のPDFも、まったくゼロから成り立つわけではなく、それ以前の結果を発展させたものになっている。投稿論文で年月が経ったものは、折り紙付きだよ
例えば、（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Ｐ535
5. CONCLUDING REMARKS.で
”After the submission of the current manuscript,
the authors were informed that a slightly less general version of Proposition 4.2 can be
found in [9, p. 232].”
とあるよ
つまり、これが逆で、”that a slightly more general version of Proposition 4.2”だったら、この論文は掲載拒否もあったろうし、
掲載されても、将来引用されるべきは、[9, p. 232]の方。つまり、”Kevin Beanland, JamesW. Roberts, and Craig Stevenson”の価値は、圧倒的に低い
でな、定理1.7なども同じで
本来、成立するなら類似の定理があるだろうと思う（>>197などに書いた通りだ）
学生までは、自分の独自証明の定理が、先行する論文の再証明であっても褒められるだろう
だが、院から上は、他者からの評価は、不勉強と言われるだろう
それでも、再証明なり別証明は、証明の当人としては無価値ではないけどね
だが、証明できたと思った定理が成立していないとしたら？
そのためにも、先行研究の調査はしっかり行うべきだと思うぞ
そこは、よく考えた方がいいぜ（＾＾ εδさえ理解してないお前が読んでも分かった気になるだけ 実際は全く理解できてない >>199 補足
>>あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
>
>話は逆で、数学のその道の専門家が、投稿論文にして、それを他の人が、引用して・・
>その引用のPDFも、まったくゼロから成り立つわけではなく、それ以前の結果を発展させたものになっている。投稿論文で年月が経ったものは、折り紙付きだよ
おっちゃんの論法だと
投稿論文で、定理1.7に反する結果が見つかっても、「定理1.7は証明されているから正しい」とか言いそうだな（＾＾
おれは逆だがね
もちろん、定理1.7を支持する結果が見つかれば、「定理1.7は正しい」（だろう）と言って、証明を読むけどね >>200
それは多分正しいが、論文の結論は読めるよ
現段階では、それで十分だろ？（＾＾ >>202
開集合閉集合内点孤立点
正しく理解しないままに読んでも
無駄ですよ >>202 補足
おれがいまいち、定理1.7の証明で理解できないのは
（引用）
”仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai⊆Rが存在して, 各Aiは内点を持たず,
しかもR－Bf ⊆ ∪iAiが成り立つ・・・ (1)”
”Bf ⊆ ∪_N,M>=1 BN,M が成り立つ”
”BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになるので,
系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もしくは, あるN,M >= 1 に対して
BN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b)⊆BN,M なる開
区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す.”
(引用終り)
で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分
開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？
で、R－BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より）
で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、
”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね～、いまいち納得できないんだ（＾＾
被覆する方の集合のBN,Mは、もともと内点を持つ閉集合。それは、ベールのカテゴリ定理からすぐ出る
だが、それと、被覆される側の集合の性質とは無関係
但し、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の場合に限っては
S側も、「内点を持たない閉集合の高々可算和」でなければならないという強い縛りができる
が、”内点を持つ閉集合閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、
被覆されるS側は、なんの制約も受けないように思えてきたが（第一可算的空間などから（>>122））・・、どう？ 内点がわかってないとかどんなバカだよｗ 一年生に教われｗ >>204 訂正
が、”内点を持つ閉集合閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、
↓
が、”内点を持つ閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、 >>205
いやー、おっしゃる通り
おれスレ主は、そうとうバカで不勉強だな（＾＾
（>>128より）
”Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
（>>130より）
”内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致する”
（>>131より）
”p が集合の境界点となる必要十分条件は、p の任意の近傍が少なくとも一つその集合の点を含みかつ少なくとも一つその集合の補集合の点を含むことである。”
(引用終り)
外しているかも知れないが、これを、日常の例えで言えば
光学顕微鏡の分解能では、原子レベルの入り組んだ構造は、見えないってことかな
ε近傍という内点を持つ分解能で、内点を持たない稠密集合の境界を探しても、
ε近傍の分解能ではある集合Sの点とその補集合S￣の点と、常に両方が見える
そういう理解で当たらずとも遠からずかな？（＾＾ ま、やっぱりスレ主は引用ばかりするが内容は全然理解していないな。
考える力が全くないようだ。 >>204
