不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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〔問題2943〕
a,b,c,d,e は正の実数とする。次を示せ。
(aa+bb+cc+dd+ee)^5 ≧ 3 abcde (a+b+c+d)(b+c+d+e)(c+d+e+a)(d+e+a+b)(e+a+b+c),
http://suseum.jp/gq/question/2943 (K.Chikaya) >>851
この出題者が出していた大量の不等式の問題は、もう削除されて見れないんだよな。
実に惜しいことをした。 bot.62
x,y,z∈[0,1] のとき、sqrt|x-y| + sqrt|y-z| + sqrt|z-x| の最大値
どぉやるんでせうか？ (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3
この手の不等式が胸やけ起こしそうなくらい沢山載ってる本ないかな？ >>853 [62]
yはxとzの中間にあるとする。コーシーで
(√|x-y| + √|y-z|)^2 ≦ (1+1) (|x-y|+|y-z|) = 2|x-z|,
(左辺) ≦ (1+√2)|z-x| ≦ 1+√2,
等号は（0，1/2，1) etc.
中国MO-2012 Round2-A.3 三角形の辺長 a,b,c に対して、
Σ[cyc] (a+b-c)(b+c-a)/(c+a-b) ≧ 3(aa+bb+cc)/(a+b+c). >>856
b+c-a = x, c+a-b = y, a+b-c = z,
とおく。(Ravi変換)
2a = y+z, 2b = z+x, 2c = x+y, a+b+c = x+y+z,
(左辺) = xy/z + yz/x + zx/y = (xxyy+yyzz+zzxx)/xyz,
(右辺) = 3(aa+bb+cc)/(a+b+c)^2 = 6(xx+yy+zz+xy+yz+zx)/{4(x+y+z)},
4(x+y+z)(xxyy+yyzz+zzxx) - 6xyz(xx+yy+zz+xy+yz+zx)
= (3x+y+z)[x(y-z)]^2 + (x+3y+z)[y(z-x)]^2 + (x+y+3z)[z(x-y)]^2 ≧ 0,
かな。 Heronを使ったら、問題文はもっと見やすくなりましたな >>854
(3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^3 - (G/H)^3 -1 = (1/108){(a-b)(b-c)(c-a)/abc}^2 ≧ 0,
(略証)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと
A = s/3, G = u^(1/3), H = 3u/t,
A/H = st/9u, A/G = s/{3u^(1/3)}, G/H = t/{3u^(2/3)},
ゆえ
(左辺) = (3/4)(1+st/9u)^2 - s^3/27u - t^3/27uu -1
= (1/108uu){(st+9u)^2 -4s^3u -4t^3 -108uu}
= (1/108uu)⊿^2, >>859
(3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 + 1
3変数の場合に上式を証明しているけど、これは一般の場合にも成り立つのかな？
>>854では、右辺に +1がないのには意味があるのかな？ >>860
n≧4 では不成立かも。
(1,1,1,10^4) とか (1,1,1,10^(-4)) とか… >>854
> (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3
これじゃの
Crux Mathematicorum, P.74, 1834.
http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf [2] かんどころ P.121定理6.7 は、証明ついてないようだけど、どうやればいいか分かりますか？ >>860
右辺に +1 が無いと緩くなります。
2変数の場合は
(3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^2 - (G/H)^2 -1 = (3a+b)(a+3b){(a-b)/8ab}^2 ≧ 0,
∵ (A/G)^2 = (G/H)^2 = A/H = (a+b)^2 /4ab, 余談ですが、n変数の (A-G)/(G-H) の下限は
n=2 1.0
n=3 0.90096030150908885
n=4 0.7761577683742073233
n=5 0.67617485
n=6 0.59845640
n=7 0.53716474
n=8 0.48781223
n=9 0.44727765
n=10 0.41339822
ぐらいかな。
http://suseum.jp/gq/question/2646, 2948 >>863, >>865
A-Gと言えば、Jacobsthalくらいしか思いつかないなあ a≧b≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+y+c)(x+by+c)≧{(a+1)x+c}{(b+1)y+c}. >>867
あまりにもショボすぎるので、改造してみた。
a,b,c,d,x,y,z∈R, a≧d≧0, b≧c≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+cy+z)(bx+dy+z)≧{(a+b)x+z}{(c+d)y+z}.
