不等式への招待第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

**不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)** · 2017/09/13(水) 11:20:03.95

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 03:55:41.62

>>951
京都市左京区一乗寺　「つけ麺　惠那く」
http://kyotopi.jp/articles/7dhfJ

大盛り450gです。(プラス100円）
多麺体だ～

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 04:30:49.15

>>950

s = a+b+c，u = abc とおく。

(左辺) - (右辺)
= {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/u - (8/ss){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
= (c/u -8/ss)(a-b)^2 + (a/u -8/ss)(b-c)^2 + (b/u -8/ss)(c-a)^2
= p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b),

(b+c)ss ≧ 4a(b+c)^2 ≧ 4a(4bc) = 16u　より　p = (b+c)/u -16/ss ≧ 0,
同様にして
　q = (c+a)/u - 16/ss ≧ 0,
　r = (a+b)/u - 16/ss ≧ 0,
また、(a,b,c) と (p,q,r) は逆順序だから、Schur の拡張により
　p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b) ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 04:47:43.20

>>953
瞬殺ですな、乙でござる。

さて、>>950を書き込む際に出典を探したが見つけらず。
おそらく Vasile Cirtoaje だろうが、検索したが閲覧できず。
2年前には未完成のpdfが閲覧できたが、2018.07以降の書籍化が原因だろう。

7.Cirtoaje V. - Mathematical Inequalities, Volumes 1-5 (p. 344, 400, 486, 522, 544), Lambert Academic Publishing, 2018.
http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 05:04:22.35

>>950 >>953
Cauchyより強ければよかったのに。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 15:04:24.55

>>950
4点で等号が成立
(a,b,c) = (1,1,1) (2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
　　　　　　　　　　p=0　　q=0　　r=0
　
…てことは、これで最良でござる。　　>>955

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/04(火) 23:43:56.06

>>956
ほんとだ、不等号の向きを勘違いしていた。つまりこういうことですな。

a,b,c>0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1 + 24(aa+bb+cc)/{(a+b+c)^2}.≧9.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 00:21:40.27

(1) a,b,c∈R に対して、(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(a^3b+b^3c+c^3a).

(2) a,b,c,d>0, abcd=1 に対して、a^4b+b^4c+c^4d+d^4a ≧ a+b+c+d.

(3) a,b,c>0 に対して、3/4 ≦ Σ[cyc] ab/{(b+c)(c+a)} < 1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/05(水) 18:21:09.37

>>958
(1)
　A = aa -bb +3bc,
　B = bb -cc +3ca,
　C = cc -aa +3ab,
とおくと
(左辺) - (右辺) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/6 ≧ 0,
　>>244 (1) >>247

(2)　AM-GMで
　{23(a^4)b +7(b^4)c +11(c^4)d +10(d^4)a}/51 ≧ a(abcd) = a,
巡回的にたす。

(3)
右)
　(中辺) = 1 - 2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)} < 1,
左)
　(中辺) - 3/4 = {(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 0, (AM-GM)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 01:12:38.36

>>958 (2)
ついでだけど、n文字の場合も AM-GM で
　Σ[j=1,n] ｋ_j (a_j)^n a_{j+1} ≧ a_1（a_1･a_2…a_n) = a_1,
巡回的にたす。
　ｋ_j = 1/(n+1) - (-1)^j･n^{n-j}/[n^n - (-1)^n] > 0,
　a_{n+1} = a_1,

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 13:27:41.69

アダマールの不等式

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 16:29:22.32

>>958-959
(1)は Vasc's Inequality というらしい。

Vascって人名かな？
https://i.imgur.com/FSQSdQY.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 16:38:35.94

a,b,c>0, aa+bb+cc=3 に対して、
(a^5)/(b^3+c) + (b^5)/(c^3+a) + (c^5)/(a^3+b) ≧ (3/2)*(abc)^2.

バスク大佐の不等式を使って証明できるらしい…

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 04:00:08.91

>>963
aa+bb+cc = S とおく。
a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b) = (ab^3 +bc^3 +ca^3) + (ab+bc+ca) ≦ SS/3 + S,　　(>>958 (1))

コーシーで
{a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b)}(左辺) ≧ (a^3 +b^3 +c^3)^2 ≧ (aa+bb+cc)^3 /(1+1+1) = (1/3) S^3,

∴ (左辺) ≧ (S^3)/(SS+3S) = SS/(S+3),

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 14:28:08.88

>>959 (1)
4点で等号成立。
A=B=C より
(a, b, c) = (1, 1, 1) (1, 1+t, 3+1/t) = (1, 1+t, tt-3t-1)
　t は t^3 -3t^2 -4t -1 = 0 の根
　t = -0.69202147163 -0.3568958679 4.0489173395

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/13(木) 13:13:26.57

n次元ベクトル a_1、…、a_m の相加平均を A = (a_1+…+a_m)/m とおく。
任意のn次元ベクトル x に対して、
Σ[k=1 to m] |a_k - x|^2 = Σ[k=1 to m] |a_k - A|^2 + m*|x - A|^2.