被覆（ひふく）か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86
被覆
被覆（ひふく）
数学
・集合の被覆、和集合が集合全体となるような部分集合の集合
・良い被覆 (代数的位相幾何学)（英語版）、開被覆であって、被覆のすべての開集合や有限個の開集合のすべての交叉が可縮
・被覆 (代数学)（英語版）、代数的構造の、構造を保つように別の構造の上へと写る概念
・半順序集合の被覆関係（英語版）の対、あるいはそのような対の大きい方の元
・被覆空間、リーマン面と位相幾何学の理論
・（普遍／二重）被覆群（英語版）、群構造を持った被覆空間、理論物理学でも
・Cover, an equivalent set of constraints（英語版） in database theory（英語版） >>210 つづき
「正確性に疑問」とあるが、和文では、冒頭説明と図が不一致（文「位相空間 C から X への連続全射 p」だが、図はP：Y→X）。この点、英文はしっかりしている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%A9%BA%E9%96%93
被覆空間
(抜粋)
？原文と比べた結果、この記事には多数（少なくとも 5 個以上）の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な語句に改訳できる方を求めています。
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。
被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）[1]。
目次
1 定義
1.1 他の定義
2 具体例
3 性質
3.1 共通な局所的性質
3.2 ファイバーの準同型
3.3 持ち上げ
3.4 同値性
3.5 多様体の被覆
4 普遍被覆
5 G-被覆
6 被覆変換
7 モノドロミー作用
8 分類空間や群コホモロジーとの関係
9 一般化
定義
位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p^?1(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。
(引用終り)
英 https://en.wikipedia.org/wiki/Covering_space Covering space >>210-211 つづき
代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている（>>211）
しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
そこが大きな違いだろうね >>207 参考補足
>つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
>同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
>
>外しているかも知れないが、これを、日常の例えで言えば
>光学顕微鏡の分解能では、原子レベルの入り組んだ構造は、見えないってことかな
>
>ε近傍という内点を持つ分解能で、内点を持たない稠密集合の境界を探しても、
>ε近傍の分解能ではある集合Sの点とその補集合S￣の点と、常に両方が見える
この見方（内部、外部、と境界）では、Qも無理数（R ＼ Q）も、区別がつかない
そこで、ハウスドルフ次元などの、別の見方が必要になる（下記）
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu13.htm
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/3269_t8.htm
６０３．実数のハウスドルフ次元 ikuro_kotaro (13/05/24)
(抜粋)
【１】実数のｍ進展開の分布とハウスドルフ次元
０と１の間の数のうち，ほとんどの実数はｍ進展開したとき，各桁に現れる数字の出現確率が均等であることが知られています（正規数）．
また，Ｆ（ｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1）を［０，１）上の実数で，各桁に現れる数字（０～ｍー１）の出現確率がｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1であるような実数の集合とすると，Ｆのハウスドルフ次元ｄｉｍＦは
ｄｉｍＦ＝ーΣｐkｌｏｇｐk／ｌｏｇｍ
で定義されます．正規数の集合Ｆ（１／ｍ，・・・，１／ｍ）のルベーグ測度１であり，したがって，その次元も１となります．
３分割カントル集合は最も有名なフラクタル集合の１例です．３分割カントル集合は３進展開の各桁に１の現れない数の集合Ｆ（１／２，０，１／２）ですが，そのハウスドルフ次元は
ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・
となります．
つづく >>213 つづき
【２】連分数展開
一般に，２次の無理数（整数係数の２次方程式の解）は周期的な連分数展開をもちます（ラグランジュの定理）．
正の実数が無限連分数展開され，そのすべての部分商が１または２であるような実数の集合のハウスドルフ次元は０．５３１２８０５０６・・・であることが計算されています．
３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，
3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］
の一般項は求めることができません．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのです．
なお，ヒンチンは，一般の連分数
［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］
の大多数についてあてはまる法則を発見しています．ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数
（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･
に収束するというものです．ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．
つづく >>214 つづき
【３】ディオファントス近似と位数
実数ｘが無限に多くのｑに対して
||ｑｘ||＜ｑ^(1-α)