後ろのzも pz+qw, rz+sw にできぬか？
l三｀ｰ ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
l三 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣ ,三三三彡彡l_ この感じ・・・・
lﾐ′ ￣ ー-'" '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
l;l ,_-‐ 、 __,,.. - ､ 彡彡彳､.//
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥ `之ヽ､, i l´ _,ｨ辷ｧ-､、 彡彡'r ノ/＿ ＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣ 1 ￣ﾌ/ｌ l::. ヽこ~￣ 彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
ヽ ´ :l .l:::. 彡ｨ-‐'′
ゝ、 / :. :r-､ 彡′
／ ｨ:ﾍ ｀ヽ:__,ｨ='´ 彡;ヽ､
_,,..-‐'7 /:::::::ヽ _: :_ ヽ ｨ´.}::ヽ ヽ、
_,-‐'´ { ヽ:::::::::ﾍ ｀'ｰ=＝=ｰ-- ' ／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､ できた ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ
a,b,c,d,p,q,r,s,x,y,z.w∈R,
a≧d≧0, b≧c≧0, p≧s≧0, q≧r≧0, x≧y≧0, z≧w≧0 に対して、
(ax+cy+pz+rw)(bx+dy+qz+sw)≧{(a+b)x+(p+q)z}{(c+d)y+(r+s)w}. 話を元に戻すと、>>867 を使ったAM-GMの証明 （[2] かんどころP.118）で、
1回目に>>867を使うところは分かる。
(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(2a_1 + (a_3+…+a_n))(2a_2 + (a_3+…+a_n))
2回目に>>867を使うところ、どこが対応しているのか分からんのですが、どうなってるのですか？
(2a_1 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(3a_1 + (a_4+…+a_n))(2a_3 + (a_2+a_4+…+a_n))
以下続けて (k*a_1+ a_{k+1}+…+a_n) と (a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n)) に>>867を使って
最終的に n*a_1 と S-a_1+a_k (k=2.3.…,n) になるまで続けるんだけど、そこが分かりませぬ。 >>870
>>867 を使わなくても出せるでござる。
A-S≧0，d≧0 のとき
(A-d)S - A(S-d) = d(A-S) ≧ 0,
ここで
S = a_1 + a_2 + … + a_n,
A = k･a_1 + a_{k+1} + … + a_n, （k=n のとき A=n･a_1)
d = a_1 - a_k ≧ 0,
とおいて
{(k-1)a_1 +(a_k + … +a_n)}S - (k･a_1 +a_{k+1} + … +a_n)(S -a_1 +a_k) = (a_1 -a_k)(k･a_1 -S) ≧ 0, (k=2,3,…,n) >>866
〔Jacobsthalの不等式〕
(n-1)個の正の実数 x_1, x_2, …, x_(n-1) の相加平均をA '、相乗平均をG ' とする。
それに x_n (>0) を追加した n個組の相加平均をA_n、相乗平均をG_n とする。このとき
n(A_n - G_n) ≧ (n-1)(A '-G '), …[1]
(A_n/G_n)^n ≧ (A '/G ')^(n-1), …[2]
(略証)
A_n, G_n, x_n を A, G, x と略記する。
[1]
n A - (n-1)A '= x,
n G - (n-1)G '= G '{n(G/G ') - (n-1)} ≦ G '(G/G ')^n = x, (← Bernoulli)
辺々引く。
[2]
A '(A/A ')^n ≧ A '{n(A/A ') - (n-1)} = n - (n-1)A '= x, (← Bernoulli)
G '(G/G ')^n = x,
辺々割る。
[1] または [2] を n=1 まで繰り返すと A ≧ G が出る。
ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式 >>871
ありがとうございます。
なるほど、>>867を使わずにできますね。
>>871の不等式を使って、残りも同様にしていけばいいんですね。
つまり prime132氏が新証明(?)をしたわけですな。
Guha が1967年に>>867を繰り返し使ってAM-GMを証明した方法も知りたい。
「Guha 1967 AM-GM」をgoogleで検索して一番上に出る
When Less is More: Visualizing Basic Inequalities
のPP.31-32に n=4のときに、Guha's inequality を繰り返し使った例があり、
それを見ても、2回目以降にどう使っているのか分かりません。
Guha's inequality
a≧0, p≧q≧0, x≧y≧0, then
(px+y+a)(x+qy+a)≧((p+1)x+a)((q+1)y+a).
