High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ!sage進行推奨(^^; また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/ 旧スレが512KBオーバー(又は間近)で、新スレ立てる (スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。)
これに匹敵する結果は、>>41-42に書いたが ”Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. ”
つまり、一般な稠密性(但し、H. M. Sengupta and B. K. Lahiriは、可算非可算に関係なく) ”the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.”なのだが しかし、この discontinuous →リプシッツ連続でないという、上記1)の特性で、定理1.7は拡張されているのだ
現実のQと無理数(R \ Q)とでは、具体的なQと無理数との相性のような絡み合いがあって Liouville numbersのように、有理数でよく近似できる数(それは微分不可)で 一方、”Diophantine approximation of algebraic irrationals, called Roth’s Theorem”のように、近似限界のある数(代数的数の性質)(それは微分可能)で 無理数にも個性があるんです(下記「Modifications of Thomae’s function」)
だが、そういうことを全部抽象化した結果が、定理1.7なんですよね まあ、定理1.7はものすごい強い結果だと・・・本当に成立しているのか? ((>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriも、そういう結果なんですけどね(^^ )
(>>90より) https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. (抜粋) P534 We finish by remarking on some obvious consequences of the previous propositions. First, for k <= 2, T(1/n^k ) is nowhere differentiable. By Roth’s Theorem, if α(an) > 2, T(ai ) is differentiable on the set of algebraic irrational numbers. T(1/n^9) is differentiable at all the algebraic irrationals, e, π, π^2, ln(2), and ζ(3), and not differentiable on the set of Liouville numbers. Finally, if α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on the set of all non-Liouville numbers. Since the set of Liouville numbers has measure zero, T(ai ) is differentiable almost everywhere. (引用終り) 0191132人目の素数さん2018/01/05(金) 23:50:30.62ID:Kf9KFuTj 時枝を分からない男は定理1.7も分からないという分かりやすい結果でした 0192132人目の素数さん2018/01/06(土) 07:02:33.16ID:PzQY7Vpj おっちゃんからもらったスレ主への連絡がある。>>188の >従って、(1)に限り否定される。その結果、 >(1):f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない. >となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。 の部分は >従って、(1)に限り否定される。その結果、 >「(3)」:f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない. >となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。 と訂正して読んでほしいとのことである。 これは>>188で分からなかったスレ主の読解力を考慮した訂正とのことである。
by 魔人プー 0193現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/06(土) 12:18:28.10ID:sJCr7ecA>>192 どうも。スレ主です。レスありがとう。訂正を適用すると (>>188 訂正し引用) スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。 実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、 (1):f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. か (2):一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. のどちらか1つは否定されることになる。
1)(>>190 PDFより)”有理数の点で不連続, 無理数の点で、the set of all non-Liouville numbersで微分可能、the set of Liouville numbersで微分不可(勿論リプシッツ連続ではないが連続)となるf : R → R が存在する”は正しい 2)これは”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”の別証明になっている 3)ところで、スレ主は頭が悪いので、定理1.7を場合分けして、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”けれども、R−Bf がR中で稠密な場合を考える。 4)これはQを想定した場合。この場合は、「f : R → R は存在しない!」が、定理1.7の直接の帰結である。
6)系1.8は、定理1.7中の上記a)のみ。a)のみが、既存の別証明がある。しかし、b)からd)の3ケースは、既存の証明は見つかっていない ↓ 6)系1.8は、定理1.7中の上記a)のみ。a)b)のみが、既存の別証明がある*)。しかし、c)d)の2ケースは、既存の証明は見つかっていない *)b)は、(>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” 0196132人目の素数さん2018/01/06(土) 13:00:05.31ID:PzQY7Vpj おっちゃんです。 先は魔人プーが私の代わりに書いてくれた。 私からスレ主へ。 何でもいいから大学の微分積分の本を読んで ε-N や ε-δ を身に付けること。 あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。 取り敢えず、その2点を遂行しないことには、幾らやっても話にならん。 0197現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/06(土) 13:36:46.05ID:sJCr7ecA>>195 補足
R−Bfを拡張して、Q+the set of Liouville numbers(これは、非可算だが、内点を持たない閉集合の和)を含むように、可算→非可算 まで考える すると、(>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” だから
とあるよ つまり、これが逆で、”that a slightly more general version of Proposition 4.2”だったら、この論文は掲載拒否もあったろうし、 掲載されても、将来引用されるべきは、[9, p. 232]の方。つまり、”Kevin Beanland, JamesW. Roberts, and Craig Stevenson”の価値は、圧倒的に低い
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。
被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する: X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する(被覆の分類定理)[1]。
定義 位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p^?1(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。 (引用終り)
代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている(>>211) しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
参考 http://www.suri-joshi.jp/ 数理女子のページへようこそ! 0218132人目の素数さん2018/01/07(日) 13:35:03.37ID:N8CS4cZU 理解していないものをコピペしても何の意味も無いと何度言えば 0219現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/07(日) 14:08:43.48ID:2l42E8SE>>204 戻る >で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分 >開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ? >で、R−BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明(参考>>128より) > >で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、 >”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね〜、いまいち納得できないんだ(^^