となるとき，位数αまで近似可能といいます．そして，α＞２となる実数は存在し，そのような実数全体のハウスドルフ次元は２／αであることが証明されています（Jarnikの定理）．
(引用終り)
つづく >>215 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E6%AC%A1%E5%85%83
(抜粋)
ハウスドルフ次元
フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、ハウスドルフ測度が有限な値をとり消えていないという条件に適合する次元の概念の非整数値をとる一般化である。
すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 0、線分のハウスドルフ次元は 1、正方形のハウスドルフ次元は 2、立方体のハウスドルフ次元は 3 である。
つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。
しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。
大幅な技術的進展がエイブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ?ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。
例
・可算集合のハウスドルフ次元は 0
・ユークリッド空間 Rn のハウスドルフ次元は n、円 S1 のハウスドルフ次元は1
・フラクタル図形はルベーグ被覆次元を超える。例えば、カントール集合のルベーグ被覆次元は 0 であるが、ハウスドルフ次元は log(2)/log(3) ? 0.63[4]
・シェルピンスキーのギャスケットのハウスドルフ次元は log(3)/log(2) ? 1.58
・ペアノ曲線のような空間充填曲線やシェルピンスキー曲線は充填される空間と同じハウスドルフ次元を持つ
・2次元以上の空間におけるブラウン運動のハウスドルフ次元はほとんど確実に（つまり確率 1 で）2 である[5]
関連項目
・ハウスドルフ次元別フラクタルの一覧: 決定論的フラクタル、確率フラクタル、自然フラクタル…
・アスワド次元: ハウスドルフ次元同様に（球体被覆を用いて）定義されたフラクタル次元
・内在次元
・パッキング次元: ハウスドルフ次元と双対的に、球体充填の定める内測度から定義されたフラクタル次元
・フラクタル次元
(引用終り)
以上 >>214 ついでに
http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_point_of_the_quadratic_curve/
（ 数理女子 さん、日付入れた方が良いと思う）
２次曲線の有理点 数理女子 （多分2017）
(抜粋)
有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る曲線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない２次曲線も、実はいっぱい存在するのです。例えば、次の結果が知られています。
命題
x^2+y^2=3 をみたす有理数 x,y∈Qは存在しない。
【証明】背理法で証明します。有理数解 x,y が存在すると仮定します。
(引用終り)
参考 http://www.suri-joshi.jp/ 数理女子のページへようこそ！ 理解していないものをコピペしても何の意味も無いと何度言えば >>204 戻る
>で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分
>開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？
>で、R－BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より）
>
>で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、
>”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね～、いまいち納得できないんだ（＾＾
(>>212より)"代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている（>>211）
しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
そこが大きな違いだろうね"
この意識がすっかり抜けているように思う
被覆する方の集合BN,Mで証明されれば、即被覆される側の集合Bfでの証明が終わっていると勘違いしているのでは？
それと、被覆について、”稠密（dense）”の意識が希薄だと思う
例えば、定理1.7の証明中で
「補題1:5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
よって, 確かに
Bf ⊆ ∪N,M>=1 BN,M である.
(1) と合わせて, R = Bf ∪ (R－Bf ) ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) ・・・(2)
となる.」
としているけれども、Bfを無理数（R＼Q）、R－Bfを有理数（Q）と考えて
Bf 無理数を、（内点を持つ）閉集合で被覆できているならば
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) (2’)
だけで終わっている。 ”∪ (∪iAi) ”の部分は、蛇足では？
つづく >>219 つづき
・・？ えーと・・・
R－Bfが、”稠密（dense）”でなくとも、
「高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR－Bf ⊆∪iAiが成り立つ・・・ (1)」
だから、”稠密（dense）”かどうかにも無関係（ 常に、R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ・・・(2’)成立 ）かな？
とすると、「集合の被覆」についても、ちょっと不可解な記述があるね。そこから、勘違いが始まっているのかも・・
・・・？ BN,Mが閉区間であることを認めるとして、それを[c,d]と書くと、c,d ∈ R－Bf を想定しているのかな？
にしても、次の閉区間は、[d,e]であるべきだからな～、[c,d]∪[d,e]＝[c,e]になるよ・・
以上 >>196
”ε-δ論法”にコンプレックスのある方へ（＾＾
