不等式への招待第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

**不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)** · 2017/09/13(水) 11:20:03.95

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

**１３２人目の素数さん** · 2017/09/13(水) 20:07:13.99

[第８章 977、991]
> [疑問]-----------------------------------------------
> a, b, c >0 に対して、
> M(a,b,c) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ m(a,b,c)
> -----------------------------------------------------
>
> AM-GMで m(a,b,c) = 27(abc)^2 を得るけど、もっとキツく締め上げたいのでござる。
>
> L = a^2b + b^2c + c^2a
> R = ab^2 + bc^2 + ca^2
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
> = L^2 + LR + R^2
> = (s^2)(t^2) - (s^3)u - t^3
>
>
> とりあえず少し進展したのでパピコ。 Caushyの拡張より、
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
> ＝ (ab+b^2+a^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+c^2+ca)
> ≧ (ab+bc+ca)^3
> ＝ t^3
>
> AM-GMで 27(abc)^2 = 27u^2 としたよりもマシになった。
>
> 　m(a,b,c) = (ab+bc+ca)^3 ≧ 27(abc)^2
>
> が、以下のように分割すると、非負値の和ばかりで、ずいぶんとゆるゆるなうんちでござる。
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - t^3
> ＝ (s^2)(t^2) - (s^3)u - 2(t^3)
> ＝ (t^2-3su)F_0 + 2suF_0 + (u^2)F_{-2} + u(st-9u)
> ≧ 0

**１３２人目の素数さん** · 2017/09/13(水) 23:45:33.05

>>5
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3 ≧ 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca) ≧ 27(abc)^2.

**１３２人目の素数さん** · 2017/09/13(水) 23:57:53.62

>>5
[第２章 136-138]
> 非負実数 a, b, c に対して
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
>　≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3

12年前に自分が作っていた模様…

**１３２人目の素数さん** · 2017/09/14(木) 02:17:46.00

ウインナーコーヒーにウインナーが入ってないのと同じ
すべては騙し

**１３２人目の素数さん** · 2017/09/14(木) 07:18:42.24

>>4
[1］コーシーで
（1+aa+1)(1+1+bb）≧（1+a+b)^2，etc.

[2］AM-GMで
（aa+3)(bb+3）=（aa+1+1+1）（1+bb+1+1）≧（a+b+1+1)^2 ≧ 4(a+b)(1+1),
　[第8章.994］

>>6 下
p = aab+bbc+cca，q = abb+bcc+caa とおくと
アイゼンシュタイン整数で
（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）= pp+pq+qq
=（3/4)(p+q)^2 + (1/4)(p-q)^2,
≧ 3pq +（1/4)⊿^2,
⊿ =（a-b)(b-c)(c-a）= q-p,

次は（1+1+1)(aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa）の３つでコーシー

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