(4A_4)^4
＝ (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)
≧ (2a+c+d)(2b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d) …(1)
≧ (3a+d)(2b+c+d)(b+2c+d)(a+b+c+d) …(2)
≧ 4a(2b+c+d)(b+2c+d)(b+c+2d) …(3)
≧ 4a(3b+d)(3c+d)(b+c+2d) …(4)
≧ 4a(4b)(3c+d)(c+3d) …(5)
≧ 4a(4b)(4c)(4d) …(6)
＝ (4G_4)^4
と書かれているんですが、(1)は(p,q,x,y,a) = (1,1,a,b,c+d)で理解できる。
(2)～(6)はどう適用したのか謎。
たとえば(2)で (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d) となるには
(p,q,x,y,a)に何を対応させているのか？x=a, y=c 以外が謎。
左辺第1因子の形からp=2,q=1でないといけないけど、第2因子に2がない。 (3)→(4)は (p,q,x,y,a) = (2,2,b,c,d)で
(5)→(6)は (p,q,x,y,a) = (3,3,c,d,0)か。
じゃあ、残り３ヵ所は、どう適用したんだろう？
(1)→(2) (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d)
(2)→(3) (3a+d)(a+b+c+d)≧(4a)(b+c+2d)
(4)→(5) (3b+d)(b+c+2d)≧(4b)(c+3d)
実は使ってないってオチなのか？ 本人の論文を探すしかないな。
U.C.Guha, arithmetric mean-geometric mean inequality, Mathematical Gazette, 51(1967),pp.14-146
というのは分かったけど、ネットに転がってないかな Handbook of Means and Their Inequalities, pp.101-102 を見たら、
Guhaの不等式を使った証明の数式部分が、省略している部分も含めて
[2] かんどころ P.118と全く同じだった。 (1)
|x|≦1, |y|≦1 (x,y∈R) に対して、
0≦ xx + yy - 2xxyy + 2xy*√{(1-xx)(1-yy)} ≦1.