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2017_10_02.pdf
実数の連続性とε-δ論法 嶺 幸太郎 神奈川大 2017/10/02版
目次
第１部：数列の極限と実数の連続性
第１章 集合概念の基礎
第２章 実数における大小関係
第３章 数列の極限とその性質
第４章 数列の極限と実数の連続性
第２部：写像の基礎とε-δ論法
第５章 写像概念の基礎
第６章 実数値関数
第７章 関数の極限
第８章 連続関数
第９章 指数法則
第３部：距離空間の幾何学
第１０章 点列と写像の極限
第１１章 位相
第１２章 距離空間に関する諸概念
第１３章 連結空間と中間値の定理
第１４章 点列コンパクト空間
第４部：付録
第１５章 より厳密な微分積分法へ
第１６章 命題と論理式
予告：近いうちに、もう一度更新する予定です。
つづく >>221 つづき
新バージョン（2017/10/02版）についての指摘および誤植（最終更新日：2017/10/16）
３章
・p.30 1行目： 「定義を与える」の後にピリオドが抜けている（ピリオドがなくても奇跡的に正しい文として成立しているが）
・p.35 1行目： 命題3.4.8「の」証明は
５章
・p.55 2行目： それらの違い「を」通して判断する
７章
・p.81 -8行目： f2(x)= を f2(x):= にしたほうが適切か。
・p.81 -2行目： 「点列」を「数列」にしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.2： 「点列」を「数列」にしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.3 証明 3行目： 二つ目のδは1/nにしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.4 証明 1行目： 誤：M 正：ε
・p.86 2行目： 誤：M 正：n
・p.86 練習7.5.5 証明 3行目： 誤：M 正：n
８章
・p.91 8.4節 6行目： 誤：|b-f(x)| 正：|f(a)-f(x)|
１０章
・p.114 -5行目： f,g はそれぞれ f1, f2 の間違い（２ヵ所あり）
１５章
・p.175 -1行目： f(x)=x^2 は f(x):=x^2 のほうが親切ではないか.
・p.178 ４つめの中央揃えの式： 誤：(1/b) 正：(1/b)^h
・p,178 命題15.4.2： (3)が抜けている
・p.179 命題15.4.3： (3)が抜けている cosとtanに ^-1 が抜けている
・p.181 定理15.6.3証明 -3行目： 右辺の第1項の分母はg(x)
・p.182 -5行目： g(x)= は g(x):= のほうが親切ではないか.
・p.182 -1行目： 誤：b 正：a
・p.183 例15.7.4 cos x の冪級数展開の「…」の間はーではなく＋
・p.183 -2行目： 誤：(0,1)^3 正：(0.1)^3
・p.184 ３つめの中央揃えの式： 6!の分母のiは左側に移動させたほうがよいのではないか
・p.185 2行目： 誤：A= 正：Ai=
・p.185 6行目： s(f,⊿) 「と」しよう
・p.185 -7行目： 差「し」つえない
・p.186 3, 4行目： それぞ「れ」
・p.186 命題15.9.4証明： 備考2.6.3は用いない（関係ない）。
・p.187 1行目： 誤：x 正：z
つづく >>222 つづき
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/
嶺 幸太郎 (みね こうたろう)
所属：神奈川大学工学部数学教室
略歴：
2008年4月～2011年3月 筑波大学 数理物質科学研究科 準研究員
2011年4月～2012年3月 筑波大学 数理物質科学研究科 非常勤研究員
2011年4月～ 横浜国立大学 理工学部 非常勤講師
2012年4月～2014年3月 高崎経済大学 経済学部 非常勤講師
2012年7月～2016年3月 東京大学 数理科学研究科 特任研究員
2015年4月～ 早稲田大学 基幹理工学部 非常勤講師
2016年4月～ 神奈川大学 工学部数学教室 特任助教
以上 >>216 追加
http://www.math.shimane-u.ac.jp/~tosihiro/agora.pdf
図形の大きさや複雑さを測る 公開講座数学アゴラ 中西敏浩 島根大 2001年12月
(抜粋)
ハウスドルフ(Hausdorff)次元というのは図形の複雑さを測る一つの量です。
マンデルブロート集合の境
界はすごく複雑な形状を呈しているので、そのハウスドルフ次元は2 ではないかと予想され、それを証明す
ることが長年の懸案だったのですが、1998年に宍倉光広氏(現・広島大学)によってついに解かれました。
定理. マンデルブロート集合の境界のハウスドルフ次元は2 である。
さらに宍倉氏は、マンデルブロート集合の境界上にあるほとんどの点c についてfc(z) = z^2 + c の
ジュリア集合のハウスドルフ次元が2 であることも示しています。
面積を測るという問題に戻ると、マンデルブロート集合の境界の面積が0 であるかどうかはまだわ
かっていないようです。また特別な場合を除いて有理関数のジュリア集合の面積が(もしそれがリーマン球
面と一致していなければ）0 であるかどうかという問題も未解決のままです。
数値計算で入力されるのはその近似値1.7320508... です。そ
して反復合成の際に入力するデータも実際の値の近似値に過ぎません。だから反復合成列が、初期値や途中
で入力されるデータについて非安定的ならば、数値実験の結果への信頼度は低くなります。非安定的な点の
存在は避けられないとしても、それらがなす集合はほとんど無視できるぐらい非常に小さいものであってほ
しいという希望があります。なぜなら、もしそうなら数多くの初期条件の下での実験を繰り返せば、それら
の結果のほとんどのものはある程度信頼できるものとなるからです。ジュリア集合の面積が0 であること
をしめすことに意義がこうした点にあります。
複素関数の反復合成の性質を研究する分野を「複素力学系」と呼ぶということでしたが、ここでは有理
関数の場合しか扱いませんでした。現在ではもっと広いクラスの関数（（多変数も含めて）超越整関数や有
理形関数）の複素力学系が研究されています。本格的に勉強したい方のために[9] をあげておきます。
(引用終り)
つづく >>224 つづき
http://www.math.shimane-u.ac.jp/~tosihiro/
中西敏浩のホームページへ
2015年12月28日お笑い日記追記
目次
● 自己紹介
