大学学部レベル質問スレ 9単位目
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
>>208
私は、
(1) [0,1)、(0,1]は近傍をとろうとしたら、0と1があって邪魔で取れないので、(0.1)だけが開集合である
という感じで解きました！
答えがないので、正解がどうかわからないです >>209
イメージって持たないほうがいいんですか？ >>185
定義を知らずに読むとそうなる
定義を読んだら自分で例を作って理解しとけ
自分で例を多く作ればイメージが出来る
これが出来なきゃ数学はできんから問題やるだけムダ 物理的な対応物がない求積に邁進する数3ベースの受験数学って素敵やん？ 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。
「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」
と書いてあります。
これはなぜなのでしょうか？
空集合から Y への写像がただ一つ存在するというのは分かりますが、
それがなぜ包含写像になるのでしょうか？ 問. 半群S(可換でなくても)において (ab)^m = a^m b^m が m=2, 3 で成立するならば、すべての mについて成立することを証明せよ。
(ヒント: m=2, n, n+1, n+2 のとき成立するならば m=n+3 のときにも成立することを示せ)
田村孝行, 半群論 (共立講座 現代の数学) p.4 より
半群ってのは群の公理のうち [単元の存在][逆元の存在] が抜けてるやつの事です。
ヒントに沿うどころか m=5 ですらお手上げでした。どうか証明をお願いします。
m=4 の場合
(ab)^4 = abab abab = aabb aabb
= aa aa bb bb = a^4 b^4 追記: 文脈上 a, b ∈ S は特別な a, b じゃなくて一般的な要素を表してると思います。 (ab)^(n+3)
= aba (ba)^n bab = aba b^n a^n bab [m=n]
= (ab)^2 b^(n-1) a^(n-1) (ab)^2 = a^2 b^2 b^(n-1) a^(n-1) a^2 b^2 [m=2]
= a^2 b^(n+1) a^(n+1) b^2 = a^2 (ba)^(n+1) b^2 [m=n+1]
= a (ab)^(n+2) b = a a^(n+2) b^(n+2) b [m=n+2]
= a^(n+3) b^(n+3)
一種のパズルだね >>220
しゅ、しゅごい... 完全に理解できました。ありがとうございます。
ちょうど試行錯誤で m=5 が出来てたとこだったのでついでに貼っておきます。
(ab)^5
= abab[ab ab ab] = abab[aaa bbb] (∵m=3)
= ababa[aabb]b = ababa[abab]b (∵m=2)
= ab[a ba a ba]bb = ab[aa baba]bb (∵m=2)
= [a ba a ba] babb= [aa baba] babb (∵m=2)
= a[ab ab ab ab]b = a[aaaa bbbbb]b (∵m=4)
= a^5 b^5 行列X, A について
A = X^(-1) A X
が成り立つことを
これをただの微分方程式に当てはめると
X を dx 微分とすると
a = ∫ a dx
ってことになるの？ そもそも行列に関数や作用素を代入して意味があると思うのか
しかもこの場合同じ行列(空間の元)に作用素と微分形式という全く異なるものを代入してるし 作用素 X,A について A = X^(-1) A X が成り立つことを、
線型作用素 X,A にあてはめた場合と
微分作用素 X,A にあてはめた場合を比較したと考えたら
どうよ？ 行列や作用素で A = X^(-1) A X は恒等式じゃなかろうに >>227
そりゃ恒等じゃないでしょ
相似行列ってことでしょ
微積だと相似微積方程式みたいな？ 「実数x,aについてa=x^(-1)axが成り立つことを
これをただの関数方程式に当てはめると
a=hag(hはgの右逆写像、aは定値関数)
ってことになるの？」
もう一度聞くが、こんなことに意味があると本当に思っているのか？
んで「次元(ランク)が違うだけ」の意味も分からん
後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね？ 関数空間を無限次元ベクトル空間だと考えて、微分積分を線形写像と考えれば、微分積分は行列で表すことができるかと思います N=2(n−1乗)×(2(n乗)-1)
2(n乗)-1 が素数のとき、NのN以外の約数の和を求めよ
これどうやったらええか分からないです。これの前の問題でNの約数の個数を求める問題があって、それは2n個と出せたのですが、、、、、 >>232
これは「大学学部レベル」ではないぞ
1,2,2^2, と、1×(2(n乗)-1),2×(2(n乗)-1),(2^2)×(2(n乗)-1)
という二つの有限等比数列の和からNを引くだけ >>230
>後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね？
だね 「よりみち33」が言っていることがよく分かりません。
解説をお願いします。
問題2.3.3
f : X → Y を写像とする。次の条件 (1) と (2) は同値であることを示せ。
(1) f は可逆である。
(2) 任意の集合 Z に対し、写像 f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は可逆である。
よりみち33
問題2.3.3 より、集合は、その集合から他の集合への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。このことを使って、集合を他の集合への