(2)
m>n>1 (m,n∈Z) に対して、
(m+n+1)!/(m!*n!) > {(m+n)^{m+n}}/{(m^m)(n^n)} > 2^{2n-1}. (3)
a,b∈C に対して、
|a+b|/(1+|a+b|) < (|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) < |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|) >>877
(1)
x = sinθ, y = sinφ (-π/2≦θ，φ≦π/2) とおく。
√(1-xx) = cosθ， √(1-yy) = cosφ,
x√(1-yy) + y√(1-xx) = sinθcosφ + sinφcosθ = sin(θ+φ),
両辺を2乗する。
(2)(左)
log{(m+n+1)!} -(m+n)log(m+n) > (3/2)log(m+n) -(m+n) +0.8918
log(m!) - m･log(m) < (1/2)log(m) -m +1,
log(n!) - n･log(n) < (1/2)log(n) -n +1,
辺々引くと
log{(m+n+1)!} -log(m!) -log(n!) -(m+n)log(m+n) +m･log(m) +n･log(n)
> (3/2)log(m+n) - (1/2)log(mn) - 1.1082
> (1/2)log(m+n) + (1/2)log{(m+n)^2 /4mn} + log(2) - 1.1082
≧ (1/2)log(m+n) - 0.41505
≧ (1/2)log(3) - 0.41505 (m+n≧3)
= 0.549306
(2)(右)
(m+n)^{m+n} = (m+n)^{m-n} (m+n)^{2n}
≧ m^{m-n} (4mn)^n
= m^m (4n)^n,
∴ (m+n)^(m+n)/(m^m・n^n) ≧ 4^n,
>>878
(3)
x/(1+x) は x≧0 で単調増加 (x∈R)
|a+b| ≦ |a| + |b|
∴ φ(|a+b|) ≦ φ(|a|+|b|)
= |a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|)
≦ φ(|a|) + φ(|b|), >>879 (2) (左)
〔補題〕
log(m!) < (m+1/2) log(m) -m+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(m!) = Σ[k=2,m] log(k)
< ∫[1,m] log(x)dx + (1/2)log(m)
= [ x･log(x) -x ](x=1,m) + (1/2)log(m)
= (m+1/2)log(m) -m +1,
log(n!) < (n +1/2) log(n) -n+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(n!) = Σ[k=2,n] log(k)
< ∫[1,n] log(x)dx + (1/2)log(n)
= [ x･log(x) -x ](x=1,n) + (1/2)log(n)
= (n+1/2)log(n) -n +1,
log{(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log{(m+n+1)!}
= Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x･log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378 >>879 (2)(左）
log {(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918
(略証)
log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx より
log{(m+n+1)!} = Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x･log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378 >>877
(1)
右辺-中辺 = [xy - √{(1-xx)(1-yy)}]^2 ≧0,
中辺-左辺 = {x√(1-yy) + y√(1-xx)}^2 ≧0.
(ﾟ∀ﾟ )
ﾉヽﾉ) =3 ﾌﾟｩ
くく >>882
|x|≦1, |y|≦1の条件なんて要らなかったのでは？ [2016東大]
正の実数 x に対して (1 + 1/x)^x < e < (1 + 1/x)^{x + 1/2}. a,b,c>0, a+b+c=1に対して、(1+ 1/a)(1+ 1/b)(1- 1/c) の取りうる値の範囲を求めよ。 >>865
n=4 のとき、(A-G)/(G-H) ≧ 9/16
CGMO-2011 A.4
inequalitybot [35] 〔問題168〕
a,b,c>0 のとき
(aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r ≧ 0, (0<r<1)
≦ 0, (r>1, r<0)
V.Cirtoaje:"Algeblaic inequalities"、1-1-7
inequalitybot [168] >>888
x = (b+c)^r,
y = (c+a)^r,