名前 中西敏浩(なかにしとしひろ)
職種 島根大学大学院総合理工学研究科・数理科学領域・教授
専門 数学・複素解析学（とくにタイヒミュラー空間論)
● 研究業績（科学研究費補助金申請用）と履歴
● 講義ノートの案内
● 読書記録
● 写真集
● リンク
お便りは tosihiro@の後に math.shimane-u.ac.jp まで
(引用終り)
以上 ＞”ε-δ論法”にコンプレックスのある方へ（＾＾
おまえやんｗ わたしら、”ε-δ論法”なんか、超越してまんがな～（＾＾
”ε-δ論法”が、わたしを、超越しているかもしらんが～（＾＾ 前スレより再録
376 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/21(木) 10:22:00.72 ID:xTe57EH6 [2/4]
>>371
>例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これを踏まえて
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
(引用終り) >>217 補足
>有理点が無い場合
>実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る曲線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない２次曲線も、実はいっぱい存在するのです。
トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線（１次曲線）も、実はいっぱい存在する
例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い！
（有理数p,qに対し、常にq≠ap （∵ aは無理数なので、a≠q/p ）（＾＾ ） >>229
トリビアだがy=axは原点(0, 0)を通る おっちゃんです。
数学の定理はプロやシロート関係なく、発見されていること位認識せい。 どうしてこうも簡単に間違えるんですかね
しかも自信満々に >>230>>232-234
まあ、有理数点 p、q ≠ 0 とでもしますかね？（＾＾ >>231
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ああ、おっちゃん、シロートの新定理発見者やったね（＾＾
論文まっているよ～（＾＾ >>235
係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
さらには小学生でも分かる自明な間違いを冒しているにも関わらず
自信満々にドヤ顔で！マークまで付けちゃってるところにスレ主の「どうしようもなさ」がヒシヒシと伝わってくる >>236
いっておくけど、系 1.8 の結果は
有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
まで拡張出来る。 >>236
しかし、
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
のfの定義域を閉区間にすると成り立たない。
ま、つまり、fの定義域がRであれば、
>有理数の点で不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない
どころか
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
までいえる。 >>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
原点を通らない直線なら、トリビアだが、例えば、y=ax+b で、aを有理数,bを無理数にすれば、良い！ドヤ！（＾＾ >>242-243
係数が有理数の一次関数で、有理点を通らない関数は存在しない！！
それが大前提・・・だよ？ だろ？ 当然、係数の範囲を拡張しないと >>238
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>いっておくけど、系 1.8 の結果は
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
>まで拡張出来る。
ああ、下記だな”g fails to satisfy・・even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”＆
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
繰返すが、
”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
だから（特に後者Dini微分）、どこかの無理数の点で一様連続も破綻するだろうな
（>>40より）http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
（>>41より）
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り) >>229
> トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線（１次曲線）も、実はいっぱい存在する
> 例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い！
（有理数p,qに対し、常にq≠ap （∵ aは無理数なので、a≠q/p ）（＾＾ ）
君の>>229の「実はいっぱい存在する」というドヤ発言に対して
>>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
とコメントしているのであって
>>241
> 原点を通らない直線なら、トリビアだが、例えば、y=ax+b で、aを有理数,bを無理数にすれば、良い！ドヤ！（＾＾
>>247
> 係数が有理数の一次関数で、有理点を通らない関数は存在しない！！
> それが大前提・・・だよ？ だろ？ 当然、係数の範囲を拡張しないと
では支離滅裂だろうがよ
「実はいっぱい存在する」が全員の大前提ならば
「実は」なんて勿体ぶった言い方にはならんだろうが。
大丈夫かキミは 頭イカれてるぞここのスレ主は
みんな分かってここにいるのか？ >>239
>しかし、
>>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
>のfの定義域を閉区間にすると成り立たない。
そんなことはないだろう
the Ruler Functionとかトマエ関数の変形版は