写像を使って特徴づけることを、普遍性（universality）による特徴づけという。 f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は、
Map(Y, Z) ∋ g → g 〇 f ∈ Map(X, Z)
という写像です。 >>235
は
問題2.3.3 より、集合（X や Y）は、その集合（X や Y）から他の集合（Z）への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。
という意味ですか？ (∂u/∂t)+5(∂u/∂x)=0 (x＞0,t＞0)
u(x,0)=0 (x≧0)
u(0,t)=(t^2)*(e^t) (t≧0)
の条件下でu(x,t)を求める問題が分かりません…
学部二年生です (1/25) (5t - x)^2 exp(t - x/5) >>240
ありがとうございます！
導出もお願いします… 連投すみません
>>240
tが0のときxに関係なくuが0になりますかこれ xyに線形変換
y=x-5t
ux=ux+uy
ut=-5uy
ut+5ux=5ux=0
u=fy=f(x-5t)
NG 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。
「X を集合とし、 (X_i) i ∈ I を X の部分集合の族とする。
X の元の族 (x_i) i ∈ I が、任意の i ∈ I に対し、 x_i ∈ X_i をみたすとき、
(x_i) i ∈ I は (X_i) i ∈ I の元の族であるという。
Π X_i = {(x_i) i ∈ I ∈ Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i}
は、 (X_i) i ∈ I の元の族全体のなす集合ということになる。これを、
集合族 (X_i) i ∈ I の積とよぶ。」
と書いてあります。
その後、選択公理のところで、
「(X_i) i ∈ I を集合族とし、任意の i ∈ I に対し X_i ≠ φ であるとする。
このとき、積 Π X_i も空集合でない。」
という箇所があります。
選択公理のところでは、 (X_i) i ∈ I は X の部分集合の族とは仮定されていません。
「積」が定義されているのは、 (X_i) i ∈ I が X の部分集合の族のときだけです。
これはごまかしではないでしょうか？ (X_i) i ∈ I は ∪ X_i の部分集合の族と考えるということでしょうか？ 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。
「I が有限集合のときは、選択公理を仮定しなくても、任意の i ∈ I に対し
X_i ≠ φ ならば、 Π X_i ≠ φ である。これは、 I の元の個数が 2 以下
なら明らかであり、」
と書いてあります。
「I の元の個数が 2 以下なら明らか」と書いていますが、なぜ、
I の元の個数が 3 以上のときには明らかではないのでしょうか？
なぜ「2以下」と書いたのでしょうか？ >>248
でも斎藤毅さんの本では、まず I = φ のときに積を定義しています。 でも3以上で定義に使うのは本質的には2個の場合だからでしょうね 斎藤毅著『線形代数の世界』を読んでいます。
n ≧ 0 を自然数とすると、
K^n = {(a_1, …, a_n) | a_1, …, a_n ∈ K} はベクトル空間になる。
という内容が書いてあります。
(a_1, …, a_n) と書いた以上、 n ≧ 1 でなければならないのではないでしょうか？
n = 0 の場合は、 K^0 は空写像からなる線形空間ということでしょうか？ >>253
I=φで積を定義してるんでしょ？
K^0もそれで定義するから何が含まれるかあなたは知っているのでしょ？ K^0 = {0} の2番目に出てくる 0 は空写像のことですか？
空写像の和など定義できるのでしょうか？
K^0 = {0} は単なる定義でしょうか？ K^n というのは {i ∈ N | 1 ≦ i かつ i ≦ n} から K への写像の集合ですよね？
ベクトル a : {i ∈ N | 1 ≦ i かつ i ≦ n} → K
ベクトル b : {i ∈ N | 1 ≦ i かつ i ≦ n} → K
に対して、その和は以下で定義される。
(a + b)(i) := a(i) + b(i)
n ≧ 1 ならば問題ありませんが、 n = 0 のときには、
a + b が定義できませんよね？ 空写像 + 空写像 = 空写像
任意の K の元 c に対し、 c * 空写像 = 空写像
と定義すれば、 K^0 = {空写像} はベクトル空間になる。
ということですよね？ n ≧ 1 のときの K^n における加法やスカラー倍の定義を
n = 0 の場合には適用できませんよね？ いずれにしても、斎藤毅さんの『線形代数の世界』には問題がありますね。
そもそも空写像について説明していません。 >>258
その定義だと確かに3個以上を別にする必要ないような
まあそれはそれとして
その定義のベクトルは
v,w:I->K
であり
Δ:I->I×I
p:K×K->K
を
Δi=(i,i)
p(a,b)=a+b
としたとき
ベクトルの和は
p(v×w)Δ
のことです
I=φ
でも問題なく定義されるでしょ？ log : {x ∈ R | x > 0} → R を対数関数とする。
このとき、
log(-1) = 1
は命題でしょうか？
log は正の実数に対して定義されているので、 log(-1) というのはナンセンスです。
だから、
log(-1) = 1