z = (a+b)^r,
とおくと
a = (y^{1/r} + z^{1/r} - x^{1/r})/2,
b = (z^{1/r} + x^{1/r} - y^{1/r})/2,
c = (x^{1/r} + y^{1/r} - z^{1/r})/2,
aa-bc = {y^(2/r) +z^(2/r) -x^(1/r)[y^(1/r) + z^(1/r)]}/2,
bb-ca = {z^(2/r) +x^(2/r) -y^(1/r)[z^(1/r) + x^(1/r)]}/2,
cc-ab = {x^(2/r) +y^(2/r) -z^(1/r)[x^(1/r) + y^(1/r)]}/2,
(左辺) = (aa-bc)x + (bb-ca)y + (cc-ab)z
= {x^(2/r)y +xy^(2/r) -(x+y)(xy)^(1/r)}/2 + ……
= (x^{1/r} - y^{1/r})(x^{1/r -1} - y^{1/r -1})xy + …… >888 訂正
〔問題168〕
a,b,c>0 のとき
(aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r > 0, (r<1)
< 0, (r>1)
= 0, (r=1) >>885
y>0 とする。
(1 + y/2)^2 > 1+y > 1,
∴ 1/(1+y/2)^2 < 1/(1+y) < 1,
0～y で積分すると
y/(1+y/2) < log(1+y) < y,
∴ (1+y)^(1/y) < e < (1+y)^(1/y + 1/2),
y=1/x とおく。 >>879
右辺は甘かったか…。
>>881
> log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx
これは明らかなんですか？ >>877 (1) >>882
(x+iz)(y+iw) = (xy-zw) + ｉ(xw+yz),
(xx+zz)(yy+ww) = (xy-zw)^2 + (xw+yz)^2,
z=√(1-xx)，w=√(1-yy) とおく。 >>892
log(k) > (1/2)log(kk-dd) = {log(k+d) + log(k-d)}/2,
y=log(x) は上に凸だから、x=kでの接線より下側にある。
k-d<x<k+d かつ接線より下の台形の面積は（接線の傾きによらず）2d log(k)
∴ 2d log(k) > ∫[k-d,k+d] log(x)dx >>894
なるほど、ありがとうございます。
>>893
そんなカラクリがあったとは…。 >>880-881
log{(m+n+1)!} の評価は、log k > ∫[k-1,k] log(x)dx でもいけそうな排気ガス… >>896
無理だった。
>>881
> = (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> > (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
の部分で、以下はどうやって分かるのですか？
(m+n+3/2) log(m+n+3/2) > (m+n+3/2) log(m+n) + (3/2) >>897
(N+d) log(N+d) - (N+d) log(N)
= -(N+d)log{N/(N+d)}
= -(N+d) log{1 - d/(N+d)}
≧ -(N+d) {-d/(N+d)}
= d, >>899
さんくす。
x=a(>0) における log x の接線を考えて、
(x-a)/a + log a ≧ log x.
x=1, a = (N+d)/N を代入すればいいのかな。 >>898
3.
{1/a,1/b,1/c,1/d} について 16A + 9H ≧ 25G,
>>887 と同じですね。 >>877(2)左側
0≦x≦1 において f(x) = x^m (1-x)^n は x = m/(m+n) で最大値をとる.
I(m,n) = ∫[0,1] f(x)dx とおくと, I(m,n) ≦ f(m/(m+n)) より
(m!*n!)/{(m+n+1)!} ≦ {(m^m)(n^n)}/{(m+n)^{m+n}}
[東京医科歯科大学2013数学第3問] >>856-857
大昔のPutnumに、これより弱い不等式があったよね。
>>885
Moreau's inequality が思い浮かぶと同時に、一松先生を思い出す。（謎掛け） 三角形の辺長 a,b,c に対して、
(1) Σ[cyc] aa(b+c-a) ≦3abc.
(2) Σ[cyc] aab(a-b) ≧0.
そもそも(1)は辺長でなくても非負実数で成り立つでおじゃるな。 >>904
(1)
(右辺) - (左辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F1(a,b,c) ≧ 0,
△である必要はない。
(2)
a = y+z、b = z+x、c = x+y とおく。(Ravi変換)
(左辺) = aab(a-b) + bbc(b-c) + cca(c-a)
= 2(xyyy+yzzz+zxxx) - 2xyz(x+y+z)
= (2/7)(2xyyy +yzzz +4zxxx -7xxyz) + cyc.
≧ 0,
IMO-1983, A.6
文献[9] 佐藤(訳) (2013) 問題2.24
Inequalitybot [24] >>856 >>903 >>906
27th Putnum-1966
A2.