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
で、閉区間[0,1]で論じれば、あとは各整数区間[n,n+1](nは整数)
で同じ繰り返しだよ（例えば下記）
https://www.desmos.com/calculator/jp4cbjfjpe
トマエ関数 - Desmos >>246-247
最初から、係数は無理数まで拡張しているよ 係数や解の範囲を、どう定めたら（定義したら）、面白い・良い結果が得られるか？
それは、問題ごとに考えるべし
範囲を複素数にとったり
代数的整数に取ることもあるだろう
二次式なら、有理数係数で良いが
一次式なら、有理数係数では足りないってことだ >>251
> 係数や解の範囲を、どう定めたら（定義したら）、面白い・良い結果が得られるか？
> それは、問題ごとに考えるべし
一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
肝心の>>237のレスとは噛み合わないままだし、キミは本当に頭大丈夫なヒト？
>>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる >>252
>一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
数理女子(>>217)にならって言えば
"有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
ってこと
なお、下記「この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された」みたいな話は、数学では至る所ある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ファルティングスの定理
(抜粋)
数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。
後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。
目次
1 背景
2 証明
3 結論
4 一般化
背景
C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。
g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面（英語版）である。
g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。）
g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。
つづく >253 つづき
証明
ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデルの理論を含む代数幾何学の多くのツールを使う方法であった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(Enrico Bombieri)が与えた。
一般化
モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。
C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想（英語版）(Mordell?Lang conjecture)[2]を証明することになる。
ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想（英語版）(Bombieri?Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体（英語版）(pseudo-canonical variety)（すなわち、一般型の多様体）であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により提示されている。
函数体のモーデル予想は、Manin (1963) と Grauert (1965) により証明された。Coleman (1990) はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。
(引用終り) スレ主へ
実力が伴って無いのに色々なトピックに手をだすのはあまり良くない。まずは落ち着いて微積分と線形代数を理解するところから始めるべき。 > 実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
> ってこと
だーかーらー、「気がしてしまう」のは係数がQだからでしょうが。
キミの例のように係数を無理数にしてしまったら不思議でもなんでもないだろ？
どこまで馬鹿なんだよまったく
>>253
> なお、下記「この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された」みたいな話は、数学では至る所ある
話をごっちゃにすな阿呆
お前の無理数の例は一般化になっとらんわ >>255-257
(>>217)
http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_point_of_the_quadratic_curve/
２次曲線の有理点 数理女子さん （多分2017）
で、冒頭の節は
「2次曲線とは一般的な方程式で
f(x,y)=a1x^2+a2xy+a3y^2+a4x+a5y+a6=0,(a1,・・・,a6∈R)
という形で表される曲線です。」
と始まっている
で、途中から
「以下では２次曲線がQ上定義された場合、すなわち a, b, c∈Qの場合のみ考えます。」
と変わった
だから、もともとは、(a1,・・・,a6∈R)だったでしょ >>255
"実力が伴って無い"は、全く正しい（＾＾
が、https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立を主張したのは
私スレ主と、前スレで
401 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/22(金) 13:35:59.80 ID:zkh22JUH [1/2]
どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外
(引用終り)
と言った人の二人だけ
（>>180-183）の「定理1.7 (422 に書いた定理)」のどこがまずいかというと、
Bf自身と、Bfを被覆するBN,Mとの区別がついていないってことだ