(>>212より)"代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている(>>211) しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない そこが大きな違いだろうね"
>いっておくけど、系 1.8 の結果は >有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない >まで拡張出来る。
ああ、下記だな”g fails to satisfy・・even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”& ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
繰返すが、 ”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” だから(特に後者Dini微分)、どこかの無理数の点で一様連続も破綻するだろうな
(>>40より)http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(>>41より) REMARK BY RENFRO: The last theorem follows from the following stronger and more general result. Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below. (引用終り) 0246132人目の素数さん2018/01/07(日) 20:55:58.03ID:VTzP8LoB>>229 > トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線(1次曲線)も、実はいっぱい存在する > 例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い! (有理数p,qに対し、常にq≠ap (∵ aは無理数なので、a≠q/p )(^^ )
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
背景 C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。
g = 0 の場合:全く点が存在しないか、もしくは無限個: C は円錐の断面(英語版)である。 g = 1 の場合:全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。(モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。) g > 1 の場合:モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。
一般化 モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。 C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想(英語版)(Mordell?Lang conjecture)[2]を証明することになる。
ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想(英語版)(Bombieri?Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体(英語版)(pseudo-canonical variety)(すなわち、一般型の多様体)であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ(英語版)(Paul Vojta)により提示されている。
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」(>>184) このような”f : R → R は存在しない”という理由は、 無理数側にあって、 無理数側に微分不可のみならず、>>245にあるように ”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” なる集合Eがあって、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”となってしまうこと
だから、微分不可の集合は、「高々可算ではおさまらず、非可算濃度になる」と。それが”系1.8 の関数f : R → Rが存在しない”理由なのだ(決して”開区間(a, b)”が存在するからではない )
だから、(>>180) 「定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする. Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である.」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが 結論は、(>>245より)集合E:”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな?
だから、証明の大きな方向が間違っている。 「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく 「R−Bfは、非可算集合(co-meager in R (i.e. the complement of a first category set))を含む」を証明すべきだと
例えば、(>>90より)下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. (抜粋) Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. (引用終り)
だから、定理1.7は、二つに分けて 1.R−Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合 2.R−Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合 とすべき
1.の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である.”は自明。ほとんど、証明の必要もない 2.の場合、「非可算無限の集合E:”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなfは存在しえない」のような方向を目指すべき
系1.8は、定理1.7中の上記a)の場合。b)は下記。よって、a)b)のみが、既存の別証明がある*)。しかし、c)d)の2ケースは、既存の証明は見つかっていない *)b)は、(>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている
繰返すが、c)d)の2ケースで、有理数Qを想定して、R−Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースc)d)のような関数f : R → Rが存在するか否か そこが、まだ不明。
ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R−Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる (>>268) https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. の記載より(抜粋) 2. MODIFIED THOMAE FUNCTION. Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae function with respect to (ai) as follows: T(ai)(x) = 0 if x ∈ R \ Q, = an if x = m/n where m and n are coprime, = 1 if x = 0.
Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai) tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals, we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. (引用終り)
この”function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. ”で考えてみると 「0 on the irrationals」の部分は、不変というか動かせない。 動かせるのは、「positive on the rationals」の方のみで、「= an if x = m/n where m and n are coprime,」の部分のみ。
でさらに考えてみると、 「= an if x = m/n where m and n are coprime,」で、an:positive or an=0 の二択問題。(一般性を失わず負数は除外するとして)
繰返すが、Proposition 3.1. のような、「a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. 」という規定では、 an:positive or an=0 の二択で、それぞれ不連続か連続かの二択で、それ以外の選択肢は、あり得ない
ところで、上記で、T(ai)(x) = F(x) if x ∈ R \ Q において、ここに、F(x)が解析関数なり、微分可能関数を取ったとしよう そのときは、 =F(x)+ an if x = m/n where m and n are coprime, =F(x)+ 1 if x = 0.
と考えれば、いままでの議論がそのまま踏襲できる。(つまり、"F(x)=0 if x ∈ R \ Q "の場合だけで、 微分や連続についての議論は尽くされていることになる) (なお、このような、有理数と無理数とに分けて、それぞれ異なる方式で値を決める関数は、上記、”不連続性の分類(wikipedia)”の「可除不連続点」(除きうる不連続点)しかなりえない)