A triangle has sides a, b, c. The radius of the inscribed circle is r. Show that
1/(b+c-a)^2 + 1/(c+a-b)^2 + 1/(a+b-c)^2 ≧ 1/(2r)^2, >>855
中国MOの問題が載っているリンクがあれば教えてください。 x, y≧1 に対して、x√(y-1) + y√(x-1) ≦xy. >>910
√(x-1) = X,
√(y-1) = Y,
とおく。
XX-X+1 ≧ X,
YY-Y+1 ≧ Y,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘ√(y-1) - y√(x-1)
= (XX+1)(YY+1) - (XX+1)Y - (YY+1)X
= {(XX+1)-X} {(YY+1)-Y} - XY
≧ XY - XY
= 0,
あるいは
x = (cosh u)^2， y = (cosh v)^2 とおく。 >>910 >>913
x-2X ≧ 0,
y-2Y ≧ 0,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘY - yX
= x(y-2Y)/2 + y(x-2X)/2
≧ 0,
でもいいけど… a, b >0 に対して、aabb(aa+bb-2)≧(ab-1)(a+b).
非同次は苦手でおじゃる。 三角形の辺長a,b,cに対して、a(b+c-a)<2bc. >>916 は「美しい不等式pp.69-70」にあるが、証明が美しくないよな。
普通に差をとったら綺麗にできるのになあ。 >>915
a, b, c >0 に対して、aabb (aa+bb-2cc) ≧ (ab-cc) (a+b) ccc,
これで どうじゃ（同次ゃ） >>915 >>918
(左辺) - (右辺)
≧ (a+b)(ab)^(5/2) - (a+b)(ab)^(3/2)･cc - (ab-cc)(a+b)c^3
= (a+b)(ab - cc) [(ab)^{3/2} - c^3]
≧ 0, >>916 >>917
x = (b+c-a)/2, y = (c+a-b)/2, z = (a+b-c)/2,
とおく。(Ravi変換)
普通に差をとったら出来ますね^^
2bc - a(b+c-a) = 2(x+z)(x+y) - 2x(y+z) = 2xx + 2yz ≧ 0,
文献[9] 佐藤(訳) §2.2 例2.2.1 p.69 (2013) >>917 >>920
なるほど、Ravi変換は無敵でござるな。
この問題を問題集で見て感じたのは、三角形の成立条件を使った例なのに、
三角形の成立条件が一目で分かりにくい小汚い計算をしていた点。
b,cについて対称だから b≧cとする所まではいい。次のようにした方が美しいと思わん？
aが最大または最小のとき、
2bc - a(b+c-a) = bc + (a-b)(a-c) > 0.
aがbとcの間の数のとき、b≧a≧cだから、
2bc - a(b+c-a) = (a-c)(c+a-b) + c(b+c-a) > 0. >>915 >>918-919
難しすぎる。が、改造してみた。
a, b >0 に対して、ab(aa+bb-2)≧(ab-1)(a+b). >>922
a, b, c, r > 0 に対して (ab)^{r+1/2} (aa+bb-2cc) ≧ (ab-cc) (a+b) (cc)^r,
(略証)
（左辺) - (右辺)
≧ (a+b)(ab)^{r+1} - (a+b)(ab)^r･cc - (ab-cc)(a+b)(cc)^r
= (a+b)(ab-cc) [(ab)^r - (cc)^r]
≧ 0, >>915 + >>922
a, b >0 に対して、aabb(aa+bb-2) ≧ ab(ab-1)(a+b) ≧ (ab-1)(a+b).
つまり改造後の不等式は、より強い式でござる ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
調子に乗って、さらに改造すると、
a, b >0 に対して、{√(ab)}*(aa+bb-2) ≧ (ab-1)(a+b). >>923
（左辺) ≧ (a+b)(ab)^{r+1} - (a+b)(ab)^r･cc
= (a+b)(ab-cc)(ab)^r
≧ (a+b)(ab-cc)(ab)^(r-1) cc
≧ ……
≧ (a+b)(ab-cc)(ab)(cc)^(r-1)
≧ (a+b)(ab-cc)(cc)^r
= (右辺), (1) a,b,c∈Rに対して、
(a^5+b^5+c^5)^2 ≧ 3abc(a^7+b^7+c^7).