の真偽は問題にできないと思います。だから命題ではないように思います。 スカラー倍は
μ:K×K->K
を
μ(a,b)=ab
と定義して
a:I->K×I
を
a(i)=(a,i)
と定義して
μ(1×v)a
で定義するから
I=φでもなんの問題もない >>249
写像を定義するのに積集合は使わずに素朴な定義でやってるの？ その人、数日前には空写像なんてものは存在しないと言ってた人だからね
厳密さに拘りまくって数学者に駄目出ししてやるぜ、ってなつもりなんだろうけど、それが錯覚だと気付いてない >>267
f = (Γ, X, Y) を写像と定義しています。 N=A ならば N=B
と書いてありますが、ナンセンスですよね。
N=A ならば B
が正しいですよね。 >>271
Γってたぶん``graph''からだろうから
(x,y),(x,z)∈Γ->y=z
が成り立つX×Yの部分集合のこと？なら積集合が写像より前に定義されているんだよね
なら
K^0,K^1,K^2の定義が{0},K,K×Kと同一視（同等）できることを見た上で
K^(n+1)とK×K^nが同一視（同等）できることを帰納的に証明するのかしら A → B が真 ⇔ Aが偽 または Bが真
ではないでしょうか？ >>276
N|=AならばN|=B
↑の「ならば」というのは、メタの意味で、数学で通常定義される「ならば」と同じです
すなわち、あなたの解釈で合っていますが、本が間違っているわけではありません 文脈も何も、数学で「ならば」といったら意味は一つしかないですよ >>265
-1はR+の要素ではないので
(-1,1)はR+×Rの要素ではない
つまり
log(-1)=1
は偽の命題です 考えにくければ
i∈R
が偽の命題だという認識を持つと良いでしょう
写像も只の集合なのですから
集合の要素であるかどうか
定義域や値域に入っていようが居まいが
真偽が定まります >>281
私にですね？
その上に書いたではありませんか
(-1,1)∈log
が偽であるということです >>287
数学でならばと言ったら、述語論理のこの意味しかあり得ません
あなたは何だと思ってたんですか？
この意味ではないと思っていたような雰囲気ですね >>289
そういう話ですか？
あなたのそれは、あくまで統語的な定義ですよね
今は意味論的な話をしているわけで、>>276でも問題ないかと思います
N-構造における論理式の解釈の話ですから >>288 >>290
実無限を導入するかしないかで変わってくる。 >>291
自分の知っている言葉を並べるだけでは、わかっていることになりませんよ？
今関係ないですよね、そんなこと 余計関係ないけど、深夜の１時からここに貼り付いてるとか、ニート？ >>280
納得しました。ありがとうございました。 条件が偽だとどんな結論を持ってきてもその命題は真になるということが大発見であって笑
それを使えば数学の不完全な部分が指摘できる笑というひとが書き込みを続けているみたいだな。マルチで。 実無限を導入するかしないかで変わってくるんですか？笑 Π_{i ∈ I} X_i := {(x_i)_{i ∈ I} ∈Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i}
I = φ のとき、
Π_{i ∈ I} X_i := {(x_i)_{i ∈ I} ∈Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i}
はどう考えればいいのでしょうか？ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) x ∈ φ ⇒ log(x) > 0
は命題ですか？ log : {x ∈ R | x > 0} → R を対数関数とする。
このとき、
log(-1) > 0
は命題でしょうか？ log = (Γ, R+, R)
とする。
log(x) > 0
を論理記号で書くと以下でOKですか？
∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' ((x, y') ∈ Γ)) ⇒ y = y') ∧ y > 0) log = (Γ, R+, R)
とする。
log(x) > 0
を論理記号で書くと以下でOKですか？
∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' (y' ∈ R ∧ (x, y') ∈ Γ) ⇒ y = y') ∧ y > 0) log = (Γ, R+, R)
とする。
∀x (x ∈ φ ⇒ ∃y (y ∈ R ∧ (x, y) ∈ Γ ∧ (∃y' (y' ∈ R ∧ (x, y') ∈ Γ) ⇒ y = y') ∧ y > 0) >>300
一般的な述語論理において、関数とは任意の対象において定義されなければなりません
従って、そのような定義域を定めることは、通常の述語論理の範囲外ということになります
多ソート述語論理などでは、このような定義域の設定を行えるようですが私は詳しくはわかりません >>297
まずXiはどのように定義されましたか
それはあるXにおいての
ξ:I->2^X
のことでしたね
てすから
ΠXi={f:I->X|fi∈Xi}
とは
ε⊂X×2^X
を
ε={(x,A)|x∈A⊂X}
と定義したとき
ΠXi={f:I->X|∃g:I->ε(g=(f×ξ)Δ)}
と定義されるのです
I=φ
のときは
まずξやfは空集合の包含写像0しかあり得ず
空集合の包含写像をgとして条件成立しますので
ΠXi={0}
です >>298
>はR×Rの
部分集合ですね？
logx>y
とは
∃z((x,z)∈log∧(z,y)∈>)
ということですので
log-1>1
は偽の命題です ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