Bfを被覆するBN,Mについて論じて、それが、即Bf自身についても成り立つと思ってしまった
この場合はそうじゃない。
補集合 R－Bf が、有理数Qのように稠密分散されている場合は、Bf自身も内点を持たないし開区間(a, b)など取れない（言われて見れば当たり前）
他の理論の被覆と混同したんだろう
集合の被覆では、被覆する集合と被覆される集合との関係は、他の理論の被覆とは違う（>>212）
ただ、間違いは間違いだから、そこははっきりさせないと数学じゃないが
この証明を書いた人は、おれより大分レベル上で、実力あるよ
また、証明は天才大数学者でも間違うことがあるから、ドンマイだ
>色々なトピックに手をだすのはあまり良くない
ここは、”雑談スレ”という定義だよ ”実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。
しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
なんで、不思議じゃないのかね？
有理点が、稠密に、びっしりと詰まっているんだよ？ 母なる科学の懐に
我ら人の子の喜びはある
科学を愛せよ
科学に生きる人の子ら理科に感謝せよ
美麗な科学を
偉大な科学を
科学をほめよ
讃えよ理科を
我ら人の子の
我ら人の子の
科学をほめよ
ほめよ讃えよ
母なる科学を
母なる科学を
讃えよ
ほめよ
讃えよ理科を
母なる科学を ああ
讃えよ科学を 要するにスレ主は基礎がわかってないんだよ
基礎もわからず数学板にのさばってるのをアホと言えばアホだがね >>262
ちがうよ
アホバカだ
アホ＆バカです（＾＾ >>259 追加
追加を書いておく
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」（>>184）
このような”f : R → R は存在しない”という理由は、
無理数側にあって、 無理数側に微分不可のみならず、>>245にあるように
”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
なる集合Eがあって、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”となってしまうこと
だから、微分不可の集合は、「高々可算ではおさまらず、非可算濃度になる」と。それが”系1.8 の関数f : R → Rが存在しない”理由なのだ（決して”開区間(a, b)”が存在するからではない ）
つづく >>267 つづき
だから、（>>180）
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが
結論は、（>>245より）集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな？
だから、証明の大きな方向が間違っている。
「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく
「R－Bfは、非可算集合（co-meager in R (i.e. the complement of a first category set)）を含む」を証明すべきだと
例えば、（>>90より）下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく >>268 つづき
だから、定理1.7は、二つに分けて
１．R－Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合
２．R－Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合
とすべき
１．の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は自明。ほとんど、証明の必要もない
２．の場合、「非可算無限の集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなｆは存在しえない」のような方向を目指すべき
２．の場合をさらに細分化する（>>194を一部修正）
R－Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する
ａ）R－Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる）
ｂ）R－Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
ｃ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
（注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜＝ +∞を満たすこと）
系1.8は、定理1.7中の上記ａ）の場合。ｂ）は下記。よって、ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない
＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている
繰返すが、ｃ）ｄ）の２ケースで、有理数Qを想定して、R－Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースｃ）ｄ）のような関数f : R → Rが存在するか否か
そこが、まだ不明。
以上 おっちゃんです。
自説にこだわってばかりでは意味ない。
間違いの連発を繰り返すだけ。 >271に語呂を付けて書こうとしたがすぐに思い付かなかった。
それじゃ、おっちゃん寝る。 >>270-272
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
>自説にこだわってばかりでは意味ない。
>間違いの連発を繰り返すだけ。
おっちゃんらしいな
おれは、極力主張の裏付け文献を付けているので、ほとんど自説ではない
間違いは連発したが、
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立の主張だけは、間違いなかったろ？ スレチだが、豊島将之八段が、第1局勝利
https://www.youtube.com/watch?v=_o_AaI2mk-w
久保利明王将vs豊島将之八段 第67期王将戦第1局二日目ハイライト 元奨励会員アユムの将棋実況 2018/01/07 >>273
> https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立の主張だけは、間違いなかったろ？
間違いですよ ＞定義1.2 (X,O) は位相空間とする.