(2) x,y,z>0, xyz=1に対して、
(x^10+y^10+z^10)^2 ≧ 3(x^13+y^13+z^13). >>522 (D1)
f '(x) < (3/2)^(1/3) f(x) = 1.14471424 f(x),
60th Putnam (1999/Dec/04) B-4
〔補題〕
lim(x→-∞) F(x) ≧0,
F '(x) > 0 for all x∈R
ならば
F(x) > 0 for all x∈R
(背理法で示せる。)
g(x) = (3/2)f(x)^3 - {f '(x)}^3,
とおくと
g '(x) = 3f '(x) {(3/2)f(x)^2 - f '(x)f "(x)} ≡ 3f '(x) h(x),
h '(x) = 3f(x) f '(x) - f '(x) f '''(x) - {f "(x)}^2
= f '(x) {f(x) - f '''(x)} + {2f(x) f '(x) - [f "(x)]^2}
≡ f '(x) {f(x) - f '''(x)} + L(x),
L '(x) = 2f '(x){f(x) - f '''(x)｝ + {f '(x)}^2 > 0,
補題により
L(x) = 2f(x) f '(x) - [f "(x)]^2 > 0,
h '(x) > 0,
補題により
h(x) = (3/2)f(x)^2 - f '(x)f "(x) > 0,
g '(x) > 0,
補題により
g(x) = (3/2)f(x)^3 - {f '(x)}^3 > 0,
f '(x) < (3/2)^(1/3) f(x), >>522 (D1) >>928 >>929
Inequalitybot [143] >>927 (2)
>>515 を参照ウオ。
〔補題〕 >>533 >>534
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4), >>929 訂正
L '(x) = 2f "(x) {f(x) - f '''(x)｝ + 2{f '(x)}^2 > 0,
でした、 (1)
a,b,c∈R, r>0 に対して、
a(b+c)^r + a(b+c)^r + a(b+c)^r ≧0.
(2)
a,b,c>0 に対して
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc)√(cc+ca+aa) ≧ 3√(ab+bc+ca).
(3)
a,b,c∈R に対して、次式をみたすkの最大値を求めよ.
abc(a+b+c)^2 ≧ k(ab+bc+ca)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
------------------------------------------
http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf
1831, 1394, 1120 >>931
>>533 >>534 より
(A^3 + B^3 + C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4 + B^4 + C^4) = F_0(A, B, C) F_0(AA, BB, CC) + F_1(BC, CA, AB) ≧ 0,
F_n(x,y,z) = (x^n)(x-y)(x-z) + (y^n)(y-z)(y-x) + (z^n)(z-x)(z-y) ≧ 0, >>933
1831. (p.74)
a,b,c ∈ R, r>0 は奇数 のとき
a(a+b)^r + b(b+c)^r + c(c+a)^r ≧ 0,
1394. (p.51)
(略解)
AM-GM で
(左辺) ≧ 3{(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca)}^(1/6)
≧ 3√(ab+bc+ca), (←コーシー)
1120. (p.34)
(略解)
a,b,c ≧ 0 とする。
{b+c-a, c+a-b, a+b-c} の中の2つの和は非負だから、負であるものは高々1つ。
いずれかが負の場合は、任意のk>0 について
(左辺) ≧ 0 ≧ (右辺).
以下では b+c-a≧0, c+a-b≧0, a+b-c≧0, k=3 とする。
(左辺) - (右辺) = abc(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
= c(a+b-c)(3a+3b-c)(a-b)^2 + a(b+c-a)(3b+3c-a)(b-c)^2 + b(c+a-b)(3c+3a-b)(c-a)^2 ≧ 0,
等号成立は a=b=c のとき。 >>933
1126. (p.34)
0 < x ≦ 1 に対して次を示せ。
x < sinh(x) < 3x/{1+1+√(1-xx)} < tan(x),
1270. (p.44)
x>0 に対して次を示せ。
x/√(1+xx) < tanh(x) < √{1-exp(-xx)} < x, >>933 >>935
> (2)
> a,b,c>0 に対して
> √(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc)√(cc+ca+aa) ≧ 3√(ab+bc+ca).