むむっ、不等式じゃないな…

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/13(木) 17:55:55.30

どれも-1以上である実数a,b,c,d,eはa+b+c+d+e=5であるという
このときの(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)の最大値と最小値を求めよ

2019年度中国数学オリンピック第一問

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/14(金) 06:52:26.17

>>966

n次元ベクトルｙ = (y_1, y_2, …, y_n) に対して
|ｙ|^2 = (y_1)^2 + (y_2)^2 + …… + (y_n)^2
∴　n個の成分に分けて考え、和をとればよい。
∴　n=1 (スカラー）の場合に帰着する。

a_k - x = (a_k - A) - (x - A),
(a_k -x)^2 = (a_k - A)^2 - 2(a_k - A)(x - A) + (x - A)^2,
となるが、右辺第2項は　和をとれば
納k=1,m] (a_k - A) = (a_1 + a_2 + … + a_m) - mA = 0,
となって消える。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/15(土) 02:39:44.86

>>967
　最大値　32　　a=b=c=d=e=1 のとき。
　最小値 -512　{a,b,c,d,e} = {9,-1,-1,-1,-1} のとき。
かな

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/15(土) 03:42:27.66

>>951
大阪の「三豊麺」もある。
http://sanpomen.jp/
　
重量（茹で上がり)
　並盛　１玉　350g
　大盛　1.5玉　550g
　特盛　２玉　 750g
　山盛　2.5玉　900g　(+100円)

(ミツトヨの秤で量ったんぢゃないけど)

大阪のみなみ周辺では、千日前、体育館前、日本橋に店舗があります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/15(土) 10:03:02.54

>>970
もしかして面白いと思って書いているのだとしたら、反省した方がいいでござるよ。
荒らすのは止めましょう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/15(土) 10:08:48.90

>>969
最大値が間違ってるみたいだね

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/15(土) 10:20:56.92

>>968-969、>>972
たとえば、(a,b,c,d,e) = (-1,-1,-1,4,4)のとき、288.

この手の不等式を見たときに、方針がぱっと出てこない悲しさ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/15(土) 10:43:58.04

最大値や最小値をとるときの変数に、限界値の-1が入るのは理由があるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 13:25:07.42

>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 13:54:54.32

書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 14:36:59.67

>>976
これは一般化できそう

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 15:54:23.07

>>976
また書き間違ってるな (2)の条件のところ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/16(日) 15:54:47.11

もう一度書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 06:11:59.37

〔予想〕
　a_1, a_2, …, a_n ≧ -1,　a_1+a_2+…+a_n = n, のとき

・n：奇数 (n≧5) ならば
　-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),

・n:偶数ならば
　-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2,

「良そう」「止そう」と意見が割れるかも知りませぬが…

（不等式スレも平成のうちに2桁に到達でござる。思えば長い道でござった。)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 15:34:10.00

第1章が2003年。
スレ立て放置されていた不等式スレを占拠して15年も経つのか…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 17:41:33.58

[初代スレ.019]
いいよ！

[初代スレ.034]
正の数 a,b,x,y,X,Y に対して
　(axX+byY)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)(X^3+Y^3),

(右辺) - (左辺)
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(byY)(axX)^2
　+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(axX)(byY)^2
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(axY)(ayX)(bxX)
　+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(bxY)(byX)(ayY)
≧ 0,　　　(AM-GM)
スッキリ。

[初代スレ.039]
(参考書)
秋山仁 + ピーター･フランクル「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991/Nov)
p.24-25 [例4-3]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/17(月) 20:12:55.21

懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 03:40:20.65

>>979
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。

a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.

１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
(証明終)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 07:27:44.02

〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1]　(b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2]　a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,

(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
　= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
　= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
　≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc},　　　(←コーシー)
　JMO-2004、[初代スレ.058]

[2]　もコーシーで出る。

なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
　(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
　(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},

(類) Nesbitt-Igarashi　　>>627　>>835

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 18:31:13.09

>>980
偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 19:23:44.68

>>985
　辺々たして…

[3]　(b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
　ここに　s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.

　st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 19:41:13.00

>>986

{-1,……,-1,2n-1} のとき　(-1)^n･(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき　- (-1)^n･2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 21:15:32.22

>>979
よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。
正しくは a,b,c≧-1など。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 21:42:52.76

>>979
(1)
a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.

A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.

う～む、非同次は難しい。
s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120.
これではダメか…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/18(火) 23:13:50.02

>>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
　= (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
　= (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
　= -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,

(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3,

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 04:07:16.90

>>990の続きだけど、これで合ってるかな？

> (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
>
> a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
> 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
>
> A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.

s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3.
これを証明する。

右側： 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0.
左側： 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:03:45.97

>>992
　正解です！

なお、
st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,

s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0,

http://dic.nicovideo.jp/a/シューアの不等式

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:36:06.17

>>979
(2)を>>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:44:01.18

>>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994
　続きは次スレで…

　　＿＿＿
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　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／

[初代スレ.998]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:44:55.05

　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼
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[第5章.991]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:45:32.33

　　　＿＿＿
　　.／　 ≧ ＼　　　神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
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　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
[第5章.996]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:46:20.72

　"; ;ヾ; ;ヾ; ;ﾒヾ "ゞ　;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ　; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ　　　　　　　　/.　　　　　　　　　ヽ
　;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ　　　　　l　　　　　　　　　　　l
　" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ　　　　　　　　　　　ヽ　　　　　　　　　 /
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　ゞヾ　; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/　　　　　　　　`　　　　　　`　　　　　　　　` 　ー ─ '　`
　　　ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;`
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　　　　　　　 ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :|　＿＿＿　　秋の夜長に不等式　　　　`　　　　　　　　`　　　　　　　　`,
　　　`　　　　|iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／　　≧　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヾ从//"
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　　　　`　　　|iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| (　つ且 ~　　　　　 ` 　　　　　　　　 ○○　　 |　|
　　,　,　.,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝつつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（　）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,

[前スレ.998]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:47:12.97

＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿|　 |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　）
　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　）（＿Ο Ο　:::
　 |　::|　 | | ⊂　　　）（＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!

[前スレ.999]

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/19(水) 06:48:05.42

　　┏━━━┓
　　┃ Q.E.D. ┃
　　┗━┳━┛
( ﾟ∀ﾟ) ノ

[前スレ.1000]

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不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

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