これがなんか怪しい εδを理解せざれば自ずと解析は全滅
解析が全滅なれば自ずと位相は全滅 >>274
うーん、久保王将は地元（に近い）なので、谷川九段とともに応援しているのです >>269 追加
突然の引用だが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。
本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。
不連続性の分類
１．可除不連続点: L? と L+ が有限確定（存在して有限）で相等しいが f(x0) ≠ L であるとき、f(x) は x = x0 に除去可能な不連続点 (removable discontinuity) を持つという。f(x0) の値を変更して「x = x0 においても連続であるようにする」ことができるという意味でこの不連続性は除きうる。
関数の不連続点の集合
・函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
・単調関数の不連続点は高々可算である。これをフローダの定理（英語版）という。
・トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。
・ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0
指示関数
(抜粋)
数学において指示関数（しじかんすう、英: indicator function）、集合の定義関数[1]、特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。
(引用終り)
つづく >>280 つづき
ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R－Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる
(>>268)
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
の記載より(抜粋)
2. MODIFIED THOMAE FUNCTION.
Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae
function with respect to (ai) as follows:
T(ai)(x)
= 0 if x ∈ R ＼ Q,
= an if x = m/n where m and n are coprime,
= 1 if x = 0.
Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai)
tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく >>281 つづき
この”function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. ”で考えてみると
「0 on the irrationals」の部分は、不変というか動かせない。
動かせるのは、「positive on the rationals」の方のみで、「= an if x = m/n where m and n are coprime,」の部分のみ。
でさらに考えてみると、
「= an if x = m/n where m and n are coprime,」で、an：positive or an=0 の二択問題。(一般性を失わず負数は除外するとして)
an=0の場合、この点（有理点）では連続になる。
が、an：positiveの場合、この点（有理点）では不連続であって、それ以外の選択肢例えば、「連続であるがリプシッツ連続ではない」ということは、あり得ない
繰返すが、Proposition 3.1. のような、「a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. 」という規定では、
an：positive or an=0 の二択で、それぞれ不連続か連続かの二択で、それ以外の選択肢は、あり得ない
ところで、上記で、T(ai)(x) = F(x) if x ∈ R ＼ Q において、ここに、F(x)が解析関数なり、微分可能関数を取ったとしよう
そのときは、
=F(x)＋ an if x = m/n where m and n are coprime,
=F(x)＋ 1 if x = 0.
と考えれば、いままでの議論がそのまま踏襲できる。（つまり、"F(x)＝0 if x ∈ R ＼ Q "の場合だけで、 微分や連続についての議論は尽くされていることになる）
（なお、このような、有理数と無理数とに分けて、それぞれ異なる方式で値を決める関数は、上記、”不連続性の分類（wikipedia）”の「可除不連続点」（除きうる不連続点）しかなりえない）
なので、結局、ｃ）ｄ）の２ケースのR－Bfが”一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）”の場合は、考える余地がないように思う
以上 >>279
C++さん、どうも。スレ主です。
久保王将は、加古川でしたね
年末のNHKラジオ（全国放送？）で、聞きましたよ
（下記youtube）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%85%E4%BF%9D%E5%88%A9%E6%98%8E
久保利明
(抜粋)
久保 利明（くぼ としあき、1975年8月27日 - ）は、将棋棋士。棋士番号は207。淡路仁茂九段門下。兵庫県加古川市出身。県立加古川南高校中退[1]。棋王と王将のタイトルを獲得。竜王戦1組通算5期、名人戦A級通算9期。日本将棋連盟棋士会副会長（2015年6月 - ）。
(引用終り)
https://www.youtube.com/watch?v=5y3WE1lfyzs
2017年11月11日放送 NHKラジオ第1「かんさい土曜ほっとタイム」ほっと人物ファイル 将棋棋士 久保利明 >>268
>だから、証明の大きな方向が間違っている。
間違ってません
B_N,Mについて言うだけで十分ですよ？ >>276-277
"定義1.2 (X,O) は位相空間とする."の部分は、なにかのテキストから引いていると思いました。（それを、いじる必要もないだろうし）
で、Xとしては、この「定理1.7 (422 に書いた定理)」では、R及びその部分集合のことでしょう
位相Oも、この場合、通常のアルキメデス距離から決まる位相でいいんでしょう ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