my collection に次式を発見、しかし詳細不明。
a,b,c∈R に対して、
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc)√(cc+ca+aa) ≧ (3/2)*(a+b+c). >>859-861
n≧4では、逆向きが成り立つという仮説を立ててみた。
n=2,3のとき、 (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^n + (G/H)^n + 1
n≧4のとき、 (3/4)*(1 + A/H)^2 ≦ (A/G)^n + (G/H)^n + 1 >>887
4文字だと証明が大変そうだけど、いい方法あるんですか？ a,b,c,d>0 に対して、
9*(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2) + 48/(aa+bb+cc+dd)
≧ 8{1/(ab) + 1/(ac) + 1/(ad) + 1/(bc) + 1/(bd) + 1/(cd)}.
等号は a = 3b = 3c = 3d.
検索中に見つけた。ちゃんと成り立つのかな？
http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardID=107&;ID=44556 >>938
n≧4 のとき
(右辺) = (A/G)^n + (G/H)^n + 1^n
≧ 2(A/H)^(n/2) + 1 (AM-GM)
≧ (3/4){1 + (A/H)^(n/4)}^2,
2xx +1 - (3/4)(x+1)^2 = (x-1)(5x-1)/4 ≧ 0, (x≧1)
>>939
That's what I wanna know. (それは こっちが訊きたい...)
>>940
5点で等号成立ですね…
(a,b,c,d) = (1,1,1,1) (3,1,1,1) (1,3,1,1) (1,1,3,1) (1,1,1,3) >>937
xx+xy+yy = (3/4)(x+y)^2 + (1/4)(x-y)^2 ≧ (3/4)|x+y|^2,
より
(左辺) ≧ (√3)/2･(|a+b|+|b+c|+|c+a|)
≧ (√3)/2･|2a+2b+2c|
= (√3)|a+b+c|,
ab+bc+ca ≧ 0 ならば 1394. が成立。 >>933 (2) >>937
a,b,c∈R に対して、
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc) + √(cc+ca+aa) ≧ (3/2)*|a+b+c|.
[証]
xx+xy+yy - (x+ y/2)^2 = (3/4)*y^2 ≧0
∴ √(xx+xy+yy) ≧ |x+ y/2|
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc) + √(cc+ca+aa)
≧ |a+ b/2| + |b+ c/2| + |c+ a/2|
≧ |(a+ b/2) + (b+ c/2) + (c+ a/2)|
＝ (3/2)*|a+b+c|.
等号成立条件は a=b=c=0.
---------------------
>>942の等号成立条件は a=b=c だから、上式は緩くて次式が良いってことですかね？
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc) + √(cc+ca+aa) ≧ (√3)|a+b+c|. >>938
n≧4 のとき
(A/G)^n + (G/H)^n + 1 ≧ 3([(A/G)^2 + (G/H)^2 + 1]/3)^{n/2} ≧ 3([(A/H) + (A/H) + 1]/3)^{n/2},
(A/G)^n + (G/H)^n + 1 ≧ (A/H)^{n/2} + (A/H)^{n/2} + 1≧ 3([(A/H) + (A/H) + 1]/3)^{n/2},
もある… >>865
n=3 は 16x^3 +63x^2 -42x -25 = 0 の根
n=4 は 729x^5 +3923x^4 +9002x^3 -42x^2 -5107x -1849 = 0 の根。
min{(A-G)/(G-H)} ≧ 4(n-1)/nn, …… Sqing の評価 (2018/June/03)
http://artofproblemsolving.com/community/c6h422665p2389389 〔問題2969〕
aa+bb+cc = 2 のとき
{3 - (ab+bc+ca)}^3 /{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ 27/8,
(by K. Chikaya)
http://suseum.jp/gq/question/2969
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ (不等式２-324) a,b,c>0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1 + 24(aa+bb+cc)/{(a+b+c)^2}. 最近の不等式botの、食べ物の写真のノイズが邪魔過ぎる。 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
